2018-2019数学北师大版必修2作业：第一章6.2 垂直关系的性质

[学业水平训练]

1.若两个平面互相垂直，在第一个平面内的一条直线a垂直于第二个平面内的一条直线b，那么()

A．直线a垂直于第二个平面

B．直线b垂直于第一个平面

C．直线a不一定垂直于第二个平面

D．过a的平面必垂直于过b的平面

解析：选C.对于两平面，无论关系如何，在两平面内一定可以找到互相垂直的两条直线，因此直线a不一定是第二个平面的垂线，故选C.

2.直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()

A．相交B．平行

C．异面D．不确定

解析：选D.因为梯形的两腰AB和CD一定相交且l⊥AB，l⊥CD，所以l垂直于梯形ABCD.又因为直线m垂直于AD和BC，且AD∥BC.

所以m与平面ABCD的位置关系不确定，因此l与m的位置关系就不确定，故选D.

3.空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是()

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

解析：选B.

过A点作AE⊥BD，交BD于E，E为垂足．

因为平面ABD⊥平面BCD，

且平面ABD∩平面BCD＝BD，

∴AE⊥平面BCD.

又BC平面BCD，

∴BC⊥AE.又AD⊥平面ABC，

BC平面ABC，∴BC⊥AD.

又∵AD∩AE＝A，且AD，AE平面ABD，

∴BC⊥平面ABD，

又AB平面ABD，∴BC⊥AB，

∴△ABC为直角三角形．

4.如图所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是()

A．一条线段B．一条直线

C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点

解析：选D.∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC平面PAC，且平面PAC∩平面PBC

＝PC，

∴AC⊥平面PBC.

又∵BC平面PBC，∴AC⊥BC，

∴∠ACB＝90°，∴动点C运动形成的图形是以AB为直径的圆，但要除去A和B两点，故选D.

5.若l，m，n表示不重合的直线，α表示平面，则下列说法中正确的个数为()

①l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；

③m⊥α，nα⇒m⊥n.

A．1 B．2

C．3 D．0

解析：选C.①正确，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.

又l⊥α，∴n⊥α；

②正确．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；

③正确．由线面垂直的定义可知其正确．

故正确的有3个．

6.已知直线m平面α，直线n平面α，m∩n＝M，直线a⊥m，a⊥n，直线b⊥m，b ⊥n，则直线a，b的位置关系是________．

解析：由线面垂直的判定定理得，a⊥平面α，b⊥平面α.

又由线面垂直的性质定理得a∥b.

答案：a∥b

7．如图，空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角的大小是________．

解析：

过A作AO⊥BD于O点，

∵平面ABD⊥平面BCD，

∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．

∵∠BAD＝90°，AB＝AD，

∴∠ADO＝45°.

答案：45°

8．α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________．

解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真，∴应填“若①③④，则②”，或“若②③④，则①”．

答案：若①③④，则②(或若②③④，则①)

9．如图，已知平面α∩平面β＝AB，PQ⊥α于Q，PC⊥β于C，CD⊥α于D.

(1)求证：P，C，D，Q四点共面；

(2)求证：QD⊥AB.

证明：(1)因为PQ ⊥α，CD ⊥α，所以PQ ∥CD ，

于是P ，C ，D ，Q 四点共面．

(2)因为AB α，PQ ⊥α，所以PQ ⊥AB .

又因为PC ⊥β，AB β，所以PC ⊥AB .

又因为PQ ∩PC ＝P ，

设P ，C ，D ，Q 四点共面于γ，

则AB ⊥γ.

又因为QD γ，所以QD ⊥AB .

10.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝33，BC ＝3，沿对角线BD 把△BCD 折起，使C 移到C ′，且C ′在平面ABD 内的射影O 恰好落在AB 上．

(1)求证：AC ′⊥BC ′；

(2)求AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值．

解：(1)证明：由题意，知C ′O ⊥平面ABD ，

因为C ′O 平面ABC ′，

所以平面ABC ′⊥平面ABD .

又因为AD ⊥AB ，平面ABC ′∩平面ABD ＝AB ，

所以AD ⊥平面ABC ′，所以AD ⊥BC ′.

因为BC ′⊥C ′D ，AD ∩C ′D ＝D ，

所以BC ′⊥平面AC ′D .所以BC ′⊥AC ′.

(2)因为BC ′⊥平面AC ′D ，BC ′平面BC ′D ，

所以平面AC ′D ⊥平面BC ′D .

作AH ⊥C ′D 于H (图略)，则AH ⊥平面BC ′D ，连接BH ， 则BH 为AB 在平面BC ′D 内的射影，

所以∠ABH 为AB 与平面BC ′D 所成的角．

又在Rt △AC ′D 中，C ′D ＝33，AD ＝3，

所以AC ′＝3 2.所以AH ＝ 6.

所以sin ∠ABH ＝AH AB ＝23

， 即AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值为23

. [高考水平训练]

1.下列命题中错误的是( )

A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l ，那么l ⊥平面γ

D ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

解析：选D.两个平面α，β垂直时，设交线为l ，则在平面α内与l 平行的直线都平行于平面β，故A 正确；如果平面α内存在直线垂直于平面β，那么由面面垂直的判定定理知α⊥β，