人教版数学必修4和必修5知识点总结

高中数学必修4第三章 三角恒等变换知识点总结

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα

=

-．

26、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(

ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+，其中tan ϕB

=

A

． 28、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和

差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是

2α的二倍；2α是4

α

的二倍； ②2

304560304515o

o

o

o

o

o

=-=-=；问：=12sin π ；=12cos π ； αααα

ααα半角公式cos 1cos 12t an 2cos 12sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2

tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2

sin :

2

2

2α

ααααα万能公式+-=+=

③ββαα-+=)(；④

)4

(

2

4

απ

π

απ

--=

+；

⑤)4

(

)4

(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通

常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的

代换变形有： o

o

45tan 90sin cot tan cos sin 12

2

===+=αααα

（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常

用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式

αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：

_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α

α

；

____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα； =αtan 2 ；=-α2tan 1 ；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ；

=+ααcos sin b a = ；（其中

=ϕtan ；）

=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊

值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o o ；

=-ααcot tan 。

必修5知识点总结

1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有

2sin sin sin a b c

R C

===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；

②sin 2a R A =

，sin 2b R B =，sin 2c C R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c

C C

++===A +B +A B ．

（正弦定理主要用来解决两类问题：1、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。2、已知两角和一边，求其余的量。）

⑤对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况。（一解、两解、无解三中情况） 如：在三角形ABC 中，已知a 、b 、A （A 为锐角）求B 。具体的做法是：数形结合思想 画出图：法一：把a 扰着C 点旋转，看所得轨迹以AD 有无交点：

当无交点则B 无解、 当有一个交点则B 有一解、 当有两个交点则B 有两个解。 法二：是算出CD=bsinA,看a 的情况： 当a

无解 当bsinAb 时，B 有一解

注：当A 为钝角或是直角时以此类推既可。 3、三角形面积公式：111

sin sin sin 222

C S bc ab C ac ∆AB =

A ==

B ． 4、余弦定理：在

C ∆AB 中，有2

2

2

2cos a b c bc =+-A ，2

2

2

2cos b a c ac =+-B ，

2222cos c a b ab C =+-．

5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac

+-B =，222

cos 2a b c C ab +-=．

(余弦定理主要解决的问题：1、已知两边和夹角，求其余的量。2、已知三边求角)

6、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、

C 的对边，则：①若222

a b c +=，则90C =； ②若2

2

2

a b c +>，则90C <；③若2

2

2

a b c +<，则90C >． 正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标A 、B,