您的位置：360文档中心› 2017年中考数学备考《全等三角形》专题复习(含答案解析)

2017年中考数学备考《全等三角形》专题复习(含答案解析)

合集下载

中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形之辅助线倍长中线法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线倍长中线法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，己知AD 是△ABC 中BC 边上的中线，AB ＝5，AC ＝3，则AD 的取值范围是（ ）A ．2＜AD ＜8B ．1＜AD ＜4C ．2＜AD ＜5 D ．4≤AD ≤82．在ABC 中，5AC =，中线7AD =，则AB 边的取值范围（ ）A ．212AB << B ．412AB <<C ．919AB <<D ．1019AB <<3．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB BD ⊥，5AB =，4BD =，3CD =，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（ ）．A ．2B ．52C ．5D ．34．如图，在ABC 中，D 为BC 的中点，若3,4AC AD ==．则AB 的长不可能．．．是（ ）A．5B．7C．8D．9评卷人得分二、填空题5．如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，3AC=，5AD=，则AB的取值范围是________．6．如图，平行四边形ABCD，点F是BC上的一点，连接AF，△FAD＝60°，AE平分△FAD，交CD于点E，且点E是CD的中点，连接EF，已知AD＝5，CF＝3，则EF ＝__．评卷人得分三、解答题7．已知：多项式x2+4x+5可以写成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的两边BC，AC的长分别是a，b，求第三边AB上的中线CD的取值范围．8．如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，△AOB+△COD＝180︒．（1）若△BOE＝△BAO，AB＝22，求OB的长；（2）用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．9．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在ABC中，6AB=，10AC=，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．【阅读理解】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：（1）如图1，延长AD到E点，使DE AD=，连接BE．根据______可以判定ADC≌△______，得出AC=______．这样就能把线段AB、AC、2AD集中在ABE△中．利用三角形三边的关系，即可得出中线AD的取值范围是．【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做“辅助线”——把中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种做辅助线的方法称为“中线加倍”法．【问题解决】（2）如图2，在ABC中，90A∠=，D是BC边的中点，90EDF=∠，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：222BE CF EF+=．【问题拓展】（3）如图3，ABC中，90B=∠，3AB=，AD是ABC的中线，CE BC⊥，5CE=，且90ADE∠=．直接写出AE的长＝______．10．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE△AB交AC延长线于点E，求证：△ABC△△EDC．【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且△CAE＝△B，点E是CD的中点，若AD 平分△BAE．（1）求证：AC＝BD；（2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．11．如图，ABC中，BD DC AC==，E是DC的中点，求证：2AB AE=．12．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED△△ABD．△请证明△CED△△ABD；△中线BD的取值范围是．（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，△ABM＝△NBC＝△90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．13．已知ABC 中，（1）如图1，点E 为BC 的中点，连AE 并延长到点F ，使=FE EA ，则BF 与AC 的数量关系是________．（2）如图2，若AB AC =，点E 为边AC 一点，过点C 作BC 的垂线交BE 的延长线于点D ，连接AD ，若DAC ABD ∠=∠，求证：AE EC =．（3）如图3，点D 在ABC 内部，且满足AD BC =，BAD DCB ∠=∠，点M 在DC 的延长线上，连AM 交BD 的延长线于点N ，若点N 为AM 的中点，求证：DM AB =．14．如图1，在ABC 中，CM 是AB 边的中线，BCN BCM ∠=∠交AB 延长线于点N ，2CM CN =．（1）求证AC BN =；（2）如图2，NP 平分ANC ∠交CM 于点P ，交BC 于点O ，若120AMC ∠=︒，CP kAC =，求CPCM的值．15．如图，AD 为ABC 中BC 边上的中线()AB AC >． （1）求证：2AB AC AD AB AC -<<+；（2）若8cm AB =，5cm AC =，求AD 的取值范围．16．（1）如图1，已知ABC 中，AD 是中线，求证：2AB AC AD +>；（2）如图2，在ABC 中，D ，E 是BC 的三等分点，求证：AB AC AD AE +>+； （3）如图3，在ABC 中，D ，E 在边BC 上，且BD CE =．求证：AB AC AD AE +>+．17．（1）如图1，△ABC 中，AD 为中线，求证：AB +AC ＞2AD ；（2）如图2，△ABC 中，D 为BC 的中点，DE △DF 交AB 、AC 于E 、F ．求证：BE +CF ＞EF ．18．定义：如果三角形三边的长a 、b 、c 满足3a b cb ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“匀称三角形”．如：三边长分别为1，1，1或3，5，7，…的三角形都是“匀称三角形”．（1）已知“匀称三角形”的两边长分别为4和6，则第三边长为 ． （2）如图，ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的△O 交BC 于点D ，过点D 作DF △AC ，垂足为F ，交AB 的延长线于E ，求证：EF 是△O 的切线； （3）在（2）的条件下，若53BE CF =，判断AEF 是否为“匀称三角形”？请说明理由．19．课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D 是ABC 边BC 的中点，5AB =，3AC =，求AD 的取值范围．（1）小明的想法是，过点B作//BE AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰Rt ABC中，90BAC∠=︒，AB AC=，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AE BD⊥于点E，过点A作AF AE⊥，且AF AE=，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG CG=．20．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），△延长AD到M，使得DM＝AD；△连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在△ABM中；△利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为AB﹣BM＜AM＜AB+BM，从而得到AD的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，△BAE＝△CAF＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明．21．如图，在△ABC中，△ACB＝135°，BC＝6，点D为AB的中点，连接DC，若DC△BC，求AB的长．22．如图，ABC∆中，3AB=，4AC=，AD为中线，求中线AD的取值范围．23．（1）方法呈现：如图△：在ABC中，若6AB=，4AC=，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE AD=，再连接BE，可证ACD EBD△≌△，从而把AB、AC，2AD集中在ABE△中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图△，在ABC中，点D是BC的中点，DE DF⊥于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE CF+与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图△，在四边形ABCD中，//AB CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF∠的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．24．在等腰Rt△ABC中△ABC＝90°，BA＝BC，在等腰Rt△CDE中△CDE＝90°，DE＝DC，连接AD，点F是线段AD的中点．（1）如图1，连接BF，当点D和点E分别在BC边和AC边上时，若AB＝3，CE＝2 2，求BF的长．（2）如图2，连接BE、BD、EF，当△DBE＝45°时，求证：EF＝12ED．25．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD是ABC∆的中线，7,5,AB AC==求AD的取值范围．我们可以延长AD到点M，使DM AD=，连接BM，易证ADC MDB∆≅∆，所以BM AC=．接下来，在ABM∆中利用三角形的三边关系可求得AM的取值范围，从而得到中线AD的取值范围是；（2）如图2，AD是ABC的中线，点E在边AC上，BE交AD于点,F且AE EF=，求证：AC BF=；（3）如图3，在四边形ABCD中，//AD BC，点E是AB的中点，连接CE，ED且CE DE⊥，试猜想线段,,BC CD AD之间满足的数量关系，并予以证明．26．已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DF AC⊥，交AC于点E，交AB于点F．（1）如图1，若2tan 2ACD ∠=． △求证：AF BF =；△连接BE ，求证：2CD BE =．（2）如图2，若2AF AB BF =⋅，求cos FDC ∠的值．27．阅读下面材料：数学课上，老师给出了如下问题：如图，AD 为△ABC 中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ，AE ＝EF ．求证：AC ＝BF ．经过讨论，同学们得到以下思路：如图△，添加辅助线后依据SAS 可证得△ADC △△GDB ，再利用AE ＝EF 可以进一步证得△G ＝△F AE ＝△AFE ＝△BFG ，从而证明结论．完成下面问题：（1）这一思路的辅助线的作法是：．（2）请你给出一种不同于以上思路的证明方法（要求：写出辅助线的作法，画出相应的图形，并写出证明过程）．28．如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，AB＝8，AC＝6．（1）求四边形AEDF的周长；（2）若△BAC＝90°，求四边形AEDF的面积．29．【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到ADC △EDB △的理由是______． （2）求得AD 的取值范围是______． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．30．在ABC ∆与CDE ∆中，90ACB CDE ∠=∠=︒，26AC BC ==，2CD ED ==，连接,AE BE ，点F 为AE 的中点，连接DF ，CDE ∆绕着点C 旋转．（1）如图1，当点D 落在AC 的延长线上时，DF 与BE 的数量关系是：__________； （2）如图2，当CDE ∆旋转到点D 落在BC 的延长线上时，DF 与BE 是否仍有具有（1）中的数量关系，如果具有，请给予证明；如果没有，请说明理由； （3）旋转过程中，若当105BCD ∠=︒时，直接写出2DF 的值．参考答案：1．B 【解析】 【分析】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ，先证ABD ECD ≅，得AB CE =，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE 的取值范围． 【详解】如图所示，延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ， AD 是△ABC 中BC 边上的中线，BD CD ∴=，在ABD △与ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABD ECD ∴≅，5AB CE ∴==，在ACE 中，由三角形三边关系得：CE AC AE CE AC -<<+，3AC =，2AE AD DE AD AD AD =+=+=，53253AD ∴-<<+，14AD ∴<<．【点睛】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．C【分析】延长AD 至E ，使DE =AD ，然后利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，根据全等三角形对应边相等可得AB =CE ，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE 的取值范围，即为AB 的取值范围． 【详解】解：如图，延长AD 至E ，使DE =AD ，△AD 是△ABC 的中线， △BD =CD ，在△ABD 和△ECD 中，BD CD ADB EDC AD DE ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝， △△ABD △△ECD （SAS ）， △AB =CE ， △AD =7， △AE =7+7=14， △14+5=19，14-5=9， △9＜CE ＜19， 即9＜AB ＜19． 故选：C ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键． 3．C【分析】延长BE 交CD 延长线于P ，可证△AEB ≌△CEP ，求出DP ，根据勾股定理求出BP 的长，从而求出BM 的长． 【详解】解：延长BE 交CD 延长线于P ， ∵AB ∥CD ， ∴∠EAB ＝∠ECP ， 在△AEB 和△CEP 中，EAB ECP AE CE AEB CEP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AEB ≌△CEP （ASA ） ∴BE ＝PE ，CP ＝AB ＝5 又∵CD ＝3， ∴PD=2， △4BD =△2225BP DP BD =+= ∴BE ＝12BP ＝5． 故选：C ．【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP ． 4．A 【解析】延长AD 到E ，使AD =DE ，证明△ADC △△EDB ，然后利用三边关系即可得出结论． 【详解】解：延长AD 到E ，使AD =DE =4，连接BE ，△D 是BC 的中点， △BD =CD 又△BDE =△CDA △△ADC △△EDB ， △BE =AC =3由三角形三边关系得，AE BE AB AE BE -<<+ 即：511AB << 故选：A 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．713AB << 【解析】 【分析】延长AD 至点E ，使DE=AD ，证明ABD ECD ≅,由全等性质求出相关的线段长度，在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<，代入数值即可得到答案．【详解】解：延长AD 至点E ，使DE=AD ，如下图：△D 是BC 的中点 △BD =CD在ABD △和ECD 中：BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABD ECD ≅ △=AB EC △AD =5 △AE =10在CAE 中，由,AE AC EC AE AC EC +>-<得：713EC << 即：713AB << 故答案为：713AB << 【点睛】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键． 6．4 【解析】 【分析】延长AE ，BC 交于点G ，判定△ADE△△GCE ，即可得出CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，再根据三线合一即可得到FE△AG ，进而得出Rt △AEF 中，EF ＝12AF ＝4． 【详解】解：如图，延长AE ，BC 交于点G ，△点E 是CD 的中点，△DE ＝CE ，△平行四边形ABCD 中，AD△BC ，△△D ＝△ECG ，又△△AED ＝△GEC ，△△ADE△△GCE ，△CG ＝AD ＝5，AE ＝GE ，又△AE 平分△FAD ，AD△BC ，△△FAE ＝△DAE ＝△G ＝12△DAF ＝30°， △AF ＝GF ＝3+5＝8，又△E 是AG 的中点，△FE△AG ，在Rt △AEF 中，△FAE ＝30°，△EF ＝12AF ＝4， 故答案为：4．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等进行推算．7．(1)6a =，10b =(2)2<CD <8【解析】【分析】（1）把()()211x a x b -+-+展开，然后根据多项式x 2+4x +5可以写成（x ﹣1）2+a （x ﹣1）+b的形式，可得2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，即可求解；（2）延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，可得△CDB△△HAD，从而得到BC=AH=a=6，再根据三角形的三边关系，即可求解．(1)解：△()()211x a x b-+-+221x x ax a b=-++-+()221x a x a b=+-+-+，根据题意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b△2415aa b-=⎧⎨-+=⎩，解得：610ab=⎧⎨=⎩；(2)解：如图，延长CD至点H，使CD=DH，连接AH，△CD是AB边上的中线，△BD=AD，在△CDB和△HDA中，△CD=DH，△CDB=△ADH，BD=DA，△△CDB△△HDA（SAS），△BC=AH=a=6，在△ACH中，AC-AH<CH<AC+AH，△10-6<2CD<10+6，△2<CD<8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，整式乘法和二元一次方程组的应用，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定和性质，整式乘法法则，三角形的三边关系是解题的关键．8．（1）2；（2）12OE CD=，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知条件△BOE＝△BAO，且公共角OBE ABO∠=∠，证明△OBE△△ABO，进而列出比例式，代入数值即可求得OB；（2）延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB，证明△AOF△△DOC，进而可得OF CD=，即12OE CD=【详解】（1）解：△△BOE＝△BAO，OBE ABO∠=∠，△△OBE△△ABO，△BE OBOB AB=，△AB＝22，E为AB的中点，△2BE=△222OBOB=，△2OB=（舍负）.（2）线段OE和CD的数量关系是：12OE CD=，理由如下，证明：如图，延长OE到点F，使得EF OE=，连接AF，FB.△AE BE=△四边形AFBO是平行四边形，△AF OB ∥，AF OB =，△180FAO AOB ∠+∠=︒，△△AOB +△COD ＝180︒，△FAO COD ∠=∠，△OB ＝OC ，△AF OC =，在△AOF 和△DOC 中， OA OD FAO COD AF OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△AOF △△ODC ，△OF CD =△12OE CD =. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，第（2）小问中，根据题意正确的添加辅助线是解题的关键． 9．（1）SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）见解析；（3）7．【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定方法和全等三角形的性质以及三角形三边的关系求解即可； （2）延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，根据垂直平分线的性质得到EF GF =，然后利用SAS 证明BDE CDG ≌，得到BE CG =，B DCG ∠=∠，进而得到18090ACG A ∠=︒-∠=︒,最后根据勾股定理证明即可；（3）延长AD 交EC 的延长线于点F ，根据ASA 证明ABD FCD ∆∆≌，然后根据垂直平分线的性质得到AE CF =，最后根据全等三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）在ADC 和EDB △中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()ADC EDB SAS ≌△△， △10AC BE ==．△6AB =，△<<BE AB AE BE AB -+，即106<<106AE -+，△4<<16AE ，△4<2<16AD ，解得：2<<8AD ；故答案为：SAS ；EDB △；BE ；2<<8AD ；（2）如图所示，延长ED 使DG =ED ，连接FG ，GC ，△90EDF =∠，△EF GF =，在BDE 和CDG 中， BD CD BDE CDG DE GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BDE CDG SAS ≌△△， △BE CG =，B DCG ∠=∠，△AB CG ∥，△18090ACG A ∠=︒-∠=︒，△在Rt FGC △中，222CG FC FG +=，△222BE CF EF +=；（3）如图所示，延长AD 交EC 的延长线于点F ，△,AB BC EF BC ⊥⊥，ABD FCD ∴∠=∠，在ABD △和FCD 中，ABD FCD BD CDADB FDC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ABD FCD ASA ∴∆∆≌，△3CF AB ==，AD DF =，△90ADE ∠=，△AE EF =，△538EF CE AB =+=+=，△8AE =．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定方法，三角形的三边关系，“中线加倍”法的运用，解题的关键是根据题意作出辅助线构造全等三角形．10．[探究与发现]见解析；[理解与应用]（1）见解析；（2）1＜x ＜4【解析】【分析】[探究与发现]由ASA 证明△ABC △△EDC 即可；[理解与应用]（1）延长AE 到F ，使EF =EA ，连接DF ，证△DEF △△CEA （SAS ），得AC =FD ，再证△ABD △△AFD （AAS ），得BD =FD ，即可得出结论；（2）由全等三角形的性质得AB =AF =2x ，再由三角形的三边关系得AD -BD ＜AB ＜AD+BD，即5-3＜2x＜5+3，即可求解．【详解】解：[探究与发现]证明：△DE△AB，△△B=△D，又△BC=DC，△ACB=△ECD，△△ABC△△EDC（ASA）；[理解与应用]（1）证明：如图2中，延长AE到F，使EF=EA，连接DF，△点E是CD的中点，△ED=EC，在△DEF与△CEA中，EF EADEF CEAED EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△DEF△△CEA（SAS），△AC=FD，△△AFD=△CAE，△△CAE=△B，△△AFD=△B，△AD平分△BAE，△△BAD=△F AD，在△ABD与△AFD中，BAD FAD AD AD ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ABD △△AFD （AAS ），△BD =FD ，△AC =BD ；（2）解：由（1）得：AF =2AE =2x ，△ABD △△AFD ，△AB =AF =2x ，△BD =3，AD =5，在△ABD 中，由三角形的三边关系得：AD -BD ＜AB ＜AD +BD ，即5-3＜2x ＜5+3，解得：1＜x ＜4，即x 的取值范围是1＜x ＜4．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线定义以及三角形的三边关系等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．11．见解析【解析】【分析】利用中线加倍证DEF CEA △≌△（SAS ），可得DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，由DC AC =，可得ADC CAD ∠=∠进而可证ADF ADB ∠=∠.，再证ADB ADF △≌△（SAS ）即可．【详解】证明：延长AE 到F ，使EF AE =，连结DF ，△E 是DC 中点， △DE CE = ，△在DEF 和CEA 中，DEF CEA EF EA ⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△DEF CEA △≌△（SAS ），△DF AC BD ==，FDE C ∠=∠，△DC AC =，△ADC CAD ∠=∠，又△ADB C CAD ∠=∠+∠，ADF FDE ADC ∠=∠+∠，△ADF ADB ∠=∠，在ADB △和ADF 中，AD AD ADB ADF DB DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△ADB ADF △≌△（SAS ），△2AB AF AE == ．【点睛】 本题考查中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质，掌握中线加倍构图，三角形全等判定与性质，等腰三角形性质是解题关键．12．（1）△见解析；△19BD <<；（3）MN =2BD ，理由见解析【解析】【分析】（1）△只需要利用SAS 证明△CED △△ABD 即可；△根据△CED △△ABD 可得AB =CE ，由三角形三边的关系可得CE BC BE CE BC -<<+即AB BC BE AB BC -<<+则218BE <<，再由2BE BD =，可得19BD <<；（2），延长BD 到E 使得DE =BD ，同（1）原理可证△ADE △△CDB ，得到△DAE =△DCB ，AE=CB，然后证明△BAE=△MBN，则可证△BAE△△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【详解】解：（1）△△BD是三角形ABC的中线，△AD=CD，又△△ABD=△CDE，BD=ED，△△CED△△ABD（SAS）；△△△CED△△ABD，△AB=CE，△CE BC BE CE BC-<<+，△AB BC BE AB BC-<<+即218BE<<，又△2BE BD DE BD=+=，△19BD<<；故答案为：19BD<<；（2）MN=2BD，理由如下：如图所示，延长BD到E使得DE=BD，同（1）原理可证△ADE△△CDB（SAS），△△DAE=△DCB，AE=CB，△BC=BN，△AE=BN，△△ABM=△NBC=90°，△△MBN+△ABC=360°-△ABM-△NBC=180°，△△ABC+△BAC+△ACB=180°，△△ABC+△BAC+△DAE=180°，△△BAE+△ABC=180°，△△BAE=△MBN，又△AB =BM ，△△BAE △△MBN （SAS ），△MN =BE ，△BE =BD +ED =2BD ，△MN =2BD ．【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握倍长中线法证明两个三角形全等．13．（1）BF AC =；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）通过证明BEF CEA △≌△，即可求解；（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，通过≌ABF CAD 得到AF CD =，再通过AFE CDE ≌即可求解；（3）过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MG AD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，利用全等三角形的性质证明AB MT =、DM MT =，即可解决．【详解】证明：（1）BF AC =由题意可得：BE EC =在BEF 和CEA 中BE EC BEF CEA EF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()BEF CEA SAS △≌△△BF AC =（2）过点A 引AF CD ∥交BE 于点F ，如下图：由题意可得：CD BC ⊥，且∠=∠EAF ACD则AF BC ⊥又△AB AC =△AF 平分BAC ∠，△BAF EAF ACD ∠=∠=∠△在ABF 和CAD 中ABF DAC AB ACBAF ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩△()ABF CAD ASA ≌△AF CD =在AFE △和CDE △中 FAE DCE AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△()AFE CDE AAS △≌△△AE EC =（3）证明：过点M 作MT AB ∥交BN 的延长线于点T ，MGAD ，在MT 上取一点K ，使得MK CD =，连接GK ，如下图：△AB MT ∥△ABN T ∠=∠△ANB MNT ∠=∠，AN MN =△()ANB MNT AAS △≌△△BN NT =，AB MT =△MG AD△ADN MGN ∠=∠△,AND MNG AN NM ∠=∠=△()AND MNG AAS △≌△△,AD MG DN NG ==△BD GT =△,BAN AMT DAN GMN ∠=∠∠=∠△BAD GMT ∠=∠△BAD BCD ∠=∠△BCD GMK ∠=∠△,AD BC AD GM ==△BC GM =又△MK CD =△()BCD GMK SAS △≌△△,GK BD BDC MKG =∠=∠△,GK GT MDT GKT =∠=∠△GKT T ∠=∠△DM MT =△AB MT =△DM AB =【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．14．（1）见解析；（2）21k k + 【解析】【分析】（1）延长CM 至点D ，使CM DM =，可证ACM BDM ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出AC BD =，根据题目已知，可证DCB NCB ∆≅∆，由全等三角形的性质从而得出BN BD =，等量代换即可得出答案；（2）如图所示，作CQ CP =，可证CPO CQO ∆≅∆，由全等三角形的性质相等角从而得出123∠=∠=∠，进而得出45∠=∠，故可证NOB NOQ ∆≅∆等量转化即可求出CP CM 的值． 【详解】（1）如图1所示，延长CM 至点D ，使CM DM =，在ACM △与BDM 中，CM DM AMC BMD AM BM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ACM BDM ∴∆≅∆，AC BD ∴=，2CM CN =，CD CN ∴=，在DCB 与NCB △中，CD CN DCB NCB CB CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, DCB NCB ∴∆≅∆，BN BD ∴=，AC BN ∴=；（2）如图所示，120AMC ∠=︒，60CMN ∴∠=︒，NP 平分MNC ∠，BCN BCM ∠=∠，1602PNC BCN AMC ∠+∠=∠=︒， 120CON ∴∠=︒，60COP ∠=︒，180CMN BOP ∴∠+∠=︒，作CQ CP =，在CPO △与CQO 中， CQ CP QCO PCO CO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CPO CQO ∴∆≅∆，123∴∠=∠=∠，45∴∠=∠，在NOB 与NOQ 中，45BNO QNO NO NO ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，NOB NOQ ∴∆≅∆，BN NQ ∴=，CN CP NB ∴=+，2CM CP AC∴=+，设AC a=，CP ka∴=，(1)2a kCM+=，21CP kCM k∴=+．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．15．（1）2AB AC AD AB AC-<<+，（2）31322AD<<【解析】【分析】（1）延长AD至E，使AD DE=，连接BE，然后再证明ACD EBD△≌△，根据全等三角形的性质可得AC BE=，再根据三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE-<<+，利用等量代换可得2AB AC AD AB AC-<<+；（2）把8cmAB=，5cmAC=代入（1）的结论里，再解不等式即可．【详解】（1）证明：如图延长AD至E，使DE AD=，连接BE，△AD为ABC中BC边上的中线，△DC BD=，在ACD△和EBD△中：DC BD ADC BDE AD DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△(SAS)ACD EBD ≌△△，△AC BE =（全等三角形的对应边相等），在ABE △中，由三角形的三边关系可得AB BE AE AB BE -<<+，即2AB AC AD AB AC -<<+；（2）解：△8cm AB =，5cm AC =，由（1）可得2AB AC AD AB AC -<<+，△85285AD -<<+，△31322AD <<． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，利用倍长中线的方式构造全等三角形是解题关键．16．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）利用“倍长中线”法，延长AD ，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可； （2）取DE 中点H ，连接AH 并延长至Q 点，使得AH =QH ，连接QE 和QC ，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB =CQ ，AD =EQ ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；（3）同（2）处理方式一样，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．【详解】证：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，△AD是△ABC的中线，△D为BC的中点，BD=CD，在△ABD与△PCD中，BD CDADB PDCAD PD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABD△△PCD(SAS)，△AB=CP，在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，△2AB AC AD+>；（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，△H为DE中点，D、E为BC三等分点，△DH=EH，BD=DE=CE，△DH=CH，在△ABH和△QCH中，BH CHBHA CHQAH QH=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△ABH△△QCH(SAS)，同理可得：△ADH△△QEH，△AB=CQ，AD=EQ，此时，延长AE，交CQ于K点，△AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，△AC +CQ ＞AK +QK ，又△AK +QK =AE +EK +QK ，EK +QK ＞QE ，△AK +QK ＞AE +QE ，△AC +CQ ＞AK +QK ＞AE +QE ，△AB =CQ ，AD =EQ ，△AB AC AD AE +>+；（3）如图所示，取DE 中点M ，连接AM 并延长至N 点，使得AM =NM ，连接NE ，CE ， △M 为DE 中点，△DM =EM ，△BD =CE ，△BM =CM ，在△ABM 和△NCM 中，BM CM BMA CMN AM NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ △△ABM △△NCM (SAS )，同理可证△ADM △△NEM ，△AB =NC ，AD =NE ，此时，延长AE ，交CN 于T 点，△AC +CN =AC +CT +NT ，AC +CT ＞AT ，△AC +CN ＞AT +NT ，又△AT +NT =AE +ET +NT ，ET +NT ＞NE ，△AT +NT ＞AE +NE ，△AC +CN ＞AT +NT ＞AE +NE ，△AB =NC ，AD =NE ，△AB AC AD AE +>+．【点睛】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 至点E ，使ED AD =．由AD 为中线可知BD CD =，即易证()ABD ECD SAS ≅，得出AB EC =．利用三角形三边关系可知AC EC AE +>，即可证明2AC AB AD +>．（2）延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG，EG ．由AD 为中线可知BD CD =．即易证()BDE CDG SAS ≅，得出BE CG =．由题意可得90EDF GDF ∠=∠=︒，即易证()EDF GDF SAS ≅，得出EF GF =．利用三角形三边关系可知CG CF FG +>，即可证明BE CF EF +>．【详解】（1）如图，延长AD 至点E ，使ED AD =．△AD 为中线，△BD CD =．△在ABD △和ECD 中，BD CD ADB EDC AD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()ABD ECD SAS ≅，△AB EC =．△在ACE 中，AC EC AE +>，△2AC AB AD +>．（2）如图，延长ED 至点G ，使DG ED =，连接CG ，EG ．△AD 为中线，△BD CD =．△在BDE 和CDG 中，BD CD BDE CDG ED GD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， △()BDE CDG SAS ≅，△BE CG =．△DE DF ⊥，△90EDF GDF ∠=∠=︒， △在EDF 和GDF 中，90ED GD EDF GDF DF DF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，△()EDF GDF SAS ≅，△EF GF =．△在CFG △中，CG CF FG +>，△BE CF EF +>．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系．作出常用的辅助线是解答本题的关键．18．（1）5或8；（2）见解析；（3）AEF 是“匀称三角形”，见解析【解析】【分析】（1）设第三边长为x ，利用“匀称三角形”的定义，列出方程，但是由于3a b c b ++=等式中，4，6，x 均有可能为等式右边的“b ”，所以需要分三类讨论，最终确定下来的三边长必须满足“三角形两边之和大于第三边”，故最终答案为5或8；（2）要证明EF 为O 切线，连接OD ，由于OD 是O 半径，只需要证明OD EF ⊥，又由于DF AC ⊥，所以只需要证明//OD AC ，又由于O 为AB 中点，只需要证明D 为BC 的中点，因为AB 是O 直径，所以AD BD ⊥，又因为AB AC =，所以D 为BC 的中点，即可证明；（3）因为D 为BC 的中点，仿照“中线倍长”模型，过B 作BM EF ⊥于M ，如图2，或者在DE 上截取DM DF =，构造BMD CFD ≅，所以BM CF =，将53BE CF =转化成53BE BM =，因为//BM AC ，所以BEM AEF ∽，可以得到53AE BE AF BM ==，设5AE x =，则3AF x =，利用勾股定理求出4EF x =，满足定义，即可证明． 【详解】解：（1）解：设第三边长为x ，△当4663x ++=时，解得8x =， △当463x x ++=是，解得5x =， △当4643x ++=时，解得2x =， 246+=，∴当三边长为2，4，6时，不能构成三角形，所以△舍去，故答案为：5或8；（2）证明：如图1，连接OD ，AD ，AB是O直径，AD BC∴⊥，AB AC=，D∴为BC的中点，即BD CD=，O为AB中点，//OD AC∴，12OD AC=，DF AC⊥，90AFD∴∠=︒，//OD AC，90ODE AFD∴∠=∠=︒，OD EF⊥∴，OD是O半径，EF∴是O的切线；（3）解：AEF∆是“匀称三角形”，理由如下：如图2，过B作BM EF⊥于M，90BMD CFD ∴∠=∠=︒，在BMD 和CFD △中，BMD CFD BDM CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BMD CFD AAS ∴≅，BM CF ∴=，53BE CF =， ∴53BE BM =， 90BMD CFD ∠=∠=︒，EBM EAF ∴∽，∴53BE AE BM AF ==， 设5AE x =，则3AF x =，∴224EF AE AF x =-=，54343x x x x ++=， ∴3AE EF AF EF ++=， AEF ∴是“匀称三角形”．【点睛】本题是一道圆的综合题，由新定义的结论，要注意分类讨论和根据三角形三边关系对答案进行取舍，在几何证明中，要注意利用相似转化线段比的思想，比如本题中“53BE BE AE FC BM AF ===”的转化． 19．（1）14AD <<；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据已知证明BDE ADC △≌△，进而求得AC BE =，根据三角形三边关系即可求得AD 的取值范围；（2）过点B 作//BM FC 交FE 的延长线于M ，证明ABE ACF ≌，得CF BE =，再证明BM CE =，进而证明BMG CFG △≌△，即可证明BG CG =【详解】（1）//BE ACE EAC∴∠=∠,BDE ADC BD CD∠=∠=∴BDE ADC△≌△3AC BE∴==AB BE AE AB BE-<<+，即228AD<<14AD∴<<（2）如图，过点B作//BM FC交FE的延长线于M，23∴∠=∠AF AE=,AF AE⊥,445AEF∴∠=∠=︒,1180180904545AEB AEF∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒,,,90AB AC AE AF BAC EAF==∠=∠=︒BAC EAC EAF EAC∴∠-∠=∠-∠即BAE CAF∠=∠∴ABE ACF≌CF BE∴=，90AEB AFC∠=∠=︒390445∴∠=︒-∠=︒3445,AEF AE BD∠=∠=∠=︒⊥23145∴∠=∠=∠=︒BE BM∴=BM CF∴=又BGM CGF∠=∠,BMG CFG ∴△≌△BG CG ∴=【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．20．（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【解析】【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可求的；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ； （3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，。

专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题16 全等三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮

专题16 全等三角形的核心知识点精讲1.熟悉全等三角形常考5种模型2.掌握全等三角形性质，并运用全等三角形性质解答。

考点1：全等三角形的概念及性质考点2：全等三角形的判定模型一：平移型模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.模型示例概念两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．性质1.两全等三角形的对应边相等，对应角相等．2.全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．3.全等三角形的周长、面积相等．模型二：轴对称模型模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.模型三：旋转型模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.模型四：一线三垂直型模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角【题型1：平移型】【典例1】（2023•广州）如图，B是AD的中点，BC∥DE，BC＝DE．求证：∠C＝∠E．1．（2022•淮安）已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求证：∠B＝∠E．2．（2022•柳州）如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝D F，②∠ABC＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【题型2：对称型】【典例2】（2023•福建）如图，OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB．求证：AB＝CD．1．（2023•长沙）如图，AB＝AC，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E．（1）求证：△ABE≌△ACD；（2）若AE＝6，CD＝8，求BD的长．2．（2022•西藏）如图，已知AD平分∠BAC，AB＝AC．求证：△ABD≌△ACD．【题型3：旋转型】【典例3】（2023•大连）如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．1．（2023•乐山）如图，已知AB与CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，求证：AC＝BD．2．（2023•泸州）如图，点B在线段AC上，BD∥CE，AB＝EC，DB＝BC．求证：AD＝EB．3．（2023•西藏）如图，已知AB＝DE，AC＝DC，CE＝CB．求证：∠1＝∠2．【题型4：一线三等角】【典例4】（2023•陕西）如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC 的延长线于点E．求证：CE＝AB．1．（2021•南充）如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥A D于点F．求证：AF＝BE．一．选择题（共8小题）1．下列各组图案中，不是全等形的是（）A．B．C．D．2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（）A．50°B．58°C．60°D．72°3．如图，△ABC≌△DEC，点E在AB边上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（）A．30°B．40°C．45°D．50°4．如图，△ABD≌△ACE，若AB＝6，AE＝4，则CD的长度为（）A．10B．6C．4D．25．如图，点B、F、C、E在一条直线上，∠A＝∠D＝90°，AB＝DE，添加下列选项中的条件，能用HL 判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．∠B＝∠E C．∠ACB＝∠DFE D．BC＝EF6．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．BE＝CD C．BD＝CE D．AD＝AE7．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（）A．AAS B．HL C．SAS D．ASA8．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC ＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°二．填空题（共4小题）9．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么∠1的度数为．10．已知：如图，△ABC和△BAD中，∠C＝∠D＝90°，再添加一个条件就可以判断△ABC ≌△BAD．11．请仔细观察用直尺和圆规作一个角∠A'O'B'等于已知角∠AOB的示意图．请你根据所学的三角形全等的有关知识，说明画出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是．12．如图，若AC平分∠BCD，∠B+∠D＝180°，AE⊥BC于点E，BC＝13cm，CD＝7cm，则BE＝．三．解答题（共4小题）13．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠D＝45°，求∠EGC的大小．14．如图，∠ACB＝90°，∠BAC＝45°，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是D，E，BE＝0.8，DE＝1.7，求AD的长．15．如图，点A，B，C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接AE和CD，AE分别交CD，BD于点M，P，CD交BE于点Q．（1）求证：△ABE≌△DBC；（2）求∠DMA的度数．16．如图，AC＝DC，E为AB上一点，EC＝BC，并且∠1＝∠2．（1）求证：△ABC≌△DEC；（2）若∠B＝75°，求∠3的度数．一．选择题（共7小题）1．如图，任意画一个∠A＝60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接AP，有以下结论：①∠BPC＝120°；②AP平分∠BAC；③AP＝PC；④BD+CE＝BC；⑤S△PBA：S△PCA＝AB：AC，其中正确的个数是（）个．A．5B．4C．3D．22．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，BE、CD为△ABC的角平分线．BE与CD相交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝CE；③BC＝BD+CE；④若BE⊥AC，△BDF≌△CE F．其中正确的是（）A．①③B．②③④C．①③④D．①②③④3．如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，BD，CE交于点F，连接A F，下列结论：①BD＝CE②∠AEF＝∠ADF③BD⊥CE④AF平分∠CAD⑤∠AFE＝45°其中结论正确的序号是（）A．①②③④B．①②④⑤C．①③④⑤D．①②③⑤4．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E＝∠F＝90°，BE＝CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC＝∠F AB．有下列结论：①∠B＝∠C；②ED＝FD；③AC＝BE；④△ACN≌△ABM．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+2S2+2S3+S4＝（）A．6B．8C．10D．126．如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，B，C，D三点在一条直线上，AD与BE相交于点P，AC、B E相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列四个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④CP平分∠MCN．其中，一定正确的结论的个数是（）A．1B．2C．3D．47．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D，DE⊥AB 交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，现有下列结论：①DE＝DF；②DE+DF＝AD；③MD平分∠E DF；④若AE＝3，则AB+AC＝6．其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）8．如图，以△ABC的每一条边为边，在边AB的同侧作三个正三角形△ABD、△BCE和△ACF．已知这三个正三角形构成的图形中，甲、乙阴影部分的面积和等于丙、丁阴影部分的面积和．则∠FCE＝°．9．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3），点B的坐标是．10．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，则下列结论中，正确的是（填序号）．①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD．11．如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②△OPC是等边三角形；③A C＝AO+AP；④S△ABC＝S四边形AOCP，其中正确的是．（填序号）12．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D是AB的中点，E、F在射线AC 与射线CB上运动，且满足AE＝CF，则在运动过程中△DEF面积的最小值为．三．解答题（共4小题）13．如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，求证：AD＝BE；（2）如图2，若∠ACB＝∠DCE＝90°，CF为△DCE中DE边上的高，试猜想AE，CF，BE之间的关系，并证明你的结论．14．如图所示，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ．（1）求证：AP＝AQ；（2）试判断△APQ是什么形状的三角形？并说明你的理由．15．（1）【模型启迪】如图1，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD并延长至点H，使DH＝AD，连接BH，则AC与BH的数量关系为，位置关系为．（2）【模型探索】如图2，在△ABC中，D为BC边的中点，连接AD，E为AC边上一点，连接BE交A D于点F，且BF＝AC．求证：AE＝EF．16．如图1，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM．（1）求证：BE＝AD；（2）用含α的式子表示∠AMB的度数（直接写出结果）；（3）当α＝90°时，取AD，BE的中点分别为点P、Q，连接CP，CQ，PQ，如图2，判断△CPQ的形状，并加以证明．1．（2023•甘孜州）如图，AB与CD相交于点O，AC∥BD，只添加一个条件，能判定△AOC≌△BOD的是（）A．∠A＝∠D B．AO＝BO C．AC＝BO D．AB＝CD2．（2023•北京）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC同侧，AB ＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③3．（2022•黑龙江）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，请你添加一个条件，使△AOB≌△COD．4．（2023•成都）如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若BC＝8，CE＝5，则CF的长为．5．（2023•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC上一点，连接AD．过点B 作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F．若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为3．6．（2023•南通）如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC＝4，BD＝6，则AD+BC的最小值是．7．（2023•淮安）已知：如图，点D为线段BC上一点，BD＝AC，∠E＝∠ABC，DE∥AC．求证：DE＝B C．8．（2023•吉林）如图，点C在线段BD上，△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E．求证：AC＝DC．9．（2022•兰州）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠B AD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．10．（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．。

中考数学提高题专题复习全全等三角形截长补短练习题含答案

中考数学提高题专题复习全全等三角形截长补短练习题含答案

中考数学提高题专题复习全全等三角形截长补短练习题含答案一、全等三角形截长补短1．阅读下面材料，完成(1)-(3)题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，已知等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，以AB 为边向AB 左侧作等边△ABE ，直线CE 与直线AD 交于点F ．请探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明． 同学们经过思考后，交流了自己的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠DFC 的度数可以求出来．”小强：“通过观察和度量，发现线段DF 和CF 之间存在某种数量关系．”小伟：“通过做辅助线构造全等三角形，就可以将问题解决．”......老师：“若以AB 为边向AB 右侧作等边△ABE ，其它条件均不改变，请在图2中补全图形,探究线段EF 、AF 、DF 三者的数量关系，并证明你的结论．”（1）求∠DFC 的度数；（2）在图1中探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明；（3）在图2中补全图形，探究线段EF 、AF 、DF 之间的数量关系，并证明．2．阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．例如，在ABC 中，AB AC >（如图），怎样证明C B ∠>∠呢？分析：把AC 沿A ∠的角平分线AD 翻折，因为AB AC >，所以，点C 落在AB 上的点C '处，即AC AC '=，据以上操作，易证明ACD AC D '△△≌，所以AC D C '∠=∠，又因为AC D B '∠>∠，所以C B ∠>∠．感悟与应用：（1）如图（a ），在ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，CD 平分ACB ∠，试判断AC 和AD 、BC 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b ），在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，16AC =，8AD =，12DC BC ==，①求证：180B D ∠+∠=︒；②求AB 的长．3．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝60°，请探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是什么？小明探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG ＝BE ，连结AG ．先证明△ABE ≌△ADG ，得AE ＝AG ；再由条件可得∠EAF ＝∠GAF ，证明△AEF ≌△AGF ，进而可得线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是 ．（2）拓展应用：如图2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12∠BAD ．问（1）中的线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．4．如图，△ABC 为等边三角形，直线l 经过点C ，在l 上位于C 点右侧的点D 满足∠BDC ＝60°．（1）如图1，在l 上位于C 点左侧取一点E ，使∠AEC ＝ 60°，求证：△AEC ≌△CDB ； （2）如图2，点F 、G 在直线l 上，连AF ，在l 上方作∠AFH ＝120°，且AF ＝HF ，∠HGF ＝120°，求证：HG ＋BD ＝CF ；（3）在（2）的条件下，当A 、B 位于直线l 两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG 、CF 、BD 的数量关系为 ．5．如图，ABC 中，点D 在AC 边上，且1902BDC ABD ∠=+∠．（1）求证：DB AB =；（2）点E 在BC 边上，连接AE 交BD 于点F ，且AFD ABC ∠=∠，BE CD =，求ACB ∠的度数．（3）在（2）的条件下，若16BC =，ABF 的周长等于30，求AF 的长．6．在四边形ABDE 中，C 是BD 边的中点．（1）如图（1），若AC 平分BAE ∠，90ACE ∠=︒，则线段AE 、AB 、DE 的长度满足的数量关系为______；（直接写出答案）（2）如图（2），AC 平分BAE ∠，EC 平分AED ∠，若120ACE ∠=︒，则线段AB 、BD 、DE 、AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明．7．如图，//AD BC ，点E 在线段AB 上，DE 、CE 分别是ADC ∠、BCD ∠的角平分线，若3AD =，2BC =，求CD 的长．8．如图1，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC、CP，过点C作CF⊥CP 交于C，交AB于点F，过点B作BM⊥CF于点N，交AC于点M．（1）若AP=78AC，BC=4，求S△ACP；（2）若CP﹣BM=2FN，求证：BC=MC；（3）如图2，在其他条件不变的情况下，将“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且AB≠BC，AC=AP，取CP中点E，连接EB，交AC于点O，猜想：∠AOB与∠ABM之间有何数量关系？请说明理由．9．思维探索：在正方形ABCD中，AB＝4，∠EAF的两边分别交射线CB，DC于点E，F，∠EAF＝45°．（1）如图1，当点E，F分别在线段BC，CD上时，△CEF的周长是；（2）如图2，当点E，F分别在CB，DC的延长线上，CF＝2时，求△CEF的周长；拓展提升：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，过点B作BD⊥BC，连接AD，在BC的延长线上取一点E，使∠EDA＝30°，连接AE，当BD＝2，∠EAD＝45°时，请直接写出线段CE的长度．10．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，BD平分∠ABC，求证：BC＝AC+CD．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）60°；（2）EF=AF+FC，证明见解析；（3）AF=EF+2DF，证明见解析．【分析】（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，根据三角形内角和可得2α＋60＋2β＝180°，从而有α＋β＝60°，即可得出∠DFC的度数；（2）在EC上截取EG＝CF，连接AG，证明△AEG≌△ACF，然后再证明△AFG为等边三角形，从而可得出EF＝EG＋GF＝AF＋FC；（3）在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，证明方法类似（2），先证明△ABG≌△EBF，再证明△BFG为等边三角形，最后可得出结论．【详解】解：（1）∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴可设∠BAD＝∠CAD＝α，又△ABE为等边三角形，∴AE=AB=AC，∠EAB=60°，∴可设∠AEC＝∠ACE＝β，在△ACE中，2α＋60°＋2β＝180°，∴α＋β＝60°，∴∠DFC=α＋β＝60°；（2）EF=AF+FC，证明如下：∵AB=AC，AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠FDC=90°，∵∠CFD＝60°，则∠DCF=30°，∴CF＝2DF，在EC上截取EG＝CF，连接AG，又AE=AC，∴∠AEG=∠ACF，∴△AEG≌△ACF（SAS）,∴∠EAG＝∠CAF，AG＝AF，又∠CAF=∠BAD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠GAF＝∠BAD+∠BAG=∠EAG+∠BAG=∠60°，∴△AFG为等边三角形，∴EF＝EG＋GF＝AF＋FC，即EF=AF+FC；（3）补全图形如图所示，结论：AF=EF+2DF．证明如下：同（1）可设∠BAD＝∠CAD＝α，∠ACE＝∠AEC＝β，∴∠CAE＝180°－2β，∴∠BAE＝2α＋180°－2β＝60°，∴β－α＝60°，∴∠AFC=β－α＝60°，又△ABE为等边三角形，∴∠ABE=∠AFC=60°，∴由8字图可得：∠BAD＝∠BEF，在AF上截取AG＝EF，连接BG，BF，又AB=BE，∴△ABG≌△EBF（SAS），∴BG＝BF，又AF垂直平分BC，∴BF=CF，∴∠BFA=∠AFC=60°，∴△BFG为等边三角形，∴BG=BF，又BC⊥FG，∴FG=BF=2DF，∴AF＝AG＋GF＝BF＋EF＝2DF＋EF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，解决问题的关键是常用辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．2．（1）BC−AC＝AD；理由详见解析；（2）①详见解析；②AB=14【分析】（1）在CB上截取CE＝CA，连接DE，证△ACD≌△ECD得DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，据此∠CED＝2∠CBA，结合∠CED＝∠CBA＋∠BDE得出∠CBA＝∠BDE，即可得DE＝BE，进而得出答案；（2）①在AB上截取AM＝AD，连接CM，先证△ADC≌△AMC，得到∠D＝∠AMC，CD＝CM，结合CD＝BC知CM＝CB，据此得∠B＝∠CMB，根据∠CMB＋∠CMA＝180°可得；②设BN＝a，过点C作CN⊥AB于点N，由CB＝CM知BN＝MN＝a，CN2＝BC2−BN2＝AC2−AN2，可得关于a的方程，解之可得答案．【详解】解：（1）BC−AC＝AD．理由如下：如图（a），在CB上截取CE＝CA，连接DE，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，又CD＝CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴DE＝DA，∠A＝∠CED＝60°，∴∠CED＝2∠CBA，∵∠CED＝∠CBA＋∠BDE，∴∠CBA＝∠BDE，∴DE＝BE，∴AD＝BE，∵BE＝BC−CE＝BC−AC，∴BC−AC＝AD．（2）①如图（b），在AB上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠MAC，∵AC＝AC，∴△ADC≌△AMC（SAS），∴∠D＝∠AMC，CD＝CM＝12，∵CD＝BC＝12，∴CM＝CB，∴∠B＝∠CMB，∵∠CMB＋∠CMA＝180°，∴∠B＋∠D＝180°；②设BN ＝a ，过点C 作CN ⊥AB 于点N ，∵CB ＝CM ＝12，∴BN ＝MN ＝a ，在Rt △BCN 中，2222212CN BC BN a --＝＝，在Rt △ACN 中，2222216(8)CN AC AN a --+＝＝， 则22221216(8)a a --+＝，解得：a ＝3，即BN ＝MN ＝3，则AB ＝8+3+3=14，∴AB=14．【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果． 3．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；证明见解析．【分析】（1）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题；（2）延长FD 到点G ．使DG=BE ．连结AG ，即可证明△ABE ≌△ADG ，可得AE=AG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得EF=FG ，即可解题．【详解】（1）EF ＝BE +DF ，理由如下：在△ABE 和△ADG 中，90DG BE B ADG AB AD ︒=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为：EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°，∴∠B ＝∠ADG ，在△ABE 和△ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在△AEF 和△GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF＝BE+DF．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．5．（1）见解析；（2）ACB∠＝60°；（3）AF＝11【分析】∠=∠，证（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出A BDA =；得DB AB∠=∠，再由三角形全等判定（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得EAC C∠＝60°；得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出ACB（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋12∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴∠A＝90°－12∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－12∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－12∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB ＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH ∥AE ，∴∠CAE ＝∠CDH ＝60°，∠AEC ＝∠DHC ＝60°．∴△ACE 是等边三角形．设AC ＝CE ＝AE ＝x ，则BE ＝16－x ，∵DH ∥AE ，∴△BFE ∽△BDH ． ∴16BF BE EF x BD BH DH x-===． ∴1616x x BF BD AB x x--==， ()21616x x EF DH x x--==． ∵△ABF 的周长等于30，即AB ＋BF ＋AF ＝AB ＋16x AB x -＋x －()216x x-=30， 解得AB ＝16－8x ． 在Rt △ACO 中，AC ＝2x ，AO ＝32x ， ∴BO ＝16－2x ． 在Rt △ABO 中，AO 2＋BO 2＝AB 2， 即2221616428x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解得10x =（舍去）225621x =． ∴AC ＝25621． ∴AF ＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，．6．（1）AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ，证明见解析． 【分析】（1）在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ，由三角形全等的判定可证得△ACB ≌△ACF ，根据全等三角形的性质可得BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ，根据三角形全等的判定证得△CEF ≌△CED ，得到EF ＝ED ，再由线段的和差可以得出结论；（2）在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ，根据全等三角形的判定证得△ACB ≌△ACF 和△ECD ≌△ECG ，由全等三角形的性质证得CF ＝CG ，进而证得△CFG 是等边三角形，就有FG ＝CG ＝12BD ，从而可证得结论． 【详解】解：（1）如图（1），在AE 上取一点F ，使AF ＝AB ．∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴BC ＝FC ，∠ACB ＝∠ACF ．∵C 是BD 边的中点，∴BC ＝CD ．∴CF ＝CD ．∵∠ACE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝90°，∠ACF ＋∠ECF ＝90°．∴∠ECF ＝∠ECD ．在△CEF 和△CED 中，CF CD ECF ECD CE CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CEF ≌△CED （SAS ）．∴EF ＝ED ．∵AE ＝AF ＋EF ，∴AE ＝AB ＋DE ．故答案为：AE ＝AB ＋DE ；（2）AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 证明：如图（2），在AE 上取点F ，使AF ＝AB ，连结CF ，在AE 上取点G ，使EG ＝ED ，连结CG ．∵C 是BD 边的中点，∴CB ＝CD ＝12BD ． ∵AC 平分∠BAE ，∴∠BAC ＝∠FAC ．在△ACB 和△ACF 中，AB AF BAC FAC AC AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ACB ≌△ACF （SAS ）．∴CF ＝CB ，∠BCA ＝∠FCA ．同理可证：△ECD ≌△ECG∴CD ＝CG ，∠DCE ＝∠GCE ．∵CB ＝CD ，∴CG ＝CF ．∵∠ACE ＝120°，∴∠BCA ＋∠DCE ＝180°−120°＝60°．∴∠FCA ＋∠GCE ＝60°．∴∠FCG ＝60°．∴△FGC 是等边三角形．∴FG ＝FC ＝12BD ． ∵AE ＝AF ＋EG ＋FG ， ∴AE ＝AB ＋DE ＋12BD ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，能熟练应用三角形全等的判定和性质是解决问题的关键．7．5【分析】如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，先证明ADE FDE △≌△，得到AE EF =，5A ∠=∠，然后证明CEF CEB △≌△，得到CF BC =，即可求出答案．【详解】解：如图，在DC 上截取DF DA =，连接EF ，DE 是ADC ∠的角平分线，12∠∠∴=，在△ADE 和△FDE 中，,12,,AD DF DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FDE SAS ∴△≌△，AE EF ∴=，5A ∠=∠，//AD BC ，180A B ∴∠+∠=︒，56180∠+∠=︒，6B ∴∠=∠，CE 是BCD ∠的角平分线，34∴∠=∠，在CEF △和CEB △中，6,34,,B CE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CEF CEB AAS ∴△≌△，CF BC ∴=，325CD DF CF AD BC ∴=+=+=+=．【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明ADE FDE △≌△是解题关键．8．（1）；（2）证明见解析；（3）∠AOB=3∠ABM ，理由见解析．【分析】（1）由正方形的性质得出AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，由勾股定理求出AC ，得出AP ，即可求出S △ACP ；（2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，则CF ﹣CG=2FN ，证出∠BCF=∠DCP ，由ASA 证明△BCF ≌△DCP ，得出CF=CP ，证出CG=BM ，由SAS 证明△ABM ≌△BCG ，得出∠AMB=∠BGC ，因此∠BMC=∠BGF ，由线段垂直平分线的性质得出BF=BG ，得出∠BFG=∠BGF ，因此∠BMC=∠CBM ，即可得出结论；（3）连接AE ，先证出∠BCA=2∠PAE ，再证明A 、D 、E 、C 四点共圆，由圆周角定理得出∠DCP=∠PAE ，得出∠BCF=∠PAE ，证出∠BCA=2∠ABM ，然后由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】解：（1）∵四边形ABC 是正方形，∴AD ∥BC ，AB=BC=CD=4，∠ADC=∠CDP=∠ABC=∠BCD=90°，∴， ∴AP=78AC=78=2， ∴S △ACP =12AP×CD=12×2； （2）在CF 上截取NG=FN ，连接BG ，如图1所示：则CF ﹣CG=2FN ，∵CF ⊥CP ，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP ，在△BCF 和△DCP 中，ABC CDP BC DC BCF DCP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCF ≌△DCP （ASA ），∴CF=CP，∵CP﹣BM=2FN，∴CG=BM，∵∠ABC=90°，BM⊥CF，∴∠ABM=∠BCG，∠BFG=∠CBM，在△ABM和△BCG中，AB BCABI CBG BM CG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△BCG（SAS），∴∠AMB=∠BGC，∴∠BMC=∠BGF，∵GN=FN，BM⊥CF，∴BF=BG，∴∠BFG=∠BGF，∴∠BMC=∠CBM，∴BC=MC；（3）∠AOB=3∠ABM；理由如下：连接AE，如图2所示：∵AC=AP，E是CP的中点，∴AE⊥CP，∠PAE=∠CAE，∵AD∥BC，∴∠BCA=∠PAC=2∠PAE，∵CF⊥CP，∴∠PCF=90°，∴∠BCF=∠DCP，∵∠ADC=∠AEC=90°，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠DCP=∠PAE，∴∠BCF=∠PAE，又∵∠ABM=∠BCF，∴∠ABM=∠BCF=∠PAE，∴∠BCA=2∠ABM，∵∠AOB=∠BCF+∠BCA，∴∠AOB=3∠ABM．【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、四点共圆、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结论．9．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE31．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝3CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝3x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，∴DG＝x，∴DG﹣FG＝DF，即x﹣x＝4，∴x1，1．∴CE【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键． 10．见解析【分析】在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．则只需证明CD ＝CE 即可．结合角度证明∠CDE ＝∠CED ．【详解】证明：在线段BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ．∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠EBD 12=∠ABC ． 在△ABD 和△EBD 中，BE BA ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△EBD ．（SAS ）∴∠BED ＝∠A ＝108°，∠ADB ＝∠EDB ．又∵AB ＝AC ，∠A ＝108°，∠ACB ＝∠ABC 12=⨯（180°﹣108°）＝36°， ∴∠ABD ＝∠EBD ＝18°．∴∠ADB ＝∠EDB ＝180°﹣18°﹣108°＝54°．∴∠CDE ＝180°﹣∠ADB ﹣∠EDB＝180°﹣54°﹣54°＝72°．∴∠DEC＝180°﹣∠DEB＝180°﹣108°＝72°．∴∠CDE＝∠DEC．∴CD＝CE．∴BC＝BE＋EC＝AB＋CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，添加恰当辅助线是本题的关键．。

中考数学专题复习全等三角形之垂直模型

中考数学专题复习全等三角形之垂直模型

中考数学专题复习全等三角形（垂直模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，CD ∠AB 于点D ，AE ∠BC 于点E ，AE 与CD 交于点F ，连接BF ，DE ，下列结论中：∠AF ＝BC ；∠∠DEB ＝45°，∠AE ＝CE +2BD ，∠若∠CAE ＝30°，则1AF BFAC+=，正确的有（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠2．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴的负半轴和正半轴上，以AB 为边向上作正方形ABCD ，四边形OEFG 是其内接正方形，若直线OF 的表达式是y ＝2x ，则ABCDOEFGS S 正方形正方形的值为（ ）A ．43B ．85C ．169D ．943．如下图所示，在∠ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，BE∠CE 于点E ，AD∠CE 于点D ．DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是（ ）A ．6cmB ．1.5cmC ．3cmD ．4.5cm评卷人得分二、填空题 4．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，以AC ，BC 和AB 为边向上作正方形ACED 和正方形BCMI 和正方形ABGF ，点G 落在MI 上，若AC +BC ＝7，空白部分面积为16，则图中阴影部分的面积是 _____．5．已知：如图，AE ∠AB ，且AE ＝AB ，BC ∠CD 且BC ＝CD ，根据图中所标注的数据，可求得阴影部分的面积为_______．6．如图，ABC 中，,90,(0,3), (1,0)AC BC ACB A C =∠=︒，则点B 的坐标为________．评卷人 得分三、解答题 7．如图1，在平面直角坐标中，点()0,A m ，(),0B m ，()0,m C -，其中0m >，点P 为线段OA 上任意一点，连接BP ，CE BP ⊥于E ，AD BP ⊥于D ．（1）求证：AD BE =；（2）当3m =时，若点()3,0N -，请你在图1中连接CD ，EN 交于点Q ．求证：EN CD ⊥；（3）若将“点P 为线段OA 上任意一点”，改为“点P 为线段OA 延长线上任意一点”，其他条件不变，连接CD ，EN CD ⊥，垂足为F ，交y 轴于点H ，交x 轴于点N ，请在图2中补全图形，求点N 的坐标（用含m 的代数式表示）．8．如图，在ABC 中，AD BC ⊥，BE AC ⊥交AD 于点F ，且BD AD =．（1）求证：BDF ADC ≅．（2）若F 为AD 的中点，且1DC =．求AC 的长．9．如图1，正方形ABCD中，点E是边BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF∠DE，垂足为点F，BF与CD相交于点G．（1）求证：∠BCG∠∠DCE；（2）如图2，连接BD，若BE＝42，DG＝22，求tan∠DBG的值．10．如图1，在ABC中，90ACB∠=︒，AC BC=，直线MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．11．如图所示，ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，点D 为AB 上一点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E ，连接AE ，过点A 作AE 的垂线交CE 于点F ．（1）如图1，求AEC ∠的度数；（2）如图2，连接BF ，且15ABF EAB ∠-∠=︒，求证：2BF CF =；（3）如图3，在（2）的条件下，G 为DF 上一点，连接AG ，若AGD EBF ∠=∠，2AG =，求CF 的长．12．已知：Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ．（1）如图1，点D 是BC 边上一点（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点B 作BE ∠AD ，交AD 的延长线于点E ，连接CE ．∠若∠BAD ＝α，求∠DBE 的大小（用含α的式子表示）； ∠用等式表示线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系，并证明．（2）如图2，点D 在线段BC 的延长线上时，连接AD ，过点B 作BE ∠AD ，垂足E 在线段AD 上，连接CE ． ∠依题意补全图2；∠直接写出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．13．已知：ABC 中，90ACB ∠=︒，AC CB =，D 为直线BC 上一动点，连接AD ，在直线AC 右侧作AE AD ⊥，且AE AD =．（1）如图1，当点D 在线段BC 上时，过点E 作EH AC ⊥于H ，连接DE ．求证：EH AC =；（2）如图2，当点D 在线段BC 的延长线上时，连接BE 交CA 的延长线于点M ．求证：BM EM =；（3）当点D 在直线CB 上时，连接BE 交直线AC 于M ，若25AC CM =，请求出ADB AEMS S △△的值．14．如图1所示，已知ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，直线m 经过点C ，过A 、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E 、F ．（1）如图1，当直线m 在A 、B 两点同侧时，求证：EF AE BF =+；（2）若直线m 绕点C 旋转到图2所示的位置时（BF AE <），其余条件不变，猜想AE，BF的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明．15．如图，己知ABC中，AB AC=，90BAC∠=︒，分别过B、C向过A的直线作垂线，垂足分别为E、F．（1）如图1，过A的直线与斜边BC不相交时，直接写出线段EF、BE、CF的数量关系是______；（2）如图2，过A的直线与斜边BC相交时，探究线段EF、BE、CF的数量关系并加以证明；（3）在（2）的条件下，如图3，直线FA交BC于点H，延长BE交AC于点G，连接BF、FG、HG，若AHB GHC∠=∠，6EF CF==，2EH FH=，四边形ABFG的面积是90，求GHC的面积．16．在ABC中，AB BC=，90B∠=︒，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结E C．（1）如果点D在线段BC上运动，如图1：求证：BAD EDC∠=∠（2）如果点D在线段BC上运动，请写出AC与CE的位置关系．通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF BC⊥交直线BC于F，如图2所示，通过证明DEF ABD≌△△，可推证CEF△等腰直角三角形，从而得出AC与CE的位置关系，请你写出证明过程．（3）如果点D在线段CB的延长线上运动，利用图3画图分析，（2）中的结论是否仍然成若成立，请证明；若不成立，请说明理由．17．直线y kx k=+与x轴交于A，与y轴交于C点，直线BC的解析式为1y x kk=-+，与x轴交于B．（1）如图1，求点A的横坐标；（2）如图2，D为BC延长线上一点，过D作x轴垂线于点E，连接CE，若CD CA=，设ACE的面积为S，求S与k的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，连接OD交AC于点F，将CDF沿CF翻折得到△FCG，直线FG交CE于点K，若345ACE CDO∠-∠=︒，求点K的坐标．18．抛物线213:222L y x x=--与x轴交于､A B，与y交于C．（1）求,,A B C三点坐标，并直接写出ABC的面积；（2）将抛物线L绕平面内一点旋转180︒，得到L'，点B的对应点为E，点C对应点为F，是否存在抛物线L'，使得以,,,B C E F为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为ABC面积的4倍?若存在，求出L'的表达式，若不存在请说明理由．19．如图，AB＝BC，AB∠BC，AE∠BD于F，BC∠CD，求证：EC＝AB－CD．20．如图，点C在线段BD上，且AB∠BD，DE∠BD，AC∠CE，BC=DE，求证：AB=CD．参考答案：1．B【解析】【分析】∠∠只要证明∠ADF∠∠CDB即可解决问题．∠如图1中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N，易证∠DMF∠∠DNB，四边形DMEN是正方形，想办法证明AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，即可．∠如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．想办法证明∠BFH是等边三角形，AC＝AH即可解决问题．【详解】解：∠AE∠BC，∠∠AEC＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∠∠AFD＝∠CFE，∠∠DAF＝∠DCB，∠AD＝DC，∠∠ADF∠∠CDB，∠AF＝BC，DF＝DB，故∠正确，∠∠DFB＝∠DBF＝45°，取BF的中点O，连接OD、OE．∠∠BDF＝∠BEF＝90°，∠OE＝OF＝OB＝OD，∠E、F、D、B四点共圆，∠∠DEB＝∠DFB＝45°，故∠正确，如图1中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N，∠∠ADF∠∠CDB，∠AFD CBD=，∠=∠，DF DB∠90∠=∠=︒，FMD BND∠∠DMF∠∠DNB，∠DM DN=，∠90∠=∠=∠=︒，DME MEN END∠四边形DMEN是矩形，∠DM DN=，∠四边形DMEN是正方形，∠MF＝BN，EM＝EN，∠EF＋EB＝EM−FM＋EN＋NB＝2EM＝2DN，∠AE−CE＝BC＋EF−EC＝EF＋BE＝2DN＜2BD，∠AE−CE＜2BD，即AE＜EC＋2BD，故∠错误，如图2中，作DM∠AE于M，DN∠BC于N．∠∠DMF∠∠DNB，四边形DMEN是正方形，∠FM＝BN，EM＝EN＝DN，∠EF＋EB＝EM−MF＋EN＋BN＝2EN＝2DN≤2BD，∠AE−EC＝ADF＋EF−EC＝BC_EF−EC＝EF＋BE≤2BD，∠AE≤EC＋2BD，故∠错误，如图2中，延长FE到H，使得FH＝FB．连接HC、BH．∠∠CAE＝30°，∠CAD＝45°，∠ADF＝90°，∠∠DAF＝15°，∠AFD＝75°，∠∠DFB＝45°，∠∠AFB＝120°，∠∠BFH＝60°，∠FH＝BF，∠∠BFH 是等边三角形，∠BF ＝BH ，∠BC ∠FH ，∠FE ＝EH ，∠CF ＝CH ，∠∠CFH ＝∠CHF ＝∠AFD ＝75°，∠∠ACH ＝75°，∠∠ACH ＝∠AHC ＝75°，∠AC ＝AH ，∠AF ＋FB ＝AF ＋FH ＝AH ，∠AF ＋BF ＝AC ，故∠正确，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．2．B【解析】【分析】根据正方形性质易得GBO FCG ≅，从而可得CG BO =、FC GB =，设OB =a ，BG =b ，可得F 点坐标为(,)a b a b -+，根据F 点在直线OF 上，可求出3a b =，然后即可根据正方形面积和勾股定理求出面积比．【详解】解：在正方形ABCD ，正方形OEFG 中，90OBG OGF GCF ∠=∠=∠=︒，FG OG =， ∠90OGB GOB OGB CGF ∠+∠=∠+∠=︒， ∠ GOB CGF ∠=∠，在GBO 和△FCG 中， OBG GCF GOB FGC OG FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠GBO FCG ≅（AAS ）∠CG BO =、FC GB =，设CG BO a ==、FC GB b ==，∠BC BG CG a b =+=+，HF OB FC a b =-=-，∠点F 坐标为(,)a b a b -+，∠直线OF 的表达式是y ＝2x ，∠2()a b a b -=+，∠3a b =，∠2222()(3)16ABCD BC a b b S b b ==+=+=正方形，OEFG S 正方形=22222222(3)10OG OB BG a b b b b =+=+=+=，∠22168105ABCD OEFG S b S b ==正方形正方形， 故选B ．【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，解题关键是根据正方形性质求证GBO FCG≅（AAS ），从而用参数表示点F 坐标，再直线OF 解析式求出线段之间关系．3．C【解析】【分析】本题可通过全等三角形来求BE 的长．∠BEC 和∠CDA 中，已知了一组直角，∠CBE 和∠ACD 同为∠BCE 的余角，AC=BC ，可据此判定两三角形全等；那么可得出的条件为CE=AD ，BE=CD ，因此只需求出CD 的长即可．而CD 的长可根据CE 即AD 的长和DE 的长得出，由此可得解．【详解】解：∠∠ACB=90°，BE∠CE ，∠∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°；∠∠ACD=∠CBE ，又AC=BC ，∠∠ACD∠∠CBE ；∠EC=AD ，BE=DC ；∠DE=6cm ，AD=9cm ，则BE 的长是3cm ．故选C ．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．4．995【解析】【分析】根据余角的性质得到FAC ABC ∠=∠，根据全等三角形的性质得到FAH ABN S S =，推出ABC FNCH S S ∆=四边形，根据勾股定理得到222AC BC AB +=，解方程组得到665ABC S =，接着由图可知空白部分为重叠部分，阴影部分为非重叠部分，所以2倍的空白部分与阴影部分面积和等于三个正方形与三角形面积和．结合665BC AC =即可得出结论．依此即可求解．【详解】解：如图，四边形ABGF 是正方形，90FAB AFG ACB ∴∠=∠=∠=︒，90FAC BAC FAC ABC ∴∠+∠=∠+∠=︒，FAC ABC ∴∠=∠，()FAH ABN ASA ∴≅，FAH ABN S S ∴=，3=ABC FNCH S S S ∴=四边形，∠316ABGF S S S =-=正方形空白，即216ABC AB S-=，21162AB AC BC ∴-⋅=， 在ABC 中，90ACB ∠=︒，222AC BC AB ∴+=，7AC BC +=，222()249AC BC AC BC AC BC ∴+=++⋅=，2249AB AC BC ∴+⋅=，665BC AC ∴⋅=， 阴影部分的面积和= 三个正方形面积+三角形面积-2倍空白部分面积=2222112()22AB AC BC AC BC AB AC BC +++-- 32AC BC =36625=⨯ 995=． 故答案为：995． 【点睛】 本题考查勾股定理的知识，有一定难度，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．5．50【解析】【分析】由AE ∠AB ，EF ∠FH ，BG ∠AG ，可以得到∠EAF ＝∠ABG ，而AE ＝AB ，∠EF A ＝∠AGB ，由此可以证明∠EF A ∠∠ABG ，所以AF ＝BG ，AG ＝EF ，同理证得∠BGC ∠∠DHC ，GC ＝DH ，CH ＝BG ．故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】解：∠AE ∠AB 且AE ＝AB ，EF ∠FH ，BG ∠FH ，∠∠EAB ＝∠EF A ＝∠BGA ＝90°，∠∠EAF +∠BAG ＝90°，∠ABG +∠BAG ＝90°，∠∠EAF ＝∠ABG ，∠AE ＝AB ，∠EF A ＝∠AGB ，∠EAF ＝∠ABG ，∠∠EF A ∠∠ABG （AAS ），∠AF ＝BG ，AG ＝EF同理证得：∠BGC ∠∠DHC （AAS ），得GC ＝DH ，CH ＝BG故FH ＝F A +AG +GC +CH ＝3+6+4+3＝16，故22AEF DHC EFHD S S SS =--梯形， 即：S 12=(6+4）×16﹣3×4﹣6×3＝50． 故答案为：50．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．6．（4，1）【解析】【分析】 如图，过点B 作BD ∠x 轴于D ，根据点A 、点C 坐标可得OA 、OC 的长，根据同角的余角相等可得∠OAC =∠DCB ，利用AAS 可证明∠OAC ∠∠DC B ，根据全等三角形的性质可得BD =OC ，CD =OA ，即可求出OD 的长，进而可得答案．【详解】如图，过点B 作BD ∠x 轴于D ，∠A （0，3），C （1，0），∠OA =3，OC =1，∠∠ACB =90°，∠∠OCA +∠DCB =90°，∠∠OAC +∠OCA =90°，∠∠OAC =∠DCB ，在∠OAC 和∠DC B 中，AOC CDB OAC DCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠OAC ∠∠DC B ，∠BD =OC =1，CD =OA =3，∠OD =OC +CD =4，∠点B 坐标为（4，1）．故答案为：（4，1）【点睛】本题考查坐标与图形及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．7．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析，(),0m -【解析】【分析】（1）先根据点()0,A m ，(),0B m ，()0,C m -，得到OA OB OC m ===，则由三线合一定理得到，AB BC =，证明90ABC ∠=，推出CBE BAD ∠=∠即可证明ABD BCE ≅，得到AD BE =；（2）先根据点()3,0N -，得到3OA OB OC ON ====，则6AC BN ==，再证明DAC EBN ∠=∠，即可利用SAS 证明DAC EBN ≅△△得到ACD BNE ∠=∠，再由NGF CGO ∠=∠，可以推出90NFG COG ∠=∠=，即CD EN ⊥；（3）同样先证明CBE BAD ∠=∠，推出ABD BCE ≅，得到AD BE =，即可得到CAD NBE ∠=∠，再由90NOH CFH ∠=∠=，OHN FHC ∠=∠，得到ACD BNE ∠=∠，则ACD BNE ≅△△，推出2AC BN m ==．【详解】证明：（1）如图1，∠点()0,A m，(),0B m，()0,C m-，∠OA OB OC m===，∠OB AC⊥，∠AB BC=，∠∠AOB=∠AOC=90°，∠45BAC BCA ABO CBO∠=∠=∠=∠=，∠90ABC∠=，∠AD BP⊥，CE BP⊥，∠90ABC D CEB∠=∠=∠=∠90ABD CBE ABD BAD∠+∠=∠+∠=，∠CBE BAD∠=∠，∠()ABD BCE AAS≅，∠AD BE=；（2）如图2，由（1）得ABD BCE≅，∠AD BE=，∠3m=，点()3,0N-，∠3OA OB OC ON====，∠6AC BN==，∠CBE BAD∠=∠，45BAC CBO∠=∠=，∠BAD BAC CBE CBO∠-∠=∠-∠，∠DAC EBN∠=∠，又∠BE=AD，AC=BN，∠()DAC EBN SAS ≅△△∠ACD BNE ∠=∠， ∠NGF CGO ∠=∠，∠90NFG COG ∠=∠=，∠CD EN ⊥；（3）如图3，由（1）得OA OB OC m ===，AB BC =，45BAC CBO ∠=∠=，90ABC ∠=，∠AD BP ⊥，CE BP ⊥，∠90ABC ADB CEB ∠=∠=∠=，∠90ABD CBE ABD BAD ∠+∠=∠+∠=， ∠CBE BAD ∠=∠，∠()ABD BCE AAS ≅，∠AD BE =，∠BAC BAD CBO CBE ∠+∠=∠+∠，∠CAD NBE ∠=∠，∠EN CD ⊥,x 轴y ⊥轴，∠90NOH CFH ∠=∠=，∠OHN FHC ∠=∠，∠ACD BNE ∠=∠，∠()ACD BNE AAS ≅△△∠2AC BN m ==，∠点N 的坐标为(),0m -．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．8．（1）见解析；（2）5AC =【解析】【分析】（1）根据题意先推出∠CAD =∠FBD ，从而结合题意，利用“ASA ”证明即可； （2）结合（1）的结论以及题意，求出AD 的长度，然后根据勾股定理求出AC 即可得出结论．【详解】（1）证：∠AD BC ⊥，BE AC ⊥，∠∠BDF =∠ADC =∠FEA =90°，∠∠AFB =∠CAD +∠FEA =∠FBD +∠BDF ，∠∠CAD =∠FBD ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD BD ADBDF ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠()BDF ADC ASA ≌；（2）∠BDF ADC ≌，∠DF =DC ，∠F 为AD 的中点，1DC =，∠AD=2DF=2DC=2，∠在Rt△ADC中，225AC AD DC=+=，∠5AC=．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及勾股定理解三角形，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理是解题关键．9．（1）见解析；（2）12【解析】【分析】（1）由正方形的性质结合已知条件，利用ASA判定三角形全等即可；（2）过点G作GH∠BD垂足为H，由全等求得CG＝CE，进一步结合图形求得BC和CG 的长，然后在RT∠BDC中求得GH和BH的长，最后在RT∠BHG中，利用tan∠DBG＝HGBH，即可求得答案．【详解】（1）证明：∠四边形ABCD是正方形，∠∠BCG＝∠DCE＝90°，BC＝CD，∠BF∠DE，∠∠DFG＝∠BCG＝90°，∠∠BGC＝∠DGF，∠∠CBG＝∠CDE．在∠BCG和∠DCE中，CBG CDE BC CDBCG DCE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠BCG∠∠DCE，（2）解：过点G作GH∠BD垂足为H，∠∠BCG ∠∠DCE ，∠CG ＝CE ，∠BE ＝BC +CE ＝42，DG ＝CD ﹣CG ＝22，∠BC ＝CD ＝32，CG ＝CE ＝2，在RT ∠BDC 中，∠∠BCD ＝90°，∠BD ＝22CD BC +＝()()2232326+=，∠∠DHG ＝45°，∠DHG ＝90°，DG ＝22，∠sin 45DH DG ︒=＝22， ∠DH ＝2，∠GH ＝DH ＝2，∠BH ＝BD ﹣DH ，∠BH ＝6﹣2＝4，在RT ∠BHG 中，∠∠BHG ＝90°，∠tan∠DBG ＝HG BH， ∠tan∠DBG ＝12【点睛】本题考查三角形全等的证明，直角三角形中锐角三角函数的定义等相关知识点，熟练掌握数形结合思想解题是重点．10．(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【解析】【分析】(1)先证明∠ADC ∠∠CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明∠ADC ∠∠CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明∠ADC ∠∠CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，∠90ACB ∠=︒，∠90ACD BCE ∠+∠=︒，∠AD MN ⊥，∠90ACD CAD ∠+∠=︒，∠BCE =∠∠CAD ，又∠AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，∠()≌ADC CEB AAS ，∠AD CE =，DC BE =，∠直线MN 经过点C ，∠DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：∠AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∠90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒， ∠CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠()ADC CEB AAS △≌△∠CE AD =，CD BE =，∠DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：∠AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E∠90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，∠90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，∠CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，∠()ADC CEB AAS △≌△∠CE AD =，CD BE =，∠DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．11．（1）45°；（2）见解析；（3）2【解析】【分析】（1）先证明,EAB FAC ∠=∠,AEB AFC ∠=∠再证明,ABE ACF ≅△△再利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质可得答案；（2）利用全等三角形的性质先求解60EBF ∠=︒，证明,BE CF = 再求解30EFB ∠=︒，从而可得结论；（3）如图，过A 作AM EF ⊥于,M 交BF 于,N 连接,EN 证明BEN 为等边三角形，再证明AGM ENM ≅△△，再利用全等三角形的性质可得答案.【详解】解：（1） 90BAC ∠=︒，,AE AF ⊥90,90,EAB DAF DAF FAC EAF ∴∠+∠=∠+∠=︒∠=︒,EAB FAC ∴∠=∠,BE CE ⊥90,BED ∴∠=︒90,AEB BED AEF AEF AFC ∴∠=∠+∠=︒+∠=∠ 即,AEB AFC ∠=∠∴ ABE ACF ≅，∴ AE AF =，45AEC ∠=︒．（2） ABE ACF ≅，,,ABE ACF BE CF ∴∠=∠=∴9045135,AEB AFC∠=∠=︒+︒=︒45,EBA EAB∴∠+∠=︒15ABF EAB∠-∠=︒,15,ABF EAB∴∠=︒+∠1560, EBF EBA ABF EBA EAB∴∠=∠+∠=∠+∠+︒=︒906030,BFE∴∠=︒-︒=︒∠2BF BE=，∠BE CF=，∠2BF CF=．（3）如图，过A作AM EF⊥于,M交BF于,N连接,EN ,,,AE AF AM EF AE AF=⊥⊥,,EM MF AM NE NF∴===30,NEF NFE∴∠=∠=︒60,ENB NEF NFE∴∠=∠+∠=︒60,EBN ENB∴∠=∠=︒∴BEN为等边三角形，120,ENF∠=︒∴12BE BN BF FN EN====，60,AGD EBF∠=∠=︒,AM EF⊥160,2ENM ENF ∴∠=∠=︒ ,90,60,AM EM AMG EMN AGM ENM =∠=∠=︒∠=∠=︒∴ AGM ENM ≅△△，∠2AG EN ==，∠2CF BE ==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等腰斜边的一半，等边三角形的判定与性质，含30的直角三角形的性质，熟练的应用以上知识解题的关键.12．（1）∠∠DBE ＝45°﹣α；∠AE ﹣BE 2=EC ，证明见解析；（2）∠补全图形见解析；∠EB ﹣EA 2=EC ．【解析】【分析】（1）∠根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB =45°，即可求出∠CAD =45α-．根据三角形的内角和即可求出∠DBE =∠CAD =45α-；∠过点C 作CR ∠CE 交AE 于R ，然后证明∠ACR ∠∠BCE ，得到AR ＝BE ，CR ＝CE ，即可得到∠CER 是等腰直角三角形，ER 2=CE ，由此即可求解；（2）∠根据题目要求作图即可；∠过点C 作CF ∠CE ，交AD 的延长线于点F .根据三角形的内角和定理得到∠CAF =∠CBE ，证明∠ACF ∠∠BCE .根据全等三角形的性质有AF =BE ，CF =CE ．根据等腰直角三角形的性质有EF =2EC ．则有 AF -EA =2EC ，即可求出线段EA ，EB 和EC 之间的数量关系．【详解】解：（1）∠如图1中，∠∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠∠CAB ＝45°，∠∠BAD ＝α，∠∠CAD ＝45°﹣α．∠∠ACB ＝90°，BE ∠AD ，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠DBE ＝∠CAD ＝45°﹣α；∠结论：AE ﹣BE 2=EC ．理由：如图，过点C 作CR ∠CE 交AE 于R ．∠∠ACB ＝∠RCE ＝90°，∠∠ACR ＝∠BCE ，∠∠CAR +∠ADC ＝90°，∠CBE +∠BDE ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ，∠∠CAR ＝∠CBE ，在∠ACR 和∠BCE 中，ACR BCE CA CBCAR CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ACR ∠∠BCE （ASA ），∠AR ＝BE ，CR ＝CE ，∠∠CER 是等腰直角三角形，∠ER 2=CE ，∠AE ﹣BE ＝AE ﹣AR ＝ER 2=EC ．（2）∠补全图形，如图2所示：∠猜想：当D在BC边的延长线上时，EB﹣EA2=EC；理由如下：过点C作CF∠CE，交AD的延长线于点F，如图3所示：则∠ECF＝90°，∠∠ACB＝90°，∠∠ACD＝90°，∠∠ECF+∠ACE＝∠ACB+∠ACE，即∠ACF＝∠BCE，∠∠CAF+∠ADB＝90°，∠CBE+∠ADB＝90°，∠∠CAF＝∠CBE，在∠ACF和∠BCE中，ACF BCEAC BCCAF CBE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∠∠ACF∠∠BCE（ASA），∠AF＝BE，CF＝CE．∠∠ECF＝90°，∠∠CEF 是等腰直角三角形，∠EF 2=EC ，即AF ﹣EA 2=EC ．∠EB ﹣EA 2=EC ．【点睛】考查等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等，难度一般，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．13．（1）见解析；（2）见解析；（3）43或47 【解析】【分析】（1）由“AAS ”可证AHE DCA △≌△，可得EH =AC ，即可求证；（2）过点E 作EN AC ⊥，交CA 延长线于N ，由“AAS ”可证△≌△ANE DCA ，可得AC =EN =BC ，由“AAS ”可证△≌△ENM BCM ，可得BM =EM ；（3）5AC a =，2CM a =，分三种情况：当点D 在线段BC 上，点D 在线段BC 的延长线上，点D 在线段CB 的延长线上，由全等三角形的性质可求得相应线段的长，再由三角形的面积公式可求解．【详解】证明（1）∠AE AD ⊥，90ACB ∠=︒，∠90∠=︒-∠EAH CAD ，90∠=︒-∠ADC CAD ，EAH ADC ∴∠=∠， 在AHE 与DCA △中90AHE ACB EAH ADCAE AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AHE DCA AAS ∴△≌△，EH AC ∴=；（2）如图2，过点E 作EN AC ⊥，交CA 延长线于N ，∠AE AD ⊥，90ACB ∠=︒， ∠90∠=︒-∠EAN CAD ，90∠=︒-∠ADC CAD ， EAN ADC ∴∠=∠， 在ANE 与DCA △中， 90ANE DCA ENA ACD AN AD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS ， EN AC ∴=，又∠AC BC =， EN BC ∴=，又在ENM 与BCM 中， 90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ， 则BM EM =； （3）如图，当点D 在线段BC 上时，∠25AC CM =，∠可设5AC a=，2CM a=，由（1）得：AHE DCA△≌△，则AH CD=，5===EH AC BC a，由∠90EHM BCM∠=∠=︒，BMC EMH∠=∠，∠MHE MCB△≌△（AAS），∠CM HM=，即2HM CM a==，∠522AH AC CM HM a a a a=--=--=，∠3AM AH HM a，CD AH a==，5EH AC a==，4BD BC CD a=-=，11454221133522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEMBD AC a aSS AM EH a a；如图，点D在CB延长线上时，过点E作EN AC⊥，交AC延长线于N，∠25AC CM=，∠可设5AC a=，2CM a=，∠EN AC⊥，AE AD⊥，∠90ANE EAD ACB∠=∠=∠=︒，∠90∠=︒-∠EAN CAD，90∠=︒-∠ADC CAD，EAN ADC∴∠=∠，在ANE与DCA△中，90ANE DCAENA ACDAN AD∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()△≌△∴ANE DCA AAS ，EN AC ∴=，AN CD = ，又∠AC BC =，EN BC ∴=，又在ENM 与BCM 中，90EMN BMC N BCA EN BC ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()△≌△∴ENM BCM AAS ，∠2==CM NM a ，5NE BC AC a === ，∠9AN AC CM MN a =++= ，7AM AC CM a =+= ，9AN CD a == ，∠4BD a =，11454221177522△△⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ADBAEM BD AC a a S S AM EN a a ， 点D 在BC 延长线上由图2得：AC CM < ，∠25AC CM =不可能，故舍去综上：ADB AEM S S △△的值为43或47 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．14．（1）见解析；（2）EF AE BF =-，理由见解析；（3）EF BF AE =-，理由见解析【解析】【分析】（1）先证得90AEC BFC ∠=∠=︒，EAC FCB ∠=∠，根据AAS 证EAC FCB △≌△，推出CE BF =，AE CF =即可；（2）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CF CE =-即可得到EF AE BF =-；（3）类比（1）证得对应的两个三角形全等，由此可推出CE BF =，AE CF =，再根据EF CE CF =-即可得到EF BF AE =-．【详解】（1）证明：AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒， EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CF CE =+，∠EF AE BF =+；（2）解：EF AE BF =-，理由如下： AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒， EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CF CE =-，∠EF AE BF =-；（3）解：EF BF AE =-，理由如下：AE EF ⊥，BF EF ⊥，90ACB ∠=︒，90AEC BFC ACB ∴∠=∠=∠=︒，90EAC ECA ∴∠+∠=︒，90ECA FCB ∠+∠=︒，EAC FCB ∴∠=∠，在EAC 和FCB 中，AEC CFB EAC FCB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EAC FCB AAS ∴△≌△，CE BF ∴=，AE CF =，∠EF CE CF =-，∠EF BF AE =-．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，主要涉及到了全等三角形的判定与性质，等量代换等知识点，难度不大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．15．（1）数量关系为：EF =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．证明见详解；（3）S △GHC =15．【解析】【分析】（1）数量关系为：EF =BE +CF ．利用一线三直角得到∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA =∠F AC ，再证∠EBA ∠∠FEC （AAS ）可得BE =AF ，AE =CF 即可；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．先证∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC = =90°，可得∠EBA =∠F AC ，再证∠EBA ∠∠FEC （AAS ），可得BE =AF ，AE =CF 即可；（3）先由（2）结论EF = BE -CF ；6EF CF ==，求出BE =AF =12，由2EH FH =，可求FH =2，EH =4，利用对角线垂直的四边形面积可求BG =290180==1512AF ⨯，再求EG =3，AH = 10，分别求出S △ACF =12=36AF FC ⋅，S △HCF =162HF FC ⋅=，S △AGH =1152AH EG ⋅=，利用面积差即可求出．【详解】解：（1）数量关系为：EF =BE +CF ．∠BE ∠EF ，CF ∠EF ，∠BAC =90°，∠∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC =180°-∠BAC =90°，∠∠EBA =∠FAC ，在△EBA 和△FEC 中，∠AEB CFA EBA FAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EBA ∠△F AC （AAS ），∴BE =AF ，AE =CF ，∠EF =AF +AE =BE +CF ；（2）数量关系为：EF =BE -CF ．∠BE ∠AF ，CF ∠AF ，∠BAC =90°，∠∠BEA =∠AFC =90°，∠EBA +∠EAB =90°，∠EAB +∠F AC = =90°，∠∠EBA =∠F AC ，在△EBA 和△FEC 中， ∠AEB CFA EBA FAC AB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠EBA ∠△F AC （AAS ），∴BE =AF ，AE =CF ，∠EF =AF -AE =BE -CF ；（3）∠EF = BE -CF ；6EF CF ==，∠BE =AF =EF +CF =6+6=12，∠2EH FH =，EH +FH =EF =6，∠2FH +FH = 6，解得FH =2，∠EH =2FH =4，S 四边形ABFG =12AF BG ⋅=90，∠BG =290180==1512AF ⨯， ∠EG =BG -BE =15-12=3，AH =AE +EH =6+4=10，∠S △ACF =121126362AF FC ⋅=⨯⨯=，S △HCF =1126622HF FC ⋅=⨯⨯=，S △AGH =111031522AH EG ⋅=⨯⨯=， ∠S △GHC = S △ACF - S △HCF - S △AGH =36-6-15=15．【点睛】本题考查图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算，掌握图形变换探究线段和差问题，感知，探究以及应用，三角形全等判定与性质，三角形面积，四边形面积，与三角形高有关的计算是解题关键．16．（1）见解析；（2）垂直，理由见解析；（3）成立，证明见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质证明即可；（2）过点E 作EF BC ⊥交直线BC 于F ，如图2所示，通过证明DEF ABD ≌△△，可推证CEF △等腰直角三角形，从而得出AC 与CE 的位置关系；（3）如图3所示，过点E 作EF DC ⊥于F ，证明ABD DFE ≌△△，进一步可证明AC EC ⊥【详解】解：（1）证明：∠90B ∠=︒∠90BDA BAD ∠+∠=︒∠90ADE ∠=︒∠90BDA EDC ∠+∠=︒∠BAD EDC ∠=∠（2）垂直∠EF BC ⊥∠90EFD ∠=︒∠90B ∠=︒∠EFD B ∠=∠在ABD △和DFE △中 BAD FDE B DFEAD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABD DFE AAS ≌△△ ∠AB DF =，BD EF =∠AB BC =∠BC DF =，∠BC DC DF DC -=-即BD CF =．∠EF CF =又∠90EFC ∠=︒∠45ECF ∠=︒，且45ACB ∠=︒∠1809090ACE ∠=︒-︒=︒即AC CE ⊥．（3）（2）中的结论仍然成立如图3所示，过点E 作EF DC ⊥于F∠90ABD ∠=︒∠90EDF DAB ADB ∠=∠=︒-∠在ABD △和DFE △中DAB EDF ABD DFE AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()ABD DFE AAS ≌△△ ∠DB EF =，AB DF BC ==∠BC BF DF BF -=-即FC DB =∠FC EF =∠45DCE ∠=︒∠90ACE DCE ACB ∠=∠+∠=︒∠AC EC ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，证明ABD DFE ≌△△是解本题的关键．17．（1）1-；（2）211(0)22S k k k =-≠；（3）459(,)1717-． 【解析】【分析】（1）令0y=，求x；（2）过点D作y轴的垂线，先证明90ACB∠=︒，再由K型全等，得E点坐标，即可求出S与k的函数关系式；（3）由等腰直角三角形和四点共圆把已知条件转化为简单的等量关系，得出2DOE ADE∠=∠，再利用垂直平分线性质构造2ADE AME∠=∠，通过解直角三角形求出求出k的值，再求点K的坐标．【详解】解：（1）∠直线y kx k=+与x轴交于A，与y轴交于C点，∠当0x=时，y k=；当0y=时，0kx k+=，得：1x=-，∠(0,)C k，(1,0)A-，∠点A的横坐标为1-．（2）过点D作DH y⊥轴于点H，∠DH OH⊥，CO AO⊥，∠DHC COA∠=∠，∠90HDC DCH∠+∠=︒，对直线BC：当0x=时，y k=，当0y=时，2x k=，∠()2,0B k，∠2OB k=，∠1OAOC k=，21OC kOB k k==，又∠90AOC COB∠=∠=︒，∠AOC COB△∽△，∠OAC OCB∠=∠，∠90OAC OCA∠+∠=︒，∠90OCB OCA，即：90ACB∠=︒，∠AC BD⊥，90DCA∠=︒，∠90DCH ACO∠+∠=︒，∠HDC OCA∠=∠，又∠DC CA=，∠()DHC COA AAS△≌△，∠DH OC=，CH AO=，∠(1,0)A-，(0,)C k，∠1CH OA==，DH CO k==，∠(,0)E k-，(,1)D k k-+，∠1()1AE k k=---=-+，∠21111(1)(0)2222S EA CO k k k k k=⋅⋅=⋅-⋅=-≠，（3）连接AD，过AD的中点N作NM AD⊥交DE于点M，连接AM，（3）连接AD，过AD的中点N作NM AD⊥交DE于点M，连接AM，DC AC⊥，DE OA⊥，90DEA DCA∴∠=∠=︒，∴在四边形AEDC中，180DEA DCA∠+∠=︒，180EAC EDC∠+∠=︒，∴点A、D、E、C四点共圆，AD为圆的直径，点N为圆心，ACE ADE∴∠=∠，MN是AD的中垂线，DM AM∴=，ADE DAM∴∠=∠，2AME ADE∴∠=∠，DC AC=，45ADC∴∠=︒，45CDO ADO∴∠=︒-∠，又345ACE CDO∠-∠=︒，3(45)45ADE ADO ∴∠-︒-∠=︒，即：390ADE ADO ∠+∠=︒，在EDO ∆中，90ADE ADO DOE ∠+∠+∠=︒，2DOE ADE AME ∴∠=∠=∠，设AM DM x ==，则：1ME DE DM k x =-=+-，222AE ME AM +=，222(1)(1)k k x x ∴-+++-=，解得：211k x k+=+， 212111k k ME k k k+∴=+-=++， DOE AME ∠=∠，tan tan DOE AME ∴∠=∠，∴DE AE OE ME =，即：1121k k k k k+-+=+， 解得：3k =，(0,3)C ∴，(3,4)D -，(3,0)E -，∴直线OD 的解析式为：43y x =-， 直线AC 的解析式为：33y x =+，直线EC 的解析式为：3y x ， 由4333y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，解得：9131213x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴点9(13F -，12)13， 点D 和点G 关于点C 对称，(3,2)G ∴，∴直线GF 的解析式为：79248y x =+， 由379248y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：4517917x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点K 的坐标为459(,)1717-． 【点睛】 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的求法、K 型全等的应用和四点共圆的判定、以及利用圆周角定理进行角的转化等知识，是一个代数几何综合题．对于比较复杂的条件，需要学生学会将复杂的条件转化为简单直接的条件，可以从等量关系，倍数关系入手． 18．（1）(1,0),(4,0)A B -，(0,2)C -，5ABC S=；（2）211522y x x =-++或2191322y x x =-+-，见解析． 【解析】【分析】（1）令y =0，令x =0，分别求出函数与坐标轴的交点即可；（2）设L '的解析式为：212y x bx c =-++，分两种情况讨论：点E 作EH y ⊥轴于点H ，过点F 作FG x ⊥轴于点G ，则FGB BOC CHE ≅≅，根据全等三角形的性质求得点E 、F 的坐标，代入旋转后的抛物线解析式即可．【详解】解：（1）则2132022x x --= 2340x x ∴--=(1)(4)0x x ∴+-=1x ∴=-或4x =(1,0),(4,0)A B ∴-令x =0，则y =-2，(0,2)C ∴-5,2AB OC ==5ABC S ∴=（2）存在，以B C E F 、、、为为顶点的四边形为矩形，且矩形面积为ABC 面积的4倍20BCEF S ∴=在Rt OCB 中，2,4OC OB ==2225BC OB OC∴=+=∴矩形的另一边长为202525÷=∴该矩形为正方形，根据旋转180︒，点B的对应点为E，点C对应点为F，如图，过点E作EH y⊥轴于点H，过点F作FG x⊥轴于点G，则FGB BOC CHE≅≅旋转180︒不改变抛物线的开口大小，但改变了开口方向，12a∴=-∴设L'的解析式为：212y x bx c=-++分两种情况讨论：第一种情况：如图，可求出点E的坐标为(2,2)-，点(2,4)F，将点E、F代入解析式中，得1422214242b cb c⎧-⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩解得125bc⎧=⎪⎨⎪=⎩211522y x x∴=-++第二种情况：如图，可得(2,6),(6,4)E F --，将点E 、F 代入解析式中，得14262136642b c b c ⎧-⨯++=-⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩ 解得9213b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ 2191322y x x ∴=-+- 综上，抛物线L '的表达式为：211522y x x =-++或2191322y x x =-+-． 【点睛】本题考查二次函数综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质、分类讨论思想等知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．19．见解析【解析】【分析】利用ASA 证明出∠ABE ∠∠BCD ，在通过等量代换进行解答．【详解】证明：∠AB ∠BC ，CD ∠BC ，∠∠ABC ＝∠ACD ＝90°∠∠AEB ＋∠A ＝90°∠AE ∠BD∠∠BFE ＝90°∠∠AEB ＋∠FBE ＝90°∠∠A ＝∠FBE ，又∠AB ＝BC ，∠∠ABE ∠∠BCD ，∠AB ＝BC ，BE ＝CD ，∠EC ＝BC －BE ＝AB －CD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形的判定定理，再利用等量代换的思想来间接证明．20．详见解析【解析】【分析】根据AB ⊥BD ，DE ⊥BD ，AC ⊥CE ，可以得到90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=， 90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=，从而有ACB CED ∠=∠，可以验证ABC ∆和CDE ∆全等，从而得到AB =CD ．【详解】证明：∠AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥∠90ABC CDE ACB ︒∠=∠=∠=∠90ACB ECD ︒∠+∠=，90ECD CED ︒∠+∠=∠ACB CED ∠=∠在ABC ∆和CDE ∆中ACB CED BC DEABC CDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∠ABC ∆∠CDE ∆故AB CD =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，利用角边角判定三角形全等，其中找到两两互余的角之间的关系是解题的关键．。

备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国)专题07 全等三角形中的倍长中线模型(解析版)

备考2025年中考数学难点突破与经典模型精讲练(全国)专题07 全等三角形中的倍长中线模型(解析版)

专题07全等三角形中的倍长中线模型【模型展示】已知：在△ABC中，D为AC中点，连接BD并延长到E使得DE=BD，连接AE则：BC平行且等于AE．【证明】延长BD到E，使DE＝BD，连接CE，∵AD是斜边BC的中线∴AD＝CD∵∠ADE＝∠BDC∴△ADE≌△BDC（SAS）∴AE＝B C，∠D BC＝∠AED∴AE∥BC【模型证明】解决方案方法一：已知：如图，E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且∠BAE ＝∠CDE ，则：AB ＝CD ．【证明】延长DE 至点F ，使EF ＝DE ．∵E 是BC 的中点∴BE ＝CE ，在△BEF 和△CED 中，∴△BEF ≌△CED （SAS ）．∴BF ＝CD ，∠D ＝∠F ．又∵∠BAE ＝∠D ，∴∠BAE ＝∠F ．∴AB ＝BF ．∴AB ＝CD ．方法二：【证明】作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．∴∠F＝∠CGE＝90°．又∵∠BEF＝∠CEG，BE＝CE，在△BEF和△CEG中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF＝CG．在△ABF和△DCG中，∵，∴△ABF≌△DCG．∴AB＝CD．方法三：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．∴∠F ＝∠BAE ．又∵∠BAE ＝∠D ，∴∠F ＝∠D ．∴CF ＝CD ．∵，∴△ABE ≌△FCE ．∴AB ＝CF ．∴AB ＝CD ．【题型演练】一、解答题1．如图，ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E ，F 为直线AD 上的点，连接BE ，CF ，且BE CF ∥．(1)求证：BDE ≌CDF ；(2)若15AE =，8AF =，试求DE 的长．【答案】(1)见解析；(2)72；【分析】（1）根据两直线平行内错角相等；全等三角形的判定（角角边）；即可证明；（2）由（1）结论计算线段差即可解答；（1）证明：∵BE ∥CF ，∴∠BED =∠CFD ，∵∠BDE =∠CDF ，BD =CD ，∴△BDE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：由（1）结论可得DE =DF ，∵EF =AE -AF =15-8=7，∴DE =72；【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定（AAS ）和性质；掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 是AB 的中点，小明发现，用已学过的“倍长中线”加倍构造全等，就可以测量CD 与AB 数量关系．请根据小明的思路，写出CD 与AB 的数景关系，并证明这个结论．【答案】CD =12AB ，证明过程详见解析【分析】延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，根据全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：CD =12AB ，证明：如图，延长CD 到点E ，使ED =CD ，连接BE ，在△BDE 和△ADC 中，BD AD BDE ADC ED CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△ADC (SAS)，∴EB =AC ，∠DBE =∠A ，∴BE ∥AC ，∵∠ACB =90°，∴∠EBC =180°-∠ACB =90°，∴∠EBC =∠ACB ，在△ECB 和△ABC 中，EB AC EBC ACB CB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ECB ≌△ABC (SAS)，∴EC =AB ，∴CD =12EC =12AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是正确的作出辅助线．3．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝90°，回答下列问题：(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，∵P为BD的中点，∴BP=PD，又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BE∥OD，∴∠EBO+∠BOD=180°，又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，又∵OE=2OP，∴AC=2OP．【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．【发现问题】小强在一次学习过程中遇到了下面的问题：如图1，AD 是△ABC 的中线，若AB ＝8，AC ＝6，求AD 的取值范围．【探究方法】小强所在学习小组探究发现：延长AD 至点E ，使ED ＝AD ，连接BE ．可证出△ADC 与△EDB ，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD 转化到同一个△ABE 中，进而求出AD 的取值范围．方法小结：从上面思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD 延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做倍长中线法．【应用方法】（1）请你利用上面解答问题的方法思路，写出求AD 的取值范围的过程；【拓展应用】（2）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，BA ＝BC ，点E 在BC 的延长线上，EC ＝BC ．写出AD 与AE 之间的数量关系并证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由见解析【分析】（1）延长AD 至点E ，使DE =AD ，连接BE ，证明△BDE ≌△CDA （SAS ），得出AC =BE =6，由三角形三边关系可得出答案；（2）延长AD 至F ，使DF =AD ，由SAS 证明△BDF ≌△CDA ，利用已知条件推出∠FBA =∠ACE ，再由SAS 证明△ACE ≌△FBA 即可得到2AD =AE ．【详解】（1）证明：延长AD 至E ，使DE =AD ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，在△BDE 和△CDA 中，BD CD BDE CDA DE DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDE ≌△CDA （SAS ），∴AC =BE =6，在△ABE 中，AB -BE ＜AE ＜AB +BE ，∴8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7；（2）2AD =AE ．理由如下：证明：延长AD 至F ，使DF =AD，∵AD 是BC 的中线，∴BD =CD ，在△BDF 和△CDA 中，BD CD BDF CDA DF DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDF ≌△CDA （SAS ），∴AC =BF ，∠CAD =∠F ，∴AC ∥BF ，∴∠FBA +∠BAC =180°，∵BA =BC ，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠ACE +∠BCA =180°，∴∠FBA =∠ACE ，∵BA =BC ，EC =BC ，∴BA =EC ，在△ACE 和△FBA 中，CE BA ACE FBA AC BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△FBA （SAS ），∴AE =AF ，∵2AD =AF ，∴2AD =AE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．5．[问题背景]①如图1，CD 为△ABC 的中线，则有S △ACD ＝S △BCD ；②如图2，将①中的∠ACB 特殊化，使∠ACB ＝90°，则可借助“面积法”或“中线倍长法”证明AB ＝2CD ；[问题应用]如图3，若点G 为△ABC 的重心（△ABC 的三条中线的交点），CG ⊥BG ，若AG ×BC ＝16，则△BGC 面积的最大值是（）A ．2B ．8C ．4D ．6【答案】[问题背景]①见解析；②见解析；[问题应用]C【分析】[问题背景]①设AB 边的高长为h ，可得11,22ACD BCD S AD h S BD h =⨯=⨯ ，再由AD =BD ，即可求证；②延长CD 至点E ，使DE =CD ，连接AE ，BE ，根据AD =BD ，可得四边形ACBE 是平行四边形，再由∠ACB ＝90°，可得到四边形ACBE 是矩形，即可求证[问题应用]如图，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，根据题意可得点D 是BC 的中点，AG =2DG ，从而得到12DG BC =，得到AG =BC ，再由AG ×BC ＝16，可得到AG =BC =4，再由GH ⊥BC ，可得GH ≤DG ，从而得到当GH =DG 时，△BGC 面积的最大，即可求解．【详解】解：[问题背景]①设AB 边的高长为h ，∴11,22ACD BCDS AD h S BD h =⨯=⨯，∵CD为△ABC的中线，即AD=BD，∴=ACD BCDS S；②如图，延长CD至点E，使DE=CD，连接AE，BE，∵CD为△ABC的中线，∴AD=BD，∵DE=CD，∴四边形ACBE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，∴四边形ACBE是矩形，∴AB=CE，∵DE=CD，∴AB=CD+DE=2CD；[问题应用]如图，过点G作GH⊥BC于点H，∵点G为△ABC的重心（△ABC的三条中线的交点），∴点D是BC的中点，AG=2DG，∵CG⊥BG，∴12DG BC=，∴AG =BC ，∵AG ×BC ＝16，∴AG =BC =4，∴DG =2，∵GH ⊥BC ，∴GH ≤DG ，∴GH ≤2，∴当GH =2，即GH =DG 时，△BGC 面积的最大，最大值为1124422DG BC ⨯=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，重心的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理，重心的性质是解题的关键．6．先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC 中，AD 为中线．延长AD 至E ，使DE=AD ．在△ABD 和△ECD 中，AD=DE ，∠ADB =∠EDC ，BD=CD ，所以，△ABD ≌△ECD （SAS ），进一步可得到AB=CE ，AB ∥CE 等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC 中，AD 是三角形的中线，F 为AD 上一点，且BF=AC ，连结并延长BF 交AC 于点E ，求证：AE=EF ．【答案】证明见试题解析．【分析】延长AD到G，使DF=DG，连接CG，得到BD=DC，根据SAS推出△BDF≌△CDG，根据全等三角形的性质得出BF=CG，∠BFD=∠G，求出∠AFE=∠G，CG=AC，推出∠G=∠CAF，求出∠AFE=∠CAF 即可．【详解】解：延长AD到G，使DF=DG，连接CG，∵AD是中线，∴BD=DC，在△BDF和△CDG中，∵BD=DC，∠BDF=∠CDG，DF=DG，∴△BDF≌△CDG，∴BF=CG，∠BFD=∠G，∵∠AFE=∠BFD，∴∠AFE=∠G，∵BF=CG，且已知BF=AC，∴CG=AC，∴∠G=∠CAF，∴∠AFE=∠CAF，∴AE=EF．【点睛】本题考查了倍长中线法、三角形全等的判定、性质及等腰三角形的性质等，本题的关键是借助阅读材料中提供的方法延长AD到G，使DF=DG，进而构造三角形全等．7．（1）如图1，若△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，可以得到△ABD≌△ECD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”.求证：△ACE是直角三角形（2）如图2，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF.试说明BE2+CF2=EF2；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）169 4.【分析】（1）根据全等三角形的性质和直角三角形的判定解答即可；（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，根据全等三角形的判定和性质进行解答；（3）连接AD，根据全等三角形的判定和性质和三角形的面积公式解答即可．【详解】（1）∵△ABD≌△ECD∴∠ECD=∠B∵∠BAC=90°∴∠B+∠BCA=90°∴∠BCE+∠BCA=90°,即∠ACE=90°∴△ACE是直角三角形（2）延长ED至点G，使得DG=DE，连接FG，CG，∵DE=DG，DF⊥DE，∴DF垂直平分DE，∴EF=FG，∵D是BC中点，∴BD=CD，在△BDE 和△CDG 中，BD CD BDE CDG DE DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△CDG （SAS ），∴BE=CG ，∠DCG=∠DBE ，∵∠ACB+∠DBE=90°，∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°，∵CG 2+CF 2=FG 2，∴BE 2+CF 2=EF 2；（3）连接AD，∵AB=AC ，D 是BC 中点，∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD ，∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中，BAD C AD CD ADE CDF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，BE=AF ，AB=AC=17，∴S 四边形AEDF =12S △ABC ，∴S △AEF =12×5×12=30，∴△DEF 的面积=12S △ABC ﹣S △AEF =1694.【点睛】考查全等三角形的判定与性质，通过证明三角形全等得出对应边相等、对应角相等是解题基础，将待求线段转化成求等长线段是解题的关键．8．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明．（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．【答案】（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由见解析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由见解析【分析】（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．【详解】解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△QDB和△ADC中，BD CDBDQ CDA DQ DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△QDB≌△ADC（SAS），∴BQ＝AC＝5，在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，∴4＜AQ＜14，∴2＜AD＜7，故答案为2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，∴∠BQD＝∠CAD，∴AC∥BQ；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，∵AC＝AF，∴BQ＝AF，在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，∴∠BAC+ABQ＝180°，∵∠BAE＝∠FAC＝90°，∴∠BAC+∠EAF＝180°，∴∠ABQ＝∠EAF，在△ABQ和△EAF中，AB EAABQ EAF BQ AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABQ≌△EAF，∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，延长DA交EF于P，∵∠BAE＝90°，∴∠BAQ+∠EAP＝90°，∴∠AEF+∠EAP＝90°，∴∠APE＝90°，∴AD⊥EF，∵AD＝DQ，∴AQ＝2AD，∵AQ＝EF，∴EF＝2AD，即：EF＝2AD，AD⊥EF．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．9．在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法，例如：在△ABC中，AB ＝8，AC＝6，点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我们可以延长AD到点E，使AD＝DE，然后连接BE（如图①），这样，在△ADC和△EDB中，由于AD DEADC EDBBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△EDB，∴AC＝EB，接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围．请你回答：（1）在图①中，中线AD 的取值范围是．（2）应用上述方法，解决下面问题①如图②，在△ABC 中，点D 是BC 边上的中点，点E 是AB 边上的一点，作DF ⊥DE 交AC 边于点F ，连接EF ，若BE ＝4，CF ＝2，请直接写出EF 的取值范围．②如图③，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，∠ADC ＝30°，点E 是AB 中点，点F 在DC 上，且满足BC ＝CF ，DF ＝AD ，连接CE 、ED ，请判断CE 与ED 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）①2＜EF ＜6；②CE ⊥ED ，理由见解析【分析】（1）在△ABE 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；（2）①延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN ，由SAS 证得NDC EDB ∆≅∆，得出4BE CN ==，由等腰三角形的性质得出EF FN =，在△CFN 中，根据三角形的三边关系定理即可得出结果；②延长CE 与DA 的延长线交于点G ，易证DG ∥BC ，得出GAE CBE ∠=∠，由ASA 证得GAE CBE ∆≅∆，得出,GE CE AG BC ==，即可证得CD GD =，由GE CE =，根据等腰三角形的性质可得出CE ED ⊥．【详解】（1）在△ABE 中，由三角形的三边关系定理得：AB BE AE AB BE-<<+8686AE ∴-<<+，即214AE <<2214AD ∴<<，即17AD <<故答案为：17AD <<；（2）①如图②，延长ED 到点N ，使ED DN =，连接CN 、FN∵点D 是BC 边上的中点BD CD∴=在△NDC 和△EDB 中，CD BD CDN BDE DN ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()NDC EDB SAS ∴∆≅∆4BE CN ∴==,DF DE ED DN⊥= EFN ∴∆是等腰三角形，EF FN=在△CFN 中，由三角形的三边关系定理得：CN CF FN CN CF-<<+4242FN ∴-<<+，即26FN <<26EF ∴<<；②CE ED ⊥；理由如下：如图③，延长CE 与DA 的延长线交于点G∵点E 是AB 中点BE AE∴=150,30BCD ADC ∠=︒∠=︒//DG BC∴GAE CBE∴∠=∠在△GAE 和△CBE 中，GAE CBE AE BE AEG BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()GAE CBE ASA ∴∆≅∆,GE CE AG BC∴==,BC CF DF AD== CF DF BC AD AG AD ∴+=+=+，即CD GD=GE CE= CE ED ∴⊥．（等腰三角形的三线合一）【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2）②，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．10．阅读材料，解答下列问题．如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至点E，使DE=AD．在△ADC和△EDB中，AD=DE，∠ADC=∠EDB，BD=CD，所以，△ACD≌△EBD，进一步可得到AC=BE，AC//BE等结论．在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，点F为AD上一点，且BF=AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE=EF．【答案】详见解析【分析】延长AD到M，使DM=AD，连接BM，根据SAS推出△BDM≌△CDA，根据全等三角形的性质得出BM=AC，∠CAD=∠M，根据BF=AC可得BF=BM，推出∠BFM=∠M，求出∠AFE=∠EAF即可．【详解】如图，延长AD至点M，使得MD AD=，并连结BM，∵AD是三角形的中线，=，∴BD CD在MDB△中，△和ADC,,,BD CD BDM CDA DM DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MDB ADC △≌△，∴AC MB =，BMD CAD ∠=∠，∵BF AC =，∴BF BM =，∴BMD BFD ∠=∠，∵BFD EFA ∠=∠，BMD CAD ∠=∠，∴EFA EAF ∠=∠，即AE EF =．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，关键是能根据“倍长中线”法作出辅助线来构造全等三角形．11．（1）如图1所示，在ABC 中，D 为BC 的中点，求证：2AB AC AD +>甲说：不可能出现ABD △ACD ≌△，所以此题无法解决；乙说：根据倍长中线法，结合我们新学的平行四边形的性质和判定，我们可延长AD 至点E ，使得DE AD =，连接BE 、CE ，由于BD DC =，所以可得四边形ABEC 是平行四边形，请写出此处的依据_______________________________________（平行四边形判定的文字描述）所以AC BE =，ABE △中，AB BE AE +>，即2AB AC AD+>请根据乙提供的思路解决下列问题：（2）如图2，在ABC 中，D 为BC 的中点，5AB =，3AC =，2AD =，求ABC 的面积；（3）如图3，在ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AC 的中点，连接BM 交AD 于F ，若AM MF =．求证：BF AC =．【答案】（1）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（2）6；（3）见解析．【分析】（1）根据题意，DE AD =，BD DC =即可得四边形的对角线相等，根据平行四边形的判定定理即可写出；（2）根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，可以求得,,AG AC GC ,再根据勾股定理的逆定理可知AGC 为Rt ，继而即可求得面积（3）根据倍长中线法，延长AD 至点N ,证明四边形ABNC 是平行四边形，由AM MF =即可证明BF AC =．【详解】解：（1） DE AD =，BD DC=∴四边形ABEC 是平行四边形依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（2）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点G ，使得DG AD =，由（1）可知，四边形ABGC 是平行四边形GC AB \=,//AC BG5AB =，3AC =，2AD =4AG ∴=,5GC =22223425AC AG +=+= 22525CG ==222AC AG CG ∴+=AGC ∴△是Rt//AC BG 1134622ABC AGC S S AC AG ∴==⋅=⨯⨯=△△（3）如图，根据倍长中线法，延长AD 至点N ，使,AD DN =由（1）可知：四边形ABNC 是平行四边形，//AC BN ∴,AC BN=MAF BNF∴∠=∠AM MF= MAF MFA∴∠=∠又MFA BFN∠=∠ BNF BFN∴∠=∠BF BN∴=BF AC∴=【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理的逆定理，等角对等边，运用倍长中线法是解题的关键．12．（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），①延长AD 到M ，使得DM ＝AD ；②连接BM ，通过三角形全等把AB 、AC 、2AD 转化在△ABM 中；③利用三角形的三边关系可得AM 的取值范围为AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，从而得到AD 的取值范围是；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．（2）请你写出图2中AC 与BM 的数量关系和位置关系，并加以证明．（3）深入思考：如图3，AD 是△ABC 的中线，AB ＝AE ，AC ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ＝90°，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD 与EF 的数量关系，并加以证明．【答案】（1）1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，证明见解析；（3）EF ＝2AD ，证明见解析．【分析】（1）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，根据题意证明△MDB ≌△ADC ，可知BM ＝AC ，在△ABM 中，根据AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，即可；（2）由（1）知，△MDB ≌△ADC ，可知∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，进而可知AC ∥BM ；（3）延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）（2）的结论以及已知条件证明△ABM ≌△EAF ，进而可得AM ＝2AD ，由AM ＝EF ，即可求得AD 与EF 的数量关系．【详解】（1）如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，在△MDB 和△ADC 中，BD CD BDM CDA DM AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MDB ≌△ADC （SAS ），∴BM ＝AC ＝6，在△ABM 中，AB ﹣BM ＜AM ＜AB +BM ，∴8﹣6＜AM ＜8+6，2＜AM ＜14，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7；（2）AC ∥BM ，且AC ＝BM ，理由是：由（1）知，△MDB ≌△ADC ，∴∠M ＝∠CAD ，AC ＝BM ，∴AC ∥BM ；（3）EF ＝2AD ，理由：如图2，延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM ，由（1）知，△BDM ≌△CDA （SAS ），∴BM ＝AC ，∵AC ＝AF ，∴BM ＝AF ，由（2）知：AC ∥BM ，∴∠BAC +∠ABM ＝180°，∵∠BAE ＝∠FAC ＝90°，∴∠BAC +∠EAF ＝180°，∴∠ABM ＝∠EAF ，在△ABM 和△EAF 中，AB EA ABM EAF BM AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM ≌△EAF （SAS ），∴AM ＝EF ，∵AD ＝DM ，∴AM ＝2AD ，∵AM ＝EF ，∴EF ＝2AD ，即：EF ＝2AD．【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键．13．【阅读理解】倍长中线是初中数学一种重要的数学思想，如图①，在ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若延长AD 至E ，使DE AD =，连接CE ，可根据SAS 证明ABD ECD △△≌，则AB EC =．(1)【类比探究】如图②，在DEF 中，3DE =，7DF =，点G 是EF 的中点，求中线DG 的取值范围；(2)【拓展应用】如图③，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 是BC 的中点．若AE 是BAD ∠的平分线．试探究AB ，AD ，DC 之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)2＜DG ＜5(2)AD =DC +AB【分析】（1）延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，根据SAS 可证△DEG ≌△MFG ，得出MF =3，然后根据三角形三边不等关系定理求出DM 取值范围，最后把DM =2DG 代入即可求解；（2）延长AE ，DC 相交于点F ，根据ASA 可证△ABE ≌△FCE ，则AB =FC ，然后由AE 平分∠BAD ，AB ∥CD 可证∠F =∠DAF ，由等角对等边可得AD =DF ，最后由线段的和差关系即可求解．(1)解：延长DG 至M ，使GM =DG ，连接MF ，又EG =FG ，∠EGD =∠FGM ，∴△DEG ≌△MFG ，∴DE =MF ，又DE =3，∴MF=3，又DF=7，∵DF-MF＜DM＜DF+MF，∴7-3＜DM＜7+3，即4＜DM＜10，∴4＜2DG＜10，∴2＜DG＜5；(2)延长AE，DC相交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠F，又BE=CE，∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE，∴AB=CF，∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE，∴∠F=∠DAF，∴AD=FD，又FD=CD+DF，CF=AB，∴AD=CD+AB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形三边关系定理等知识，读懂题意，添加“倍长中线”的辅助线是解题的关键．14．阅读下面材料：小军遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，点D为BC的中点，求AD的取值范围．（1）小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：AD的取值范围是．（2）参考小军思考问题的方法，解决问题：如图3，△ABC中，E为AB中点，P是CA延长线上一点，连接PE并延长交BC于点D．求证：PA•CD＝PC•BD．【答案】（1）1<AD<5；（2）证明见试题解析．【详解】试题分析：（1）由△BED≌△CAD，得到BE=AC，在△ABE中，由三角形三边关系即可得到结论；（2）延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF．得到△BEF≌△AEP，从而∠APE＝∠F，BF＝PA，又由∠BDF＝∠CDP，得到△BDF∽△CDP，故＝，即可得到结论．试题解析：（1）1<AD<5；（2）证明：延长PD至点F，使EF＝PE，连接BF．∵BE＝AE，∠BEF＝∠AEP，∴△BEF≌△AEP，∴∠APE＝∠F，BF＝PA，又∵∠BDF＝∠CDP，∴△BDF∽△CDP，∴＝，∴＝，即PA·CD＝PC·BD．．考点：相似三角形的判定与性质．15．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线法．(1)如图1，AD 是ABC 的中线，7AB =，5AC =求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ≌△△，所以BM AC =．接下来，在ABM 中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是___________．(2)如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点F ，且AE EF =，求证：AC BF =；【答案】(1)1<AD <6(2)见解析【分析】(1)如图1，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，证明△ADC ≌△MDB (SAS)，推出AC =BM =5，再根据AB −BM ⩽AM ⩽AB +BM ，可得结论；(2)如图2，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT ，由△ADC ≌△TDB ，推出AC =BT ，∠C =∠TBD ，推出BT AC ，再证明BF =BT ，可得结论．（1）解：如图1中，延长AD 到点M ，使DM =AD ，连接BM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△MDB 中，DA DM ADC MDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△MDB (SAS)，∴AC =BM =5，∵AB =7，∴AB −BM <AM <AB +BM ，∴2<AM <12，∴2<2AD <12，∴1<AD <6，故答案为：1<AD <6；（2）证明：如图2中，延长AD 到T ，使得DT =AD ，连接BT，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD =CD ，在△ADC 和△TDB 中，DA DT ADC TDB DC DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△TDB (SAS)，∴AC =BT ，∠C =∠TBD ，∴BT AC ，∴∠T =∠DAC ，∵EA =EF ，∴∠EAF =∠EFA ，∵∠EFA =∠BFT ，∴∠T =∠BFT ，∴BF =BT ，∴AC =BF【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，倍长中线构造全等三角形解决问题．16．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．（1）如图1，AD 是ABC ∆的中线，7,5,AB AC ==求AD 的取值范围．我们可以延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，易证ADC MDB ∆≅∆，所以BM AC =．接下来，在ABM ∆中利用三角形的三边关系可求得AM 的取值范围，从而得到中线AD 的取值范围是；（2）如图2，AD 是ABC 的中线，点E 在边AC 上，BE 交AD 于点,F 且AE EF =，求证：AC BF =；（3）如图3，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E 是AB 的中点，连接CE ，ED 且CE DE ⊥，试猜想线段,,BC CD AD 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）16AD <<；（2）见解析；（3）CD BC AD =+，证明见解析【分析】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，即可证明ADC MDB ∆≅∆，则可得BM AC =，在ABM ∆中，根据三角形三边关系即可得到AM 的取值范围，进而得到中线AD 的取值范围；（2）延长AD 到点,M 使DM AD =，连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅ ，则可得M CAD BM AC ∠=∠=，，由AE EF =可知，CAD AFE ∠=∠，由角度关系即可推出BMF BFM ∠=∠，故BM BF =，即可得到AC BF =；（3）延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，即可证明AEF BEC ∆≅∆，则可得EAF B AF BC ∠=∠=，，由//AD BC ，以及角度关系即可证明点,,F A D 在一条直线上，通过证明Rt DEF △≌DEC Rt △，即可得到FD CD =，进而通过线段的和差关系得到CD BC AD =+．【详解】（1）延长AD 到点M ，使DM AD =，连接BM ，∵AD 是ABC ∆的中线，∴DC DB =，在ADC ∆和MDB ∆中，AD MD =，ADC MDB =∠∠，DC DB =，∴ADC MDB ∆≅∆，∴BM AC =，在ABM ∆中，AB BM AM AB BM -+＜＜，∴7575AM -+＜＜，即212AM ＜＜，∴16AD ＜＜；（2）证明:延长AD 到点,M 使DM AD =,连接BM ，由（1）知ADC MDB ≅ ，∴M CAD BM AC ∠=∠=，，AE EF = ，CAD AFE ∴∠=∠，MFB AFE ∠=∠ ，MFB CAD ∴∠=∠，BMF BFM ∴∠=∠，BM BF ∴=，AC BF ∴=，（3）CD BC AD =+，延长CE 到F ，使EF EC =，连接AF ，AE BE AEF BEC =∠=∠ ，，AEF BEC ∴∆≅∆，EAF B AF BC ∴∠=∠=，，//AD BC ，180BAD B ∴∠+∠=︒，180EAF BAD ∴∠+∠=︒，∴点,,F A D 在一条直线上，CE ED ⊥ ，∴90DEF DEC ==︒∠∠，∴在Rt DEF △和DEC Rt △中，EF EC =，DEF DEC ∠=∠，DE DE =，∴Rt DEF △≌DEC Rt △，FD CD ∴=，∵FD AD AF AD BC =+=+，CD BC AD ∴=+．【点睛】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．17．问题探究：数学课上老师让同学们解决这样的一个问题：如图①，已知E 是BC 的中点，点A 在DE 上，且BAE CDE ∠=∠．求证：AB CD =．分析：证明两条线段相等，常用的方法是应用全等三角形或者等腰三角形的性质．本题中要证相等的两条线段不在同一个三角形中，所以考虑从全等三角形入手，而AB 与CD 所在的两个三角形不全等．因此，要证AB CD =，必须添加适当的辅助线构造全等三角形．以下是两位同学添加辅助线的方法．第一种辅助线做法：如图②，延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ；第二种辅助线做法：如图③，作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F .(1)请你任意选择其中一种对原题进行证明：方法总结：以上方法称之为“倍长中线”法，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线构造全等三角形来解决问题．(2)方法运用：如图④，AD 是ABC 的中线，BE 与AD 交于点F 且AE EF =．求证：BF AC =．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）第一种辅助线做法：延长DE 到点F ，使DE EF =，连接BF ．只要证明△BEF ≌△CED ，即可解决问题．第二种辅助线做法：作CG DE ⊥于点G ，BF DE ⊥交DE 延长线于点F ，先证明△BEF ≌△CEG ，再证明△ABF ≌△DCG 即可．（2）延长AD 到点A ˊ，使得DA ˊ=AD ，连接BA ˊ，只要证得△BDA ˊ≌△CDA 即可．（1）第一种辅助线做法：证明：如图1，延长DE 到点F ，使得DE =EF ，连接BF ，∵E 是BC 的中点∴BE =CE在△BEF 与△CED 中BE CE BEF CED DE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF ≌△CED （SAS ）∴BF =CD ，∠F =∠CDE 又∵∠BAE =∠CDE ∴∠BAE =∠F ∴BF =AB ∴AB =CD 第二种辅助线做法：证明：如图2，作CG ⊥DE 于点G ，BF ⊥DE 交DE 延长线于点E ；则∠F ＝∠CGE ＝∠CGD ＝90°，∵E 是BC 的中点，∴BE =CE 在△BEF 与△CEG 中F CGE BEF CEG BE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BEF ≌△CEG （AAS ）∴BF =CG ，在△ABF 与△DCG 中，BAE CDE F CGD BF CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABF ≌△DCG （AAS ），∴AB =CD ．（2）如图3，延长AD 到点A ˊ，使得DA ˊ=AD ，连接BA ˊ，∵AD 是△ABC的中线，∴BD =CD ．在△BDA ˊ与△CDA 中BD CD BDA CDA DA DA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ˊˊ，∴△BDA ˊ≌△CDA （SAS ）∴BA ˊ=AC ，∠A ˊ=∠CAD ，又∵AE =EF ，∴∠CAD =∠EFA =∠BFA ˊ，∠Aˊ=∠BFAˊ∴BF =BA ˊ∴BF =AC ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的中线等知识，解题的关键是学会添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案

2024年中考数学《全等三角形》专题练习附带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________知识重点1、全等三角形的概念：（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（2）把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

2、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

3、三角形全等的判定：(1)边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。

(2)边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。

(3)角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。

(4)角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。

(5)斜边、直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

一、选择题1．下列各选项中的两个图形属于全等形的是（）A．B．C．D．2．如图，△ABC≌△EDC，AC=3cm，DC=5cm，则BE=（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm3．如图，△ABC≌△ADE，∠B=80°，∠C=30°，∠DAC=35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．30°C．35°D．25°4．小亮设计了如下测量一池塘两端AB的距离的方案：先取一个可直接到达点A，B的点O，连接AO，BO，延长AO至点P，延长BO至点Q，使得OP=AO，OQ=BO再测出PQ的长度，即可知道A，B之间的距离．他设计方案的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．SSS5．如图，点F，E在AC上AD=CB，∠D=∠B添加一个条件，不一定能证明△ADE≌△CBF的是（）A．AD∥BC B．DE∥FB C．DE=BF D．AE=CF6．如图所示∠E=∠D，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE=CD，则下列结论不一定正确的是（）A．AB=AC B．BF=EF C．AE=AD D．∠BAE=∠CAD 7．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5 F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是（）A．4 B．5 C．5.5 D．68．如图，AD是△BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=32，DE=4，AB=9，则AC的长是（）A．5 B．6 C．7 D．8二、填空题9．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平长度DF 相等，那么判定△ABC与△DEF全等的依据是．10．若△ABC≌△DEF，A与D，B与E分别是对应顶点∠A=50°，∠B=60°则∠F=. 11．如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为；12．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知BC=8，DE=2则△BCE 的面积等于．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=7cm，CE=5cm，则DE= cm．三、解答题14．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝CF．求证：AB∥DF．15．如图，在Rt△ABC中∠B=90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE=AB.求证：△CED≅△ABC.16．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，AE平分∠DAB．求证：CD+AB＝AD．17．已知：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：（1）OD=OE；（2）OB=OC．18．如图，在△ABC中AC>AB，射线AD平分∠BAC，交BC于点E，点F在边AB的延长线上AF=AC，连接EF．（1）求证：△AEC≌△AEF．（2）若∠AEB=50°，求∠BEF的度数．19．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=60°，AD，CE分别平分∠BAC，∠ACB．（1）求∠AOE得度数；（2）求证：AC=AE+CD．参考答案1．A2．B3．C4．A5．D6．B7．A8．C9．HL10．70°11．12.5cm212．813．1214．解：∵ BE＝CF∴BE−CE=CF−CE∴BC=FE∵ AB＝DF，AC＝DE∴△ABC≌△DFE(SSS)∴∠B＝∠F∴AB∥DF．15．证明：∵DE⊥AC，∠DEC=90°又∵∠B=90°∴∠DEC=∠B=90°∵CD∥AB，∴∠A=∠DCE在△CED和△ABC中{∠DCE=∠A CE=AB∠DEC=∠B∴△CED≅△ABC(ASA).16．证明：如图，过点E作EF⊥AD于F∵∠B＝90°，AE平分∠DAB∴BE＝EF在Rt△EFA和Rt△EBA中{EF=EBAE=AE∴Rt△EFA和≌Rt△EBA（HL）．∴AF＝AB∵E是BC的中点∴BE＝CE＝EF在Rt△EFD和Rt△ECD中{EF=ECDE=DE∴Rt△EFD和≌Rt△ECD（HL）．∴DF＝CD∴CD+AB＝DF+AF＝AD∴CD+AB＝AD．17．（1）证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC ∴OD=OE（2）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC∴∠BDO=∠CEO=90°在△BDO和△CEO中{∠BDO=∠CEO DO=CO∠BOD=∠COE∴△BDO≌△CEO（ASA）∴OB=OC18．（1）证明：射线AD平分∠BAC∴∠CAE=∠FAE 在△AEC和△AEF中{AC=AF∠CAE=∠FAE AE=AE∴△AEC≌△AEF(SAS)；（2）解：∵△AEC≌△AEF(SAS)∴∠AEC=∠AEF∵∠AEB=50°∴∠AEC=180°−∠AEB=180°−50°=130°∴∠AEF=∠AEC=130°∴∠BEF=∠AEF−∠AEB=80°∴∠BEF为80°．19.18．（1）解：∵∠BAC=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°∵AD平分∠BAC，CE平分∠BAC∴∠CAD=12∠BAC=45°，∠ACE=12∠ACB=15°∵∠AOE是△AOC的外角∴∠AOE=∠CAD+∠ACE=60°；（2）证明：在AC上截取CF=CD，连接OF∵CE平分∠ACB∴∠DCO=∠FCO在△DCO和△FCO中{CD=CF∠DCO=∠FCOOC=OC∴△DCO≌△FCO(SAS)∴∠COD=∠COF∵∠AOE=60°∴∠COD=∠COF=60°∴∠AOF=180°−∠AOE−∠COF==60°∴∠AOE=∠AOF∵AD平分∠BAC∴∠EAO=∠FAO在△EAO和△FAO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF∴△EAO≌△FAO(ASA)∴AE=AF∵AC=AF+CF∴AC=AE+CD．。

人教版八年级上《第12章全等三角形》单元测试(5)含答案解析

《第12章全等三角形》一、选择题1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．95°3．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC5．如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）A．150°B．40° C．80° D．90°二、填空题6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：，使OC=OD（只添一个即可）．7．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由可得△AFC≌△AEB．8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有对．9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是度．10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件．（只需填写一个你认为适当的条件）三、解答题11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 度，DE= cm．12．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．试说明AD+AB=BE．13．如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？14．（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．《第12章全等三角形》参考答案与试题解析一、选择题1．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA【考点】全等三角形的应用．【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．【解答】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．故选D．【点评】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．2．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（）A．60° B．75° C．90° D．95°【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等．【解答】解：∠ABC+∠DBE+∠DBC=180°，且∠ABC+∠DBE=∠DBC；故∠CBD=90°．故选C．【点评】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．3．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与OB的中垂线的交点C．OA与CD的中垂线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点【考点】角平分线的性质．【分析】利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交点．【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交P．故选D．【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质．做题时注意题目要求要满足两个条件①到角两边距离相等，②点在CD上，要同时满足．4．如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是（）A．△ABD和△CDB的面积相等B．△ABD和△CDB的周长相等C．∠A+∠ABD=∠C+∠CBD D．AD∥BC，且AD=BC【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【解答】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项错误；C、∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，故本选项错误；故选C．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．5．如图，已知AB=DC，AD=BC，E、F在DB上两点且BF=DE，若∠AEB=120°，∠ADB=30°，则∠BCF=（）A．150°B．40° C．80° D．90°【考点】平行四边形的性质．【分析】由AB=DC，AD=BC可知四边形ABCD为平行四边形，根据BF=DE，可证△ADE≌△CBF，则∠BCF=∠DAE，因为∠AEB=120°、∠ADB=30°，所以可推得∠BCF=90°．【解答】解：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD为平行四边形，∴∠ADE=∠CBF，∵BF=DE，∴△ADE≌△CBF，∴∠BCF=∠DAE，∵∠DAE=180°﹣∠ADB﹣∠AED，∵∠AED=180°﹣∠A EB=60°，∠ADB=30°，∴∠BCF=90°．故选D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，运用平行四边形的性质解决以下问题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等．二、填空题6．如图，∠BAC=∠ABD，请你添加一个条件：∠C=∠D或AC=BD ，使OC=OD（只添一个即可）．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等．△AOD和△BOC中，由于∠BAC=∠ABD，可得出OA=OB，又已知了∠AOD=∠BOC，因此只需添加一组对应角相等即可得出两三角形全等，进而的得出OC=OD．也可直接添加AC=BD，然后联立OA=OB，即可得出OC=OD．【解答】解：∵∠BAC=∠ABD，∴OA=OB，又有∠AOD=∠BOC；∴当∠C=∠D时，△AOD≌△BOC；∴OC=OD．故填∠C=∠D或AC=BD．【点评】本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．7．如图，在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线，则由SAS 可得△AFC≌△AEB．【考点】全等三角形的判定．【分析】由已知AB=AC，BE、CF是中线，可得AF=AE，这样△AFC与△AEB中，有两边及它们的夹角对应相等，符合SAS，于是可得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，BE、CF是中线∴AF=BF=AE=EC∵∴△AFC≌△AEB（SAS）．因为该判定是两边角且该角为两边的夹角，所以用的是SAS．故填SAS．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．根据已知条件在三角形中的位置来选择方法是正确解答本题的关键．8．如图，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF，图中全等三角形共有 6 对．【考点】全等三角形的判定．【分析】在如上图形中可知相交的两直线和四边形的边长所组成的三角形全等，然后得到结论，再找其它的三角形由易到难．【解答】解：∵AD∥BC，OE=OF，∴∠FAC=∠BCA，又∠AOF=∠COE，∴△AFO≌△CEO，∴AO=CO，进一步可得△AOD≌△COB，△FOD≌△EOB，△ACB≌△ACD，△ABD≌△DCB，△AOB≌△COD共有6对．故填6【点评】考查全等三角形的判定，做题时要从已知开始思考结合全等的判定方法由易到难找寻，注意顺序别遗漏．9．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED=35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是35 度．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】过点E作EF⊥AD，证明△ABE≌△AFE，再求得∠CDE=90°﹣35°=55°，即可求得∠EAB的度数．【解答】解：过点E作EF⊥AD，∵DE平分∠ADC，且E是BC的中点，∴CE=EB=EF，又∠B=90°，且AE=AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠EAB=∠EAF．又∵∠CED=35°，∠C=90°，∴∠CDE=90°﹣35°=55°，即∠CDA=110°，∠DAB=70°，∴∠EAB=35°．【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．10．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC与B′C′边上的高，且AB=A′B′，AD=A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件CD=C′D′（或AC=A′C′，或∠C=∠C′或∠CAD=∠C′A′D′）．（只需填写一个你认为适当的条件）【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】根据判定方法，结合图形和已知条件，寻找添加条件．【解答】解：我们可以先利用HL判定△ABD≌△A′B′D′得出对应边相等，对应角相等．此时若添加CD=C´D´，可以利用SAS来判定其全等；添加∠C=∠C´，可以利用AAS判定其全等；还可添加AC=A′C′，∠CAD=∠C′A′D′等．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．三、解答题11．已知：△DEF≌△MNP，且EF=NP，∠F=∠P，∠D=48°，∠E=52°，MN=12cm，则∠P= 80 度，DE= 12 cm．【考点】全等三角形的性质．【分析】先运用三角形内角和求出∠F，再运用“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即易求，做题时要找准对应关系．【解答】解：△DEF中，∠D=48°，∠E=52°，∴∠F=180°﹣48°﹣52=80°，∵△DEF≌△MNP，MN=12cm，∴DE=MN=12cm，∠F=P=80°．故分别填80，12．【点评】本题考查了三角形全等的性质；用到的知识点为：全等三角形的对应边相等，对应角相等．应注意各对应顶点应在同一位置．在计算角的度数的时候各角的度数应整理到一个三角形中．12．（2015秋•东台市期中）如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B．试说明AD+AB=BE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】若△ADC≌△BCE，则AD=BC，BE=AC=AB+BC+AD+AB，所以求解Rt△ACD≌Rt△BEC即可得出结论．【解答】解：∵∠DCE=90°（已知），∴∠ECB+∠ACD=90°，∵EB⊥AC，∴∠E+∠ECB=90°（直角三角形两锐角互余）．∴∠ACD=∠E（同角的余角相等）．∵AD⊥AC，BE⊥AC（已知），∴∠A=∠EBC=90°（垂直的定义）在Rt△ACD和Rt△BEC中，，∴Rt△ACD≌Rt△BEC（AAS）．∴AD=BC，AC=BE（全等三角形的对应边相等），∴AD+AB=BC+AB=AC．∴AD+AB=BE．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，同一题中出现多个90°角的时候，往往通过互余求得角度相等，为三角形全等提供有用的条件，要掌握这种方法．13．（2014•黄冈模拟）如图，工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的：①分别在BA和CA上取BE=CG；②在BC上取BD=CF；③量出DE的长a米，FG的长b米．如果a=b，则说明∠B和∠C是相等的，他的这种做法合理吗？为什么？【考点】全等三角形的应用．【专题】证明题．【分析】给出的三组相等线段都分布在△BDE，△CFG中，判断他们全等，条件充分，利用全等的性质容易得出∠B=∠C．【解答】解：这种做法合理．理由：在△BDE和△CFG中，．∴△BDE≌△CFG（SSS），∴∠B=∠C．【点评】本题考查了全等三角形的应用；判断两个角相等，或者边相等，可以把他们分别放到两个可能全等的三角形中，围绕全等找判断全等的条件．14．（2005•烟台）（1）如图1，以△ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，试判断△ABC与△AEG面积之间的关系，并说明理由．（2）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b平方米，这条小路一共占地多少平方米．【考点】全等三角形的应用．【专题】应用题．【分析】（1）过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，得出△ABC与△AEG的两条高，由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键；（2）同（1）道理知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和，求出这条小路一共占地多少平方米．【解答】解：（1）△ABC与△AEG面积相等．理由：过点C作CM⊥AB于M，过点G作GN⊥EA交EA延长线于N，则∠AMC=∠ANG=90°，∵四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形，∴∠BAE=∠CAG=90°，AB=AE，AC=AG，∵∠BAE+∠CAG+∠BAC+∠EAG=360°，∴∠BAC+∠EAG=180°，∵∠EAG+∠GAN=180°，∴∠BAC=∠GAN，在△ACM和△AGN中，，∴△ACM≌△AGN，∴CM=GN，∵S△ABC =AB•CM，S△AEG=AE•GN，∴S△ABC =S△AEG，（2）由（1）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和．∴这条小路的面积为（a+2b）平方米．【点评】本题要利用正方形的特殊性，巧妙地借助两个三角形全等，寻找三角形面积之间的等量关系，解决问题．由正方形的特殊性证明△ACM≌△AGN，是判断△ABC与△AEG面积之间的关系的关键．。

中考数学专题复习全等三角形之手拉手模型

中考数学专题复习全等三角形（手拉手模型）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人 得分一、单选题1．如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，分别以AB ，AC 为边作等边ABD △和等边ACE ，连结DE ，若3AB =，5AC =，则ED =（ ）A ．22B ．23C ．4D ．322．如图，正ABC 和正CDE △中，B 、C 、D 共线，且3BC CD =，连接AD 和BE 相交于点F ，以下结论中正确的有（ ）个①60AFB ∠=︒ ①连接FC ，则CF 平分BFD ∠ ①3BF DF = ①BF AF FC =+ A ．4 B ．3C ．2D ．1评卷人 得分二、填空题 3．如图，ABC 是边长为5的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒．E 、F 分别在AB 、AC 上，且60EDF ∠=︒，则三角形AEF 的周长为______．评卷人得分三、解答题 4．（1）问题发现：如图1，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 在同一条直线上，则AEB ∠的度数为__________，线段AD 、BE之间的数量关系__________； （2）拓展探究：如图2，ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，连接AD ，BE ，点A 、D 、E 不在一条直线上，请判断线段AD 、BE 之间的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题：如图3，ACB △和DCE 均为等腰三角形，ACB DCE α∠=∠=，则直线AD 和BE 的夹角为__________．（请用含α的式子表示）5．如图，已知点P 在矩形ABCD 外，①APB ＝90°，P A ＝PB ，点E 、F 分别在AD 、BC 上运动，且①EPF ＝45°，连接EF ．(1)求证：①APE ①①BFP ； (2)若①PEF 是等腰直角三角形，求AEBF的值； (3)试探究线段AE 、BF 、EF 之间满足的等量关系，并证明你的结论．6．已知：如图，在①ABC中，AB＝AC，在①ADE中，AD＝AE，且①BAC＝①DAE，连接BD，CE交于点F，连接AF．(1)求证：①ABD①①ACE；(2)求证：F A平分①BFE．7．【理解概念】当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中有一个三角形是等腰直角三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”，把这个四边形叫做“等腰直角四边形”，当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分成两个三角形．若其中一个三角形是等腰直角三角形，另一个三角形是等腰三角形，则把这条对角线叫做这个四边形的“真等腰直角线”，把这个四边形叫做“真等腰直角四边形”．(1)【巩固新知】如图①，若AD=3，AD=DB=DC，BC=32，则四边形ABCD______（填“是”或“否”）真等腰直角四边形．(2)【深度理解】在图①中，如果四边形ABCD是真等腰直角四边形，且①BDC=90°，对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，当AD=4，AB=3时，则边BC的长是______．(3)如图①，四边形ABCD与四边形ABDE都是等腰直角四边形，且①BDC=90°，①ADE=90°，BD＞AD＞AB，对角线BD、AD分别是这两个四边形的等腰直角线．求证：AC=BE．(4)【拓展提高】在图3中，已知：四边形ABCD是等腰直角四边形，对角线BD是这个四边形的等腰直角线．若BD正好是分得的等腰直角三角形的一条直角边，且AD=3，AB=4，①BAD=45°，求AC的长．8．如图，在等腰①ABC与等腰①ADE中，AB=AC，AD=AE，①BAC=①DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分①BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．9．在ABC中，90B∠=︒，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．（1）如图1，当50BAC∠=︒时，则AED=∠_______°；（2）当60BAC∠=︒时，①如图2，连接AD，判断AED的形状，并证明；①如图3，直线CF与ED交于点F，满足CFD CAE∠=∠．P为直线CF上一动点．当PE PD-的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．10．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，①BAC＝①DAE，连接BD，CE，BD与CE交于点O，BD与AC交于点F．（1）求证：BD＝CE．（2）若①BAC＝48°，求①COD的度数．（3）若G为CE上一点，GE＝OD，AG＝OC，且AG①BD，求证：BD①AC．11．如图，①ABC为等边三角形，点D为线段BC上一点，将线段AD以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AE，连接BE，点D关于直线BE的对称点为F，BE与DF 交于点G，连接DE，EF．（1）求证：①BDF＝30°（2）若①EFD＝45°，AC＝3+1，求BD的长；（3）如图2，在（2）条件下，以点D为顶点作等腰直角①DMN，其中DN＝MN＝2，连接FM，点O为FM的中点，当①DMN绕点D旋转时，求证：EO的最大值等于BC．12．如图，在等腰直角三角形ABC和ADE中，AC＝AB，AD＝AE，连接BD，点M、N分别是BD，BC的中点，连接MN．（1）如图1，当顶点D在边AC上时，请直接写出线段BE与线段MN的数量关系是，位置关系是．（2）当①ADE绕点A旋转时，连接BE，上述结论是否依然成立，若成立，请就图2情况给出证明；若不成立，请说明理由．（3）当AC＝8时，在①ADE绕点A旋转过程中，以D，E，M，N为顶点可以组成平行四边形，请直接写出AD的长．13．如图1，在①ABC中，AE①BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将①DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；①你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．14．如图，在等边三角形ABC右侧作射线,60CP ACPα∠=<︒，点A关于射线CP的对称点为点D，连接BD交CP于点E，连接,,AD CD AE．（1）用含α的式子表示BCD∠；（2）求BEC∠的度数；（3）试探究线段BD、AE、CE之间的数量关系，并证明．15．已知：①ABC与①BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有①ABC＝①DBE．（1）如图1，如果A、B、D在一直线上，且①ABC＝60°，求证：①BMN是等边三角形；（2）在第（1）问的情况下，直线AE和CD的夹角是°；（3）如图2，若A、B、D不在一直线上，但①ABC＝60°的条件不变则直线AE和CD 的夹角是°；（4）如图3，若①ACB＝60°，直线AE和CD的夹角是°．16．如图1，在等边ABC 中，60,A AB AC ∠=︒=，点D ，E 分别在边,AB AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为,,DE DC BC 的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，MPN ∠= ；（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接,,MN BD CE ，则上面题（1）中的两个结论是否依然成立，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4,10AD AB ==，请直接写出PMN 周长的最大值．17．已知，在①ABC 中，AB=AC ，（1）如图1，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，且点D 在CA 的延长线上时，求证：222CD BD AD =+；（2）如图2，2,,ABC BDA αα∠=∠=若30α=︒，试判断AD ，BD ，CD 之间的等量关系，并说明理由（3）如图3，若45,62,BDA ABC AD ∠=∠=︒=BD =5，求CD 的长．18．现有一块含30°角的直角三角板AOB，点N在其斜边AB上，点M在其最短直角边OA所在直线上．以MN为边作如图所示的等边①MNP．（1）如图1，当M在线段OA上时，证明：AM﹣AN＝AP；（2）如图2当M在射线OA上时，试探究AM、AN、AP三者之间的数量关系并给出证明．19．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．（1）如图1，求证AE①BF；（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，①MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝2BN；（3）在（2）的条件下，若tan①AEB＝3，S△CHN＝95，求AB的长20．如图，在Rt ABC△中，90ABC∠=︒，点D在BC的延长线上，且BD AB=，过点B作BE AC⊥，与BD的垂线DE交于点E，连结AD，取AD中点O，连结OC，OE．（1）求证：ABC BDE△≌△．（2）求证：OC OE=．21．如图1，在①ABC中，AE①BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）判断BD与AC的位置关系和数量关系，并证明；（2）如图2，若将①DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD 与AC夹角的度数．22．正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转．（1）当旋转至图1位置时，连接BE，DG，则线段BE和DG的关系为；（2）在图1中，连接BD，BF，DF，求在旋转过程中BDF的面积最大值；（3）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段BE的长．23．在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（b，0），且a，b满足26930a a b-+++=，C、D两点分别是y轴正半轴、x轴负半轴上的两个动点；（1）如图1，若C（0，4），求△ABC的面积；（2）如图1，若C（0，4），BC=5，BD=AE，且∠CBA=∠CDE，求D点的坐标；（3）如图2，若∠CBA=60°，以CD为边，在CD的右侧作等边△CDE，连接OE，当OE最短时，求A，E两点之间的距离．24．在ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B，C重合），以AD为一边在AD的右侧作ADE，使AD＝AE，①DAE＝①BAC，连接CE．（1）（请直接写出你的结论）如图1，当点D在线段BC上：①如果①BAC＝90°，则①BCE＝°；①如果①BAC＝100°，则①BCE＝°；（2）设①BAC＝α，①BCE＝β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请说明理由；①当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？请画出图形，并直接写出你的结论．25．（1）问题：如图1，在Rt ①ABC 中，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 边上一点（不与点B ，C 重合）．连接AD ，过点A 作AE ①AD ，并满足AE ＝AD ，连接CE ．则线段BD 和线段CE的数量关系是，位置关系是 ；（2）探索：如图2，当D 点为BC 边上一点（不与点B ，C 重合），Rt ①ABC 与Rt ①ADE 均为等腰直角三角形，①BAC ＝①DAE ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．试探索线段BD 、CD 、DE 之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）拓展：如图3，在四边形ABCD 中，①ABC ＝①ACB ＝①ADC ＝45°，若BD ＝3，CD ＝1，则线段AD 的长为26．已知：等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △中，AB AC =，AE AD =，90BAC EAD ∠=∠=︒．（1）如图1，延长DE 交BC 于点F ，若68BAE ∠=︒，则DFC ∠的度数为 ；（2）如图2，连接EC 、BD ，延长EA 交BD 于点M ，若90AEC ∠=︒，求证：点M 为BD 中点；（3）如图3，连接EC 、BD ，点G 是CE 的中点，连接AG ，交BD 于点H ，9AG =，5HG =，直接写出AEC △的面积．27．如图，点A，M，B在同一直线上，以AB为边，分别在直线两侧作等边三角形ABC和等边三角形ABD，连接CM，DM，过点M作MN＝DM，交BC边于点G，交DB的延长线于点N．（1）求证：①BCM＝①BDM；（2）求①CMN的度数；（3）求证：AM＝BN．28．边长为4的正方形ABCD与边长为22的正方形CEFG如图1摆放，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α，连接BG，DE．（1）如图2，求证：①BCG①①DCE；（2）如图2，连接DG，BE，判断DG2+BE2否为定值．若是，求这个定值若不是，说明理由；（3）如图3，当点G恰好落在DE上时，求α的值．29．在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =．（1）如图1，ABC 的角平分线BD ，CE 交于点Q ，请判断“2QB QA =”是否正确；______（填“是”或“否”）；（2）点P 是ABC 所在平面内的一点，连接PA ，PB 且2PB PA =． ①如图2，点P 在ABC 内，30ABP ∠=︒，求PAB ∠的大小；①如图3，点P 在ABC 外，连接PC ，设APC α∠=，BPC β∠=，求αβ+的值．30．在学习全等三角形知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成在相对位置变化的同时始终存在一对全等三角形通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组进行了如下探究：（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，BAC DAE ∠=∠，连接BD 、CE ，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和ADB △全等的三角形是______，此线BD 和CE 的数量关系是______．（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和ADE 中，AB AC =，AE AD =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD 、CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和CE 的关系，并说明理由．参考答案：1．C 【解析】 【分析】在Rt △ABC 中可直接运用勾股定理求出BC ，然后结合“手拉手”模型证得△ABC ①①ADE ，即可得到DE =BC ，从而求解即可． 【详解】解：在Rt △ABC 中，AB =3，AC =5， ①由勾股定理得：BC =4，①ABD △和ACE 均为等边三角形， ①AB =AD ，AC =AE ，①BAD =①CAE =60°， ①①BAD -①CAD =①CAE -①CAD ， 即：①BAC =①DAE ， 在△ABC 和△ADE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△ABC ①①ADE (SAS )， ①DE =BC =4， 故选：C ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键． 2．A 【解析】 【分析】根据“手拉手”模型证明BCE ACD ≌，从而得到CBE CAD ∠=∠，再结合三角形的外角性质即可求解60AFB ACB ∠=∠=︒，即可证明①；作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，证明CEM CDN ≌，结合角平分线的判定定理即可证明①；利用面积法表示BCF △和DCF 的面积，然后利用比值即可证明①；利用“截长补短”的思想，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，首先判断出FCQ 为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出BCF ACQ ≌即可证明①． 【详解】解：①①ABC 和CDE △均为等边三角形， ①60ACB ECD ∠=∠=︒，AC BC =，EC DC =， ①ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠， ①BCE ACD ∠=∠， 在BCE 和ACD △中， BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCE ACD SAS ≌， ①CBE CAD ∠=∠，①AFB CBE CDA ∠=∠+∠，ACB CDA CAD ∠=∠+∠， ①60AFB ACB ∠=∠=︒，故①正确；①如图所示，作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点， 则90CME CND ∠=∠=︒， ①BCE ACD ≌， ①CEM CDN ∠=∠， 在CEM 和CDN △中， CME CND CEM CDN CE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()CEM CDN AAS ≌， ①CM CN =，①CF 平分BFD ∠，故①正确； ①如图所示，作FP BD ⊥于P 点， ①1122BCFSBF CM BC FP ==，1122DCFS DF CN CD FP ==， ①11221122BCF DCFBF CM BC FP SSDF CN CD FP ==，①CM CN =， ①整理得：BF BCDF CD=， ①3BC CD =， ①33BF CDDF CD==， ①3BF DF =，故①正确；①如图所示，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =， ①60AFB ACB ∠=∠=︒，CF 平分BFD ∠， ①120BFD ∠=︒，1602CFD BFD ∠=∠=︒，①FCQ 为等边三角形， ①60FCQ ∠=︒，CF CQ =， ①60ACB ∠=︒，①ACB ACF FCQACF ∠+∠=∠+∠， ①BCF ACQ ∠=∠， 在BCF △和ACQ 中， BC AC BCF ACQ CF CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCF ACQ SAS ≌， ①BF AQ =，①AQ AF FQ =+，FQ FC =， ①BF AF FC =+，故①正确； 综上，①①①①均正确； 故选：A ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．3．10【解析】【分析】延长AB到N，使BN=CF，连接DN，求出①FCD=①EBD=①NBD=90°，根据SAS证①NBD①①FCD，推出DN=DF，①NDB=①FDC，求出①EDF=①EDN，根据SAS证①EDF①①EDN，推出EF=EN，易得①AEF的周长等于AB+AC．【详解】解：延长AB到N，使BN=CF，连接DN，①①ABC是等边三角形，①①ABC=①ACB=60°，①BD=CD，①BDC=120°，①①DBC=①DCB=30°，①①ACD=①ABD=30°+60°=90°=①NBD，①在①NBD和①FCD中，BD DCNBD FCDBN CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①NBD①①FCD（SAS），①DN=DF，①NDB=①FDC，①①BDC=120°，①EDF=60°，①①EDB+①FDC=60°，①①EDB+①BDN=60°，即①EDF =①EDN ，在①EDN 和①EDF 中，DE DE EDF EDN DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①EDN ①①EDF （SAS ），①EF =EN =BE +BN =BE +CF ，即BE +CF =EF ．①①ABC 是边长为5的等边三角形，①AB =AC =5，①BE +CF =EF ，①①AEF 的周长为：AE +EF +AF =AE +EB +FC +AF =AB +AC =10，故答案为：10．【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．4．（1）90°，AD =BE ；（2）AD =BE ，AD ①BE ；（3）α【解析】【分析】（1）由已知条件可得AC BC ＝，CD CE ＝，进而根据①ACB −①DCB ＝①DCE −①DCB ，可得①ACD ＝①BCE ，证明①ACD ①①BCE （SAS ），即可求得AD =BE ；①BEC =①CDA =135°； （2）延长AD 交BE 于点F ，同理可得①ACD ①①BCE ，设①F AB =α，则①CAD =①CBE =45°-α，根据①ABE =45°+45°-α=90°-α，进而根据①AFB =180°-①F AB -①ABE =180°-α-(90°-α)=90°，即可求解；（3）延长BE 交AD 于点G ，方法同（2）证明①ACD ①①BCE ，进而根据三角形的内角和定理即可求得直线AD 和BE 的夹角． 【详解】（1）①ACB △和DCE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，①AC BC ＝，CD CE ＝，①CDE =45°①①CDA =135°①①ACB −①DCB ＝①DCE −①DCB ，①①ACD ＝①BCE ．在①ACD 和①BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ACD ①①BCE （SAS ），①①BEC =①ADC ＝135°，AD ＝BE∠①AEB =90°故答案为：90°，AD ＝BE（2）AD =BE ，AD ①BE ，理由如下，同理可得①ACD ①①BCE ，则AD =BE ，延长AD 交BE 于点F ，设①F AB =α，则①CAD =①CBE =45°-α①①ABE =45°+45°-α=90°-α①①AFB =180°-①F AB -①ABE =180°-α-(90°-α)=90°①AD ①BE（3）如图，延长BE 交AD 于点G ，①ACB △和DCE 均为等腰三角形，①AC BC ＝，CD CE ＝，①①ACB =①DCE =α，①①ACB +①ACE ＝①DCE +①ACE ，①①ACD ＝①BCE ．在①ACD 和①BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，①①ACD ①①BCE （SAS ），①①CBE =①CAD①ACB DCE α∠=∠=①①CBA =①CAB =()11180=9022αα︒-︒- ①①GAB +①GBA =()()CAD CAB ABC CBE ∠+∠+∠-∠，ABC CAB =∠+∠180α=︒-，①①AGB =180°-(①GAB +①GBA )α= ，即直线AD 和BE 的夹角为α．故答案为：α．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证明三角形全等是解题的关键．5．(1)见解析(2)12或2(3)线段AE，BF，EF之间满足的等量关系是AE2+BF2=EF2．证明见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定得出①APE①①BFP即可；（2）根据相似三角形的性质得出比例关系，分两种情况进行讨论解答即可；（3）利用全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．(1)①四边形ABCD是矩形，①①BAD=①ABC=90°．①①APB=90°，P A=PB，①①P AB=①PBA=45°．①①P AE=①P AB+①BAD=45°+90°=135°，①FBP=①PBA+①ABC=45°+90°=135°，①①P AE=①PBF．①①APE+①AEP=45°．①①EPF=45°，①APB=90°，①①APE+①BPF=45°．①①AEP=①BPF．①①APE①①BFP．(2)①①APE①①BFP，①AE AP EP BP BF PF==．①①PEF是等腰直角三角形，①EPF=45°，①可分为两种情况讨论：①当①PEF=90°，PE=EF时，则2.PF PE=．①12AE AP EPBP BF PF===．①12AE BP=，2BF AP=．①AP=BP，①11222BPAEBF AP==．①当①PFE=90°，PF=EF时，则2PE PF=．①2AE AP EPBP BF PF===．①2AE BP=，12BF AP=．①AP=BP，①2212AE BPBF AP⋅==．综上所述，AEBF的值为12或2．(3)线段AE，BF，EF之间满足的等量关系是AE2+BF2=EF2．证明：延长AB到G，使得BG=AE，连接PG，FG，①①PBA=45°，①①PBG=135°．①①P AE=135°，①①PBG=①P AE．①P A=PB，BG=AE，①①PBG①①P AE（SAS）．①BG=AE，PG=PE，①BPG=①APE．①①APE+①BPF=①EPF=45°，①①BPG+①BPF=①EPF．即①GPF=①EPF．又①PF=PF，PG=PE，①①PGF①①PEF（SAS）．①GF=EF．①①ABC=90°，①①GBF=90°．①由勾股定理得，BG2+BF2=GF2．①AE2+BF2=EF2．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解本题的关键．6．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）根据SAS证明结论即可；（2）作AM①BD于M，作AN①CE于N．由（1）可得BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，然后根据角平分线的性质即可解决问题．(1)证明：①①BAC＝①DAE，①①BAC+①CAD＝①DAE+①CAD，即①BAD＝①CAE，在①BAD和①CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BAD①①CAE（SAS）；(2)证明：如图，作AM①BD于M，作AN①CE于N．由①BAD①①CAE，①BD＝CE，S△BAD＝S△CAE，①1122BD AM CE AN⋅⋅=⋅⋅，①AM＝AN，①点A在①BFE平分线上，①F A平分①BFE．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会转化的思想，巧用等积法进行证明．7．(1)是(2)42或32(3)见解析(4)AC=34或41．【解析】【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明①BDC=90°，从而①BDC是等腰直角三角形，又因为①ABD是等腰三角形，即可得出结论；（2）由题意知①ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=42，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=32；（3）利用SAS证明①ADC①①EDB，得AC=BE；（4）分①BDC=90°和①DBC=90°，分别构造等腰直角三角形，利用（3）中全等进行转化，从而解决问题．(1)解：①AD=3，AD=DB=DC，①BD=CD=3，①BD2+CD2=18，BC2=（32）2=18，①BD2+CD2=BC2，①①BDC是等腰直角三角形，①①ABD是等腰三角形，①四边形ABCD是真等腰直角四边形，故答案为：是；(2)解：①对角线BD是这个四边形的真等腰直角线，①①ABD是等腰三角形，当AD=BD=4时，由勾股定理得：BC=2244+=42，当BD=AB=3时，由勾股定理得：BC=22+=32，33综上：BC=42或32，故答案为：42或32；(3)解：由题意知：①BDC和①ADE都是等腰直角三角形，①BD=CD，AD=DE，①BDC=①ADE=90°，①①ADC=①EDB，①①ADC①①EDB（SAS），①AC=BE；(4)解：由题意知：①BDC是等腰直角三角形，当①BDC=90°时，如图，作DE①AD，取DE=AD，连接AE，BE，由（3）同理得①ADC①①EDB（SAS），①AC=BE，①AD=3，①ADE是等腰直角三角形，①AE=32，①EAD=45°，①①DAB=45°，①①EAB=90°，由勾股定理得BE=()222232434AE AB+=+=，①AC=34；当①DBC=90°时，如图，同理可得AE=42，DE=AC=41，综上：AC=34或41．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形和等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，读懂题意，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，注意问题设置的层次性．8．(1)见解析(2)见解析(3)PE=AP+PD，见解析【解析】【分析】（1）由“SAS”可证①BAD①①CAE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性质可得S△BAD=S△CAE，由三角形面积公式可得AH=AF，由角平分线的性质可得AP平分①BPE；（3）由全等三角形的性质可得①BDA=①CEA，由“SAS”可证①AOE①①APD，可得AO=AP，可证①APO是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．(1)证明：①①BAC=①DAE=α，①①BAD=①CAE，又①AB=AC，AD=AE，①①BAD①①CAE（SAS），①BD=CE；(2)证明：如图，过点A作AH①BD，AF①CE，①①BAD①①CAE，①S△BAD=S△CAE，BD=CE，①12BD×AH=12CE×AF，①AH=AF，又①AH①BD，AF①CE，①AP平分①BPE；(3)解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，①①BAD①①CAE，①①BDA=①CEA，又①OE=PD，AE=AD，①①AOE①①APD（SAS），①AP=AO，①①BDA=①CEA，①PND=①ANE，①①NPD=①DAE=α=60°，①①BPE=180°-①NPD=180°-60°=120°，又①AP 平分①BPE ，①①APO =60°，又①AP =AO ，①①APO 是等边三角形，①AP =PO ，①PE =PO +OE ，①PE =AP +PD ．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明①BAD ①①CAE 是解本题的关键．9．（1）80；（2）AED 是等边三角形；（3）2PE PD AB -=．【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质可知AE EC ED ==，再结合等腰三角形性质可得EAC ECA ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，利用平角定义和四边形内角和定理可得2AED ACB ∠=∠，由此求解即可； （2）根据（1）的结论求出260AED ACB ∠=∠=︒即可证明AED 是等边三角形；（3）根据利用对称和三角形两边之差小于第三边，找到当PE PD -的值最大时的P 点位置，再证明对称点D 与AD 两点构成三角形为等边三角形，利用旋转全等模型即可证明ACD ED D '≅，从而可知PE PD PE PD ED AC ''-=-==，再根据30°直角三角形性质可知2AC AB =即可得出结论．【详解】解：（1）①点E 为线段AC ，CD 的垂直平 分线的交点，①AE EC ED ==，①EAC ECA ∠=∠，EDC ECD ∠=∠，①EAC EDC ACE ECD ACD ∠+∠=∠+∠=∠，①360EAC EDC ACD AED ∠+∠+∠+∠=︒，①2360ACD AED ∠+∠=︒，①180ACD ACB ∠+∠=︒，①2AED ACB ∠=∠，①在ABC 中，90B ∠=︒，50BAC ∠=︒，①40ACB ∠=︒，①280AED ACB ∠=∠=︒，故答案为：80︒．（2）①结论：AED 是等边三角形．证明：①在ABC 中，90B ∠=︒，60BAC ∠=︒，①30ACB ∠=︒，由（1）得：260AED ACB ∠=∠=︒，AE EC ED ==，①AED 是等边三角形．①结论：2PE PD AB -=．证明：如解图1，取D 点关于直线AF 的对称点D ，连接PD 、PD '；①PD PD '=，①PE PD ED ''-≤，等号仅P 、E 、D 三点在一条直线上成立，如解图2，P 、E 、D 三点在一条直线上，由（1）得：CAE EDC ACD ∠+∠=∠，又①CFD CAE ∠=∠，①CFD CDE ACD ∠+∠=∠，又①180ACD ACB ∠+∠=︒，180CFD CDE PCD ∠+∠+∠=︒，①30PCD ACB ∠=∠=︒，①点D 、点D 是关于直线AF 的对称点，①CD CD '=，260D CD PCD '∠=∠=︒，①D CD '△是等边三角形，①CD DD '=，60CDD '∠=︒，①AED 是等边三角形，①AD ED =，60ADE ∠=︒，①ADC D DA D DA EDD '''∠+∠=∠+∠，①ADC EDD '∠=∠，在ACD △和ED D '中，AD ED ADC EDD CD D D '=⎧⎪∠=∠⎨='⎪⎩，①ACD ED D '≅（SAS ）①AC ED '=，①PD PD '=，①PE PD PE PD ED AC ''-=-==，在ABC 中，90B ∠=︒，30ACB ∠=︒，①2AC AB =，①2PE PD AB -=【点睛】 本题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形、等边三角形的性质和判定，全等三角形性质和判定等知识点，解题关键是利用对称将PE PD -转化为三角形三边关系找到P 的位置，并证明对称点D 与AD 两点构成三角形为等边三角形．10．（1）见解析；（2）132°；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据①BAC ＝①DAE ，推出①BAD =①CAE ，从而结合“SAS ”证明△BAD ①①CAE ，即可得出结论；（2）根据外角定理推出①COD =①OBC +①BCA +①ACE ，结合全等三角形的性质推出①COD =①ABC +①BCA ，最后在△ABC 中利用内角和定理求解即可；（3）连接AO ，根据题意确定△ADO ①△AEG ，得到①OAD =①GAE ，AO =AG ，再结合题干条件推出△AOC 为等腰三角形，以及①BOA =①BOC ，从而根据“三线合一”证明即可．【详解】（1）证：①①BAC ＝①DAE ，①①BAC +①CAD ＝①DAE +①CAD ，即：①BAD =①CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△BAD ①①CAE (SAS )，①BD =CE ；（2）解：①①COD =①OBC +①BCO ，①BCO =①BCA +①ACE ，①①COD =①OBC +①BCA +①ACE ，①△BAD ①①CAE ，①①ABD =①ACE ，①①COD =①OBC +①BCA +①ABD =①ABC +①BCA ，①①BAC ＝48°，①①ABC +①BCA =180°-48°=132°，①①COD =132°；（3）证：如图所示，连接AO ，①△BAD ①①CAE ，①①ADO =①AEG ，在△ADO 和△AEG 中，E A ADO A G E E D G D A O =⎧⎪⎨⎪∠==⎩∠①△ADO①△AEG(SAS)，①①OAD=①GAE，AO=AG，①①AOG=①AGO，①①OAD+①DAG=①GAE+①DAG，即：①OAG=①DAE，①①DAE=①BAC，①①BAC=①OAG，在△ABF和△COF中，①BAC=180°-①ABD-①AFB，①BOC=180°-①ACE-①CFO，由（2）知①ABD=①ACE，①①AFB=①CFO，①①BAC=①BOC，①①BOC=①OAG，①AG①BD，①①BOA=①OAG，①①BOA=①BOC，①AO=AG，AG=CO，①AO=CO，即：△AOC为等腰三角形，①①BOA=①BOC，①OF①AC，①BD①AC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定与性质，熟悉“手拉手”模型的证明是解题关键．11．（1）见解析；（2）2；（3）见解析【解析】【分析】（1）由①ABC是等边三角形，可得①ABC=60°，由D、F关于直线BE对称，得到BF=BD，则①BFD=①BDF，由三角形外角的性质得到①BFD+①BDF=①ABD，则①BDF=①BFD=30°；（2）设BG x=，由D、F关于直线BE对称，得到①BGD=①BGF=90°，EF=ED，EG=DG，由含30度角的直角三角形的性质和勾股定理得2BD x=，3DG x=，证明①EAB①①DAC得到3CD BE EG BG GD BG x x==-=-=-，再由31BC AC==+，得到2331BD CD x x x+=+-=+，由此求解即可；（3）连接OG，先求出2MD=，证明OG是三角形DMF的中位线，得到112OG DM==，再根据两点之间线段最短可知13OE EG OG≤+=+，则OE的最大值等于BC．【详解】解：（1）①①ABC是等边三角形，①①ABC=60°，①D、F关于直线BE对称，①BF=BD，①①BFD=①BDF，①①BFD+①BDF=①ABD，①①BDF=①BFD=30°；（2）设BG x=，①D、F关于直线BE对称，①①BGD=①BGF=90°，EF=ED，①①EDG=EFG=45°，①EG=DG，①①BDG=30°，①22BD BG x==，①223DG BD BG x=-=，由旋转的性质可得AE =AD ，①EAD =①BAC =60°，①①EAB +①BAD =①CAD +①BAD ，即①EAB =①DAC ，又①AB =AC ，①①EAB ①①DAC （SAS ），①3CD BE EG BG GD BG x x ==-=-=-，①31BC AC ==+，①2331BD CD x x x +=+-=+，①1x =，①22BD x ==；（3）如图所示，连接OG ，①在等腰直角三角形DMN 中，2DN MN ==，①222MD DN MN =+=，①D 、F 关于直线BE 对称，①G 为DF 的中点，又①O 为FM 的中点，①OG 是三角形DMF 的中位线，①112OG DM ==， 由（2）可得3EG =，根据两点之间线段最短可知13OE EG OG ≤+=+，①OE 的最大值等于BC ．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，三角形中位线定理，两点之间线段最短等等，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质．12．（1）MN =12BE ；MN ①BE ；（2）成立，理由见解析；（3）81313或855【解析】【分析】（1）延长MN 交AB 于点G ，根据三角形的中位线定理证明//MN AB ，1122MN CD BE ==，再由平行线的性质证明90NGB A ∠=∠=︒，则MN BE ⊥；（2）（1）中的结论依然成立，连接CD ，由等腰直角三角形的性质推出相应的线段相等和角相等，证明CAD BAE ∆≅∆，先证明CD BE ⊥，再证明MN BE ⊥；由三角形的中位线定理证明12MN BE =； （3）以D ，E ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形分两种情况，即AD 在ABC ∆的内部、AD 、AE 都在ABC ∆的外部，此时C 、D 、E 三点在同一条直线上，且2CD BE DE ==，再根据CD BE ⊥，得到直角三角形，由勾股定理列方程求AD 的长．【详解】解：（1）如图1，延长MN 交AB 于点G ，M 、N 分别是BD 、BC 的中点，//MN CD ∴，且12MN CD =， 90NGB A ∴∠=∠=︒，MN BE ∴⊥．AC AB =，AD AE =，CD BE ∴=，12MN BE ∴=； 故答案为：12MN BE =，.MN BE ⊥ （2）成立，理由如下：∴如图2，连接并延长CD 交BE 于点H ，延长NM 交BE 于点G ，90CAB DAE ∠=∠=︒，90CAD BAE DAB ∴∠=∠=︒-∠，AC AB =，AD AE =，()CAD BAE SAS ∴∆∆≌， CD BE ∴=，ACD ABE ∠=∠，点M 、N 分别是BD 、BC 的中点，//MN CD ∴，12MN CD =， 12MN BE ∴=； 90BCH CBH BCH ABE ABC BCH ACD ABC ACB ABC ∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒， 90CHB ∴∠=︒，CD BE ∴⊥，90NGB CHB ∴∠=∠=︒；MN BE ∴⊥．（3）如图3，AD 在ABC ∆内部，AE 在ABC ∆的外部，且四边形DEMN 是平行四边形，由（2）得，CD BE ⊥，//MN CD ，1122MN CD BE ==，∵四边形DEMN 是平行四边形， //DE MN ，DE MN =，C ∴、D 、E 三点在同一条直线上，90BEC ∴∠=︒，222DE AD =，2DE AD ∴=，2222CD BE MN DE AD ∴====，8AC =，22288128BC ∴=+=， 由222CE BE BC +=得，22(222)(22)128AD AD AD ++=，解得81313AD =； 如图4，AD 、AE 都在ABC ∆的外部，且四边形DENM 是平行四边形，设BE 交AC 于点O ，90CAD BAE CAE ∠=∠=︒+∠，AC AB =，AD AE =，()CAD BAE SAS ∴∆∆≌，CD BE ∴=，M 、N 分别为BD 、BC 的中点，//MN CD ∴，四边形DENM 是平行四边形，//DE MN ∴，∴点E 在CD 上，ACD ABE ∠=∠，COE AOB ∠=∠，90ACE COE ABE AOB ∴∠+∠=∠+∠=︒，90BEC ∴∠=︒，M 、N 分别是BD 、BC 的中点，1122MN CD BE ∴==， 22BE CD MN DE ∴===，2DE AD =，22BE CD AD ∴==，由222CE BE BC +=得，22(222)(22)128AD AD AD -+=，解得855AD =， 综上所述，AD 的长为81313或855． 【点睛】 本题主要考查平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理及二次根式的运算，熟练掌握平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线、勾股定理及二次根式的运算是解题的关键．13．（1）BD ＝AC ，BD ①AC ，理由见解析；（2）不变，理由见解析；（3）①BD ＝AC ，理由见解析；①能，60°或120°．【解析】【分析】（1）延长BD 交AC 于F ，根据“SAS ”判定BED AEC ≌，根据全等三角形的性质，即可求证；（2）根据“SAS ”判定BED AEC ≌，根据全等三角形的性质，即可求证；（3）①根据“SAS ”判定BED AEC ≌，根据全等三角形的性质，即可求证；①设AC 与BD 交于点F ，根据全等三角形的性质，即可求证．【详解】（1）BD ＝AC ，BD ①AC ，理由：延长BD 交AC 于F ．①AE ①BC ，①①AEB ＝①AEC ＝90°，在①BED 和①AEC 中BE AE BED AEC DE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BED AEC SAS ≌，①BD ＝AC ，①DBE ＝①CAE ，①①BED ＝90°，①①EBD +①BDE ＝90°，①①BDE ＝①ADF ，①①ADF +①CAE ＝90°，①①AFD ＝180°﹣90°＝90°，①BD ①AC ；（2）不发生变化，理由是：①①BEA ＝①DEC ＝90°，①①BEA +①AED ＝①DEC +①AED ，①①BED ＝①AEC ，在①BED 和①AEC 中，BE AE BED AEC DE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BED ①①AEC （SAS ），①BD ＝AC ，①BDE ＝①ACE ，①①DEC ＝90°，①①ACE +①EOC ＝90°，①①EOC ＝①DOF ，①①BDE +①DOF ＝90°，①①DFO ＝180°﹣90°＝90°，①BD ①AC ；（3）①①①BEA ＝①DEC ＝90°，①①BEA +①AED ＝①DEC +①AED ，①①BED ＝①AEC ，在①BED 和①AEC 中， BE AE BED AEC DE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①BED ①①AEC （SAS ），①BD ＝AC ，①能．设AC 与BD 交于点F ，如下图：理由：①①ABE 和①DEC 是等边三角形，①AE ＝BE ，DE ＝EC ，①EDC ＝①DCE ＝60°，①BEA ＝①DEC ＝60°，①①BEA +①AED ＝①DEC +①AED ，①①BED ＝①AEC ，在①BED 和①AEC 中，BE AE BED AEC DE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①BED ①①AEC （SAS ），①①BDE ＝①ACE ，BD ＝AC ．①()180DFC BDE EDC DCF ∠=︒-∠+∠+∠180()ACE EDC DCF ︒-∠+∠+∠＝180(6060)︒-︒+︒＝ 60=︒，即BD 与AC 所成的角的度数为60°或120°．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质． 14．（1）602BCD α∠=︒+；（2）60︒；（3）2BD AE CE =+，证明见解析【解析】【分析】（1）根对称性可知PC 垂直平分AD ，ACP DCP α∠=∠=，则2ACD α∠=，根据ABC 是等边三角形，则60BCA ∠=︒，即可求得BCD ∠；。

2021年中考数学专题复习：全等三角形(含答案)

2020-2021中考专题复习：全等三角形一、选择题1. 如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等，所需的条件是()A．AC＝A′C′，BC＝B′C′B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′C．AC＝A′C′，AB＝A′B′D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′2. 如图所示，AC，BD是长方形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，则图中与△ABC全等的三角形共有()A．1个B．2个C．3个D．4个3. 如图，点E，F在AC上，AD＝BC，DF＝BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加一个条件是()A．∠A＝∠C B．∠D＝∠BC．AD∥BC D．DF∥BE4. 如图所示，△ABD≌△CDB，下列四个结论中，不正确的是()A.△ABD和△CDB的面积相等B.△ABD和△CDB的周长相等C.∠A+∠ABD=∠C+∠CBDD.AD∥BC，AD=BC5. 如图，若△ABE≌△ACF，且AB=5，AE=2，则EC的长为()图12-1-10A.2B.3C.5D.2.56. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是()A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D7. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于()A. 2B. 3C. 2D. 68. 如图，点G在AB的延长线上，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF 于点H.若∠AFB＝40°，则∠BCF的度数为()A．40°B．50°C．55°D．60°二、填空题9. 如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.10. 如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可).11. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：________，使△AEH≌△CEB.12. 如图，已知CD＝CA，∠1＝∠2，要使△ECD≌△BCA，需添加的条件是__________(只需写出一个条件)．13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B的坐标分别为(2，0)，(2，4)，若以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，则点P的坐标为________________________．14. 如图，AB∥CD，点P到AB，BD，CD的距离相等，则∠BPD的度数为________．15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．16. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．三、解答题17. 如图，AB=AD，BC=DC，点E在AC上.(1)求证:AC平分∠BAD;(2)求证:BE=DE.18. 如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AB=DB，BE平分∠ABC，交AC边于点E，连接DE.(1)求证:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°，∠C=50°，求∠AEB的度数.19. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？20. 观察与类比(1)如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°.点D在△ABC外，连接AD，作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC，连接AF.求证：DF＝BC ＋CF；(2)如图②，AB＝AD，AC＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，延长BC交DE于点F，写出DF，BC，CF之间的数量关系，并证明你的结论．21. 如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，过点E 的直线分别交AP，BC于点D，C.求证：AD＋BC＝AB.22. 已知：在等边△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，且∠BAE＝∠CBD＜60°，DH⊥AB，垂足为点H.(1)如图①，当点D、E分别在边AC、BC上时，求证：△ABE≌△BCD；(2)如图②，当点D、E分别在AC、CB延长线上时，探究线段AC、AH、BE的数量关系；(3)在(2)的条件下，如图③，作EK∥BD交射线AC于点K，连接HK，交BC于点G，交BD于点P，当AC＝6，BE＝2时，求线段BP的长．2020-2021中考专题复习：全等三角形-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】D[解析] 与已知三角形全等的三角形有△DCB，△BAD，△DCE，△CDA.3. 【答案】B[解析] 在△ADF和△CBE中，由AD＝BC，∠D＝∠B，DF＝BE，根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，可以得到△ADF≌△CBE.故选B.4. 【答案】C[解析] A.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，故本选项不符合题意;B.∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，故本选项不符合题意;C.∵△ABD≌△CDB，∴∠A=∠C，∠ABD=∠CDB.∴∠A+∠ABD=∠C+∠CDB≠∠C+∠CBD，故本选项符合题意;D.∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD.∴AD∥BC，故本选项不符合题意.故选C.5. 【答案】B[解析] ∵△ABE≌△ACF，AB=5，∴AC=AB=5.∵AE=2，∴EC=AC-AE=5-2=3.6. 【答案】C7. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.8. 【答案】B[解析] 如图，过点F分别作FZ⊥AE于点Z，FY⊥CB于点Y，FW⊥AB于点W.∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW.同理FW＝FY.∴FZ＝FY.又∵FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY.由∠AFB＝40°，易得∠ACB＝80°.∴∠ZCY＝100°.∴∠BCF＝50°.二、填空题9. 【答案】120°【解析】由于△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝24°，在△ABC 中，∠B＝180°－24°－36°＝120°.10. 【答案】AB=DE或∠A=∠D或∠ACB=∠DFE或AC∥DF[解析]已知条件已经具有一边一角对应相等，需要添加的条件要么是夹已知角的边，构造SAS全等，要么添加另外的任一组角构造ASA或AAS，或者间接添加可以证明这些结论的条件即可.11. 【答案】AH＝CB(符合要求即可)【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．12. 【答案】答案不唯一，如CE＝CB[解析] 由∠1＝∠2，可得∠DCE＝∠ACB，又∵CD＝CA，∴添加CE＝CB，可根据“SAS”判定两个三角形全等．13. 【答案】(4，0)或(4，4)或(0，4)14. 【答案】90°[解析] ∵点P到AB，BD，CD的距离相等，∴BP，DP分别平分∠ABD，∠BDC.∵AB∥CD，∴∠ABD＋∠BDC＝180°.∴∠PBD＋∠PDB＝90°.故∠BPD＝90°.15. 【答案】20[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB ＝AE＋EB＝AB.16. 【答案】32°[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC 于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.∴∠PCF＝12∠ACF，∠PBF＝12∠ABC.∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝12(∠ACF－∠ABC)＝12∠BAC＝32°.三、解答题17. 【答案】证明:(1)在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC ，即AC 平分∠BAD. (2)由(1)知∠BAE=∠DAE. 在△BAE 与△DAE 中，∴△BAE ≌△DAE (SAS)， ∴BE=DE.18. 【答案】解:(1)证明:∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE=∠DBE ， 在△ABE 和△DBE 中，∴△ABE ≌△DBE (SAS). (2)∵∠A=100°，∠C=50°， ∴∠ABC=30°， ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠DBE=∠ABC=15°，在△ABE 中，∠AEB=180°-∠A -∠ABE=180°-100°-15°=65°.19. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎨⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)． ∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF. 又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．20. 【答案】解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，∠ACB ＝90°， ∴∠AED ＝∠AEF ＝∠ACB ＝90°.在Rt △ACF 和Rt △AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌Rt △AEF(HL)．∴CF ＝EF. 在Rt △ADE 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧AD ＝AB ，AE ＝AC ，∴Rt △ADE ≌Rt △ABC(HL)． ∴DE ＝BC. ∵DF ＝DE ＋EF ， ∴DF ＝BC ＋CF. (2)BC ＝CF ＋DF. 证明：如图，连接AF.在Rt △ABC 和Rt △ADE 中， ⎩⎨⎧AB ＝AD ，AC ＝AE ，∴Rt △ABC ≌Rt △ADE(HL)． ∴BC ＝DE.∵∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝90°＝∠AED. 在Rt △ACF 和 Rt △AEF 中，⎩⎨⎧AC ＝AE ，AF ＝AF ，∴Rt △ACF ≌△AEF(HL)． ∴CF ＝EF.∵DE ＝EF ＋DF ，∴BC ＝CF ＋DF.21. 【答案】证明：如图，在AB 上截取AF ＝AD ，连接EF.∵AE 平分∠PAB ，∴∠DAE ＝∠FAE.在△DAE 和△FAE 中，⎩⎨⎧AD ＝AF ，∠DAE ＝∠FAE ，AE ＝AE ，∴△DAE ≌△FAE(SAS)．∴∠AFE ＝∠ADE.∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＋∠C ＝180°.又∵∠AFE ＋∠EFB ＝180°，∴∠EFB ＝∠C.∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBF ＝∠EBC.在△BEF 和△BEC 中，⎩⎨⎧∠EFB ＝∠C ，∠EBF ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∴△BEF ≌△BEC(AAS)．∴BF ＝BC.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB.22. 【答案】(1)证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠C ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)；(2)解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠CAB ＝60°，AB ＝BC ，∴∠ABE ＝∠BCD ＝180°－60°＝120°.∴在△ABE 和△BCD 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBDAB ＝BC∠ABE ＝∠BCD， ∴△ABE ≌△BCD (ASA)，∴BE ＝CD .∵DH ⊥AB ，∴∠DHA ＝90°，∵∠CAB ＝60°，∴∠ADH ＝30°，∴AD ＝2AH ，∴AC ＝AD －CD ＝2AH －BE ；(3)解：如解图，作DS ⊥BC 延长线于点S ，作HM ∥AC 交BC 于点M ，解图∵AC ＝6，BE ＝2，∴由(2)得AH ＝4，BH ＝2,与(1)同理可得BE ＝CD ＝2，CE ＝8，∵∠SCD ＝∠ACB ＝60°，∴∠CDS ＝30°，∴CS ＝1，SD ＝3，BS ＝7，∵BD 2＝BS 2＋SD 2＝72＋(3)2，∴BD ＝213，∵EK ∥BD ，∴△CBD ∽△CEK ，∴CB CE ＝CD CK ＝BD EK ，∴CK ＝CD ·CE CB ＝2×86＝83，EK ＝CE ·BD CB ＝8×2136＝8133. ∵HM ∥AC ，∴∠HMB ＝∠ACB ＝60°，∴△HMB 为等边三角形，BM ＝BH ＝HM ＝2， CM ＝CB －BM ＝4，又∵HM ∥AC ，∴△HMG ∽△KCG ，∴HM KC ＝MG CG ，即382＝MG 4－MG，∴MG ＝127，BG ＝267，EG ＝407， ∵EK ∥BD ，∴△GBP ∽△GEK ，∴BP EK ＝GB GE ， ∴BP ＝261315.。

中考数学专题复习全等三角形之辅助线截长补短法

中考数学专题复习全等三角形（辅助线截长补短法）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、单选题1．如图，正ABC和正CDE△中，B、C、D共线，且3BC CD=，连接AD和BE相交于点F，以下结论中正确的有（）个①60AFB∠=︒①连接FC，则CF平分BFD∠①3BF DF=①BF AF FC=+A．4B．3C．2D．12．如图，在ABC中，AD平分BAC∠，2B ADB∠=∠，5AB=，6CD=，则AC的长为（）A．3B．9C．11D．153．如图，在Rt ABC中，90ACB∠=︒，3AC=，4BC=，AD平分CAB∠交BC于D 点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE EF+的最小值为（）A．5B．15C．3D．124．如图，ABC为等边三角形，若()060DBC DACαα∠=∠=︒<<︒，则BCD∠=__________（用含α的式子表示）．5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，△BAC=120°，点D是线段BC上一点，△ADC=90°，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP=OC，下面的结论：①△APO=△ACO；①△APO+△DCO=30°；①AC=AO+AP；①PO=PC，其中正确的有______．6．如图，△ABC中，E在BC上，D在BA上，过E作EF①AB于F，①B＝①1+①2，AB＝CD，BF＝43，则AD的长为________．7．如图，在四边形ABCD 中，,180AB AD B ADC =∠+∠=︒，点E 、F 分别在直线BC 、CD 上，且12EAFBAD ∠=∠．(1)当点E 、F 分别在边BC 、CD 上时（如图1），请说明EF BE FD =+的理由． (2)当点E 、F 分别在边BC 、CD 延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF 、BE 、FD 之间的数量关系，并说明理由．8．如图，已知▱ABCD ，AE 平分①BAD ，交DC 于E ，DF ①BC 于F ，交AE 于G ，且DF ＝AD ．(1)若①C ＝60°，AB ＝2，求EC 的长； (2)求证：AB ＝DG +FC ．9．阅读下面材料：【原题呈现】如图1，在ABC中，①A＝2①B，CD平分①ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长．【思考引导】因为CD平分①ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC①DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；（2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，①A＝20°，BD平分①ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长．10．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M为正方形ABCD的边CD上的动点（与点C，D重合）连接BM，作MF①BM，与正方形ABCD的外角①ADE的平分线交点F，设CM＝x，①DFM的面积为y，求y与x之间的函数关系式．11．在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ． （1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠；（2）已知60A ∠=︒．①如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长； ①如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．12．如图，已知AD ①BC ，①P AB 的平分线与①CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．13．在①ABC中，AD为①ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点．（1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若①E＝48°，AE＝AD＝DC，则①ABC的度数为．（2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明．（3）连接AE，若①DAE＝90°，①BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出①ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．14．如图，在①ABC中，①C＝90°，AD是①BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE①BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．（1）求证：AC＝AE；（2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长．15．如图，在①ABC中，AB＝BC，①ABC＝60°，线段AC与AD关于直线AP对称，E 是线段BD与直线AP的交点．（1）若①DAE＝15°，求证：①ABD是等腰直角三角形；（2）连CE，求证：BE＝AE+CE．16．如图，在ABC中，45A∠=︒．（1）如图1，若62AC=，213BC=，求ABC的面积；（2）如图2，D为ABC外的一点，连接CD，BD且CD CB=，ABD BCD∠=∠．过点C作CE AC⊥交AB的延长线于点E．求证：22BD AB AC+=．（3）如图3，在（2）的条件下，作AP平分CAE∠交CE于点P，过E点作EM AP⊥交AP的延长线于点M．点K为直线AC上的一个动点，连接MK，过M点作'MK MK⊥，且始终满足'MK MK=，连接'AK．若4AC=，请直接写出''AK MK+取得最小值时()2''AK MK+的值．17．在ABC 中，AE ，CD 为ABC 的角平分线，AE ，CD 交于点F ． （1）如图1，若60B ∠=︒． ①直接写出AFC ∠的大小； ①求证：AC AD CE =+．（2）若图2，若90B ∠=︒，求证：ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．18．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒， 150BCD ∠=︒，CB CD =，M 、N 分别为AB 、AD 上的动点，且75MCN ∠=︒．求证： MN BM DN =+．19．等边ABC ∆中，点H 、K 分别在边BC 、AC 上，且AK CH =，连接AH 、BK 交于点F ．（1）如图1，求AFB ∠的度数；图1（2）连接CF ，若90BFC ∠=︒，求BFAF的值； （3）如图2，若点G 为AC 边的中点，连接FG ，且2AF FG =，则BFG ∠的大小是___________．图220．如图，已知：在ABC 中，60B ∠=︒，CE 、AF 是ABC 的角平分线，交于点O 求证：AC AE CF =+．21．数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，①AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证：AE＝EF．经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路．取AB的中点H，连接HE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可．在此基础上，同学们进行了进一步的探究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（不含点B，C）的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否成立？（填“是”或“否”）；（3）小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上（不含点B，C）的某一点时，点F恰好落在直线y＝﹣2x+3上，请直接写出此时点E的坐标．22．如图1，在Rt①ABC中，①ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE①BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且①DBF＝45°，作①BFD的角平分线FG交AB于点G．（1）求①BFD的度数；（2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式；（3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝2，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）．23．在平行四边形ABCD中，AB CD⊥于E，CF AD⊥于F，H为AD上一动点，连接CH，CH交AE于G，且4AE CD==．（1）如图1，若60B∠=︒，求CF、AF的长；（2）如图2，当FH FD=时，求证：CG ED AG=+；（3）如图3，若60B∠=︒，点H是直线AD上任一点，将线段CH绕C点逆时针旋转24．如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，EF AE⊥交DCE∠外角的平分线于F．（1）求证：AE EF=；（2）如图，当E是BC上任意一点，而其它条件不变，AE EF=是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．25．本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB AD=，180B D∠+∠=︒，连接AC．①小明发现，此时AC平分BCD∠．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE CD=，连接AE，证明ABE ADC△≌△，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分BCD∠．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．①如图2，当90BAD∠=︒时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．（2）如图3，等腰CDE△、等腰ABD△的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且26．如图，A、P、B、C是①O上四点，①APC=①CPB=60°．（1）判断①ABC的形状并证明你的结论；（2）当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由．（3）求证：P A+PB=PC．27．如图，在ABC中，AB AC=，30ABC∠<︒，D是边BC的中点，以AC为边作等边三角形ACE，且ACE与ABC在直线AC的异侧，连接BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．（1）求证：FB FC=；（2）求证：FEA FCA∠=∠；（3）若8FE=，2AD=，求AF的长．28．如图，ABC 是边长为1的等边三角形，BD CD =，120BDC ∠=︒，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且60EDF ∠=︒，求AEF 的周长．29．已知，90POQ ∠=，分别在边OP ，OQ 上取点A ，B ，使OA OB =，过点A 平行于OQ 的直线与过点B 平行于OP 的直线相交于点C ．点E ，F 分别是射线OP ，OQ 上动点，连接CE ，CF ，EF ．（1）求证：OA OB AC BC ===；（2）如图1，当点E ，F 分别在线段AO ，BO 上，且45ECF ∠=时，请求出线段EF ，AE ，BF 之间的等量关系式；（3）如图2，当点E ，F 分别在AO ，BO 的延长线上，且135ECF ∠=时，延长AC 交EF 于点M ，延长BC 交EF 于点N ．请猜想线段EN ，NM ，FM 之间的等量关系，并证明你的结论．30．如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且①BDC=①BAC．（1）求证：①ABD=①ACD；（2）求证：AD平分①CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，①BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出①BAC的度数．31．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图①所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．32．如图，①O 中，AB ＝BD ，点C 在BD 上，BH①AC 于H ．求证：AH ＝DC ＋CH ．参考答案：1．A【解析】 【分析】根据“手拉手”模型证明BCE ACD ≌，从而得到CBE CAD ∠=∠，再结合三角形的外角性质即可求解60AFB ACB ∠=∠=︒，即可证明①；作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，证明CEM CDN ≌，结合角平分线的判定定理即可证明①；利用面积法表示BCF △和DCF 的面积，然后利用比值即可证明①；利用“截长补短”的思想，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，首先判断出FCQ 为等边三角形，再结合“手拉手”模型推出BCF ACQ ≌即可证明①．【详解】解：①①ABC 和CDE △均为等边三角形，①60ACB ECD ∠=∠=︒，AC BC =，EC DC =，①ACB ACE ECD ACE ∠+∠=∠+∠， ①BCE ACD ∠=∠，在BCE 和ACD △中，BC AC BCE ACD EC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCE ACD SAS ≌，①CBE CAD ∠=∠，①AFB CBE CDA ∠=∠+∠，ACB CDA CAD ∠=∠+∠，①60AFB ACB ∠=∠=︒，故①正确；①如图所示，作CM BE ⊥于M 点，CN AD ⊥于N 点，则90CME CND ∠=∠=︒，①BCE ACD ≌， ①CEM CDN ∠=∠，在CEM 和CDN △中，CME CND CEM CDN CE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()CEM CDN AAS ≌，①CM CN =，①CF 平分BFD ∠，故①正确；①如图所示，作FP BD ⊥于P 点， ①1122BCF S BF CM BC FP ==，1122DCF S DF CN CD FP ==， ①11221122BCFDCF BF CM BC FP SS DF CN CD FP ==， ①CM CN =，①整理得：BF BC DF CD=， ①3BC CD =，①33BF CD DF CD==， ①3BF DF =，故①正确； ①如图所示，在AD 上取点Q ，使得FC FQ =，①60AFB ACB ∠=∠=︒，CF 平分BFD ∠，①120BFD ∠=︒，1602CFD BFD ∠=∠=︒， ①FCQ 为等边三角形，①60FCQ ∠=︒，CF CQ =，①60ACB ∠=︒，①ACB ACF FCQ ACF ∠+∠=∠+∠，①BCF ACQ ∠=∠，在BCF △和ACQ 中，BC AC BCF ACQ CF CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()BCF ACQ SAS ≌，①BF AQ =，①AQ AF FQ =+，FQ FC =，①BF AF FC =+，故①正确；综上，①①①①均正确；故选：A ．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等边三角形的基本性质，掌握全等三角形中的辅助线的基本模型，包括“手拉手”模型，截长补短的思想等是解题关键．2．C【解析】【分析】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，证明△ABD①①AED ，得到①B=①AED ，AB=AE ，再证明CD=CE ，进而代入数值解答即可．【详解】在AC 上截取AE=AB ，连接DE ，①AD 平分①BAC ，①①BAD=①DAC ，在△ABD 和△AED 中，BAD DA AE AB AD AD C =⎧=∠=∠⎪⎨⎪⎩，①①ABD①①AED （SAS ），①①B=①AED ，①ADB =①ADE ， AB=AE ，又①B=2①ADB①①AED=2①ADB ，①BDE=2①ADB ，①①AED=①C+①EDC=2①ADB ，①BDE=①C+①DEC=2①ADB ，①①DEC =①EDC ，①CD=CE ，①5AB =，6CD =，①AC =AE+CE=AB+CD = 5+6=11．故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；利用了全等三角形中常用辅助线-截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握．3．D【解析】【分析】利用角平分线构造全等，使两线段可以合二为一，则EC+EF 的最小值即为点C 到AB 的垂线段长度．【详解】在AB 上取一点G ，使AG ＝AF①在Rt △ABC 中，①ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4①AB=5，①①CAD ＝①BAD ，AE ＝AE ，①①AEF①①AEG （SAS ）①FE ＝GE ，①要求CE+EF 的最小值即为求CE+EG 的最小值，故当C 、E 、G 三点共线时，符合要求，此时，作CH①AB于H点，则CH的长即为CE+EG的最小值，此时，AC BC AB CH=，①CH=·AC ABBC=125，即：CE+EF的最小值为125，故选：D．【点睛】本题考查了角平分线构造全等以及线段和差极值问题，灵活构造辅助线是解题关键．4．120α︒-##120α-+︒【解析】【分析】在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得BEC ADC≅△△，从而得到CE=CD，①DCE=①ACB=60°，从而得到DCE是等边三角形，进而得到①BDC=60°，则有60BCEα∠=︒-，即可求解．【详解】解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，①ABC为等边三角形，①BC=AC，①BAC=①ABC=①ACB=60°，①α∠=∠=DBC DAC，BE=AD，①BEC ADC ≅△△ ，①CE =CD ，①BCE =①ACD ，①①BCE +①ACE =①ACD +①ACE ，①①DCE =①ACB =60°，①CE =CD ，①DCE 是等边三角形，①①BDC =60°，①18060120BCD αα∠=︒-︒-=︒-．故答案为：120α︒-【点睛】本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．①①①①【解析】【分析】连接BO ，由线段垂直平分线的性质定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，角的和差求出①APO =①ACO ，①APO +①DCO =30°，由三角形的内角和定理，角的和差求出①POC =60°，再由等边三角的判定证明①OPC 是等边三角形，得出PC =PO ，①PCO =60°，由角的和差，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差和等量代换求出AO +AP =AC ，即可得出结果．【详解】解：连接BO ，如图1所示：①AB =AC ，AD ①BC ，①BO =CO ，①①OBC=①OCB，又①OP=OC，①OP=OB，①①OBP=①OPB，又①在等腰①ABC中①BAC=120°，①①ABC=①ACB=30°，①①OBC+①OBP=①OCB+①ACO，①①OBP=①ACO，①①APO=①ACO，故①正确；又①①ABC=①PBO+①CBO=30°，①①APO+①DCO=30°，故①正确；①①PBC+①BPC+①BCP=180°，①PBC=30°，①①BPC+①BCP=150°，又①①BPC=①APO+①CPO，①BCP=①BCO+①PCO，①APO+①DCO=30°，①①OPC+①OCP=120°，又①①POC+①OPC+①OCP=180°，①①POC=60°，又①OP=OC，①①OPC是等边三角形，①PC=PO，①PCO=60°，故①正确；在线段AC上截取AE=AP，连接PE，如图2所示：①①BAC+①CAP=180°，①BAC=120°，①①CAP =60°，①①APE 是等边三角形，①AP =EP ，又①①OPC 是等边三角形，①OP =CP ，又①①APE =①APO +①OPE =60°，①CPO =①CPE +①OPE =60°，①①APO =①EPC ，在①APO 和①EPC 中，AP EP APO EPC OP CP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①①APO ①①EPC （SAS ），①AO =EC ，又①AC =AE +EC ，AE =AP ，①AO +AP =AC ，故①正确；故答案为：①①①①．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角的和差、线段的和差、等量代换等相关知识点；作辅助线构建等腰三角形、等边三角形、全等三角形是解题的关键．6．83 【解析】【分析】在FA 上取一点T ，使得FT=BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK=ET ，连接DK ．想办法证明A T=DK ，DK=BD ，推出BD=A T ，推出BT=AD 即可解决问题．【详解】在F A 上取一点T ，使得FT =BF ，连接ET ，在CB 上取一点K ，使得CK =ET ，连接DK ． ①EB =ET ，①①B =①ETB ，①①ETB=①1+①AET，①B=①1+①2，①①AET=①2，①AE=CD，ET=CK，①△AET①△DCK(SAS)，①DK=AT，①ATE=①DKC，①①ETB=①DKB，①①B=①DKB，①DB=DK，①BD=AT，①AD=BT，①BT=2BF=83，①AD=83，故答案为：83．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造出全等三角形．7．(1)见解析(2)不成立，EF BE FD=-，见解析【解析】【分析】（1）延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，通过证明①ABG①①ADF，①EAG①①EAF可得GE＝EF，进而可说明EF＝BE+DF；（2）在BE上截取BM＝DF，连接AM，通过证明①ABM①①ADF，①AME①①AFE可得ME＝EF ，进而可得EF ＝BE ﹣FD ．(1)EF ＝BE +DF ，理由：延长EB 至G ，使BG ＝DF ，连接AG ，①①ABC +①ADC ＝180°，①ABC +①ABG ＝180°，①①ADC ＝①ABG ，在①ABG 和①ADF 中，AB AD ABG ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABG ①①ADF （SAS ），①AG ＝AF ，①BAG ＝①DAF ，①①EAF ＝12①BAD ，①①BAE +①DAF ＝①BAE +①BAG ＝①EAF ，即①EAG ＝①EAF ，在①EAG 和①EAF 中， AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①EAG ①①EAF （SAS ），①GE ＝EF ，①EF ＝BE +DF ；(2)（1）中结论不成立，EF ＝BE ﹣FD ，在BE 上截取BM ＝DF ，连接AM ，①①ABC +①ADC ＝180°，①ADC +①ADF ＝180°，①①ABC ＝①ADF ，在①ABM 和①ADF 中，AB AD ABM ADF BM DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ABM ①①ADF （SAS ），①AM ＝AF ，①BAM ＝①DAF ，①①BAM +①MAD ＝①DAF +①MAD ，①①BAD ＝①MAF ，①①EAF ＝12①BAD ， ①①EAF ＝12①MAF ，①①EAF ＝①EAM ，在①AME 和①AFE 中，AM AF EAM EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①AME ①①AFE （SAS ），①ME ＝EF ，①ME ＝BE ﹣BM ＝BE ﹣DF ，①EF ＝BE ﹣FD ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线证明相关三角形全等是解题的关键．8．(1)23-；(2)见解析【解析】【分析】（1）先由60C ∠︒＝，在Rt DFC 中，求得3AD DF ==，由AE 平分BAD ∠，则BAE DAE ∠=∠，由AB CD ∥，则BAE DEA ∠=∠，从而有DAE DEA ∠=∠，得出DE DA =，再根据EC DC DE =-即可求得；（2）延长FD 至M ，使DM FC =，连接AM ，根据全等三角形的判定和性质可得ADM DFC ≅，DAM FDC ∠=∠，AM DC =，结合（1）中结论及利用外角的性质得出MAG MGA ∠=∠，根据等角对等边得出AM MG =，由此即可证明．(1)解：在ABCD 中，2AB DC ==，60C ∠=°，DF BC ⊥，①30FDC ∠=︒，①112FC CD ==， 在Rt DFC 中，2222213DF CD FC =-=-=， DF AD =．3AD DF ∴==，∵AB CD ∥，AE 平分BAD ∠，BAE AED ∴∠=∠，DAE BAE ∠=∠，DAE AED ∴∠=∠，3AD DE ∴==23EC DC DE ∴=-=-；(2)证明：如图所示：延长FD 至M ，连接AM ，使DM FC =，在ADM ∆和DFC ∆中，90AD DF ADM DFC DM FC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩ADM DFC ∴≅，DAM FDC ∴∠=∠，AM DC =，由（1）可得：DAE AED ∴∠=∠，DAE DAM AED FDC ∴∠+∠=∠+∠，即MAG MGA ∠=∠，AM MG ∴=， 即DC DG FC =+．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质等，理解题意，作出辅助线，由补短法构造全等三角形是解题关键．9．（1）5.8；（2）4.3【解析】【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD ①①ECD ，得到AD ＝DE ，①A ＝①DEC ，由于①A ＝2①B ，推出①DEC ＝2①B ，等量代换得到①B ＝①EDB ，得到△BDE 是等腰三角形，得出AC ＝CE ＝3.6，DE ＝BE ＝2.2，相加可得BC 的长；（2）在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，得到△DEB ①①DBC （SAS ），在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，得到△BDE ①①FDE ，即可推出结论．【详解】解：（1）如图2，在BC 边上取点E ，使EC ＝AC ，连接DE ． 在△ACD 与△ECD 中，AC CE ACD ECD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD ①①ECD （SAS ），①AD ＝DE ，①A ＝①DEC ，①①A ＝2①B ，①①DEC ＝2①B ，①①B ＝①EDB ，①①BDE 是等腰三角形；①BE ＝DE ＝AD ＝2.2，AC ＝EC ＝3.6，①BC 的长为5.8；（2）①①ABC 中，AB ＝AC ，①A ＝20°，①①ABC ＝①C ＝80°，①BD 平分①B ，①①1＝①2＝40°，①BDC ＝60°， 在BA 边上取点E ，使BE ＝BC ＝2，连接DE ，在△DEB 和△DBC 中，12BE BC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①DEB ①①DBC （SAS ），①①BED ＝①C ＝80°，①①4＝60°，①①3＝60°，在DA 边上取点F ，使DF ＝DB ，连接FE ，同理可得△BDE①①FDE ，①①5＝①1＝40°，BE ＝EF ＝2，①①A ＝20°，①①6＝20°，①AF ＝EF ＝2，①BD ＝DF ＝2.3，①AD ＝BD +BC ＝4.3．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键．10．212y x x =-+ 【解析】【分析】 根据正方形的性质和角平分线的性质得到9045135MDF ∠=︒+︒=︒，在BC 上截取CH CM =，连接MH ，证明BHM MDF ≅△△即可得解；【详解】①四边形ABCD 是正方形，①CD BC =，90C CDA ADE ∠=∠=︒=∠，①DF 平分ADE ∠，①1452ADF ADE ∠=∠=︒， ①9045135MDF ∠=︒+︒=︒，在BC 上截取CH CM =，连接MH ，则MCH △是等腰直角三角形，BH MD =，①45CHM CMH ∠=∠=︒，①135BHM ∠=︒，①145HMB ∠+∠=︒，BHM MDF ∠=∠，①MF ①BM ，①90FMB ∠=︒，①245BMH ∠+∠=︒，①12∠=∠，在BHM △和MDF △中，12BH MD BHM MDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ①BHM MDF ≅△△，①2BH MD x ==-，①y 与x 之间的函数关系式为()211222y x x x x =-=-+． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，动点问题的函数图像，全等三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键．11．（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【解析】【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A ∠+∠=︒-∠的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC ∠的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD ≅△（SAS ），再证明()FEC FGC ASA ≅，即可得BC BD CE =+，由此求出答案； （3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP ≅△（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB ∠=∠=∠，再由三角形内角和可求40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，进而可得180()100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒．【详解】解：（1）BE 、CD 分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 1180()180(90)2BFC FBC FCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠， 1902BFC A ∴∠=︒+∠， （2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A ∠=︒+∠， 60BAC ∠=︒，120BFC ∴∠=︒， ①18060BFD EFC BFC ∠=∠=︒-∠=︒，在BFG 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①BFG BFD ≅△（SAS ）①BFD BFG ∠=∠，①60BFD BFG ∠=∠=︒，①12060CFG BFG ∠=︒-∠=︒，①60CFG CFE ∠=∠=︒在FEC 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()FEC FGC ASA ∴≅，CE CG ∴=，BC BG CG =+，BC BDCE ∴=+；①4BD =， 6.5BC =，① 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC ∠=︒，①180120PAC BAC ∠=︒-∠=︒，在BFC △与CAP 中， 120BF AC BFC CAP CF PA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ①BFC CAP ≅△（SAS ）①P BCF ∠=∠，BC PC =，①P ABC ∠=∠，又①12P BCF ACB ∠=∠=∠， ①2ACB ABC ∠=∠，又①180ACB ABC A ∠+∠+∠=︒，①360180ABC ∠+︒=︒，①40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，①1202ABE ABC ∠=∠=︒，180()180(2060)100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．证明见解析【解析】【分析】如图，在AB上截取,AH AD=证明,ADE AHE≌再证明,HBE CBE≌可得,BC BH=从而可得结论.【详解】证明：如图，在AB上截取,AH AD=AE∵平分,DAB∠,DAE HAE∴∠=∠,AE AE=,ADE AHE∴≌,ADE AHE∴∠=∠//,AD BC180,ADE BCE∴∠+∠=︒180,AHE BHE∠+∠=︒,BCE BHE∴∠=∠BE平分,ABC∠,ABE CBE∴∠=∠,BE BE=,HBE CBE ∴≌,BC BH ∴=,AB AH HB =+.AB AD BC ∴=+【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.13．（1）108︒；（2）AC BP AB PC +>+，见解析；（3）44°或104°；详见解析．【解析】【分析】（1）根据等边对等角，可得E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，再根据三角形外角的性质求出=2=48ADE DAC ∠∠︒，由此即可解题；（2）在AC 边上取一点M 使AM =AB ，构造ABP AMP ≅，根据MP MC PC +>即可得出答案；（3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，可得G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；根据①BAC ＝24°，AD 为△ABC 的角平分线，可得=12BAD DAC ∠∠=︒，可证AGE ABE ≅（SAS ），得出=90ABE G x ∠=∠︒-，利用还有 242ABE x ∠=︒+，列方程90242x x ︒-=︒+；当点E 在BD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ， 可得GC EC =，得出G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=；①BAC ＝24°，根据AD 为△ABC 的角平分线，得出=12BAD DAC ∠∠=︒，证明AGE ABE≅（SAS ），得出=ABE G x ∠=∠，利用三角形内角和列方程242180x x +︒+=︒，解方程即可．【详解】解：（1）①AE ＝AD ＝DC ，①E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，①48E ∠=︒，=ADE DAC C ∠∠+∠，①=2=48ADE DAC ∠∠︒，①AD 为△ABC 的角平分线，即=2BAC DAC ∠∠，①48BAC ∠=︒；①1804824108ABC ∠=︒-︒-︒=︒（2）如图2，在AC 边上取一点M 使AM =AB ，连接MP ，在ABP △和AMP 中，AB AM BAP MAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①ABP AMP ≅（SAS ），①BP M P =，①MP MC PC +>，MC AC AM =-，①AC AB BP PC -+>，①AC BP AB PC +>+；（3）如图，点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，①AB +AC ＝EC ，①AG +AC ＝EC ，即GC EC =，①G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；又①BAC ＝24°，AD 为△ABC 的角平分线，①=12BAD DAC ∠∠=︒，又①90DAE ∠︒＝，①9078BAE BAD ∠︒-∠=︒＝，9078GAE DAC ∠=︒-∠=︒，①BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AEAE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ①AGE ABE ≅（SAS ），①=90ABE G x ∠=∠︒-，又①242ABE BAC ACB x ∠=∠+∠=︒+，①90242x x ︒-=︒+，解得：22x =︒，①=2=44ACB x ∠︒；当点E 在BD 上时，①EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，①EAD ＜90°，不成立；如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB，①AB+AC＝EC，①AG+AC＝EC，即GC EC=，①G GEC∠=∠，设=2ACB x∠，则G GEC x∠=∠=；又①①BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，①=12BAD DAC∠∠=︒，又①90DAE∠︒＝，①90102BAE BAD∠︒+∠=︒＝，90102GAE DAC∠=︒+∠=︒，①BAE GAE∠∠＝，在AGE和ABE△中，AE AEGAE BAEAG AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①AGE ABE≅（SAS），①=ABE G x∠=∠，①242180x x+︒+=︒，解得：52x =︒，①=2=104ACB x ∠︒．①①ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．14．（1）见解析；（2）3【解析】【分析】（1）证明△ACD ①①AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证△F AD ①①MAD （SAS ），得FD =MD ，①ADF =①ADM ，再证Rt △MDE ①Rt △BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：①AD 平分①BAC ，①①DAC =①DAE ，①DE ①BA ，①①DEA =①DEB =90°，①①C =90°，①①C =①DEA =90°，在△ACD 和△AED 中，C DEA DAC DAE AD AD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①ACD ①①AED （AAS ），①AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在△F AD 和△MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①①F AD ①①MAD （SAS ），①FD =MD ，①ADF =①ADM ，①BD =DF ，①BD =MD ，在Rt △MDE 和Rt △BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩， ①Rt △MDE ①Rt △BDE （HL ），①ME =BE ，①AF =AM ，且AF =1.4，①AM =1.4，①AB =7.4，①MB =AB -AM =7.4-1.4=6，①BE ＝12BM ＝3， 即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明△F AD①①MAD和Rt△MDE①Rt△BDE是解题的关键．15．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）首先根据题意确定出△ABC是等边三角形，然后根据等边三角形的性质推出①BAC＝60°，再根据线段AC与AD关于直线AP对称，以及①DAE＝15°，推出①BAD＝90°，即可得出结论；（2）利用“截长补短”的方法在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，根据题目条件推出△ABF①①ACE，得出AF＝AE，再进一步推出①AEF＝60°，可得到△AFE是等边三角形，则得到AF＝FE，从而推出结论即可．【详解】证明：（1）①在△ABC中，AB＝BC，①ABC＝60°，①①ABC是等边三角形，①AC＝AB＝BC，①BAC＝①ABC＝①ACB＝60°，①线段AC与AD关于直线AP对称，①①CAE＝①DAE＝15°，AD＝AC，①①BAE＝①BAC+①CAE＝75°，①①BAD＝90°，①AB＝AC＝AD，①①ABD是等腰直角三角形；（2）在BE上取点F，使BF＝CE，连接AF，①线段AC与AD关于直线AP对称，①①ACE＝①ADE，AD＝AC，①AD ＝AC ＝AB ，①①ADB ＝①ABD=△ACE ，在△ABF 与△ACE 中，AC AB ACE ABF CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABF ①①ACE （SAS ），①AF ＝AE ，①AD ＝AB ，①①D ＝①ABD ，又①CAE ＝①DAE ，①()()111806022AEB D DAE D ABD DAC BAC ∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒-∠=︒， ①在△AFE 中，AF ＝AE ，①AEF ＝60°，①①AFE 是等边三角形，①AF ＝FE ，①BE ＝BF +FE ＝CE +AE ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质等，掌握等边三角形的判定与性质，以及全等三角形的常见辅助线的构造方法是解题关键．16．（1）6；（2）证明见解析；（3）48224+【解析】【分析】（1）通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 边上的高和AB ，再利用三角形面积公式求解；（2）通过在BE 上截取BF =BD ，构造出两组全等三角形，即可完成求证；（3）先通过延长ME ，构造全等三角形，得出''AK MK FK MK +=+，利用轴对称，得出''AK MK +的最小值等于'FM ，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．【详解】解：（1）如图，过C 点作CD ①AB ，垂足为点D ，①45A∠=︒，①45A ACD∠=∠=︒，①AD=CD，①AC=62，且222AC AD CD=+，①==6AD CD，①213BC=，①224BD BC CD=-=，①AB=AD-BD=6-4=2,①11==26=622ABCS AB CD⨯⨯⨯⨯，①ABC的面积为6．（2）如图所示，在BE上截取BF=BD，①①D+①DCB+①DBC=180°，①1+①DBC+①2=180°，且①1=①BCD，①①D=①2，①CD CB=，①①CDB①①CBF（SAS），①CB=CF，①①2=①3，①①ABC=①EFC，①①A=45°，AC①CE，①①E=45°，①①A=①E，①①ABC ①①EFC （AAS ），①AC=CE ,AB =EF ，①AE =AB +BF +EF =2AB +BD ,①222AE AC CE =+,①2AE AC =,①22BD AB AC +=；（3）如图3，延长ME 至F ，使MF =MA ，连接KF ，①'90KMK AMF ︒∠=∠=，①'AMK FMK ∠=∠，又①'MK MK =，①()'AMK FMK SAS ≌，①'=F AK K ，①''AK MK FK MK +=+，作M 点关于AC 的对称点'M ，则'=M K MK ，①''=F =F 'AK MK K MK K M K +++，连接'M K ，则''M K FK M F +≥，①当'M K F 、、共线时F 'K M K +的值最小，等于'M F ，①''AK MK +取得最小值时()2''AK MK +的值即为2'M F 的值，连接'M A AF 、，由轴对称的性质可得：'=M AC MAC ∠∠，'=AM AM ，①45CAE ∠=︒，AM 平分CAE ∠，①22.5CAM ∠=︒，①'22.5M AC CAM ∠=∠=︒，①'45M AM ∠=︒，①M A MF =，且90AMF ︒∠=，①45MAF ∠=︒，①'90M AF ∠=︒，①222'='M F AM AF +，①2222AM MF AM +=①222222'='=23M F AM AF AM AM AM ++=，如图4，取AE 中点O 点，连接OC ，OM ，作MH AE ⊥于H ，①=4AC ，①=CE=4AC ，①2242AE AC CE =+=由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得22OA OC OE OM ====，①22.5AMO MAO ∠=∠=︒，①45MOH AMO MAO ∠=∠+∠=︒，①45MOH OMH ∠=∠=︒，①OH MH =，①()2222=OM 228OH MH +==, ①=2OH MH =，①222AH =+，①222=1682AM AH MH =++，①()22''=3=48242AK MK AM ++；①()2''AK MK +的值为48224+．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．17．（1）①120°；①见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；①利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得①AFD=①AFH，再结合①的结论进一步证明①CFH=①CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；（2）同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合（1）中的结论，证明SF①ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．【详解】（1）①解：①①B=60°，①①BAC+①BCA=180°-①B=120°，①AE平分①BAC，CD平分①BCA，①①F AC=12①BAC，①FCA=12①BCA，①①F AC+①FCA=12(①BAC+①BCA)= 12×120°=60°，①①AFC=180°-(①F AC+①FCA)=120°；①证：如图所示，在AC 上取点H ，使得AD =AH ，在△ADF 和△AHF 中，AD AH DAF HAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△ADF ①△AHF (SAS )，①①AFD =①AFH ，①①AFD =①CFE ，①①AFH =①CFE ，由①可知，①AFC =120°，①①CFE =180°-120°=60°，①AFH =①CFE =60°，①①CFH =60°，即：①CFH =①CFE ，在△CFH 和△CFE 中，CFH CFE CF CFHCF ECF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ ①△CFH ①△CFE (ASA )，①CE =CH ，①AC =AH +CH ，①AC =AD +CE ；（2）证：如图所示，在AC 上取S 、T 两点，使得AD =AS ，CE =CT ，连接SF ，SE ，TF ，TE ，①AE 平分①BAC ，①①DAF =①SAF ，在△ADF 和△ASF 中，AD AS DAF SAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①△ADF ①△ASF (SAS )，同理可证△AED ①①AES ，△CEF ①①CTF ，①DF =SF ，DE =SE ，FT =FE ，①①DEF ①①SEF ，①ADF ASF S S =，CEF CTF S S =，DEF SEF S S =，且①AFD =①AFS ，①CFE =①CFT ，①①AFD =①CFE ，①①AFD =①AFS =①CFE =①CFT ，由（1）可得：①AFC =90°+12①B =135°，①①CFE =180°-135°=45°，①①AFD =①AFS =①CFE =①CFT =45°，①①CFT =135°-①AFS =90°，①CF ①SF ，又①FT =FE ，CT =CE ，①CF 垂直平分EF ，即：CF ①ET ，①SF ①ET ，①SFT SEF SS =， ①DEF SFT SS = ①ACF AFS CFT SFT S S S S =++，①ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．18．见解析【解析】【分析】延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ，根据同角的补角相等得CBE CDN ∠=∠，根据SAS 证明CBE CDN ∆≅∆，则BCE DCN ∠=∠，进而证明75ECM MCN ∠=∠=︒，根据SAS 证明ECM NCM ∆≅∆，得到MN ME =，则M N BM BE BM DN =+=+．【详解】证明：延长AB 至点E ，使得BE DN =，连接CE ， 四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，CBE CDN ∴∠=∠，在CBE ∆和CDN ∆中，CB CD CBE CDN BE DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()CBE CDN SAS ∴∆≅∆，BCE DCN ∴∠=∠，CN CE =，150BCD ∠=︒，75MCN ∠=︒，75MCE MCB BCE MCB DCN ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，MCN MCE ∴∠=∠，在ECM ∆和NCM ∆中，。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2017年中考备考专题复习：全等三角形

一、单选题（共12题；共24分） 1、下图中，全等的图形有（ ）

A、2组 B、3组 C、4组 D、5组 2、使两个直角三角形全等的条件是（） A、一锐角对应相等 B、两锐角对应相等 C、一条边对应相等 D、两条直角边对应相等 3、下列说法错误的是（ ） A、等腰三角形两腰上的中线相等 B、等腰三角形两腰上的高线相等 C、等腰三角形的中线与高重合 D、等腰三角形底边的中线上任一点到两腰的距离相等 4、如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的

玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去配．

A、① B、② C、③ D、①和② 5、长为1的一根绳，恰好可围成两个全等三角形，则其中一个三角形的最长边x的取值范围为（ ） A、 B、 C、 D、 6、已知等腰三角形一腰上的高线等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的一个底角等于（ ） A、15°或75° B、15° C、75° D、150°和30° 7、如图，x的值可能为（ ） A、10 B、9 C、7 D、6 8、如图，△ABC中，AB=AC ， EB=EC ， 则由“SSS”可以判定（ ） A、△ABD≌△ACD B、△ABE≌△ACE C、△BDE≌△CDE D、以上答案都不对 9、如果线段AB=3cm，BC=1cm，那么A、C两点的距离d的长度为（ ） A、4cm B、2cm C、4cm或2cm D、小于或等于4cm，且大于或等于2cm 第3页 共22页 ◎ 第4页 共22页

10、（2016•滨州）如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ） A、50° B、51° C、51.5° D、52.5° 11、（2016•金华）如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（ ） A、AC=BD B、∠CAB=∠DBA C、∠C=∠D D、BC=AD 12、如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1 ， ∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2 ， 依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5 ， 则∠BD5C的度数是（ ） A、24° B、25° C、30° D、36° 二、填空题（共5题；共6分） 13、若△ABC≌△EFG，且∠B＝60°,∠FGE－∠E＝56°,，则∠A＝________度． 14、如图，BE，CD是△ABC的高，且BD＝EC，判定△BCD≌△CBE的依据是“________”． 15、如图，△ABC≌△ADE，∠B＝100°，∠BAC＝30°，那么∠AED＝________°．

16、如果△ABC和△DEF全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI________全等，如果

△ABC和△DEF不全等，△DEF和△GHI全等，则△ABC和△GHI________全等．（填“一定”或

“不一定”或“一定不”） 17、（2016•宜宾）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），

将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号） ①△CMP∽△BPA； ②四边形AMCB的面积最大值为10； ③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线； ④线段AM的最小值为2 ； ⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．

三、综合题（共6题；共66分） 18、如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF． (1)试说明AC=EF； (2)求证：四边形ADFE是平行四边形. 19、已知：如图，在正方形ABCD中，G是CD上一点，延长BC到E，使CE=CG，连接BG并延长交DE于F． (1)求证：△BCG≌△DCE； (2)将△DCE绕点D顺时针旋转90°得到△DAE′，判断四边形E′BGD是什么特殊四边形，并说明理由。 20、（2016•义乌）如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． (1)若固定三根木条AB，BC，AD不动，AB=AD=2cm，BC=5cm，如图，量得第四根木条CD=5cm，判断此时∠B与∠D是否相等，并说明理由． (2)若固定一根木条AB不动，AB=2cm，量得木条CD=5cm，如果木条AD，BC的长度不变，当点D移到BA的延长线上时，点C也在BA的延长线上；当点C移到AB的延长线上时，点A、C、D能构成周长为30cm的三角形，求出木条AD，BC的长度． 21、根据直角三角形的判定的知识解决下列问题 (1)如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；

(2)如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．

22、（2016•梅州）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上． 第7页 共22页 ◎ 第8页 共22页

(1)b=________，c=________，点B的坐标为________；（直接填写结果） (2)是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)过动点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，

当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．

23、（2016•安顺）如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三点．

(1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平

行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 答案解析部分 一、单选题 【答案】B 【考点】全等图形 【解析】【解答】如图，

全等图形有3对． 故选B．

【分析】本题考查了全等图形，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键．

【答案】D 【考点】直角三角形全等的判定 【解析】【解答】A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边

对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D． 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、

HL，可以发现至少得有一组对应边相等，才有可能全等．利用全等三角形的判定来确定．做题

时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【答案】C 【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质 【解析】 【解答】根据全等三角形的判定定理SAS，A选项正确； 根据全等三角形的判定定理SAS，B选项正确； 非等边三角形的等腰三角形的腰上的中线与高不重合，C错误； 根据三线合一的性质，D正确； 故选C．

【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真

假关键是要熟悉课本中的性质定理．分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【答案】A 【考点】全等三角形的应用 【解析】【解答】带①去可以根据“角边角”配出全等的三角形． 故选A．

【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．

【答案】A 【考点】三角形三边关系，全等三角形的性质

【解析】【解答】当两全等三角形三边各自都相等时，x最小为； ∵围成两个全等的三角形可得两个三角形的周长相等， ∴x+y+z= ∵y+z＞x ∴可得，

所以， 故选Ａ． 【分析】由围成两个三角形是全等三角形，可得两个三角形的周长相等，根据三角形三条边的关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出两个不等式，解不等式可出结论。 【答案】A 【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形 【解析】【解答】此题有两种情况，一种是该高线在等腰三角形内部，另外一种是在等腰三角形外部。 当该高线在三角形内部时，那么该三角形的顶角度数为30°，其底角也就是为75°。 当高线在三角形外部时，其顶角度数为150°，那么其底角为15°. 【分析】此题有一定的难度。考生容易忽视两种情况，只考虑到一种情况。此类型题经常出现在各种试卷上，希望考生能通过此题达到举一反三的效果。 【答案】B 【考点】三角形三边关系 【解析】【解答】根据三角形的三边关系结合图形的特征即可得到关于x的不等式组，再解出即可。

由图可得， 解得7＜x＜10 故选B. 【分析】解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边。

相关文档
最新文档