黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 (word版含答案)
黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高一上学期期末数学试卷(word版含答案)
2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点P（﹣1，3），则tanα的值为（）A．B．﹣3 C．D．2．化简=（）A．±cos40°B．cos40°C．﹣cos40°D．±|cos40°|3．函数，则f（f（f（π）））=（）A．1 B．0 C．πD．π+14．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．y=x2+cosx D．5．已知a=sin21°，b=cos72°，c=tan23°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b6．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同 B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反 D．x=﹣，且与方向相反7．向量满足，，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log3（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|﹣1＜x≤3} 10．如图，正六边形ABCDEF中，点Q为CD边中点，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．11．若函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），且f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，则实数m的最大值等于（）A．﹣2 B．1 C．2 D．312．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．14．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则的值为．15．函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则a+b=．16．如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为（0，2），圆上一点A坐标为（0，0）．圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（4，2）时，A点坐标为．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+6x+m）的定义域为集合B．（1）当m=﹣5时，求A∩∁U B；（2）若A∩B={x|﹣1＜x≤4}，求实数m的值．18．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求tanθ的值．19．已知函数的最小值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程．20．设，其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若y=f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．21．已知定义在R上的单调递增函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；（2）若f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．22．已知二次函数f（x）=x2+mx+n．（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；（2）在（1）的前提下，函数，解关于x的不等式g（2x）＞2x；（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[﹣1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点P（﹣1，3），则tanα的值为（）A．B．﹣3 C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切值，正切值为纵坐标与横坐标的商．【解答】解：由定义若角α的终边经过点P（﹣1，3），∴tanα=﹣3故选B．2．化简=（）A．±cos40°B．cos40°C．﹣cos40°D．±|cos40°|【考点】三角函数的化简求值．【分析】根据同角三角函数关系式sin2θ+cos2θ=1即可化简．【解答】解：由sin2140°+cos2140°=1，可得：=|cos|=|﹣cos40°|=cos40°故选：B．3．函数，则f（f（f（π）））=（）A．1 B．0 C．πD．π+1【分析】先求出f（π）=0，从而f（f（π））=f（0）=π，进而f（f（f（π）））=f（π），由此能求出结果．【解答】解：∵函数，∴f（π）=0，f（f（π））=f（0）=πf（f（f（π）））=f（π）=0．故选：B．4．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．B．C．y=x2+cosx D．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】对选项弦求出定义域，再计算f（﹣x），与f（x）比较，由奇偶性的定义，即可判断．【解答】解：对A，函数定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+=2x+=f（x），即为偶函数；对B，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=sin（﹣x）﹣=﹣（sinx+）=﹣f（x），即为奇函数；对C，y=x2+cosx的定义域为R，f（﹣x）=cos（﹣x）+（﹣x）2=cosx+x2=f（x），即为偶函数；对D，函数定义域为{x|x≠0}，f（﹣x）=﹣x+≠f（x），且≠﹣f（x），即为非奇非偶函数．故选：D．5．已知a=sin21°，b=cos72°，c=tan23°，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】先判定a＞b，再判定c＞a，即可得出结论．【解答】解：a=sin21°，b=cos72°=sin18°，∴a＞b，c=tan23°＞tan21°＞sin21°，∴c＞a，∴c＞a＞b，故选D．6．已知A（1，2），B（3，7），=（x，﹣1），∥，则（）A．x=，且与方向相同 B．x=﹣，且与方向相同C．x=，且与方向相反 D．x=﹣，且与方向相反【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】求出AB向量，利用斜率平行求出x，然后判断两个向量的方向即可．【解答】解：A（1，2），B（3，7），可得=（2，5）=（x，﹣1），∥，可得5x=﹣2，解得x=﹣．=（﹣，﹣1），与方向相反．故选：D．7．向量满足，，则的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】对向量的模平方，化简求解即可得到向量的数量积的值．【解答】解：向量满足，，可得：，，两式相减可得：=4．解得=1．故选：A．8．要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】化简=tan2（x+），然后推出选项．【解答】解：=tan2（x+），要得到y=tan2x的图象，则只需将的图象向右平移个单位，得到y=tan2（x+﹣）=tan2x．故选D．9．如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log3（x+1）的解集是（）A．{x|﹣1≤x≤2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|﹣1＜x≤0}D．{x|﹣1＜x≤3}【考点】函数单调性的性质．【分析】根据图象求出f（x）的解析式，即可求f（x）≥log3（x+1）的解集．【解答】解：由图象可得f（x）是分段函数，由两段直线构成．设f（x）=kx+b，当﹣1≤x≤0时，图象过（﹣1，0）（0，3），解得k=3，b=3当0≤x≤3时，图象过（0，3）（0，3），解得k=﹣1，b=3∴f（x）=那么：不等式f（x）≥log3（x+1）当﹣1≤x≤0时，3（x+1）≥log3（x+1），解得：x＞﹣1当0≤x≤3时，3﹣x≥log3（x+1），解得，x≤2，对数y=log3（x+1）图象恒过（0，0），如图，数形结合法，可得答案．综上可得：不等式f（x）≥log3（x+1）的解集为{x|﹣1＜x≤2}．故选B10．如图，正六边形ABCDEF中，点Q为CD边中点，则下列数量积最大的是（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，然后以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，求出所用点的坐标，得到向量的坐标，求其数量积得答案．【解答】解：设正六边形的边长为2，以FC所在直线为x轴，以FC的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则A（﹣1，），B（1，﹣），C（2，0），D（1，），E（﹣1，），Q（）．，，，，．则=5，=12，=14，=9．∴最大．故选：C．11．若函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），且f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，则实数m的最大值等于（）A．﹣2 B．1 C．2 D．3【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得函数f（x）关于x=3对称，可知f（x）又关于x=﹣a对称，求得a=﹣3，可知（﹣∞，m]⊆（﹣∞，3]，即可得到m的最大值．【解答】解：函数f（x）=2|x+a|满足f（3+x）=f（3﹣x），可得函数关于x=3对称，又函数f（x）=2|x+a|关于x=﹣a对称，则﹣a=3，可知a=﹣3，f（x）=2|x﹣3|在（﹣∞，3]递减，f（x）在（﹣∞，m]上单调递减，可知（﹣∞，m]⊆（﹣∞，3]，即有m≤3，则m的最大值为3．故选：D．12．如图，扇形的半径为1，圆心角∠BAC=150°，点P在弧BC上运动，，则的最大值是（）A．1 B．C．2 D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】建立坐标系，求出向量坐标，设P（cosθ，sinθ），根据向量坐标的运算得到m=cosθ+sinθ，n=2sinθ，则=2sin（θ+60°），根据三角函数的性质即可求出最值．【解答】解：以AB为x轴，以A为原点，建立坐标系，如图：P（cosθ，sinθ），0°≤θ≤150°，则A（0，0），B（1，0），C（﹣，），∵，∴（cosθ，sinθ）=m（1，0）+n（﹣，）=（m﹣n，），∴cosθ=m﹣n，sinθ=，∴m=cosθ+sinθ，n=2sinθ，∴=cosθ+3sinθ﹣2sinθ=cosθ+sinθ=2sin（θ+60°），∵0°≤θ≤150°，∴60°≤θ+60°≤210°，∴当θ=30°时，的最大值为2，故选：C．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13．sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=．故答案为：．14．幂函数y=f（x）的图象经过点（4，2），则的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】先用待定系数法求出幂函数的解析式，再由代入法，求函数的值即可．【解答】解：设幂函数y=xα（α∈R），其函数图象经过点（4，2），∴4α=2，解得α=，∴y=f（x）=x；∴f（）=（）=．故答案为：．15．函数f（x）=a x+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则a+b=．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】由题意对底数a讨论函数f（x）=a x+b的单调性即可求值域．【解答】解：由题意，当a＞1时，函数f（x）=a x+b是增函数，其定义域和值域都是[﹣2，0]，可得：，此时a无解．当0＜a＜1时，函数f（x）=a x+b是减函数，其定义域和值域都是[﹣2，0]，可得：，解得：b=﹣3，a=那么a+b=．故答案为：．16．如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为（0，2），圆上一点A坐标为（0，0）．圆沿x轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于（4，2）时，A点坐标为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）．【考点】圆的参数方程．【分析】设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，则根据圆的参数方程，得P的坐标，再根据圆的圆心从（0，2）滚动到（4，2），算出θ，结合三角函数的诱导公式，化简可得A的坐标．【解答】解：设滚动后的圆的圆心为O'，切点为C（4，0），连接O'A，过O'作与x轴正方向平行的射线，交圆O'于B（6，2），设∠BO'A=θ，∵⊙O'的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2=4，∴根据圆的参数方程，得A的坐标为（4+2cosθ，2+2sinθ），∵单位圆的圆心的初始位置在（0，2），圆滚动到圆心位于（4，2）∴可得θ=﹣2可得cosθ=cos（﹣2）=﹣sin2，sinθ=sin（﹣2）=﹣cos2，代入上面所得的式子，得到A的坐标为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）．故答案为（4﹣2sin2，2﹣2cos2）三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数的定义域为集合A，函数g（x）=lg（﹣x2+6x+m）的定义域为集合B．（1）当m=﹣5时，求A∩∁U B；（2）若A∩B={x|﹣1＜x≤4}，求实数m的值．【考点】交、并、补集的混合运算；全集及其运算．【分析】（1）由偶次根号下被开方数大于等于零列出不等式求出A，由真数大于零列出不等式求出B，由补集的运算求出∁U B，由交集的运算求出A∩∁U B；（2）由条件、交集的运算、一元二次不等式的解法，列出关于m的方程，求出实数m的值．【解答】解：（1）由﹣x2+2x+8≥0得﹣2≤x≤4，∴集合A=[﹣2，4]，当m=﹣5时，g（x）=lg（﹣x2+6x+m）=lg（﹣x2+6x﹣5），由﹣x2+6x﹣5＞0得1＜x＜5，∴集合B=（1，5），则∁U B=（﹣∞，1]∪[5，+∞）∴A∩C U B=[﹣2，1]；（2）∵A=[﹣2，4]，A∩B={x|﹣1＜x≤4}=（﹣1，4]，且集合B={x|﹣x2+6x+m＞0 }，∴﹣1是方程﹣x2+6x+m=0其中一个根，则﹣1﹣6+m=0，解得m=7，∴实数m的值是7．18．已知函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1）若，求tanθ的值；（2）若，求tanθ的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）（2）根据同角三角函数关系式化简后，即可求值．【解答】解：函数f（x）=sinx+cosx，g（x）=sinx﹣cosx，其中x∈（0，π）．（1），即sinθ+cosθ=，又∵sin2θ+cos2θ=1，解得：sinθ=，cosθ=﹣，则tanθ=，（2），即=，可得：，∴tanθ=．19．已知函数的最小值为1．（1）求常数a的值；（2）求函数f（x）的单调区间和对称轴方程．【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的对称性．【分析】（1）利用两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式．结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的最小值，可求常数a的值．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间，结合三角函数的性质可得对称轴方程．【解答】解：（1）函数化简可得：f（x）=sinxcos+cosxsin+sinxcos﹣cosxsin+cosx+a=sinx+cosx+a=2sin（x+）+a．∵f（x）的最小值为1．即﹣2+a=1∴解得：a=3（2）由（1）可得f（x）=2sin（x+）+3．令x+是单调递增，解得：，∴单调增区间；令+2kπ≤x+是单调递减，解得：∴单调减区间；令x+=解得：∴对称轴方程是20．设，其中ω＞0．（1）求函数y=f（x）的值域；（2）若y=f（x）在区间上为增函数，求ω的最大值．【考点】正弦函数的单调性；三角函数的最值．【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin （ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，即得到f（x）的值域．（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；在区间上为增函数，即可ω的范围，可得ω最大值．【解答】解：设，其中ω＞0．化简可得：f（x）=2sinωxcosωxcos+2sin2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+（cos2ωx）+cos2ωx=sin2ωx+∵sin2ωx∈[﹣1，1]∴f（x）∈即函数f（x）值域是．（2）由（1）可得f（x）=sin2ωx+∵y=f（x）在区间上为增函数∴﹣且，（k∈Z）解得：∵ω＞0．∴．21．已知定义在R上的单调递增函数f（x）是奇函数，当x＞0时，．（1）求f（0）的值及f（x）的解析式；（2）若f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）f（x）是R上的奇函数得f（0）=0．令x＜0，则﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣'由此能求出f（x）的解析式．（2）利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行转化，把恒成立问题转化为最值问题．【解答】解：（1）∵f（x）时R上的奇函数f（﹣x）=﹣f（x），∴f（0）=0．令x＜0，则﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣f（x）=（2）∵f（x）时R上的奇函数，单调递增函数．∴f（k•4x﹣1）＜f（3•4x﹣2x+1）对任意x∈R恒成立⇔k•4x﹣1＜3•4x﹣2x+1令2x=t，t＞0，则k•4x﹣1＜3•4x﹣2x+1⇔kt2﹣1＜3t2﹣2t⇒k＜﹣+3，，∴k＜2，即实数k的取值范围为：（﹣∞，2）．22．已知二次函数f（x）=x2+mx+n．（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；（2）在（1）的前提下，函数，解关于x的不等式g（2x）＞2x；（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[﹣1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质．【分析】（1）利用偶函数的定义和函数的最值即可求出函数的解析式，（2）设t=2x，t＞0，原不等式化为t＜，即可求出不等式的解集，（3）分别赋值x=0，﹣1，1时，即可求出k的最大值．【解答】解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴x2﹣mx+n=x2+mx+n，∴m=0，∵f（x）是偶函数且最小值为1，∴n=1∴f（x）=x2+1，（2）∵=，g（2x）＞2x，设t=2x，t＞0，∴＞t，∴t2＜5，∴t＜，∴2x＜，解得x＜log25，故解集是（3）令x=1，则|1+m+n|≤M，则﹣M≤1+m+n≤M①令x=﹣1，则|1﹣m+n|≤M，则﹣M≤1﹣m+n≤M②令x=0，则|n|≤M，则﹣M≤n≤M③由①+②﹣2×③得，．当且仅当时等号成立．因此．2017年2月28日。
黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学(文)试题
大庆实验中学2016-2017学年度下学期期中考试高二数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．在复平面内，复数1iz i-=（i 是虚数单位）对应的点的坐标是（ ） A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)-- D. (1,1)-2. “因为指数函数xy a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2x y =是增函数” 关于上面推理正确的说法是（ ）A.推理的形式错误B.大前提是错误的C.小前提是错误的D.结论是正确的3．假设有两个分类变量x 和y ，它们的值域分别为{}12,x x 和{}12,y y ，其2×2列联表如下图所示 对同一样本，以下数据能说明x 与y 有关的可能性最大的一组为( )A. 5,4,3,2a b c d ====B. 3,2,4,5a b c d ====C. 5,3,4,2a b c d ====D. 2,3,4,5a b c d ====4．某商场为了了解太阳镜的月销售量y （件）与月平均气温()x C 之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如上表：由表中数据算出线性回归方程ˆybx a =+中的2b =，气象部门预测下个月的平均气温约为20C 据此估计该商场下个月太阳镜销售量约为（ ）件．A ．46B ．50C ．54D ．595．若复数z 满足i z i 6)33(=-（i 是虚数单位），则z ＝（ ） A ．i 2323+-B ．3322i -C ．3322i + D ．3322i --6．已知复数12312z bi z i =-=-，（i 是虚数单位），若12z z 是纯虚数，则实数b 的值为（ ） A ．0 B ．32- C ．6 D ．6-7．证明*+11111+11()234212n n n N +++++>∈-，假设n k =时成立，当1n k =+时，左端增加的项数是（ ）A ．+12k 项B ．2k 项C ．+1k 项D ．k 项8．用反证法证明命题“设,a b R ∈,21,40a b a b +<-≥,那么20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1”时，应假设（ ）A ．方程20x ax b ++=的两根的绝对值存在一个小于1B ．方程20x ax b ++=的两根的绝对值至少有一个大于等于1C ．方程20x ax b ++=没有实数根D ．方程20x ax b ++=的两根的绝对值都不小于19．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是8，则判断框内m 的取值范围是（ ） A. (42,56] B. (20,30] C. (30,42] D. (20,42)月销售量y （件） 2434 44 54（第9题） (第10题) 10．如上图是函数()y f x =的导函数'()y f x =的图象，给出下列命题： ①1是函数()y f x =的最小值点；； ②-2是函数()y f x =的极值点③()y f x =在区间（-2，2）上单调递增；④()y f x =在0x =处切线的斜率小于零.则正确命题的序号是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ③④ D. ②③ 11．已知函数21()54ln 2f x x x x =-+在[],1t t +上不单调，则t 的取值范围是（ ） A. A.{}|321t t t >><<或0 B. {}|2t t >C. C.{}|3t t >D. {}|431t t t >><<或012．已知函数()f x 满足()()xxf x f x xe '-=且1(1)f e-=,则0x <时()f x ( ) A.既有极大值又有极小值 B.有极大值无极小值 C.既无极大值又无极小值 D.有极小值无极大值二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若复数i R b a bi a z ,,(∈+=为虚数单位）满足12-=z ，则|z|= 14．某流程图如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是_______________.①2sin ()xf x x =②2()ln(1+)f x x x =+③()x xx xe ef x e e ---=+ ④22sin ()1cos xf x x=+15．已知如下等式：246+=；810121416++=+；18202224262830+++=++；……,以此类推，则2040会出现在第____________个等式中.16．若存在两个正实数x 、y ，使得等式()()2ln ln 0x m y ex x y +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数m 的取值范围是_______________.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）某校在两个班进行学习方式对比试验，半年后进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如22⨯列联表所示（单位：人）．(1)求,m n ；(2)你有多大把握认为“成绩与学习方式有关系”？80及80分以上 80分以下 合计 试验班 30 1040 对照班 18 m40合计4832n参考公式及数据: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.18．（12分）某种产品的广告费用支出x （万元）与销售额y （万元）之间有如下的对应数据：(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆybx a =+；（其中：112211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx ====---==--∑∑∑∑， a y bx =-）求回归直线方程．（2）据此估计广告费用为12时，销售收入y 的值 19.（12分）已知()ln f x x x =.（1）当(]0,x e ∈（e 是自然常数）时求()f x 的极小值； （2）求()f x 在点(,())e f e （e 是自然常数）处的切线方程. 20．（12分）已知 函数32()(0),()()32a b F x x x x a f x F x '=++>=，若(1)0f -=且对任意实数x 均有()0f x ≥成立. （1）求()F x 表达式；（2）若2()()(21)2t h x F x x t x =++-，求()h x 的单调区间. 21．（12分）已知函数32()3,()ln a f x x x g x x x x =--=+的定义域都是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (1)求()f x 的最大值;(2)若对任意的1,t,22s⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都有()()f sg t≤成立,求a的范围.22.（12分）已知函数ln()xx mf xe+=，曲线()y f x=在点(1,(1))f处的切线与x轴平行（1）函数()f x是否存在极值？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.（2）已知21()1xeg xx-=+，求证：当0x>时，()1lng x x>+恒成立.高二期中（文科）数学答案 一．CBBDA BABAD DC二．（13） 1 （14）①②③ （15） 31 （16）1|0m m m e ⎧⎫>≤-⎨⎬⎩⎭或 三． 17（1） m=22,n=80（2） 2280(3022180)7.540404832K ⨯-==⨯⨯⨯ 因此有90%的把握认为成绩与学习方式有关。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学理试卷 Word版含答案
A ． π5．已知双曲线 - = 1的离心率为 , 则 m =2016—2017 学年度第一学期期末考试高二数学理试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 8 页，共 150分．考试时间 120 分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上．一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在空间，可以确定一个平面的条件是A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．三个点D ．一个三角形2．直线 x - y - 1 = 0 的倾斜角是6B ．π4C ．π3D ．π23. 若椭圆x 2 y 2+ = 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ，则 P 到另一焦点的距离为 25 16A ． 7B ． 5C ． 3D ． 24．在空间，下列结论正确的是A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行x 2 y 2 516 m 4A ． 7B ． 6C ． 9D ． 86．已知 A (-2,0) ， B (2,0) ，动点 P ( x , y ) 满足 P A ⋅ PB = x 2，则动点 P 的轨迹为A ．椭圆C ．抛物线B ．双曲线D ．两条平行直线7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为A．[-1,1]B．[-11A．82B．162 C．10 D．62主视图左视图44俯视图8．设点M(x,1)，若在圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45，则x的取值范围是0022,]C．[-2,2]D．[-,]2222第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．原点到直线4x+3y-1=0的距离为___________．10．抛物线y2=2x的准线方程是___________．11．已知a=(1,2,3)，b=(-1,3,0)，则a⋅b+b=___________．12．过点（1,0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是____________．13．大圆周长为4π的球的表面积为____________．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有___________斛（结果精确到个位）．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.16．（本题满分13分）已知直线l经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x-2y-1=0．（Ⅰ）求交点P的坐标；（Ⅱ）求直线l的方程．1 1C如图，正方体ABCDA BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点．（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值．A1D1B1EC1ABFD18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) ．（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程．平面 BCP 所成角的大小为 ？ 若存在，求出如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ ． F 为 P A 中点， PD = 2 ，1AB = AD = CD = 1 ． 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N ．2（Ⅰ）求证： AC // 平面 DEF ；（Ⅱ）求二面角 A - BC - P 的大小；PE（Ⅲ）在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与Nπ6FDCQ 点所在的位置；若不存在，请说明理由．A B20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值．高二数学理科参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号答案1D2B3A4D5C6D7B8A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.151；10.x=-；11.23+1；212.x-2y-1=0；13.16π；14.22．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本题满分13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F 分别是AD,PB的中点．（Ⅰ）求证：C D⊥P A；（Ⅱ）证明：G F⊥平面PBC．.解法一：（Ⅰ）证明：因为ABCD是正方形，所以CD⊥AD.又PD⊥底面ABCD，所以PD⊥CD.又AD PD=D,所以C D⊥平面PAD.而P A⊂平面P AD,所以CD⊥P A.-------------------------------------6分（Ⅱ）取PC的中点M，连结DM,FM,所以FM∥BC，FM=12 BC，因为GD∥BC，GD=12BC，所以四边形FMDG为平行四边形，所以GF∥DM.又易证BC⊥平面PDC，所以DM⊥BC,又PD=DC,M为PC的中点，所以DM⊥PC.则GF⊥BC且GF⊥PC.又BC⋂PC=C,所以GF⊥平面PCB---------------------------------------------13分（Ⅱ）设 G (1,0,0) 则 FG = (0, -1, -1) ， CB = (2,0,0) ， PC = (0,2, -2) .⎧得 ⎨2 x + y + 2 = 0， 1 1 BF解法二：（Ⅰ）证明：以 D 为原点建立如图空间直角坐标系则 A (2,0,0)B (2,2,0)C (0,2,0)P (0,0,2)F (1,1,1)所以 P A = (2,0, -2) , DC = (0,2,0) .则 P A ⋅ DC = 0 ，所以 P A ⊥ CD . --------------------------6 分⎧⎪ FG ⋅ C B = 0, 又 ⎨⎪⎩ FG ⋅ PC = 0,故 GF ⊥平面 PCB . ------------------------------------------------13 分16.（本题满分 13 分）已知直线 l 经过直线 3x + 4 y - 2 = 0 与直线 2 x + y + 2 = 0 的交点 P ，并且垂直于直线 x - 2 y - 1 = 0 .（Ⅰ）求交点 P 的坐标；（Ⅱ）求直线 l 的方程.解：（Ⅰ）由 ⎨3x + 4 y - 2 = 0， ⎧ x = -2，⎩ ⎩ y = 2，所以 P ( - 2 ， 2 ).--------------------------------------------------5 分（Ⅱ）因为直线 l 与直线 x - 2 y - 1 = 0 垂直，所以 k = -2 ，l所以直线 l 的方程为 2 x + y + 2 = 0 .---------------------------------------13 分17.（本小题满分 13 分）如图，正方体 ABCD - A BC 1D 1 的棱长为 1，E 、F 分别是 BB 1 和 CD 的中点.（Ⅰ）求 AE 与 A 1F 所成角的大小；（Ⅱ）求 AE 与平面 ABCD 所成角的正切值.（Ⅰ）如图，建立坐标系 A-xyz,则 A(0，0，0)，A1 D1B1 C1E1E （1，0， ），2A 1（0，0，1） F （ 1，1，0）2ACD.-------------------------------------13 分 5 ,可得 tan α =1AE =(1，0， ),2A1zD11A F =( ，1，-1) 1 2AE ⋅ A F =01B1EC1所以 AE ⊥ A F1所 以 AE 与 A 1F 所 成 角 为 90 °BACFDy-------------------------------------6 分x（Ⅱ）解法 1：∵ ABCD - A BC D 是正方体，1 1 1 1∴BB 1⊥平面 ABCD∴∠EAB 就是 AE 与平面 ABCD 所成角，又 E 是 BB 1 中点，1 在直角三角形 EBA 中，tan ∠EAB = 2解法 2：设 AE 与平面 ABCD 所成角为 α平面 ABCD 的一个法向量为 n =(0,0,1)则sin α =cos< AE , n >= AE ⋅ nAE ⨯ n = 112∴ AE 与平面 ABCD 所成角的正切等于 1 2. ----------------------------------13 分18．（本小题共 13 分）已知直线 l 经过点 (2,1) 和点 (4,3) .（Ⅰ）求直线 l 的方程；（Ⅱ）若圆 C 的圆心在直线 l 上，并且与 y 轴相切于 (0,3) 点，求圆 C 的方程.解：（Ⅰ）由已知，直线 l 的斜率 k = 3 - 1 = 1，4 - 2所以，直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 .--------------------6 分（Ⅱ）因为圆 C 的圆心在直线 l 上，可设圆心坐标为 (a , a - 1) ，因为圆 C 与 y 轴相切于 (0,3) 点，所以圆心在直线 y = 3 上.所以 a = 4 .所以圆心坐标为 (4,3) ，半径为 4.所以，圆 C 的方程为 ( x - 4)2 + ( y - 3)2 = 16 .---------------------------13 分AB = AD = CD = 1. 四边形 PDCE 为矩形，线段 PC 交 DE 于点 N .⎩ z = 2⎪ ⎧ ⎩ ⎩19.（本小题满分 14 分）如图， PD 垂直于梯形 ABCD 所在的平面， ∠ADC = ∠BAD = 90︒ . F 为 P A 中点， PD = 2 ，12(I) 求证： AC // 平面 DEF ； PE(II) 求二面角 A - BC - P 的大小；N(III)在线段 EF 上是否存在一点 Q ，使得 BQ 与F平面 BCP 所成角的大小为 π 6？ 若存在，求 Q 点DC所在的位置；若不存在，请说明理由.AB解：(Ⅰ)连接 FN , 在 ∆PAC 中， F , N 分别为 P A , PC 中点，所以 FN / / AC ,因为 FN ⊂ 平面DEF , AC ⊄ 平面DEF ,所以 AC / / 平面 D EF ----------------------------------5 分(Ⅱ)如图以 D 为原点，分别以 DA , DC , DP 所在直线为 x,y,z 轴，建立空间直角坐标系 D - xyz .zPENFxACD yB则 P (0,0, 2), B (1,1,0), C (0,2,0), 所以 PB = (1,1, - 2), BC = (-1,1,0).⎧m ⋅ PB = ( x , y , z ) ⋅(1,1,- 2) = 0 设平面 PBC 的法向量为 m = ( x , y , z ), 则 ⎨⎪⎩m ⋅ BC = ( x , y , z ) ⋅ (-1,1,0) = 0⎧⎪ x + y - 2 z = 0 ⎪ x = x即 ⎨, 解得 ⎨ , ⎪- x + y = 0 ⎪ z = 2 x⎧ x = 1⎪令 x = 1 ，得 ⎨ y = 1 , 所以 m = (1,1, 2).⎪因为平 面ABC 的法向量 n = (0,0,1),n ⋅ m 2所以 cos n , m = = ，n ⋅ m2由图可知二面角 A - BC - P 为锐二面角，,因为直线 BQ 与平面 BCP 所成角的大小为 ，所以 e = c ．所以椭圆 C 的离心率为 ． -----------------------------------5 分k 2 + 1 = 1 ，即 k 2 + 1 = m 2 ．⎧ 3k 2 + 1 3k 2 + 1所以二面角 A - BC - P 的大小为 π.4-----------------------------10 分(Ⅲ) 设存在点 Q 满足条件，且 Q 点与 E 点重合.1 2由 F ( ,0, ), E (0,2, 2). 设 FQ = λ F E (0 ≤ λ ≤ 1) ，2 21 - λ 2(1 + λ) 整理得 Q ( ,2 λ, ) ， BQ = (-2 21 + λ 2(1 + λ),2 λ - 1, ), 2 2π6π BQ ⋅ m | 5λ - 1| 1所以 sin =| cos BQ , m |=| |== ， 6 BQ ⋅ m 2 19λ 2 - 10λ + 7 2则 λ 2 = 1,由0 ≤ λ ≤ 1知 λ = 1 ，即 Q 点与 E 点重合. -------------------14 分20．（本小题满分 14 分）已知圆 O : x 2 + y 2 = 1的切线 l 与椭圆 C : x 2 + 3 y 2 = 4 相交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）求证： O A ⊥ OB ；（Ⅲ）求 ∆OAB 面积的最大值.解：（Ⅰ）由题意可知 a 2 = 4 ， b 2 =4 8，所以 c 2 = a 2 - b 2 = ． 3 36 6= a 3 3（Ⅱ）若切线 l 的斜率不存在，则 l : x = ±1．在x 2 3 y 2+ = 1 中令 x = 1 得 y = ±1 ． 4 4不妨设 A (1,1), B (1, -1) ，则 OA ⋅ O B = 1 -1 = 0 ．所以 O A ⊥ OB ．同理，当 l : x = -1时，也有 OA ⊥ OB ．若切线 l 的斜率存在，设 l : y = kx + m ，依题意m由 ⎨ y = kx + m ⎩ x 2 + 3 y 2 = 4，得 (3k 2 + 1)x 2 + 6kmx + 3m 2 - 4 = 0 ．显然 ∆ > 0 ．设 A ( x , y ) ， B ( x , y ) ,则 x + x = - 1 1 2 2 1 2 6km 3m 2 - 4， x x = ．1 2)[( x + x ) - 4 x x ] = 1 + k 1所以 y y = (kx + m )(kx + m ) = k 2 x x + km ( x + x ) + m 2 . 1 2 1 2 1 2 1 2所以 OA ⋅ O B = x x + y y = (k 2 + 1)x x + km ( x + x ) + m 2 1 21 2 1 2 1 2= (k 2 + 1) 3m 2 - 4 6km - km 3k 2 + 1 3k 2 + 1 + m 2== (k 2 + 1)(3m 2 - 4) - 6k 2m 2 + (3k 2 + 1)m 2 3k 2 + 14m 2 - 4k 2 - 4 3k 2 + 14(k 2 + 1) - 4k 2 - 4 = = 0 ． 3k 2 + 1所以 OA ⊥ OB ．综上所述，总有 O A ⊥ OB 成立． ----------------------------------------------10 分（Ⅲ）因为直线 AB 与圆 O 相切，则圆 O 半径即为 ∆OAB 的高，当 l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知 AB = 2 ．则 S∆OAB = 1 .当 l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB = (1+ k 2 2 2 ⋅ ( 1 2 1 2 6km 3m 2 - 4 )2 - 4 ⋅ 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 = ⋅ 9k 2m 2 - (3m 2 - 4)(3k 2 + 1) 3k 2 + 12 1 + k 2 2 1 + k 2 = ⋅ 12k 2 - 3m 2 + 4 = ⋅ 12k 2 - 3(k 2 + 1) + 4 3k 2 + 1 3k 2 + 12 1 + k 2 =⋅ 9k 2 + 1 ．3k 2 + 1 所以 AB 2 = 4(1+ k 2 )(9k 2 + 1) 4(9k 4 + 10k 2 + 1) 4k 2 = = 4(1+ ) (3k 2 + 1)2 9k 4 + 6k 2 + 1 9k 4 + 6k 2 + 1= 4 + 16 ⋅ k 2 16 4 16 3 = 4 + ≤ 4 + = （ 当 且 仅当 k = ± 9k 4 + 6k 2 + 1 3 3 3 9k 2 + + 6 k 2时，等号成立）．所以AB≤43∆OAB max=.综上所述，当且仅当k=±3时，∆OAB面积的最大值为．-------------------14分23．此时,(S)332333。
精选黑龙江省大庆铁人中学2016_2017学年高二数学上学期期末考试试题理
大庆铁人中学2015--2016高二年级上学期期末考试数学（理）试题试卷说明：1、本试卷满分100分，考试时间120分钟2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题：（每小题5分，共计60分，每题只有一个选项符合题目要求）1.抛物线x y 32=的准线方程是（ ）A ．43-=y B.34x =- C ．112y =- D ．112x =-2．将两个数1,2a b =-=-交换，使2,1a b =-=-，下列语句正确的是( )A3.如图，面积为4的矩形ABCD 中有一个阴影部分，若往矩形ABCD 中随机投掷1000个点，落在矩形ABCD 的非阴影部分中的点数为350个，试估计阴影部分的面积为（ ）A ．1.4 B.1.6 C ．2.6 D ．2.44．已知向量)0,1,1(=，(1,0,2)b =-，且b a k +与a 互相垂直，则k ＝（ ） A.13 B.12 C.13- D.12- 5.已知抛物线2x =-的焦点与双曲线221()4x y a R a +=∈的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．4y x =±C ．14y x =±D ．12y x =± 6. 执行右面的程序框图，若输入10011,2,5a k n ===，则输出的b 的值是（ ）A ． 38 B. 39 C. 18 D. 19第3题第6题A.3B.3C.2D.48.下列说法正确的个数为（ ）①统计中用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性关系的强弱。
线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱。
②回归直线∧∧∧+=a x b y 一定通过样本点的中心),(y x .③为了了解某地区参加数学竞赛的1003名学生的成绩情况，准备从中抽取一个容量为50的样本，现采用系统抽样的方法，需要从总体中剔除3个个体，在整体抽样过程中，每个个体被剔除的概率和每个个体被抽到的概率分别是10033和501000。
黑龙江省大庆中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2016-2017学年度高二第二学期期末考试卷（理科）数学试卷一、选择题1. 已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，则{}2680B x x x =-+≤，则()R A C B ⋂=（ ）A. {}0x x ≤B. {}24x x ≤≤C. {024}x x x ≤<<或D. {}024x x x <≤≥或}【答案】C 【解析】 【分析】【详解】∵121x⎛⎫⎪⎭≤⎝∴0x ≥，∴{|0}A x x =≥；又2x 6x 80-+≤⇔240x x --≤（）（）， ∴24x ≤≤． ∴{|24}B x x =≤≤， ∴{|24}R B x x x =＜或＞， ∴{|024}R A B x x x ⋂=≤＜或＞， 故选C ． 2. 复数212ii+-的共轭复数是( ) A. i - B. ｉC. 35i -D. 35i【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，然后求其共轭复数.从而求得正确结论.【详解】()()()()2i 12i 5i i12i 12i 5++==-+，故其共轭复数为i -.所以选A.【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题. 3. 下列说法错误的是（ ）A. 10xy ≠是5x ≠或2y ≠的充分不必要条件B. 若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠，则2:,10p x R x x ⌝∃∈++= C. 线性相关系数r 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强D. 用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的高乘以底边中点横坐标之和 【答案】D 【解析】A.10xy ≠是5x ≠或2y ≠的充分不必要条件，正确．B. 若命题2:,10p x R x x ∀∈++≠，由命题的否定可得：2:,10p x R x x ⌝∃∈++=C. 由线性相关系数r 的绝对值与两变量的相关性关系可知：线性相关系数r 的绝对值越接近1，表示两变量的相关性越强．D. 用频率分布直方图估计平均数，可以用每个小矩形的面积乘以底边中点横坐标之后加和．因此D 错误． 综上可知：只有D 错误． 故选D.4. 下列函数是偶函数，且在()0-∞，上单调递减的是（ ） A. 1y x= B. 21y x =- C. 12y x =- D. y x = 【答案】D 【解析】 函数1y x=为奇函数，在()0，-∞上单调递减； 函数21y x =-为偶函数，在()0，-∞上单调递增； 函数12y x =-为非奇非偶函数，在()0，-∞上单调递减； 函数y x =为偶函数，在()0，-∞上单调递减 故选D5. 已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.3，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是( ) A. 0.6 B. 0.7C. 0.8D. 0.9【答案】A 【解析】设第一个路口遇到红灯概率为A ，第二个路口遇到红灯的事件为B ， 则P(A)=0.5,P(AB)=0.4， 则()()(|)0.8P AB P B A P A ==，本题选择C 选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得()()(|)n AB P B A n A =.6. 已知函数()3235f x x ax x =-+-在区间[1,2]上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A. (5)-∞，B. (5]-∞，C.37()4-∞， D.37(]4，-∞ 【答案】B 【解析】 【详解】 【分析】2f'x 9x 2ax 1=-+（）∵()3235f x x ax x =-+-在区间[1，2]上单调递增∴2f'x 9x 2ax 10=-+≥（）在区间[1，2]上恒成立．即a≤29x 12x+=9x 122x + 当x=1时9x 122x +有最小值5 即a≤5，故选B点睛: 给出函数在某个区间上的单调性，通常转化为函数的恒成立问题, 往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理, 也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.7. 直线21x t y t =-+⎧⎨=-⎩ （t 为参数）被圆()()223125x y -++=所截得的弦长为（ ）A. 98B. 1404C. D.【答案】C 【解析】∵直线21x ty t =-+⎧⎨=-⎩ (t 为参数)，∴直线的一般式方程为x+y+1=0，∵圆()()223125x y -++=,则圆心为()3,1-，半径5r =，∴圆心(3,−1)到直线x+y+1=0的距离2d =设弦长为l,则根据勾股定理可得,2221l r 2d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故22321l 25,22⎛⎫√⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得l=82 故直线被圆所截得的弦长为828. 若样本数据1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ） A. 8 B. 15C. 16D. 32【答案】C 【解析】试题分析：样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，所以方差为64，由()()214D X D x -=可得数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差为464⨯，所以标准差为46416⨯= 考点：方差与标准差9. 对具有线性相关关系的变量，测得一组数据如下表：2 4 5 6 8 y2040607080当20x时，y 的估计值为（ ）A .210B. 210.5C. 211.5D. 212.5【答案】C 【解析】由题意可知：2456855x ++++==，204060708054.5y ++++==因为回归直线方程经过样本中心,所以ˆ5410.55a, 1.5ˆa =⨯+=，回归直线方程为：10.5.5ˆ1yx =+ 当20x =时，y 的估计值为：10.520 1.5211.5⨯+=. 故选C10. 从6名同学中选派4人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛，若其中甲、乙两名同学不能参加生物竞赛，则选派方案共有（ ） A. 180种 B. 280种 C. 96种 D. 240种【答案】D 【解析】试题分析：特殊位置优先考虑，既然甲、乙不能参加生物竞赛，则从另外4个人中选择一个参加有种方法，然后将剩下的5个人中选择3个人排剩下3科，有,故.考点：排列问题.11. 已知命题p ：“函数()1ln 2f x ax x =+在区间)1+⎡∞⎣，上单调递减”；命题q ：“存在正数x ，使得()21xx a -<成立”，若p q ∧为真命题，则a 的取值范围是（ ）A. 112⎛⎤-- ⎥⎝⎦， B. 112⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C. 112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， D. 112⎡⎫--⎪⎢⎣⎭， 【答案】A 【解析】命题p:()22ax 1'2f x x+=；∵f(x)在[1,+∞)上单调递减； ∴22ax 1+⩽0,即21a2x -在[1,+∞)上恒成立； 1x =时,21 2x -在[1,+∞)上取最小值12-；∴a ⩽12-； 命题q:()21xx a -<即12xx a -<在(0,+∞)上有解；设()()1ln2,'1022x xg x x g x =-=+>； ∴()g x 在(0,+∞)上单调递增； ∴()()01g x g >=-,即12xx ->−1； ∴1a >-； ∵p q ∧为真命题； ∴p ，q 都为真命题；∴112a -<-；∴a 的取值范围是11,?.2⎛⎤-- ⎥⎝⎦ 故选A.点睛：本题主要考查不等式的恒成立，有解问题，可以首选变量分离，构建新函数研究单调性求最值，也可以直接构造含参新函数，进行分类讨论研究函数单调性求最值 12. 已知函数()f x 的定义域为[)3,-+∞，且()()632f f =-=，()f x '为()f x 的导函数，函数()f x '的图象如图所示.若正数a ,b 满足()22f a b +<,则32b a +-的取值范围是A. 3,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. ()9,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭C. 9,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()3,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】先根据导数的图象可知函数是增函数，从而将()()226f a b f +<=转化为20 26a b a b +>⎧⎨+<⎩，再用线性规划，作出平面区域，令32b t a +=-表示过定点()2,3-的直线的斜率，通过数形结合法求解．【详解】由图知()0f x '≥在[)3-+∞，上恒成立， ∴函数()f x 在[)3,0-是减函数，()0+∞，上是增函数， 又∵()()226f a b f +<=∴2026a b a b +>⎧⎨+<⎩，画出平面区域，令32b t a +=-表示过定点()2,3-的直线的斜率， 如图所示可得332t ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，（，）， 即32b a +-的取值范围是332t ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，（，），故选D.【点睛】本题主要考查函数的单调性转化不等式，还考查了线性规划中的斜率模型，同时还考查了转化思想，数形结合思想，属于中档题. 二．填空题13.36211)()x x x ++（展开式中的常数项为 _________. 【答案】35 【解析】621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为663r 16621T rr r r rC x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 63211)x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（展开式中的常数项共有两种来源：①266302C 15r r -=⇒==，，；②366333C 20r r -=-⇒==，，；相加得15+20=35. 故答案为3514. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是_____． 【答案】甲 【解析】 【分析】【详解】分析题意只有一人说假话可知，假设只有甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，故假设不成立；假设只有乙说的是假话，则甲和丙说的都是真话，即乙没有得满分，丙没有得满分，故甲考满分.假设只有丙说的是假话，即甲和乙说的是真话，即丙说了真话，矛盾，故假设不成立. 综上所述，得满分的是甲.15. 一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有1件次品. 用户先对产品进行随机抽检以决定是否接受. 抽检规则如下：至多抽检3次，每次抽检一件产品(抽检后不放回)，只要检验到次品就停止继续抽检，并拒收这箱产品；若3次都没有检验到次品，则接受这箱产品，按上述规则，该用户抽检次数的数学期望是___________. 【答案】2710【解析】试题分析：根据题意用户抽检次数的可能取值为1，2，3，那么可知1911988(1),(2)(2)101091010910P P P ξξξ====⨯=∴==⨯= ,故根据期望公式可知为1182712310101010⨯+⨯+⨯=，故答案为2710考点：离散型随机变量及其分布列，点评：本题考查离散型随机变量及其分布列，考查作出分布列的方法以及根据分布列求出变量的期望的能力，解答本题的关键是分清事件的结构 16. 已知函数()xxf x e =，在下列命题中，其中正确命题的序号是_________. （1）曲线()y f x =必存在一条与x 轴平行的切线； （2）函数()y f x =有且仅有一个极大值，没有极小值；（3）若方程()0f x a -=有两个不同的实根，则a 的取值范围是1()e -∞，；（4）对任意的x ∈R ,不等式1()2f x <恒成立；（5）若1(0,]2a e∈，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为12[,]x x ； 【答案】（1）（2）（4）（5） 【解析】 ∵()x x f x e =可得()1x'x f x e-=,令()'f x =0只有一根1x =, ∴（1）对 令()0f x '>得1x >，()f x 在)—1∞（，递增，同理()f x 在(1,+∞)上递减，∴()f x 只有一个极大值()1f ，无极小值故（2）对；∵x →-∞时()f x →0, ∴方程()0f x a -=有两个不同的实根时10a e<<故（3）错 由()f x 的单调性可知()f x 的最大值为()1f =1 e ，∴()112f x e ≤<故（4）对 由()f x 的图像可知若10,2a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则12,x x R +∃∈,可以使不等式()f x a ≥的解集恰为[]12,x x故（5）对点睛：本题是导数部分的综合题，主要考查函数的单调性，极值，函数图像，要注意图像的趋势，不等式的恒成立问题，不等式的解集问题都可以由图像得出 三．解答题17.已知直线52:{12x t l y t=+=（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点的直角坐标为(5,3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB ⋅的值.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】【详解】试题分析：（1）在方程=2cos ρθ两边同乘以极径ρ可得2=2cos ρρθ，再根据222=,cos x y x ρρθ+=，代入整理即得曲线C 的直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程整理，根据韦达定理即可得到MA MB ⋅的值. 试题解析：（1）=2cos ρθ等价于2=2cos ρρθ①将222=,cos x y x ρρθ+=代入①既得曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，②（2）将352132x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②得253180t t ++=，设这个方程的两个实根分别为12,,t t则由参数t 的几何意义既知，1218MA MB t t ⋅==.考点：圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化及直线参数方程的应用.18. 现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.【答案】（1）827（2）19（3）148()81E ξ=【解析】 【分析】【详解】解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件(i＝0,1,2,3,4)，则（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率（Ⅱ）设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则，由于与互斥，故所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19（Ⅲ）ξ的所有可能取值为0,2,4.由于与互斥，与互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ0 2 4P82740811781随机变量ξ的数学期望考点：1.离散型随机变量的期望与方差；2.相互独立事件的概率乘法公式；3.离散型随机变量及其分布列．19. 设函数22()(ln)xef x k xx x=-+（k为常数，e＝2．718 28…是自然对数的底数）．（1）当0k≤时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数()f x在（0,2）内存在两个极值点，求k的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞；（2）2(,)2ee．【解析】【分析】【详解】试题分析：（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，()f x '=3(2)()xx e kx x--= 由0k ≤可得0x e kx ->，得到()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞. （II ）分0k ≤，0k >，01k <≤，1k >时，讨论导函数值的正负，根据函数的单调性，明确极值点的有无、多少. 试题解析：（I ）函数()y f x =的定义域为(0,)+∞，242221()()x x x e xe f x k x x x -=--+' 322(2)x x xe e k x x x --=-3(2)()x x e kx x--= 由0k ≤可得0x e kx ->，所以当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减， 当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增.所以()f x 的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,)+∞.（II ）由（I ）知，0k ≤时，函数()f x 在(0,2)内单调递减， 故()f x 在(0,2)内不存在极值点；当0k >时，设函数(),[0,)x g x e kx x =-∈+∞， 因为ln ()x x k g x e k e e '=-=-， 当01k <≤时，当(0,2)x ∈时，()0x g x e k '=->，()y g x =单调递增， 故()f x 在(0,2)内不存在两个极值点； 当1k >时，得(0,ln )x k ∈时，()0g x '<，函数()y g x =单调递减，(ln ,)x k ∈+∞时，()0g x '>，函数()y g x =单调递增，所以函数()y g x =的最小值为(ln )(1ln )g k k k =-， 函数()f x 在(0,2)内存在两个极值点；当且仅当(0)0(1)0(2)00ln 2g g nk g k >⎧⎪<⎪⎨>⎪⎪<<⎩，解得22e e k <<，综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为2(,)2e e .考点：应用导数研究函数的单调性、极值，分类讨论思想，不等式组的解法. 20. 已知直线cos :{(sin x m t l y t ααα=+=为参数）经过椭圆2cos :{(x C y ϕϕϕ==为参数）的左焦点F .（1）求m 的值；（2）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的最大值和最小值. 【答案】（1）1m =-；（2）3，94【解析】试题分析：（1）首先可以分析到题目中的直线方程是参数方程的形式，需要化简为一般方程，第（1）问即可求得．（2）直线与曲线交与交于A B ，两点，可以把直线与曲线联立方程，用根与系数关系即可得到求解．试题解析：解：（1）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得22143x y +=．2,1a b c ===，则点F 坐标为()1,0-．l 是经过点(),0m 的直线，故1m =-．（2）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得()2223cos 4sin 6cos 90tt ααα+--=．设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则1222299·3cos 4sin 3sin FA FB t t ααα===++．当sin 0α=时，·FA FB 取最大值3； 当sin 1α=时，·FA FB 取最小值94．考点：1．椭圆的参数方程；2．直线的参数方程．21. 某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X （年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，假设各年的年入流量相互独立.（1）求未来3年中，设ξ表示流量超过120的年数，求ξ的分布列及期望； （2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 4080X <<80120X ≤≤120X > 发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元，若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？ 【答案】（1）()0.3E ξ=（2）欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机 【解析】 试题分析：(1)利用二项分布求得分布列，然后可得数学期望为0.3； (2)利用题意分类讨论可得应安装2台发电机． 试题解析：（1）依题意，(120)0.1P X >=，由二项分布可知，()~3,0.1B ξ.()()303010.10.729P C ξ==-=,()()21310.110.10.243P C ξ==⨯⨯-=, ()()22320.110.10.027P C ξ==⨯⨯-=,()33330.10.001P C ξ==⨯=,所以ξ的分布列为 0 1 2 30.7290.2430.0270.00130.10.3E =⨯=.（2）记水电站的总利润为Y （单位：万元），①假如安装1台发点机，由于水库年入流总量大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润5000Y =，()500015000E Y =⨯=； ②若安装2台发电机，当4080X <<时，只一台发电机运行，此时50008004200Y =-=，()42000.2P Y ==， 当80X ≥时，2台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，()100000.8P Y ==，()42000.2100000.88840E Y =⨯+⨯=. ③若安装3台发电机，当4080X <<时，1台发电机运行，此时500028003400Y =-⨯=，()34000.2P Y ==，当80120X ≤≤时，2台发电机运行，此时500028009200Y =⨯-=，()92000.7P Y ==， 当120X >时，3台发电机运行，此时5000315000Y =⨯=，()150000.1P Y ==，()34000.292000.7150000.18620E Y =⨯+⨯+⨯= 综上可知，欲使总利润的均值达到最大，应安装2台发电机. 22. 已知函数1()ln xf x x ax-=+； （1）若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，求正实数a 的取值范围； （2）当1a =时，求函数()f x 在1[,2]2上的最值； （3）当1a =时，对大于1的任意正整数n ，试比较ln1n n -与1n的大小关系． 【答案】（1）1a ≥；（2）函数()f x 在区间1[,2]2上的最大值是1()1ln 22f =-，最小值是0；（3）见解析. 【解析】试题分析：（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出a 的范围即可； （2）将a=1代入，求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值； （3）求出函数的导数，得到函数的单调性，令1nx n =-，得到f （x ）>f （1）=0，从而证出结论． 试题解析：（1）因为，所以因为函数在上为增函数，所以对恒成立，所以对恒成立，即对恒成立，所以.(2)当时，，所以当时，，故在上单调递减；当，，故在上单调递增，所以在区间上有唯一极小值点，故，又，，，因为，所以，即所以在区间上的最大值是综上可知，函数在区间上的最大值是，最小值是0.（3）当时，，，故在上为增函数.当时，令，则，故所以，即>当时，对大于1的任意正整数，有>。
2016-2017年黑龙江省大庆实验中学高二(下)6月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）6月月考数学试卷（理科）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝cos x是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．（5分）由曲线，直线y＝x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．13．（5分）若复数Z满足（1+i）Z＝|3+4i|，则Z的实部为（）A．﹣B．﹣C．D．4．（5分）的展开式中常数项为（）A．﹣6B．﹣2C．2D．65．（5分）已知随机变量ξ：B（10，0.04），随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝（）A．0.2B．0.4C．2D．46．（5分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+17．（5分）复数（a∈R）在复平面内对应的点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．0＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣18．（5分）从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，若其中甲乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案有（）A．96种B．180种C．240种D．280种9．（5分）（3+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．﹣150B．70C．90D．11010．（5分）观察算式，21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22010的末位数字是（）A．2B．4C．6D．811．（5分）已知函数f（x）＝e x（x2﹣bx）（b∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+3x﹣2，射线l：y＝kx﹣k（x≥1）．若射线l恒在函数y ＝f（x）图象的下方，则整数k的最大值为（）A．4B．5C．6D．7二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为．14．（5分）设1+x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a1+a2+…+a5＝．15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）＝0.8，则P（1＜X＜3）＝．16．（5分）复数z满足|z﹣2+i|＝1，则|z+1﹣2i|的最小值为．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出过程）17．（10分）某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？18．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．19．（12分）某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：20．（12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是，这1名女生报此所大学的概率是．且这4人报此所大学互不影响．（Ⅰ）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；（Ⅱ）在报考某所大学的上述4名学生中，记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和，试求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数，其中实数a≥0．（1）若a＝0，求函数f（x）在x∈[1，5]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．22．（12分）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且a＝，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）中当a＝0时，函数y＝f（x）的图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）．（3）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）6月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y＝cos x是三角函数；②三角函数是周期函数；③y＝cos x是周期函数．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y＝cos x是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y＝cos x是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③故选：B．2．（5分）由曲线，直线y＝x所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．1【解答】解：函数与y＝x的交点坐标为（0，0），（1，1），如图所示，结合定积分的几何意义可得，两函数图象所围成的封闭图形的面积是：．故选：A．3．（5分）若复数Z满足（1+i）Z＝|3+4i|，则Z的实部为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：由（1+i）Z＝|3+4i|，得，∴Z的实部为．故选：D．4．（5分）的展开式中常数项为（）A．﹣6B．﹣2C．2D．6【解答】解：的展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣1）r•••x3﹣3r，令3﹣3r＝0，解得r＝1，∴展开式中常数项为T2＝﹣1××＝﹣6．故选：A．5．（5分）已知随机变量ξ：B（10，0.04），随机变量ξ的数学期望E（ξ）＝（）A．0.2B．0.4C．2D．4【解答】解：∵随机变量ξ服从二项分布ξ～B（10，0.04），∴其期望Eξ＝np＝10×0.04＝20.4，故选：B．6．（5分）用数学归纳法证明，第二步证明从k 到k+1，左端增加的项数为（）A．2k﹣1B．2k C．2k﹣1D．2k+1【解答】解：当n＝k时，左端＝，那么当n＝k+1时左端＝，＝∴左端增加的项为，所以项数为：2k．故选：B．7．（5分）复数（a∈R）在复平面内对应的点在第一象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．0＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1【解答】解：复数z＝＝在复平面内对应的点在第一象限，∴﹣a＞0，解得a＜0．故选：A．8．（5分）从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，若其中甲乙两人不能从事工作A，则不同的选派方案有（）A．96种B．180种C．240种D．280种【解答】解：从6名学生中选出4人分别从事A、B、C、D四项工作，有种不同的选派方案．其中当选派的甲从事工作A或乙从事工作A时，共有种不符合条件，要去掉．因此不同的选派方案有＝﹣＝240种．故选：C．9．（5分）（3+x）（1﹣2x）5展开式中，x2项的系数为（）A．﹣150B．70C．90D．110【解答】解：（3+x）（1﹣2x）5＝（3+x）[1++…]．∴x2项的系数＝＝110．故选：D．10．（5分）观察算式，21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…用你所发现的规律得出22010的末位数字是（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：等式右边的个数数字分别为，2，4，8，6，2，4，8，6…，体现数字的重复性，周期为4，∵2010＝502×4+2，∴22010末位数字和22个位数相同，即为4；故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝e x（x2﹣bx）（b∈R）在区间[，2]上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）【解答】解：∵函数f（x）在区间[，2]上存在单调增区间，∴函数f（x）在区间[，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．f′（x）＝e x[x2+（2﹣b）x﹣b]，设h（x）＝x2+（2﹣b）x﹣b，则h（2）＞0或h（）＞0，即4+2（2﹣b）﹣b＞0或+（2﹣b）﹣b＞0，得b＜．故选：A．12．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+3x﹣2，射线l：y＝kx﹣k（x≥1）．若射线l恒在函数y ＝f（x）图象的下方，则整数k的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：由题意，问题等价于k＜对任意x＞1恒成立．令g（x）＝，∴g′（x）＝，令h（x）＝x﹣2﹣lnx，故h（x）在（1，+∞）上是增函数，由于h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0所以存在x0∈（3，4），使得h（x0）＝x0﹣2﹣lnx0＝0．则x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即x∈（1，x0）时，g'（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0知g（x）在（1，x0）递减，（x0，+∞）递增，又g（x0）＜g（3）＝ln3+＜g（4）＝4+2ln4，所以k max＝5．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）三位老师和三位学生站成一排，要求任何两位学生都不相邻，则不同的排法总数为144．【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①、先将三位老师全排列，有A33＝6种顺序，排好后，有4个空位；②、在4个空位中任选3个，安排三位学生，有A43＝24种情况，则不同的排法有24×6＝144种；故答案为：144．14．（5分）设1+x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，则a1+a2+…+a5＝31．【解答】解：在1+x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5 中，令x＝1可得a0＝2．再令x＝2，可得a0+a1+a2+…+a5＝33，∴a1+a2+…+a5＝31，故答案为：31．15．（5分）已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜5）＝0.8，则P（1＜X＜3）＝0.3．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，σ2），∴对称轴是x＝3．∵P（X＜5）＝0.8，∴P（X≥5）＝0.2，∴PP（1＜X＜3）＝0.5﹣0.2＝0.3．故答案为0.3．16．（5分）复数z满足|z﹣2+i|＝1，则|z+1﹣2i|的最小值为3﹣1．【解答】解：∵复数z满足|z﹣2+i|＝1，∴复数z到（2，﹣1）点的距离为1，∴|z+1﹣2i|的几何意义是复数对应点，与（﹣1，2）的距离，所求的最小值为：﹣1＝3﹣1，故答案为：．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出过程）17．（10分）某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？【解答】解：（1）求回归直线方程，，，a＝50﹣6.5×5＝17.5，∴因此回归直线方程为y＝6.5x+17.5；（2）当x＝12时，预报y的值为y＝12×6.5+17.5＝95.5万元，即广告费用为12万元时，销售收入y的值大约是95.5万元．18．（12分）在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：（Ⅰ）该顾客中奖的概率；（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望Eξ．【解答】解：解法一：（Ⅰ）P＝1﹣＝1﹣＝，即该顾客中奖的概率为．（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）．且P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝10）＝＝，P（ξ＝20）＝＝，P（ξ＝50）＝＝，P（ξ＝60）＝＝故ξ有分布列：从而期望Eξ＝0×+10×+20×+50×+60×＝16．解法二：（Ⅰ）P＝＝＝，（Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值Eξ＝2×8＝16（元）．19．（12分）某中学为了解2017届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为．（Ⅰ）请将上述列联表补充完整；（Ⅱ）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？附：【解答】解：（Ⅰ）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人；（3分）其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：（5分）（Ⅱ）根据表中数据，计算；（10分）所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．（12分）20．（12分）高三年级有3名男生和1名女生为了报某所大学，事先进行了多方详细咨询，并根据自己的高考成绩情况，最终估计这3名男生报此所大学的概率都是，这1名女生报此所大学的概率是．且这4人报此所大学互不影响．（Ⅰ）求上述4名学生中报这所大学的人数中男生和女生人数相等的概率；（Ⅱ）在报考某所大学的上述4名学生中，记ξ为报这所大学的男生和女生人数的和，试求ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）记通过考试的男生有a人，女生有b人，男生和女生人数相等即“a＝b ＝0”或“a＝b＝1”，且二者互斥，∴a＝b的概率P（a＝b）＝＝．（Ⅱ）由题意知ξ＝0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴Eξ＝0×+1×+2×+3×+4×＝．21．（12分）已知函数，其中实数a≥0．（1）若a＝0，求函数f（x）在x∈[1，5]上的最值；（2）若a＞0，讨论函数f（x）的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）＝x﹣2lnx，∴f′（x）＝，令f′（x）＝0，∴x＝2．列表如下，从上表可知，∵f（5）﹣f（1）＝4﹣2ln5＞0，∴f（5）＞f（1），函数f（x）在区间[1，3]上的最大值是5﹣2ln5，最小值为2﹣2ln2．（2）f′（x）＝1+﹣═＝．①当a＞2时，x∈（0，2）∪（a，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（2，a）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；②当a＝2时，∵f′（x）＝＞0（x≠2），∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）．③当0＜a＜2时，x∈（0，a）∪（2，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（a，2）时，f′（x）＜0，∴f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）；综上，当a＞2时，f（x）的单调增区间为（0，2），（a，+∞），单调减区间为（2，a）；当a＝2时，f（x）的单调增区间为（0，+∞）；当0＜a＜2时，f（x）的单调增区间为（0，a），（2，+∞），单调减区间为（a，2）．22．（12分）已知函数，a为正常数．（1）若f（x）＝lnx+φ（x），且a＝，求函数f（x）的单调增区间；（2）在（1）中当a＝0时，函数y＝f（x）的图象上任意不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，试证明：k＞f'（x0）．（3）若g（x）＝|lnx|+φ（x），且对任意的x1，x2∈（0，2]，x1≠x2，都有，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵a＝，令f'（x）＞0得x＞2或∴函数f（x）的单调增区间为；（2）证明：当a＝0时f（x）＝lnx∴∴又不妨设x2＞x1，要比较k与f'（x0）的大小，即比较与的大小，又∵x2＞x1，∴即比较与的大小．令，则∴h（x）在[1，+∞）上是增函数．又，∴，∴，即k＞f'（x0）；（3）∵，∴由题意得F（x）＝g（x）+x在区间（0，2]上是减函数．1°当，∴由在x∈[1，2]恒成立．设m（x）＝，x∈[1，2]，则∴m（x）在[1，2]上为增函数，∴2°当，∴由在x∈（0，1）恒成立设t（x）＝，x∈（0，1）为增函数∴a≥t（1）＝0综上：a的取值范围为．。
黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高二(下)开学数学试卷(文科)
2016-2017学年黑龙江省大庆实验中学高二（下）开学数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．将二进制数11100（2）转化为四进制数，正确的是（）A．120（4）B．130（4）C．200（4）D．202（4）2．如图给出了计算S=++…+的值的程序框图，其中①②分别是（）A．i＜30，n=n+2 B．i＞30，n=n+2 C．i＜30，n=n+1 D．i＞30，n=n+13．为了解某地参加2015年夏令营的400名学生的身体健康情况，将学生编号为001，002，…，400，采用系统抽样的方法抽取一个容量为40的样本，且抽取到的最小号码为005，已知这400名学生分住在三个营区，从001至155在第一营区，从156到255在第二营区，从256到400在第三营区，则第一，第二，第三营区被抽中的人数分别为（）A．15，10，15 B．16，10，14 C．15，11，14 D．16，9，154．已知f（x）=x5+2x3+3x2+x+1，应用秦九韶算法计算x=3时的值时，v3的值为（）A．27 B．11 C．109 D．365．已知x与y之间的一组数据：x1234y m 3.2 4.87.5若y关于x的线性回归方程为=2.1x﹣1.25，则m的值为（）A．l B．0.85 C．0.7 D．0.56．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的公共弦长为（）A．B．C．3 D．7．从集合A={﹣2，﹣1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B={﹣1，1，3}中随机选取一个数记为b，则直线ax﹣y+b=0不经过第四象限的概率为（）A．B．C．D．8．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，在C上满足•=0的点P的个数为（）A．0 B．2 C．4 D．无数个9．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）A．B．C．D．10．如果直线ax+by=7（a＞0，b＞0）和函数f（x）=1+log m x（m＞0，m≠1）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x+b﹣1）2+（y+a﹣1）2=25的内部或圆上，那么的取值范围是（）A．B．C．D．11．若“∃x∈，使得2x2﹣λx+1＜0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为（）A．（﹣∞，22，3﹣2，3，，，2 B．C．D．λ=3【考点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题．【分析】若“∃x∈hslx3y3h，2，2，2，2，2，2，故选：A12．已知O为坐标原点，F是双曲线的左焦点，A，B分别为Γ的左、右顶点，P为Γ上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若|OE|=2|ON|，则Γ的离心率为（）A．3 B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用|OE|=2|ON|的关系建立方程进行求解即可．【解答】解：∵PF⊥x轴，∴设M（﹣c，t），则A（﹣a，0），B（a，0），AE的斜率k=，则AE的方程为y=（x+a），令x=0，则y=，即E（0，），BN的斜率k=﹣，则BN的方程为y=﹣（x﹣a），令x=0，则y=，即N（0，），∵|OE|=2|ON|，∴2||=||，即=，则2（c﹣a）=a+c，即c=3a，则离心率e==3，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．过抛物线y2=4x的焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|=16．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=（x﹣1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．【解答】解：根据抛物线y2=4x方程得：焦点坐标F（1，0），直线AB的斜率为k=tan30°=，由直线方程的点斜式方程，设AB：y=（x﹣1），将直线方程代入到抛物线方程中，得：（x﹣1）2=4x，整理得：x2﹣14x+1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由一元二次方程根与系数的关系得：x1+x2=14，x1•x2=1，所以弦长|AB|=|x1﹣x2|=•=16．故答案为：16．14．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（θ+）=，则点A（2，）到直线l的距离为．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，把A的极坐标化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式求得它到直线的距离．【解答】解：把直线l的方程ρsin（θ+）=化为直角坐标方程为x+y﹣1=0，点A（2，）的直角坐标为（﹣，），故点A到直线l的距离为=，故答案为：．15．下列命题中真命题的序号为（1）．（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0．”（2）若A＞B，则sinA＞sinB．（3）已知数列{a n}，则“a n，a n+1，a n+2成等比数列”是“”的充要条件（4）已知函数，则函数f（x）的最小值为2．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接写出全程命题的否定判断（1）；举例说明（2）（3）错误；求出函数的值域判断（4）．【解答】解：对于（1），命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0”，故（1）是真命题；对于（2），若A＞B，则sinA＞sinB，是假命题，如A=390°，B=60°；对于（3），已知数列{a n}，由a n，a n+1，a n+2成等比数列成等比数列有，反之，由，不一定有a n，a n+1，a n+2成等比数列，如a n=0，a n+1=0，a n+2=1，∴“a n，a n+1，a n+2成等比数列”是“”的充分不必要条件，故（3）是假命题；对于（4），函数的值域为（﹣∞，﹣22，+∞），故（4）是假命题．∴真命题的序号为（1）．故答案为：（1）．16．已知P为双曲线上的动点，点M是圆（x+5）2+y2=4上的动点，点N是圆（x﹣5）2+y2=1上的动点，则|PM|﹣|PN|的最大值是9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由已知条件知道双曲线的两个焦点为两个圆的圆心和半径，再利用平面几何知识把|PM|﹣|PN|转化为双曲线上的点到两焦点之间的距离即可求|PM|﹣|PN|的最最大值．【解答】9解：双曲线双曲线上的两个焦点分别是F1（﹣5，0）与F2（5，0），则这两点正好是两圆（x+5）2+y2=4和（x﹣5）2+y2=1的圆心，半径分别是r1=2，r2=1，∵|PF1|﹣|PF2|=2a=6，∴|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|﹣1，∴|PM|﹣|PN|的最大值=（|PF1|+2）﹣（|PF2|﹣1）=6+3=9，|PM|﹣|PN|的最大值为9，故答案为：9三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．在平面直角坐标系xOy中，C1的参数方程为（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，C2的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（Ⅰ）将C2的方程化为普通方程，并说明C2是哪种曲线．（Ⅱ）C1与C2有两个公共点A，B，定点P的极坐标（，），求线段AB的长及定点P到A，B两点的距离之积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由C2的极坐标方程能将C2的方程化为普通方程，并能说明C2是哪种曲线．（Ⅱ）将C1的参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0中，得：．由韦达定理能求出定点P到A，B两点的距离之积．【解答】解：（Ⅰ）C2的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0，化为普通方程：x2+y2﹣2x﹣3=0，即：（x﹣1）2+y2=4．故C2是以（1，0）为圆心，以2为半径的圆．（Ⅱ）的极坐标平面直角坐标为在直线C1上，将C1的参数方程（t为参数），代入x2+y2﹣2x﹣3=0中，得：（1﹣）2+（1+）2﹣2（1﹣）﹣3=0，化简得：．设两根分别为t1，t2，由韦达定理知：，所以AB的长|AB|==，定点P到A，B两点的距离之积|PA|•|PB|=|t1t2|=3．18．已知圆O：x2+y2=8内有一点P0（﹣1，2），AB为过点P0且倾斜角为α的弦．（1）当α=135°时，求弦AB的长；（2）当弦AB被P0平分时，求直线AB的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）依题意直线AB的斜率为﹣1，直线AB的方程，根据圆心0（0，0）到直线AB的距离，由弦长公式求得AB的长．（2）当弦AB被点P0平分时，AB和OP垂直，故直线AB 的斜率为，根据点斜式方程直线AB的方程．【解答】解：（1）当α=135°时，k AB=﹣1，直线AB：y+2=﹣（x﹣1），即x+y+1=0设AB中点为M，则OM⊥AB，且平分弦AB．∵，∴，∴．（2）当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，而k OP=﹣2，∴．∴弦AB所在直线的方程为：x﹣2y+5=0．19．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i（单位：千元）与月储蓄y i（单位：千元）的数据资料，算得，，，．（Ⅰ）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（Ⅱ）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（Ⅲ）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y=bx+a中，，，其中，为样本平均值，线性回归方程也可写为．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）由题意可知n，，，进而可得，，代入可得b值，进而可得a值，可得方程；（Ⅱ）由回归方程x的系数b的正负可判；（Ⅲ）把x=7代入回归方程求其函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知n=10，===8，===2，故l xx==720﹣10×82=80，l xy==184﹣10×8×2=24，故可得b=═=0.3，a==2﹣0.3×8=﹣0.4，故所求的回归方程为：y=0.3x﹣0.4；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b=0.3＞0，即变量y随x的增加而增加，故x与y之间是正相关；（Ⅲ）把x=7代入回归方程可预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．20．随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；（2）计算甲班的样本方差；（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm 的同学被抽中的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．【分析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，可得乙班平均身高较高．（2）先求出甲班的平均身高，再利用样本方差公式计算求得结果．（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件一一列举共10个，而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，由此求得身高为176cm的同学被抽中的概率．【解答】解：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160到179之间，而乙班身高集中于170到180 之间，因此乙班平均身高高于甲班．（2）甲班的平均身高为==170，故甲班的样本方差为=57．（3）从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共有10个．而身高为176cm的同学被抽中的基本事件有4个，故身高为176cm的同学被抽中的概率等于=．21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l 的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的存在性问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F'（﹣2，0），利用已知条件列出方程，求出a，c然后求解b，即可得到椭圆方程．（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为．联立直线与椭圆方程，利用判别式△≥0，推出t的范围，利用点到直线的距离公式公式求解即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，可设椭圆C的方程为，且可知左焦点为F'（﹣2，0），从而有，解得，又a2=b2+c2，∴b2=12．故椭圆C的标准方程为．（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为．由得3x2+3tx+t2﹣12=0．∵直线l与椭圆C有公共点，∴△=（3t）2﹣4×3（t2﹣12）≥0，解得．另一方面，直线OA与l的距离等于4，可得，从而．由于，∴符合题意的直线l不存在．22．已知抛物线C：y2=4x，过点A（﹣1，0）的直线交抛物线C于P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，设．（Ⅰ）试求x1，x2的值（用λ表示）；（Ⅱ）若λ∈hslx3y3h，，，hslx3y3h，则，根据二次函数的知识得：当λ+=，即λ=时，|PQ|有最大值，…此时P（，±），Q（3，±2），直线PQ的方程为：…2017年5月16日。
2015-2016年黑龙江省大庆中学高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜02．（5分）抛物线y=﹣x2焦点坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）3．（5分）如图是某篮球运动员在30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数和众数分别为（）A．3和3B．23和3C．3和23D．23和23 4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．165．（5分）有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（）A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元6．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶7．（5分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）等轴双曲线x2﹣y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积（）A．B．2C．1D．49．（5分）已知条件p：﹣3≤x≤1，条件q：﹣a≤x≤a，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥310．（5分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为．14．（5分）若椭圆两个焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），椭圆的弦的AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．15．（5分）从集合{﹣1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程=1表示双曲线的概率为．16．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．18．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）．如表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（﹣3，a）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．2015-2016学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∃x∈R，x2﹣2x+1＜0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣2x+1≥0B．∃x∈R，x2﹣2x+1＞0C．∀x∈R，x2﹣2x+1≥0D．∀x∈R，x2﹣2x+1＜0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“x2﹣2x+1＜0”的否定是命题：∀x∈R，x2﹣2x+1≥0．故选：C．2．（5分）抛物线y=﹣x2焦点坐标是（）A．（，0）B．（，0）C．（0，）D．（0，）【分析】将抛物线的方程标准化，即可求得其焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2，∴其标准方程为：x2=﹣y，∴焦点F的坐标为F（0，﹣）．故选：C．3．（5分）如图是某篮球运动员在30场比赛中得分的茎叶图，则得分的中位数和众数分别为（）A．3和3B．23和3C．3和23D．23和23【分析】根据茎叶图列出的数据，这组数据有30个，这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数，再找出出现次数最多的数字．【解答】解：由茎叶图知这组数据有30个，∴这组数据的中位数是最中间两个数字的平均数=23，众数是这些数字中出现次数最多的数字，是23，故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2B．4C．8D．16【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S=1，k=1，第2次判断后S=2，k=2，第3次判断后S=8，k=3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．5．（5分）有人收集了春节期间平均气温x与某取暖商品销售额y的有关数据如下表：根据以上数据，用线性回归的方法，求得销售额y与平均气温x之间线性回归方程y=x+a的系数．则预测平均气温为﹣8℃时该商品销售额为（）A．34.6万元B．35.6万元C．36.6万元D．37.6万元【分析】先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出a的值，再代入数值进行预测．【解答】解：==﹣4，==25∴这组数据的样本中心点是（﹣4，25）∵．，∴y=﹣2.4x+a，把样本中心点代入得a=15.4，∴线性回归方程是y=﹣2.4x+15.4当x=﹣8时，y=34.6故选：A．6．（5分）某人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【分析】事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，实际上它的对立事件也是两次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含两次都中靶和两次中有一次中靶，它的互斥事件是两次都不中靶，故选：C．7．（5分）从分别写有A、B、C、D、E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知本题是一个古典概型，试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52种取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，代入公式，得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的总事件是从5张卡片中任取2张，有C52中取法，这2张上的字母恰好按字母顺序相邻的有A，B；B，C；C，D；D，E四种结果，∴由古典概型公式得到P==．故选：B．8．（5分）等轴双曲线x2﹣y2=1上一点P与两焦点F1，F2连线互相垂直，则△PF1F2的面积（）A．B．2C．1D．4【分析】算出双曲线的焦距|F1F2|=2，利用勾股定理得出|PF1|2+|PF2|2=2，结合||PF1|﹣|PF2||=2联解得出|PF1|•|PF2|的值，即可算出△PF1F2的面积．【解答】解：∵双曲线x2﹣y2=1中，a=b=1，∴c==，得焦距|F1F2|=2设|PF1|=m，|PF2|=n，∵PF1⊥PF2，∴m2+n2=|F1F2|2=8…①由双曲线的定义，得|m﹣n|=2a=2…②①②联立，得mn=2∴△PF1F2的面积S=mn=1故选：C．9．（5分）已知条件p：﹣3≤x≤1，条件q：﹣a≤x≤a，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1B．1≤a≤3C．a≤1D．a≥3【分析】p是q的必要不充分条件，可得，解出即可得出．【解答】解：∵p是q的必要不充分条件，∴，解得a≤1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，1]．故选：C．10．（5分）ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）A．B．C．D．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣故选：B．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】由BA1∥CD1，知∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，由此能求出异面直线BE与CD1所形成角的余弦值．【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，E为AA1中点，∴BA1∥CD1，∴∠A1BE是异面直线BE与CD1所形成角，设AA1=2AB=2，则A1E=1，BE==，A1B==，∴cos∠A1BE===．∴异面直线BE与CD1所形成角的余弦值为．故选：C．12．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y 的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为12．【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到结果．【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，∴这支田径队共有48+36=84人，用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，∴每个个体被抽到的概率是，∵田径队有男运动员48人，∴男运动员要抽取48×=12人，故答案为：12．14．（5分）若椭圆两个焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），椭圆的弦的AB过点F1，且△ABF2的周长为20，那么该椭圆的方程为．【分析】由题意可知：c=4，由△ABF2的周长为20，即4a=20，a=5，根据椭圆的性质可知b2=a2﹣c2=25﹣16=9，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意可知：焦点在x轴上，设椭圆方程为：，（a＞b＞0），由c=4，由△ABF2的周长为20，即4a=20，a=5，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴椭圆方程为：．故答案为：．15．（5分）从集合{﹣1，1，2，3}中随机选取一个数记为m，从集合{﹣1，1，2}中随机选取一个数记为n，则方程=1表示双曲线的概率为．【分析】先写出总的基本事件数，在由双曲线的方程特点需mn＜0，只需列举出符合条件的基本事件即可．【解答】解：由题意知基本事件总数为4×3=12，表示双曲线的要求为：mn＜0．当m=﹣1时，n=1、2；当n=﹣1时，m=1、2、3，共5种情况．故表示双曲线的概率为：故答案为：16．（5分）已知命题p：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，命题q：指数函数是R上的增函数，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可）．【分析】先求出命题p，q为真命题的等价条件，然后利用“p且q”是真命题，确定a的取值范围．【解答】解：存在x∈[1，2]，使得x2﹣a≥0，即存在x∈[1，2]，使得x2≥a，所以a≤4，即p：a≤4．指数函数是R上的增函数，则log2a＞1，解得a＞2，即q：a＞2．因为“p且q”是真命题，所以2＜a≤4．故答案为：（2，4]（填{a|2＜a≤4}或2＜a≤4亦可．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．【分析】（1）由频率分布直方图的性质可10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解方程即可得到a的值；（2）由平均数加权公式可得平均数为55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05，计算出结果即得；（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在[50，90）之外的人数．【解答】解：（1）依题意得，10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，解得a=0.005；（2）这100名学生语文成绩的平均分为：55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；（3）数学成绩在[50，60）的人数为：100×0.05=5，数学成绩在[60，70）的人数为：，数学成绩在[70，80）的人数为：，数学成绩在[80，90）的人数为：，所以数学成绩在[50，90）之外的人数为：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．18．（12分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）．如表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率．【分析】（1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可．（2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可．（3）先列举出所有的基本事件有10种等可能的结果，找到满足条件的基本事件的事件有6种，根据古典概型的概率公式计算即可．【解答】解：（1）甲厂抽取的比例，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35件．（2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件，故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件．（3）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任取2件共有10种等可能的结果．分别是（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）设只有2号和5号产品是优等品，被抽中有以下6种：（1，2），（1，5），（2，3），（2，4），（3，5），（4，5）．∴抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率为P=．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD=AD=1．（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．【分析】（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，证明平面MNE∥平面PCD，可得MN∥平面PCD；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD，即可证明平面PAC⊥平面PBD．【解答】证明：（Ⅰ）取AD中点E，连接ME，NE，则ME∥PD，NE∥CD，∵ME，NE⊂平面MNE，ME∩NE=E，∴平面MNE∥平面PCD，∵MN⊂平面MNE，∴MN∥平面PCD；（Ⅱ）∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．20．（12分）（Ⅰ）已知椭圆的长轴是短轴的3倍，且过点A（3，0），并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上一点P（﹣3，a）到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．【分析】（Ⅰ）分焦点在x轴与焦点在y轴讨论，结合题意即可求得椭圆的标准方程．（Ⅱ）先确定抛物线的焦点一定在x轴负半轴上，故可设出抛物线的标准方程，再由抛物线的定义，点M到焦点的距离等于到准线的距离，即可求得抛物线方程．【解答】解：（Ⅰ）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为．由题意解得∴椭圆的方程为；若椭圆的焦点在y轴上，设方程为，由题意解得∴椭圆方程为．故椭圆方程为，或．（Ⅱ）由已知设所求抛物线的方程为y2=﹣2px（p＞0），则准线方程为．由定义知，得p=4，故所求方程为y2=﹣8x．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：D1E⊥A1D；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．【分析】解法（一）：（1）通过观察，根据三垂线定理易得：不管点E在AB的任何位置，D1E⊥A1D 总是成立的．（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题可采用“等积法”：即利用三棱锥的换底法，通过体积计算得到点到平面的距离．本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算相对较为复杂．根据=既可以求得点E到面ACD 1的距离．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，则∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD 1的法向量为，从而，所以点E到平面AD1C的距离为．（3）设平面D 1EC的法向量，可求得．，因为二面角D1﹣EC﹣D的大小为，所以根据余弦定理可得AE=时，二面角D1﹣EC ﹣D的大小为．【解答】解法（一）：（1）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴A1D⊥D1E（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故，而．∴，∴，∴．（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1﹣EC﹣D的平面角．设AE=x，则BE=2﹣x在Rt△D1DH中，∵，∴DH=1．∵在Rt△ADE中，DE=，∴在Rt△DHE中，EH=x，在Rt△DHC中CH=，在Rt△CBE中CE=．∴．∴时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）因为=（1，0，1）•（1，x，﹣1）=0，所以．（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而，，设平面ACD 1的法向量为，则也即，得，从而，所以点E到平面AD 1C 的距离为．（3）设平面D 1EC的法向量，∴，由令b=1，∴c=2，a=2﹣x，∴．依题意．∴（不合，舍去），．∴AE=时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．22．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且，求直线l的方程．【分析】（1）由△F1B1B2为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求．【解答】解：（1）设椭圆C的方程为．根据题意知，解得，故椭圆C的方程为．（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为．当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，因为，所以，即===，解得，即k=．故直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2017-2018学年黑龙江省大庆中学高二(上)期末数学试卷(理科)
概率是（ ）
A． B． C． D．
10．（ 5 分）设命题 p： x2﹣（ 2a+1）x+a2+a＜0，命题 q：lg（2x﹣1）≤ 1，若 p
是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
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《创新设计》图书
11．（ 5 分）已知 F1， F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点， P 是以 F1F 为直径
．
15．（ 5 分）从双曲线 ﹣ =1 的左焦点 F1 引圆 x2+y2=16 的切线，切点为 T，
延长 F1T 交双曲线右支于 P 点，设 M 为线段 F1P 的中点，O 为原点坐标， 则| MO|
﹣ | MT| =
．
16．（ 5 分）下列说法正确的有
①函数 f（x）=4cos（ 2x+ ）的一个对称中心为（﹣
，0）；
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2017-2018 学年黑龙江省大庆中学高二（上）期末数学试卷（理 科）
一、选择题（本大包括 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．每小题只有一个选项 符合题目要求）
1．（5 分）某学校有男、女学生各 500 名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余 爱好方面是否存在显著差异， 拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查， 则宜采
6．（5 分）对具有线性相关关系的两个变量 x 和 y，测得一组数据如下表所示：
x
2
4
5
6
8
y
20
40
60
70
m
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为 y=10.5x+1.5，则 m=（ ）
黑龙江省大庆实验中学2016-2017学年高一数学上学期期末考试试题
大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试高一数学试题说明：（1）试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟；（2）答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡相应的位置.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若角α的终边经过点(1,3)P -，则tan α的值为A . 13- B .3- C. D2.=A . cos 40±B .cos40 C .cos 40- D .cos 40±3.函数⎪⎩⎪⎨⎧<=>=)0(,1)0(,)0(,0)(x x x x f π,则((()))f f f π=A .1B . 0C .πD .1π+4.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是 A . 122x x y =+ B .1sin y x x =+ C .2cos y x x =+ D .21y x x=+ 5. 已知sin 21a =，cos72b =，tan 23c =，则,,a b c 的大小关系是A .a b c >>B .b a c >>C .c b a >>D .c a b >>6. 已知(1,2)A ，(3,7)B ，(,1)a x =-，且//AB a ，则 A .25x =，且AB 与a 方向相同 B . 25x =-，且AB 与a 方向相同 C .25x =-，且AB 与a 方向相反 D .25x =，且AB 与a 方向相反 7.向量,a b 满足7a b +=，3a b -=，则a b ⋅的值为A . 1B .2C . 3D .48.要得到函数sin 4y x =的图象，只需将函数sin(4)3y x π=-的图象A .向左平移3π个单位 B .向右平移3π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位 9. 如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式3()log (1)f x x ≥+的解集是A . {}12x x -≤≤B .{}12x x -<≤C . {}10x x -<≤D .{}13x x -<≤10. 如图，正六边形ABCDEF 中，点Q 为CD 边中点，则下列数量积最大的是A .AB AQ ⋅ B . AC AQ ⋅C .AD AQ ⋅ D .AE AQ ⋅11.若函数()2x a f x +=满足(3)(3)f x f x +=-，且()f x 在(],m -∞上单调递减，则实数m的最大值等于 A .-2 B .1 C . 2 D .312. 如图，扇形的半径为1，圆心角150BAC ∠=，点P 在弧BC 上运动，A P m AB n AC =+n -的最大值是A .1BC .2D .第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．13. sin80cos 20cos80sin 20-的值为___________．14.幂函数()y f x =的图象经过点()4,2，则14f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为___________． 15.函数()x f x a b =+(0,1a a >≠的定义域和值域都是[2,0]-，则a b +=_____________．16.如图，半径为2的圆圆心的初始位置坐标为(0,2)，圆上一点A 坐标为(0,0) .圆沿x 轴正向滚动，当圆滚动到圆心位于(4,2)时，A 点坐标为_____________．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题满分10分）已知函数()f x =的定义域为集合A ，函数 2()lg(6)g x x x m =-++的定义域为集合B ．（1）当5m =-时，求U A C B ⋂；（2）若{}14A B x x ⋂=-<≤，求实数m 的值．18.（本题满分12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()sin cos g x x x =-，其中()0,x π∈．（1）若1()5f θ=，求tan θ的值； （2）若()1()5f g θθ=，求tan θ的值． 19.（本题满分12分）已知函数()sin()sin()cos 66f x x x x a ππ=++-++的最小值为1． （1）求常数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间和对称轴方程．20.（本题满分12分）设1()2cos()sin cos(2)62f x x x x πωωωπ=--+，其中0ω>． （1）求函数)(x f y =的值域；（2）若)(x f y =在区间3,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值．21.（本题满分12分）已知定义在R 上的单调递增函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1f x =．（1）求(0)f 的值及()f x 的解析式；（2）若1(41)(342)x x x f k f +⋅-<⋅-对任意x R ∈恒成立，求实数k 的取值范围．22.（本题满分12分）已知二次函数2()f x x mx n =++．（1）若()f x 是偶函数且最小值为1，求()f x 的解析式；（2）在（1）的前提下，函数6()()x g x f x =，解关于x 的不等式(2)2x x g >； （3）函数()()h x f x =，若[1,1]x ∈-时()h x 的最大值为M ，且M k ≥对任意实数,m n 恒成立，求k 的最大值．2016-2017学年度上学期高一期末考试数学参考答案一．选择题BBBDD CACBC DC二．填空题13. 2 14. 1215.33- 16. ()42sin 2,22cos2-- 三．解答题17．解：（1）{}21U A C B x x ⋂=-≤≤ （2）7m =18．解：(1) 4tan 3θ=- (2) 3tan 2θ=- 19．解：（1）3a =（2）单调增区间22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调减区间522,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦；对称轴方程是,3x k k Z ππ=+∈ 20.解：(1)函数值域是1122⎡⎢⎣⎦ (2)max 13ω= 21.解：（1）(0)0f =，1,0,()0,0,1,0.x f x x x >==⎨⎪<⎩ （2）k 的取值范围是(),2-∞22.解：（1）2()1f x x =+（2）解集是21log 52x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭（3）令1x =，则1m n M ++≤，则1M m n M -≤++≤①令1x =-，则1m n M -+≤，则1M m n M -≤-+≤②令0x =，则n M ≤，则M n M -≤≤③由①+②-2⨯③得，12M ≥.当且仅当10,2m n ==-时等号成立. 因此max 12k =.。
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大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（文） 说明：１.本卷满分150分，考试时间为2小时。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。 1．已知命题2:,210PxRx，则命题P的否定是（ ） A．2,210xRx B．200,210xRx C．2,210xRx D．200,210xRx 2．已知某公司现有职员150人，其中中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从公司抽取30个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，则职员中“中级管理人员”和“高级管理人员”各应该抽取的人数为（ ） A．8，2 B．8，3 C．6，3 D．6，2 3.225与135的最大公约数是 （ ） A．45 B．15 C．9 D．5 4. 命题“若2x，则2320xx”的否命题是（ ） A．若2x，则2320xx B．若2320xx，则2x C．若2320xx，则2x D．若2x，则2320xx 5.与二进制数110（2）相等的十进制数是（ ） A．10 B．7 C．6 D．11 6.曲线的极坐标方程sin4化为直角坐标方程为（ ）
A.4)2(22yx B.4)2(22yx C.4)2(22yx D.4)2(22yx 7.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。如右图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例。若输入,nx的值分别为3，2.则输出v的值为（ ） A．9 B．20 C．18 D．35 8.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则所得的两个点数和 不小于10的概率为( )
A．31 B．185 C．92 D．16 9. 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机撒100颗黄豆，数得落在椭圆内的黄豆数为60颗，以此实验数据为依据可以估算椭圆的面积约为（ ） A．11 B．9 C．12 D．10
10.过点(1,1)M的直线与椭圆22143xy交于,AB两点, 且点M平分弦AB,则直线AB的方程为( ) A．4370xy B．3470xy C．3410xy D．4310xy 11.命题“对任意实数x[2,3]，关于x的不等式20xa恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A．9a B．9a C．8a D．8a
12．设12,FF分别是双曲线22221xyab（a﹥0，b﹥0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在 一点P，使得22()0OPOFFP，其中O为坐标原点，且12||3||PFPF，则该双曲线的 离心率为（ ）
A．5 B．10 C．102 D．52
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．抛物线24yx的准线方程是 . 14．过点(3,1)作圆22(2)(2)4xy的弦,其中最短的弦长为__________ . 15. 已知样本数据3，2，1，a的平均数为2，则样本的标准差是 . 16．已知圆22:1Oxy，点00(,)Mxy是直线20xy上一点，若圆O上存在一点N，使得6NMO，则0y的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。 17. (本小题满分10分) 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为27cos7sinxy（其中为参数），曲线22
2:11Cxy
,以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C的普通方程和曲线2C的极坐标方程；
（Ⅱ）若射线03与曲线1C，2C分别交于,AB两点，求AB.
18.(本小题满分12分) 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：
商店名称 A B C D E
销售额x（千万元） 3 5 6 7 9 利润额y（千万元） 2 3 3 4 5
（Ⅰ）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程ybxa； （Ⅱ）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．
附：线性回归方程ybxa中，1221niiiniixynxybxnx，aybx. 19. (本小题满分12分) 某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下： 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 分组 50,60 60,70 70,80 80,90 90,100
（Ⅰ）求图中a的值； （Ⅱ）现用分层抽样的方法从第3、4、5组中随机抽取6名学生，若将该样本看成一个总体， 从中随机抽取2名学生，求其中恰有1人的分数不低于90分的概率？ 20. (本小题满分12分) 已知圆C经过点(2,0),(1,3)AB,且圆心C在直线yx上, （Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）过点313（，）的直线l截圆C所得弦长为23,求直线l的方程.
21. (本小题满分12分) 已知抛物线24yx ，过点(0,2)P作直线l，交抛物线于,AB两点，O为坐标原点， （Ⅰ）求证：OAOB 为定值； （Ⅱ）求AOB面积的最小值.
22. (本小题满分12分) 已知点AB，分别是椭圆2222:1(0)xyCabab的左，右顶点，长轴长为4，离心率为12. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆C上除长轴顶点外的任一点，直线AP，PB与直线4x分别交于 点M，N,已知常数0l，求PMPNPAPBl的取值范围. 大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试 高二年级数学试题（文）参考答案 一、 BDAAC BCDBB DC
二、 13. 116y 14. 22 15. 22 16.
三、 17．（1） 由27cos7sinxy,有曲线1C的普通方程为2227xy. 把cos,sinxy, 代入2211xy,得22cos1sin1,化简得，曲线2C的极坐标方程2cos. ——————5分
（2）依题意可设12,,,33AB.因为曲线1C的极坐标方程为24cos30,将03代入曲线1C的极坐标方程得2230,解得13.同理将03曲线2C的极坐标方程得21.所以122AB.——————10分
18. （1）设回归直线的方程是：ybxa$，3.4,6yx， ∴12131.410.410.631.61019119202niiiniixxyybxx 0.4a，
∴y对销售额x的回归直线方程为：0.50.4yx$；——————8分
（2）当销售额为4（千万元）时，利润额为：ˆ0.540.42.4y（千万元）. ———12分 19.（1）由题意得100.01100.02100.03100.035101a，所以0.005a； ——————4分
（2）由直方图，得：第3组人数为：0.310030人， 第4组人数为：0.210020人， 第5组人数为：0.110010人， 所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生， 每组分别为：第3组：306360人， 第4组：206260人， 第5组：106160人， 所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人． 设第3组的3位同学为1,2,3AAA，第4组的2位同学为1,2BB，第5组的1位同学为1C，则从六位同学中抽两位同学有15种可能如下： 1,2,1,A3,1,3,2,3,1,1,1,2,2,1,2,2,3,1AAAAAAAABABABABAB，
3,2,1,1,2,1,3,1,1,1,2,1ABACACACBCBC，
其中恰有1人的分数不低于90分的情形有：1,1,2,1,3,1,1,1,2,C1ACACACBCB，共5种，所以其中第4组的2位同学至少有一位同学入选的概率为51133．——————12分
20.（1）设圆心C（,aa）,（1分） 2222(2)(1)(3)0CACBaaaaa
所以2rCA （5分）, 圆C的方程为224xy ——————4分 （2）若直线l的斜率不存在,方程为1x,此时直线l截圆所得弦长为23,符合题意；若直线
l的斜率存在,设方程为3(1)333303ykxkxyk即
由题意,圆心到直线的距离222|33|23199kdk33k 直线l的方程为320xy 综上,所求方程为1x或320xy ——————12分 21.证明：（Ⅰ）设过点(0,2)P的直线l：2ykx，
由224ykxyx得，2420xkx 令1122(,),(,)AxyBxy，∴12121,42kxxxx ∴2212121212116OAOBxxyyxxxx72为定值。 ——————6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，222121212||||1()41ABxxkxxxxk 2211324kk，原点到直线l的距离221dk
∴21||4222AOBSABdk 当0k时，三角形AOB的面积最小，最小值是2 ——————12分
22. （1）由题意得，(,0),(,0)AaBa，且长轴长为4，离心率为12， 则224,3ab．则椭圆方程为22143xy． ——————4分
(2) 设点P00(,)xy(02x)．