黑龙江省大庆实验中学2019_2020学年高一数学6月月考期中试题【含答案】
2019-2020学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期第一次月考数学试题 Word版含解析
试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可 ；；；． 从中选择一个具有性质 T 的函数，用所给定义证明你的结论． 若函数在区间上具有性质 T，求实数 a 的取值范围．
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1.【答案】D
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5.【答案】D
【解析】解：令，可得函数的对称轴为：， ，是减函数， 由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为， 故选：D． 利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论． 本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想， 属于基础题．
A.
B.
C. ，
D.
二、填空题（本大题共 4 小题）
13. 计算： ______ ．
14. 已知函数在区间上的最大值是，则实数 a 的值为______．
15. 函数的图象不经过第二象限，则实数 m 的取值范围是______用区间表示
16. 已知函数其中 a，b 为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数 m 的
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
9. 设，且，则
A.
B. 10
C. 20
D. 100
10. 集合，，若，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
11. 已知函数，且是单调递增函数，则实数 a 的取值范围是
A.
B.
C.
D.
12. 记不大于 x 的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是
9.【答案】A
【解析】解：，，又，． 故选：A． 直接化简，用 m 代替方程中的 a、b，然后求解即可．
黑龙江省大庆中学高一月月考数学试题扫描含答案
2019----2020学年度上学期月考高一年级数学 参考答案1．C 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．D 8．C 9．A 10．A 11．B 12．B 13．10. 14．2 15．2316．（1） 17．（1）()f x 的定义域为[3,2)(2,)-⋃+∞；（2）(2)1f -=-；(6)5f =试题解析：（1）解：依题意，20x -≠，且30x +≥，故3x ≥-，且2x ≠，即函数()f x 的定义域为[)()3,22,-⋃+∞.（2）()82122f -==---，()86562f =+=-. 18．(1){|0}x x ≠；(2)证明见解析.试题解析：（1）要使函数有意义，只需0x ≠，定义域为{|0}x x ≠（2）在()0,+∞内任取1x ，2x ，令12x x <()()()12121212121111f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵12x x <，∴120x x -<∵1x ，2x ()0,∈+∞，∴120x x >∴12110x x +> ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <所以()f x 在()0,+∞上单调递增。
19．（1）{}31U A C B x x ⋂=-<<;（2）a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦ 试题解析：（1）∵{1U C B x x =<或}6x >，{}32A x x =-<<， ∴{}31U A C B x x ⋂=-<<.（2）{}36A B x x ⋃=-<≤，①当211a a +<-即2a <-时，C A B =∅⊆⋃； ②当211a a +≥-即2a ≥-时，要使C A B =⊆⋃，有13,216,a a ->-⎧⎨+≤⎩ ∴2,5.2a a >-⎧⎪⎨≤⎪⎩又2a ≥-，∴522a -<≤，∴a 的取值范围是()5,22,2⎛⎤-∞-⋃- ⎥⎝⎦. 20．（1）；（2） 【解析】（1）设f （x ）=ax 2+bx+c （a≠0），由f （0）=1得c=1，故f （x ）=ax 2+bx+1． ∵f （x+1）﹣f （x ）=2x ，∴a （x+1）2+b （x+1）+1﹣（ax 2+bx+1）=2x ．即2ax+a+b=2x ，所以，∴a=1，b=﹣1，∴f （x ）=x 2﹣x+1．(2)【点睛】21．（1）21,0()0,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩（2）3{|40x x -<≤或1}4x > 【详解】解：（1）根据题意，函数()()f x x R ∈是奇函数，则()00f =，当0x <时，0x ->，则()()2121f x x x -=⨯--=--，又由函数()f x 为奇函数，则()()21f x f x x =--=+，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩， 当0x >时，()21f x x =-，此时()12f x >-即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 当0x =时，()00f =，()12f x >-成立；此时不等式的解集为{}0， 当0x <时，()21f x x =+，此时()12f x >-即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为3{|0}4x x -<<， 综合可得：不等式()12f x >-的解集3{|04x x -<≤或1}4x >． 22． (1)证明见解析； (2)()f x 是奇函数；(3){|6}x x ≤.试题解析：（1）证明：令0x y ==，()()()000f f f =+， ∴()00f =，（2）令y x =-，∴()()()00f f x f x =-+=∴()()f x f x =--.∴函数()f x 是奇函数.（3）设12x x <，则120x x -<，∴()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=-> ∴()f x 为R 上减函数.∵()()()()()2222212f x f x f x f x f x --=-+-=-≥-，()()12414f f -==. ∴24x -≤即6x ≤.∴不等式()()2212f x f x --≥-的解集为{|6}x x ≤.。
黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学下学期线上期中试题(PDF)
14．已知 Sn 为数列an的前 n 项和， an Sn 32 ，则 S7 ______．
15．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E1, F1 分别为 A1B1, A1C1 的中
点，则下列说法正确的是
.
① BE1//平面AF1C ② DF1 / /平面AE1C
③ CE1 平面ABF1 ④ A1C 平面AF1D1
ab D．若 a b ，则 a c b c
2.在空间中,已知 m, n为不同的直线,, , 为不同的平面,则下列判断正．确．的是（ ）
A．若 m ,m / /n,则 n / /
B．若 m 且 m / / ，则
C．若 l m,l n, m , n ,则 l D．若 ， ，则 / /
C．函数有最大值 2
D．函数有最大值 2 3 3
10.在△ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为a,b, c ，若 2a c cos C , b 4, b cos B
C 则a （ ） 4
A．2 6 6 2 3
B．2 2 2 6
C．4 2 4 6 3
D．4 4 6 3
P
11．已知三棱锥 P ABC 中， PA 平面 ABC , BC 平面 PAB ,若 AB BC 1,
PA 2 则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． 24
B． 8
C． 6
D． 8π 3
A
B
12.
已知数列{aij}按如下规律分布（其中 i 表示行数，j 表示列数），若 aij 2021，
C 11题
则下列结果正确的是（ ）
第1列 第2列 第3列 第4列
…
第1行
1
3
9
19
大庆实验中学2019-2020学年高一下学期线上期中考试数学试题含解析
（2）记 ,即 ①，
②,
由①—②得
，
∴ 。
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法求和,考查化简运算能力，属于中档题．
21。在四棱锥 中, 底面 ， ， ， ， ，点 为棱 的中点。
(1）求证： ；
（2)求直线 与平面 所成角的正弦值。
【答案】（1)证明见解析；（2)
3
9
19
33
第2行
7
5
11
21
第3行
17
15
13
23
第4行
31
29
27
25
┇
A。 ， B。 , C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】
可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行,再第三列第三行，并且完整排完 次后,排出的数呈正方形。可先算 是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置。
【答案】A
【解析】
【详解】由已知得 。
整理得 .
于是， 。
从而，△ABC—定是等腰三角形。选A.
7.已知数列 为等比数列， 是它的前n项和，若 ，且 与 的等差中项为 ,则 （ ）
A. 15B。 16C. 25D。 31
【答案】D
【解析】
【分析】
先设等比数列 的公比为q,再由 和 与 的等差中项为 ,联立求得 ,再代入等比数列前n项和公式求解。
③假设 平面 ，则必有 ，而又有 ,故 平面 。于是有 ,矛盾，所以此命题错误.
④连接 ，则有 ，又因为 ，所以有 ，故 . 是 的中点,由正方形性质， ， ， 三点共线.所以平面 即是平面 ，同理设 的中点为 ,则 ,于是有 平面 ，故 平面 .
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则A． B． C ． D ．2．的值为A． B． C． D ．3．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是A． B． C． D．4．下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②；③集合与集合表示同一集合；④空集是任何集合的真子集.A ．1个B ．2个 C．3个 D．4个5．已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A ． B． C ． D．6．已知，，，则A ．B ． C． D ．7．已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数A．或 B ． C ． D ．8．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为( )A ．B ．C ． D．9．已知,,若,则实数的取值范围是( )A． B． C ． D．10．已知在单调递减，则实数的取值范围是A． B ． C． D．11．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是A ．B ． C． D．12．已知函数在上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题13．已知4510a b==，则12a b+=__________．14124cos4sin-=________.15．若关于的方程的两实根是，则_____．16．已知函数和同时满足以下两个条件：（1）对于任意实数，都有或；（2）总存在，使成立．则实数的取值范围是 __________．三、解答题17．（1）将写成的形式，其中；（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角. 18．已知关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，求的最大值与最小值．19．已知函数是定义在的增函数，对任意的实数，都有，且．（1）求的值；（2）求的解集．20．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值．21．已知二次函数对任意的实数都有成立，且．（1）求函数的解析式；（2）函数在上的最小值为，求实数的值．22．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.2020学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】题干可得到集合A,B再由函数补集的概念得到结果.【详解】集合，，则故答案为：D。
黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题理(含解析)
黑龙江省大庆市大庆中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题 理（含解析）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U ＝{x |x ≥2}，集合M ＝{x |x ≥3}，则∁U M ＝（ ） A. {x |2≤x ≤3} B. {x |2≤x ＜3}C. {x |x ≤3}D. {x |x ＜2}【答案】B 【解析】 【分析】根据补集的定义，全集U 中去掉集合M 可以得到∁U M ． 【详解】全集U ＝{x |x ≥2}，集合M ＝{x |x ≥3}， 则∁U M ＝{x |2≤x ＜3}.故选：B ．【点睛】本题考查了补集的定义，是基础题． 2.设函数y =的定义域A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=A. （1,2）B. （1,2]C. （-2,1）D. [-2,1)【答案】D 【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x ⋂-≤≤⋂<=-≤<，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.3.若偶函数f （x ）在（-∞，-1]上是增函数，则（ ） A. f （-1.5）＜f （-1）＜f （2） B. f （-1）＜f （-1.5）＜f （2） C f （2）＜f （-1）＜f （-1.5） D. f （2）＜f （-1.5）＜f （-1）【答案】D 【解析】 【分析】根据单调性可得()()()2 1.51f f f -<-<-，结合奇偶性可得结果. 【详解】()f x 在(],1-∞-上是增函数，又()()()2 1.511,2 1.51f f f -<-<-≤-∴-<-<-， 又()f x 偶函数，()()()2 1.51f f f ∴<-<-，故选D ．【点睛】在比较()1f x ，()2f x ，，()n f x 的大小时，首先应该根据函数()f x 的奇偶性与周期性将()1f x ，()2f x ，，()n f x 通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．4.函数()()()log 2341a f x x a o a =-->≠且的图象恒过定点（ ） A. ()1,0 B. ()1,4- C. ()2,0 D. ()2,4-【答案】D 【解析】令2x-3=1得x=2, (2)log 144a f ∴=-=- ,故()f x 过点()2,4-, 故选D ． 5.函数()1(xf x a b =+-其中01a <<且01)b <<的图象一定不经过()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】由01a <<可得函数xy a =的图象单调递减，且过第一、二象限，01110011b b b <<∴-<-<∴<-<，，，x y a =的图象向下平移1b -个单位即可得到1x y a b =+-的图象，x y a b ∴=+的图象一定在第一、二、四象限，一定不经过第三象限，故选：C ．6.已知130.732,4,log 8a b c ===，则,,a b c 的关系为（ ）．A. a c b <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【解析】 【分析】先利用中间数1可判断,a b 的大小，再利用中间数2可判断,a c 的大小，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】因为130.722,41><，所以a b >，而331log 8log 92<<=，所以a c b >>， 故选：B.【点睛】本题考查指数、对数的大小比较，注意利用中间数来传递不等式关系. 7.幂函数()22231m m y m m x --=--，当()0,x ∈+∞时为减函数，则实数m 的值为（ ）A. 1m =-或2B. 1m =-C. 2m =D. m ≠【答案】C 【解析】试题分析：∵22231mm y m m x --=--（）为幂函数，∴211m m --=，即220m m --=．解得：2m =或1m =-．当2m =时，2233m m --=-，3y x -=在∞（0，+）上为减函数；当1m =-时，2230m m --=，010y x x ==≠（）在∞（0，+）上为常数函数（舍去），∴使幂函数22231m m y m m x --=--（）为∞（0，+）上的减函数的实数m 的值2．故选C. 考点：幂函数的性质.8.函数()f x 的递增区间是()2,3-，则函数()5y f x =+的递增区间是（ ） A. ()3,8 B. ()7,2--C. ()2,3-D. ()0,5【答案】B 【解析】 【分析】函数()5y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位得到的，利用函数()f x 在区间()2,3-是增函，即可得到结论．【详解】解：函数()5y f x =+是函数()f x 向左平移5个单位得到的， ∵函数()f x 在区间()2,3-上是增函数，∴()5y f x =+增区间为()2,3-向左平移5个单位，即增区间为()7,2--， 故选：B ．【点睛】本题考查图象的变换，考查函数的单调性，属于基础题．9.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ） A. (,)a b 和(,)b c 内 B. (,)a -∞和(,)a b 内 C. (,)b c 和(,)c +∞内 D. (,)a -∞和(,)c +∞内【答案】A 【解析】试题分析：()()()()()()0,0f b b c b a f c c a c b =--=--，所以(,)b c 有零点，排除B ，D 选项.当x c >时，()0f x >恒成立，没有零点，排除C ，故选 A.另外()()()0f a a b a c =-->，也可知(,)a b 内有零点.考点：零点与二分法. 【思路点晴】如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有·，那么，函数在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈使得，这个也就是方程的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数在闭区间,a b 上有零点不一定能推出·，如图所示.所以·是在闭区间,a b 上有零点的充分不必要条件.10.函数(01)xxa y a x=<<的图像的大致形状是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】分x ＞0与x ＜0两种情况将函数解析式化简，利用指数函数图象即可确定出大致形状． 【详解】,0,0x x x a x xa y x a x ⎧>==⎨-<⎩且10a >>，根据指数函数的图象和性质，()0,x ∈+∞时，函数为减函数，(),0x ∈-∞时，函数为增函数，故选D ．【点睛】此题考查了函数的图象，熟练掌握指数函数的图象与性质是解本题的关键． 11.已知函数()22()log 3f x x ax a =-+在[2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A. (,4]-∞ B. (,2]-∞ C. (4,4]- D. (4,2]-【答案】C 【解析】 【分析】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数，则x 2﹣ax+3a ＞0且f （2）＞0，根据二次函数的单调性，我们可得到关于a 的不等式，解不等式即可得到a 的取值范围． 【详解】若函数f （x ）=log 2（x 2﹣ax+3a ）在[2，+∞）上是增函数， 则当x ∈[2，+∞）时，x 2﹣ax+3a ＞0且函数f （x ）=x 2﹣ax+3a 为增函数 即22a≤，f （2）=4+a ＞0解得﹣4＜a≤4 故选：C ．【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调区间，其中根据复合函数的单调性，构造关于a 的不等式，是解答本题的关键．12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()22xf x =-，则不等式()2log 0f x >的解集为（ ） A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C. ()2,+∞D. ()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求出函数()f x 的表达式，分段讨论解不等式即可得到结论． 【详解】解：∵()f x 是定义在R 上的奇函数，(0)0f ∴=，当0?x <，0x ->， 此时()22xf x --=-，∵()f x 是奇函数，()22()x f x f x -∴-=-=-，即()22,0xf x x -=-<，当2log 0x =，即=1x 时，不等式()2log 0f x >不成立；当2log 0x >，即1x >时，()2log 2log 220xf x ->=，解得：2x >当2log 0x <，即01x <<时，()2log 222log 0xf x -=->，解得112x <<， 综合得：不等式()2log 0f x >的解集为()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性求出函数()f x 的表达式是解决本题的关键，注意要进行分类讨论．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知()221f x x x +=+，则()5f =__________．【答案】6 【解析】 【分析】令215x +=，求出x ，代入条件即可. 【详解】解：令215x +=，得2x =，()25226f =+=，故答案为：6.【点睛】本题考查已知解析式求函数值，是基础题. 14.计算：12293*(425)34lg lg -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________．【答案】5. 【解析】分析：利用指数的运算运算性质和对数的运算性质直接计算即可. 解析：()12293*42534lg lg -⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()213lg 4253=+⋅+⋅122=++5=.故答案为5.点睛：考查对数式、指数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意指数、对数性质及运算法则的合理运用.15.函数()()21(2)12ax x x f x x x ⎧+->⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是______ .【答案】1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】 【分析】根据函数单调性定义，即可求得实数a 的取值范围。
黑龙江省大庆实验中学2019_2020学年高一数学上学期第一次月考试题(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合2，3，，，则A. B. C. D.2.下列各组函数表示同一函数的是A. ，B. ，C. ，D. ，3.函数的定义域为A. B. C. D.4.已知函数，则A. 是奇函数，且在上是增函数B. 是偶函数，且在上是增函数C. 是奇函数，且在上是减函数D. 是偶函数，且在上是减函数5.函数的单调递增区间为A. B. C. D.6.设偶函数的定义域为R，当时是增函数，则，，的大小关系是A. B.C. D.7.函数在上单调递减，且为奇函数．若，则满足的x的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数，若，则A. 2B. 4C. 6D. 89.设，且，则A. B. 10 C. 20 D. 10010.集合，，若，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.已知函数，且是单调递增函数，则实数a的取值范围是A. B. C. D.12.记不大于x的最大整数为，定义函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是A. B.C. ，D.二、填空题（本大题共4小题）13.计算： ______ ．14.已知函数在区间上的最大值是，则实数a的值为______．15.函数的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是______用区间表示16.已知函数其中a，b为常数，，且的图象经过，若不等式在上恒成立，则实数m的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题）17.已知全集．求，，；若，求实数a的取值范围．18.已知函数．用定义证明在上是增函数；求函数在区间上的值域．19.若二次函数满足，且．求的解析式；设，求在上的最小值的解析式．20.设函数是定义在R上的奇函数，当时，确定实数m的值并求函数在R上的解析式；求满足方程的x的值．21.定义在R上的函数对任意x，都有，且当时，．求证：为奇函数；求证：为R上的增函数；若对任意恒成立，求实数k的取值范围．22.定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，，都有，则称函数在区间D上具有性质T．试判断下列函数中哪些函数具有性质给出结论即可；；；．从中选择一个具有性质T的函数，用所给定义证明你的结论．若函数在区间上具有性质T，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．把A中元素代入中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：把，2，3，4分别代入得：，4，7，10，即4，7，，2，3，，．故选D．2.【答案】C【解析】解：A．的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；B.的定义域为R，的定义域为，定义域不同，不是同一函数；C.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，是同一函数；D.的定义域为，的定义域为，定义域不同，不是同一函数．故选：C．通过求定义域可判断选项A，B，D的两函数都不是同一函数，从而A，B，D都错误，只能选C．考查函数的定义，判断两函数是否为同一函数的方法：看定义域和解析式是否都相同．3.【答案】D【解析】解：要使函数有意义，则，得，得，即或，即函数的定义域为，故选：D．根据函数成立的条件进行求解即可．本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数及其性质，属于基础题．由已知得，即函数为奇函数，由函数为增函数，为减函数，结合“增”“减”“增”，可得答案．【解答】解：函数的定义域为，，，即函数为奇函数，又由函数为增函数，为减函数，故函数为增函数．故选A．5.【答案】D【解析】解：令，可得函数的对称轴为：，，是减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为，故选：D．利用指数函数的单调性，通过二次函数的性质可得结论．本题主要考查复合函数的单调性，指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由偶函数与单调性的关系知，若时是增函数则时是减函数，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故选：A．由偶函数的性质，知若时是增函数则时是减函数，此函数的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，故比较三式大小的问题，转化成比较三式中自变量，，的绝对值大小的问题．本题考点是奇偶性与单调性的综合，对于偶函数，在对称的区间上其单调性相反，且自变量相反时函数值相同，将问题转化为比较自变量的绝对值的大小，做题时要注意此题转化的技巧．7.【答案】C【解析】解：因为为奇函数，所以，于是等价于，又在单调递减，，．故选：C．根据函数的奇偶性以及函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查转化思想，是一道常规题．8.【答案】B【解析】解：函数，，，，且，解得，．故选：B．推导出，，且，推导出，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，，又，．故选：A．直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．10.【答案】A【解析】解：集合，，，当时，，解得，当时，，解得．综上，实数a的取值范围是．故选：A．当时，；当时，，由此能求出实数a的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查集合的包含关系、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．11.【答案】A【解析】解：函数，函数为递增函数，，即，解得．故选：A．分段函数的单调递增则需在每一段上单调递增，且在端点处也满足条件列出不等式组求解即可．本题主要考查了函数单调性的性质，以及分段函数的单调性，同时考查了计算能力，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：，，又当时，；当时，，当时，当时，；同理，当时，，不等式恒成立，则，所以，则实数a的取值范围或，故选：B．这是一道取整的问题，先要弄清楚的取值情况，求的最值时，先平方在求的方法；这是一道信息题，也是常见的信息，先要对信息进行分析处理，以及平方求最值方法的应用，也可用均值不等式求最值；13.【答案】3【解析】解：：．故答案为：3．直接利用对数运算法则化简求解即可．本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，是基础题．14.【答案】或【解析】解：二次函数对称轴，开口向下，，则函数在单调递减，时，，解得，，则函数在单调递增，时，，解得，故答案为：或．由函数的解析式可知，对称轴，开口向下，进而求解．考查二次函数对称轴，开口方向，单调区间，在特定区间内的最值．15.【答案】【解析】解：函数的图象如图，时，，时函数是增函数，函数的图象不经过第二象限，．故答案为：．根据条件作出函数的图象，利用数形结合求解即可．本题主要考查基本函数的图象变换，通过变换了解原函数与新函数的图象和性质．16.【答案】【解析】解：由题意：函数的图象经过，．可得，解得那么不等式在上恒成立，是递减函数，当时，y取得最小值为．则实数m的最大值为．故答案为：．根据函数的图象经过，求解a，b的值，带入不等式，根据指数的单调性即可求解m的最大值．本题考查了指数函数的单调性求解最值问题．属于基础题．17.【答案】解：，，，，；，，，，，的取值范围是．【解析】可以求出集合B，然后进行交集、并集和补集的运算即可；根据可得出，从而可得出．考查描述法的定义，交集、并集和补集的运算，以及子集、并集的定义．18.【答案】解：证明：任取，，且，又由，则，，，故，即；在单调递增；由知，在单调递增，则，故在上的值域是．【解析】根据题意，任取，，且，用作差法证明即可，根据题意，由的结论可得在上单调性，据此分析可得答案．本题考查函数的单调性的性质以及应用，涉及函数的值域，属于基础题．19.【答案】解：解：设二次函数的解析式为由已知：，又对称轴为当即时在上单调递增当即时在上单调递减当即时在单调递减，在单调递增，综上可知：【解析】利用待定系数法设二次函数的方程，由，且可求得方程；根据区间与轴的关系讨论二次函数的单调性，进而求得最小值．本题主要考察二次函数解析式的求法，根据函数的单调性求函数的最值和分类讨论的思想．20.【答案】解：根据题意，是定义在R上的奇函数，则当时，，解可得：，设，则，则，又由，则，故；当时，，令，得，即，解可得或，即，；又由是定义在R上的奇函数，则当时根为；综合可得：方程的根为，，【解析】根据题意，由奇函数的性质可得，解可得：，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性分析可得答案；根据题意，由函数的解析式，当时，，令可得此时方程的根，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的解析式的求法，属于基础题．21.【答案】证明：令，得得令，得，，为奇函数，证明：任取，，且，，，，，即，是R的增函数；解：，，是奇函数，，是增函数，，，令，下面求该函数的最大值，令则当时，y有最大值，最大值为，，的取值范围是．【解析】利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数，证明为奇函数；利用函数单调性的定义，结合抽象函数，证明为增函数利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可．本题主要考查抽象函数的应用，利用抽象函数研究函数的奇偶性单调性，以及二次函数的应用．综合性应用．22.【答案】解：具有性质T．如果选择证明如下：任取两个实数，则，具有性质T．由于在区间上具有性质T，任取，则．，的取值范围是，【解析】根据函数的图象判定具有性质T．选择证明如下：任取两个实数即可．由于在区间上具有性质T，任取，则，只需在、上恒成立，可求实数a的取值范围．本题以函数为载体，考查新定义，考查恒成立问题，解题的关键是对新定义的理解，恒成立问题采用分离参数法．。
黑龙江大庆实验中学2019-2020学年高一6月月考(期中)数学试题(解析版)
大庆实验中学高一下学期6月份月考数学试卷一．选择题(共12题，每题5分)1.已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. 22x y >B.11x y> C. 11()()33x y>D. 332x y -+>【答案】D 【解析】 【分析】取特殊值排除A ，B 选项，利用指数函数的性质判断C 选项，利用指数函数的性质结合基本不等式，从而判断D 选项.【详解】对A 项，取1,2x y =-=-，则2214x y =<=，故A 错误； 对B 项，取11,2x y ==，则1112x y =<=，故B 错误；对C 项，1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭Q 在R 上单调递减，x y >，1133xy⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对D 项，()3xg x =Q 在R 上单调递增，x y >，33x y ∴>则3333x y y y --+>+，332y y -+≥=，当且仅当0y =时取等号 即332x y -+>，故D 正确； 故选：D【点睛】本题主要考查了根据已知条件判断所给不等式是否成立，涉及了指数函数性质的应用，属于中档题2.若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ） A. 1 B. 2-C. 1或2-D. 23-【答案】A 【解析】 【分析】由题知两直线平行，直接列出111222A B C A B C =≠(2220,0,0A B C ≠≠≠)即可求得m【详解】直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，可得()1212m m m ⎧⨯=+⎨≠-⎩，得1m =-.故选：A .【点睛】本题考查了已知两直线平行求参的问题，注意要排除两直线重合的情况，属于基础题. 3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 8B.83C.D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求出几何体的高，即得几何体的体积.【详解】结合三视图可知，该几何体是一个底面为边长为2的正方形，高为2的四棱锥P ABCD -，侧面PBC ⊥底面ABCD ,PC PB =.过点P 作PE BC ⊥,垂足为E ,则PE ⊥底面ABCD ,所以PE 就是四棱锥的高，且2PE ==.所以其体积为2182233V =⨯⨯=. 故选：B【点睛】本题主要考查三视图还原几何体原图，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4.在ABC ∆中，已知222a b c +=，则C = A. 30° B. 150︒C. 45︒D. 135︒【答案】C 【解析】222πcos 24a b c C C ab +-====Q ,选C.5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （ ） A. 12 B. 10C. 8D. 32log 5+【答案】B 【解析】由等比数列的性质可得：564756218a a a a a a +==，所以569a a =.1102938479a a a a a a a a ====⋯=.则5313231031103log log log log ()5log 910a a a a a +++===L ，故选B.6.长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A. 25π B. 50π C. 125π D. 75π【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的体对角线与外接球的直径相等求解.【详解】因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上， 所以长方体的体对角线就是球的直径，=这个球的表面积是：24502ππ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题主要考查了组合体问题，还考查了数形结合的思想，属于基础题.7.已知cos 5α=，sin()10βα-=-，αβ，均为锐角，则sin β=（ ）A.12B.2 C.D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出cos()βα-=，()()sin sin αββα=-+利用两角和的正弦公式即可得解. 【详解】由题αβ，均为锐角，所以00,2222ππππαββα<<<<-<-<，，sin()βα-=-cos()βα-=，cos αα==()()()()sin sin sin cos cos sin ββαβαβαααα=-+=-+-+== 故选：B【点睛】此题考查三角函数给值求值问题，关键在于根据题意分析角的取值范围，整体代入利用两角和的正弦公式求解.8.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ） A. 12- B. 15-C. 16-D. 18-【答案】C 【解析】【分析】根据已知条件求得等差数列{}n a 的通项公式，判断出n S 最小时n 的值，由此求得n S 的最小值. 【详解】依题意11237217a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得17,2a d =-=，所以29n a n =-.由290n a n =-≤解得92n ≤，所以前n 项和中，前4项的和最小，且4146281216S a d =+=-+=-. 故选：C【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式的基本量计算，考查等差数列前n 项和最值的求法，属于基础题.9.已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8xy+=,则142x y+最小值是（ ）.A. 3B.94C.4615D. 9【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得23x y +=,从而根据()141142232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后利用基本不等式可得解.【详解】0x Q >,0y >,428x y lg lg lg +=, 所以428x y =g ,即23x y +=,则()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=, 当且仅当82y x x y =且23x y +=即12x =,2y =时取等号, 则142x y+的最小值是3. 故选：A【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值,要注意应用条件的配凑.属于中档题.的10.在锐角ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c Ca的取值范围为（ ）A. 1,62⎛⎝⎭B. 1,62⎛⎫⎪⎪⎝⎭C. 1,62⎤⎥⎣⎦D. 1,62⎡⎢⎣⎦【答案】B 【解析】 【分析】 利用正弦定理可得sin 1tan 2c C C a =，根据锐角三角形角的大小可确定C 的范围，从而得到tan C 值域，由此得到结果.【详解】由正弦定理得：22sin sin sin sin 1tan sin sin 22cos 2c C C C C C a A C C ====.ABC QV 为锐角三角形，020202A C B πππ⎧<<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即02202032C C C ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得：64C ππ<<，tan 3C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，11tan 262C ⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin c Ca的取值范围为162⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.故选：B .【点睛】本题考查利用三角函数值域求解三角形中的取值范围的问题，涉及到正弦定理边化角的应用；解题关键是能够利用正弦定理边化角将问题转化为正切函数值域的求解问题. 11.已知圆1C ：2220xy kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，,且点P 在直线20mx ny --=上,则22+m n 的取值范围是（ ） A. 1(,)2+∞ B. 1(,]4-∞C. 1[,)2+∞D. 1(,)4-∞【答案】C 【解析】 【分析】将两圆的方程相减求得两圆的公共弦方程,继而求得()P a b ，,再代入直线20mx ny --=,根据距离的几何意义求解22+m n 即可.【详解】由题,两圆的公共弦方程为()()2222240x y kx y x y ky +-+-++-=,即()240k x y y +--=,定点满足0240x y y +=⎧⎨+=⎩,即22x y =⎧⎨=-⎩,故()2,2P -.又点P 在直线20mx ny --=上,故2220m n +-=,即10m n +-=.故(),m n 的轨迹为直线10x y +-=.又22+m n 的几何意义为原点()0,0到点(),m n 的距离d 的平方.故最小值为2212d ==,故22+m n 的取值范围是1[,)2+∞. 故选：C【点睛】本题主要考查了圆的公共弦方程与直线过定点的问题,同时也考查了利用几何意义求解最值的问题.属于中档题.12.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），设1A DM ∆的面积为S 则S 的取值范围（ ）A. B.C. (3D. [,3【答案】A 【解析】 【分析】连接1AD 交1A D 于点O ，过O 作1OM AC ⊥，得到OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOE AC D ∆∆:，求得3OM =，得到1A DM ∆的最小面积，再由点M 与1C 重合时，求得11A DC ∆的面积，进而得到1A DM ∆的面积的取值范围.【详解】连接1AD 交1A D 于点O ，过O 作1OM AC ⊥，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AD ⊥平面11ABC D ，所以1AD OM ⊥， 所以OM 为异面直线1A D 与1AC 的公垂线，根据11AOM AC D ∆∆:，则111OM OA C D AC =，即111OA C D OM AC ⋅===， 所以1A DM ∆的最小面积为111122A DM S AD OM ∆=⨯⨯=⨯=当点M 与1C 重合时，此时11A DC ∆是边长为此时112A DC S ∆== 又因为点M 与A 、1C 不重合，所以111A DM A DC S S ∆∆<， 所以1A DM ∆的面积的取值范围是.【点睛】本题主要考查了正方体的几何结构特征，以及三角形面积的计算，其中解答中合理利用正方体的几何结构特征，结合异面直线的公垂线，求得面积的最小值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二．填空题（共4题，每题5分）13.等比数列{}n a 中，12233,6,a a a a +=+=则公比q = 【答案】2 【解析】 【分析】由等比数列的公比的定义可得:公比2312a a q a a +=+,代入已知的值可得答案.【详解】12233,6a a a a +=+=Q , 所以公比2312623a a q a a +===+,故答案为2.【点睛】本题考查等比数列的公比的定义,意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题.14.若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.【答案】5 【解析】 【分析】由题意首先画出不等式组表示的平面区域，然后结合目标函数的几何意义求解其最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点C 处取得最大值， 联立直线方程：102x y y +-=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()3,2C -，据此可知目标函数的最大值为：()max 325z =--=. 故答案为5．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y轴上截距最小时，z 值最大.15.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且VC BC AC ==，则异面直线CD 与VB 所成角的余弦值为______.【答案】12【解析】 【分析】以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CV 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式，即可求得异面直线CD 与VB 所成角的余弦值，得到答案.【详解】在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，以C 为原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，CV 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 设2VC BC AC ===，则(0,0,0),(1,1,0),(0,0,2),(0,2,0)C D V B ，所以(1,1,0),(0,2,2)CD VB ==-u u u r u u r，所以1cos ,2CD VB CD VB CD VB⋅===⋅u u u r u u ru u u r u u r u u u r u u r ，即异面直线CD 与VB 所成角的余弦值12. 故答案为：12.【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，结合向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16.直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆C ：(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=2的一条弦，且CM ⊥CN ，P 是MN 的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线l ：x ﹣y ﹣5=0上总存在两点A ，B ，使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.【答案】2 【解析】 【分析】依题意,点P 在以C 为圆心以1为半径的圆上,要使得∠APB 2π≥恒成立,则点P 在以AB 为直径的圆内部,所以AB 的最小值为圆的直径的最小值. 【详解】因为P 为MN 的中点,所以CP ⊥MN ,又因为CM ⊥CN ,所以三角形CMN 为等腰直角三角形,所以CP =1,即点P 在以C 为圆心,以1为半径的圆上,点P 所在圆的方程为(x ﹣2)2+(y ﹣3)2=1, 要使得∠APB 2π≥恒成立,则点P 所在圆在以AB 为直径的圆的内部,而AB 在直线l ：x ﹣y ﹣5=0上,C 到直线l ：x ﹣y ﹣5=0的距离d ==.所以以AB 为直径的圆的半径的最小值为r =1,所以AB 的最小值为2r =2.故答案为：2.【点睛】本题考查了直线和圆的关系的应用,考查了点与圆的位置关系,圆的性质等,属于难题.三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17.已知ABC V 的顶点()1,3A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=，AC 边上的高BH 所在直线方程为2390.x y +-=求：()1顶点C 的坐标； ()2直线BC 的方程．【答案】(1)()1,0-；(2)410x y -+= 【解析】 【分析】()1先求直线AC 的方程，然后求出C 的坐标；()2设出B 的坐标，求出M 代入直线方程为2320x y -+=，与直线为2390.x y +-=联立求出B 的坐标然后可得直线BC 的方程． 【详解】()1由()1,3A 及AC 边上的高BH 所在的直线方程2390x y +-= 得AC 所在直线方程为3230x y -+=又AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=由32302320x y x y -+=⎧-+=⎨⎩得()1,0C - ()2设(),B a b ，又()1,3A M 是AB 的中点，则13,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭由已知得239013232022a b a b +-=⎧⎪⎨++⋅-⋅+=⎪⎩得()3,1B 又()1,0C -得直线BC 的方程为410x y -+=【点睛】本题考查两条直线的交点，待定系数法求直线方程，是基础题．18.在ABC V ，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值； （2）若ABC V的面积为b =ac +的值.【答案】（1）3B π=（2）7【解析】 试题分析：，1）由正弦定理把已知等式化为角的关系，再利用两角和与差的正弦公式及诱导公式求得1cos 2=，从而得3B π=，，2）由三角形面积公式1sin 2S ac B =及已知可得12ac =，再利用余弦定理2222cos b a c ac B =+-可求得a c +. 试题解析：（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=. 又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，②又b =Q 7a c +=.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+【解析】 【分析】充分利用已知14(21)1n n S n a +=-+，将式子中n 换成1n -，然后相减得到n a 与1n a +的关系，利用累乘法得..到数列的通项，（2）利用裂项相消法求和，即可求出n T ， 【详解】解：（1）14(21)1n n S n a +=-+Q ①， 当1n =时，1241S a =+，解得23a =当2n …时，14(23)1n n S n a -=-+②， ①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---， 整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-， 即12121n n a n a n ++=-， ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=-以上各式相乘得121na n a =-，又11a =， 所以21n a n =-， （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭ 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+ 21n nT n ∴=+，【点睛】本题考查了利用累乘法求数列的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题．20.如图，已知AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面,ACD ACD V 为等边三角形，2,AD DE AB F ==为CD 的中点.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； （2）求直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2【解析】 【分析】（1）取CE 的中点G ，连接,FG BG ，通过证明BG ⊥平面CDE 得面面垂直；（2）过点B 作BM CE ⊥交CE 于M ，连接FM ，BFM ∠即为所求线面角，根据线面位置关系计算正弦值. 【详解】（1）证明：取CE 的中点G ，连接,FG BG .∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =. ∵AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面ACD ， ∴//AB DE ，∴//GF AB . 又12AB DE =，∴GF AB =， ∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG .∵ACD V 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥.∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =I ，故AF ⊥平面CDE . ∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE . ∵BG ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE .（2）不妨设22AD DE AB ===，过点B 作BM CE ⊥交CE 于M ， 连接FM ，由（1）平面BCE ⊥平面CDE ，BM CE ⊥，BM ⊂平面BCE ， 平面BCE I 平面CDE CE =，所以BM ⊥平面CDE ， 所以BFM ∠为所求线面角，又因为AB ⊥平面ACD AC ⊂，平面ACD ，所以AB AC ⊥，在Rt ABC V 中，BC =，在直角梯形ADEB 中，BE =BCE V 为等腰三角形，2BM BF ====，sin BM BFM BF ∠==所以直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值为2. 【点睛】此题考查面面垂直的证明和计算线面角的正弦值，关键在于熟练掌握相关判定定理，结合几何知识计算线面角.21.已知圆M 的圆心在直线1l ：10x y --=上，与直线2l ：43140x y ++=相切，截直线3l ：34100x y ++=所得的弦长为6. （1）求圆M 的方程；（2）过点()4,3P 的两条成60︒角的直线分别交圆M 于A ，C 和B ，D ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）22(2)(1)25x y -+-=（2） 【解析】 【分析】（1）设圆的标准方程，将圆心代入直线1l 的方程，由点到直线距离公式求得圆M 到2l 的距离，由弦长公式及点到直线距离公式表示出直线3l 与圆的关系，解方程组即可求得,,a b r 的值，即可求得圆M 的标准方程（2）解法1：作1MH AC ⊥，2MH BD ⊥，令11MH d =，22MH d =，讨论12120H MH ︒∠=或1260H MH ︒∠=两种情况：当12120H MH ︒∠=时，由余弦定理表示出12H H ，而1H 、M 、2H 、P 四点共圆，根据正弦定理求得MP ，进而求得12H H ，结合基本不等式即可求得122d d ≤，即可求得四边形ABCD 面积的最大值；当1260H MH ︒∠=时，由基本不等式求得126d d ≤，即可由二次函数性质求得四边形ABCD 面积的最大值.解法2：结合三角形面积公式可得1||||sin 2ABCD S AC BD APD =⋅⋅∠，由基本不等式可知2||||2ABCDAC BD S +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，讨论12120H MH ︒∠=或1260H MH ︒∠=两种情况，即可确定四边形ABCD 面积的最大值.【详解】（1）设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=则14314534105b a a b r a b ⎧⎪=-⎪++⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：215a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求圆方程为22(2)(1)25x y -+-=（2）解法1：1||||sin 60||||2ABCD S AC BD AC BD =⋅⋅∠︒= 如图作1MH AC ⊥，2MH BD ⊥，令11MH d =，22MH d =，12120H MH ︒∠=或60︒当12120H MH ︒∠=时，12H H ==因1H 、M 、2H 、P 四点共圆，2R MP ===，=，又221212121262d d d d d d d d =++≥+， ∴122d d ≤，||||AC BD ====423≤=⨯，||||4ABCD S AC BD =⋅≤，当且仅当12d d =时取等， 当1260H MH ︒∠=时，221212126d d d d d d +-=≥，∴126d d ≤，又||||AC BD ⋅==所以||||ABCD S AC BD =⋅=≤综上所述，四边形ABCD 面积最大值为解法2：1||||sin ||||2ABCD S AC BD APD AC BD =⋅⋅∠=⋅ 2||||2AC BD +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（当且仅当||||AC BD =时取等号）， 要使得||||AC BD =，则直线PM 应是APD ∠的平分线，当120APD ∠=︒时，圆心M 到直线AC 、BD ，则||||AC BD ==，()2max||||2ABCD AC BD S +⎛⎫== ⎪⎝⎭当60APD ∠=︒时，圆心M 到直线AC 、BD ，则||||AC BD ==，()2max||||2ABCD AC BD S +⎛⎫== ⎪⎝⎭综上所述，四边形ABCD 面积的最大值为【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系应用，由点到直线距离和弦长求圆的标准方程，正弦定理与余下定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，基本不等式求最值，属于难题.22.如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M N ，两点.（1）过点P 5)-作圆O 的两条切线，切点分别为E F ，，求PE PF u u u v u u u v⋅； （2）若AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点 【答案】（1）52813（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据切线公式求出||PE ==cosOPE ∠==，结合二倍角公式，利用向量数量积定义结合得解；（2）分别讨论当直线MN 斜率不存在和存在两种情况，结合韦达定理求解.【详解】（1）PO ==||PE ===所以cosOPE ∠==所以2211cos 2cos 1113FPE OPE ∠=∠-=-=，所以211528cos 1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯=uur uu u r uur uu u r （2）（i ）当直线MN 斜率不存在时，AM 所在直线方程y=x+2，直线与圆O 的交点为M （0,2）， AN 所在直线方程y=-x -2，直线与圆O 的交点为M （0,-2）， MN 所在直线方程为x=0；（ii ）当直线MN 斜率存在时，设其所在直线为y=kx+m ， 设直线MN 与圆O 的交点1222(,),(,)M x y N x y则22222(1)2404y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 221616-40k m ∆=+>212122224,11km m x x x x k k--+==++ 12121222()21my y kx m kx m k x x m k +=+++=++=+ 22221212121224()()()1m k y y kx m kx m k x x km x x m k-=++=+++=+， 1122(2,),(2,),AM x y AN x y AM AN =+=+⊥u u u u r u u u r，1212121212(2)(2)2()40AM AN x x y y x x x x y y ⋅=+++=++++=u u u u r u u u r22222244440111m km m k k k k ---+++=+++， 22-40m km =，0m =或2m k =，当2m k =时，直线MN 过点A ，即A M N ，，重合，舍去， 所以0m =，即MN 所在直线为y=kx ，过定点（0,0） 综上所述：直线MN 过定点（0,0）【点睛】此题考查涉及切线长度问题，计算向量的数量积，讨论直线恒过定点问题，涉及韦达定理的应用，综合性强.。
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黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高一数学6月月考（期中）试题（考试时间120分钟，共150分）一．选择题(共12题，每题5分)1．已知x y >，则下列各不等式中一定成立的是（ ）A ．22x y >B ．11x y >C ．11()()33x y >D ．332x y -+>2．若直线()120x m y ++-=和直线240mx y ++=平行，则m 的值为（ ）A ．1B ．2-C ．1或2-D ．23- 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8B ．83C ．453D ．54．在ABC ∆中，已知2222a b c ba +=+，则C =（ ）A ．30B ．150︒C ．45︒D ．135︒5．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+6．已知长方体的长，宽，高分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．25πB ．50πC ．125πD ．75π7．已知5cos 5α=，10sin()10βα，αβ，均为锐角，则sin β=（ ） A ．12 B ．22 C 3D ．18．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若33a =-，77S =-，则n S 的最小值为（ ）A ．12-B ．15-C ．18-D ．16-9．已知0x >，0y >，lg 4lg 2lg8x y+=，则142x y +的最小值是（ ）. A ．3 B ．94 C ．4615 D ．910．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2A C =，则sin c C a 的取值范围为（ ） A ．136⎛ ⎝⎭B ．312⎫⎪⎪⎝⎭C ．312⎤⎥⎣⎦D ．136⎡⎢⎣⎦ 11．已知圆1C ：2220x y kx y +-+=与圆2C ：2240x y ky ++-=的公共弦所在直线恒过定点()P a b ，，且点P 在直线20mx ny --=上，则22+m n 的取值范围是（ ）A ．1(,)2+∞ B ．1(,]4-∞ C ．1[,)2+∞ D ．1(,)4-∞ 12．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是对角线1AC 上的点（点M 与A 、1C 不重合），设1A DM ∆的面积为S 则S 的取值范围（ ） A ．233) B ．23(23] C ．23(,3)3 D ．3[3]3 12题图15题图 二．填空题（共4题，每题5分）13．等比数列{}n a 中，12233,6,a a a a +=+=则公比q =14．若实数x ，y 满足不等式组220102x y x y y ++≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为____________.15．如图，在三棱锥V ABC -中，VC⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且VC BC AC ==，则异面直线CD 与VB 所成角的余弦值为______.16．直角坐标系xOy 中，已知MN 是圆22(-2)(3)2C x y +-=：的一条弦，且CM CN ⊥，P 是MN的中点.当弦MN 在圆C 上运动时，直线:50l x y --=上总存在两点,,A B 使得2APB π∠≥恒成立，则线段AB 长度的最小值是_____.三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17（10分）.已知ABC ∆的顶点()1,3A ，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=，边AC 上的高BH 所在直线方程为2390.x y +-=求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．18（12分）．在ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos ()cos b A c B c a B -=-. （1）求角B 的值；（2）若ABC △的面积为b =a c +的值.19（12分）．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .20（12分）．如图，已知AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面,ACD ACD ∆为等边三角形，2,AD DE AB F ==为CD 的中点.（1）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；（2）求直线BF 和平面CDE 所成角的正弦值.20题图21（12分）．已知圆M 的圆心在直线1l ：10x y --=上，与直线2l ：43140x y ++=相切，截直线3l ：34100x y ++=所得的弦长为6.（1）求圆M 的方程；（2）过点()4,3P 的两条成90︒角的直线分别交圆M 于A C ，和B D ，，求四边形ABCD 面积的最大值.22（12分）．如图，在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线AM ，AN 分别与圆O 交于M N ，，两点.（1）过点P 35)-，作圆O 的两条切线，切点分别为E F ，，求PE PF ⋅；（2）若AM AN ⊥，求证：直线MN 过定点.22题图大庆实验中学高一期中考试数学答案（考试时间120分钟，共150分）一．选择题(共12题，每题5分)1---5 D AB C B6---10 B BD A B11--12 C A二．填空题（共4题，每题5分）13.2 14.5 115.2三．解答题（共6题，17题10分，其余每题12分）17（10分）. ()1由()1,3A 及AC 边上的高BH 所在的直线方程2390x y +-= 得AC 所在直线方程为3230x y -+=又AB 边上的中线CM 所在直线方程为2320x y -+=由3-2302-320x y x y +=⎧⎨+=⎩得()1,0C - ()2设(),B a b ，又()1,3A M 是AB 的中点，则13,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭由已知得239013232022a b a b +-=⎧⎪⎨++⋅-⋅+=⎪⎩得()3,1B 又()1,0C -得直线BC 的方程为410x y -+= 18（12分）.（1）∵()cos cos cos b A c B c a B -=-.∴由正弦定理，得()sin cos sin cos sin sin cos B A C B C A B -=-. ∴sin cos cos sin 2sin cos A B A B C B +=.()sin 2sin cos A B C B ∴+=.又A B C π++=，∴()sin sin A B C +=.又∵0C π<<，1cos 2B ∴=.又()0B π∈，，3B π∴=. （2）据（1）求解知3B π=，∴222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-.①又1sin 2S ac B ==12ac =，② 又13b =，∴据①②解，得7a c +=.19（12分）. 解：（1）14(21)1n n S n a +=-+①，当1n =时，1241S a =+，解得23a = 当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---，整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-， ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=- 以上各式相乘得121n a n a =-，又11a =，所以21n a n =-，（2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭， 1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+21n nT n ∴=+.20（12分）. （1）证明：取CE 的中点G ，连接,FG BG . ∵F 为CD 的中点，∴//GF DE 且12GF DE =. ∵AB ⊥平面,ACD DE ⊥平面ACD ，∴//AB DE ，∴//GF AB .又12AB DE =，∴GF AB =，∴四边形GFAB 为平行四边形，则//AF BG .∵ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF CD ⊥. ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE AF ⊥. 又CD DE D =，故AF ⊥平面CDE .∵//BG AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE.222.1.AD DE AB B BM CE CE M FM BCE CDE BM CE BM BCE BCE CDE CE BM CDE BFM AB ACD AC ACD AB AC Rt ABC BC ADEB BE BCE BM BF===⊥⊥⊥⊂⋂=⊥∠⊥⊂⊥∆==∆===（）不妨设，过点作交于，连接由（）可知平面平面又因为，平面平面平面，所以平面，所以为所求线面角因为平面，平面所以，在中中，为等腰三角形，2sin BMBFM BF =∠==所以.21（12分）. （1）设圆M 的方程为：222()()x a y b r -+-=则14314534105b a a b r a b ⎧⎪=-⎪++⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得：215a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求圆方程为22(2)(1)25x y -+-=121122122212212112281122ABCD M MH AC MH BD MH d MH d AC BD MH PH MP MH PH MH PH d PH M d d S AC BD ⊥⊥==⊥====+====四边形（）过作，，记，，因为所以四边形为矩形，矩形中，，所以在直角三角形中，，22122212221212(25-)(25-)50() 4225-25-242.d d d d d d d d ABCD ≤+=-+====当且仅当即时四边形面积有最大值为22（12分）.（1）(3PE =｜｜＝，PO ==，所以cos OPE ∠==. 所以2211cos 2cos 1113FPE OPE ∠=∠-=-=， 所以211528||cos 1313PE PF PE PF EPF ⋅=∠=⨯= 122222222221220,2--20-2012-4041616-40i MN AM y x O M AN y x O N MN x ii MN MN y kx mMN O M x y N x y y kx m k x kmx m x y k m x =+===+=+⎧⇒+++=⎨+=⎩∆=+>（）（）当直线斜率不存在时，所在直线方程为直线与圆的交点（）所在直线方程为直线与圆的交点（，）所在直线方程为；（）当直线斜率存在时，设所在直线为设直线与圆交点（，），（，）则（）2212221212122222212121212224,112()214()()()1km m x x x k k m y y kx m kx m k x x m k m k y y kx m kx m k x x km x x m k --+==+++=+++=++=+-=++=+++=+112212121212122222222(2,),(2,),(2)(2)2()40444402-4002,11120AM x y AN x y AM AN AM AN x x y y x x x x y y m km m k m km m m k k k km k MN A A M N m MN y kx =+=+⊥⋅=+++=++++=---+++====+++===因为，所以则整理得：即或当时直线过点即，，重合，舍去所以，即所在直线为：过0,00,0.MN 定点（）综上所述直线过定点，定点为（）。