黑龙江省大庆铁人中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题
黑龙江省大庆市铁人中学1415高一12月月考——数学数学(理)
黑龙江省大庆市铁人中学 2014—2015学年度上学期期中考试高一数学试题1．已知全集,集合,则∁U (A ∪B ) =( )A ．B ．C ．D ．2．若函数是幂函数，则实数m 的值为 ( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的区间是 ( )A ．(－2，－1)B ．(0,1)C ．(－1,0)D ．(1,2)4．若sin θ＝k ＋1k －3，cos θ＝k －1k －3，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为( )A ．B ．或0C ．0D ．5．已知sin αcos α＝18且π4<α<π2，则cos α－sin α＝ ( )A ．±32B ．32C ．－32D ．不能确定 6．下列各式中正确．．的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 168°<cos 10°<sin 11°D ．sin 11°<sin 168°<cos 10° 7．下列函数中，不是．．周期函数的是( )A ．y ＝|sin x |B ．y ＝sin|x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝cos|x |8．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 013)＝1，则f (2 014)＝ ( )A ．3B ．2C ．－1D ．以上都不对 9．函数y ＝|tan x －sin x |－tan x －sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π2，3π2内的图象是( )10．函数y ＝xkx 2＋kx ＋1的定义域为R ，则实数k 的取值范围为 ( )A ．k <0或k >4B ．k ≥4或k ≤0C ．0<k <4D ．0≤k <411．若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集是 ( )A ．(0,100)B ．C ．D ．∪(100，＋∞)第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________。
2015-2016学年黑龙江大庆市铁人中学高一(下)期中考试数学(文)试题(解析版)
2015-2016学年黑龙江大庆市铁人中学高一（下）期中考试数学（文）试题一、选择题1．如果0<<b a ，那么（ ）A ．0>-b aB ．bc ac <C ．a 1>b1D ．22b a < 【答案】C【解析】试题分析：11b a a b ab--=，因为0<<b a ，所以0ab >，0b a ->，所以11b a a b ab --=0>，从而11a b>，故选C. 【考点】简单不等式. 2．不等式2x x->2x x -的解集是（ ）A. (02)，B. (0)-∞，C. (2)+∞，D. (0)∞⋃+∞（-，0）， 【答案】A【解析】试题分析：由条件可知20x x -<，解得02x <<，所以不等式2x x->2x x -的解集是(02)，，故选A.【考点】绝对值不等式及分式不等式.3．下列不等式一定成立的是（ ）A ．21lg()lg (0)4x x x +>> B ．sin x ＋1sin x ≥2(,)2k x k Z π≠∈ C ．212||()x x x R +≥∈ D ．1x 2＋1>1（x∈R）【答案】C【解析】试题分析：对于A 选项，当12x =时，211lg lg lg 42x x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，所以A 选项错误；对于B 选项，当且仅当1sin 1sin x x ==时1sin 2sin x x+≥成立，但是由于(,)2k x k Z π≠∈，所以sin 1x ≠，因此B 选项错误；对于D 选项，当0x =时，2111x =+，所以D 选项也错误；综上故选C. 【考点】基本不等式.4．已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足1310<<k a ，则=k （ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 【答案】C【解析】试题分析：由数列{}n a 的前n 项和n n S n 92-=，可求得通项公式210n a n =-，所以1021013k <-<，解得1011.5k <<，因为*k N ∈，所以11k =，故选C. 【考点】1、等差数列；2、通项公式.5．如下图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有（ ）A ．3块B ．4块C ．5块D ．6块 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知组成此几何体的长方体木块共摆放两层，下层三块，上层一块，如图设ABCD 是长方形的直观图，在下层的,,A B C 处各放一块，上层的一块在A 的正上方，共4块，故选B.【考点】三视图.6．若等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n a S 21-=，则数列}{n a 的公比是（ ） A.32 B.32- C.31 D.31- 【答案】A【解析】试题分析：由n n a S 21-=可求得113a =，再由n n a S 21-=知当 2n ≥时有112n n S a --=，两式相减并整理得123n n a a -=，所以公比是32，故选A.【考点】1、等比数列；2、公比.7．钝角三角形ABC 的面积是 12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝（ ）A.5B. 5C.1或 5D.1 【答案】B【解析】试题分析：由条件可知113sin 22244B B B ππ=⇒=⇒=或，若4B π=，则1AC =，此时得,2A π=与条件矛盾；所以34B π=，并由此解得AC 故选B.【考点】1、三角形的面积；2、余弦定理.8．等差数列}{n a 中，11=a ，47=a ，数列}{n b 是等比数列，已知32a b =，231a b =，则满足不等式801a b n <的最小正整数n 是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C【解析】试题分析：由11=a ，47=a 可得等差数列}{n a 的通项公式时12n n a +=，所以2332122,3b a b a ====，从而可得等比数列}{n b 的通项公式223n n b -=，由801a b n <2381n -⇒>，所以67n n >⇒≥，故选C. 【考点】1、等差数列；2、等比数列.【方法点晴】本题是一个关于等差数列、等比数列以及其相关性质方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据等差数列的已知两项求出等差数列}{n a 的通项公式，并由此求出等比数列}{n b 的通项公式，最后再解关于n 的不等式801a b n <，求出n 的取值范围，进而得到最小正整数n ，使问题得到解决. 9．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2（sin A ＋sin B ＋10sin C ），A ＝60°，则a ＝（ ） A. 3 B ．2 3 C ．4 D ．不确定【答案】A【解析】试题分析：由条件以及正弦定理得()()2sin sin 10sin 2sin sin 10sin R A B C A B C ++=++，所以22,R =所以2s i n 3a R = A.【考点】1、正弦定理；2、余弦定理.10．在△ABC 中，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若si n s i n 2s i n a A b B c C+=， 则cosC 的最小值为（ ） A.23B. 2C.21D. 12-【答案】C【解析】试题分析：由题目条件以及正弦定理可得2222a b c +=，再由余弦定理可得2222221cos 2442a b c a b ab C ab ab ab +-+==≥=，当且仅当a b =时取等号，故选C.【考点】正弦定理及余弦定理.11．在ABC ∆中，若,2A B C A C B <<+=且，最大边为最小边的2倍，则三个角::A B C =（ ）A ．1:2:3B ．2:3:4C ．3:4:5D ．4:5:6 【答案】A【解析】试题分析：由,2A B C A C B <<+=且，,A B C π++=可得3B π=，又最大边为最小边的2倍，所以2c a =，所以s i n 2s i CA =，即2sin 2sin tan 3A A A π⎛⎫-=⇒=⎪⎝⎭0A π<<，所以6A π=，从而2C π=，则三个角::A B C =1:2:3，故选A.【考点】正弦定理及其应用.【方法点晴】本题是一个关于三角形的正弦定理方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据三角形的内角和定理以及,2A B C A C B <<+=且可以求出B 的大小，其次，再利用题目条件以及正弦定理得出角,A C 的关系，根据前面求出的角B 即可得出,A B 的大小，进而得到三个内角的比值.12．设M 是△ABC 内一点，且△ABC 的面积为1，定义f （M ）＝（m ，n ，p ），其中m 、n 、p 分别是△MBC，△MCA，△MA B 的面积，若f （M ）＝（12，x ，y ），则1x ＋4y 的最小值是（ ）A ．8B ．9C ．16D ．18【答案】D【解析】试题分析：由题目条件可知12x y +=，所以()21x y +=，又因为0,0x y >>，因此()1414422518y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4y x x y =，即11,63x y ==时取等号，故 选D.【考点】基本不等式.【思路点晴】本题是一个关于利用基本不等式求最值方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件得出正数,x y 的等量关系式，再利用不等式中常用的整数“1”的代换并结合基本不等式，即可求得14x y+的最小值.在此过程中，要特别注意“一正、二定、三相等”，否则，容易出错.二、填空题13．已知等比数列}{n a 的通项公式为1*()n n a a n N -=∈，则21nS a a a =++++= ．【答案】S =11(1)1(1)1n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩【解析】试题分析：由于等比数列的公比为a ，所以需对其是否为1进行讨论，再结合等比数列的求和公式即可求得所需的结论，即S =11(1)1(1)1n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩，故答案填11(1)1(1)1n n a a a a++=⎧⎪⎨-≠⎪-⎩. 【考点】等比数列及其求和公式.14．设}{n a 是首项为1的正项数列，且22*11(1)0,()n n n nn a na a a n N +++-+⋅=∈，则它的通项公式为 ． 【答案】na n 1=【解析】试题分析：对原关系式进行等价变形可得22*11(1)0,()n n n n n a na a a n N +++-+⋅=∈()()1110n n n n n a na a a ++⇒+-+=⎡⎤⎣⎦，因为}{n a 是正项数列，所以()110n n n a na ++-=，从而()111n nn a na ++=，即数列{}n na 是首项为1，公比为1的等比数列，所以1n na =，即1n a n =，故答案填na n 1=. 【考点】1、等比数列；2、通项公式.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若C c A b B a sin cos cos =+， 2221()4S b c a =+-，则∠B= ． 【答案】45【解析】试题分析：由题目条件及正弦定理得()22sin cos cos sin sin sin sin A B A B C A B C +=⇒+=sin 1C ⇒=，所以90C = ，再由2221()4S b c a =+-及1sin 2S ab C =，2222cos b c a bc A +-=，可得tan 1A =，所以45A = ， 45B = ，故答案填45 .【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、三角形面积.【思路点晴】本题是一个关于三角形的正弦定理、余弦定理以及三角形的面积方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：先根据题目条件及正弦定理求出角C 的值，再根据三角形的面积公式，并结合三角形的余弦定理可求出角A 的值，最后根据三角形的内角和等于180以及前面所求出的角,A C 的值，即可得到角B . 16．已知关于x 的不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】6[2,)5-【解析】试题分析：由题意知()()224210a x a x -++-<恒成立，当2a =-时，不等式化为10-<，显然恒成立；当2a ≠-时，则()()222402440a a a ⎧-<⎪⎨++-<⎪⎩，即625a -<<，综上实数a 的取值范围是6[2,)5-，故答案填6[2,)5-.【考点】1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式22(4)(2)10a x a x -++-≥的解集是空集的问题，转化为不等式()()224210a x a x -++-<恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数24a -是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数a 的取值范围.三、解答题17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边，且满足sin 2A A =． （1）求A 的大小；（2）现给出三个条件：①2a =； ②B=45°；③c =．试从中选出两个可以确定△ABC 的条件，写出你的选择并以此为依据求△ABC 的面积（只需写出一个选定方案即可，选多种方案以第一种方案记分）． 【答案】（1）30A =；（21【解析】试题分析：（1）根据题目条件，利用辅助角公式，再结合A 是三角形的内角，即可求出A 的大小；（2）根据（1）的结论，利用条件①2a =， ② 45B =，并结合正弦定理，即可求出b 边，进而可求出c 边和角C ，从而可确定ABC ∆,并可以求得其面积.试题解析：（1）由sin 2A A =，得sin(60)1A +=因为(0,180)A ∈ ，所以60(60,240)A +∈，所以6090A += ，即 30A =（2）方案一：选①和②由正弦定理得，sin 2sin 45sin sin 30a Bb A ⨯===又，1sin sin()sin cos cos sin 2C A B A B A B =+=+==ABC ∴∆的面积为11sin 2122S ab C ==⨯⨯= 方案二：选①和③由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-则22222cos30b =+- ， 解得2b =，于是c =ABC ∴∆的面积为1111sin sin 3022222S bc A bc ===⨯⨯=【考点】1、辅助角公式；2、三角形面积；3、正弦定理，余弦定理.18．解关于x 的不等式2211x ax x x +-≤+-． 【答案】当0a <时，原不等式解集为1(,](1,)a-∞⋃+∞；当0a =时，原不等式解集为(1,)+∞；当01a <<时，原不等式解集为1(1,]a；当1a =时，原不等式解集为Φ；当1a >时，原不等式解集为1[,1)a.【解析】试题分析：先将原不等式整理成分式不等式，再对其中的参数a 进行分类讨论，进而得出当参数a 取不同值时，原不等式对应的解集.试题解析：原不等式可化为22(1)01x ax x x +--+≤-，即101ax x -≤- 当0a =时，有101x -≤-，所以1x > 当0a ≠时，111aa a--=（1）当0a <时，有101x a x -≥-，且11a <，所以1x a ≤，或1x > （2）当01a <<时，有101x a x -≤-，且11a >，所以11x a <≤ （3）当1a =时，有101x x -≤-，所以x ∈Φ （4）当1a >时，有101x a x -≤-，且11a <，所以11x a ≤<， 综上当0a <时，原不等式解集为1(,](1,)a-∞⋃+∞当0a =时，原不等式解集为(1,)+∞ 当01a <<时，原不等式解集为1(1,]a当1a =时，原不等式解集为Φ 当1a >时，原不等式解集为1[,1)a【考点】1、含参不等式；2、分式不等式.19．已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差0d ≠，其中3612,,a a a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21(1)1(2)1n nn b n a =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：74n S <．【答案】（1）n a n =（n *∈N ）；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据题目条件，先求出等差数列{}n a 的公差，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）根据题目条件以及（1）的结论，先求出数列{}n b 的通项公式，进而可求出数列{}n b 的前n 项和n S ，进一步可证明74n S <. 试题解析：（1）由3612,,a a a 成等比数列及11a =得，26312a a a =⋅， 即2(15)(12)(111)d d d +=+⋅+所以23d d =，因为0d ≠，所以1d =所以*n a n n N =∈（2）1714S =<，由（1）及已知，当2n ≥时，211111()1(1)(1)211n b n n n n n ===---+-+， 于是12111111111(1)2324211111171111(1)()221421n nS b b b n n n n n n n n =+++=+-+-++-+---+=++--=-+++因为*n N ∈，所以1101n n +>+ 所以74n S <【考点】1、等差数列；2、数列求和及裂项相消法. 20．已知实数,x y 满足1111x y+=+． （1）若0,0x y >>，求2x y +的最小值； （2）解关于x 的不等式：2y x ≥．【答案】（1）1；（2）1(,1)(1,](0,1]2-∞-⋃--⋃.【解析】试题分析：（1）根据条件将二元代数式的最值问题转化为一元代数式的最值问题，再结合基本不等式，即可求出2x y +的最小值；（2）根据条件将不等式转化为关于x 的分式不等式，进而可得到其解集. 试题解析：（1）由1111x y+=+及0,0x y >>得，1x y x +=因为0x >，所以11222111x x y x x x x ++=+=++≥=当且仅当12x x =，即x =时取等号，此时1y =所以2x y +的最小值为1（2）由（1）1x y x +=，且1x ≠- 原不等式可化为12x x x +≥，即120x x x+-≥ 所以2210x x x--≤，即(21)(1)0x x x +-≤且1x ≠- 所以原不等式的解集为1(,1)(1,](0,1]2-∞-⋃--⋃ 【考点】1、基本不等式；2、分式不等式. 21．设函数2()2f x mx mx =--.（1）若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若对于[1,3],()5x f x m ∈<-+恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1） (8,0]-；（2） (,1)-∞．【解析】试题分析：（1）首先注意对实数m 的取值进行讨论，再结合二次函数的图像和性质，即可求出实数m 的取值范围；（2）根据条件，先将实数m 从不等式中分离出来，再结合构造函数以及函数的单调性和最值，即可求得实数m 的取值范围．试题解析：（1）由已知，220mx mx --<对于一切实数x 恒成立，当0m =时，20-<恒成立当0m ≠时，只需280m m m <⎧⎨∆=+<⎩，解得80m -<< 故，m 的取值范围是(8,0]-（2）由已知，225mx mx m --<-+对[1,3]x ∈恒成立 即2(1)7m x x -+<对[1,3]x ∈恒成立因为22131()024x x x -+=-+>，所以271m x x <-+对[1,3]x ∈恒成立 令2()1g x x x =-+，则只需7()m g x <在[1,3]x ∈上的最小值 而()g x 在[1,3]x ∈上是单调递增函数，所以()[1,7]g x ∈，所以7[1,7]()g x ∈，所以1m < 故，m 的取值范围是(,1)-∞【考点】1、二次函数的图象和性质；2、极端不等式恒成立问题.【思路点晴】本题是一个关于二次函数的图象和性质、极端不等式恒成立等方面综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：对问题（1）首先注意对实数m 的取值进行讨论，再结合二次函数的图象和性质，即可求出实数m 的取值范围；对问题（2）根据条件，先将实数m 从不等式中分离出来，再结合构造函数以及函数的单调性和最值，即可求得实数m 的取值范围．22．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且*121()n n S S n n N +=++∈． （1）证明数列{1}n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na n +的前n 项和n T ．【答案】（1）证明见解析，*21()n n a n N =-∈；（2）1(1)22n n T n +=-⋅+. 【解析】试题分析：（1）根据题目条件构造数列，再结合等比数列的定义，即可证明数列{1}n a +是等比数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）根据（1）的结论，再利用错位相减法即可求得数列{}n na n +的前n 项和n T . 试题解析：（1）由已知， *121()n n S S n n N +=++∈ 当2n ≥时，12n n S S n -=+两式相减得，121n n a a +=+，于是112(1)2n n a a n ++=+≥第 11 页 共 11 页 当1n =时，2121S S n =++，即121211a a a +=++，所以23a =此时2112(1)a a +=+，且1120a +=≠所以，数列{1}n a +是首项为112a +=，公比为2的等比数列所以，1122n n a -+=⋅，即*21()n n a n N =-∈（2）令n n c na n =+，则2n n c n =⋅，于是122112222212(1)22nn n n n T n T n n +=⋅+⋅++⋅=⋅++-⋅+⋅两式相减得，21112(21)22222(1)2221n n n n n n T n n n +++--=+++-⋅=-⋅=-⋅-- 所以1(1)22n n T n +=-⋅+ 【考点】1、等比数列；2、通项公式；3、错位相减法.【思路点晴】本题是一个关于等比数列以及错位相减法方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：对问题（1）根据题目条件构造数列，再结合等比数列的定义，即可证明数列{1}n a +是等比数列，进而可求得数列{}n a 的通项公式；对问题（2）根据（1）的结论，再利用错位相减法即可求得数列{}n na n +的前n 项和n T .。
铁人中学2016级高三学年上学期期中考试数学试题答案
大庆铁人中学高三学年上学期期中考试数学试题答案一、选择题二、填空题13、14、15、12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦16、12nn-⋅三、解答题17.解：(1)因为在点M(1,f(1))处的切线方程为9x+3y−10=0，所以切线斜率是k=−3，且9×1+3f(1)−10=0，求得f(1)=13，即点M(1, 13)，又函数f(x)=13x3−a x+b，则f′(x)=x2−a，所以依题意得，解得a=4 b=4；(2)由(1)知f(x)=13x3−4x+4，所以f′(x)=x2−4=(x+2)(x−2)，令f′(x)=0，解得x=2或x=−2当f′(x)>0⇒x>2或x<−2；当f′(x)<0⇒−2<x<2，所以函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−2)，(2,+∞)单调递减区间是(−2,2)，又x∈[0,3]，所以当x变化时，f(x)和f′(x)变化情况如下表：所以当x ∈[0,3]时，f (x )m a x =f (0)=4，f (x )m i n =f (2)=−43．223,sin 3sin ,sin sin 2.3(2)796cos ,1231cos 0,12,sin 2ABC BB A B A A ABC A a c c c c c B B ABC c S bc A ππ==+=∴=∆∴===+-⋅∴====<∴=∴== 18.解：(1)在三角形又为锐角三角形，根据余弦定理得或当时，故为钝角，与三角形为锐角三角形矛盾，19.解：函数f (x )=4sin (x −π3)cos x + 3． 化简可得：f (x )=2sin x cos x −2 3cos 2x + 3=sin 2x −2 3(12+12cos 2x )+=sin 2x − 3cos 2x =2sin (2x −π3)(1)函数的最小正周期T =2π2=π，由2k π−π2≤2x −π3≤2k π+π2时单调递增，解得：k π−π12≤x ≤k π+5π12∴函数的单调递增区间为[：k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z ．(2)函数g (x )=f (x )−m 所在[0,π2]匀上有两个不同的零点x 1′，x 2′，转化为函数f (x )与函数y =m 有两个交点，令u =2x −π3，∵x ∈[0,π2]，∴u ∈[−π3,2π3] 可得f (x )=2sin (u )的图象(如图)．从图可知：m 在[ 3,2)，函数f (x )与函数y =m 有两个交点，其横坐标分别为x 1′，x 2′. 故得实数m 的取值范围是m ∈[ 3,2)20.解：(1)方程x 2−5x +6=0的根为2，3.又{a n }是递增的等差数列， 故a 2=2，a 4=3，可得2d =1，d =12， 故a n =2+(n −2)×12=12n +1， (2)设数列{an 2n }的前n 项和为S n ，S n =a 121+a 222+a 323+⋯+a n −12n −1+an 2n ，① 12S n =a 122+a 223+a324+⋯+a n −12n+a n2n +1，②①−②得12S n =a 12+d (122+123+124+⋯+12n )−a n2n +1=322+12×14(1−12n −1)1−12−an 2n +1，解得S n =32+12(1−12n −1)−n +22n +1=2−n +42n +1．21.(I )证明：∵b n +1−b n =22a n +1−1−22a n −1=22 1−14a n−1−22a n−14a n 2a n −1−22a n −1=2，∴数列{b n }是公差为2的等差数列，又b 1=22a 1−1=2，∴b n =2+ n −1 ×2=2n ，∴2n =22a n−1，解得a n =n +12n . (I I )解：由(Ⅰ)可得c n =4×n +12nn +1=2n ，∴c n c n +2=2n ×2n +2=2 1n −1n +2 ，∴数列{c n c n+2}的前n项和为：T n=2[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]，=21+12−1n+1−1n+2=3−4n+6n+1n+2．22（理）解：（Ⅰ）F x=e x−2x−b，则F′x=e x−2.令F′x=e x−2>0,得x>ln2，所以F x在ln2,+∞上单调递增.令F′x=e x−2<0,得x<ln2，所以F x在−∞,ln2上单调递减.（Ⅱ）因为f′x=e x+ 2x−1，所以f′0=0，所以l的方程为y=1.依题意，−a2=1，c=1.于是l与抛物线g x=x2−2x+b切于点1,1，由12−2+b=1得b=2.所以a=−2,b=2,c=1.-（Ⅲ）设 x=f x−g x=e x−a+1x−b,则 x≥0恒成立.易得 ′x=e x−a+1.（1）当a+1≤0时，因为 ′x>0，所以此时 x在−∞,+∞上单调递增.①若a+1=0，则当b≤0时满足条件，此时a+b≤−1；②若a+1<0，取x0<0且x0<1−ba+1,−b=0，所以 x≥0不恒成立．此时 x0=e x0−a+1x0−b<1−a+11−ba+1不满足条件；（2）当a+1>0时，令 ′x=0，得x=ln a+1.由 ′x>0，得x>ln a+1；由 ′x<0，得x<ln a+1.所以 x在 −∞,ln a+1上单调递减，在ln a+1,+∞上单调递增.要使得“ x=e x−a+1x−b≥0恒成立”，必须有“当x=ln a+1时， x min=a+1−a+1ln a+1−b≥0”成立.所以b≤a+1−a+1ln a+1.则a+b≤2a+1−a+1ln a+1−1.令G x=2x−x ln x−1,x>0,则G′x=1−ln x.令G′x=0，得x=e.由G′x>0，得0<x<e；由G′x<0，得x>e.所以G x在0,e上单调递增，在e,+∞上单调递减,所以，当x=e时，G x max=e−1.从而，当a=e−1,b=0时，a+b的最大值为e−1.-22（文）解：（Ⅰ），得由f'（x）＞0，得0＜x＜e∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（4分）（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立令，当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增∴h（x）min=h（1）=4，∴m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]…（8分）（Ⅲ）证明：等价于，即证由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）令，则，易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增∴（当x=1时取等号）∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…（12分）。
黑龙江省大庆市铁人中学高一上期中数学试卷(B卷)
2016-2017学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷(B卷)一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|3．函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）4．sin30°+tan240°的值是（）A．﹣B．C．﹣ +D． +5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣6．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）7．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A．B．C．D．8．函数y=log a（|x|﹣1），（a＞1）的大致图象是（）A．B．C．D．9．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%10．已知函数f（x）=log a（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）11．已知函数f（x）=﹣log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x＜x0，则函数f（x）的值（）A．等于0 B．恒为正C．恒为负D．不大于012．已知集合，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．若f（x）的定义域为，则函数f（lg x）的定义域为．14．经过一刻钟，长为10cm的分针所覆盖的面积是．15．若角α的终边与直线y=3x重合且sin α＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m﹣n=．16．已知函数，若f（a）＞f（﹣a），求实数a的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．18．（10分）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．19．（10分）已知函数y=|x|（x﹣4）（1）画出函数的图象；（2）利用图象回答：当f（x）为何值时，方程x，y∈R有一解？有两解？有三解？20．（10分）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．21．（15分）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．（1）求证：f（x）+f（﹣x）=0；（2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（24）；时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值（3）如果x∈R+和最小值．22．（15分）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．2016-2017学年黑龙江省大庆市铁人中学高一（上）期中数学试卷(B卷)参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列各式：①1∈{0，1，2}；②∅⊆{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2}；④{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】元素与集合关系的判断．【分析】对于①根据元素与集合之间的关系进行判定，对于②根据空间是任何集合的子集，对于③集合与集合之间不能用属于符号进行判定，对于④根据集合本身是集合的子集进行判定，对于⑤根据集合的无序性进行判定即可．【解答】解：：①1∈{0，1，2}，元素与集合之间用属于符号，故正确；②∅⊆{0，1，2}；空集是任何集合的子集，正确③{1}∈{0，1，2}；集合与集合之间不能用属于符号，故不正确；④{0，1，2}⊆{0，1，2}，集合本身是集合的子集，故正确⑤{0，1，2}={2，0，1}，根据集合的无序性可知正确；故选：A【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合之间的关系，属于基础题．2．下列四个函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（）A．f（x）=3﹣x B．f（x）=x2﹣3x C．f（x）=﹣D．f（x）=﹣|x|【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】由题意知A和D在（0，+∞）上为减函数；B在（0，+∞）上先减后增；c在（0，+∞）上为增函数．【解答】解：∵f（x）=3﹣x在（0，+∞）上为减函数，∴A不正确；∵f（x）=x2﹣3x是开口向上对称轴为x=的抛物线，所以它在（0，+∞）上先减后增，∴B不正确；∵f（x）=﹣在（0，+∞）上y随x的增大而增大，所它为增函数，∴C正确；∵f（x）=﹣|x|在（0，+∞）上y随x的增大而减小，所以它为减函数，∴D不正确．故选C．【点评】本题考查函数的单调性，解题时要认真审题，仔细解答．3．函数的f（x）=log3x﹣8+2x零点一定位于区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）【考点】函数的零点．【分析】利用根的存在性定理分别判断，在区间端点符合是否相反即可．【解答】解：函数f（x）=log3x﹣8+2x为增函数，∵f（3）=log33﹣8+2×3=﹣1＜0，f（4）=log34﹣8+2×4=log34＞1＞0，∴函数在（3，4）内存在零点．故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的判断，利用根的存在性定理是解决此类问题的基本方法．4．sin30°+tan240°的值是（）A．﹣B．C．﹣ +D． +【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简得解．【解答】解：sin30°+tan240°=+tan（180°+60°）=tan60°=．故选：D．【点评】本题主要考查了诱导公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．5．已知=﹣5，那么tanα的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．﹣【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知条件给的是三角分式形式，且分子和分母都含正弦和余弦的一次式，因此，分子和分母都除以角的余弦，变为含正切的等式，解方程求出正切值．【解答】解：由题意可知：cosα≠0，分子分母同除以cosα，得=﹣5，∴tanα=﹣．故选D．【点评】同角三角函数的基本关系式揭示了同一个角三角函数间的相互关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义．6．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由已知中函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，我们可得函数y=f（x）在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f （2+x），由此要比较f（），f（1），f（）的大小，可以比较f（），f（3），f （）．【解答】解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B【点评】本题考查的知识点是奇偶性与单调性的综合，其中根据已知条件，判断出函数在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x），是解答本题的关键．7．已知点P（sinπ，cosπ）落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），则θ的值为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】解出点P的具体坐标，即可求解θ的值．【解答】解：点P（sinπ，cosπ）即P；它落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π），∴故选D．【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题．8．函数y=log a（|x|﹣1），（a＞1）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由函数定义域可排除A、B，当x＞1时，y=log a（|x|﹣1）=y=log a（x﹣1）可由y=log a x向右平移一个单位得到，由此可得答案．【解答】解：由|x|﹣1＞0，得x＜﹣1，或x＞1，排除A、B．当x＞1时，y=log a（x﹣1），其图象可看作由y=log a x向右平移1个单位得到的，又a ＞1，故选D．【点评】本题考查对数函数的图象及性质，关于函数图象的选择题，要充分利用函数的性质及特殊点进行筛选．9．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（）A．15% B．10% C．12% D．50%【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】设明年比今年降价x%，依题意得（1+25%）（1﹣x%）=1+10%，解出即可．【解答】解：设明年比今年降价x%，依题意得（1+25%）（1﹣x%）=1+10%，解得x=12，故选：C．【点评】本题考查了列方程解应用题，属于基础题．10．已知函数f（x）=log a（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，2）C．（1，2]D．[2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】若函数f（x）=log a（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，则y=log a t为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，解得a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=log a（4﹣ax）在（﹣2，2）上是减函数，∴y=log a t为增函数，且当x=2时，t=4﹣ax≥0，即，解得：a∈（1，2]，故选：C．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．11．已知函数f（x）=﹣log2x，若实数x0是函数f（x）的零点，且0＜x＜x0，则函数f（x）的值（）A．等于0 B．恒为正C．恒为负D．不大于0【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意得，函数的零点就是方程的根，也即是函数图象与x轴交点的横坐标．又知函数的单调性，即可求出f（x）的符号．【解答】解：由于x0是函数f（x）=﹣log2x的零点，则f（x0）=0，又因为函数f（x）=﹣log2x在（0，+∞）上是减函数，所以当0＜x＜x0时，f（x）＞f（x0）即f（x）＞0．即函数f（x）的值恒为正．故选：B【点评】本题主要考查函数的零点及函数的单调性．函数的零点的研究就可转化为相应方程根的问题，函数与方程的思想得到了很好的体现．12．已知集合，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【分析】求得A={x|a （2x）2﹣2•2x﹣1=0}，B={x|﹣1＜x≤1}．再由A∩B≠∅，可得方程at2﹣2t﹣1=0在（，2]上有解．设f（t）=at2﹣2t﹣1，则由题意可得函数f（t）在区间（，2]上有解，结合所给的选项可得，a＞0．故有①f（）f（2）＜0，或②，或③f（2）=0．分别求得①、②、③的解集，再把①②③的解集取并集，可得a的范围．【解答】解：∵A={x|a4x﹣2x+1﹣1=0 }={x|a （2x）2﹣2•2x﹣1=0}，B={x|≤1}={x|≤0}={x|﹣1＜x≤1}．由于﹣1＜x≤1，故有＜2x≤2，再由A∩B≠∅，可得方程at2﹣2t﹣1=0在（，2]上有解．设f（t）=at2﹣2t﹣1，则由题意可得函数f（t）在区间（，2]上有零点，结合所给的选项可得，a＞0．故有①f（）f（2）=（﹣2）（4a﹣5）＜0，或②，或③f（2）=0．解①可得＜a＜8，解②可得a无解，解③可得a=．把①②③的解集取并集，可得a的范围为[，8），故选B．【点评】本题主要考查指数方程、分式不等式的解法，两个集合的交集的定义，二次函数的性质的应用，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．）13．若f（x）的定义域为，则函数f（lg x）的定义域为．【考点】指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法．【分析】根据f（x）的定义域为，由＜lgx＜3求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：∵f（x）的定义域为，由＜lgx＜3，得．∴函数f（lg x）的定义域为．故答案为：．【点评】本题考查了函数的定义域及其求解方法，考查了复合函数定义域的求法，是基础题．14．经过一刻钟，长为10cm的分针所覆盖的面积是25πcm2．【考点】扇形面积公式．【分析】求出经过15分钟，分针所转过的弧度数，代入面积公式计算面积．【解答】解：分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，∴经过15分钟，分针的端点所转过的弧度数为：，∴长为10cm的分针所覆盖的面积是=25πcm2，故答案为25πcm2．【点评】本题考查面积公式的应用，易错点是角度和弧度的转化，利用弧长、面积公式解题时要把圆心角的单位化为弧度．15．若角α的终边与直线y=3x重合且sin α＜0，又P（m，n）是角α终边上一点，且|OP|=，则m﹣n=2．【考点】终边相同的角．【分析】依据题中的条件，建立关于m，n的方程组，解出m，n的值．再利用sin α＜0，α的终边在第三象限，进一步确定m，n的值．【解答】解：依题意知，解得m=1，n=3，或m=﹣1，n=﹣3，又sinα＜0，∴α的终边在第三象限，∴n＜0，∴m=﹣1，n=﹣3，∴m﹣n=2．故答案为2．【点评】本题考查终边相同的角的定义，终边与直线y=3x重合的角可能在第一象限，也可能在第三象限，利用三角函数在各个象限的符号，来确定角的终边所在的象限．16．已知函数，若f（a）＞f（﹣a），求实数a的取值范围．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】通过对a＞0与a＜0，利用分段函数，写出f（a）＞f（﹣a），利用对数的性质，求出a的范围即可．【解答】解：当a＞0时，由f（a）＞f（﹣a）得＞，即＞﹣，可得：a＞1；当a＜0时，同样得＞，即﹣＞．可得：﹣1＜a＜0；综上得：﹣1＜a＜1或a＞1．所求a的范围是：（﹣1，0）∪（1，+∞）【点评】本题考查分段函数的解析式的应用，对数函数的基本性质，考查计算能力．三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）（2012秋•深圳期末）设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．【考点】补集及其运算；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（1）求出集合B中不等式的解集确定出集合B，求出集合A与集合B的公共解集即为两集合的交集，根据全集为R，求出交集的补集即可；（2）求出集合C中的不等式的解集，确定出集合C，由B与C的并集为集合C，得到集合B为集合C的子集，即集合B包含于集合C，从而列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围．【解答】解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，∴B={x|x≥2}，又A={x|﹣1≤x＜3}，∴A∩B={x|2≤x＜3}，又全集U=R，∴∁U（A∩B）={x|x＜2或x≥3}；（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞﹣，∴C={x|x＞﹣}，∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣＜2，解得a＞﹣4；故a的取值范围为（﹣4，+∞）．【点评】此题考查了交集及补集的元素，集合的包含关系判断以及应用，学生在求两集合补集时注意全集的范围，由题意得到集合B是集合C的子集是解第二问的关键．18．（10分）（2016秋•兴国县校级期中）已知任意角α的终边经过点P（﹣3，m），且cosα=﹣（1）求m的值．（2）求sinα与tanα的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数线．【分析】（1）先求出|OP|，再利用cosα=﹣，即可求m的值．（2）分类讨论，即可求sinα与tanα的值．【解答】解：（1）∵角α的终边经过点P（﹣3，m），∴|OP|=．又∵cosα=﹣==，∴m2=16，∴m=±4．（2）m=4，得P（﹣3，4），|OP|=5，∴sinα=，tanα=﹣；m=﹣4，得P（﹣3，﹣4），|OP|=5，∴sinα=﹣，tanα=；【点评】本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查三角函数的定义，比较基础．19．（10分）（2016秋•红岗区校级期中）已知函数y=|x|（x﹣4）（1）画出函数的图象；（2）利用图象回答：当f（x）为何值时，方程x，y∈R有一解？有两解？有三解？【考点】分段函数的应用；函数的图象．【分析】（1）去绝对值符号，化为分段函数，画图即可，（2）结合图象即可求出答案．【解答】解：（1）y=，图象如图所示，（2）k＞0或者k＜﹣4方程有一解k=0或者k=﹣4方程有二解当﹣4＜k＜0方程有三解【点评】本题考查了绝对值函数的图象的画法和方程的解的个数问题，属于基础题．20．（10分）（2016春•南充期末）对于函数f（x）=a﹣（a∈R）．（1）探索并证明函数f（x）的单调性；（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？若有，求出实数a的值，并证明你的结论；若没有，说明理由．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可；（2）先由f（0）=0求得a=1，再证明f（﹣x）=﹣f（x），恒成立．【解答】解：∵f（x）=a﹣（a∈R）．∴f′（x）=＞0恒成立，∴函数f（x）在R上为增函数（2）由f（0）=a﹣=0，得a=1，∴f（x）=1﹣=，∵f（﹣x）===﹣=﹣f（x）所以当a=1时，f（x）为奇函数．【点评】本题主要考查了导数与函数的单调性的关系以及函数的奇偶性，属于基础题．21．（15分）（2008秋•新余期末）已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f （x）+f（y）．（1）求证：f（x）+f（﹣x）=0；（2）若f（﹣3）=a，试用a表示f（24）；时，f（x）＜0，且，试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最大值（3）如果x∈R+和最小值．【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）令x=y=0得f（0），再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x）变形．（2）由（1）知得f（3）=﹣a，再由f（24）=f（3+3++3）=8f（3）求解．（3）要求最大值，必须先证单调性，又能是抽象函数，则单调性定义进行证明．设x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]=f（x1）+f（x2﹣x1）在R上是减函数，得到结论．【解答】解：（1）令x=y=0得f（0）=0，再令y=﹣x得f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣x）+f（x）=0．（2）由f（﹣3）=af（3）=﹣a，∴f（24）=f（3+3++3）=8f（3）=﹣8a．（3）设x1＜x2，则f（x2）=f[x1+（x2﹣x1）]=f（x1）+f（x2﹣x1）又∵x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＜0，∴f（x1）+f（x2﹣x1）＜f（x1），∴f（x2）＜f（x1）∴f（x）在R上是减函数，∴f（x）max=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=1，．【点评】本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性．22．（15分）（2013秋•龙岩期末）已知二次函数g（x）=mx2﹣2mx+n+1（m＞0）在区间[0，3]上有最大值4，最小值0．（Ⅰ）求函数g（x）的解析式；（Ⅱ）设f（x）=．若f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，求k的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）由题意得方程组解出即可，（Ⅱ）将f（x）进行变形，通过换元求出函数h（t）的最值，从而求出k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵g（x）=m（x﹣1）2﹣m+1+n∴函数g（x）的图象的对称轴方程为x=1∵m＞0依题意得，即，解得∴g（x）=x2﹣2x+1，（Ⅱ）∵∴，∵f（2x）﹣k•2x≤0在x∈[﹣3，3]时恒成立，即在x∈[﹣3，3]时恒成立∴在x∈[﹣3，3]时恒成立只需令，由x∈[﹣3，3]得设h（t）=t2﹣4t+1∵h（t）=t2﹣4t+1=（t﹣2）2﹣3∴函数h（x）的图象的对称轴方程为t=2当t=8时，取得最大值33．∴k≥h（t）max=h（8）=33∴k的取值范围为[33，+∞）．【点评】本题考察了二次函数的性质，函数恒成立问题，求最值问题，换元思想，是一道综合题．。
黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一数学上学期第一次阶段性检测试卷
黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一数学上学期第一次阶段性检测试卷一、选择题〔本大题共12小题，每一小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1设集合{}2->=x x S ，{}14≤≤-=x x T ，如此()=T S C R 〔 〕A (]1,2-B (]4,-∞-C (]1,∞-D [)+∞,15函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,12)(2x ax x x x f x ，假设a f f 4))0((=，如此实数=a 〔 〕 A 21 B 54 C 2 D 9 6假设函数)(x f 为偶函数，且在()+∞,0上是减函数，又0)3(=f ,如此02)()(<-+x x f x f 的解集为〔〕A )3,3(-B ()()+∞-∞-,33,C ()()+∞-,30,3D ()()3,03, -∞-7设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，如此{}=>-0)2(x f x 〔 〕 A {}42>-<x x x 或 B {}40><x x x 或 C {}60><x x x 或 D {}22>-<x x x 或8假设定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，如此=)(x g 〔 〕A x x e e --B )(21x x e e -+C )(21x x e e --D )(21x x e e -- 97.08.0=a ，9.08.0=b ，8.02.1=c ，如此c b a ,,的大小关系是〔 〕A b a c >>B a b c >>C c b a >>D c a b >>10函数32)(2+-=x x x f 在区间[]a ,0上的最大值为3，最小值为2，如此实数a 的取值范围为〔 〕A (]2,∞-B []2,0C [)+∞,1D []2,111假设⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x a x a x f x 是R 上的单调递增函数，如此实数a 的取值范围为〔 〕A ()+∞,1B [)8,4C ()8,4D ()8,112函数353)(3+--=x x x f ，假设6)2()(>-+a f a f ，如此实数a 的取值范围为〔 〕A ()1,∞-B ()3,∞-C ()+∞,1D ()+∞,3二：填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分，把答案填在题中横线上〕三、解答题〔解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤〕17〔本小题总分为10分〕全集{}4≤=x x U ，集合{}32<<-=x x A ，{}23≤≤-=x x B 求B A ，B A C U )(，)(B C A U18〔本小题总分为12分〕集合{}0)13)(2(<---=a x x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=051x x x B 假设A B A = ，求实数a 的取值范围19〔本小题总分为12分〕二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式x x f 2)(->的解集为)3,1(〔1〕假设方程06)(=+a x f 有两个相等的实根，求)(x f 的解析式〔2〕假设)(x f 的最大值为正数，求实数a 的取值范围f20〔本小题总分为12分〕集合{}0)1()1(222>++++-=a a y a a y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B 〔1〕假设φ=B A ，求实数a 的取值范围〔2〕当a 取使不等式ax x ≥+12对任意x 恒成立的最小值时，求B A C R )(。
黑龙江省大庆市铁人中学高一数学上学期第一次阶段性检测试卷
黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一数学上学期第一次阶段性检测试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合{}2->=x x S ，{}14≤≤-=x x T ，则()=T S C R （ ）A (]1,2-B (]4,-∞-C (]1,∞-D [)+∞,1 5已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<+=1,1,12)(2x ax x x x f x ，若a f f 4))0((=，则实数=a （ ） A 21 B 54 C 2 D 9 6若函数)(x f 为偶函数，且在()+∞,0上是减函数，又0)3(=f ,则02)()(<-+x x f x f 的解集为（）A )3,3(-B ()()+∞-∞-,33,C ()()+∞-,30,3D ()()3,03, -∞-7设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则{}=>-0)2(x f x （ ） A {}42>-<x x x 或 B {}40><x x x 或 C {}60><x x x 或 D {}22>-<x x x 或 8若定义在R 上的偶函数)(x f 和奇函数)(x g 满足x e x g x f =+)()(，则=)(x g （ ）A x x e e --B )(21x x e e -+C )(21x x e e --D )(21x x e e -- 9已知7.08.0=a ，9.08.0=b ，8.02.1=c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A bac>> B abc>> C cba>> D cab>>10函数32)(2+-=xxxf在区间[]a,0上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为（）A (]2,∞- B []2,0 C [)+∞,1 D []2,111若⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(xxaxaxfx是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A ()+∞,1 B [)8,4 C ()8,4 D ()8,112已知函数353)(3+--=xxxf，若6)2()(>-+afaf，则实数a的取值范围为（）A ()1,∞- B ()3,∞- C ()+∞,1 D ()+∞,3二：填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）已知全集{}4≤=xxU，集合{}32<<-=xxA，{}23≤≤-=xxB求BA ，BACU)(，)(BCAU18（本小题满分12分）已知集合{}0)13)(2(<---=axxxA，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-+=051xxxB若ABA=，求实数a的取值范围19（本小题满分12分）已知二次函数)(xf的二次项系数为a，且不等式xxf2)(->的解集为)3,1(（1）若方程06)(=+axf有两个相等的实根，求)(xf的解析式（2）若)(xf的最大值为正数，求实数a的取值范围f20（本小题满分12分）已知集合{}0)1()1(222>++++-=a a y a a y y A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤+-==30,25212x x x y y B （1）若φ=B A ，求实数a 的取值范围（2）当a 取使不等式ax x ≥+12对任意x 恒成立的最小值时，求B A C R )(。
黑龙江省大庆铁人中学2016-2017学年高一上学期期中考试试题 数学 Word版含答案
大庆铁人中学高一年级上学期期中考试数学试题试卷说明：1、本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2、请将答案填写在答题卡上，考试结束只上交答题卡。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．下列各式：①1{0,1,2}∈；②{0,1,2}∅⊆；③{1}{0,1,2}∈；④{0,1,2}{2,0,1}=，其中错误．．的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列四个函数中，在(0，+∞)上为增函数的是（ ） A ．f(x)=3-xB ．f(x)=x 2-3x C ．f(x)=-11+x D ．f(x)=－|x|3．函数的()3log 82f x x x =-+零点一定位于区间（ ）．A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(5,6)4. sin 300tan 240o o+的值是（ ）A ． 23-B ．23C ．321+-D ．321+5．已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．2316 D ．－23166．函数)(x f y =在[0，2]上单调递增，且函数)2(+x f 是偶函数，则下列结论成立的是（ ） A ．f （1）＜f （）＜f （） B ．f （）＜f （1）＜f （）C ．f （）＜f （）＜f （1）D ．f （）＜f （1）＜f （）7．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈［0，2π),则θ值为( ) A .B.C.D.8．函数的大致图像是( )A B C D9．某商品零售价今年比去年上涨25%，欲控制明年比去年只上涨10%，则明年比今年降价（ ）A ．10%B ．12%C ．15%D ．50% 10．已知函数)4(log )(ax x f a -=在)2,2(-上是减函数，则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．[2,)+∞ 11． 若函数()21()log 3xf x x =-，实数0x 是函数()f x 的零点，且100x x <<，则()1f x 的值（ ）A ．恒为正值B ．等于0C ．恒为负值D ．不大于012．已知集合12{|4210},{|1}1x x xA x aB x x +=⋅--==≤+，若A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围为（ ）A 、5(,8]4B 、5[,8)4C 、 5[,8]4 D 、5(,8)4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
黑龙江省大庆市铁人中学高一数学上学期10月段考试卷(
黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一上学期10月段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）2．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|4．函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于直线y=x对称5．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．96．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）7．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}8．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则g（x）=（）A．e x﹣e﹣x B．（e x+e﹣x）C．（e﹣x﹣e x）D．（e x﹣e﹣x）9．已知a=0.70.7，b=0.70.9，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c10．函数f（x）=x2﹣2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[1，2]11．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）12．已知函数f（x）=﹣3x3﹣5x+3，若f（a）+f（a﹣2）＞6，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（1，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣3）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间为．14．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数k的单调递减区间为．15．关于x的方程有负根，则a的取值范围是．16．已知f（x）=x3+x函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤2}，求A∩B，（∁U A）∪B，A∩（∁U B）．18．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}，B=若A∩B=A，求实数a的取值范围．19．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．20．若集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，求（C R A）∩B．21．已知函数f（x）=是奇函数，（1）求实数a的值（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义加以证明．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（﹣1）=0，对于任意的实数x都有f（x）﹣x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤．（1）求f（1）的值；（2）求证：a＞0，c＞0；（3）当x∈（﹣1，1）时，函数g（x）=f（x）﹣mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．黑龙江省大庆市铁人中学2014-2015学年高一上学期10月段考数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则（∁R S）∪T=（）A．（﹣2，1] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，1] D．[1，+∞）考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：先求出S的补集，再与T求补集．解答：解：因为集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则∁R S={x|x≤﹣2}，所以（∁R S）∪T={x|x≤1}；故选C．点评：本题考查了集合的补集、补集的运算，属于基础题．2．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．解答：解：要使函数有意义，需，解得，故选B．点评：本题考查求函数的定义域时，当函数解析式有开偶次方根的部分，需使被开方数大于等于0．注意：定义域的形式是集合或区间．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：逐一考查各个选项中函数的奇偶性、以及在区间（0，+∞）上的单调性，从而得出结论．解答：解：对于A．由于y=定义域[﹣1，+∞）不关于原点对称，不是偶函数，故排除A；对于B．函数是指数函数，不是偶函数，故B不满足条件；对于C．定义域为R，f（﹣x）=﹣（﹣x）2+1=f（x），满足f（﹣x）=f（x），是偶函数，由二次函数的性质可得（0，+∞）上递减，故C正确；对于D．f（x）=lg|x|是偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调递增，故排除D．故选C．点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．4．函数f（x）=的图象（）A．关于原点对称B．关于y轴对称C．关于x轴对称D．关于直线y=x对称考点：奇偶函数图象的对称性；函数的图象与图象变化．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：要判断函数的图象的对称性，只要先判断函数的奇偶性即可解答：解：函数的定义域{x|x≠0}∵f（x）=∴f（﹣x）===f（x）则函数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称故选B点评：本题主要考查了偶函数的判断及偶函数的图象的性质的简单应用，属于基础试题5．已知函数f（x）=，若f[f（0）]=4a，则实数a等于（）A．B．C．2 D．9考点：函数的值．专题：计算题．分析：先求出f（0）=2，再令f（2）=4a，解方程4+2a=4a，得a值．解答：解：由题知f（0）=2，f（2）=4+2a，由4+2a=4a，解得a=2．故选C．点评：此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型，主要考查学生对“分段函数在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解．6．若函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，则的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．解答：解：因为y=f（x）为偶函数，所以，所以不等式等价为．因为函数y=f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0，所以解得x＞3或﹣3＜x＜0，即不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）．故选C．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．7．设偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），则{x|f（x﹣2）＞0}=（）A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}考点：偶函数；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．解答：解：由偶函数f（x）满足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，则f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2 解得x＞4，或x＜0．应选：B．点评：本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算．8．若定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，则g（x）=（）A．e x﹣e﹣x B．（e x+e﹣x）C．（e﹣x﹣e x）D．（e x﹣e﹣x）考点：偶函数；函数解析式的求解及常用方法；奇函数．专题：计算题．分析：根据已知中定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）=e x，根据奇函数和偶函数的性质，我们易得到关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，解方程组即可得到g（x）的解析式．解答：解：∵f（x）为定义在R上的偶函数∴f（﹣x）=f（x）又∵g（x）为定义在R上的奇函数g（﹣x）=﹣g（x）由f（x）+g（x）=e x，∴f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）﹣g（x）=e﹣x，∴g（x）=（e x﹣e﹣x）故选：D点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法﹣﹣方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于f（x）、g（x）的另一个方程：f（﹣x）+g（﹣x）=e﹣x，是解答本题的关键．9．已知a=0.70.7，b=0.70.9，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞a＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c考点：指数函数的图像与性质；不等关系与不等式．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用指数函数的单调性及特殊点的函数值即可比较a，b，c的大小关系．解答：解：∵y=0.7x为减函数，∴1=0.70＞0.70.7＞0.70.9＞0，即1＞a＞b＞0；同理1.10.8＞1.10=1，即c＞1，∴c＞a＞b．故选A．点评：本题考查指数函数的单调性及特殊点的函数值，考查不等关系与不等式，属于中档题．10．函数f（x）=x2﹣2x+3在区间[0，a]上的最大值为3，最小值为2，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，2] B．[0，2] C．[1，+∞）D．[1，2]考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，由二次函数的性质求实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，又∵f（1）=2，f（0）=f（2）=3，则a∈[1，2]．故选D．点评：本题考查了二次函数的性质，属于基础题．11．f（x）=是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．（1，+∞）B．[4，8）C．（4，8）D．（1，8）考点：函数单调性的判断与证明．专题：计算题；压轴题．分析：先根据当x≤1时，f（x）是一次函数且为增函数，可得一次项系数为正数，再根据当x＞1时，f（x）=a x为增函数，可得底数大于1，最后当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值．综合，可得实数a的取值范围．解答：解：∵当x≤1时，f（x）=（4﹣）x+2为增函数∴4﹣＞0⇒a＜8又∵当x＞1时，f（x）=a x为增函数∴a＞1同时，当x=1时，函数对应于一次函数的取值要小于指数函数的取值∴（4﹣）×1+2≤a1=a⇒a≥4综上所述，4≤a＜8故选B点评：本题以分段函数为例，考查了函数的单调性、基本初等函数等概念，属于基础题．解题时，应该注意在间断点处函数值的大小比较．12．已知函数f（x）=﹣3x3﹣5x+3，若f（a）+f（a﹣2）＞6，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，3）C．（1，+∞）D．（3，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由函数的解析式，算出f（﹣x）+f（x）=6对任意的x均成立．因此原不等式等价于f（a﹣2）＞f（﹣a），再利用导数证出f（x）是R上的单调减函数，可得原不等式即a ﹣2＜﹣a，由此即可解出实数a的取值范围．解答：解：∵f（x）=﹣3x3﹣5x+3，∴f（﹣x）=3x35x+3，可得f（﹣x）+f（x）=6对任意的x均成立因此不等式f（a）+f（a﹣2）＞6，即f（a﹣2）＞6﹣f（a），等价于f（a﹣2）＞f（﹣a）∵f'（x）=﹣9x2﹣5＜0恒成立∴f（x）是R上的单调减函数，所以由f（a﹣2）＞f（﹣a）得到a﹣2＜﹣a，即a＜1故选：A点评：本题给出多项式函数，求解关于a的不等式，着重考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性和不等式的解法等知识，属于基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣3）x+3是偶函数，则f（x）的递减区间为（﹣∞，0）．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用偶函数的定义f（﹣x）=f（x），解出 k的值，化简f（x）的解析式，通过解析式求出f（x）的递减区间．解答：解：∵函数f（x）=（k﹣2）x2+（k﹣3）x+3是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即（k﹣2）x2 ﹣（k﹣3）x+3=（k﹣2）x2+（k﹣3）x+3，∴k=3，∴f（x）=x2 +3，f（x）的递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．点评：本题考查偶函数的定义及二次函数的单调性、单调区间的求法．14．已知函数f（x）=的定义域为R，则实数k的单调递减区间为[0，1]．考点：函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意得不等式组，解出即可．解答：解：由题意得：，解得：0≤k≤1，故答案为：[0，1]．点评：本题考查了函数的单调性问题，考查二次函数的性质，二次根式的性质，是一道基础题．15．关于x的方程有负根，则a的取值范围是﹣3＜a＜1．考点：根的存在性及根的个数判断；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．专题：计算题；转化思想．分析：把方程有负根转化为0＜5x＜1，再利用解得a的取值范围．解答：解：因为关于x的方程有负根，即x＜0，∴0＜5x＜1即⇒﹣3＜a＜1故答案为：﹣3＜a＜1．点评：本题在解题中用了数学上的转化思想．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．16．已知f（x）=x3+x函数，则不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（﹣1，3）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：可以判断函数为奇函数，利用导数判断函数为增函数，不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0⇔2x+1＞x2﹣2解得即可．解答：解：∵f（x）=x3+x，∴f（﹣x）=﹣x3﹣x=﹣f（x），∴f（x）=x3+x是奇函数，又∵f′（x）=x2+1＞0，∴f（x）=x3+x在R上是增函数，∴f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0⇔f（2x+1）＞﹣f（2﹣x2）⇔f（2x+1）＞f（x2﹣2）⇔2x+1＞x2﹣2⇔x2﹣2x﹣3＜0⇔（x﹣3）（x+1）＜0⇔﹣1＜x＜3∴不等式f（2﹣x2）+f（2x+1）＞0的解集是（﹣1，3）．故答案为（﹣1，3）．点评：本题主要考查函数的单调性奇偶性的判断及应用，属于基础题．三、解答题（共6小题，满分70分）17．已知全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤2}，求A∩B，（∁U A）∪B，A∩（∁U B）．考点：交、并、补集的混合运算．专题：不等式的解法及应用．分析：全集U={x|x≤4}，集合A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤2}，求出C U A，C U B，由此能求出A∩B，（∁U A）∪B，A∩（∁U B）．画数轴是最直观的方法．解答：解：如图所示，∵A={x|﹣2＜x＜3}，B={x|﹣3≤x≤2}，∴∁U A={x|x≤﹣2，或3≤x≤4}，∁U B={x|x＜﹣3，或2＜x≤4}．故A∩B={x|﹣2＜x≤2}，（∁U A）∪B={x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩（∁U B）={x|2＜x＜3}．点评：本题属于以不等式为依托，求集合的交集补集的基础题，也是2015届高考常会考的题型．18．已知集合A={x|（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0}， B=若A∩B=A，求实数a的取值范围．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，根据A与B的交集为A，得到A为B的子集，分类讨论a的范围确定出A中不等式的解集，即可确定出满足题意a的范围．解答：解：由B中不等式解得：﹣1≤x＜5，即B=[﹣1，5），∵A∩B=A，∴A⊆B，由A中的不等式（x﹣2）（x﹣3a﹣1）＜0，当a＜，即3a+1＜2时，解得：3a+1＜x＜2，此时有，即﹣≤a＜；当a=时，A=∅，满足题意；当a＞，即3a+1＞2时，解得：2＜x＜3a+1，此时有，即＜a≤，综上，a的取值范围为[﹣，]．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．19．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为（1，3）．（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）的最大值为正数，求a的取值范围．考点：函数与方程的综合运用；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）f（x）为二次函数且二次项系数为a，把不等式f（x）＞﹣2x变形为f（x）+2x＞0因为它的解集为（1，3），则可设f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3）且a＜0，解出f（x）；又因为方程f（x）+6a=0有两个相等的根，利用根的判别式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因为f（x）为开口向下的抛物线，利用公式当x=时，最大值为=．和a＜0联立组成不等式组，求出解集即可．解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集为（1，3）．f（x）+2x=a（x﹣1）（x﹣3），且a ＜0．因而f（x）=a（x﹣1）（x﹣3）﹣2x=ax2﹣（2+4a）x+3a．①由方程f（x）+6a=0得ax2﹣（2+4a）x+9a=0．②因为方程②有两个相等的根，所以△=[﹣（2+4a）]2﹣4a•9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0．解得a=1或a=﹣．由于a＜0，a=﹣，舍去，故a=﹣．将a=﹣代入①得f（x）的解析式．（Ⅱ）由及a＜0，可得f（x）的最大值为．就由解得a＜﹣2﹣或﹣2+＜a＜0．故当f（x）的最大值为正数时，实数a的取值范围是．点评：考查学生函数与方程的综合运用能力．20．若集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，求（C R A）∩B．考点：函数的值域；交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：（1）解一元二次不等式求出集合A和集合B，由A∩B=∅，可得集合的端点满足a≤2 且 a2+1≥4，由此求得实数a的取值范围．（2）由条件判断a=﹣2，求出C R A，即可求得（C R A）∩B．解答：解：（1）∵集合A={y|y2﹣（a2+a+1）y+a（a2+1）＞0}={y|（y﹣a）（y﹣a2﹣1）＞0}={y|y＜a，或y＞a2+1}，B={y|y=x2﹣x+，0≤x≤3}={y|y=（x﹣1）2+2，0≤x≤3}={y|2≤y≤4}．由A∩B=∅，∴a≤2 且 a2+1≥4，解得≤a≤2，或a≤﹣，故实数a的取值范围为[，2]∪（﹣∞，﹣]．（2）使不等式x2+1≥ax恒成立时，由判别式△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的最小值时，a=﹣2．由（1）可得C R A={y|a≤y≤a2+1 }={y|﹣2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．（C R A）∩B=B=[2，4]．点评：本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题．21．已知函数f（x）=是奇函数，（1）求实数a的值（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并用定义加以证明．考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）由f（0）=0，解出即可；（2）根据题目要求，利用定义证明即可．解答：（1）解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，∴a=﹣1；（2）：由（1）得：f（x）==﹣1+，证明：∀x1，x2∈R，令x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=，∵x1＜x2，∴＜，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．点评：本题考查了函数的单调性的证明问题，利用定义证明是基本的方法之一，本题是一道基础题．22．设二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（﹣1）=0，对于任意的实数x都有f（x）﹣x≥0，并且当x∈（0，2）时，f（x）≤．（1）求f（1）的值；（2）求证：a＞0，c＞0；（3）当x∈（﹣1，1）时，函数g（x）=f（x）﹣mx，m∈R是单调的，求m的取值范围．考点：二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题．分析：（1）由f（x）≤可得 f（1）≤1，由f（x）﹣x≥0可得 f（1）≥1，故有（1）=1．（2）f（x）﹣x≥0恒成立，可得a＞0，且f（0）﹣0≥0 恒成立，从而得到c≥0．（3）由题意得，g（x）的对称轴在区间（﹣1，1）的左边或右边，即≤﹣1，或≥1，解出m的取值范围．解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（﹣1）=0，∴a+c=b，函数f（x）=ax2+（a+c）x+c．∵当x∈（0，2）时，f（x）≤，∴f（1）≤1．又对于任意的实数x都有f（x）﹣x≥0，∴f（1）﹣1≥0，f（1）≥1，故 f（1）=1．（2）由题意得，f（x）﹣x=ax2+（a+c﹣1）x+c≥0恒成立，∴a＞0，且f（0）﹣0≥0 恒成立，∴c≥0．综上，a＞0，c≥0．（3）∵g（x）=f（x）﹣mx=ax2+（a+c﹣m）x+c，当x∈（﹣1，1）时，g（x）是单调的，∴≤﹣1，或≥1，∴m≤c﹣a，或m≥3a+c，故m的取值范围为（﹣∞，c﹣a]∪[3a+c，+∞）．点评：本题考查二次函数的性质，解分式不等式，正确使用题中条件是解题的关键．。
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2015－2016学年度上学期高一期中考试数学试题 2015.11考试时间：120分钟 总分：150分一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共计60分）1．设全集*{6}U x x x N =<∈且，集合{1,3}A =,{3,5}B =,则()U C A B ⋃=( ).A {1,4} .B {1,5} .C {2,4} .D {2,5}2．设集合M =｛Z k k x x ∈+=,459000｝N =｛Z k k x x ∈±=,4518000｝,则M 、N 的关系是( ).A M N = .B M N ≠ .C M N .D N M3．函数()xx y --=21ln 的定义域为 （ ）.A ()2,∞- .B ()2,1- .C ()2,1 .D ()+∞,24．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） .A (0,1) .B (1,2) .C (2,)e .D (3,4)5．下列函数中，既是偶函数又在),0(+∞上单调递增的函数是（ ）.A 3x y = .B ||2x y -= .C 12+-=x y .D 1||+=x y6．函数()x f y =的图象如图所示.观察图象可知函 数()x f y =的定义域、值域分别是（ ）.A [][)6,20,5⋃-,[]5,0； .B [)[)+∞-,0,6,5 .C [][)6,20,5⋃-,[)+∞,0；.D [)[]5,2,,5+∞-7．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥⎪⎭⎫⎝⎛=)4(),3()4(,21)(x x f x x f x则=)3(log 2f （ ） .A 823- .B 111 .C 481 .D 2418. 设3log 21=a ，2.0)31(=b ，312=c ，则（ ）.A c b a << .B a b c << .C b a c << .D ca b <<9．已知⎪⎩⎪⎨⎧≤+->=1,2)24(1,)(x x ax a x f x对任意21x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-成立，那么a 的取值范围是（ ）.A ),1(+∞ .B )8,4[ .C )8,4(.D )8,1(10．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x 在[)0,+∞上为增函数且1()03f =，则不等式18(log )0f x >的解集为（ ）.A 102（，） .B (2,)+∞ .C 1(,1)(2,)2⋃+∞ .D 1(0)(2,)2⋃+∞，11．已知函数()log a f x x =(0,1)a a >≠，若1232015()50f x x x x ⋅⋅⋅= ，则21()f x +22()f x +…22015()f x +的值等于（ ）.A 10 .B 100 .C 1000 .D 201512． 若方程0)21()41(1=++-a x x 有正实数解，则实数a 的取值范围是（ ）.A )0,3(- .B )2,3(-- .C )2,(--∞ .D )1,(-∞二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
）13. 若函数(1)f x +的定义域是[2,4]-，则函数(21)f x -的定义域是 ．14. 函数()20523421≤≤+⨯-=-x y x x 的值域是_________________.15.已知函数)(log )(22a ax x x f --=在区间)21,(--∞上是减函数，则a 的取值范围是 ． 16.给出下列四个命题：○1函数1)12(log )(--=x x f a 的图象过定点（1,0）； ○2已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≤x 时，)1()(+=x x x f ， 则)(x f 的解析式为x x x f -=2)(；○3若121log <a ，则a 的取值范围是),2(21,0+∞⋃）（； ○4若)ln(ln 22y x y x -->-- (0>x ,0<y ),则0<+y x . 其中所有正确命题的序号是 .三、解答题17(本题满分10分)求值：（1）若0>x ，求)32(2341+x )32(2341-x )(42121x x x ---（2）06.0lg 61lg )2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++18(本题满分12分)已知集合{A x y ==，)}127lg(|{2---==x x y x B ，}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围．19(本题满分12分) 幂函数()+--∈=N m x y m m322的图象关于y 轴对称，且在()+∞,0上是减函数．求满足()()33231m m a a ---<+的实数a 的取值范围.20(本题满分12分)已知函数1221)(+⋅+=xxa x f 是奇函数 （1）求实数a 的值（2）判断函数)(x f 在R 上的单调性,并用定义加以证明21(本题满分12分)已知函数12)(2+++=a ax x x f（1）当a ＝1时，求函数在区间[-2,3]上的值域；（2）函数()f x 在]5,5[-上单调，求实数a 的取值范围； （3）求函数()f x 在]2,0[上的最小值()g a 的解析式。
22(本题满分12分) 已知函数11ln)(-+=x x x f . (1)求函数)(x f 的定义域,并判断函数)(x f 的奇偶性． (2)对于[]6,2∈x ,11ln )(-+=x x x f >)7)(1(lnx x m--恒成立,求实数m 的取值范围． 答案一、二、13 []03， ； 14 1[1,]2- ； 15 15[,]22； 16 ○2○4 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (本题满分10分) （1）原式=11322(43)44x x --+=23-（2）原式=2lg5(3lg23lg10)3lg 2lg6lg62++-+- =23lg 2lg53lg 23lg52⋅++-=118 (本题满分12分)解（1） (,2][7,)A =-∞-⋃+∞ (4,3)B =-- (4,3)A B ∴⋂=--(2),A C A C A ⋃=∴⊆ ○1,211,C m m =Φ-<+2m ∴< ○2,C ≠Φ则2212m m ≥⎧⎨-≤-⎩或217m m ≥⎧⎨+≥⎩6m ∴≥综上，(,2)[6,)m ∈-∞-⋃+∞ 19 (本题满分12分) (1)因为函数()+--∈=N m x y m m322在(0，＋∞)上是减函数，所以2230m m --<，所以13,m m N +-<<∈.所以m ＝1或2.又函数图象关于y 轴对称，所以223m m --是偶数，所以m ＝1. (2)不等式()()33231m ma a ---<+即为()()1133132a a --+<-.结合函数13y x-=的图象和性质知：a ＋1>3－2a >0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a .解得1a <-或2332a <<， 即实数a 的取值范围是23{1}32a a a <-<<或. 20(本题满分12分)解：因为函数()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =，1a ∴=- 定义法证明单调性（略）函数()f x 是R 上的减函数。
21 (本题满分12分)解：○1因为函数12)(2+++=a ax x x f ，当a ＝1时2()22,[2,3]f x x x x =++∈- 考虑函数()f x 的对称轴1[2,3]x =-∈-min ()(1)1f x f ∴=-=max ()(3)17f x f ∴==○2 函数()f x 在]5,5[-上单调，∴函数的对称轴[5,5]x a =-∉-∴(,5][5,)a ∈-∞-⋃+∞ ○3（1）当0a -<时，即0a >函数12)(2+++=a ax x x f 在区间[0，2]上是增函数， 故当x=0时，函数取得最小值是(0)1f a =+ （2）当02a ≤-≤时，即20a -≤≤由于函数12)(2+++=a ax x x f 对称轴是x =-a ，故当x =-a 时，函数在区间[0，2]上取得最小值是2()1f a a a -=++．（3）当2a ->时，即2a <-函数12)(2+++=a ax x x f 在区间[0，2]上是减函数， 故当x=2时，函数取得最小值是(2)55f a =+．综上可得 21,0()1,2055,2a a g a a a a a a +>⎧⎪=++-≤≤⎨⎪+<-⎩22 (本题满分12分) 解：（1） 11ln)(-+=x x x f ，∴101x x +>-解不等式可得其定义域(,1)(1,)x ∈-∞-⋃+∞111()lnln ln ()x x x f x f x -+-+-===-=-故此函数是奇函数（2。