对数函数4
对数函数图像及性质的应用(4)
∵Q(－x，－y)在 f(x)的图象上， 点 P 关于原点的对称点， ∴－y＝loga(－x＋1)， 即 y＝g(x)＝－loga(1－x)． x＋1 (2)f(x)＋g(x)≥m，即 loga ≥m. 1－x 1＋x 2 设 F(x)＝loga ＝loga(－1＋ )，x∈[0,1)， 1－x 1－x 由题意知，只要 F(x)min≥m 即可． ∵F(x)在[0,1)上是增函数， ∴F(x)min＝F(0)＝0.故 m≤0 即为所求．
和 log 1 x 的图象．
2
由图象可知 a<b<c.
ห้องสมุดไป่ตู้
答案：a<b<c
(6)已知 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞， 0]上是增函数，设 a＝f(log47)，b＝f( a，b，c 的大小关系是( A．c<a<b C．b<c<a ) B．c<b<a D．a<b<c 3)，c＝f(0.2－0.6)，则
解：(1)由函数 f(x)是偶函数，可知 f(x)＝f(－x)， ∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4 x＋1)－2kx，
－
4x＋1 即 log4 －x ＝－4kx. 4 ＋1 ∴log4 4x＝－4kx，
即 x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0， 1 对一切 x∈R 恒成立．∴k＝－ . 4 1 x (2)由 m＝f(x)＝log4(4 ＋1)－ x 2
即 c<b<a，故选 B. 答案：B
（7）(2013 年南昌模拟)函数 y＝f(x)的图象如图 所示，则函数 y＝log1f(x)的图象大致是(
2
)
x （8） ．函数 y＝|x|log2|x|的大致图象是 (
4.4.1 对数函数的概念
1．若函数 f(x)＝xlg2＋x，1，x>x1≤，1， 则 f(f(10))＝( B )
A．lg 101 B．2 C．1
D．0 f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝ 2.
2．已知函数 f(x)＝log2(x2＋a)，若 f(3)＝－1，则 a＝ －127 . 解析：f(3)＝log2(9＋a)＝－1，所以 9＋a＝12，所以 a＝－127.
解析：设 f(x)＝logax，则 loga9＝2，解得 a＝3， 所以 f(x)＝log3x，所以 f31＝log331＝－1.
确定对数函数解析式的步骤 (1)设：用待定系数法先设出对数函数的解析式 y＝logax(a>0，且 a≠1)； (2)列：通过已知条件建立关于参数 a 的方程； (3)求：求出 a 的值，代入解析式即可．
D．(0，＋∞)
解析：由二次根式及分式有意义的条件，结合对数函数定义域可得
x－2>0， x>0，
解不等式组可得 x>2，即 x∈(2，＋∞)．
(x∈[0，＋∞))．
二、提出问题 1．上述函数式是指数函数吗？ 2．根据指数式与对数式的互化，你能化成对数式吗？ 3．化成对数式后式子有什么特点？ 4．x 是 y 的函数吗？
1．理解对数函数的概念，会求对数函数的定义域．
2．了解对数函数与指数函数之间的联系，提升学生观察问题、分析 问题和归纳问题的能力以及数学交流能力.
2．若 f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则 a＝ 5 .
a2－4a－5＝0，
解析：由对数函数的定义可知，a＞0， a≠1，
解得 a＝5.
题型 2◆对数函数的解析式及应用 典例 1 已知函数 y＝ax－2＋1(a>0 且 a≠1)的图象过定点 A，函数 y ＝logmx(m>0，且 m≠1)也经过点 A，则 m 的值为 2 .
对数函数
解析：∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)即lg(
ax a 2 1 x ∴lg( )＝lg( )， 1 x 2 a ax ∴ ax a 2 1 x 1 x 2 a ax
∴4＋4a＋a2－a2x2＝1－x2，
2 4 4a a 1 ∴ 2 ，解得a＝－1. a 1
1.对数的概念
(1)对数的定义.
如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对 数，记作 x＝logaN ，其中 a 叫做对数的底数， N 叫 做真数.
(2)几种常见对数.
对数形式 一般对数 常用对数 自然对数 特点 底数为a(a＞0且a≠1) 底数为 10 底数为 e 记法 logax lgx lnx
(2)函数f(x)的值域为R等价于u＝x2－2ax＋3能取遍(0，＋∞)
上的一切值，所以只要umin＝3－a2≤0⇒a≤－ 实数a的取值范围是(－∞－ ]∪[ ，＋∞).
保持例2中的函数不变， (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实 数a的值；
(2)若函数f(x)的定义域为R值域为(－∞，－1]，求实数
①loga(1＋a)＜loga(1＋
②loga(1＋a)＞loga(1＋ ③a1＋a＜ ④a1＋a＞ A.①与③ C.②与③ ；
)；
)；
，其中成立的是 B.①与④ D.②与④
(
)
(2)已知函数f(x)＝loga(3－ax). ①当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围； ②是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减
2(lg
)2＋lg
· lg5＋
；
(2)已知loga2＝m，loga3＝n，求a2m＋n的值；
对数函数的运算公式.
对数函数的运算公式.对数函数的运算公式有以下几种：1.乘法公式：loga(xy) = loga(x) + loga(y)2.除法公式：loga(x/y) = loga(x) - loga(y)3.指数公式：loga(x^n) = n*loga(x)4.同底数对数之积：loga(x) * logb(x) = logc(x) (c是常数)5.同底数对数之商：loga(x) / logb(x) = logc(x) (c是常数)注意：上述公式中的log是以a为底的对数。
对数函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，对数函数的运算公式是我们理解和使用对数函数的基础。
乘法公式：loga(xy) = loga(x) + loga(y) 乘法公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的乘积，我们可以把它们的对数相加。
这个公式在处理复杂的数学公式时特别有用，能够简化计算过程。
除法公式：loga(x/y) = loga(x) - loga(y) 除法公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的商，我们可以把除数的对数从被除数的对数中减去。
这个公式在处理分数时特别有用。
指数公式：loga(x^n) = n*loga(x) 指数公式告诉我们，如果我们要计算一个数的对数的n次方，我们可以把n乘上这个数的对数。
这个公式在处理指数函数时特别有用，能够简化计算过程。
同底数对数之积：loga(x) * logb(x) = logc(x) (c是常数) 同底数对数之积公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的乘积，我们可以将它们同时乘上一个常数c，c=loga(b)。
这个公式在转换不同底数的对数的时候特别有用。
同底数对数之商：loga(x) / logb(x) = logc(x) (c是常数) 同底数对数之商公式告诉我们，如果我们要计算两个数的对数的商，我们可以将它们同时除上一个常数c, c=loga(b)。
这个公式在转换不同底数的对数的时候特别有用。
高中数学第三章指数函数与对数函数第4节4.2换底公式课件北师大版必修1
用已知对数表示其他对数
已知 log189＝a,18b＝5，用 a，b 表示 log3645. 【导学号：04100057】 【精彩点拨】 运用换底公式，统一化为以 18 为底的对数． 【尝试解答】 法一：因为 log189＝a，所以 9＝18a， 又 5＝18b， 所以 log3645＝log2×18(5×9) ＝log2×1818a＋b ＝(a＋b)·log2×1818.
又因为 log2×1818＝log18118×2 ＝1＋l1og182＝1＋lo1g18198 ＝1＋1－1log189＝2－1 a， 所以原式＝a2＋ －ba.
法二：∵18b＝5， ∴log185＝b， ∴log3645＝lloogg11884356＝lloogg118854××99 ＝2lloogg118852＋＋lloogg118899＝2log18a19＋8＋blog189 ＝2－2loga1＋89b＋log189＝a2＋－ba.
某城市现有人口数为 100 万，如果年自然增长率为 1.2%，试解答 下面的问题．
(1)写出该城市 x 年后的人口总数 y(万人)与年数 x(年)的函数关系式； (2) 计 算 大 约 多 少 年 以 后 ， 该 城 市 人 口 将 达 到 120 万 ？ ( 精 确 到 1 年)(lg1.012≈0.005 2，lg1.2≈0.079 2) 【精彩点拨】 先利用指数函数知识列出 y 与 x 的函数关系式，再利用对数 求值．
【提示】 依题意得 y＝a1－110x＝a190x，其中 x≥1，x∈N.
探究 2 探究 1 中的已知条件不变，求通过多少块玻璃以后，光线强度减弱 到原来强度的12以下？(根据需要取用数据 lg 3＝0.477 1，lg 2＝0.301 0)
【提示】 依题意得 a190x≤a×12⇒190x≤12 ⇒x(2lg 3－1)≤－lg2⇒x≥1－02.×3001.4077 1≈6.572， ∴xmin＝7. 即：通过 7 块以上(包括 7 块)的玻璃板后，光线强度减弱到原来强度的12以 下．
对数函数及其性质
对数函数及其性质对数函数是数学中的一种特殊函数，广泛应用于科学和工程领域。
它的性质包括增减性、定义域、值域等。
本文将详细介绍对数函数及其性质，帮助读者深入理解并运用该函数。
一、对数函数的定义对数函数是指以某个固定的正数（底数）为底，将任意的正数（真数）映射到另一个数上的函数。
对数函数的常见表示形式为y=logₐx，其中底数a>0且a≠1，真数x>0。
二、对数函数的性质1. 增减性对数函数的增减性与底数a的大小有关。
当底数a>1时，对数函数随着真数的增加而增加；当底数0<a<1时，对数函数随着真数的增加而减小。
2. 定义域和值域对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
值域为实数集，即y∈R。
3. 特殊值当真数x=1时，对数函数的值为0，即logₐ1=0。
当底数a=1时，对数函数无定义。
4. 对数函数的基本关系（1）对数函数和指数函数的互逆关系：对于任意的正实数x和底数a>0且a≠1，有aⁿ=x⇔logₐx=n。
（2）对数函数的乘积法则：logₐ(xy)=logₐx+logₐy，其中x、y>0。
（3）对数函数的商法则：logₐ(x/y)=logₐx-logₐy，其中x、y>0。
（4）对数函数的幂法则：logₐ(xⁿ)=nlogₐx，其中x>0，n为任意实数。
5. 对数函数的图像当底数a>1时，对数函数的图像呈现典型的递增曲线；当底数0<a<1时，对数函数的图像呈现典型的递减曲线。
对数函数在x轴的正半轴上的图像称为对数曲线。
三、对数函数的应用1. 数据压缩与展示对数函数可以用于对数据进行压缩和展示。
当数据的幅度较大时，可以通过对数函数对其进行压缩，从而使得数据更易读取和呈现。
2. 指数增长模型对数函数常用于描述指数增长模型，如人口增长、物种繁殖等。
对数函数能够将指数增长转化为线性关系，便于模型的建立和求解。
3. 信号处理对数函数在信号处理中有广泛的应用，如音频信号处理、图像处理等领域。
高一数学对数函数及其性质4
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是数学中的一种重要的函数类型，广泛应用于各个科学领域。
本文将对对数函数的基本定义、性质以及应用进行总结。
1. 定义与性质对数函数是指数函数的逆运算。
设a是一个正实数且a≠1，b是任意正实数，则“以a为底b的对数”可以表示为logₐb。
其中底数a称为对数的底，b称为真数，logₐb称为对数。
对数函数通常用f(x) = logₐx表示。
对数函数具有以下基本性质：1）logₐ1 = 0：任何数以其本身为底的对数等于1。
2）logₐa = 1：任何数以其本身为底的对数等于1。
3）logₐaˣ = x：对数函数的一个基本性质是，以a为底的对数函数中，a的x次幂等于x。
即logₐaˣ = x。
4）logₐxy = logₐx + logₐy：对数函数中，底为a的对数函数中，两个数相乘的对数等于这两个数的对数之和。
即logₐxy = logₐx + logₐy。
5）logₐxⁿ = nlogₐx：对数函数中，底为a的对数函数中，以x为真数n次幂的对数等于n乘以以底为a，真数为x的对数。
即logₐxⁿ = nlogₐx。
2. 常用对数和自然对数常用对数函数是以10为底的对数函数，通常用log(x)表示，即log(x) = log₁₀x。
常用对数函数的性质和定义与之前的对数函数一致。
自然对数函数是以自然常数e(约等于2.71828)为底的对数函数，通常用ln(x)表示，即ln(x) = logₑx。
自然对数函数的性质与定义也与之前的对数函数相同。
3. 对数函数的应用对数函数在实践中有广泛的应用，下面举几个例子说明：1）指数增长与对数函数：对数函数在描述指数增长和衰减方面非常有用。
当某个变量随着时间的增加以指数形式增长或减少时，可以使用对数函数来描述其增长或减少的速度和幅度。
2）复利计算：对数函数在金融和投资领域中的应用非常重要。
例如，复利计算中，对数函数可以帮助计算利息的增长速度和总额。
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对数函数（4）
【本课重点】
1.会解对数不等式
2、通过函数图象的变换，画出函数图象，便于直观地研究函数的有关性质。
1、画出下列函数图象。
（1）2log(1)yx （2）2log2yx
(3) 1log21xy （4）21log21xy
2.若152loga,则a的取值范围为
3.满足不等式1log3x的x的取值集合为
4.xx1log2log45.045.0,则实数x的取值范围是
5.函数176log221xxy的值域
6.已知y=f(x)的定义域为（1，2 ]，求函数y= f[log2(x+2)] 的定义域
7.设函数xxfalog)(在)0,(上单调递增，则)1(af与)2(f的大小关系（ ）
A、)2()1(faf B、)2()1(faf
C、)2()1(faf D、不确定
8.已知xxf2log)(，当5.20a时，有)5.2()(faf，求a的取值
9、已知函数)2(logaxay在]1,0[上是x的减函数，a的取值范围是
10．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝0,210,8log2xxfxfxx则f(3)的值为( )
A．1 B．2 C．－2 D．－3
11.4求函数5log21log21221xxy在区间[2,4]上的最大值和最小值