专题18 基本不等式(解析版)

专题18 基本不等式一、三个不等式关系：(1)a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 二、.算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 三、.利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 24.(简记：和定积最大)四、对于f (x )＝x ＋ax ，当a ≤0时，f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)为增函数；当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)为增函数；在(－a ，0)，(0，a )为减函数． 注意 在解答题中利用函数f (x )＝x ＋ax 的单调性时，需要利用导数进行证明．五、利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．常用的方法有：拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等．(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.六、对于多元问题的不等式的基本解题思路就是把多元问题转化为单元问题。

例1、（2019年江苏卷）平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____.【答案】4. 【解析】设P(xx x 4,+),(x>0),则点P 到直线x +y =0的距离为 D=4)2(22)2(22)4(≥+=+=++x x xx x x x当且仅当2,2==x xx 等号成立 变式1、(2018苏锡常镇调研（一）） 已知a>0, b>0，且2a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值是________．【答案】 26【解析】、思路分析 利用基本不等式，化和的形式为积的形式．因为ab ＝2a ＋3b≥22a ·3b ，所以ab ≥26，当且仅当2a ＝3b＝6时，取等号． 变式2、(2017南京、盐城、徐州二模） 已知α，β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin αsin β，则tan α的最大值是________．【答案】24【解析】、思路分析 注意研究目标，故先要将cos(α＋β)应用两角和的余弦公式展开，然后利用同角三角函数式将tan α表示为β的函数形式，利用求函数的最值方法可得到结果．由cos(α＋β)＝sin αsin β得cos αcos β－sin αsin β＝sin αsin β，即cos αcos β＝sin α⎝⎛⎭⎫sin β＋1sin β，由α，β均为锐角得cos α≠0，tan β>0，所以tan α＝sin αcos α＝cos βsin β＋1sin β＝sin βcos βsin 2β＋1＝tan β2tan 2β＋1＝12tan β＋1tan β≤122＝24，当且仅当2tan β＝1tan β，即tan β＝22时，等号成立． 例2、（2013徐州、宿迁三检）若0,0a b >>，且11121a b b =+++，则2a b +的最小值为 ．【答案】 【解析】、：由已知等式得b b a ab b a +++=++222122，从而bb b a 212+-=，b b b b b a 22122++-=+bb 212321++=213243221+=+≥，故有最小值12.变式1、(2017苏北四市期末）. 若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，则3x ＋1y －3的最小值为________． 【答案】. 8【解析】、解法1 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x－3(y ＞3)， 所以3x ＋1y －3＝y ＋3＋1y －3＝y －3＋1y －3＋6≥2(y －3)·1y －3＋6＝8，当且仅当y －3＝1y －3，即y ＝4时取等号，此时x ＝37，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解法2 因为实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝⎛⎭⎫0＜x ＜12，所以y ＝3x －3(y ＞3)，y －3＝3x－6＞0， 所以3x ＋1y －3＝3x ＋13x －6＝3x －6＋13x －6＋6≥2⎝⎛⎭⎫3x －6·13x －6＋6＝8，当且仅当3x －6＝13x －6，即x ＝37时取等号，此时y ＝4，所以3x ＋1y －3的最小值为8.解后反思 从消元的角度看，可以利用等式xy ＋3x ＝3消“实数x ”或消“实数y ”，无论用哪种消元方式，消元后的式子结构特征明显，利用基本不等式的条件成熟．变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调） 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ，b ，c ∈R )的解集为{x |3<x <4}，则c 2＋5a ＋b 的最小值为________． 【答案】 4 5思路分析 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a ，b ，c 的关系，再将所求c 2＋5a ＋b 运用消元法，统一成单变量a 的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即⎩⎨⎧－ba ＝7，c a＝12，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－7a ，c ＝12a ，所以c 2＋5a ＋b ＝144a 2＋5a －7a ＝144a 2＋5－6a ＝(－24a)＋⎝⎛⎭⎫5－6a ≥2（－24a ）·⎝⎛⎭⎫5－6a＝45，当且仅当144a 2＝5，即a ＝－512时取等号，所以所求最小值为4 5. 例3、（2018年江苏卷）. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D ，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值. 详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.变式1、(2019苏锡常镇调研）已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则bb a a 421222+++的最小值为 ． 【答案】、..11【解析】、思路分析：由于目标式比较复杂，不能直接求最小值，需要对该式子进行变形，配凑出使用基本不等式的条件，转化为熟悉的问题，然后利用基本不等式求解．1174274))(41()(24212421222=+⨯≥++=++++=+++=+++b aa b b a a b b a b a b a b b a a b b a a 当且仅当b a a b 4=，即⎪⎩⎪⎨⎧==3231b a 时取“=”，所以b b a a 421222+++的最小值为.11变式2、(2018苏州期末）已知正实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝1，1a ＋b ＋1c ＝1，则c 的取值范围是________．【答案】、⎝⎛⎦⎤1，43 【解析】、思路分析 由第二个等式知，要求出c 的取值范围，只要先求出a ＋b 的取值范围，而这可由第一个等式求得．解法1 因为a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ∈[4，＋∞)，所以1a ＋b ∈⎝⎛⎦⎤0，14， 从而1c ＝1－1a ＋b ∈⎣⎡⎭⎫34，1，得c ∈⎝⎛⎦⎤1，43. 解法2 由题两等式得ab ＝a ＋b ，c ＋(a ＋b)＝c(a ＋b)，所以c ＋ab ＝c(ab)，即c ＝ab ab －1＝1＋1ab －1.因为ab ＝a ＋b ≥2ab ，所以ab ≥4，所以c ＝1＋1ab －1∈⎝⎛⎦⎤1，43. 例4、(2017苏州期末） 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．【答案】、94解法1 令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝14⎝⎛⎭⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．【变式1】、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x ，y 满足x >y >0，且x ＋y ≤2，则2x ＋3y ＋1x －y 的最小值为________．【答案】、3＋224【解析】、设⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝m ，x －y ＝n .解得⎩⎨⎧x ＝m ＋3n4，y ＝m －n4.所以x ＋y ＝m ＋n 2≤2，即m ＋n ≤4.设t ＝2x ＋3y ＋1x －y ＝2m＋1n ，所以4t ≥⎝⎛⎭⎫2m ＋1n (m ＋n )＝3＋2n m ＋m n ≥3＋2 2.即t ≥3＋224，当且仅当2n m ＝mn ，即m ＝2n 时取等号． 解后反思 本题所给条件为x ，y 的和的不等式，所求的为与x ，y 相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “x ＋y ≤2”改为“x ＋y ＝2”答案不会变化．1、（2017年江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．【答案】： 30【解析】： 一年的运输次数为600x ，总运费为3 600x万元．一年的总运费与总存储费用之和为3 600x＋4x ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋900x .由基本不等式，当x ＝30时，上式取最小值，此时运输次数为20次，符合次数为整数的常识．2、(2017苏北四市一模）已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．【答案】. 36【解析】因为正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，所以ab －5≥29ab，当且仅当9a ＝b 时等号成立，即ab －5ab －6≥0，解得ab ≥6或ab ≤－1(舍去)，因此ab ≥36，从而(ab )min ＝36. 3、（2019年苏州学情调研）若正实数x y ，满足1x y +=，则4y x y+的最小值是 ▲ ． 【答案】、8【解析】、因为正实数x y ，满足1x y +=，所以4()444y y x y y xx y x y x y ⨯++=+=++4448≥=+=，当且仅当4y x x y =，即2y x =，又1x y +=，即12,33x y ==，等号成立，即4yx y +取得最小值8.4、(2017苏北四市一模） 已知a ，b 为正实数，且a ＋b ＝2，则a 2＋2a ＋b 2b ＋1的最小值为________．【答案】2＋223【解析】、思路分析 令b ＋1＝c ，通过换元，使得“别扭”变“顺眼”，本题就变得比较常规了． 设b ＋1＝c ，则b ＝c －1，a ＋c ＝3，且0<a <2,1<c <3.所以a 2＋2a ＋b 2b ＋1＝a ＋2a ＋(c －1)2c ＝a ＋c ＋2a ＋1c －2＝1＋2a ＋1c ＝1＋13(a ＋c )⎝⎛⎭⎫2a ＋1c ＝2＋13⎝⎛⎭⎫a c ＋2c a ≥2＋223，当且仅当a ＝2c ，即c ＝3(2－1)∈(1,3)时，取等号． 5、(2019常州期末）已知正数x ，y 满足x ＋y x ＝1，则1x ＋xy 的最小值为________．【答案】、4【解析】、思路分析 多元条件等式下的最值问题通常可以考虑消元之后利用基本不等式或函数知识求解．解法1(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y ＝x －x 2，故1x ＋x y ＝1x ＋x x －x 2＝1x ＋11－x ＝1x （1－x ）≥1⎝⎛⎭⎫x ＋1－x 22＝4，当且仅当x ＝1－x ，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy的最小值为4.解法2(直接消元) 由x ＋y x ＝1得y x ＝1－x ，故1x ＋x y ＝1x ＋11－x，以下同解法1.解法3(消元，分离常数凑定值) 同解法1，2得1x ＋x y ＝1x ＋11－x ＝1－x ＋x x ＋1－x ＋x 1－x ＝2＋1－x x ＋x1－x ≥4，当且仅当1－x x ＝x 1－x，即x ＝12时取“＝”．故1x ＋xy 的最小值为4.解法4(“1”的代换) 因为x ＋y x ＝1，所以1x ＋x y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋x y ⎝⎛⎭⎫x ＋y x ＝2＋y x 2＋x 2y ≥4，当且仅当y x 2＝x 2y ，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝14时取“＝”．故1x ＋xy的最小值为4.6、(2019镇江期末）已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＝1x ＋4y ，则x ＋y 的最小值为________．【答案】、3【解析】、思路分析 本题既可用权方和不等式也可运用“1”的代换求解．解法1 因为x>0，y>0，所以x ＋y ＝12x ＋22y ≥（1＋2）2x ＋y ，得x ＋y ≥3，当且仅当x ＝1，y ＝2时取等号．解法2 x ＋y ＝（x ＋y ）2＝（x ＋y ）⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝5＋y x ＋4x y ≥5＋24＝3，当且仅当y x ＝4xy，即x ＝1，y ＝2时取等号．7、(2019苏北三市期末）已知a>0，b>0，且a ＋3b ＝1b －1a ，则b 的最大值为________．【答案】、 13【解析】、由a ＋3b ＝1b －1a ，得1b －3b ＝a ＋1a .又a>0，所以1b －3b ＝a ＋1a ≥2(当且仅当a ＝1时取等号)，即1b －3b ≥2，又b>0，解得0<b ≤13，所以b 的最大值为13.8、(2015镇江期末） 已知正数x ，y 满足1x ＋1y ＝1，则4x x －1＋9yy －1的最小值为________．【答案】25【解析】因为1y ＝1－1x ，所以4x x －1＋9y y －1＝4x x －1＋91－1y＝4x x －1＋9x ＝4＋4x －1＋9(x －1)＋9＝13＋4x －1＋9(x －1)＝13＋4x －1＋9(x －1)．又因为1y ＝1－1x >0，所以x >1，同理y >1，所以13＋4x －1＋9(x －1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x ＝53时取等号，所以4x x －1＋9yy －1的最小值为25.9、(2015南京三模）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ▲ ．【答案】、43【解析】、思路分析1：由于所研究的代数式的分母比较复杂，故通过换元来进行简单，从而来研究此函数的最大值；思路分析2：所研究的代数式涉及到两个变量,x y ，为此将分式的分子、分母同除以y ，将,x y 合并为xy来达到“消元”的目的，这样就转化为只含一个变量的函数的最值问题。