(完整版)导数与函数的极值、最值问题(解析版)

导数与函数的极值和最值问题 类型一 利用导数研究函数的极值

解题模板：第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；

第二步 求方程'()0f x =的根；

第三步 判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步 利用结论写出极值.

例1 已知函数x x

x f ln 1

)(+=

，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值.

【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（ ）

A ．11或18

B ．11

C ．18

D ．17或18 【答案】C 【解析】

试题分析：b ax x x f ++='23)(2,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232

a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩⎨⎧=-=33

b a ．当⎩⎨⎧=-=3

3

b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．

当⎩

⎨⎧-==114b a 时，

)1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3

11

(<'-

∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意．

所以⎩

⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ．

【变式演练2】设函数()21

ln 2

f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为

（ ）

A ．()1,0-

B ．()1,-+∞

C ．()0,+∞

D ．()(),10,-∞-+∞

【答案】B 【解析】

【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】

试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=

， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2

1

31)(23-++-=

在)4,0(上无极值，

而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =时，()f x 在R 上单调，才合题意，故答案为3.

【变式演练4】设函数32()(1)f x x a x ax =+++有两个不同的极值点1x ，2x ，且对不等式

12()()0f x f x +≤恒成立，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】1(,1],22⎡⎤

-∞-⎢⎥⎣⎦

【解析】

试题分析：因为12()()0f x f x +≤,故得不等式()()()3322

12121210x x a x x a x x ++++++≤,即

()()

()()()2

2

1212121212123120x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤⎡⎤++-+++-++≤⎣⎦⎣⎦

,

由于

()()2'321f x x a x a =+++,令

()'0f x =得方程()23210x a x a +++=,因

()2410a a ∆=-+> , 故()1212213

3x x a a x x ⎧

+=-+⎪⎪⎨

⎪=⎪⎩

，代入前面不等式,并化简得()1a +()22520a a -+≥,解不等式得1a ≤-或

122a ≤≤，因此, 当1a ≤-或1

22

a ≤≤时, 不等式()()120f x f x +≤成立,故答案为1(,1],22⎡⎤

-∞-⎢⎥⎣⎦

.

【变式演练5】已知函数()()3220f x x ax x a =+++>的极大值点和极小值点都在区间()1,1-内, 则实数a 的取值范围是 ． 【答案】32a << 【解析】

类型二 求函数在闭区间上的最值

解题模板：第一步 求出函数()f x 在开区间(,)a b 内所有极值点；

第二步 计算函数()f x 在极值点和端点的函数值；

第三步 比较其大小关系，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

例2 若函数()2x f x e x mx =+-，在点()()1,1f 处的斜率为1e +． （1）求实数m 的值；

（2）求函数()f x 在区间[]1,1-上的最大值． 【答案】（1）1m =；（2）()max f x e =. 【解析】

试题分析：（1）由(1)1f e '=-解之即可；

（2）()21x f x e x '=+-为递增函数且()()1110,130f e f e -''=+>-=-<,所以在区间(1,1)-上存在0x 使0()0f x '=，所以函数在区间0[1,]x -上单调递减，在区间0[,1]x 上单调递增，所以

()()(){}max max 1,1f x f f =-，求之即可.

试题解析： （1）()2x f x e x m '=+-，∴()12f e m '=+-，即21e m e +-=+，解得1m =； 实数m 的值为1；

（2）()21x f x e x '=+-为递增函数，∴()()1110,130f e f e -''=+>-=-<， 存在[]01,1x ∈-，使得()00f x '=，所以()()(){}max max 1,1f x f f =-，

()()112,1f e f e --=+=，∴()()max 1f x f e ==

【变式演练6】已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-. 求函数()f x 在[,2](0)t t t +>上的最小值；

【答案】（Ⅰ）min

1

10()1ln ,t e e

f x t t t e ⎧-<<⎪⎪∴=⎨

⎪≥⎪⎩

，；. 【解析】

试题分析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，得极值点为1x e =，分情况讨论10t e <<及1

t e

≥时，函

数)(x f 的最小值；（Ⅱ）当函数()()y f x g x =+有两个不同的极值点，即'ln 210y x x a =-++=有两个不同的实根1212,()x x x x <，问题等价于直线y a =与函数()ln 21G x x x =-+-的图象有两

个不同的交点，由)(x G 单调性结合函数图象可知当min 1

()()ln 22

a G x G >==时，12,x x 存在，且

21x x -的值随着a 的增大而增大，而当21ln 2x x -=时，由题意1122

ln 210

ln 210x x a x x a -++=⎧⎨-++=⎩，21

4x x ∴=代入上述方程可得2144ln 23x x ==，此时实数a 的取值范围为2ln 2

ln 2ln()133

a >--.

试题解析：（Ⅰ）由'()ln 10f x x =+=，可得1

x e

=，

∴①10t e <<时，函数()f x 在1(,)t e 上单调递减，在1

(,2)t e

+上单调递增，