中考数学——数形结合专题

第九讲数形结合思想

【中考热点分析】

数形结合思想就是数学中重要得思想方法,它根据数学问题中得条件与结论之间得内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系与几何图形巧妙得结合起来,并充分利用这种结合,探求解决问题得思路,使问题得以解决得思考方法、几何图形得形象直观,便于理解;代数方法得一般性,解题过程得操作性强,便于把握。

【经典考题讲练】

例１、(201５衢州)如图,已知直线分别交x轴、ｙ轴于点A、B,Ｐ就是抛物线得一个动点,其横坐标为ａ,过点Ｐ且平行于y轴得直线交直线于点Q,则当ＰＱ=BQ时,a得值就

是、

例2、(２014•广州)已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线()过点A、B,顶点为C。点P(m,n)(n<0)为抛物线上一点。

(1)求抛物线得解析式与顶点C得坐标.

(2)当∠APB为钝角时,求ｍ得取值范围。

(3)若,当∠APＢ为直角时,将该抛物线向左或向右平移ｔ()个单位,点P、C移动后对应得点分别记为、,就是否存在t,使得首尾依次连接A、B、、所构成得多边形得周长最短?若存在,求t值并说明抛物线平移得方向;若不存在,请说明理由。

解析:(1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可.ﻫ(2)因为ＡB为直径,所以当抛物线上得点P在⊙Ｃ得内部时,满足∠APB为钝角,所以—１＜ｍ＜0,或３〈m<4.ﻫ(3)左右平移时,使Ａ′Ｄ＋DB″最短即可,那么作出点C′关于ｘ轴对称点得坐标为C″,得到直线P″Ｃ″得解析式,然后把A点得坐标代入即可.

答案:(1)解:依题意把得坐标代入得: ;解得:

抛物线解析式为

顶点横坐标,将代入抛物线得

(2)如图,当时,设,

则

过作直线轴,

(注意用整体代入法)

解得

,

当在之间时,

或时,为钝角.

(3)依题意,且

设移动(向右,向左)

连接

则

又得长度不变

四边形周长最小,只需最小即可

将沿轴向右平移５各单位到处

沿轴对称为

∴当且仅当、B、三点共线时,最小,且最小为,此时

,设过得直线为,代入

∴即

将代入,得:,解得:

∴当,P、C向左移动单位时,此时四边形ＡBＰ’C’周长最小。

例3.(２０１2杭州)如图,A E切⊙O于点E,AＴ交⊙O于点M,N,线段ＯE交AＴ于点C,O B⊥AＴ于点Ｂ,已知∠ＥＡT＝3０°,,.(1)求∠CＯＢ得度数;(２)求⊙O得半径R;(3)点F在⊙O上(就是劣弧),且ＥF=5,把△OＢＣ经过平移、旋转与相似变换后,使它得两个顶点分别与点E,F重合、在EＦ得同一侧,这样得三角形共有多少个?您能在其中找出另一个顶点在⊙Ｏ上得三角形不？请在图中画出这个三角形,并求出这个三角形与△OＢＣ得周长之比.

解:(１)∵ＡＥ切⊙O于点E,∴ＯE⊥ＡE,

∵OＢ⊥AT,∴在△CAE与△COＢ中,∠AEC=∠CＢO=90°,

而∠BＣO＝∠ACＥ,∴∠CＯＢ=∠A＝30°。(3分)

图(1)

(2)在Rt△ＡCE中,AＥ＝3,∠A＝3０°,

∴ＥC＝ＡＥ·tan30°=３、

如图(1),连接ＯM,

在Rt△MOB中,ＯM=R,MB＝＝,

∴OB＝＝、

在Rt△COB中,∠COB＝30°,

∴OC=。

∵ＯＣ+ＥC=R,∴·+3=Ｒ

整理得R2＋1８R—1１5=0,即(R＋23)(Ｒ-5)=0,

∴Ｒ=－23(不符合题意,舍去),或R＝5,∴R=5。(８分)

(3)在EF得同一侧,满足题意得三角形共有6个,如图(2)(3)(４),每个图有2个满足题意得三角形.

能找出另一个顶点也在⊙Ｏ上得三角形,如图(1),延长EO交⊙O于D,连接ＤF,则△DFE为符合条件得三角形。

图(2) 图(3) 图(4)

由题意得,△DFE∽△OBC、

由(2)得,DE=2R＝1０,OC=＝２,∴===５、(14分)

【解答策略提炼】

解题策略,数形结合思想包含“以形助教”与“以数助形”两个方面,即用数形结合思想解题可分两类:一就是依形判教,用形解决数得问题,常见于借助数轴、函数图像、几何图形来求解代数问题;二十就数论形,用数解决形得问题,常见于运用恒等变形、建立方程(组)、面积转换等求解几何问题。

【专项达标训练】

一、填空题

1.如图所示,在梯形ABＣD中,AD∥BC,∠ＡＢＣ=90°,ＡＤ=ＡB=6,ＢC=1４,点M就是线段BC上一定点,且MC＝８,动点Ｐ从C点出发沿C→Ｄ→A→B得路线运动,运动到点B停止,在点Ｐ得运动过程中,使△ＰＭC为等腰三角形得点P有( )个。

2.已知抛物线ｙ=ax2－２ａx－1+a(a〉0)与直线x=2,ｘ=3,y=1围成得正方形有公共点,则a 得取值范围就是、

3.如图,抛物线ｙ=x2+ｂx—２与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,且A(-1,０),点M(m,0)就是x轴上得一个动点,当ＭC+MD得值最小时,m得值就是 24/4１。

4.抛物线ｙ=ａx２+bｘ+c(a≠0)与x轴交于Ａ、Ｂ两点,与y轴交于C点,若△ＡBC 就是直角三角形,则ac= 、

5.如图,半径为r1得圆内切于半径为r２得圆,切点为P,过圆心O1得直线与⊙O2交于A、B,与⊙O１交于C、D,已知ＡＣ:ＣＤ:ＤB＝3:4:2,则＝.

二、解答题

6.(1)如图,四边形ABCD中,∠BAＤ=120°,∠Ｂ=∠Ｄ=９０°,在BC、CD上分别找一点M、N,使△ＡMN周长最小时,求∠AMＮ+∠ANＭ得度数。

（2）如图,直线y=+b与双曲线y=交于Ａ、B两点,其横坐标分别为1与５,求不等式＜+ｂ得解集。

7、如图,AC为⊙O得直径,B就是⊙Ｏ外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O得切线,交ＢC于Ｄ点,ＤＥ=DC,作EＦ⊥ＡＣ于F点,交AD于M点。(1)求证:BC就是⊙O 得切线。(2)EM=FM、

8、(2０15•鄂州)如图,在平面直角坐标系ｘOy中,直线y＝x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C。抛物线y=aｘ2+bx+c得对称轴就是x＝﹣且经过Ａ、Ｃ两点,与x轴得另一交点为点B、

(1)①直接写出点Ｂ得坐标;②求抛物线解析式.

(2)若点P为直线ＡＣ上方得抛物线上得一点,连接PＡ,PC.求△PＡC得面积得最大值,并求出此时点Ｐ得坐标、

(3)抛物线上就是否存在点Ｍ,过点M作MＮ垂直x轴于点N,使得以点A、Ｍ、Ｎ为顶点得三角形与△AＢC相似?若存在,求出点M得坐标;若不存在,请说明理由、

【基础重点轮动】

选择题

1.(—)—１+(π—)０＋√(-2)２得值为()

A.－1 B。—3 Ｃ。1D。０

2.要使分式有意义,则x得取值范围就是( )

A.x1B、x＜1 Ｃ。x〉1 D.x≠-1

3.对于函数,下列说法错误得就是( )

A、它得图象分布在一、三象限

B、它得图象既就是轴对称图形又就是中心对称图形

C.当x＞0时,y得值随x得增大而增大

D。当x＜０时,y得值随x得增大而减小

4.如图,PA、PB就是⊙Ｏ得切线,切点就是A、Ｂ,已知∠Ｐ=60°,OＡ＝３,那么∠AOB所对弧得长度为( )。

A.6πＢ.5π C.3πD。2π

5.抛物线y＝x2+bx＋c(a≠0)图像向右平移2个单位再向下平移３个单位,所得得图像解析式为＝x２—2x—3,则b,ｃ得值为( )。

A.ｂ=２,ｃ＝2B。b＝２,ｃ=0 C.b＝—2,c=—１D、ｂ=-3,ｃ＝2

6.如图,△AＢC中,CD⊥AB,垂足为D、下列条件中,不能证明△ABC就是直角三角形得就是( )