积分不等式的几种证明方法

乙 乙 ａ
ａ
２ ｜ｇ（ｘ）ｇ＇（ｘ）｜ｄｘ≤２ ｜ｈ＇（ｘ）ｈ（ｘ）｜ｄｘ＝［ｈ（ａ）］２
０
０
另一方面，由布捏可夫斯基不等式得
乙 乙 乙 ａ
ａ
ａ
［ｈ（ａ）］２＝（ ｈ＇（ｘ）ｄｘ）２≤ ｄｘ ［ｈ＇（ｘ）］２ｄｘ
０
０
０
乙ａ
＝ｄ ｜ｇ＇（ｘ）｜２ｄｘ ０
乙 乙 ∴ ａ ｜ｇ（ｘ）ｇ＇（ｘ）｜ｄｘ≤ ａ
乙 令此式中的 ｙ＝ｆ（ｘ）并在两边同乘以
ｐ（ｘ）
ｂ
，在［ａ，ｂ］上
ｐ（ｘ）ｄｘ
ａ
－１－
积分，并注意（＊）得
乙ｂ ｐ（ｘ）φ［ｆ（ｘ）］ｄｘ
乙 乙 ｂ ｐ（ｘ）ｄｘ
ｂ
ｐ（ｘ）［ｆ（ｘ）－ｘ０］ｄｘ
ａ
乙ｂ ｐ（ｘ）ｄｘ
乙 乙 －φ（ｘ０）
ａ ｂ
＞ａ ｂ
ｐ（ｘ）ｄｘ
ｐ（ｘ）ｄｘ
φ（ｘ）
ａ
ａ
ａ
＝０
乙ｂ ｐ（ｘ）φ（ｆ（ｘ））ｄｘ
ａ
ａ
ａ
乙ｂ
证明 ∵［ｆ（ｘ）－λｇ（ｘ）］２≥０ ∴ ［ｆ（ｘ）－λｇ（ｘ）］２≥０ ａ
乙 乙 ｂ
ｂ
即 λ２ ｇ（ｘ）ｄ（ｘ）－２λ ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）＋ｆ２（ｘ）≥０
ａ
ａ
此不等式的左端是过于 的二次三项式，所以其判别
式
乙ｂ
ｐ（ｘ）≥０ ｐ（ｘ）ｄｘ≥０ 且 ｍ≤ｆ（ｘ）≤Ｍ ａ
φ（ｘ）在［ｍ Ｍ］上有这义，并且有二阶导数，φ＂（ｘ）≥０ 则
参考文献：
乙ｘ
ｇ（ｘ）＝２ ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ２（ｘ） 则 ｇ（０）＝０ ０
ｇ＇（ｘ）＝２ｆ（ｘ）－２ｆ（ｘ）·ｆ（ｘ） ＝２ｆ（ｘ）［１－ｆ（ｘ）］＞０
〔1〕刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（第四 版 ）[M].高 等 教 育 出 版 社 ，2002.
〔2〕同 济 大 学 应 用 数 学 系.高 等 数 学 （第 五 版 ）[M].高 等 教 育 出 版 社 ，2002.
乙 乙 乙 ｂ
ｂ
ｂ
（ ｆ（ｘ）ｇ（ｘ））２≤ ｆ２（ｘ）ｄ（ｘ） ｇ２（ｘ）ｄ（ｘ）
（１）
ａ
ａ
ａ
其中等号当且仅当常数 α，β 满足 αｆ（ｘ）＝βｇ（ｘ）成立 （α，
β 不同时为零）
证明
将［ａ
ｂ］ｎ
等分，零
ｘ１＝ａ＋
ｉ ｎ
（ｂ－ａ）应用 Ｃａｕｃｈｙ 不
乙 乙 乙 ｂ
ｂ
ｂ
４ （ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ）２－４ ｆ２（ｘ）ｄｘ ｇ２（ｘ）ｄｘ≤０
ａ
ａ
ａ
乙 乙 乙 ｂ
ｂ
ｂ
即 （ｆ（ｘ）ｇ（ｘ））２≤ ｆ２（ｘ）ｄ（ｘ） ｇ２（ｘ）ｄ（ｘ）
ａ
ａ
ａ
以上二例同为柯西—施瓦茨不等式的证明，我们用两
种不同的方法，从两个不同的角度进行了证明，体现了积分
不等式在证明中的灵活性．
3 利用泰勒公式证明积分不等式
等式
设 ｆ（ｘ），ｐ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续，
摘 要：本文总结了积分不等式的几种怎么方法，并通过证明过程展示了积分不等式的证明技巧及积分不等式在证明中 的灵活性．
关键词：积 分 不 等 式 ；证 明 中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７３－ ２６０Ｘ（２０１２）１０－ ０００１－ ０２
1 利用积分定义法证明积分不等式
若 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ ｂ］上连续，证明
5 用变量替换法证明积分不等式
设函数 ｇ（ｘ）在［０，１］绝对连续，ｇ（ｘ）＝０ 则
乙 乙 ａ ｜ｇ（ｘ）ｇ＇（ｘ）｜ｄｘ≤ ａ
ａ
［ｇ＇（ｘ）］２ｄｘ
０
２０
上式中的等号当且仅当 ｇ（ｘ）＝ｃｘ（ｃ 是常数）时成立
乙ｘ
证明 设 ｈ（ｘ）＝ ｜ｇ＇（ｔ）｜ｄｔ，（０≤ｘ≤ａ）则 ０
｜ｇ（ｘ）｜≤ｈ（ｘ） 所以
－２－
第 ２８ 卷 第 １０ 期（下） ２０１２ 年 １０ 月
赤 峰 学 院 学 报（ 自 然 科 学 版 ） Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｆｅｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ）
Ｖｏｌ． ２８ Ｎｏ． １０ Ｏｃｔ． ２０１２
积分不等式的几种证明方法
贾美娥
（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 ０２４０００）
乙 乙 ｂ ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ
ｂ
ｐ（ｘ）φ（ｘ）ｄｘ

乙 乙 φ
ａ ｂ
≤
ａ ｂ
ｐ（ｘ）ｄｘ
ｐ（ｘ）ｄｘ
ａ
ａ
（２）
乙ｂ ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ
乙 证明
记 ｘ０＝
ａ ｂ
ｐ（ｘ）ｄｘ
ａ
（＊）
φ（ｙ）－φ（ｘ０）＝φ＇（ｘ０）（ｙ－ｘ０）＋
１ ２
φ＂（ξ）（ｙ－ｘ０）２
∵φ＂（ξ）≥０ ∴φ（ｙ）－φ（ｘ０）＞φ＇（ｘ０）（ｙ－ｘ０）
ｎ
ｎ
ｎ
Σ Σ Σ （
１ ｎ
ｉ
＝
１
ｆ（ｘｉ）ｇ（ｘｉ））２≤
１ ｎ
ｉ
＝
１
ｆ２（ｘｉ）
１ ｎ
ｇ２（ｘｉ）
ｉ＝１
令 ｎ→∞ 取极限即得（１）
2 利用定积分的性质证明积分不等式
若 ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ ｂ］上连续，证明
乙 乙 乙 ｂ
ｂ
ｂ
（ ｆ（ｘ）ｇ（ｘ））２≤ ｆ２（ｘ）ｄ（ｘ） ｇ２（ｘ）ｄ（ｘ）
（１）
０
０
（３）
乙 乙 ｘ
ｘ
证明 令 Ｆ（ｘ）＝（ ｆ（ｔ）ｄｔ）２≥ ｆ３（ｔ）ｄｔ
０
０
因为 Ｆ（ｘ）＝０ 所以只要证明在（０，１）内有 Ｆ＼（ｘ）＞０，事实上
乙ｘ
Ｆ＇（ｘ）＝２ｆ（ｘ）［ ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ３（ｘ）］ ０
乙ｘ
＝ｆ（ｘ）［２ ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ２（ｘ）］ ０
乙ｘ
于是 ｇ（ｘ）＝２ ｆ（ｔ）ｄｔ－ｆ２（ｘ） ０
ａ
［ｇ＇（ｘ）］２ｄｘ
０
２０
以上仅是积分不等式的几种常用的证明方法，更多的
证明方法我们在此不再一一列举，在实际应用中，应根据具
体条件不拘一格采用灵活的证明方法．
因为 ｘ∈（０，１）时 ｆ（０）＝０，０＜ｆ＇（ｘ）＜１ 从而有 ｆ（ｘ）＞０
— ——— — —— —— —— —— —— —— ——
下面证上式还有一因子大于零 记
乙 ∴φ（ｘ０）＜ ａ ｂ ｐ（ｘ）ｄｘ ａ
乙ｂ ｐ（ｘ）ｆ（ｘ）ｄｘ
乙 ｘ０＝
ａ ｂ
ｐ（ｘ）ｄｘ
ａ
本题还可以用定积分定义法证明（． 略）
4 微分法证明积分不等式
设 ｆ（ｘ）在［０，１］上可微，且当 ｘ∈（０，１）在 ＜０ｆ（ｘ）＜１，ｆ（ｘ）＝０ 则
乙 乙 １
１
（ ｆ（ｘ）ｄｘ）２≥ ｆ３（ｘ）ｄｘ