【压轴题】数学高考试题(带答案)

【压轴题】数学高考试题(带答案)

一、选择题

1．函数ln ||()x

x f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．

C ．

D ．

2．定义运算()()

a a

b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）． A ． B ．

C ．

D ．

3．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥

B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥

C ．若a b a b αβ⊂⊂，，，则αβ∥

D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥

4．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）

A ．A 与

B B ．B 与

C C ．A 与

D D ．C 与D

5．已知复数z 满足()12i z +=，则复数z 的虚部为（ ）

A ．1

B ．1-

C ．i

D ．i - 6．函数()1ln 1y x x

=-+的图象大致为( ) A ． B ．

C ．

D ．

7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 8．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40

D ．80 9．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒>

C ．33a b a b >⇒>

D ．22a b a b >⇒> 10．已知抛物线22(0)y px p =>交双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的渐近线于A ，B 两点（异于坐标原点O 5AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）

A ．(2,0)

B ．(4,0)

C ．(6,0)

D ．(8,0)

11．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）

A ．513x <<

B ．135x <<

C ．25x <<

D ．55x << 12．已知,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56

π 二、填空题

13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.

14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且2EF =，现有如下四个结论： AC BE ①⊥；//EF ②平面ABCD ；

③三棱锥A BEF -的体积为定值；④异面直线,AE BF 所成的角为定值，

其中正确结论的序号是______．

15．若过点()2,0M 3的直线与抛物线()2

:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =，则a =____．

16．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，42a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.

17．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为

23π的扇形，则此圆锥的高为________cm .

18．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n

+的最小值为 19．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

20．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ．

三、解答题

21．已知平面直角坐标系xoy .以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P 点的

极坐标为23,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭

，曲线C 的极坐标方程为223sin 1ρρθ+= （1）写出点P 的直角坐标及曲线C 的普通方程；

（2）若Q 为C 上的动点，求PQ 中点M 到直线32:2x t l y t

=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）距离的最小值. 22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.

（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.

23．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为63

，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．

24．已知曲线C ：（t 为参数）， C ：（为参数）． （1）化C ，C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C 上的点P 对应的参数为，Q 为C 上的动点，求中点到直线

（t 为参数）距离的最小值．

25．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆22

34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1．

（1）当直线BD 过点(0,1)时，求直线AC 的方程．