课时作业32

课时作业(三十二) 1．已知△ABC中，(AB→·BC→)∶(BC→·CA→)∶(CA→·AB→)＝1∶2∶3，则△ABC的形状为 ( ) A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．非等腰锐角三角形 答案 D

解析 设AB→·BC→＝－a2＋c2－b22＝k， 故a2＋c2－b2＝－2k，同理可得a2＋b2－c2＝－4k， b2＋c2－a2＝－6k联立解得 a2＝－3k，b2＝－5k，c2＝－4k.

故最大角的余弦cosB＝36>0，故选D.

2．在△ABC中，若AB→2＝AB→·AC→＋BA→·BC→＋CA→·CB→，则△ABC是 ( ) A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 答案 D

解析 由已知，AB→2＝AB→·AC→－AB→·BC→＋CA→·CB→＝AB→·(AC→＋CB→)＋CA→·CB→＝AB→2

＋CA→·CB→，∴CA→·CB→＝0. 3．设O点在三角形ABC内部，且有OA→＋2OB→＋3OC→＝0，则三角形ABC的面积与三角形AOC的面积之比 ( )

A．2 B.32

C．3 D.53 答案 C 解析 联想三角形ABC重心满足GA→＋GB→＋GC→＝0可延长OB至E使OE→＝2OB→延长OC至F使OF→＝3OC→，则O为三角形AEF的重心从而 S△AOC＝13S△AOF＝19S△AEF，

S△AOB＝12S△AOE＝16S△AEF， S△BOC＝13S△BOF＝118S△AEF. ∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝618S△AEF. 4．(2010·湖南卷改编)已知A，B是圆心为C半径为5的圆上两点，且|AB→|＝5，则AC→·CB→等于 ( ) A．－52 B.52

C．0 D.532 答案 A 解析 本题考查向量的数量积的运算．由于弦长|AB|＝5与半径相同，则∠

ACB＝60°⇒AC→·CB→＝－CA→·CB→＝－|CA→|·|CB→|·cos∠ACB＝－5·5·cos60°＝－52. 5．已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a·b|＝|a||b|，命题q：∃t∈R，使得a＝tb，则p是q的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 ∵|a·b|＝|a||b||cosθ|＝|a||b|， ∴θ＝0°或180°，即a，b共线． ∴∃t∈R，使得a＝tb成立． ∴p是q的充分条件． 若∃t∈R，使得a＝tb，则a，b共线． ∴|a·b|＝|a||b|.∴p是q的必要条件． 综上可知，p是q的充要条件． 6．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB→－OC→|＝|OB→＋OC→－2OA→|，则△ABC的形状是 ( ) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 答案 B

解析 OB→＋OC→－2OA→＝OB→－OA→＋OC→－OA→＝AB→＋AC→，OB→－OC→＝CB→＝AB→

－AC→，∴|AB→＋AC→|＝|AB→－AC→|⇒|AB→＋AC→|2＝|AB→－AC→|2⇒AB→·AC→＝0，∴三角形为直角三角形，故选B. 7．已知两个非零向量a＝(m－1，n－1)，b＝(m－3，n－3)，且a与b的夹角是钝角或直角，则m＋n的取值范围是 ( ) A．[2，32] B．[2,6] C．(2，32) D．(2,6) 答案 B

解析 根据a与b的夹角是钝角或直角得a·b≤0，即(m－1)(m－3)＋(n－1)(n－3)≤0.整理得(m－2)2＋(n－2)2≤2. 所以点(m，n)在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内． 令m＋n＝z，n＝－m＋z表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z的直线，根据线性规划知识得2≤m＋n≤6.

8．在△ABC中，AB→·BC→＝3，△ABC的面积S∈[32，32]，则AB→与BC→夹角的取值范围是 ( ) A．[π4，π3] B．[π6，π4]

C．[π6，π3] D．[π3，π2] 答案 B 解析 设〈AB→，BC→〉＝α，因为AB→·BC→＝|AB→|·|BC→|·cosα＝3⇒|AB→|·|BC→|＝3cosα，又S＝12|AB→|·|BC→|·sin(π－α)＝12·3cosα·sin(π－α)＝32tanα，而32≤S≤32⇒32≤32tanα≤32

⇒33≤tanα≤1⇒π6≤α≤π4.故选B.

9．如图所示，E、F、G、H分别是四边形ABCD的所在边的中点，若(AB→＋BC→)·(BA→＋AD→)＝0，则四边形EFGH是 ( )

A．平行四边形，但不是矩形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 答案 B

解析 ∵AB→＋BC→＝AC→，BA→＋AD→＝BD→， 且(AB→＋BC→)·(BA→＋AD→)＝0， ∴AC→·BD→＝0，即AC→⊥BD→. 又∵E、F、G、H为四边形ABCD四边的中点，

∴EH→∥BD→∥FG→，EF→∥AC→∥HG→. 故四边形EFGH为平行四边形且EH→⊥EF→，即为矩形．

10．已知非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0且AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，则△ABC为 ( ) A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．等边三角形 答案 D 分析 本题可先由条件的几何意义得出AB＝AC，再求得A＝π3，即可得出答案．

解析 因为非零向量AB→与AC→满足(AB→|AB→|＋AC→|AC→|)·BC→＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC. 又cos∠BAC＝AB→|AB→|·AC→|AC→|＝12，所以∠BAC＝π3.所以△ABC为等边三角形．故选D. 11．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是 ( )

A．[0，π6] B．[π3，π]

C．[π3，2π3] D．[π6，π] 答案 B 解析 |a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则|a|2－4a·b≥0，

设向量a·b的夹角为θ，cosθ＝a·b|a|·|b|≤14|a|212|a|2＝12，∴θ∈[π3，π]． 12．已知坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则OA→·OB→等于________． 答案 －34

解析 设A(y212，y1)，B(y222，y2)， 则OA→＝(y212，y1)，OB→＝(y222，y2)． 又由y1y2＝－p2＝－1， ∴OA→·OB→＝(y212，y1)·(y222，y2)＝14y21y22＋y1y2 ＝14－1＝－34. 13．已知向量i和j为互相垂直的单位向量，向量a＝i－2j，b＝i＋λj，a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．

答案 (－∞，－2)∪(－2，12)

解析 ∵0<〈a，b〉1－2λ5·1＋λ2

<1，解得λ<12且λ≠－2，∴λ的取值范围是(－∞，－2)∪(－2，12)． 14．已知向量a＝(2,1)，b＝(x，y)． (1)若x∈{－1,0,1,2}，y∈{－1,0,1}，求向量a∥b的概率； (2)若x∈[－1,2]，y∈[－1,1]，求向量a，b的夹角是钝角的概率． 解析 (1)设“a∥b”为事件A，由a∥b，得x＝2y. 基本事件空间为Ω1＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件． 其中A＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件，

则P(A)＝212＝16，即向量a∥b的概率为16. (2)设“a，b的夹角是钝角”为事件B，由a，b的夹角是钝角，可得a·b<0，即2x＋y<0，且x≠2y.

基本事件空间为Ω2＝{(x，y)| －1≤x≤2，－1≤y≤1}，

B＝{(x，y)| －1≤x≤2，－1≤y≤1，2x＋y<0，x≠2y}， 如图所示，则 P(B)＝＝12×12＋32×23×2＝13，即向量a，b的夹角是钝角的概率是13. 15．(2013·烟台调研)已知向量m＝(a＋c，b)，n＝(a－c，b－a)，且m·n＝0，其中A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是角A，B，C的对边． (1)求角C的大小； (2)求sin A＋sin B的取值范围． 解 (1)由m·n＝0， 得(a＋c)(a－c)＋b(b－a)＝0⇒a2＋b2－c2＝ab.

由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12. ∵0(2)∵C＝π3，∴A＋B＝2π3. ∴sinA＋sinB＝sinA＋sin(2π3－A) ＝sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA ＝32sinA＋32cosA＝3(32sinA＋12cosA) ＝3sin(A＋π6)． ∵0∴12∴32<3sin(A＋π6)≤3，即3216．在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC. (1)求B的大小； (2)设m＝(sinA，cos2A)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值． 解析 (1)∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC， 即2sinAcosB＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)．