概率论与数理统计公式整理(超全免费版)0
概率论与数理统计超全公式总结
Cov(aX , bY ) = abCo若v(UX~,Yχ)2(n1),
F 分布 正态总体条件下 样本均值的分布：
V ~ χ 2 (n2 ),
则 U / n1 V / n2
~
F (n1, n2 )
σ2 X ~ N(µ, )
n
X − µ ~ N (0,1) σ/ n
样本方差的分布：
(n −1)S 2 σ2
k =1
第二章
二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)
F (x, y) = P{X ≤ x,Y ≤ y} 联合密度与边缘密度
+∞
∫ fX (x) = −∞ f (x, y)dy
+∞
∫ fY (y) = −∞ f (x, y)dx
P(X =k)=Cnkpk(1−p)n−k，(k=0,1,...n, )
泊松分布——X~P(λ)
P( X = k) = λk e−λ， (k = 0,1,...) k!
概率密度函数
+∞
∫ f (x)dx = 1 −∞
怎样计算概率 P(a ≤ X ≤ b)
b
P(a ≤ X ≤ b) = ∫a f (x)dx
均匀分布 X~U(a,b)
1
f (x) =
(a ≤ x ≤ b)
b−a
n — 样本容量(大样本要求n > 50) zα /2 — 正态分布的分位点
⎜⎛ x ± zα / 2 ⎝
σ ⎟⎞ n⎠
(3) H0 : µ ≤ µ0 H1 : µ > µ0 右边检验
单正态总体均值的 Z 检验
小样本、正态总体、标 准差σ已知
（大样本情形σ未知时用SZ代=替X）− µ 0 σ/ n
概率论及数理统计公式整理(超全版)
第1章随机事件及其概率−−−→随机波动性和稳定性。
频率(波动)n→∞概率：设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件若满足下列三个条件：,,()(),(A B A B P A P B P ⊂≤设为两个事件,且则,()1().A A P A P A =-设是的对立事件则23()P A A --2)()n i j k A A P A A A =+∑1° {ωω1,=ΩωA )A 更一般地，对事件A 1，，若P(A A …A ，则有21A …)n A (A P =21|(A A A n …n A ①两个事件的独立性设事件A 、B 满足A 、B 是相互独立的。
若事件A 、B 相互独立，且()|(AB P A B P =,它们的对立事件所得的满足),,2,1(0)(niBP i=>则有)()(1PBPAP=设事件1B，2B1°1B，2B，…，2°niiB A1=⊂第二章随机变量及其散布显然分布律应满足下列条件：（1）X的分布函数，若存在非负函数0-1）分布，第三章二维随机变量及其散布(,)}{(x y zP X ξξ≤=第四章随机变量的数字特点第五章大数定律和中心极限定理a PY−−第六章 样本及抽样散布.X n .的个独立的观察值1i =2n 1i =∏,,,x x 设2,3,.{P t t α>称满足条件(1);n -1221,()n S X X =-∑分别是这两个样本的均值第七章 参数估量12;,,(;x x p x θθ∑11,2,l θ=这个估计量称为矩θ为未知参数。
又设的无偏估计，且=(=({((θθθθθθ<和已知方差μ第八章假设查验5 中 2211()~().ni i X n μχσμ=-∑（已知）牛顿二项公式：0()nni i n ini a b C a b-=+=∑积分公式：2x e dx π+∞-=⎰，222x edx π+∞-=⎰二项散布最大值：(n+1)p 为整数(n+1)p=或(n+1)p-1处 非整数最接近(n+1)p 的整数处 Γ函数：765220220220()σσσσσσμ≤≥=未知22122212221212(,)σσσσσσμμ≤≥=未知000()D D D μμμ≤≥=成对数据2220(1)n S χσ-=2122S F S=0/D D t S n-=220220220σσσσσσ><≠221222122212σσσσσσ><≠000D D D μμμ><≠2222122/2221/2(1)(1)(1)(1)n n n n ααααχχχχχχχχ--≥-≤-≥-≤-或12112/2121/212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)F F n n F F n n F F n n F F n n αααα--≥--≤--≥--≥--或/2(1)(1)(1)t t n t t n t t n ααα≥-≤--≥-3421H 原假设检验统计量1H 备择假设拒绝域002()μμμμμμσ≤≥=已知0002()μμμμμμσ≤≥=未知1212122212(,)μμδμμδμμδσσ-≤-≥-=已知0/X Z nμσ-=0/X t S nμ-=221212X Y Z n n δσσ--=+00μμμμμμ≠<>000μμμμμμ><≠δμμδμμδμμ≠-<->-0002/αααz z z z z z ≥-≤≥/2(1)(1)(1)t t n t t n t t n ααα≥-≤--≥-2/αααz z z z z z ≥-≤≥12121222212()μμδμμδμμδσσσ-≤-≥-===未知δμμδμμδμμ≠-<->-0001212/212(2)(2)(1)t t n n t t n n t t n n ααα≥+-≤-+-≥+-1222211221211(1)(2)2w w X Y t S n n n S n S S n n δ--=+-+-=+-Γ（x+1）=xΓ（x），Γ⑴=1，Γ（1/2）=√π，对正整数n，有Γ（n+1）=n！，Γ（1-x）Γ（x)=π/sin （πx）。
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式以下是概率论与数理统计中常见的公式整理：1.基本概率公式：P(A) = n(A) / n(S)，其中A 为事件，n(A) 为事件A 发生的基数，n(S) 为样本空间的基数。
2.条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中A 和B 为两个事件，P(A∩B) 表示事件A 和事件B 同时发生的概率，P(B) 表示事件B 发生的概率。
3.全概率公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率。
4.贝叶斯公式：P(Bi|A) = P(A|Bi) * P(Bi) / ΣP(A|Bj) * P(Bj)，其中Bi 为互不相交的事件，P(Bi) 表示事件Bi 发生的概率，P(A|Bi) 表示在事件Bi 发生的条件下，事件A 发生的概率，P(A|Bj) 表示在事件Bj 发生的条件下，事件A 发生的概率。
5.随机变量的期望值：E(X) = Σxi * P(xi)，其中X 为随机变量，xi 为随机变量X 取的第i 个值，P(xi) 表示X 取xi 的概率。
6.随机变量的方差：Var(X) = E((X - E(X))^2)，其中X 为随机变量，E(X) 表示X 的期望值。
7.正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / (σ* √(2π))) * e^(-((x-μ)^2 / (2σ^2)))，其中μ为正态分布的均值，σ为正态分布的标准差。
8.标准正态分布的概率密度函数：f(x) = (1 / √(2π)) * e^(-x^2 / 2)，其中x 为标准正态分布的随机变量。
9.两个随机变量的协方差：Cov(X,Y) = E((X - E(X)) * (Y - E(Y)))，其中X 和Y 为两个随机变量，E(X) 和E(Y) 分别表示X 和Y 的期望值。
概率论数理统计公式整理
概率论数理统计公式整理一、概率论公式1.定义公式:-事件概率的定义:若E为随机试验的一个事件，S为样本空间，则事件E发生的概率可以表示为P(E)=n(E)/n(S)，其中n(E)表示事件E中元素的个数，n(S)表示样本空间S中元素的总数。
2.概率计算公式:-加法公式:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中A,B为两个事件。
-条件概率公式:P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，其中A,B为两个事件，且P(B)≠0。
-乘法公式:P(A∩B)=P(A)P(B，A)，其中A,B为两个事件。
3.全概率公式与贝叶斯公式:-全概率公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(A)=ΣP(A，Bi)P(Bi)，其中i=1,2,...,n。
-贝叶斯公式:设B1,B2,...,Bn为样本空间S的一组互不相容的事件，并且它们构成了对S的一个完全划分，即Bi∩Bj=∅(i≠j)，且B1∪B2∪...∪Bn=S，则对于任意事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)P(Bi)/ΣP(A，Bj)P(Bj)，其中i=1,2,...,n。
二、数理统计公式1.随机变量的概率分布:-离散型随机变量的概率分布:P(X=x)=p(x)，其中x为随机变量X的取值，p(x)为概率质量函数。
- 连续型随机变量的概率密度函数: f(x) ≥ 0，且∫f(x)dx = 12.随机变量的数学期望:- 离散型随机变量的数学期望: E(X) = Σxip(xi)，其中xi为随机变量X的取值，p(xi)为X取值为xi的概率。
- 连续型随机变量的数学期望: E(X) = ∫xf(x)dx。
3.方差和标准差:- 离散型随机变量的方差: Var(X) = E[(X - E(X))^2] = Σ(xi - E(X))^2p(xi)。
概率论与数理统计超全公式总结
E (X )=∑∑x i p i jijxxn+∞ n n−λλkP (X = k ) = e ， (k = 0,1,...)k !(a ≤ x ≤ b )1b − af (x ) =概率论与数理统计公式总结F (x ) = P (X ≤ x ) = ∑P (X = k )k ≤x分布函数 对离散型随机变量F ' (x ) = f (x )第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)对连续型随机变量F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt条件概率公式分布函数与密度函数的重要关系：P (A | B ) =P (AB )P (B )F (x ) = P (X ≤ x ) =∫−∞f (t )dt概率的乘法公式P (AB ) = P (B )P (A | B )= P (A )P (B | A )二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法全概率公式：从原因计算结果P (A ) = ∑ P (B k )P (A | B k )k =1联合密度函数联合分布函数f (x , y ) ≥ 0f (x , y ) F (x , y )+∞ +∞Bayes 公式：从结果找原因∫−∞ ∫−∞f (x , y )dx dy = 1 0 ≤ F (x , y ) ≤ 1P (B k| A ) = P (B i )P (A | B i ) ∑P (B )P (A | B )F (x , y ) = P {X ≤ x ,Y ≤ y }f (x ) = ∫ f (x , y )d y 联合密度与边缘密度第二章kkk =1Xf Y (y ) = −∞+∞−∞f (x , y )dx二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)P (X =k )=C k p k (1−p)n −k，(k =0,1,...n , ) 泊松分布——X~P(λ)概率密度函数离散型随机变量的独立性P {X = i ,Y = j } = P {X = i }P {Y = j }连续型随机变量的独立性f (x , y ) = f X (x ) f Y (y ) 第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义怎样计算概率P (a ≤ X ≤ b )b连续型随机变量，数学期望定义� E(a)=a ，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = ∫af (x )d x均匀分布 X~U(a,b)指数分布 X~Exp (θ)• E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a 、b 为常数 � E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量随机变量 g(X)的数学期望常用公式+∞∫−∞ f (x )dx = 1+∞E (X ) = ∑x k ⋅P kk =−∞+∞E (X ) = ∫−∞x ⋅ f (x )dxE (g (X )) = ∑ g (x k ) p kk∫Y / nD (X +Y ) = D (X ) + D (Y ) + 2E {(X − E (X ))(Y − E (Y ))} X ~ N (µ,σ2 )i σ 12 σ E (X Y ) = ∑∑x i y j p i jij2σ22−(x −µ) e 12πσf (x ) =不相关不一定独立第四章 正态分布E (X ) = µ,D (X ) = σ2方 差 定义式常用计算式常用公式当 X 、Y 相互独立时：标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式P (Z ≤ a ) = P (Z < a ) = Φ(a )P (Z ≥ a ) = P (Z > a ) = 1− Φ(a )P (a ≤ Z ≤ b ) = Φ(b ) − Φ(a )P (−a ≤ Z ≤ a ) = Φ(a ) − Φ(−a ) = 2Φ(a ) −1一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式 P (X ≤ a ) = P (X < a ) = Φ(a − µσ ) a − µ方差的性质P (X ≥ a ) = P (X > a ) = 1− Φ( σ)D(a)=0，其中 a 为常数P (a ≤ X ≤ b ) = Φ(b − µ− Φ(a − µD(a+bX)=b2D(X)，其中 a 、b 为常数当 X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数E {[X − E (X )][Y − E (Y )]}= E (XY ) − E (X )E (Y )第 五 章卡方分布σ ) σ)n若X ~ N (0,1)，则∑ X 2 ~ χ2(n )i =121n2 2协方差的性质若Y ~ N (µ,σ ),t 分布则 2 ∑(Y i− µ) i =1 ~ χ (n )若X ~ N (0,1), Y ~ χ2(n ),则X ~ t (n )独立与相关独立必定不相关 Cov (aX ,bY ) = abCov (X ,Y )若U ~ χ2 (n ), F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：V ~ χ2(n ),则U / n 1 V / n 2~ F (n 1,n 2 )相关必定不独立2X ~ N (µ,)nX − µ~ N (0,1)σ/ n 2− E (X )) ⋅ f (x )dx x +∞−∞∫ D (X ) =( E (XY ) = ∫ ∫ xyf (x , y )dxdy σX ~ N (µ,σ2 ) ⇔ Z = X − µ~ N (0,1)D (X )D (Y )XY ρ =C ov (X ,Y )Cov (X +Y , Z ) = Cov (X , Z ) + Cov (Y , Z )C ov (X , X ) = E (X 2 ) − (E (X ))2 =D (X )Cov (X ,Y ) = E (XY ) − E (X )E (Y )D (X +Y ) = D (X ) + D (Y )D (X ) =E (X 2 ) − [E (X )]2当X 与Y 独立时,E (XY ) = E (X )E (Y )Φ(a ) = 1− Φ(−a ) E (X +Y ) = E (X ) + E (Y )E (X ) = ∫ ∫ xf (x , y )dxdyn ⎠ n ⎠ n ⎠σ2 1 + 2 n 1 n 2 σ2 σ / n(x 1 − x 2 )± z α/ 2 2 2 ⎜ χ χ ⎛ ⎜ ⎟12x ± z样本方差的分布：正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间(n −1)S 2 ~ χ2 (n −1) X − µ~ t (n −1) 大样本或正态小样本且方差已知σ2两个正态总体的方差之比⎛⎜ ⎜ ⎝S 2 / S 2两个正态总体方差比的置信区间1 2~ F (n 1 −1,σ2 /σ2n 2 −1)2 / S 2 , 2 / S 2⎞ ⎝ F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) F α/ 2 (n 1 −1,n 2 −1) ⎠第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 最大似然估计n似然函数第七章假设检验的步骤1 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H12 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值3 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则L = Π i =1f (x i ;θ)L = Π i =1p (x i ;θ)拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计公式超全版
则
t分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，且
可以证明函数
的概率密度为
我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)。
则称上式为离散型随机变量 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
。
显然分布律应满足下列条件：
（1） ， ， （2） 。
（2）连续型随机变量的分布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数 ，对任意实数 ，有
，
则称 为连续型随机变量。 称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
密度函数具有下面4个性质：
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
均匀分布
设随机变量 的值只落在[a，b]内，其密度函数 在[a，b]上为常数 ，即
a≤x≤b
其他，
则称随机变量 在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U(a，b)。
分布函数为
a≤x≤b
0，x<a，
1，x>b。
当a≤x1<x2≤b时，X落在区间（ ）内的概率为
由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，
即X～N（
但是若X～N（ ，(X，Y)未必是二维正态分布。
（10）函数分布
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
设 =（X，Y）的所有可能取值为 ，且事件{ = }的概率为pij,,称
为 =（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：
概率论与数理统计(全部公式整理)
连续型
对于二维随机向量 ，如果存在非负函数 ，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
则称 为连续型随机向量；并称f(x,y)为 =（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。
分布密度f(x,y)具有下面两个性质：
（1）f(x,y)≥0;
分布函数具有如下性质：
1° ；
2° 是单调不减的函数，即 时，有 ；
3° ， ；
4° ，即 是右连续的；
5° 。
对于离散型随机变量， ；
对于连续型随机变量， 。
（5）八大分布
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
二项分布
在 重贝努里试验中，设事件 发生的概率为 。事件 发生的次数是随机变量，设为 ，则 可能取值为 。
，（ ， ，…， ），通常叫先验概率。 ，（ ， ，…， ），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了 次试验，且满足
每次试验只有两种可能结果， 发生或 不发生；
次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
每次试验是独立的，即每次试验 发生与否与其他次试验 发生与否是互不影响的。
， 其中 ，
则称随机变量 服从参数为 ， 的二项分布。记为 。
当 时， ， ，这就是（0-1）分布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
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精品文档精品文档 第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式概率的乘法公式全概率公式：从原因计算结果Bayes 公式：从结果找原因第二章二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)泊松分布——X~P(λ)概率密度函数怎样计算概率均匀分布X~U(a,b)指数分布X~Exp (θ)分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数联合密度与边缘密度离散型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性第三章数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义● E(a)=a ，其中a 为常数● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量)()()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==nk k k B A P B P A P 1)|()()(∑==nk k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-，,...)1,0(!)(===-k e k k X P k，λλ1)(=⎰+∞∞-dx x f )(b X a P ≤≤⎰=≤≤badxx f b X a P )()()0(1)(/≥=-x e x f x θθ∑≤==≤=xk k X P x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(⎰∞-=≤=xdtt f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 0),(≥y x f 1),(=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=⎰+∞∞-=dyy x f x f X ),()(⎰+∞∞-=dxy x f y f Y ),()(}{}{},{j Y P i X P j Y i X P =====)()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞-∞=⋅=k kkP xX E )(⎰+∞∞-⋅=dxx f x X E )()(∑=kkk p x g X g E )())(()(1)(b x a ab x f ≤≤-=)()('x f x F =精品文档随机变量g(X)的数学期望常用公式方差 定义式常用计算式常用公式当X 、Y 相互独立时：方差的性质D(a)=0，其中a 为常数D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数协方差的性质独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章正态分布标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式)()()(a a Z P a Z P Φ=<=≤)(1)()(a a Z P a Z P Φ-=>=≥)()()(a b b Z a P Φ-Φ=≤≤1)(2)()()(-Φ=-Φ-Φ=≤≤-a a a a Z a P一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式第五章 卡方分布∑∑=ijiji p x X E )(dxdyy x xf X E ⎰⎰=),()()()()(Y E X E Y X E +=+∑∑=ijijj i p y x XY E )(dxdyy x xyf XY E ⎰⎰=),()()()()(,Y E X E XY E Y X =独立时与当()⎰+∞∞-⋅-=dx x f X E x X D )()()(2[]22)()()(X E X E X D -=))}())(({(2)()()(Y E Y X E X E Y D X D Y X D --++=+)()()(Y D X D Y X D +=+)()()(),(Y E X E XY E Y X Cov -=)()(),(Y D X D Y X Cov XY=ρ[][]{})()()()()(Y E X E XY E Y E Y X E X E -=--())()()(),(22X D X E X E X X Cov =-=),(),(Y X abCov bY aX Cov =),(),(),(Z Y Cov Z X Cov Z Y X Cov +=+),(~2σμN X 222)(21)(σμσπ--=x e x f 2)(,)(σμ==X D X E )(1)(a a -Φ-=Φ)1,0(~),(~2N X Z N X σμσμ-=⇔)()()(σμ-Φ=<=≤a a X P a X P )(1)()(σμ-Φ-=>=≥a a X P a X P )()()(σμσμ-Φ--Φ=≤≤a b b X a P )(~)1,0(~212n X N X ni i χ∑=，则若精品文档t 分布F 分布正态总体条件下 样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第六章点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计最大似然估计 似然函数均值的区间估计——大样本结果正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知两个正态总体方差比的置信区间第七章假设检验的步骤① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。
概率论与数理统计常用公式整理
概率论与数理统计常用公式整理1. 概率论公式(1)概率定义：对于随机事件A，概率P(A)的定义为：P(A) = N(A) / N，其中N(A)为事件A发生的次数，N为试验总次数。
(2)加法定理：对于两个事件A和B，有：P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
(3)乘法定理：对于两个独立事件A和B，有：P(A ∩B) = P(A) ×P(B)。
(4)条件概率：对于事件A和B，且P(A) > 0，条件概率P(B|A)定义为：P(B|A) = P(A ∩B) / P(A)。
(5)全概率公式：对于一组互斥事件A1, A2, ..., An，且它们的并集构成了样本空间，有：P(B) = Σ[P(B|Ai) ×P(Ai)]，其中Σ表示求和。
(6)贝叶斯公式：对于一组互斥事件A1, A2, ..., An，且它们的并集构成了样本空间，有：P(Ai|B) = [P(B|Ai) ×P(Ai)] / P(B)。
2. 数理统计公式(1)样本均值：对于样本x1, x2, ..., xn，样本均值定义为：x̄= (x1 + x2 + ...+ xn) / n。
(2)样本方差：对于样本x1, x2, ..., xn，样本方差定义为：s^2 = [(x1 - x̄)^2+ (x2 - x̄)^2 + ... + (xn - x̄)^2] / (n - 1)。
(3)样本标准差：对于样本x1, x2, ..., xn，样本标准差定义为：s = √[s^2]。
(4)期望值：对于随机变量X，其期望值定义为：E(X) = Σ[x ×P(X =x)]，其中Σ表示求和。
(5)方差：对于随机变量X，其方差定义为：Var(X) = E[(X - E(X))^2]。
(6)协方差：对于两个随机变量X和Y，其协方差定义为：Cov(X, Y) = E[(X- E(X))(Y - E(Y))]。
概率论与数理统计公式超全版
P(X=xk)=pk，k=1,2,…，
则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
X P(X
xk )
|
x1, x2,, xk, p1, p2,, pk, 。
显然分布律应满足下列条件：
pk 1
（1） pk 0 ， k 1,2,， （2） k 1
。
1
（2）连续型 随机变量的 分布密度
表示 A 发生而 B 不发生的事件。
A、B 同时发生：A B，或者 AB。A B=Ø，则表示 A 与 B 不可能同时发生，称事件 A 与事件 B 互不相
容或者互斥。基本事件是互不相容的。
-A 称为事件 A 的逆事件，或称 A 的对立事件，记为 A 。它表示 A 不发生的事件。互斥未必对立。
②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
用 p 表示每次试验 A 发生的概率，则 A 发生的概率为1 p q ，用 Pn(k ) 表示 n 重伯努利试验中 A
出现 k(0 k n) 次的概率，
（1）离散型 随机变量的 分布律
C Pn(k)
k n
pk
q nk
，k
0,1,2,, n
。
第二章 随机变量及其分布
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为
P(B / A) P( AB) 。
P( A) 条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如 P(Ω/B)=1 P( B /A)=1-P(B/A)
乘法公式： P( AB) P(A)P(B / A)
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概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 第1章 随机事件及其概率
（1）排列组合公式
)!(!nmmPnm 从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )!(!!nmnmCnm 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
（2）加法和乘法原理
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。 （3）一些常见排列 重复排列和非重复排列（有序） 对立事件（至少有一个） 顺序问题 （4）随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 （5）基本事件、样本空间和事件
在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质： ①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件； ②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。 基本事件的全体，称为试验的样本空间，用表示。 一个事件就是由中的部分点（基本事件）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，„表示事件，它们是
的子集。 为必然事件，Ø为不可能事件。 不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。
（6）事件的关系与运算 ①关系： 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：BA 如果同时有BA，AB，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。 A、B中至少有一个发生的事件：AB，或者A+B。
属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者BA，它表示概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 A发生而B不发生的事件。
A、B同时发生：AB，或者AB。AB=Ø，则表示A与
B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 -A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。 ②运算： 结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C 分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)
德摩根率：11iiiiAA BABA，BABA （7）概率的公理化定义
设为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，„有
11)(iiiiAPAP
常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。
（8）古典概型
1° n21,， 2° nPPPn1)()()(21。 设任一事件A，它是由m21,组成的，则有 P(A)=)()()(21m =)()()(21mPPP 概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 nm
基本事件总数
所包含的基本事件数A
（9）几何概型
若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，
)()()(LALAP。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。
（10）加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式 P(A-B)=P(A)-P(AB) 当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(AP
ABP。
条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。
例如P(Ω/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)
（13）乘法公式
乘法公式：)/()()(ABPAPABP 更一般地，对事件A1，A2，„An，若P(A1A2„An-1)>0，则有 21(AAP„)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP„„21|(AAAPn„
)1nA。 概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 （14）独立性
①两个事件的独立性 设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。 若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有
)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A
与B也都相互独立。 必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。 Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件， P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么A、B、C相互独立。 对于n个事件类似。
（15）全概公式
设事件nBBB,,,21满足 1°nBBB,,,21两两互不相容，),,2,1(0)(niBPi，
2°niiBA1， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。
（16）贝叶斯公式
设事件1B，2B，„，nB及A满足 1° 1B，2B，„，nB两两互不相容，)(BiP>0，i1，2，„，n，
2° niiBA1，0)(AP， 则
njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()(
)/()()/(，i=1，2，„n。 概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP，（1i，2，„，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（1i，2，„，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。
（17）伯努利概型
我们作了n次试验，且满足 每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；
n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均
一样； 每次试验是独立的，即每次试验A发生与否与其
他次试验A发生与否是互不影响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。
用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率， knkknnqpkPC)(
，nk,,2,1,0。
第二章 随机变量及其分布 （1）离散型随机变量的分布律
设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,„)且取各个值的概率，即事件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,„， 则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：
,,,,,,,,|)(2121kkkpppxxxxXPX。
显然分布律应满足下列条件：
（1）0kp，,2,1k， （2）11kkp。 概率论与数理统计 公式（全） 2012-1-1
1 （2）连续型随机变量的分布密度
设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有
xdxxfxF)()(
，
则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。 密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(xf。
2° 1)(dxxf。 （3）离散与连续型随机变量的关系 dxxfdxxXxPxXP)()()( 积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。