中考数学黄金知识点系列专题35二次根式
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
中考数学二次根式知识点及练习题含答案
一、选择题1．若3x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＞－3 C．x≥－3 D．x≤－32．下列运算正确的是（）A．3223÷=B．235+=C．233363⨯=D．18126-=3．下列说法错误的个数是（）①所有无限小数都是无理数；②()23-的平方根是3±；③2a a=；④数轴上的点都表示有理数A．1个B．2个C．3个D．4个4．对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：()()()S p p a p b p c=---，其中2a b cp++=,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（）A．3154B．3152C．352D．3545．当4x=时，22232343124312x xx x x x-+--+++的值为（）A．1 B．3C．2 D．36．若1x+有意义，则字母x的取值范围是( )A．x≥1B．x≠2C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 7．已知a满足2018a-＋2019a-＝a，则a－2 0182＝( )A．0 B．1 C．2 018 D．2 0198．若aab+有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是（）A．1B．b+1C．2a D．1﹣2a10．如果实数x，y23x y xy y=-(),x y在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或坐标轴上D ．第二象限或坐标轴上二、填空题11．化简322+=___________．12．已知x=3+1，y=3-1，则x 2+xy +y 2=_____． 13．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简()22b a b +-﹣|a +b |的结果是_____．14．已知()230m m --≤，若整数a 满足52m a +=，则a =__________． 15．222a a ++-1的最小值是______．16．若613-的整数部分为x ，小数部分为y ，则(213)x y +的值是___.17．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______.18．4102541025-+++=_______． 19．化简：3222＝_____． 20．下列各式：2521+n 2b 0.1y 是最简二次根式的是:_____（填序号）三、解答题21．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+m 2n m 2n 2018++.【答案】12015【解析】 【分析】由43m n +=2﹣2）﹣3＝0，将，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13，∴原式＝3-23+2012＝12015．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．22．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可． 【详解】解：=== 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．23．计算：（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）(4 【答案】（1）-5;（2）9 【分析】（1）第一项利用算术平方根的定义计算，后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）012⎛⎫ ⎪⎝⎭41=--， 5=-；（2）(4167=-9=．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算以及零指数幂，熟练掌握平方差公式是解题的关键．24．先化简，再求值：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y，其中x y ==． 【答案】原式x yx-=-，把x y ==代入得，原式1=-. 【详解】试题分析：先将括号里面进行通分，再将能分解因式的分解因式，约分化简即可． 试题解析：2222212⎛⎫----÷ ⎪-+⎝⎭x y x y x x x xy y ()()()222=x y x y x x x x x x y x y -⎛⎫---⋅ ⎪+-⎝⎭ =y x x y x x y ---⋅+ x yx-=-把x y ==代入得：原式1==-+考点：分式的化简求值．25．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xyxy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．26．一样的式子，其实我3==3==，1===；以上这种化简的步骤叫做分母有理化还可以用以下方法化简：221111===-=（12）化简：2n +++【答案】（1-2. 【解析】试题分析：（12看出5-3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．试题解析：（1）=====（2）原式=122n ++++=12. 考点：分母有理化．27．已知a ，b （1）求a 2﹣b 2的值； （2）求b a +ab的值．【答案】（1）；（2）10 【分析】(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关数值进行计算即可. 【详解】(1)∵a b ，∴a +ba ﹣b ＝，∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝＝；(2)∵a b ，∴ab＝)×)＝3﹣2＝1，则原式＝22b aab+＝()22a b abab+-＝(2211-⨯＝10．【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.28．2020 (1)-【答案】1【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可．【详解】2020(1)-=1=1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解.详解：根据题意得,x+3≥0,解得x≥-3.故选C.点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键. 2．A解析：A【分析】根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．【详解】A、3=，故选项A正确；B B错误；C、18=，故选项C错误；D=D错误；故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．C解析：C【分析】根据无理数定义判断①；根据平方根的算法判断②；利用二次根式的性质化简判断③；根据数轴的特点，判断④．【详解】无限不循环小数才是无理数，①错误；3=，3的平方根是②正确；a=，③错误；数轴上的点可以表示所有有理数和无理数，④错误故选：C．【点睛】本题考查无理数的定义、平方根的计算、二次根式的性质以及数轴表示数，紧抓相关定义是解题关键．4．A解析：A【分析】根据公式解答即可．【详解】根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则2+349=222a b cp+++==∴其面积为S====故选：A．【点睛】本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．5．A解析：A【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131331133331131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．D解析：D 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．7．D解析：D 【解析】 【分析】根据二次根式的被开数的非负性，求的a 的范围，然后再化简绝对值，最后，依据二次根式的定义进行变形即可．解：等式20182019a a ＋--＝a 成立，则a ≥2019， ∴a-2018+2019a -=a ， ∴2019a -=2018， ∴a-2019=20182， ∴a-20182=2019． 故选D ． 【点睛】本题主要考查的是二次根式有意义的条件，求得a 的取值范围是解题的关键．8．A解析：A 【解析】试题分析：根据二次根式的概念，可知a≥0，ab ＞0，解得a ＞0，b ＞0，因此可知A （a ，b ）在第一象限. 故选A9．A解析：A 【解析】﹣+b=111a a b b a a b b ---+=-+-+= ，故选A.10．D解析：D 【分析】先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴． 【详解】23x y xy y =- ∴x 、y 异号，且y>0，∴x<0，或者x 、y 中有一个为0或均为0． ∴那么点(),x y 在第二象限或坐标轴上． 故选：D ． 【点睛】根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a 、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置．二、填空题 11．+1 【分析】先将用完全平方式表示,再根据进行化简即可.【详解】因为,所以,故答案为:.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二+1【分析】先将3+,()()()0000a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪-<⎩进行化简即可.【详解】因为(2231211+=+=+=+,11===故答案为:1.【点睛】本题主要考查利用完全平方公式对无理式进行因式分解,二次根式的性质,解决本题的关键是要将二次根式利用完全平方公式分解. 12．10【解析】根据完全平方式的特点，可得x2+xy+y2=（x+y ）2﹣xy=（2）2﹣（+1）（﹣1）=12﹣2=10．故答案为10．解析：10【解析】根据完全平方式的特点，可得x 2+xy+y 2=（x+y ）2﹣xy=（2﹣1）=12﹣2=10．故答案为10． 13．3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a+b ＜0，∴原式＝|解析：3b【分析】先判断a ，b 的取值范围，并分别判断a-b ，a+b 的符号，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，计算即可求解．【详解】解：由数轴可知：b ＞0，a ﹣b ＜0，a +b ＜0，∴原式＝|b |+|a ﹣b |﹣|a +b |＝b ﹣（a ﹣b ）+（a +b ）＝b ﹣a +b +a +b＝3b ，故答案为：3b【点睛】a =和绝对值的性质是解题的关键．14．【分析】先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．【详解】解：为整数为故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用解析：5【分析】)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．解：()230m m --≤23m ∴≤≤m a +=a m ∴=32a ∴≤≤7528<<46a ∴<<a 为整数a ∴为5故答案为：5．【点睛】本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．15．0【解析】【分析】先将化简为就能确定其最小值为1，再和1作差，即可求解。
二次根式知识点归纳
二次根式知识点归纳定义：一般的，式子a (a ≥0)叫做二次根式。
其中“”叫做二次根号，二次根号下的a 叫做被开方数。
性质：1、2≥0,等于a;a<0,等于-a3、45612789一.1.【05A.25 B.52 C.542.【05南京】9的算术平方根是（???）.A.-3B.3C.±3D.813.【05南通】已知2x <,的结果是（???）.A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -4.【05泰州】下列运算正确的是（???）.A ．a 2＋a 3=a 5B ．(－2x)3=－2x 3C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（）A 、2xyB 、2xyC 、－y x 2D 、223y x6.【05武汉】若a ≤1，则化简后为（???）. A.??B. C.???D.7.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：，以下判断正确的是（???）.A.甲的解法正确，乙的解法不正确B.甲的解法不正确，乙的解法正确C.甲、乙的解法都正确D.甲、乙的解法都不正确8.【05(A)a >9.【05A.8 10.【05A.2411.【05A.(-1)312.【05A 、x 213.【05A ．114.【05 A 15.【05A ．aa b ++b a b +=1B ．1÷b a ×a b =1 C ．21()a b +·22a b a b --=1a b +二、填空题1.【05连云港】计算：)13)(13(-+=．2.【05南京】10在两个连续整数a 和b 之间，a<10<b,那么a,b 的值分别是。
3.【05上海】计算：)11＝4.【05嘉兴5.【05丽水】当a ≥0．6.【05南平=.7.【05漳州，2，(第n 个数).8.【05曲靖】在实数-2，31，0，-1.2，2中，无理数是． 9.【05黄石】若最简根式b a a +3与b a 2+是同类二次根式，则ab =．10.【05太原】将棱长分别为a cm 和bcm 的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。
初中数学 中考复习二次根式专题练习(含答案)
二次根式复习一、知识归纳 （一）二次根式定义1注意：（12，（2）被开方数是非负数2、二次根式在实数范围内有意义的条件是 a ≥0 。
（二）二次根式的性质1、二次根式的双重非负性≥0，a ≥0a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，≥0，2、）2=a (a ≥0)(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜（三）、最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含 ；（2）被开方数不含 的因数或因式。
满足：（1）根号内不含有分母，有分母的先通分，再将分母开出来 （2）根号内每个因式或因数的指数都小于根指数2，如果根号内含有因式或因数的指数大于根指数2，就利用，将每个因式或因数的指数都小于根指数2（3）分母内不含有根式，如果分母内含有根号，则利用分母有理化，将根号划去。
（1）判断一个二次根式是否是最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点： ①被开方数不含分母；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式.即把每一个因数或因式都写成底数较小、乘方的形式后，因数或因式的指数小于2.③若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开放方数写成积的形式，再作判定，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式.=简二次根式.=，且因式2和22()x y +的指数都是1，是最简二次根式.22a b +无法变成一个数（或因式）式.（2）化简二次根式一般例如为两步：一如果被开方数是分数或分式，利用分母有理化化简；二化去被开方数中的分母之后，再将被开方数分解成几个数相乘的形式或分解因式，然后利用积的算术平方根的性质把能开得尽方的因数或因式开出来.若被开方数中不含分母，则只需第二步.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式与同类项类似. 对同类二次根式的理解应注意以下几点：（1）判断几个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关. 将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数保持不变.（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.（四）二次根式的运算0)=≥，≥0a b=≥，＞00)a b≥，≥0a b0)=≥，＞00)a b二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.4、二次根式加减的步骤：（1）先将二次根式化成。
中考数学二次根式重点：二次根式
中考数学二次根式重点：二次根式
2019中考数学二次根式重点：二次根式
知识点是学习各门课的关键,应用越来越广泛了，我们必须好好来学习知识。
对此查字典数学网编辑为大家整理了2019中考数学二次根式重点。
详情如下：
1．二次根式：一般地，式子叫做二次根式。
注意：(1)若这个条件不成立，则不是二次根式;
(2)是一个重要的非负数，即;≥0。
积的算术平方根：
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积;
二次根式的乘法法则：。
二次根式比较大小的方法：
(1)利用近似值比大小;
(2)把二次根式的系数移入二次根号内，然后比大小;
(3)分别平方，然后比大小。
商的算术平方根：，
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
最简二次根式：
(1)满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，①被开方数的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含能开的尽的因数或因式;
(2)最简二次根式中，被开方数不能含有小数、分数，字母。
初中数学知识归纳二次根式的化简及运算
初中数学知识归纳二次根式的化简及运算初中数学知识归纳：二次根式的化简及运算二次根式是初中数学中一个重要的概念，它在解方程、图形的性质等各个方面都有广泛的应用。
本文将对二次根式的化简和运算进行归纳总结，并提供相应的例题和解答，以帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次根式的化简1. 特殊二次根式的化简对于平方数a，可将其开平方后得到一个整数，即√(a^2) = a。
例如，√(4^2) = 4，√(9^2) = 9。
这类二次根式已经是化简到最简形式。
2. 拆分因式法的应用对于二次根式中的非完全平方数，可以利用拆分因式的方法进行化简。
例如，√3 = √(1 × 3) = √1 × √3 = √3。
再例如，√15 = √(3×5) = √3 ×√5 = √15。
3. 有理化分母有时候我们需要将二次根式的分母有理化，即将根号去掉。
例如，对于分母为√2的分式，可以用有理数2来乘以分式的分子和分母，即(3√2)/(√2) = (3√2 × 2)/(√2 × 2) = (6√2)/2 = 3√2。
二、二次根式的运算1. 加减运算当二次根式的根号内部相同，只是前面的系数不同，可以进行加减运算。
例如，√2 + 2√2 = 3√2，3√5 - 2√5 = √5。
2. 乘法运算二次根式的乘法运算遵循乘法分配律。
例如，(√3 + √2) × (√3 - √2) = (√3)^2 - (√2)^2 = 3 - 2 = 1。
3. 除法运算二次根式的除法运算可以进行有理化分母的处理，将分母有理化之后再进行运算。
例如，(4√3)/(2√2) = (4√3 × 2)/(2√2 × 2) = (8√3)/4 = 2√3。
三、例题与解答1. 化简以下的二次根式：√(12) + 5√(27) - √(48)解：√(12) = √(4 × 3) = √4 × √3 = 2√35√(27) = 5√(9 × 3) = 5√9 × √3 = 15√3√(48) = √(16 × 3) = √16 × √3 = 4√3将这些结果代入原式，得到：2√3 + 15√3 - 4√3 = 13√32. 计算以下的二次根式：(√6 + √2) × (√6 - √2)解：根据乘法公式，展开后得到：(√6 + √2) × (√6 - √2) = (√6)^2 - (√2)^2 = 6 - 2 = 43. 计算以下的二次根式：(3√5 - √3)/(2√5)解：利用有理化分母的方法，得到：(3√5 - √3)/(2√5) = (3√5 - √3) × (2√5)/(2√5 × 2) = (6√25 - 2√15)/(4√10) = (6 × 5 - 2√15)/(4√10) = (30 -2√15)/(4√10) = (15 - √15)/(2√10)通过以上的例题与解答，我们可以加深对二次根式化简和运算的理解。
人教版中考数学专题课件：数的开方与二次根式
数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
二次根式 形如 a(________) a≥0 的式子，叫做二次根式. a中的 的概念 a 是非负数，其结果也是非负数. 同时满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次 最简二次 根式： 根式 (1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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数的开方与二次根式
(1)此类分式与二次根式综合计算与化简问题， 一般先化简再 代入求值； (2)最后的结果要化为分母中没有根号的数或者是最简二次 根式．
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数的开方与二次根式 探究四 二次根式的大小比较
命题角度： 1．二次根式的大小比较方法； 2．利用计算器进行二次根式的大小比较．
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数的开方与二次根式
考点3 二次根式的性质
2 1.( a ) ＝a(a________) ； ≥0 二 次 a （a≥0）， 2 根 2. a ＝|a|＝ －a （a<0）； 式 的 3. ab＝ a· b(a________ ，b________) ； ≥0 ≥0 性 b b 质 4. ＝ (a________ ，b________). ≥0 ＞ 0 a a
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数的开方与二次根式
x－2 3 例 4 [2013· 苏州] 先化简，再求值： ÷(x＋1－ )， x－1 x－1 其中 x＝ 3－2.
x－2 x2－1－3 3 x－2 x ＋ 1 － 原式＝ ÷ ＝x－1÷ x－1 x － 1 x－1
初中数学二次根式知识点总结
二次根式知识点总结
二次根式加减计算方法总结：
整式的加减归结为合并同类项,二次根式的加减同整式的加减类似，归结为合并同类二次根式，二次根式相加减的一般过程是：把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并
步骤:
1.化简：先将二次根式化简成最简二次根式（最简二次根式条件:1.被开方数的因数是整数，因式是整式；
2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）
2.合并：将同类二次根式进行合并
易错总结：
1.不是最简二次根式要化成最简二次根式；
2.去括号时括号外面如果是负号，括号里面的符号要变号；
3.注意同类二次根式要合并。
二次根式乘除计算方法总结：
易错总结：
结果要化成最简二次根式
二次根式混合计算方法总结：
先算乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的，能利用
运算律或者乘法公
式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算。
易错总结：
1.进行根式计算时，要正确运用运算法则和乘法公式
2.与因式相乘的因数若是带分数，必须化成假分数
3.最终结果必须化成最简二次根式
4.去绝对值符号时，若绝对值符号里面是负数，去绝对值符号要改成相反数。
中考数学二次根式知识点总结含答案
一、选择题 1．若2a，化简223a（ ） A．5a B．5a C．1a D．
1a
2．若01x，则2211
44xxxx
( ).
A．2x B．2x C．2x D．
2x
3．当0x时，二次根式42x的值是（ ） A．4 B．2 C．2 D．0 4．下列计算正确的是（ ） A．93 B．8220 C．532 D．
2
(5)5
5．下列计算正确的是（ ） A．325 B．2222 C．2651 D．822
6．在函数y=23xx中，自变量x的取值范围是（ ） A．x≥－2且x≠3 B．x≤2且x≠3 C．x≠3 D．x≤－2 7．下列运算正确的是（ ）
A．32=﹣6 B．31182 C．4=±2 D．25×32=510
8．如果2aa2a1=1，那么a的取值范围是（ ） A．a0 B．a1 C．a1 D．
a=0a=1或
9．下面有四个命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；②0.1的算术平方根是
0.01；③计算3 (3＋123)＝5；④如果点P（3－2n，1）到两坐标轴的距离相等，那
么n＝1，其中假命题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记
2abcp，那么三角形的面积为Sppapbpc如图，在ABC中，
A，B，C所对的边分别记为a，b，c，若5a，6b，7c，则ABC的面
积为（ ） A．66 B．63 C．18 D．
19
2
二、填空题
11．使函数21122yxxx有意义的自变量x的取值范围为_____________ 12．设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去……． ⑴记正方形ABCD的边长为11a，按上述方法所作的正方形的边长依次为
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专题35 二次根式
聚焦考点☆温习理解
1、二次根式
式子)0(aa叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
2、最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，
这样的二次根式叫做最简二次根式。
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，
然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。
4、二次根式的性质
（1）)0()(2aaa
（2）aa2(0)( 0)aaaa
（3）)0,0(babaab
（4）)0,0(bababa
5、二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的
（或先去括号）。
名师点睛☆典例分类
考点典例一、二次根式概念与性质
【例1】（2016浙江宁波第4题）使二次根式1x有意义的x的取值范围是
A. 1x B. 1x C. 1x D. 1x
【答案】D.
【解析】
试题分析：使二次根式a有意义的条件是被开方数a≥0，所以使二次根式1x有意义的条件是x-1≥0，
即x≥1，故答案选D.
考点：二次根式有意义的条件.
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【举一反三】
（金华）在式子
11
,,x2,x3x2x3
中，x可以取2和3的是【 】
A．1x2 B．1x3 C．x2 D．x3
【答案】C．
考点：二次根式和分式有意义的条件.
考点典例二、二次根式的运算
【例2】（济宁）如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①aabb，②1abba，③
a
abbb
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】B.
【解析】
答案：二次根式的乘除法．
【点睛】二次根式化简依据：)0,0(babaab，)0,0(bababa，本题是考查二次根
式的乘除法，解答本题的关键是明确a＜0，b＜0．
【举一反三】
（2016黑龙江哈尔滨第13题）计算18212的结果是 ．
【答案】22.
【解析】
试题分析：2223221218212
考点：二次根式化简.
考点典例三、二次根式混合运算
【例3】（荆门）计算：011244(12)38
【答案】2.
【解析】
试题分析：
考点：二次根式的混合运算
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．
【举一反三】
（2016辽宁营口第5题）化简27312的结果为（ ）
A．0 B．2 C．23 D．23
【答案】D．
【解析】
试题分析：27312=33323=23，故选D．
考点：二次根式的加减法．
考点典例四、二次根式运算中的技巧
【例4】（德州）若y=442xx-2，则（x+y）y=
【答案】14．
【解析】
试题分析：根据被开方数大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解．
试题解析：由题意得，x-4≥0且4-x≥0，
解得x≥4且x≤4，
∴x=4，
y=-2，
∴x+y）y=（4-2）-2=14．
考点：二次根式有意义的条件
【点睛】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
【举一反三】
（福州）若（m-1）2+2n=0，则m+n的值是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
考点典例五、估算大小
【例5】（河北）a，b是两个连续整数，若a＜7＜b，则a，b分别是（ ）
A．2，3 B．3，2 C．3，4 D．6，8
【答案】A．
【解析】
试题分析：根据4＜7＜9，可得答案．
试题解析：根据题意，可知4＜7＜9，
可得a=2，b=3．
故选：A．
考点：估算无理数的大小．
【举一反三】
（吉林）若a＜13＜b，且a，b为连续正整数，则b2-a2=
【答案】7.
考点：估算无理数的大小．
课时作业☆能力提升
1. （2016年福建龙岩第3题）与5是同类二次根式的是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】C.
【解析】
试题分析：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．10、15都是最简二次
根式，被开方数与5的被开方数不一样，因此A、B错误，5220与5的被开方数一样，因此C
正确，525与5的被开方数不一样，因此D错误.故选C.
考点：同类二次根式
2. （2016四川南充第2题）下列计算正确的是（ ）
A．1223 B．3322 C．3xxx D．2xx
【答案】A．
【解析】
试题分析：A．1223，正确；
B．3622，故此选项错误；
C．3xxx，故此选项错误；
D．2xx，故此选项错误；
故选A．
考点：二次根式的性质与化简．
3. （2016湖南岳阳第3题）函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4
【答案】D.
【解析】
试题分析：根据二次根式有意义的条件可得出x﹣4≥0，解得x≥4．故答案选D．
考点：二次根式有意义的条件．
4. （内江）按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是（ ）
A．14 B．16 C．8+52 D．14+2
【答案】C.
考点：实数的运算．
6. .（2016广西桂林第6题）计算3﹣2的结果是（ ）
A． B．2 C．3 D．6
【答案】A.
【解析】
试题分析：根据二次根式的加减运算法则可得原式=（3﹣2）=．故答案选A．
考点：二次根式的加减法．
7 （2016广东广州第12题）代数式9－x有意义时，实数x的取值范围是 .
【答案】x≤9.
【解析】
试题分析：使二次根式9－x有意义，必须满足9-x≥0，即x≤9.
考点：二次根式有意义的条件.
8.（2016重庆A卷第14题）计算：04(2)= ．
【答案】3．
【解析】
试题分析：04(2)=2+1=3．故答案为：3．
9.（2016福建南平第12题）计算：2(27)= ．
【答案】28．
【解析】
试题分析：原式=222(7)=28．故答案为：28．
考点：二次根式的乘除法．
10. （2016湖南湘西州第12题）计算3﹣2的结果精确到0.01是（可用科学计算器计算或笔算）（ ）
A．0.30 B．0.31 C．0.32 D．0.33
【答案】C．
考点：计算器的运用.
11.（2016黑龙江哈尔滨第13题）计算18212的结果是 ．
【答案】22.
【解析】
试题分析：2223221218212
考点：二次根式化简.
12.（2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第9题）若1＜x＜2，则23(1)xx的值为（ ）
A．2x﹣4 B．﹣2 C．4﹣2x D．2
【答案】D．
考点：二次根式的性质与化简．
13. （2016江苏常州第9题）化简：82= ．
【答案】2．
【解析】
试题分析：原式=222=2．故答案为：2．
考点：二次根式的加减法．
14.（2016山东东营第19题）
(1)计算：(12016)－1＋(π―3.14)0－2sin60°―12＋|1－33|；
(2)先化简，再求值：（a＋1－4a－5a－1）÷（1a－1a2－a），其中a＝2＋3．
【答案】(1)原式=2016；（2）原式=a2－2a.当a＝2＋3时，原式＝3＋23.
【解析】
试题分析：(1)根据绝对值的概念、零指数幂、负整数指数幂的法则，以及特殊三角函数值计算即可．(2)
根据分式的运算顺序先化简再求值即可.
试题解析：(1)原式＝2016＋1－2×32－23＋（33－1）
＝2016＋1－3－23＋33－1
考点：实数的运算；分式的化简求值.