《11.3角的平分线的性质》学案二
113角平分线的性质(第2课时)MicrosoftWord文档
八年级数学导学案内容：11.3角平分线的性质（第2课时）课型：新授执笔：王红霞审核：数学组学习目标：1。
理解掌握角平分线的判定方法。
2．理解掌握三角形的角平分线相交于一点，这点到三边的距离相等这一性质。
3．会运用角平分线的性质和判定解决问题。
重点：角平分线的判定方法。
难点：角平分线性质和判定的应用。
一．课前预习，细心认真。
1．自读课本21页思考中的问题。
2．按下列步骤画图：（1）画∠AOB。
（2）在∠AOB内找一点P，过点P分别作P C⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，并且使PC=PD。
（3）作射线OP。
猜想：射线OP是∠AOB的平分线吗？请证明你的结论。
由以上猜想和证明，我们可以得出角平分线的判定方法：________________________的点在角的平分线上。
（记忆）3．再读课本21页例题，思考：（1）点P在∠A的平分线上吗？为什么？（2）你能说说三角形的三条角平分线有什么关系吗？二．小试身手，我是最棒的！1．如图，P C⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若PC=PD，那么∠1与∠2是否相等？为什么？2．如图，∠B=∠C，D是BC的中点，D E⊥AB于E，DF⊥BC于F。
求证：AD平分∠BAC。
三．小组合作，展示提升。
1．课本第22页习题第3题。
（要注意运用角平分线的判定方法噢！）2．如图，两条交叉的公路OA、OB在O处相交，一条铁路MN穿过公路OA。
问：在铁路MN 上的何处建军一个货物中转站到公路OA、OB的距离相等？请在图上作出这个点。
四．学（教）后感：。
角平分线的性质(2)
11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。
2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。
【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。
二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。
(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。
变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。
四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。
角的平分线的性质
《角的平分线的性质》教学设计案例枣阳市实验中学张海燕一、内容和内容解析内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“11.3 角的平分线的性质（2）”内容解析：本节课是在学生学习了角平分线的概念和全等三角形的基础上进行教学的，它主要学习角平分线的性质定理及其逆定理。
同时角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的思路，并为今后在圆一章学习内心作好知识准备。
本节内容分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第二课时主要探究角的平分线的性质并在此基础上进行简单的应用。
本节内容不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学会在实际问题中建立数学模型。
因此，本节课的教学重点是：角平分线画法、性质和判定．二、目标和目标解析1、能够利用三角形全等，证明角平分线的性质和判定，进一步发展学生的推理证明意识和能力．2、能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，解决一些实际问题．3、结合实际，创造丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获得成功的体验，培养学生的探索精神，树立学习的信心．三、教学问题诊断分析数学知识不是静态的结果，而是一种主动构建的过程。
针对八年级学生的实际情况，结合本节的教材的特点通过对实际生活中常见现象进行分析入手，激发学习热情，加深体验，从而为即将得出的方法结论作好铺垫；沿着“观察—操作—猜想—证明”的思维过程，对难点进行层层铺垫，使学生亲自经历新知的产生过程。
四、教学支持条件分析新课标在课程实施建议中强调：有条件的地区应尽可能在教学过程中使用现代教育技术，增加数学课程的技术含量。
因此，在本节课的教学设计中，运用了现代信息技术，直观形象地呈现方式，有助于学生对数学知识的理解和掌握。
五、教学过程分析教学基本流程：教学过程：（一） 创设情境，引入新课：问题：一个S 区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P ，要从P 点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路最短？这两条路有什么关系？画出来看一看。
角平分线的性质运用
11．3 角的平分线的性质（二）教学目标1、角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”． 3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？问题2：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO （HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．∴PD=PE．同理PE=PF．∴PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：P22IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业P22 3 P23 6教后记：在授课过程中，我对学生的能力有些低估，表现在整个教学过程中始终大包大揽，没有放手让学生自主合作，在教学中总是以我在讲为主，没有培养学生的能力。
角的平分线的性质2 教案
11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。
同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。
【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。
（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。
引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。
（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。
【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。
【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。
【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。
初中数学教学设计.11.3.角的平分线的性质
11.3 角的平分线的性质一、教学目标知识技能：掌握作已知角的平分线的方法和角的平分线的性质.数学思考：在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉.问题解决：提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.情感态度：培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验,进步培养学生的理性精神.二、重难点分析教学重点：根据教材的内容及作用确定本节课的教学重点是角平分线的性质的证明及运用.本节教学中，充分以学生为主体进行教学，通过让学生观察和动手操作，使他们体验和感受角的平分线的性质；充分进行小组间、师生间的合作交流，调动学生学习的积极性和能动性.教学难点：角的平分线的性质的探究是本节课的难点.注重图形语言的教学，引导学生探究文字语言与符号语言的联系.利用动画演示,让学生直观的识别抽象的图形和知识点 ,从而突出重点、突破难点.三、学习者学习特征分析根椐以往的教学经验和对学生的调查，估计有80％的学生能掌握角平分线的基本画法，但在作法的叙述上有困难；能正确地理解性质的内含，但还要加强训练，培强灵活运用的程度.四、教学过程（一）创设情境，引入新课用多媒体出示问题：（1）在纸上任意画出一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？（2）教师演示简易的角平分仪.后向学生交侍沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？师生互动设计:（1）让学生动手实验，通过折纸的方法作角的平分线.（2）教师结合简易的角平分仪，直观地进行讲述，提出探究的问题.学生进行小组讨论，互相交流，利用以前所学的知识寻找理论上的依据，说明这个仪器的制作原理.在这个教学环节，老师重点关注：（1）学生能否从简易的角平分仪中抽象出两个三角形；（2）学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等.设计意图：让学生回忆角的平分线的定义，培养学生的动手能力，抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力.（二）合作交流，探索新知1．动手探究，引发思考：（1）作任意一个∠ABC;（2）作∠BAC的角平分线；（3）在∠BAC的角平分线上任取一点P，作PM⊥AB,PN⊥BC,垂足为M、N.2．动手实践，总结规律：如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开. 观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？完成下列探索题：（1）分别度量线段PD、PE的长，得到PD=_______,PE=______.（2)在角平分线上向前移动点P点，观察上述数据分别变为PD=_______,PE=______.（3）在角平分线上不断地移动点P,发现____________________(4)用一句话总结上述结论：_______________________________.(5)请你试着证明这个结论.师生互动设计：（1）学生以小组为单位合作探究；（2）由各组长交流探究成果； （3）教师用多媒体演示；（4）老师引导学生将性质的文字语言转化成几何语言. 在这个环节老师要重点关注：（1）学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质； （2）学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等.设计意图：让学生从实验中探索、发现角平分线的性质，培养学生的抽象概括能力及理精神. 角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等. 到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？总结规律：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.（三）课堂小结，体验收获[PPT 显示] 我们这节课学习了哪些知识？（学生小结） 1.你能画出一个角的平分线吗？ 2.角的平分线有什么性质？（四）拓展延伸，布置作业 （1）必做题：如图,△ABC 的∠B 的外角的平分线BD 与∠C 的外角的平分线CE 相交于点P. 求证：点P 到三边AB 、BC 、CA 所在直线的距离相等.（2）选做题：如图, △ABC 中，AD 是它的角平分线，且BD=CD, DE 、DF 分别垂直于AB 、AC ，垂足为E 、F. 求证：EB=FC.DEABCP（3）思考题：如图, △ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F.求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等.五、学习评价（一）选择题1.下列各语句中，不是真命题的是（ ）（A ）直角都相等. （B ）等角的补角相等. （C ）点P 在角的平分线上. （D ）对顶角相等. 2.下列语句中正确的是（ ）（A ）有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等. （B ）相等的角是对顶角. （C ）余角相等的角互余.（D ）两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等.3.如图，FD ⊥AO 于D ，FE ⊥BO 于E ，下列条件：①OF 是∠AOB 的平分线；②DF=EF ；③DO=EO ；ABFE BD CF PE A④∠OFD=∠OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有（）（A）1个. （B）2个. （C）3个. （D）4个.第3题第4题4.如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）（A）一处. （B）二处. （C）三处. （D）四处.5.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）（A）4cm. （B）6cm. （C）8cm. （D）10cm.第5题第6题6.如图，已知AC平分∠PAQ，点B，B′分别在边AP，AQ上，如果添加一个条件，即可推出AB=AB′，那么该条件不可能是（）（A）BB′⊥AC. （B）BC=B′C.（C）∠ACB=∠ACB′. （D）∠ABC=∠AB′C.（二）填空题7.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若DC=7cm，则D到AB的距离是.8.如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 .9.如图，点F 、C 在线段BE 上，且∠1=∠2，BC=EF ，若要使△ABC ≌△DEF ，则还须补充一个条件 .第10题 第11题 第12题10.如图，△ABC 中，∠C=90°，AM 平分∠CAB ，CM=20 cm ，则点M 到AB 的距离是_________. 11.如图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ=OP ，OT=OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.12.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC ，AP 平分∠CAB ，那么∠APD 的度数为 ．（三）解答题13．如图，AB=AC ，BD=CD ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：DE=DF.第13题14．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三边上的点, CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等. 求证：AD 平分∠BAC.E FBC ADABCDFEPABCD15.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD. 求证：D 在∠BAC 的平分线上.16．如图，在△ABC 中，∠C=90°,AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？答案与提示（一）选择题1.C.2.A.3.D.4.D.5.B.6.B. （二）填空题7. 7cm.8. 2. 提示：30度角所对的直角边等于斜边的一半. 9. AC=DF. 提示：答案不唯一. 10. 20cm. 11. 4. 12. 45°. （三）解答题13. 提示：∵△ABD ≌△ACD （SSS ）, ∴∠BAD=∠FAD. ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC, ∴DE=DF. 14. 提示：过点D 作DM ⊥AB, DN ⊥AC. 15. 提示：△BDE ≌△CDF （AAS ）. 16. 提示：过点D 作DE ⊥AB.ACBD。
“11.3角的平分线的性质”教学设计
“11.3角的平分线的性质”教学设计作者：于长江来源：《新课程·中旬》2018年第03期现代信息技术已经走进课堂教学，使数学课堂变得更生动、更高效。
现将《角的平分线的性质》一课的教学设计的主要环节呈现给大家，供广大教师参考借鉴！一、设计理念“角的平分线的性质”一课，采用“引导—发现”教学模式，以PPT课件为载体，整合了电子白板教学软件、几何画板软件，并用微课、电子教具辅助教学，创建了多元化、个性化的课堂教学环境，实现了信息技术与数学教学的有效融合。
通过“演示、观察、猜想、论证”探究活动，使整个教学过程成为学生自主探究的过程，课堂成为学生进行探究活动的平台。
二、教学过程探究活动一：创设情境导入新课——角的平分线我们学习并掌握了一些图形的性质，今天我们要学习哪些知识呢？请看视频：（微视频展示：在半透明的纸上画一个角，然后折纸，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开。
并引导学生探究：如果将纸片换成不能折叠的木板，怎样作角平分线？）技术剖析：导入新课时，我利用几何画板软件制作了折纸法作角平分线课件，再将其用录屏软件Camtasia Studio录制成微课，然后插入到PPT课件中，上课时适时播放微课。
设计说明：整合现代教育信息技术，用微课创设情境导入新课，可以生动直观地表达教学内容。
通过逼真的图象、生动形象的动画、优美动听的音乐、虚拟的实验场景，将视觉和听觉等同时作用于人的感官，有利于激发学生探究的热情，把许多抽象的和繁琐的叙述在屏幕上演示得一“幕”了然，使数学课堂变得更生动、更高效。
探究活动二：合作交流探究新知——探究角平分仪的作法问题：工人师傅常用如图所示的简易平分角的仪器来画角的平分线（出示仪器的电子模型，介绍仪器特点——有两对边相等），将A点放在角的顶点处，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE即为∠BAD的平分线。
看一看：教师播放微视频，学生观看角平分仪作角平分线的过程。
说一说：学生用三角形全等知识说明这个仪器的制作原理。
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【学习目标】：
1．结合图形了解三角形角平分线的性质；
2．能进一步综合利用角平分线的性质与判定解决计算与推理问题。
【学习重点】：角平分线的画法、性质与判定.
【学习难点】：运用角平分线性质进行简单的推理及解决实际问题．
【课前自学、课中交流】
1.如图，已知AOBÐ和射线''OB，用尺规作图法作'''AOBAOB? （要求保留作图痕迹）．
2.如图，Rt△ABC中，∠C=90°, ∠CAB=30°, 用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两
个三角形，
且其中一个是等腰三角形.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）.
3. 如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°, BD平分∠ABC, 交AC于D.
(1)若∠BAC=30°, 则AD与BD之间有何数量关系，说明你的理由;
A
B
C
C
B
A
P
A
B
C
D
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(2) 若AP平分∠BAC，交BD于P, 求∠BPA的度数
【课堂小结】
使用日期：2012 年 9 月 日 审核人：
【当堂训练】
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【课后反思】通过本节课的学习，我的收获和困惑是：
本节课我得收获：____________________________________________________________。
还要解决的问题：___________________________________________________________