2014年高考数学中的内切球和外接球问题(附习题)

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高考数学复习考点知识与题型专题讲解52---球的切、接问题

高考数学复习考点知识与题型专题讲解球的切、接问题题型一特殊几何体的切、接问题例1(1)已知正方体的棱长为a，则它的外接球半径为________，与它各棱都相切的球的半径为________．答案32a22a解析∵正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，为3a，∴它的外接球的半径为32a，∵球与正方体的各棱都相切，则球的直径为面对角线，而正方体的面对角线长为2a，∴与它各棱都相切的球的半径为2 2a.(2)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．答案2 3π解析圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面P AB，如图所示，则△P AB的内切圆为圆锥的内切球的大圆．在△P AB中，P A＝PB＝3，D为AB 的中点，AB＝2，E为切点，则PD＝22，△PEO∽△PDB，故PO PB ＝OE DB ，即22－r 3＝r 1，解得r ＝22，故内切球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝23π. 思维升华 (1)正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a ，球的半径为R ，①若球为正方体的外接球，则2R ＝3a ；②若球为正方体的内切球，则2R ＝a ；③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .(2)长方体的共顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. (3)正四面体的外接球的半径R ＝64a ，内切球的半径r ＝612a ，其半径R ∶r ＝3∶1(a 为该正四面体的棱长)．跟踪训练1(1)(2022·成都模拟)已知圆柱的两个底面的圆周在体积为32π3的球O 的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为()A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π答案B解析如图所示，设球O的半径为R，由球的体积公式得43πR3＝32π3，解得R＝2.设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为α，则r＝2cosα，圆柱的高为4sinα，∴圆柱的侧面积为4πcosα×4sinα＝8πsin2α，当且仅当α＝π4，sin2α＝1时，圆柱的侧面积最大，∴圆柱的侧面积的最大值为8π.(2)(2022·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________．答案9π2解析易知AC＝10.设△ABC的内切圆的半径为r，则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r，所以r＝2.因为2r＝4>3，所以最大球的直径2R＝3，即R＝32，此时球的体积V＝43πR3＝9π2.题型二补形法例2(1)在四面体ABCD中，若AB＝CD＝3，AC＝BD＝2，AD＝BC＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为()A．2πB．4πC．6πD．8π答案C解析由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，得2R2＝3，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.(2)(2022·重庆实验外国语学校月考)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________．答案1 36π解析如图添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF －BCE ，因为CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，所以S △CBE ＝12CE ×BC ＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF －BCE 的体积为V ＝S △EBC ·DC ＝12×2＝1，添加的三棱锥的体积为13V ＝13；如图，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连接MN ，与AE 交于点O ，因为四边形AFEB 为矩形，所以O 为AE ，MN 的中点，在直三棱柱ADF －BCE 中，CE ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，即∠ECB ＝∠FDA ＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O ，连接DO ，DO 即为球的半径，连接DM ，因为DM ＝12AF ＝22，MO ＝1，所以DO 2＝DM 2＋MO 2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4π·DO 2＝6π.思维升华补形法的解题策略(1)侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；(2)直三棱锥补成三棱柱求解．跟踪训练2已知三棱锥P －ABC 中，P A ，PB ，PC 两两垂直，且P A ＝1，PB ＝2，PC ＝3，则三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为()A.7143πB ．14πC ．56πD.14π答案B解析以线段P A ，PB ，PC 为相邻三条棱的长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′被平面ABC 所截的三棱锥P －ABC 符合要求，如图，长方体P AB ′B －CA ′P ′C ′与三棱锥P －ABC 有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP ′，设外接球的半径为R ，则(2R)2＝PP′2＝P A2＋PB2＋PC2＝12＋22＋32＝14，则所求表面积S＝4πR2＝π·(2R)2＝14π.题型三定义法例3(1)已知∠ABC＝90°，P A⊥平面ABC，若P A＝AB＝BC＝1，则四面体P ABC的外接球(顶点都在球面上)的体积为()A．πB.3πC．2πD.3π2答案D解析如图，取PC的中点O，连接OA，OB，由题意得P A⊥BC，又因为AB⊥BC，P A∩AB＝A，P A，AB⊂平面P AB，所以BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，在Rt△PBC中，OB＝12PC，同理OA＝12PC，所以OA＝OB＝OC＝12PC，因此P ，A ，B ，C 四点在以O 为球心的球面上，在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝ 2. 在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝3，球O 的半径R ＝12PC ＝32，所以球的体积为43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2. 延伸探究本例(1)条件不变，则四面体P －ABC 的内切球的半径为________．答案2－12解析设四面体P －ABC 的内切球半径为r .由本例(1)知，S △P AC ＝12P A ·AC ＝12×1×2＝22，S △P AB ＝12P A ·AB ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12AB ·BC ＝12×1×1＝12，S △PBC ＝12PB ·BC ＝12×2×1＝22，V P －ABC ＝13×12AB ·BC ·P A＝13×12×1×1×1＝16，V P －ABC ＝13(S △P AC ＋S △P AB ＋S △ABC ＋S △PBC )·r＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋12＋22·r ＝16， ∴r ＝2－12.(2)在矩形ABCD 中，BC ＝4，M 为BC 的中点，将△ABM 和△DCM 分别沿AM ，DM 翻折，使点B 与点C 重合于点P ，若∠APD ＝150°，则三棱锥M －P AD 的外接球的表面积为()A ．12πB ．34πC ．68πD ．126π答案C解析如图，由题意可知，MP ⊥P A ，MP ⊥PD .且P A ∩PD ＝P ，P A ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，所以MP ⊥平面P AD .设△ADP 的外接圆的半径为r ，则由正弦定理可得AD sin ∠APD＝2r ，即4sin150°＝2r ，所以r ＝4.设三棱锥M －P AD 的外接球的半径为R ，则(2R )2＝PM 2＋(2r )2，即(2R )2＝4＋64＝68，所以4R 2＝68，所以外接球的表面积为4πR 2＝68π.思维升华到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．跟踪训练3(1)一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________．答案4π3解析设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有⎩⎨⎧ 6x ＝3，98＝6×34x 2h ，∴⎩⎨⎧ x ＝12，h ＝ 3.∴正六棱柱的底面外接圆的半径r ＝12，球心到底面的距离d ＝32.∴外接球的半径R ＝r 2＋d 2＝1.∴V 球＝4π3. (2)(2022·哈尔滨模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，其中AD ＝1，AB ＝2，平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，则四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为()A.16π3B.76π3C.64π3D.19π3 答案A解析如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，P A ＝PD ，取AD 的中点E ，则PE ⊥AD ，PE ⊥平面ABCD ，则PE ⊥AB ，由AD ⊥AB ，AD ∩PE ＝E ，AD ，PE ⊂平面P AD ，可知AB ⊥平面P AD ，由△P AD 为等边三角形，E 为AD 的中点知，PE 的三等分点F (距离E 较近的三等分点)是三角形的中心，过F 作平面P AD 的垂线，过矩形ABCD 的中心O 作平面ABCD 的垂线，两垂线交于点I ，则I 即外接球的球心． OI ＝EF ＝13PE ＝13×32＝36， AO ＝12AC ＝52，设外接球半径为R ，则R 2＝AI 2＝AO 2＋OI 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫362＝43，所以四棱锥P －ABCD 的外接球表面积为S ＝4πR 2＝4π×43＝16π3.课时精练1．正方体的外接球与内切球的表面积之比为() A.3B ．3 3 C ．3D.13 答案C解析设正方体的外接球的半径为R ，内切球的半径为r ，棱长为1，则正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，即2R ＝3，所以R ＝32，正方体内切球的直径为正方体的棱长，即2r ＝1，即r ＝12，所以R r ＝3，正方体的外接球与内切球的表面积之比为4πR 24πr 2＝R 2r 2＝3.2．(2022·开封模拟)已知一个圆锥的母线长为26，侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，则该圆锥的外接球的体积为() A ．36πB ．48π C ．36D ．24 2 答案A解析设圆锥的底面半径为r ，由侧面展开图是圆心角为23π3的扇形，得2πr ＝23π3×26，解得r ＝2 2.作出圆锥的轴截面如图所示．设圆锥的高为h，则h＝(26)2－(22)2＝4.设该圆锥的外接球的球心为O，半径为R，则有R＝(h－R)2＋r2，即R＝(4－R)2＋(22)2，解得R＝3，所以该圆锥的外接球的体积为4πR3 3＝4π×333＝36π.3．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为() A．16πB．20πC．24πD．32π答案A解析如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，O1为底面对角线的交点，O为外接球的球心．V P－ABCD＝13×S正方形ABCD×3＝6，所以S正方形ABCD＝6，即AB＝ 6.因为O1C＝126＋6＝ 3.设正四棱锥外接球的半径为R ，则OC ＝R ，OO 1＝3－R ，所以(3－R )2＋(3)2＝R 2，解得R ＝2. 所以外接球的表面积为4π×22＝16π.4．已知棱长为1的正四面体的四个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为() A.68πB.64πC.38πD.34π 答案A解析如图将棱长为1的正四面体B 1－ACD 1放入正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，且正方体的棱长为1×cos45°＝22，所以正方体的体对角线AC 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝62，所以正方体外接球的直径2R ＝AC 1＝62，所以正方体外接球的体积为 43πR 3＝43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫643＝68π，因为正四面体的外接球即为正方体的外接球，所以正四面体的外接球的体积为68π.5．(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为() A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 答案B解析如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3∶1，即AD ＝3BD ，设球的半径为R ，则4πR 33＝32π3，可得R ＝2，所以AB ＝AD ＋BD ＝4BD ＝4，所以BD ＝1，AD ＝3，因为CD ⊥AB ，AB 为球的直径，所以△ACD ∽△CBD ，所以AD CD ＝CDBD ，所以CD ＝AD ·BD ＝3，因此，这两个圆锥的体积之和为 13π×CD 2·(AD ＋BD )＝13π×3×4＝4π.6．(2022·蚌埠模拟)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为9cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为(参考数据：6≈2.45，π≈3.14)()A ．20cm 3B ．22cm 3C ．26cm 3D ．30cm 3 答案C解析如图，正四面体ABCD ，其内切球O 与底面ABC 切于O 1，设正四面体棱长为a ，内切球半径为r ，连接BO 1并延长交AC 于F ，易知O 1为△ABC 的中心，点F 为边AC 的中点．易得BF ＝32a ，则S △ABC ＝34a 2，BO 1＝23BF ＝33a ，∴DO 1＝BD 2－BO 21＝63a ，∴V D －ABC ＝13·S △ABC ·DO 1＝212a 3，∵V D －ABC ＝V O －ABC ＋V O －BCD ＋V O －ABD ＋V O －ACD ＝4V O －ABC ＝4×13×34a 2·r ＝33a 2r ， ∴33a 2r ＝212a 3⇒r ＝612a ， ∴球O 的体积V ＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫612×93＝2768π≈278×2.45×3.14≈26(cm 3)．7．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，P A ⊥平面ABC ，P A ＝6，AB ⊥AC ，AB ＝2，AC ＝23，点D 为AB 的中点，过点D 作球的截面，则截面的面积不可以是() A.π2B ．π C ．9πD ．13π 答案A解析三棱锥P －ABC 的外接球即为以AB ，AC ，AP 为邻边的长方体的外接球，∴2R ＝62＋22＋(23)2＝213，∴R ＝13，取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1⊥平面ABC，如图．当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵OD＝OO21＋O1D2＝32＋(3)2＝23，此时截面圆的半径为r＝R2－OD2＝1，∴截面面积为πr2＝π，当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π，故截面面积的取值范围是[π，13π]．8．(2021·全国甲卷)已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为()A.212B.312C.24D.34答案A解析如图所示，因为AC⊥BC，所以AB为截面圆O1的直径，且AB＝ 2.连接OO1，则OO 1⊥平面ABC ，OO 1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，所以三棱锥O －ABC 的体积V ＝13S △ABC ×OO 1＝13×12×1×1×22＝212.9．已知三棱锥S －ABC 的三条侧棱两两垂直，且SA ＝1，SB ＝SC ＝2，则三棱锥S －ABC 的外接球的半径是________．答案32解析如图所示，将三棱锥补为长方体，则该棱锥的外接球直径为长方体的体对角线，设外接球半径为R ，则(2R )2＝12＋22＋22＝9， ∴4R 2＝9，R ＝32. 即这个外接球的半径是32.10．已知正三棱锥的高为1，底面边长为23，内有一个球与四个面都相切，则正三棱锥的内切球的半径为________．答案2－1解析如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE.因为△ABC是正三角形，所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．因为AB＝BC＝23，所以S△ABC＝33，DE＝1，PE＝ 2.所以S三棱锥表＝3×12×23×2＋3 3＝36＋3 3.因为PD＝1，所以三棱锥的体积V＝13×33×1＝ 3.设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面，把正三棱锥分割为四个小三棱锥，·r＝3，由13S三棱锥表＝2－1.得r＝3336＋3311．等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝5，BC＝6，将它沿高AD翻折，使二面角B－AD－C成60°，此时四面体ABCD外接球的体积为________．答案287 3π解析由题意，设△BCD所在的小圆为O1，半径为r，又因为二面角B－AD－C为60°，即∠BDC＝60°，所以△BCD为边长为3的等边三角形，由正弦定理可得，2r＝3sin60°＝23，即DE＝23，设外接球的半径为R，且AD＝4，在Rt△ADE中，(2R)2＝AD2＋DE2⇒4R2＝42＋(23)2＝28，所以R＝7，所以外接球的体积为V＝43πR3＝43π×(7)3＝2873π.12．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的表面上，若AB＝AC＝1，AA1＝23，∠BAC＝2π3，则球O的体积为________．答案32π3解析设△ABC 的外接圆圆心为O 1，半径为r ，连接O 1O ，如图，易得O 1O ⊥平面ABC ，∵AB ＝AC ＝1，AA 1＝23，∠BAC ＝2π3，∴2r ＝AB sin ∠ACB＝112＝2，即O 1A ＝1，O 1O ＝12AA 1＝3，∴OA ＝O 1O 2＋O 1A 2＝3＋1＝2，即直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球半径R ＝2，∴V 球＝43π×23＝32π3.。

如何确定外接(内切)球的球心

如何确定外接（内切）球的球心球与其他几何体的切接问题，是近几年高考的热点，这种题目几乎在各省高考试题中都有涉及，主要考查直观想象和逻辑推理的核心素养．“切”“接”问题的处理规律：(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．1．由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球．也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心．①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；①正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；①直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；①正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到．[例1]若正三棱柱ABCA′B′C′的底面边长为2，侧棱长为1，其顶点都在同一个球面上，则球的表面积为________．[解析]如图，H′，H分别为上、下底面的中心，HH′的中心O 为外接球的球心．由题意得，在Rt①OAH中，AH＝233，OH＝12，则外接球的半径R＝OA＝AH2＋OH2＝19 12，表面积S＝4πR2＝19π3.[答案]19π32．构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补成长方体或正方体；①若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体；①若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．[例2]若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________．[解析]三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体．从而其外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V＝4π3×⎝⎛⎭⎪⎫323＝9π2.[答案]9π2[点评]一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径，即2R＝a2＋b2＋c2.3．由球的性质确定球心[典例3]正三棱锥ABCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________．[解析]如图，设三棱锥ABCD的外接球的半径为r，M为正①BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM①平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以(3－r)2＋1＝r2，解得r＝233，所以球O的表面积S＝4πr2＝16π3.[答案]16π3[点评]本题运用公式R2＝r2＋d2(r为三棱锥底面外接圆的半径，R为三棱锥外接球的半径，d为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径，该公式是求球的半径的常用公式．本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究．。

外接球和内切球问题总结归纳

外接球和内切球问题总结归纳外接球和内切球问题总结归纳在几何学中，外接球和内切球问题是一个重要的概念。

它们不仅在数学领域有着重要的应用，同时也被广泛运用在物理学、工程学以及计算机科学等领域。

本文将对外接球和内切球问题进行深入探讨，从基础概念到应用实例，帮助读者全面理解这一主题。

一、外接球和内切球的定义1. 外接球外接球是指一个球与给定的多边形的所有顶点相切于球面的情况。

在数学中，外接球常常与三角形、四边形等几何图形相关联，其特点是与多边形的各个顶点相切，并且球心通常位于多边形的某个重要位置。

2. 内切球内切球则是指一个球完全被给定的多边形所包围，且球与多边形的边界相切。

在实际应用中，内切球往往能够最大化地利用多边形所包围的空间，因此在工程设计和优化问题中具有重要意义。

二、外接球和内切球的性质1. 外接球的性质外接球的半径通常与多边形的边或者角有着特定的关系。

以三角形为例，外接圆的半径等于三角形三条边的乘积除以其周长的两倍。

这一性质在计算三角形的外接圆时具有重要意义，同时也为几何问题的解决提供了基础。

2. 内切球的性质内切球的半径与多边形的边界有着紧密的联系。

以正方形为例，内切圆的半径等于正方形的边长的一半。

这一性质在优化问题中有着重要的应用，能够帮助设计者最大化地利用空间，提高效率和节约成本。

三、外接球和内切球的应用1. 工程设计外接球和内切球在工程设计中有着广泛的应用。

例如在建筑设计中，内切球可以帮助设计者合理利用建筑空间，提高使用效率；在机械设计中，外接球则可以帮助设计者确定零部件的匹配度和适用性。

2. 计算机科学外接球和内切球也在计算机科学领域有着重要的应用。

例如在计算机图形学中，外接球和内切球经常被用来描述物体的外形和几何特征，同时也可以用于物体的碰撞检测和三维建模。

个人观点和总结外接球和内切球作为一个基础的数学概念，在几何学、工程学和计算机科学等领域有着重要的应用。

通过对外接球和内切球的定义、性质和应用进行深入探讨，我们可以更好地理解其在实际问题中的作用和意义，进一步拓展其在更多领域的应用。

正方体的内切球与外接球

D A B
C
8
8.沿边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 AC 折叠,使折叠后两部分所在的平面互相垂直,则折叠后形成的空间四边形
ABCD 的内切球的半径为( ).
A . 2- B . - 1 C .1- D .1
2 2 2 6 6 2
【解析】设空间四边形 ABCD 的内切球的半径为 r,则
专题：与球有关的内切与外接问题
1
切接问题
• 该类问题命题背景宽，常以棱柱、棱锥、圆柱、圆锥与球的内切、外接形式考查，多以选择、填空题的形式出现，试题较容易．
涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面，把空间问题化归为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．
练习:一个四面体的所有的棱都为同一球面上，则此球的表面积（
2 ，四个顶点在）
A 3л
B 4л
C 3 3
D1 A1
D 6л
C1 B1
解法2 构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为 2 的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为 3 ， 3 2 S球 =4 ( ) 3 , 选A 2
【突破训练 3】设 OA 是球 O 的半径，M 是 OA 的中点，过 M 且与 OA 成 45° 角的平面截球 O 的表面得到圆 C，若圆 C 7π 的面积等于 4 ，则球 O 的表面积等于________．
解析如图，设 O′为截面圆的圆心，设球的半径为 R，则 OM＝ R 2 2 ，又∠O′MO＝45°，∴OO′＝ R.在 Rt△O′OB 中，OB ＝ 2 4
2 7 R O′O2＋O′B2，∴R2＝＋，∴R2＝2，∴S 球＝4πR2＝8π. 8 4

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题 (讲)(解析版)-2024年高考数学一轮复习讲练测

第08讲拓展一：空间几何体内接球与外接球问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）模型3：单面定球心法（定+算）模型4：双面定球心法（两次单面定球心）第一部分：典型例题剖析高频考点一：空间几何体的内切球问题建立模型球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥P ABCD -中，内切球为球O ，求球半径r .方法如下：P ABCD O ABCD O PBC O PCD O PAD O PAB V V V V V V ------=++++即：1111133333P ABCD ABCD PBC PCD PAD PAB V S r S r S r S r S r -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅，可求出r .典型例题例题1．（2022·江苏·苏州外国语学校高一期末）在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，且3,4,5SA AB AC ===，若球O 在三棱锥S ABC -的内部且与四个面都相切（称球O 为三棱锥S ABC -的内切球），则球O 的表面积为（）A ．169πB ．49πC ．3227πD ．1681π【答案】A解：因为SA ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，AB Ì平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以SA AB ⊥，SA AC ⊥，SA BC ⊥，又,BC AB SA AB A ⊥= ，所以BC ⊥平面SAB ，所以BC SB ⊥，所以,,SAB ABC SAC SBC ，均为直角三角形，设球O 的半径为r ，则()1+++3S ABC SAB CAB SAC SBC V S S S S r -=⋅ ，而11334632S ABC V -=⨯⨯⨯⨯=，11156,35222SAB CAB SAC SBC S S SA AB S S ==⋅===⨯⨯= ，所以115156+6++6322r ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，解得23r =，所以球O 的表面积为221644239r S πππ⎛==⨯=⎫ ⎪⎝⎭，故选：A.例题2．（2022·全国·高一）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为___________.【答案】12π解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为MNG 的中心，因为6MN =，所以MNG 内切圆的半径13r OH MH ====即内切球的半径R =，所以内切球的表面积2412S R ππ==，又正三棱柱的高12AA R ==，所以23OM OH ==AO =所以A 到球面上的点的距离最小值为AO R -=；故答案为：12π例题3．（2022·全国·高一专题练习）如图，直三棱柱111ABC A B C -有外接圆柱1OO ，点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，4AB =.(1)若AC BC =，且三棱柱111ABC A B C -有一个内切球，求三棱柱111ABC A B C -的体积；【答案】(1))161(1)O ，1O 是圆柱的上下底面圆心，而且点O ，1O 分别在棱AB 和11A B 上，由此可知ABC 是AB 为斜边的直角三角形.4,AB AC BC =∴== 11422ABC S AC BC =⋅=⨯= 设ABC 的内切圆的半径为r ，则由等面积法，可知:()1122AB BC AC r AC BC ++⋅=⋅,)21r ∴==，故三棱柱111ABC A B C -的内切球的半径也是)21，故三棱柱的高)241h r ==，进而三棱柱111ABC A B C -的体积))441161ABC V S h =⋅=⨯= .题型归类练1．（2022·全国·高一）已知点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等，球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球，若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC-的体积为（）A ．43B ．163C D ．3【答案】B解：设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，内切球O 的半径为r ，则h ＝2r ，由题意可知球O 的表面积为2164r ππ=，解得r ＝2，∴h ＝4，又△ABC 的周长为4，即a ＋b ＋c ＝4，∴连接OA ，OB ，OC ，111,,OA OB OC 可将直三棱柱111ABC A B C -分成5个棱锥，即三个以原来三棱柱侧面为底面，内切球球心为顶点的四棱锥，两个以原来三棱柱底面为底面，内切球球心为顶点的的三棱锥，∴由体积相等可得直三棱柱111ABC A B C -的体积为ABC S h ＝13ahr ＋13bhr ＋13chr ＋2×13ABC S r ，即4ABC S ＝13（a ＋b ＋c ）hr ＋43ABC S ，∴ABC S ＝4，∴三棱锥1A ABC -的体积为13ABC S h ＝13×4×4＝163．故选：B ．2．（2022·湖南·高一期末）已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的表面积为______.【答案】4π有题意可知，23PA ππ⋅=，所以23PA =所以，圆锥的轴截面是边长为23的正三角形，圆锥的内切球的半径等于该正三角形的内切圆的半径，所以tan 3tan 301R OD AD OAD ==⋅∠=⨯︒=，所以该圆锥的内切球的表面积为4π.故答案为：4π3．（2022·全国·高三专题练习（文））若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，则球O 的半径与正四棱锥P ABCD -内切球的半径之比为__________.31+##13+设外接球半径为R ，由题意可知，OA =OB =OC =OD =OP =R ，设四棱锥P -ABCD 的内切球半径为r ，设正方形ABCD 的边长为a ，因为底面ABCD 过球心O 2222a a R a +=⇒，2222116()2242R a R R R +=+⋅=，设该正四棱锥的表面积为S ，由等体积法可知：221111(24)(2),1)3323V Sr R R R r R R R r==+⨯=+，14．（2022·广西玉林·模拟预测（理））若正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为_________．【答案】645)3π因为正四棱锥P ABCD -内接于球O ，且底面ABCD 过球心O ，球的半径为4，所以4OA OB OC OD OP =====，所以AB BC CD DA PA PB PC PD ========，所以正四棱锥P ABCD -的表面积为((224324S =⨯⨯+=+，正四棱锥P ABCD -的体积为(21128433V =⨯⨯=设正四棱锥P ABCD -内切球的半径为r ，则1112832)333V Sr r ==+=，解得1)r =，所以该四棱锥内切球的体积为33441)33r ππ⎡⎤=⨯-⎣⎦高频考点二：空间几何体的外接球问题模型1：长（正）方体模型——公式法建立模型正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点（1）设长方体一个顶点出发的三条边长分别为a ，b ，c ，则外接球半径2r =；（2）设正方体边长为a ，则外接球半径2r a =；典型例题例题1．（2022·贵州黔西·高二期末（理））若一个长方体的长、宽，高分别为4，2，3，则这个长方体外接球的表面积为______________．【答案】29π由题知，长方体的体对角线即为外接球的直径，所以2222(2)42329R =++=，所以2294R =所以外接球的表面积2429S R ππ==.故答案为：29π例题2．（2022·新疆·乌苏市第一中学高一期中）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则此正方体外接球的表面积是______.【答案】12π因为正方体的体对角线长度等于长方体外接球的直径，又正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以正方体外接球的直径为则该正方体外接球的表面积是2412ππ==S r .故答案为：12π.题型归类练1．（2022·全国·高一期末）正方体的外接球与内切球的表面积之比是（）A ．13B ．3C．D【答案】B设正方体的棱长为a，则其外接球的半径为2a ，内切球的半径为12a ，所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是2242142a a ππ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭3=.故选：B2．（2021·河北·深州长江中学高三期中）已知某正方体外接球的表面积为3π，则该正方体的棱长为______．【答案】1设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，2R =，由243R ππ=，可得R22=，解得1a =．故答案为：1．3．（2021·福建·莆田锦江中学高一期中）已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______．【答案】12π解：设正方体外接球的半径为R ，则由题意可得()2222222212R =++=，即2412R =，所以外接球的表面积为2412R ππ=，故答案为：12π模型2：墙角型，对棱相等型——补形法（补长方体或正方体）建立模型①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CDAB =BC AD =，BD AC =）典型例题例题1．（2022·全国·高一）若三棱锥P ABC -的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π【答案】A侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA PB PC ===PA ，PB ，PC 作为正方体的棱长，如图：设外接球的半径为R ，则正方体的对角线的长2R ==所以R =，所以外接球的表面积为246S R ππ==.故选：A例题2．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）在三棱锥P ABC -中，5PA BC ==，PB AC ==PC AB ==则该三棱锥外接球的表面积为_________；外接球体积为_________．【答案】26π3由题意，该三棱锥的对棱相等，可知该三棱锥可置于一个长方体中，如图所示：记该长方体的棱长为,,a b c ，则222222101725a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，即22226a b c ++=，所以r =2344263S r V r πππ====，故答案为：26π题型归类练1．（2022·辽宁·本溪高中高一阶段练习）已知正三棱锥S -ABC 的三条侧棱两两垂直，且侧）A ．πB ．3πC ．6πD ．9π【答案】C所以外接球的直径2R==，所以246R =,外接球的表面积246R ππ=，故选：C2．（2022·安徽·高一阶段练习）鳖臑是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．如图，三棱锥A BCD -是一鳖臑，其中AB BC ⊥，AB BD ⊥，BC CD ⊥，AC CD ⊥，且3BC DC ==，4AB =．则三棱锥A BCD -外接球的表面积是（）A ．25πB ．34πC ．100πD ．3【答案】B易得三棱锥A BCD -外接球的直径为AD ，则AD =A BCD -外接球的半径2R =，所以2434S ππ=⨯=⎭⎝，故选：B.3．（2022·河北·沧县中学高一期中）三棱锥P ABC -中，已知,,PA PB PC 两两垂直，且1,2PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为___________.【答案】9π以线段,,PA PB PC 为相邻的三条棱为长方体，连接AB ,BC ,AC ,即为三棱锥P ABC -，∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为R ，则2222222(2)1229R PA PB PC =++=++=,解得32R =,则294π4π9π4S R ==⨯=.故答案为:9π.4．（2022·贵州·清华中学高三阶段练习（理））四棱锥ABCD 中，2,3,10======AB CD AD BC AC BD A ，B ，C ，D 的外接球的表面积是__________．【答案】13π解：因为四棱锥ABCD 的对棱相等，所以将四棱锥ABCD 补成如图所示的长方体，则经过A ，B ，C ，D 的外接球即为长方体的外接球，所以球的直径为长方体的对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为,,a b c ，因为2,23,10======AB CD AD BC AC BD ，所以22222241012a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以球的半径22211322r a b c =++，所以球的表面积为221344132r πππ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故答案为：13π模型3：单面定球心法（定+算）建立模型单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P ABC -中，选中底面ABC ∆，确定其外接圆圆心1O （正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2sin ar A=）；②过外心1O 做（找）底面ABC ∆的垂线，如图中1PO ⊥面ABC ,则球心一定在直线（注意不一定在线段1PO 上）1PO 上；③计算求半径R :在直线1PO 上任取一点O 如图：则OP OA R ==，利用公式22211OA O A OO =+可计算出球半径R .典型例题例题1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）在四面体ABCD 中，,ABD BCD 都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BCD ，则该四面体外接球的表面积为_________.【答案】203π依题意作上图，取BD 的中点P ，连接AP ，CP ，取ABD △的中心E ，BCD △的中心G ，分别作平面ABD 和平面BCD 的垂线，得交点H ，则H 点就是四面体ABCD 外接球的球心，CH 就是球的半径r ，333,33AP CP HG PE CG =====，222253r CH CG GH ==+=，外接球的面积为22043S r ππ==；故答案为：203π.例题2．（2023·山西大同·高三阶段练习）球内接直三棱柱1111,1,120,2ABC A B C AB AC BAC AA -===︒∠=，则球表面积为___________.【答案】8π设三角形ABC 和三角形111A B C 的外心分别为D ，E ．可知其外接球的球心O 是线段DE 的中点，连结OC ，CD ，设外接球的半径为R ，三角形ABC 的外接圆的半径r ，1,120,AB AC BAC =∠=︒=可得3BC =，由正弦定理得，21sin123r r ︒=∴=，而在三角形OCD 中，可知222||||||CO OD CD =+，即2212R r =+=，因此三棱柱外接球的表面积为248S R ππ==．故答案为：8π例题3．（2022·广西贺州·高一期末）已知ABC ∆的三个顶点都在球O 上，AC BC ⊥，2AC BC ==，且三棱锥273O ABC V -=，则球O 的体积为（）A ．82π3B ．32π3C ．287π3D ．36π【答案】D△ABC 中，AC BC ⊥，2AC BC ==，则22AB =取AB 中点H ，连接OH ，则点H 为△ABC 所在小圆圆心，OH ⊥平面ABC则271122332O ABC V OH -=⨯⨯⨯⋅，解之得7OH 则球O 的半径()()22723OA +则球O 的体积为34π3=36π3⋅故选：D例题4．（2022·河南开封·高二期末（理））已知球O 为三棱锥D ABC -的外接球，球O 的体积为256π3，正三角形ABC 的外接圆半径为23D ABC -的体积的最大值为______．【答案】183设ABC 外接圆的圆心为1O ，因为正三角形ABC 的外接圆半径为23123O B =由正弦定理243sin 60ACR ==︒6AC =，所以166sin 60932ABC S =⨯⨯⨯︒= ，要使三棱锥D ABC -的体积最大，则1O D ⊥平面ABC ，且球心O 在线段1O D 上，因为球O 的体积为34π256π33R =，所以球O 的半径为4R =．在1Rt OO B 中，由勾股定理得221116122OO R O B =--，所以三棱锥D ABC -体积的最大值()()111932418333ABC V S OO R =⋅+=⨯+=△故答案为：183题型归类练1．（2022·河北·衡水市第十三中学高一阶段练习）在正四棱锥P ABCD -中，4AB =，6PA =，则平面PAB 截四棱锥P ABCD -外接球的截面面积是（）A 655πB ．365πC ．12πD ．36π【答案】B如图，作PO '⊥平面ABCD ，垂足为O '，则O '是正方形ABCD 外接圆的圆心，从而正四棱锥P ABCD -外接球的球心O 在PO '上，取棱AB 的中点E ，连接,,,O D O E OD PE ''，作OH PE ⊥，垂足为H .由题中数据可得2,2,25,4O D O E PE O P '''====，设四棱锥P ABCD -外接球的半径为R ，则()22222R O D O O OP O P O O =+='-'=''，即()22284R O O O O =+='-'，解得3R =.由题意易证OPH EPO ' ∽，则PH OPO P PE='，故655PH =故所求截面圆的面积是236ππ5PH ⋅=.故选：B2．（2022·安徽·巢湖市第一中学模拟预测（文））已知三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，30SCA ∠=︒，若4AB SA ==，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（）A ．64πB ．128πC ．40πD ．80π【答案】D由题意得，BA ⊥平面SAC ，将三棱锥补成三棱柱11SAC S BC -，如图，则三棱柱11SAC S BC -的外接球即为所求.设外接球的球心为O ，则SAC 的外心为1O ，则1122OO AB ==，又1142sin SAO A SCA=⨯=∠，则外接球的半径22115R OO O A =+表面积2480S R ππ==，故选：D3．（2022·重庆市万州第二高级中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且3a =，π3A =．又点A ，B ，C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 5则球O 的体积为（）A ．642π3B 635π3C ．643π3D 636π3【答案】AABC的外接圆半径2sin ar A=则球O 的半径R ==则球O 的体积为(3344πR π33V ===3故选：A4．（2022·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知点,,,A B C D 在同一个球的球面上，1AB =，BC=，2AC =，若四面体ABCD ，则这个球的表面积是（）A ．14425πB ．24825πC ．57625πD ．67625π【答案】D由1,2AB BC AC ==，可得222AB BCAC +=，所以ABC为直角三角形，其面积为112S =，所以直角ABC 所在截面小圆的半径112r AC ==，设点D到平面ABC 的距离为h ，因为四面体ABCD所以1133D ABC ABC S h V -=⨯==5h =，设四面体ABCD 的外接球半径为R ，球心O 到截面的距离为d ，当D 到底面ABC距离最远时，即h R d =+时，四面体ABCD 的体积取得最大值，因为d ==5R =，解得135R =，所以球的表面积为2136764525S ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故选：D.5．（2022·全国·高三专题练习）已知球O 是正三棱锥A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是___________.【答案】5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：如图，设BDC 的中心为1O ，球O 的半径为R ，连接1O D ，OD ，1O E ，OE ，则123sin 6033O D =︒⨯=22111233AO AD DO --=，在Rt 1OO D 中，223(3)R R =+-，解得2R =，6BD BE = ， 2.5DE ∴=，在1DEO 中，12557323cos30422O E =+-⨯⨯⨯︒=，2211711142OE O E OO ∴+=+，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，221152()22-=54π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．∴所得截面圆面积的取值范围是5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：5,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．模型4：双面定球心法（两次单面定球心）建立模型如图：在三棱锥P ABC -中：①选定底面ABC ∆，定ABC ∆外接圆圆心1O ②选定面PAB ∆，定PAB ∆外接圆圆心2O ③分别过1O 做面ABC 的垂线，和2O 做面PAB 的垂线，两垂线交点即为外接球球心O .典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ､B ､C ､D 都在球O 的球面上，AB AC =，BCD ∆是边长为1的等边三角形，AD 与平面BCD 所成角的正弦值为63，若2AD =，且点D 在平面BCD 上的投影与D 在BC 异侧，则球O 的表面积为（）A ．πB ．4πC ．8πD ．16π【答案】B由题设，若E 是BC 的中点，则O '是△BCD 的中心，连接DE ，如下图示：由题设知：DE BC ⊥，AE BC ⊥，又AE DE E = ，则BC ⊥面AED ，而BC ⊂面BCD ，即面BCD ⊥面AED ，过A 作AF ⊥面BCD ，则F 必在直线DE 上，易知：ADF ∠为AD 与平面BCD 所成角的平面角，又AD 与平面BCD 所成角的正弦值为，2AD =，可得DF =.过O '作OO DE '⊥交AD 于O ，易知：OD OB OC ==，而O D '=12O D DF '=，又//AF OO '，故O 为AD 的中点，OD OA =，∴OD OB OC OA ===，即O 是球心，故球O 的半径为1，∴球O 的表面积为4π.故选：B例题2．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面四边形ABCD 中，4AB AD BD =====，现沿BD 进行翻折，使得A 到达A '的位置，连接A C '，此时二面角A BD C '--为150°，则四面体A BCD '外接球的半径为（）A B C D 【答案】C解：取BD 的中点E ，连接A E '，CE ，因为4AB AD BD =====即BC CD ==，所以CE BD ⊥，A E BD '⊥，A EC '∠即为二面角A BD C '--的平面角，且90BCD ∠=︒，所以BCD △外接圆的圆心为E ，设A BD 'V 外接圆的圆心为1O ，则1O E 1O ，E 分别作平面A BD '，平面BDC 的垂线，交于点O ，则O 即为四面体A BCD '外接球的球心.因为二面角A BD C '--的平面角为150︒，即150A EC '∠=︒，则160∠=︒OEO .在1Rt OO E △中，3cos603OE ==︒，连接OB ，则OB 即为外接球的半径R ，则2222283R OB OE BE ==+=，即3R =，故选：C .题型归类练1．（2022·湖南·邵阳市第二中学高一期末）一边长为4的正方形ABCD ，M 为AB 的中点，将AMD ，BMC △分别沿MD ，MC 折起，使MA ，MB 重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为（）．A ．763πB ．48πC ．81πD ．9【答案】A 如图所示，由图可知在四面体A -CDM 中，由正方形,ABCD M 为AB 的中点，可得MA ⊥AD ，MA ⊥AC ，AC ∩AD =A ，故MA ⊥平面ACD .将图形旋转得到如图所示的三棱锥M -ACD ，其中△ACD 为等边三角形，过△ACD 的中心O1作平面ACD 的垂线l1，过线段MC 的中点O2作平面MAC 的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记12l l O =∩，则O 即为三棱锥M 一ACD 外接球的球心.设外接球的半径为R ，连接OC ，O1C ，可得111O C =.在Rt △OO1C 中，222211193OC OO O C R =+==，故该外接球的表面积219764433S R πππ==⨯=.故选：A.2．（2022·广东梅州·高一阶段练习）如图，在三棱锥P ABC -，PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，且CB =AB AC ==，二面角P AC B --的大小为120︒，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为（）A ．3B ．10πC ．9πD ．(4π+【答案】B根据题意，作出图形，如图所示，因为PAC △是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以PAC △的外心在AC 中点，设为2O ，设ABC 的外心为1O ，BC 中点为E ，11AO r =，因为AB AC ==，所以1O 必在AE 连线上，则123sin AB AB r AE C AC===，即132r =，因为两平面交线为AC ，1O 为平面ABC 所在圆面中心，所以12O O AC ⊥，()221212O O r AO =-=又因为二面角P AC B --的大小为120︒，2PO AC ⊥，所以2121120,30PO O OO O ∠=︒∠=︒，所以2121OO O O ==，锥体P ABC -外接球半径()()2222222512R AO AO OO ==+=+=⎝⎭，则三棱锥P ABC -的外接球表面积为2410S R ππ==，故选：B。

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球题目

数学研究课题---空间几何体的外接球与内切球问题例1．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,B A B A ，上述大圆的垂直于11B A 的直径交2211,B A B A 于21,O O ，如图2．设2211,d OO d OO ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2222222121152427R d R d d d ，解得25=R ．)(2500422cm R S ππ==∴圆．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．例2．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．例3．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，则由ππ43,3433V r V r ==，343πV r =，由,3V a =得3V a =．322324)43(44V V r S ππππ===球． 32322322166)(66V V V a S ====正方体．∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．例4．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ．依题意得)(31r R S V BCD A +=-，又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3144r r R 4=+∴即r R 3=．所以914422==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．271343433==R rππ外接球的体积内切球的体积．说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．例5 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．解：∵棱锥底面各边相等， ∴底面是菱形． ∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线a AC 2=，故截面SAC 是等腰直角三角形．又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以R AC 2=，即R a 2=．∴高R SO =，体积33231R SO S V =⋅=底．说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．例6 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===．求这个球的表面积．分析：24R S π=球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ．解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ，球心到该圆面的距离为d ，则222d r R +=．由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABC P -（如图所示）．ABC ∆的外接圆是球的截面圆．由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影'O 是ABC ∆的垂心，又a PC PB PA ===，所以'O 也是ABC ∆的外心，所以ABC ∆为等边三角形，且边长为a 2，'O 是其中心，从而也是截面圆的圆心．据球的截面的性质，有'OO 垂直于⊙'O 所在平面，因此P 、'O 、O 共线，三棱锥ABC P -是高为'PO 的球内接正三棱锥，从而'PO R d -=．由已知得a r 36=，a PO 33'=，所以2'2222)(PO R r d r R -+=+=，可求得a R 23=，∴2234a R S ππ==球面．说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．例7 已知棱长为3的正四面体ABCD ，E 、F 是棱AB 、AC 上的点，且FC AF 2=，AE BE 2=．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．分析：可用何种法求内切球半径，把AEF D V -分成4个小体积(如图)．解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结NA 、NE 、NF 、ND ，则EFD N ADE N AFD N AEF N AEFD V V V V V ----+++=．四面体AEFD 各面的面积为2392==∆∆ABC AEF S S ，23332==∆∆ABC AFD S S ，43331==∆∆ABC AED S S ． DEF ∆各边边长分别为3=EF ，7==DE DF ，∴345=∆DEF S ． ∵2292==ABCD ADEF V V ， )(31DEF AED AFD AEF AEFD S S S S r V ∆∆∆∆+++=，∴)43543323323(3122+++=r ，∴86=r ．如图，AEF ∆是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．设ABC ∆中心为1O ，连结1DO ，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上，连结1GO 、MD ．∵ABC MG 平面⊥，ABC DO 平面⊥1， ∴1//DO MG ，1GO MG ⊥．在直角梯形DM GO 1中，11=GO ，61=DO ，R MD =，1222-=-=R AG AM MG ，又∵22121)(MD GO MG DO =+-，∴2221)16(R R =+--，解得：210=R ．综上，四面体AEFD 的内切球半径为86，外接球半径为210．说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．例8 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴222AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形． ∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ，又球心到截面的距离为R d 21=， ∴22215)21(=-R R ，得310=R ．∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=．例9 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．PH 是正三棱锥的高，即1=PH ． E 是BC 边中点，H 在AE 上， ABC ∆的边长为62，∴26263=⨯=HE ． ∴3=PE可以得到2321=⋅===∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(432==∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯36313233113631 得：2633232-=+=R ，∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球． ∴33)26(3434-==ππR V 球．说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R 2，四个球心构成一个棱长为R 2的正四面体，可以计算正四面体的高为R R 362236=⨯，从而上面球离开桌面的高度为R R 3622+．例10 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；R O O OB 330cot 1=︒⋅=，R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=，∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(31R R R V ππ=⋅⋅=锥，∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．例11 正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积．分析：求球半径，是解本题的关键．解：如图，作⊥PD 底面ABC 于D ，则D 为正ABC ∆的中心． ∵⊥OD 底面ABC ，∴O 、P 、D 三点共线． ∵l PC PB PA ===，α2=∠APB ． ∴ααsin 22cos 2222l l l AB =-=． ∴αsin 33233==AB AD ，设β=∠APD ，作PA OE ⊥于E ，在APD Rt ∆中，∵αβsin 332sin ==PA AD ，又R OA OP ==，∴l PA PE 2121==．在POE Rt ∆中，∵αβ2sin 3412cos -===l PE PO R ， ∴)sin 43(2sin 433sin 34123422332ααπαπ--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=l lV 球．说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．例12 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．∵ππ4922=⋅B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=⋅A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=．在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2227)9(++=x R ，∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ， ∴22222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球． ∴球的表面积为22500cm π．几何体与球切、接的问题1 球与柱体的切接规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图所示，正方体1111ABCD A B C D -，设正方体的棱长为a ，,,,E F H G 为棱的中点，O 为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFGH 和其内切圆，则2aOJ r ==；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFGH 和其外接圆，则2GO R a ==；三是球为正方体的外接球，截面图为长方形11ACA C 和其外接圆，则12A O R a '==.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题. （1）正方体的内切球，如图1. 位置关系：正方体的六个面都与一个球都相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r a =. （2）正方体的外接球，如图2. 位置关系：正方体的八个顶点在同一个球面上；正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r =.（3）正方体的棱切球，如图3. 位置关系：正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合；数据关系：设正方体的棱长为a ，球的半径为r ，这时有2r =.例 1 棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（）A ．2B ．1C ．12+D 思路分析：由题意推出，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径1,22AD R ==得知直线EF 被球O 截得的线段就是球的截面圆的直径. 【解析】由题意可知，球为正方体的外接球.平面11AA DD 截面所得圆面的半径1,22AD R ==11EF AA DD ⊂面，∴直线EF 被球O 截得的线段为球的截面圆的直径2R =点评：本题考查球与正方体“接”的问题，利用球的截面性质，转化成为求球的截面圆直径.1.2 球与长方体例 2自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．思路分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．【解析】以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．点评：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．. 例 3已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（）.A.16πB.20πC.24πD.32π思路分析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，可得长方体的长、宽、高分别为2，2，4，长方体内接于球，它的体对角线正好为球的直径.【解析】正四棱柱也是长方体。

空间几何体外接球内切球专题(50道大练习)

27．一只小球放入一长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点到这三个面的距离分别为 4、5、5，则这只小球的半径是（） A．3 或 8 B．8 或 11 C．5 或 8 D．3 或 11
28．在底面半径为 3，高为 4 2 3 的圆柱形有盖容器中，放入一个半径为 3 的大球后再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小球的个数最多的为 A．4 个 B．5 个 C． 6 个 D．7 个
）
AC 2 7 ， PB BC 2 3 , PA 平面 PBC, 23．已知四面体 P ABC 中, PA 4 ，
则四面体 P ABC 的内切球半径与外接球半径的比（）
A.
2 16
B.
3 2 8
C.
3 2 16
D.
2 8
试卷第 4 页，总 13 页
郭大侠的数学江湖
24 ．已知三棱锥 D ABC 中， AB BC 1 ， AD 2 ， BD 5 ， AC
每天一刻钟，数学点点通
7．已知点在直径为
的球面上，过点作球的两两垂直的三条弦的最大值为（
C. D. 3
，若
，则
A. B.
）
8．长方体的三个相邻面的面积分别是 2、 3、 6 ，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（） A．
7 2
B． 56
C． 14
D． 16
9．已知底面边长为 1，侧棱长为 2 的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（） B. 4 C. 2 D.
2 4
D．
2 6
17．已知四面体 ABCD 的一条棱长为 a ，其余棱长均为 2 3 ，且所有顶点都在表面积为 20 的球面上，则 a 的值等于（ A． 3 3 B． 2 5 ） C． 3 2 D． 3

高中数学难点突破：球的外切和内接问题 (共10张PPT)

解析：设正方体的棱长为a
∵球的外切正方体的棱长等于球直径：2R=a ∴ S甲 = 4πR22 = π
∵球内切于正方体的棱时
正方体的面对角线等于球的直径
2Rห้องสมุดไป่ตู้=
2a
∴ S乙
=
4πR
2 2
=
2π
球的内接正方体的体对角线等于球直径： 2R = 3a S丙 =4πR32 =3π
∴三球表面积之比为1:2:3
跟踪练习2
a
r1
=
a 2
a
r2 =
2a 2
a
r3 =
3a 2
a
2a
2a
• 画出正确的截面：(1)中截面； (2)对角面
• 找准数量关系
典型例题一
若正方体的棱长为a，求：正方体的外接球的体积 .
球的内接正方体的对角线等于球直径 .
D
C
A
A
B
O
D1
C1
对角面

A1
A1
B1
V2
=
4 3
π(
3a)3 = 2
3a3 π 2
解析：作轴截面如图所示，
CC = 6 , AC = 2 6 = 2 3
设球半径为R ,则：
R2 =OO2 +CC2
=( 6 )2 +( 3)2 = 9 ∴ R =3
∴ S球 =4πR2 =36π
V球
=
4 3
πR3
=36π
D’
C’
A’
B’
D
C
A
OB
A’
O’
C’
A
O
C
C 2RO= 3a

外接球与内切球的定心方法

外接球与内切球的定心方法【法一】长方体与球的中心对称性质（长方体的对称中心即为球心）-------长方体（或可补形为长方体的柱体、锥体）的体对角线就是其外接球直径。

【补形方法】分别以上、下底面直角三角形的两条直角边为临边构造上、下矩形底面。

【法二】球的集合定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半。

图（1）图（2）图（3）于图（1），OA=OB=OC=OP 对=12PB; 对于图（2），OA=OB=OC=OP=12PC; 对于图（3）, ,,,PA ABC PA AC PA BC AB BC PAAB A⊥⇒⊥⊥⊥=面又,,t t BC PAB BC PB R PBC R PAC ∴⊥⊥面从而在与中，OA=OB=OC=OP=12PC.根据球的集合定义可知，O 为三棱锥P-ABC 的外接球球心。

【法三】射影长定理（射影线段等长⇔斜线段等长）-------分别过几何体的两个相交平面多边形的外接圆圆心作各自平面的垂线，二垂线的交点即为外接球的球心，特别地，当一个平面（多边形）的外心恰好在另一个（下指第二个）与其相交的平面（多边形）的垂线（垂线过第二个平面多边形的外心）上时，则该外心即为几何体的外接球球心。

【法四】过几何体的某个面的外接圆圆心作该平面的垂线与和该平面相交的某条棱的中垂线的交点即为几何体的外接球球心。

［注］法四是法三的升级版，应用法四须使二垂线共面（否则，二垂线异面，没有交点）。

【法五】构造以底面外接圆直径为一条直角边，底面的垂线为另一条直角边的直角三角形，则其斜边即为该几何体的外接球直径。

［注］法五是法二的升级版，应用了直径所对的圆周角是直角定理。

【证明】根据作法可得，L ’M ⊥ML,由PL ⊥面LMN,得PL ⊥L ’M,PL ⊥LL ’,又PL ML=L,∴L ’M ⊥面PML,∴L ’M ⊥PM,于是，''PLL PML 与均为直角三角形，连结OM 、OL,则OM=OL=OL ’=OP=12PL ’=R,因此，点O 即为三棱锥P-LMN 的外接球球心。

关于球的历年高考真题空间几何体的外接球与内切球精品总结-- 学生版精品资料

搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义1．球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2．外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.3．内切球的定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.二、外接球的有关知识与方法1．性质：性质1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.初图1初图22．结论：结论1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论4：圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3．终极利器：勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；三、内切球的有关知识与方法1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）.2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类比：与多边形的内切圆）.3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5．基本方法：（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.四、与台体相关的，此略.五、八大模型第一讲柱体背景的模型类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）图1-1图1-2图1-3图1-4方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式2222)2(c b a R ++=，即2222c b a R ++=，求出R 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（） A ．π16 B ．π20 C ．π24 D ．π32 （2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是（3）在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且MN AM ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是在四面体S ABC-中，ABCSA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310.C π340.D（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体外接球的体积为类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（CD AB =，BC AD =，BD AC =）(6)题图(3)题-1(引理）AC图2-1第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为c b a ,,，x BC AD ==，y CD AB ==，z BD AC ==，列方程组，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222z a c y c b x b a ⇒2)2(2222222z y x c b a R ++=++=，补充：图2-1中，abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-. 第三步：根据墙角模型，22222222z y x c b a R ++=++=，82222z y x R ++=，8222z y x R ++=，求出R .思考：如何求棱长为a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例2（1）如下图所示三棱锥A BCD -，其中5,6,7,AB CD AC BD AD BC ======则该三棱锥外接球的表面积为 .(1)题图B（2）在三棱锥BCD A -中，2==CD AB ，3==BC AD ，4==BD AC ，则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 .（3）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为（3）解答题（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 .(4)题解答图(4)题类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图3-1图3-2图3-3题设：如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心O 的位置，1O 是ABC ∆的外心，则⊥1OO 平面ABC ；第二步：算出小圆1O 的半径r AO =1，h AA OO 212111==（h AA =1也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)2(r hR +=⇒22)2(hr R +=，解出R例3（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为89，底面周长为3，则这个球的体积为（2）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .（3）已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为（4）在直三棱柱111C B A ABC -中，4,3,6,41====AA A AC AB π，则直三棱柱111C B A ABC -的外接球的表面积为 .第二讲锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）图4-1图4-2图4-3图4-41．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点. 解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .2．如图4-2，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且AC PA ⊥，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=3．如图4-3，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）21212O O C O OC +=⇔2122O O r R +=⇔2122O O R AC -=4．题设：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，求出R . 例4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为32，则该球的表面积为 .（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A ．433 B ．33 C ．43 D ．123（4）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为ο60，则该三棱锥外接球的体积为（）A ．π B.3πC. 4πD.43π（5）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =，则此棱锥的体积为（） A．6 B．6 C．3 D．2类型五、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，⊥PA 平面ABC ，求外接球半径.解题步骤：第一步：将ABC ∆画在小圆面上，A 为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD ，连接PD ，则PD 必过球心O ；第二步：1O 为ABC ∆的外心，所以⊥1OO 平面ABC ，算出小圆1O 的半径r D O =1（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得r C c B b A a 2sin sin sin ===），PA OO 211=；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①222)2()2(r PA R +=⇔22)2(2r PA R +=；②2122OO r R +=⇔212OO r R +=.2．题设：如图5-1至5-8这七个图形，P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱锥ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.图5-1图5-2图5-3图5-4图5-6图5-7图5-8解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R方法二：小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径. 例5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( ) A ．π3 B ．π2 C ．316πD ．以上都不对第三讲二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图6)图6第一步：先画出如图6所示的图形，将BCD ∆画在小圆上，找出BCD ∆和BD A '∆的外心1H 和2H ；第二步：过1H 和2H 分别作平面BCD 和平面BD A '的垂线，两垂线的交点即为球心O ，连接OC OE ,；第三步：解1OEH ∆，算出1OH ，在1OCH Rt ∆中，勾股定理：22121OC CH OH =+注：易知21,,,H E H O 四点共面且四点共圆，证略.例6（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 和俯视图侧视图正视图解答图△ABC 均为边长为2的正三角形，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .（2）在直角梯形ABCD 中，CD AB //，ο90=∠A ，ο45=∠C ，1==AD AB ，沿对角线BD 折成四面体BCD A -'，使平面⊥'BD A 平面BCD ，若四面体BCD A -'的顶点在同一个球面上，则该项球的表面积为(2)题-2(2)题-1→A(3)题（3）在四面体ABC S -中，BC AB ⊥，2==BC AB ，二面角B AC S --的余弦值为33-，则四面体ABC S -的外接球表面积为（4）在边长为32的菱形ABCD 中，ο60=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角C BD A --为ο120的四面体ABCD ，则此四面体的外接球表面积为(5)在四棱锥ABCD 中，ο120=∠BDA ，ο150=∠BDC ，2==BD AD ，3=CD ，二面角CBD A --的平面角的大小为ο120，则此四面体的外接球的体积为类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型图7(4)题图例7（1）在矩形ABCD 中，4=AB ，3=BC ，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的体积为（）A ．π12125 B ．π9125 C ．π6125 D ．π3125（2）在矩形ABCD 中，2=AB ，3=BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥BCDA -的外接球的表面积为．第四讲多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1．题设：如图8-1，三棱锥ABC P -上正三棱锥，求其内切球的半径. 第一步：先现出内切球的截面图，H E ,分别是两个三角形的外心；第二步：求BD DH 31=，r PH PO -=，PD 是侧面ABP ∆的高；第三步：由POE ∆相似于PDH ∆，建立等式：PDPODH OE =，解出r 2．题设：如图8-2，四棱锥ABC P -是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，H O P ,,三点共线；第二步：求BC FH 21=，r PH PO -=，PF 是侧面PCD ∆的高；第三步：由POG ∆相似于PFH ∆，建立等式：PFPOHF OG =，解出3．题设：三棱锥ABC P -是任意三棱锥，求其的内切球半径方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r ，建立等式：PBC O PAC O PAB O ABC O ABC P V V V V V -----+++=⇒r S S S S r S r S r S r S V PBC PAC PAB ABC PBC PAC PAB ABC ABC P ⋅+++=⋅+⋅+⋅+⋅=∆∆∆∆-)(3131313131第三步：解出PBCO PAC O PAB O ABC O ABCP S S S S V r -----+++=3例8 （1）棱长为a 的正四面体的内切球表面积是（2）正四棱锥ABCD S -的底面边长为2，侧棱长为3，则其内切球的半径为（3）三棱锥ABC P -中，底面ABC ∆是边长为2的正三角形，⊥PA 底面ABC ，2=PA ，则该三棱锥的内切球半径为习题：1．若三棱锥ABC S -的三条侧棱两两垂直，且2=SA ，4==SC SB ，则该三棱锥的外接球半径为（） A.3 B.6 C.36 D.92．三棱锥ABC S -中，侧棱⊥SA 平面ABC ，底面ABC 是边长为3的正三角形，32=SA ，则该三棱锥的外接球体积等B图8-1A图8-2于 .332π3．正三棱锥ABC S -中，底面ABC 是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 .4．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .5．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 . 6．三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，PC PA ⊥，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为 .。

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高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球 .有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法（公式法） 1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ________________ . 27 . 例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为 _____________________ .価. 2、求长方体的外接球的有关问题例3一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 14 . 例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为16, 则这个球的表面积为（） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32

C. 3. 求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为长为3,则这个球的体积为

外接球的半径R . r2子1

的半径的常用公式.

二、构造法（补形法） 1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3，则其外

接球的表面积是 _______________ .9 . 例3若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为匕,则其外接球的表面积是

9 8，底面周

解设正六棱柱的底面边长为 x

，咼为h，则有

6x 3, 9 a 3 2. 6 x h, 8 4 1 X 2,

h , 3.

二正六棱柱的底面圆的半径 2

，球心到底面的距离

小结本题是运用公式R2 d2求球的半径的，该公式是求球故其外接球的表面积S 4 R2 9

小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b、c，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径•设其外接球的半径为 R，则有 2R a b c2 .

出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

【原理】：长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为码氏匚，则体对角线长为心廿，几何体的外接球直径为2丘体对角线长2 即_ 2

练习：在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为匚八「，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积。球的表面积为—4衣“沏例6 一个四面体的所有棱长都为 2，四个顶点在同一球面上， D C A. 3 B. 4 C. 33 D. 6

A.（如图2）例7）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P , 则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（）. _6 .6 A. 27 B. 2 C. 8 D. 24

解析：（如图3）因为 AE=EB=DC=1， DAB= CBE= DEA=60 0

所以

AD AE=EB=BC=DC=DE=CE=1，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，

这与例6就完全相同了，故选C.

例8（ 2已知球0的面上四点A、B、C、D, DA平面ABC , AB BC， DA=AB=BC= ■3，则球0的体积等于 .

解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径 . 而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于 DA平面ABC， AB BC，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为DA=AB=BC= 3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球

P 9 的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球0的体积等于2 .（如图4）

2、例9 （2008年安徽高考题）已知点 A B、C D在同一个球面上，AB 平面 BCD， BC DC，若 AB 6,AC=2 #3,AD=8，则球的体积是解析：首先可联想到例8,构造下面的长方体，于是AD为球的直径，0为球心，0B=0C=4为半径，要求B C两点间的球面距离，只要求出 BOC即可，在Rt ABC中，求出BC=4，所以 BOC=60°，故 4 B、C两点间的球面距离是3 .（如图5）

图5 本文章在给出图形的情况下解决球心位置、半径大小的问题。三. 多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为16，则这个球的表面积是 A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 .选 C. 小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

四. 寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为■ 2，点 S A B、C、D都在同一球面上，则此球的体积为

解设正四棱锥的底面中心为Oi，外接球的球心为0,如图1所示.二由球的截面的性质，可得 00i 平面 ABCD 又S01平面ABCD，二球心0必在SO所在的直线上. ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在 ASC中，由 SA SC V2, AC 2，得 SA2 SC2 AC2.

C ASC是以AC为斜边的Rt 学1是外接圆的半径，也是外接球的半径

小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们

学习. 五. 确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D，贝卩四面体ABCD的外接球的体积为 125 125 125 A. 12 B. 9 C. 6

125 D. 3

解设矩形对角线的交点为0,则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC 0D. .•.点0到四面体的四个顶点 A B、C D的距离相等，即点0为四面体的外接球的球心，如图2所

5 4 3 R 0A — V 球一R

示•二外接球的半径 2 .故 3

出现两个垂直关系，利用直角二角形结论。

【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角

125 6 .选 C. 形斜边中点。【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上，佔丄眈且曲二7|,尸占二5 , FC-h污T , |甘厂・10 ,求球◎的体积。解：虫F丄且刘三7，^ = 5，F—施，卫0 ,

因为于+ Q亠1，所以知Q =曲心所以财丄所以可得图形为：在RiAASC中斜边为比

取斜边的中点，；，在RtLABC中O月三O厅三OC

在 Rt^PAO 中 QP-OB-QC

所以在几何体中OP-OB-OC-OA，即为该四面体的外接球的球

十=5 【总结】斜边一般为四面体中除了直角顶点以外的两个点连线。匸伽 3 3 所以该外接球的体积为

在RtAPAC中斜边为AC 8 4

【解析】此正八面体是每个面的边长均为 a

的正三角形，所以由

1.（陕西理？ 6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上, 其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（） A. 3 3 B 、、3 • '■ C . 3 D 3

4 3 4 12

答案 B

2.直三棱柱ABC AB。的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 ____________________

解：在 ABC中AB AC 2, BAC 120 ,可得BC 2・、3 ,由正弦定理，可得ABC 外接圆半径r=2,设此圆圆心为0，球心为0,在RT OBO中，易得球半径R .5，故此球的表面积为4 R2 20

3. 正三棱柱ABC AEG内接于半径为2的球，若代B两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为答案8 4. 表面积为2、、3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 2& 3

答案 A