九年级数学综合练习3

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3++垂径定理同步练习2023-2024学年鲁教版数学九年级下册

3 垂径定理同步练习2023-2024学年九年级下册数学鲁教版知识点① 垂径定理1.如图,已知AB 是⊙O 的直径,CD 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为E.若AB=26,CD=24,则∠OCE 的余弦值为( )A. 7113 B. 1213 C. 712 D. 13222.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O 为圆心的圆，如图2.已知圆心O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦AB 长为6米,⊙O 的半径长为4 米.若点 C 为运行轨道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是 ( )A.1米B.(4−√7)米C.2米D.(4+√7)米变式1如图所示的是一个隧道的横截面，它的形状是以点O 为圆心的圆的一部分，若OM⊥CD,延长MO 交⊙O 于点E,并且CD=8m,EM=8m,则⊙O 的半径为 .变式2 如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O 的半径为 10 cm ，水的最深处到水面AB 的距离为4cm,则水面AB 的宽度为 cm.(M9205004)变式3如图所示的是一张隧道断面结构图.隧道内部为以O 为圆心，AB 为直径的圆.隧道内部共A分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离为6.4m ,点 B 到路面的距离为4.0 m.求路面CD的宽度.(结果精确到0.1m)3.如图,AB 是⊙O 的一条弦,点C,D是⊙O上的点,连接CD交AB于点E,若∠ODC+∠AED=90°.求证:AC=BC.4.如图，有一座拱桥是圆弧形的,它的跨度AB=60米,拱高 PD=18米.(1)求圆弧所在圆的半径的长；(2)当洪水泛滥到水面宽度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即当PE=4米时，是否要采取紧急措施?知识点❷垂径定理的推论5.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD 的长为 ( )A.5B.4C.3D.26.如图，B为⊙O上一点，A 为BC的中点，AB=3,∠ABC=30°,则⊙O的半径为 .7. 如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB̂=AĈ,AO=5,BC=6则△ABC 的面积=8.某个工件槽的两个底角均为90°，尺寸(单位：cm)如图所示.将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，请你根据图中的数据求出该球的半径.9.如图，在平面直角坐标系中，半径为5 的⊙E与y轴交于点A(0,-2),B(0,4),与x轴交于C,D,则点 D的坐标为 ( )A.(4−2√6,0)B.(−4+2√6,0)C.(−4+√26,0)D.(4−√26,0)10.如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y=√33x+2√33与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为 .11.为了贯彻习近平总书记“促进乡村全面振兴，实现农业农村现代化”的指示，某农机组织推——も广建立横截面为弓形的一种全新的全封闭式塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，已知棚高AD=2m,底部BC=4√3m，那么BC所在圆的半径为 m.12.如图,AB是⊙O 的直径,点 P 是AB 上一点,且点 P 是弦CD的中点.(1)依题意画出弦CD；(不写作法，保留作图痕迹)(2)若AP=4,CD=16,求⊙O的半径.13.如图,在⊙O中,弦AB 的长为8,点 C 在 BO 延长线上,且cos∠ABC=45,OC=12OB.(1)求⊙O 的半径;(2)求∠BAC的正切值.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴的正半轴上,⊙M交x轴于A,B两点,交y轴于C, D两点,且C为AEE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为(-1,0),AE=4.(1)求点 C 的坐标;(2)连接MG,BC,求证:MG∥BC.。

2022-2023学年九年级数学特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)

特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．C．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A ′B ′D ′，分别连接A ′C ，A ′D ，B ′C ，则A ′C＋B ′C5.菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，在运动过程中，点D到点O8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为79.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.(1)求证：四边形BDFG为菱形；(2)若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为20．证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝12 AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF. ∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC.(1)求证：AE ＝DC ；(2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°.∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°.∴∠AEF ＋∠CED ＝90°.∴∠EFA ＝∠CED.在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF.(2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD . 12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC ⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD. ∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC. ∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE.∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F 是AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝2. ∴当PA ＋PF 最小时，△PAF 的周长最小，即点P 为CF 与BE 的交点时，△PAF 的周长最小．此时△PAF 的周长为PA ＋PF ＋AF ＝CF ＋AF.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D ＝30°，∠ACE ＝90°－30°＝60°.∴△ACE 是等边三角形．∴AC ＝AE ＝CE ＝4.∵AF ＝EF ，∴CF ⊥AE.∴CF ＝AC 2－AF 2＝2 3.△PAF 周长的最小值为CF ＋AF ＝23＋2. 13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为F ，交直线MN 于点E ，连接CD ，BE.(1)求证：CE ＝AD ；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC ≌△EPC.∴BE ＝PE.∴∠EBP ＝∠EPB.∵E 为AB 的中点，∴BE ＝AE.∴AE ＝PE.∴∠EPA ＝∠EAP .∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°.∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x.∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x.∴MN DN ＝23x x ＝2 3.16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°.∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF.∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°.∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°.∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC.在△DAG 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP .(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°.∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°.∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ.∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ.∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°.∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

人教版九年级数学上册【推荐】24.1.4圆周角同步练习(3).docx

初中数学试卷桑水出品24.1.4 圆周角5分钟训练(预习类训练,可用于课前)1.在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A.相等B.互补C.相等或互补D.都不对思路解析：同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补.答案：C( )2.如图24-1-4-1，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数有A.5对B.6对C.7对D.8对思路解析：在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2=∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.答案：D3.下列说法正确的是( )A.顶点在圆上的角是圆周角B.两边都和圆相交的角是圆周角C.圆心角是圆周角的2倍D.圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半思路解析：本题考查圆周角的定义.答案：D4.(2010东北师大附中月考)如图24-1-4-2,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=度.图24-1-4-2思路解析：根据圆周角定义,求得弧的度数是半圆周的一半.答案：90°10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1.(山东济南模拟)如图24-1-4-3，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A.30°B.60°C.15°D.20°图24-1-4-3 图24-1-4-4 图24-1-4-5思路解析：根据圆周角与圆心角的关系解答.答案：C2.(2010南京建邺一模)如图24-1-4-4，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A.75°B.60°C.45°D.30°思路解析：根据圆周角和圆心角的关系求得.答案：B3.(重庆模拟)如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=__________.思路解析：连结AO，则AO=OB，OA=OC，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.答案：50°4.(经典回放)在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是3和2，则∠BAC的度数是__________.思路解析：如图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD，连结BD，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.(1) (2)答案：15°或75°5.如图24-1-4-6所示，设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时，△ABC是什么三角形？试证明你的结论.图24-1-4-6思路分析：利用同圆和等圆中，等弧所对的弦相等.解：当∠BAP=∠CAQ时，△ABC是等腰三角形.证明：如图，作出△ABC的外接圆，延长AP、AQ交该圆于D、E，连结DB、CE，由∠BAP=∠CAQ，得弧BD=弧CE.从而弧BDE=弧CED，所以BD=CE，∠CBD=∠BCE.又BP=CQ，则△BPD≌△CQE，这时∠D=∠E，由此弧AB=弧AC，故AB=AC,即△ABC是等腰三角形.快乐时光某足球队队员添了一个小孩,所有队友被邀请参加洗礼,来到教堂.突然孩子从母亲手中滑落,守门员果断地扑出,在离地几厘米的地方接住了孩子.大伙儿鼓掌欢呼,守门员习惯地拍了两下,接着熟练地大脚开出.30分钟训练(巩固类训练,可用于课后)1.如图24-1-4-7，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长.图24-1-4-7思路分析：已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.解：∵AB 是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt △ACB 中，BC=22AC AB -=22610-=8.∵CD 平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt △ADB 中，AD=BD=22AB=52(cm). 2.用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图24-1-4-8所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )图24-1-4-9思路解析：本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B 符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形，并将实际问题转化成数学模型.A 和C 中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D 中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.答案:B3.(辽宁大连模拟)如图24-1-4-9，A 、C 、B 是⊙O 上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC 的度数是( )A.10°B.20°C.40°D.80°思路解析：由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.答案：B4.如图24-1-4-10(1)，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于D 、E.(1)求证：△DOE 是等边三角形.(2)如图24-1-4-10(2)，若∠A=60°，AB ≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.图24-1-4-10思路分析：△ABC 是等边三角形，所以∠B 、∠C 均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB 、△EOC 均为等边三角形.第二种情形类似.（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD 和△OEC 都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE 为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB ≠AC 时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE 为等边三角形.5.四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ，如图24-1-4-11，求BD 的长.图24-1-4-11思路分析：由AB=AC=AD=a 可以得到点B 、C 、D 在以A 为圆心，以a 为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.解：∵AB=AC=AD=a ，∴点B 、C 、D 到A 点距离相等.故以A 为圆心，以a 为半径作⊙A ，并延长BA 交⊙A 于E ，连结DE.∵AB ∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE 为⊙A 的直径，∴∠EDB=90°.在Rt △EDB 中，BD=22DE BE -=224b a -，∴BD 的长为224b a -.6.在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN 进攻，当甲带球冲到A 点时，乙已跟随冲到B 点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？图24-1-4-12思路分析：在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.解：考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.7.如图24-1-4-13所示，在小岛周围的APB内有暗礁，在A、B两点建两座航标灯塔，且∠APB=θ，船要在两航标灯北侧绕过暗礁区，应怎样航行？为什么？图24-1-4-13思路分析：根据圆周角定理和三角形内角和定理解答.船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.解：船在航行过程中，始终保持对两灯塔A、B的视角小于θ，即可安全绕过暗礁区.（1）在弧APB外任取一点C，连结CA、CB，设CA交弧APB于F，连结FB.∵∠AFB=∠θ，∠AFB＞∠C，∴∠C＜θ.（2）在弧APB的弓形内任取一点D，连结AD并延长交弧APB于E，连结DB、EB.∵∠E=θ，∠ABD＞∠E，∴∠ADB＞θ.由（1）（2）知，在航标灯A 、B 所在直线北侧，在圆弧弧APB 外任一点对A 、B 的视角都小于θ;在圆弧弧APB 上任一点对A 、B 的视角都等于θ;在圆弧弧APB 内任一点对A 、B 的视角都大于θ.为此只有当对两灯塔的视角小于θ的点才是安全点.8.(湖北恩施自治州课改区模拟)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况(圆心在圆周角的一边上)如图24-1-4-14(1)所示：图24-1-4-14∵∠AOC 是△ABO 的外角,∴∠AOC=∠ABO+∠BAO.又∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA.∴∠AOC=2∠ABO,即∠ABC=21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图24-1-4-14(2)(3),那么结论会怎样?请你说明理由.思路分析：本题设计很巧妙，实际上是圆周角定理的证明，可分三种情况讨论:（1）圆心在圆周角的一边上（是已给的情况）；（2）圆心在圆周角内部；（3）圆心在圆周角外部.解：如果∠ABC 的两边都不经过圆心,结论∠ABC=21∠AOC 仍然成立. (1)对图(2)的情况,连结BO 并延长交圆O 于点D, 由题图(1)知:∠ABD=21∠AOD, ∠CBD=21∠COD. ∴∠ABD+∠CBD=21∠AOD+21∠COD, 即∠ABC=21∠AOC. (2)对图(3)的情况仿图(2)的情况可证.9.(经典回放)如图24-1-4-15所示，已知AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ∥BC ，交AC 于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC ⊥OD ；(2)求OD 的长；(3)若∠A=30°，求⊙O 的直径.图24-1-4-15思路分析：根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.（1）证明:∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C=90°.∵OD ∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC ⊥OD.（2）解:∵OD ∥BC ，又∵O 是AB 的中点，∴OD 是△ABC 的中位线.∴OD=21BC=21×4=2（cm ）. （3）解:∵∠A=30°，在Rt △ABC 中，∠A=30°， ∴BC=21AB. ∴AB=2BC=8（cm ）,即⊙O 的直径是8 cm.10.(经典回放)如图24-1-4-16所示，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点，则∠1＋∠2=__________. 思路解析：∠1所对的弧是弧AE ，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE ＋弧BE=弧AB 是半圆，因此连结AD ，∠ADB 的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA 和∠EOB,而∠EOA ＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°，这是圆周角定理的直接应用.答案：90°图24-1-4-16 图24-1-4-1711.(经典回放)如图24-1-4-17所示，AB 为⊙O 的直径，P 、Q 、R 、S 为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A.∠APB 为锐角B.∠AQB 为直角C.∠ARB 为钝角D.∠ASB ＜∠ARB思路解析：AB 为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB 、∠AQB 、∠ARB 、∠ASB 都是直角.由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.答案：B。

2021年九年级中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习

2021中考数学压轴专题复习：三角形的综合练习1、在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=0.6，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A 1B1 C．（1）如图1，当点B1在线段BA延长线上时．①求证：BB1∥CA1；②求△AB1C的面积；（2）如图2，点E是BC边的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2、△ABC是等边三角形，P为平面内的一个动点，BP＝BA，0°＜∠PBC ＜180°，DB平分∠PBC，且 DB＝DA．（1）当BP与BA重合时（如图1），求∠BPD的度数；（2）当BP在∠ABC的内部时（如图2），求∠BPD的度数；（3）当BP在∠ABC的外部时，请你直接写出∠BPD的度数．3、情景观察:如图①,△ABC中,AB=AC,∠BAC=45°,CD⊥AB,AE⊥BC,垂足分别为D、E,CD与AE交于点F．①写出图①中所有的全等三角形；②线段AF与线段CE的数量关系是,并写出证明过程；问题探究:如图②,△ABC中,∠BAC=45°,AB=BC,AD平分∠BAC,AD⊥CD,垂足为点D,AD与BC交于点E．求证:AE=2CD．4、已知△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°．探究：如图①，当点A在边EC上，点C在线段BD上时，连结BE、AD．求证：BE=AD，BE⊥AD．拓展：如图②，当点A在边DE上时，AB、CE交于点F，连结BE．若AE=2，AD=4，则的值为．5、如图1，在中，AB=AC，O为BC中点，D为线段OC上的一个动点，AD ⊥BH于H.（1）求证：DO DA DH DB=；（2）如图2，若HD平分∠OHC，求DODB的值；（3）如图3，BH延长线交AC于E，若OE⊥AC，AB=13，BC=10，直接写出tan∠DAC的值6、如图,在△ABC中,CA=CB,AB=10,600<∠<C，AF⊥BC于点F，在FC上截取FD=FB，点E是AC上一点，连接DA、DE，且∠ADE=∠B.(1)求证：ED=EC(2)若∠C=30∘，求BD长；(3)在(2)的条件下,将图1中△DEC绕点D逆时针旋转得到△DE′C′,请问在旋转的过程中,以点D. E. C′、E′为顶点的四边形可以构成平行四边形吗?若可以，请求出该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由。

2021年九年级数学中考复习分类专题练习：等边三角形的判定与性质(三)

2021年九年级数学中考复习分类专题：等边三角形的判定与性质（三）一．选择题1．如图，等边△ABC中，D、E分别为AC、AB上两点，下列结论：①若AD＝AE，则△ADE是等边三角形；②若DE∥BC，则△ADE是等边三角形，其中正确的有（）A．①B．②C．①②D．都不对2．如图，D是等边△ABC的边AC上的一点，E是等边△ABC外一点，若BD＝CE，∠1＝∠2，则对△ADE的形状最准确的是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不等边三角形3．设M，N，P分别是等边三角形ABC各边上的点，AM＝BN＝CP，则△MNP是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．不等边三角形4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．如图，在△ABC中，D、E在BC上，且BD＝DE＝AD＝AE＝EC，则∠BAC的度数是（）A．30°B．45°C．120°D．15°6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°7．如图，已知△ABC是等边三角形，点D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，则图中等边三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个8．如图，等边三角形ABC中，AD是BC上的高，∠BDE＝∠CDF＝60°，图中与BD相等的线段有（）A．5条B．6条C．7条D．8条9．如图，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，则BD的长是（）A．5 B．7 C．8 D．910．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论错误的是（）A．△BPQ是等边三角形B．△PCQ是直角三角形C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题11．已知∠AOB＝30°，点P在OA上，且OP＝2，点P关于直线OB的对称点是Q，则PQ＝．12．在△ABC 中，AB ＝AC ＝8cm ，∠B ＝60°，则BC ＝ cm ．13．如图，△ABC 是等边三角形，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 边上一点，且AD ＝BE ＝CF ．则△DEF 的形状是．14．两块完全一样的含30°角的三角板重叠在一起，若绕长直角边中点M 转动，使上面一块的斜边刚好过下面一块的直角顶点．如图，∠A ＝30°，AC ＝8，则此时两直角顶点C ，C ′间的距离是．15．如图，已知△ABC 中高AD 恰好平分边BC ，∠B ＝30°，点P 是BA 延长线上一点，点 O 是线段AD 上一点且OP ＝OC ，下面的结论：①∠APO +∠DCO ＝30°；②△OPC 是等边三角形；③AC ＝AO +AP ；④S △ABC ＝S 四边形AOCP ．其中正确的为．（填序号）16．如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板，分别记作△ABC 和△A 1B 1C 1，现将两块三角板重叠在一起，设较长直角边的中点为M ，绕中点M 转动三角板ABC ，使其直角顶点C 恰好落在三角板A 1B 1C 1的斜边A 1B 1上，当∠A ＝30°，AC ＝10时，两直角顶点C ，C 1的距离是．三．解答题17．如图，已知：边长相等的等边△ABC和等边△DEF重叠部分的周长是6．（1）求证：△FGH和△CHL和△LEK和△KBJ和△JDI和△IAG都是等边三角形．（或证明∠AGF＝∠FHC＝∠CLE＝∠EKB＝∠BJI＝∠DIA＝120°）（2）求等边△ABC的边长．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E＝60°，且BE＝8cm．（1）求∠D的度数；（2）若BC＝10cm，求ED的长．19．如图，△ABC是等边三角形，O为△ABC内一点，且∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．求证：由线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．证明过程如下，请仔细阅读并将证明继续下去：证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°∴△AOO′是一个等边三角形∴AO＝OO′又∵OB＝O′C∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′请继续：20．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别同时从点A、B、C出发，以相同的速度在AB、BC、CA上运动，连结DE、EF、DF．（1）证明：△DEF是等边三角形；（2）在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求的值．21．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC 于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形；所以①正确；∵△ABC为等边三角形，∴∠C＝∠B＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C＝∠B＝∠AED＝60°，∴△ADE是等边三角形，所以②正确．故选：C．2．解：∵三角形ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∵BD＝CE，∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故选：C．3．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵AM＝BN＝CP，∴BM＝CN＝AP，在△AMP，△BNM和△CPN中，，∴△AMP≌△BNM≌△CPN（SAS），∴PM＝MN＝NP，∴△MNP是等边三角形．4．解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD＝BE，故选项①正确；∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确；由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD，∵∠ACB是△ACD的外角，∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°，又∠APM是△PBD的外角，∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确；在△ACN和△BCM中，，∴△ACN≌△BCM，∴AN＝BM，故选项④正确；∴CM＝CN，∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°，∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确；故选：D．5．解：设∠B＝x∵BD＝AD则∠B＝∠BAD＝x，∠ADE＝2x，∵AD＝AE∴∠AED＝∠ADE＝2x，∵AE＝EC，∠AED＝∠EAC+∠C∴∠EAC＝∠C＝x又BD＝DE＝AD，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，知∠BAE＝90°，则∠B+∠AED＝x+2x＝90°得x＝30°∴∠BAC＝180°﹣2x＝120°故选：C．6．解：△ABC沿CD折叠B与E重合，则BC＝CE，∵E为AB中点，△ABC是直角三角形，∴CE＝BE＝AE，∴△BEC是等边三角形．∴∠B＝60°，∴∠A＝30°，故选：B．7．解：∵D，E，F分明是边AB，BC，AC的中点，∴AD＝BD＝BE＝EC＝CF＝FA＝DF＝DE＝EF＝AB＝AC＝∴等边三角形有：△ABC、△ADF、△BDE、△CEF、△DEF共5个，故选：D．8．解：如图，连接EF．∵等边△ABC中，AD是BC边上的高，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∵∠BDE＝∠CDF＝60°，∴∠ADE＝∠ADF＝30°，△AEF、△BDE、△CDF、△DEF都是全等的等边三角形，∴∴BD＝DC＝DE＝BE＝AE＝AF＝FC＝FD，即图中与BD相等的线段有7条．故选：C．9．解：在CB的延长线上取点E，使BE＝AB，连接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，∴∠ABD＝∠E，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故选：A．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，∴PQ＝BP＝4，∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，∵△BPQ是等边三角形，∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，∵∠PQC＝90°，PQ≠QC，∴∠QPC≠45°，即∠APC≠135°，∴选项A、B、C正确，选项D错误．故选：D．二．填空题（共6小题）11．解：如图，连OQ，∵点P关于直线OB的对称点是Q，∴OB垂直平分PQ，∴∠POB＝∠QOB＝30°，OP＝OQ，∴∠POQ＝60°，∴△POQ为等边三角形，∴PQ＝PO＝2．故答案为2．12．解：∵在△ABC中，AB＝AC＝8cm，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴BC＝8cm．故答案为：8．13．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE，∴AF＝BD，∠A＝∠B＝60°，∴在△ADF与△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS）．同理证得△ADF≌△CFE（SAS），∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），∴DF＝ED＝EF，∴△DEF是一个等边三角形．故答案是：等边三角形．14．解：如图，连接CC'，∵点M是AC中点，∴AM＝CM＝AC＝4，∵旋转，∴CM＝C'M，AM＝A'M∴A'M＝MC＝C'M＝4，∴∠A'＝∠A'CM＝30°∴∠CMC'＝∠A'+∠MCA'＝60°，且CM＝C'M∴△CMC'是等边三角形∴C'C＝CM＝4故答案为：415．解：①连接OB，如图1，∵△ABC中高AD恰好平分边BC，即AD是BC垂直平分线，∴AB＝AC，BD＝CD，∴OB＝OC＝OP，∴∠APO＝∠ABO，∠DBO＝∠DCO，∵∠ABC＝∠ABO+∠DBO＝30°，∴∠APO+∠DCO＝30°．故①正确；②△OBP中，∠BOP＝180°﹣∠OPB﹣∠OBP，△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴∠POC＝360°﹣∠BOP﹣∠BOC＝∠OPB+∠OBP+∠OBC+∠OCB，∵∠OPB＝∠OBP，∠OBC＝∠OCB，∴∠POC＝2∠ABD＝60°，∵PO＝OC，∴△OPC是等边三角形，故②正确；③如图2，在AC上截取AE＝PA，∵∠PAE＝180°﹣∠BAC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴∠PEA＝∠APE＝60°，PE＝PA，∴∠APO+∠OPE＝60°，∵∠OPE+∠CPE＝∠CPO＝60°，∴∠APO＝∠CPE，∵OP＝CP，在△OPA和△CPE中，，∴△OPA≌△CPE（SAS），∴AO＝CE，∴AC＝AE+CE＝AO+AP；故③正确；④如图3，作CH⊥BP，∵∠HCB＝60°，∠PCO＝60°，∴∠PCH＝∠OCD，在△CDO和△CHP中，，∴△CDO≌△CHP（AAS），∴S△OCD ＝S△CHP∴CH＝CD，∵CD＝BD，∴BD＝CH，在Rt△ABD和Rt△ACH中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACH（HL），∴S △ABD ＝S △AHC ，∵四边形OAPC 面积＝S △OAC +S △AHC +S △CHP ，S △ABC ＝S △AOC +S △ABD +S △OCD∴四边形OAPC 面积＝S △ABC ．故④正确．故答案为：①②③④．16．解：如图，连接CC 1，∵两块三角板重叠在一起，较长直角边的中点为M ，∴M 是AC 、A 1C 1的中点，AC ＝A 1C 1，∴CM ＝A 1M ＝C 1M ＝AC ＝5，∵∠A ＝30°，∴∠A 1＝∠A 1CM ＝30°，∴∠CMC 1＝60°，∴△CMC 1为等边三角形，∴CC 1＝CM ＝5，∴CC 1长为5．故答案为5．三．解答题（共5小题）17．解：（1）∵△ABC和△DEF都是等边三角形，∴∠F＝60°，FG＝FH，FD＝BC，∴△FGH是等边三角形，同理△CHL、△LEK、△KBJ、△JDI、△TAG都是等边三角形；（2）∵△FGH是等边三角形，∴GH＝FG．同理，IJ＝ID，HL＝CL，JK＝KB，∴重叠部分的周长为：FD+BC＝6，∴FD＝BC＝3，即等边△ABC的边长是 3．18．解：（1）延长ED交BC于点F，延长AD交BC于H，如图．∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEF是等边三角形，∴EF＝BF＝BE＝8，∠EFB＝60°．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AH⊥BC，即∠AHC＝90°，∴∠HDF＝30°，∴∠ADE＝∠HDF＝30°；（2）∵BC＝10，∴FC＝2．∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BH＝CH＝BC＝5，∴HF＝5﹣2＝3．在Rt△DHF中，∵∠HDF＝30°，∴DF＝2HF＝6，∴DE＝8﹣6＝2．∴ED的长为2cm．19．证明：将△ABO绕点A逆时针旋转60°，此时B点与C点重合，O落在O′，连接AO′、OO′、CO′，∴AO＝AO′，∠OAO′＝60°，∴△AOO′是一个等边三角形，∴AO＝OO′，又∵OB＝O′C，∴线段OA、OB、OC构成了△OCO′，∵∠AOB＝120°，∠BOC＝120°．∴∠AOC＝120°，∠AO′C＝120°∵△AOO′是一个等边三角形，∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°，∴∠O′OC＝∠OO′C＝60°，∴△OCO′是等边三角形，∴线段AO、BO、CO构成的一个三角形是等边三角形．20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA，∵AD＝BE＝CF，∴BD＝EC＝AF，在△ADF、△BED和△CFE中∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴DE＝EF＝FD，∴△DEF是等边三角形；（2）解：∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC，∵DE⊥BC，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即BE＝BC，CE＝BC，∵EF＝EC•sin60°＝BC•＝BC，∴＝（）2＝（）2＝．21．解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，如图所示，同理可得△DBE≌△EFC，∴DB＝EF＝2，BC＝1，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝。

2021年中考九年级数学压轴题专题复习：三角形综合练习(无答案)

2021年中考九年级数学压轴题专题复习：三角形综合练习1、如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC．（1）求sinB的值；（2）现需要加装支架DE、EF，其中点E在AB上，BE=2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE的长．2、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DE＝3， BC＝9.（1）求ADAB的值；（2）若BD＝10，求sin∠A的值.3、如图，在Rt ABC==，点D在边AC上，且AC BC∠=︒，3∆中，90ACBAD CD=，2⊥，垂足为点E，联结CE，求：DE AB（1）线段BE的长；（2）ECB∠的余切值；4、如图，已知EC∥AB，∠EDA=∠ABF．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）求证：OA2=OE•OF．5、如图，在锐角三角形ABC 中，点D ，E 分别在边AC ，AB 上，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F ，∠EAF=∠GAC ．（1）求证：△ADE ∽△ABC ；（2）若AD=3，AB=5，求的值．6、如图，BD 是△ABC 的角平分线，它的垂直平分线分别交AB ，BD ，BC 于点E ，F ，G ，连接ED ，DG ．（1）请判断四边形EBGD 的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H 是BD 上的一个动点，求HG+HC的最小值．AFAG7、如图,CAB∠90ACB.连接DCE=∠∆均是等腰直角三角形,并且︒∆与CDE=BE,AD的延长线与BC、BE的交点分别是点G与点F.（1）求证:BEAF⊥;（2）将CDECD//时,探究线段DA,DE,DG的数量关系,并证∆绕点C旋转直至BE明;（3）在(2)的条件下,若DA=4.5,DG=2,求BF的值.8、巳知Rt△ABC中，∠B =90°，AC = 20，AB= 10, P是边AC上一点(不包括端点 A、C)，过点 P作PE⊥BC于点E，过点E作EF∥AC，交 AB 于点F，设PC =x，PE =y.(1)求y与x 的函数关系；(2)是否存在点 P使△PEF是Rt△，若存在，求此时的x的值，若不存在，请说明理由.9、如图，△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC ．设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ．（1）求证：OE =OF ；（2）若CE =12，CF =5，求OC 的长；（3）当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．10、如图，在中，，，矩形CDEF 的顶点C 、D 、F 分别在边AO 、OB 、AB 上。

北师版九年级数学下册《圆内接正多边形(2)》同步练习3

《圆内接正多边形（2）》同步练习3基础检测1.八边形的内角和等于________度．2.半径为R 的圆内接正三角形的面积是（） A ．232R B ．2πR C ．2332R D ．2334R3.如图，菱形花坛ABCD 的边长为6m ，∠B ＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为____________.4.（1）如图1，把等边三角形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作等边三角形，并去掉居中的那条线段，得到一个六角星，则这个六角星的边数是__________. （2）如图2，在5×5的网格中有一个正方形，把正方形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正方形，并去掉居中的那条线段．请你把得到的图形画在图3中，并写出这个图形的边数．（3）现有一个正五边形，把正五边形的各边三等分，分别以居中那条线段为一边向外作正五边形，并去掉居中的那条线段，得到的图形的边数是多少？拓展提高1．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A 、C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，已知点A 的坐标为(0，8)，则圆心M 的坐标为_________．（图1）（图2）（图3）ADB2.如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于__________.3.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC//QR ，则∠AOQ 的度数是_________.4.各边相等的圆内接多边形一定是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么，如果不是，举出反例.5、图(1)、图(2)、图(3)是分别由两个公共顶点A 的正三角形、正四边形和正五边形组成的图形，且其中一个正多边形的顶点B ′在另一个正多边形的边BC 上． ⑴图(1)中，∠B′CC′=__________.(直接写出答案)⑵图(2)中，求∠B′CC′；（写出解答过程）⑶图(3)中，∠B′CC′=_________.(直接写出答案)P QR C BAODC ABS 1S 2⑷当满足条件的图形为正n 边形时(如图(4))，猜想：∠B ′CC ′=________(直接写出答案)．(1) (2) (3) (4) 体验中考1.（2009年,肇庆）若正六边形的边长为2，则此正六边形的边心距为__________. 2．（2009年,黄石市）如图，ABC △为O ⊙的内接三角形，130AB C =∠=，°，则O ⊙的内接正方形的面积为（）A ．2B ．4C ．8D ．16【若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。

九年级数学下册各单元综合测试题含答案共12套

人教版九年级数学下册第二十六章综合测试卷01一、选择题（每小题4分，共32分）1.已知反比例函数的图象经过点()2,1P -，则这个函数的图象位于（）A .第一、第三象限B .第二、第三象限C .第二、第四象限D .第三、第四象限2.下列说法正确的是（）A .在2xy =中，y 与x 成正比例B .在2xy =-中，y 与1x成反比例C .在11y x =+中，y 与1x +成反比例D .在213y x=中，y 与x 成反比例3.已知反比例函数()0ky k x=＜的图象上有两点()1,A x y ，()22,B x y ，且12x x ＜，则12y y -的值是（）A .正数B .负数C .非负数D .不确定4.（2013·四川攀枝花中考）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则函数ay x=与y bx c =+在同一直角坐标系内的大致图象是（）A B C D5.面积为2的ABC △，一边长为x ，这边上的高为y ，则y 与x 的变化规律用图象表示大致是（）A B C D6.若点()3,4是反比例函数72m y x-=图象上的一点，则此函数图象必过点（）A .()6,2-B .()2,6-C .()4,3D .()3,4-7.已知反比例函数ky x=与关于x 的一次函数y kx b =+的图象的一个交点坐标为()2,1-，则点(),k b 关于y 轴的对称点是（）A .()2,3-B .()2,3-C .()2,3D .()2,3--8.在同一平面直角坐标系中，函数1y x=-与函数y x =的图象的交点个数是（）A .0B .1C .2D .3二、填空题（每小题4分，共32分）9.已知反比例函数()232m y m x -=-的图象过点()4,P n ，则n 的值为________．10.已知反比例函数的图象经过点(),2m 和()2,3-，则m 的值为________．11.已知反比例函数32ay x-=的图象在第二、第四象限，则a 的取值范围是________．12.已知一次函数23y x =--的图象与反比例函数ky x=的图象相交于第四象限内的一个点(),3P a a -，则这个反比例函数的解析式为________．13.反比例函数()10y x x=-＜的图象应在第________象限．14.老师给了一个y 关于x 的函数解析式，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一条性质：甲：函数的图象不过第三象限；乙：函数的图象过第一象限；丙：当1x ＞时，y 随x 的增大而减小；丁：当2x ＜时，0y ＞．已知这四位同学的叙述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个函数解析式：________________．15.如图所示，在反比例函数()20y x x=＞的图象上有点1P ，2P ，3P ，4P ，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为1S ，2S ，3S ，则123S S S ++=________．16.如图所示，直线y mx =与双曲线ky x=交于A ，B 两点，过点A 作AM x ⊥轴于点M ，连接BM ，若2ABM S =△，则k 的值为________．三、解答题（共36分）17.（9分）为了绿化环境，某单位进行植树造林活动，计划每天植树0.5公顷，6天植完．（1）写出植树时间t （单位：天）与植树速度v （单位：公顷/天）之间的函数解析式．（2）天气预报报近几天有雨，该单位决定3天之内植完，那么每天至少要植树多少公顷？18.（9分）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO ．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中CO 的浓度达到4 mg/L ，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46 mg/L ，发生爆炸；爆炸后，空气中的CO 浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题：（1）求爆炸前后空气中CO 浓度y 与时间x 的函数解析式，并写出相应的自变量的取值范围．（2）当空气中的CO 浓度达到34 mg/L 时，井下3km 的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少千米每小时的速度撤离才能在爆炸前逃生？（3）矿工只有在空气中的CO 浓度降到4 mg/L 及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？19.（9分）如图所示，已知一次函数()0y kx b k =+≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，且与反比例函数()0my m x=≠的图象在第一象限内交于点C ，CD 垂直于x 轴，垂足为D ，若1OA OB OD ===．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式．20.（9分）（2013·浙江衢州中考）如图所示，函数为14y x =-+的图象与函数()220k y x x=＞的图象交于(),1A a ，()1,B b 两点．（1）求函数2y 的解析式；（2）观察图象，比较当0x ＞时，1y 与2y 的大小．第二十六章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】设函数解析式为()0ky k x=≠．因为其图象过点()2,1P -，所以()2120k =⨯=--＜，所以其图象位于第二、第四象限．2.【答案】C 3.【答案】D【解析】可分以下三种情况讨论：①若120x x ＜＜，由反比例函数()0ky k x =＜的性质可得12y y ＜，所以120y y -＜，即12y y -的值是负数．②若120x x ＜＜，由反比例函数()0ky k x =＜的性质可得12y y ＞，所以120y y -＞，即12y y -的值是正数．③若120x x ＜＜，由反比例函数()0ky k x=＜的性质可得12y y ＜，所以120y y -＜，即12y y -的值是负数．所以12y y -的值不确定．4.【答案】B【解析】因为二次函数()20y axbx c a =++≠的图象开口向下，所以0a ＜．因为对称轴经过x 轴的负半轴，所以a ，b 同号，所以0b ＜．因为图象经过y 轴的正半轴，所以0c ＞．因为函数ay x=，0a ＜，所以图象分别在第二、第四象限．因为y bx c =+，0b ＜，0c ＞，所以图象经过第一、第二、第四象限．5.【答案】C【解析】因为y 与x 的函数解析式为()40y x x=-＞，所以其图象为双曲线在第一象限内的一支．6.【答案】C【解析】双曲线上任意点的横、纵坐标的积相等．7.【答案】C【解析】因为两函数的图象相交于点()2,1-，所以点()2,1-既在反比例函数的图象上，又在一次函数的图象上．把点()2,1-的坐标代入反比例函数k y x=中，得2k =-．把点()2,1-的坐标和2k =-代入一次函数y kx b =+中，得3b =，即点(),k b 为()2,3-，点()2,3-关于y 轴的对称点为()23,．8.【答案】A 二、9.【答案】1-【解析】由题意得23120m m ⎧-=-⎨-≠⎩，，解得2m =-，所以4y x -=．把4x =代入4y x -=，得1y =-，即1n =-．10.【答案】3-【解析】设反比例函数的解析式为()0ky k x=≠．由题意得()223k m ==⨯-，所以3m =-．11.【答案】32a ＞【解析】因为反比例函数32a y x -=的图象在第二、第四象限，所以320a -＜．所以32a ＞．12.【答案】27y x=-【解析】将点P 的坐标(),3a a -代入一次函数的解析式得，323a a -=--，所以3a =．所以点P 的坐标为()3,9-．将点P 的坐标()3,9-代入反比例函数解析式得93k =-．所以27k =-．所以反比例函数的解析式为27y x=-．13.【答案】二【解析】反比例函数1y x=-的图象在第二、第四象限，因为0x ＜，所以其图象应在第二象限．14.【答案】()10y x x =＞或112y x =-+（答案不唯一）【解析】此函数可以是一次函数，也可以是反比例函数．若是一次函数y kx b =+，只需0k ＜，图象与x 轴交于()2,0点即可；若是反比例函数k y x=，需0k ＞，且0x ＞．另外，还可以写其他函数解析式，只要满足题意即可．15.【答案】32【解析】由题意得()11,2P ，()22,1P ，323,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，414,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1S为正方形，故1111S =⨯=．对于2S 来说，它的长为1，宽为点2P 的纵坐标减去点3P 的纵坐标，2211133S ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．同理，32111326S ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭．故1231131362S S S ++=++=．16.【答案】2【解析】设(),A x y ，则(),B x y --，则OM x =，AM y =，B点到x 轴的距离为||y y AM -==，所以11222ABM AOM BOM S S S xy xy =+=+=△△△，即2xy =．所以2k =．17.【答案】（1）由题意知0.56tv =⨯，所以3t v=．即t 与v 之间的函数解析式为()30t v v=＞．（2）当3t =时，有33v =，所以313v ==，即每天至少要植树1公顷．18.【答案】（1）因为爆炸前CO 浓度呈直线型增加，所以可设y 与x 的函数解析式为()110y k x b k =+≠．由图象可知1y k x b =+过点()0,4和点()7,46，所以14746b k b =⎧⎨+=⎩，，解得164.k b =⎧⎨=⎩，所以64y x =+，此时自变量x 的取值范围是07x ≤≤．因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y 与x 的函数解析式为()220k y k x=≠．由图象知kiy x =过点()7,46，所以2467k =．所以2322k =．所以322y x=，此时自变量x 的取值范围是7x ＞．（2）当34y =时，由64y x =+，得6434x +=，5x =．所以撤离的最长时间为752-=（h ）．所以撤离的最小速度为32 1.5÷=（km/h ）．（3）当4y =时，由322y x=得，80.5x =，80.5773.5-=（h ）．所以矿工至少在爆炸后73.5h 才能下井．19.【答案】（1）因为1OA OB OD ===，所以A ，B ，D 三点的坐标为()1,0A -，()0,1B ，()1,0D ．（2）因为点A ，B 在一次函数y kx b =+的图象上，所以01k b b -+=⎧⎨=⎩，，解得11.k b =⎧⎨=⎩，所以一次函数的解析式为1y x =+．因为点C 在一次函数1y x =+的图象上，CD x ⊥轴，且1OD =，所以点C 的横坐标为1，纵坐标为112+=，即点C 的坐标为()1,2．又因为点C 在反比例函数my x=的图象上，所以2m =，所以反比例函数的解析式为2y x=．20.【答案】（1）把点A 的坐标代入14y x =-+，得41a -+=，解得3a =，所以()3,1A ．把点A 的坐标代入22=k y x的，得23k =．所以函数2y 的解析式为23y x=．（2）由图象可知，当01x ＜＜或3x ＞时，12y y ＜；当1x =或3x =时，12y y =；当13x ＜＜时，12y y ＞．人教版九年级数学下册第二十七章综合测试卷01一、选择题（每小题3分，共42分）1.要做甲、乙两个形状相同的三角形框架，已有三角形框架甲，它的三边长分别是50cm ，60cm ，80cm ，三角形框架乙的一边长为20cm ，那么符合条件的三角形共有（）A .1种B .2种C .3种D .4种2.如图所示，在ABC △中，DE BC ∥，DF AB ∥，则下列等式错误的是（）A .AE ADAB AC=B .CD DFAC AB=C .BE CDAE AD=D .BF BECF AE=3.在太阳光下，同一时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m 的测杆的影长为2.5m ，那么，影长为30m 的旗杆高为（）A .20cmB .18cmC .16cmD .15cm4.如果一个三角形的一条高将这个三角形分成两个相似的三角形，那么这个三角形必是（）A .等腰三角形B .任意三角形C .直角三角形D .直角三角形或等腰三角形5.如图所示，已知点M 是ABCD 上AB 边的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分面积与ABCD 面积之比为（）A .13B .14C .25D .5126.如图所示，ABC △与DEF △位似，且A 是OD 的中点，则等BCEF=（）A .12B .13C .14D .237.如图所示，斜拉桥是利用一组钢索把桥面重力传递到耸立在两侧的高塔上的桥梁，它不需建造桥墩，图中1A B 1，22A B ，…，55A B .是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且1B ，2B ，3B ，4B ，5B .被均匀地固定在桥上，如果最长钢索180A B =1m ，最短钢索5520A B =m ，那么钢索33A B ，22A B 的长分别为（）A .50m ，65mB .50m ，35mC .50m ，57.5mD .40m ，42.5m8.如图所示，若DAC ABC △∽△，则需满足（）A .AC ABCD BC=B .CD BCDA AC=C .2CD AD DB = D .2AC BC CD= 9.如图所示，ABC △是等边三角形，它被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等份，则图中阴影部分的面积是ABC △面积的（）A .19B .29C .13D .4910.如图所示，在ABC △中，3AB AD =，DE BC ∥，EF AB ∥，若9AB =，2DE =，则线段FC 的长度是（）A .6B .5C .4D .311.在ABCD 中，10AB =，6AD =，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F ，使CBF CDE △∽△，如图所示，则AF 的长是（）A .5B .8.2C .6.4D .1.812.如图所示，在正方形ABCD 的外侧作等边ADE △，BE ，CE 分别交AD 于G ，H ，设CDH △，GHE △的面积分别为1S ，2S ，则（）A .1232S S =B .1223S S =C .122S =D 122S =13.如图所示，把PQR △沿着PQ 的方向平移到P Q R '''△的位置，它们重叠部分的面积是PQR △面积的一半，若PQ =，则此三角形移动的距离PP '是（）A .12B .2C .1D 114.（2012·贵州毕节中考）如图所示，在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，将ABO △扩大到原来的2倍，得到A BO '△．若点A 的坐标是()12，，则点A '的坐标是（）A .()24，B .()12-，-C .()24--，D .()2,1--二、填空题（每空3分，共18分）15.如图所示，两个三角形的关系是________（填“相似”或“不相似”），理由是________．16.在ABC △中，5AB =，2AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D ，DE AC ∥交AB 于E ，则BDE △与ABC△的周长之比是_____________．17.已知ABC △与DEF △相似且面积比为4:25，则ABC △与DEF △的相似比为________.18.如图所示，锐角三角形ABC 的边AB ，AC 上的高线CE ，BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形________．（用相似符号连接）19.ABO △的顶点坐标分别为()3,3A -，()3,3B ，()0,0O ，试将ABO △放大为EFO △，使EFO △与ABO △的相似比为2:1，则E 点的坐标为，F 点的坐标为________．20.如图所示，ABC △与A B C '''△是位似图形，点O 是位似中心，若2OA AA '=，8ABC S =△，则A B C S '''=△________．三、解答题（共60分）21.（10分）如图所示，90ACB CDA ∠=∠=︒，4AC =，8AB =，当AD 为何值时，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似．22.（10分）如图所示，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上C 处直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得3CE =m ，乙的眼睛到地面的距离 1.5FE =m ；丙在1C 处也直立3m 高的竹竿11C D ，乙从E 处退后6m 到1E 处，恰好看到两根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D ，与旗杆顶端B 也重合，量得114C E =m.求旗杆AB 的高．23.（12分）（2012·山东潍坊中考）如图所示，ABC △的两个顶点B ，C 在圆上，顶点A 在圆外，AB ，AC 分别交圆于E ，D 两点，连接EC ，BD ．（1）求证：ABD ACE △∽△；（2）若BEC △与BDC △的面积相等，试判定ABC △的形状．24.如图所示，已知ABC △是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB ，BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动，设运动时间为t （单位：s ），解答下列问题：（1）当2t =s 时，判断BPQ △的形状，并说明理由；（2）设BPQ △的面积为S （单位：2cm ），求S 与t 的函数解析式；（3）作QR BA ∥交AC 于点R ，连接PR ，当t 为何值时，APR PRQ △∽△？25.（14分）如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 上的一点，连接AE ，作BF AE ⊥，垂足为H ，交CD 于F ，作CG AE ∥，交BF 于G 求证：（1）CG BH =；（2）2FC BF GF = ；（3）22FC GF AB GB=．第二十七章综合测试答案解析一、1.【答案】C【解析】由于甲和乙的对应边不确定，故有三种对应关系，即50cm 和20cm 是对应边，60cm 与20cm 是对应边，80cm 和20cm 是对应边，故选C ．2.【答案】D【解析】DE BC ∥，AE AD AB AC ∴=，BE CD AE AD =，∴A ，C 正确；D F AB ∥，CDF CAB ∴△∽△，CD DFAC AB∴=，BF AD CF DC =．又AD AE DC BE =，BF AECF BE∴=，∴B 正确，D 错调，故选D ．3.【答案】B【解析】设旗杆高为m x ，由题意得1.52.530x=，18x ∴=．4.【答案】D【解析】如图所示，若ADB ADC △∽△，则B C ∠=∠，AB AC ∴=，即ABC △为等腰三角形；若ADB CDA △∽△，则B CAD ∠=∠．90B BAD ∠+∠=︒ ，90CAD BAD ∠∴∠+=︒，即90BAC ∠=︒，ABC∴△为直角三角形，故该三角形为直角三角形或等腰三角形．5.【答案】A【解析】设BM E S x =△，DC AB ∥，CDE MBE ∴ △△，DE DCEB MB∴=.又因为M 是AB 的中点，AB DC =，21DE DC EB MB ∴==.2CDE MBE S DC S MB ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△，即=4CDE S x△，4CDE S x ∴=△．MDE △与MBE △的高相同，2MED MEB S DES EB∴==△△，2MED x ∴=△，同理2BEC x ∴=△.23S DMB x x x ∴=+=△，又因为D M 是ABD △的中线，224DAM DMB S S x x x∴==+=△△，44312ABC D C D E BM E D AMS S S S S x x x x x ∴=++=+++= △△△阴+．41123ABCDS x S x ∴== 阴，故选A ．6.【答案】A【解析】ABC △与DEF △位似，A BD E ∴∥，BC EF ∥，OA OBOD OE∴=，OBC OEF △∽△，BC OB OA EF OE OD ∴==．又因为A 是OD 的中点，12BC OA EF OD ∴==．7.【答案】A【解析】设12233445B B B B B B B B x ====．5511A B A B ∥，5511OA B OA B ∴ △△.555111A B OB A B OB ∴=，即5520=804OB OB x+，543OB x ∴=．同理333111A B OB A B OB =，222111A B OB A B OB =，334348043x x xA B x x ++∴=+，2243348043x xA B x x +∴=+．3350A B ∴=m ，2265A B =m ．故选A ．8.【答案】D【解析】C ∠ 是公共角，要使DAC ABC △∽△，∴只需AC CDCB AC=，即2AC CB CD = ，故选D ．9.【答案】C 【解析】设AEFS x =△．由题意得AE EH HB ==，EF HG ∥，AEF AHG ∴△∽△，214AEF AHG S AE S AH ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△，44AHG AEF S S x ∴==△△，43AH G AEF EH G F S S S x x x ∴=-=-=△△四边形．EF BC ∥，AEF ABC ∴△∽△，219AEF ABC S AE S AB ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭△△．99ABC AEF S S x ∴==△△，31=93EHGF ABC S x S x ∴=四边形△．10.【答案】C【解析】DE BC ∥，EF AB ∥，四边形B F E D 为平行四边形，2BF DE ∴==．FC CE BF AE =，CE BDAE AD=，FC BD BF AD ∴=．又3AB AD =，9AB =，3AD ∴=，6BD =．6=23FC ∴，4FC ∴=．11.【答案】B 【解析】E 是AD 的中点，132DE AD =∴=．在ABCD 中，10CD AB ==，6BC AD ==.CBF CDE △∽△．CB BF CD DE ∴=，即6103BF=，1.8BF ∴=，10 1.88.2AF AB BF =-=-=．12.【答案】A【解析】设正方形的边长为x ，作EM AD ⊥于M．22EM AE x ∴==．9060150BAE BAG GAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒，AB AE =，()1180150152AEG ∴∠=︒-︒=︒，601575EGH GAE AEG ∠=∠+∠=︒+︒=︒，同理75EHG ∠=︒，EG EH ∴=，EMH EMG ∴△≌△，∵EM CD ∥，22EMH S S ∴=△．EG EH = ，EMH CDH △∽△，2EMH CDH S ED S CD ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△，即2132EMH x S S x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭△，134EMH S S =△，211332242EMH S S S S ∴==⨯=△，即1232S S =，故选A ．13.【答案】D【解析】由题意知R P RP ''∥，MP Q RPQ ' △△，2MP Q RPQS QP S QP ''⎛⎫∴= ⎪⎝⎭△△，即212=.1QP ∴'=，1PP '∴=-．14.【答案】C【解析】ABO △与A B O ''△位似，原点O 为位似中心，位似比为1：2，且不在同一象限，则点A '的横、纵坐标分别为点A 的横、纵坐标的2-倍．二、15.【答案】相似三边对应成比例，两三角形相似【解析】4652697.53===，三边对应成比例，两三角形相似．16.【答案】5：7【解析】AD 平分BAC ∠，BAD CAD ∠=∠∴．又DE AC ∥，EDA DAC ∠=∠∴，E D A E A D ∠=∠，D E A E =．DE AC ∥，BDE BCA ∴△∽△，DE BE AC BA ∴=，即525DE DE -=，107DE ∴=，105727DE AC ∴==．BDE ∴△与ABC △的周长之比为5：7．17.【答案】2：5【解析】相似三角形面积的比等于相似比的平方，面积比为4：25．相似比为2：5．18.【答案】BDE CDF △∽△，ABF ACE△∽△【解析】BF AC ⊥ ，CE AB ⊥，BFC AFB AEC BEC ∠=∠=∠=∠∴．BED CFD ∠=∠ ，BDE CDF ∠=∠，BDE CDF ∴△∽△．A A ∠=∠ ，AFB AEC ∠=∠，ABF ACE ∴△∽△．19.【答案】()6,6-或()6,6-()6,6或()6,6--【解析】把A ，B 两点的横坐标和纵坐标分别乘2或2-，即得到点E ，F 的横坐标和纵坐标.20.【答案】18【解析】2OA AA '= ，:2:3OA OA '∴=，:4:9ABC A B C S S '''=△△．8ABC S ∴=△，18A B C S '''∴=△．三、21.【答案】90ACB CDA ∠=∠=︒ ，当AB AC AC AD =时，ABC ACD △△，即844AD =，2A D ∴=.当AB ACCA CD=时，ABC CAD △△，即844CD=，2CD ∴=，AD ∴=．∴当2AD =或A D =时，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以A ，C ，D 为顶点的三角形相似．22.【答案】如图所示，设直线1F F 与AB ，CD ，11C D 分别交于点G ，M ，N ，令BG x =，GM y =．MD GB ∥，DM MFBG GF ∴=.又 1.5DM DC EF =-=，3MF CE ==，1.533x y=+．又1ND GB ∥，111D N NF BG GF ∴=．又1 1.5D N DM ==，136GF GM MF FF y =++=++1， 1.5463x y ∴=++，解方程组 1.5331.5463x y xy ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪++⎩，得915x y =⎧⎨=⎩．∴旗杆AB 的高为9 1.510.5+=（m ）．23.【答案】（1）证明：∵弧ED 所对的圆周角相等，EBD ECD ∠=∠∴．又A A ∠=∠，ABD ACE ∴△∽△．（2）解法1：BEC BCD S S = △△，BCE ABC BEC S S S =-△△△，ABD BAC BCD S S S =-△△△，ACE ABD S S ∴=△△．又由（1）知ABD ACE △△，∴对应边之比等于1，AB AC ∴=，即ABC △为等腰三角形．解法2：连接ED ．BEC △与BCD △的面积相等，有公共底边BC ，∴高相等，即E ，D 两点到BC 的距离相等，ED BC ∴∥．BCE CED ∠=∠∴．又CED CBD ∠=∠，BCE CBD ∠=∠∴．由（1）知ABD ACE △∽△，ABD ACE ∠=∠∴，ABD CBD ACE BCE ∠+∠=∠+∠，ABC ACB ∴∠=∠，AB AC ∴=，即ABC △为等腰三角形．24.【答案】（1）BPQ △是等边三角形．理由：当2t =s 时，212AP =⨯=，224BQ =⨯=．624BP AB AP =∴=--=.BQ BP ∴=．又60B ∠=︒，BPQ ∴△是等边三角形．（2）过Q 作QE AB ⊥，垂足为E ．由2QB t =，得2 60Q E tsin =，AP t =，故6PB t =-.()11622BPQ S BP QE t ∴=⨯=-△．（3）QR BA ∥，60QRC A ∠=∠=∴︒，60RQC B ∠=∠=︒.又60C ∠=︒，QRC ∴△是等边三角形，62QR RC QC t ∴===-．又BE t =，662EP AB AP BE t t t ∴=--=--=-．EP QR ∥，EP QR =，故四边形EPRQ 是平行四边形．PR EQ ∴=．而APR PRQ △△，PR QRAP PR ∴=，即t ，65t ∴=.∴当65t =s 时，APR PRQ △△．25.【答案】（1）BF AE ⊥ ，CG AE ∥，CG BF ∴⊥．∵在正方形ABCD 中，90ABH CBG ∠+∠=︒，且90CBG BCG ∠+∠=︒，90BAH ABH ∠+∠=︒，BAH CBG ∠=∠∴，ABH BCG ∠=∠，AB BC =，ABH BCG ∴△≌△，CG BH ∴=．（2）BFC CFG ∠=∠ ，90BCF CGF ∠=∠=︒，CFG BFC ∴△∽△，FC GFBF FC∴=，即2FC BF GF = ．（3）∵在Rt BCF △中，CG BF ⊥，CBG FBC ∠=∠∴，90BGC BCF ∠=∠=︒，CBG FBC ∴△∽△．BC BG BF BC ∴=，2 BC BG BF ∴= .AB BC = ，2AB BG BF ∴= ，22FC FG BF FG AB BG BF BG ∴== ，即22FC GF AB GB=．人教版九年级数学下册第二十八章综合测试卷01一、选择题（每小题3分，共36分）1.如图所示，在正方形网格中，tan α等于（）A .1B .2C .12D .52.如图所示，已知在Rt ABC △中，90C ∠=︒，4AC =，1tan 2A =，则BC 的长是（）A .2B .8C .25D .453.已知α为锐角，()1cos 902α︒-=，则α∠的度数为（）A .30︒B .45︒C .60︒D .90︒4.如图所示，在Rt ABO △中，斜边1AB =．若OC BA ∥，36AOC ∠=︒，则（）A .点B 到AO 的距离为sin 54︒B .点B 到AO 的距离为tan 36︒C .点A 到OC 的距离为sin 36sin 54︒︒D .点A 到OC 的距离为cos 36sin 54︒︒5.将()05-，()33-，()2cos30--︒这三个实数按从小到大的顺序排列，正确的顺序是（）A .()()()3235cos 30----︒＜＜B .()()()32cos 3053--︒--＜＜C .()()()3253cos 30----︒＜＜D .()()()32cos 3035--︒--＜＜6.一直角三角形的两条边长分别为3，4，则较小锐角的正切值为（）A .34B .43C .34或73D .以上答案都不对7.若A ∠是锐角，且2sin 5A =，则A ∠的取值范围是（）A .030A ︒︒＜∠＜B .3045A ︒︒＜∠＜C .4560A ︒︒＜∠＜D .6090A ︒︒＜∠＜8.河堤横断面如图所示，堤高 5 m BC =，迎水坡AB 的坡比为BC 与水平宽度AC 之比），则AC 的长为（）A .B .10mC .15mD .9.在等腰ABC △中，一腰上的高为1，腰与底边的夹角为15°，则ABC △的面积为（）A .1B C .12D .1410.若菱形的边长为1cm ，其中一内角为60°，则它的面积为（）A 2B 2C .22 cmD .211.如图所示，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，且2BE AE =，已知AD =，tan BCE ∠，那么CE 等于（）A .B .2-C .D .12.下图是以ABC △的边AB 为直径的半圆O ，点C 恰好在半圆上，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ．已知3cos5ACD ∠=，4BC =，AC 则的长为（）A .1B .203C .3D .163二、填空题（每小题3分，共24分）13.计算2sin 60tan 30sin 45︒÷︒+︒=________．14.如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则sin A =________．15.如图所示，P 为α∠的边OA 上一点，且P 点的坐标为()3,4，则sin cos αα+=________．16.图是某超市自动扶梯的示意图，大厅两层之间的距离 6.5 m h =，自动扶梯的倾斜角为30°，若自动扶梯运行速度为0.5 m/s v =，则顾客乘自动扶梯上一层楼的时间为________s ．17.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200 m 到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C （如图所示），那么，由此可知B ，C 两地相距________m ．18.数学实践探究课中，老师布置给同学们一个测量学校旗杆的高度的作业．如图所示，小民所在的学习小组在距离旗杆底部10m 的地方，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是________m ．19.如图所示，在顶角为30°的等腰三角形ABC △中，AB AC =，若过点C 作CD AB ⊥于点D ，则15BCD ∠=︒，根据图形计算tan 15︒=________．20.如图所示，小明想测量电线杆AB 的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得 4 m CD =，10 m BC =，CD 与地面成30°角，且此时测得1m 长的杆的影子长为2m ，则电线杆的高度约为________m ．（结果保留到0.1 m 1.41≈ 1.73≈）三、解答题（共60分）21.（10分）（1）计算：()1120122|3tan 303π-⎛⎫--++︒ ⎪⎝⎭．（2）先化简，再求代数式的值：222111a a a a a +⎛⎫+÷ ⎪+-+⎝⎭，其中()20121tan 60a =-+︒．22.（8分）如图所示，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A ，B （不计大小），树干垂直于地面，量得=2 m AB ，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°．求C 处到树干DO 的距离CO ．（结果精确到1m ） 1.73≈ 1.41≈）23.（9分）一副直角三角板如图所示放置，点C 在FD 的延长线上，AB CF ∥，90F ACB ∠=∠=︒，45E ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，试求CD 的长．24.（12分）如图所示，梯形ABCD 是拦水坝的横截面（图中i =DE 与水平宽度CE 的比），60B ∠=︒， 6 m AB =， 4 m AD =，求拦水坝的横截面ABCD 的面积．（结果精确到20.1 m ，1.414≈）25.（10分）如图所示，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，30 m PC =，点C 与点A 恰好在同一水平线上，点A ，B ，P ，C 在同一平面内．（1）求居民楼AB 的高度；（2）求C ，A 之间的距离．（精确到0.1m 1.41≈ 1.73≈ 2.45≈）26.（11分）如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100m 的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是60°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41.9910 m ⨯到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是45°，求两海岛间的距离AB ．第二十八章综合测试答案解析一、1.【答案】B 【解析】2tan ==21ααα=的对边的邻边．2.【答案】A 【解析】∵1tan 2BC A AC ==，所以122BC AC ==．3.【答案】A【解析】∵()1cos 902α︒-=，∴9060α︒-=︒，∴30α∠=︒．4.【答案】C【解析】B 到AO 的距离是指BO 的长．∵AB OC ∥，∴36BAO AOC ∠=∠=︒．在Rt BOA △中，∵90BOA ∠=︒，1AB =，∴.sin 36BOAB︒=，∴sin 36=sin 36BO AB =︒︒，故选项A 、B 均错误．过A 作AD OC ⊥于D ，则AD 的长是点A 到OC 的距离，∵36BAO ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴54ABO ∠=︒．∵sin 36AD AO ︒=，∴·sin 36AD AO =︒．∵sin 54AOAB=，∴·sin 54AO AB -︒，∴·sin54·sin 36sin54sin36AD AB =︒︒=︒⋅︒，故选项C 正确，D 错误．5.【答案】A【解析】∵(01=，(3=-()224cos3023--⎛-︒=-= ⎝⎭，∴413-＜，即((()32cos30--︒＜＜．6.【答案】C【解析】当4为斜边时，较小锐角的正切值为3；当4为直角边时，较小锐角的正切值为34．7.【答案】A 【解析】∵1sin302︒=，2sin 5A =，∴sinA sin 30︒＜，∴30A ︒∠＜．8.【答案】A【解析】∵tanBC A AC ==5AC =，∴AC =．9.【答案】A【解析】如图，过B 作BD AC ⊥，在Rt ABD △中，21530BAD ∠=⨯︒=︒，∴2AB =，∴12112ABC S =⨯⨯=△．10.【答案】A【解析】如图所示，作AE BC ⊥于点E ．∵sin AE B AB=，∴()sin 1sin 60cm 2AE AB B ==⨯︒= ，∴()2=1cm 22ABCD S BC AE =⨯= 菱形．11.【答案】D【解析】∵tan BCE =∠，∴=30BCE ︒∠，∴=60B ︒∠．∵sin AD B AB =，∴6sin AD AB B ===．又2BE AE =，∴226433BE AB ==⨯=．∵tan BE BCE CE =∠，∴4tan tan30BE CE BCE ===︒∠．12.【答案】D【解析】∵AB 为直径，∴90ACB ∠=︒，∴90ACD BCD ∠+∠=︒．∵CD AB ⊥，∴90BCD B ∠+∠=︒，∴B ACD ∠=∠．∵3cos 5ACD ∠=，∴3cos =5B ，∴4tan 3B =．∵4BC =，4tan 43AC AC B BC ===，∴163AC =．二、13.【答案】2【解析】2231sin 60tan 30sin 45223222⎛︒÷︒+︒==+= ⎝⎭．14.【答案】45【解析】5AB ===，4sin 5BC A AB ==．15.【答案】75【解析】如图所示，过点P 作PB 垂直x 轴于点B ．∵P 点的坐标为()3,4，∴3OB =，4PB =，∴5OP =．∴437sin cos =555PB OB OP OP αα+=+=+．16.【答案】26【解析】 6.5131sin 302h AB ===︒，∴13260.5AB t v ===（s ）．17.【答案】200【解析】由题意得30CAB ∠=︒，120ABC ∠=︒，∴30ACB ∠=︒，∴CAB ACB ∠=∠，∴200 m AB BC ==．18.【答案】【解析】由题意得旗杆的高度是10tan 6010⨯︒==m ）．19.【答案】2【解析】设CD x =，∵30A ∠=︒，∴2AC x =，∴2AB x =．∵tan CD A AD =，∴tan tan 30CD xAD A ===︒，∴(22DB AB AD x x =-==，∴(2tan 152x DBCD x-︒===-20.【答案】8.7【解析】如图D-6所示，延长AD ，BC ，交于点F ，作DE CF ⊥于点E ．∵30DCE ∠=︒， 4 m CD =，∴ 2 m DE =，CE ===m ）．∵1m 长的杆的影子的长为2m ，∴12DE EF =，∴2 4 m EF DE ==，∴(10414 m BF BC CE EF =++=+=+．∴12AB BF =，即(111478.722AB BF ==+=≈（m ）．三、21.【答案】（1）解：原式=132303-+-⨯==．（2）解：原式()()()2121=11a a a a a a-++++-()()313=111a a a a a a +=+-- ，把()20121tan601a =-+︒===．22.【答案】解：设OC x =，在Rt AOC △中，∵45ACO ∠=︒，∴OA OC x ==．在Rt BOC △中，∵30BCO ∠=︒，∴·tan 303OB OC x =︒=．∵23AB OA OB x x =-=-=，解得35x =+≈．因此，C 处到树于DO 的距离CO 约为5m ．23.【答案】解：如图，过点B 作BM FD ⊥于点M ．在ACB △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，10AC =，∴30ABC ∠=︒，tan 60BC AC =︒=．∵AB CF ∥，∴30BCM ABC ∠=∠=︒．∴1sin302BM BC =︒== ，1cos30152CM BC === ．在EFD △中，90F ∠=︒，45E ∠=︒，∴45EDF ∠=︒，∴MD BM ==15CD CM MD =-=-24.【答案】解：过点A 作AF BC ⊥，垂足为F ．在Rt ABF △中，60B ∠=︒， 6 m AB =，∴sin 6sin60AF AB B ==︒=（m ），cos 6cos603BF AB B ==︒=（m ）．∵AD BC ∥，AE BC ⊥，DE BC ⊥，∴四边形AFED 是矩形．∴DE AF ==， 4 m FE AD ==．在Rt CDE △中，ED i EC ==∴9EC ==（m ）．∴34916BC BF FE EC =++=++=（m ）．∴()()()211=4+1652.0m 22ABCD S AD BD DE +=⨯⨯≈ 梯形因此，拦水坝的横截面ABCD 的面积约为252.0 m ．25.【答案】（1）解：过点P 作PD AC ⊥，垂足为D ，则45CPD PCD ∠=∠=︒，30APD ∠=︒．在Rt PCD △中，sin45CD PD PC ==︒=．易得四边形ABPD 为矩形，∴21.2AB PD ==≈（m ）．（2）解：在Rt APD △中，tan AD APD PD ∠==∴AD =．∴33.4AC AD DC =+=≈（m ）．26.【答案】解：如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点B 作BF CD ⊥，交CD 的延长线于点F ，连接AB ．∵AB CD ∥，∴90AEF EFB ABF ∠=∠=∠=︒，∴四边形ABFE 为矩形，∴AB EF =，AE BF =．由题意可知：1100200900AE BF ==-=（m ），41.9910 m=19900 m CD =⨯．∴在Rt AEC △中，60C ∠=︒，900 m AE =，∴tan 60AE CE ===︒m ）．在Rt BFD △中，45BDF ∠=︒，900 m BF =．∴900===900tan 451BF DF ︒（m ）∴(1990090020800AB EF CD DF CE ==+-=+-=-m ）．因此，两海岛之间的距离AB 是(20800-m ．人教版九年级数学下册第二十九章综合测试卷01一、选择题（每小题3分，共36分）1.投影不可能为一条线段的是（）A.线段B.正方形C.正五边形D.球2.平行投影中的光线是（）A.平行的B.聚成一点的C.不平行的D.向四面八方发散的3.两个不同长度的物体，在同一时刻同一地点的太阳光下，得到的投影的长度关系是（）A.相等B.长的较长C.短的较长D.不能确定4.在太阳光的投影下，正方形所形成的影子可能是（）A.正方形B.平行四边形或一条线段C.矩形D.菱形5.（2012·湖南益阳中考）下列命题是假命题的是（）A.中心投影下，物高与影长成比例B.平移不改变图形的形状和大小C.三角形的中位线平行于第三边D.圆的切线垂直于过切点的半径6.（2012·湖北随州中考）如图所示，下列四个立体图形中，主视图与左视图相同的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图是由一些完全相同的小立方块搭成的立体图形的三视图，那么搭成这个立体图形所用的小立方块的块数是（）A.5B.6C.7D.88.（2012·湖北黄冈中考）如图所示，水平放置的圆柱体的三视图是（）A B C D9.用两张完全相同的矩形纸片分别卷成两个形状不同的柱面（圆柱的侧面），设较高圆柱的侧面积和底面半径分别是1S ，和1r ，较矮圆柱的侧面积和底面半径分别是2S 和2r ，那么（）A .12S S =，12r r =B .12S S =，12>r r C .12S S =，12<r r D .12S S ≠，12r r ≠10.长方体的主视图与左视图如图所示（单位：cm ），则其俯视图的面积是（）A .122cmB .82cmC .62cmD .42cm 11.（2012·黑龙江鸡西中考）小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品盒（如图所示），六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的展开图可能是（）A B C D12.李强同学用棱长为1的正方体在桌面上堆成如图所示的图形，然后把露出的表面都染成红色，则表面被他染成红色的面积为（）A .37B .33C .24D .21二、填空题（每空3分，共24分）13.如图所示是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的立体图形，那么其三视图中面积最小的是________。

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九年级数学综合练习二
1、已知二次函数222yxxc的对称轴和x轴相交于点0m，，则m的值为______cm.
2、如图，半径OA＝2 cm，圆心角为90°的扇形OAB中，C为AB的中点，D为OB
的中点，则图中阴影部分的面积为______cm2.
3、已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、

(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为下列何者？( )
A．1 B．3 C．5 D
．7

4、已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）
A．（﹣3，7） B．（﹣1，7） C．（﹣4，10） D
．（0，10）

5、如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设
CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则下列图象中能表示y与x
之间的函数

关系的是（）

6、有3张不透明的卡片，除正面写有不同的数字外，其他均相同．将这三张卡片背面朝上洗匀后，第
一次从中随机抽取一张，并把这张卡片标有的数字记作一次函数表达式中的k，第二次从余下的两
张卡片中再随机抽取一张，上面标有的数字记作一次函数表达式中的b．
⑴写出k为负数的概率；
⑵求一次函数y=kx+6的图象经过二、三、四象限的概率．

（用树状图或列表法求解）
7、如图所示，AB是O⊙直径，OD⊥弦BC于点F，且交O⊙于点E，
若AECODB．
（1）判断直线BD和O⊙的位置关系，并给出证明；
（2）当108ABBC，时，求BD的长．

8、如图，在RtABC△中，斜边1230BCC，°，D为BC的中点，ABD△的外接圆O⊙与
AC
交于F点，过A作O⊙的切线AE交DF的延长线于E点．
（1）求证：AEDE⊥；
（2）计算：ACAF·的值．

A． B． C． D
．

A
E

O
D
B
C

第8题图
0
3020

10
5
P(元)

Q(百件)

9、如图(1)所示，一张平行四边形纸片ABCD，AB=10，AD=6，BD=8，沿对角线BD把这张纸片剪成△AB1D
1

和△CB2D2两个三角形(如图(2)所示)，将△AB1D1沿直线AB1方向移动(点B2始终在AB1上，AB1与CD2始终

保持平行)，当点A与B2重合时停止平移，在平移过程中，AD1与B2D2交于点E，B2C与B1D1交于点F，
(1)当△AB1D1平移到图(3)的位置时，试判断四边形B2FD1E是什么四边形？并证明你的结论；
(2)设平移距离B2B1为x，四边形B2FD1E的面积为y，求y与x的函数关系式；并求出四边形B2FD1E
的面积的最大值；
(3)连结B1C(请在图(3)中画出)。当平移距离B2B1的值是多少时，△ B1B2F与△ B1CF相似？

10、在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某种专卖店以5.8万元的优惠价转让给了尚有5万
元无息贷款还没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工
每月最低生活费的开支3600元后，逐步偿还转让费（不计利息）.从甲企业提供的相关资料中可知这种
消费品的进价是每件14元；月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的关系如图所示；维持企业的正常
运转每月需工资外的各种开支2000元.
⑴写出月销售量Q（百件）与销售单价P（元）的函数关系式.
⑵当商品的销售单价为多少元时，扣除职工最低生活费后
的月利润余额最大？⑶企业乙依靠该店，最早可望在几年内脱贫？

11、如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥
y
轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．
（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．
（2）求△EMF与△BNE的面积之比．

12、已知抛物线yxxc122的部分图象如图1所示。
（1）求c的取值范围；（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线yxxc122的解析式；
（3）若反比例函数ykx2的图象经过（2）中抛物线上点（1，a），试在图2所示直角坐标系中，画出
该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y1与y2的大小。

A B C D A C B1(B2)
D1(D2) A C
E F

B2
B1

D1 D2

y
x
O 3 6
6

-
-

-
-
13、已知：如图，一次函数33yxm与反比例函数3yx的图象在第一象限的交点为(1)An，．
（1）求m与n的值；
（2）设一次函数的图像与x轴交于点B，连接OA，求BAO的度数．

14、如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直
线MN的上方作正方形AEFG．
（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；(4分)
（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(4分)
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段
BC
上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判
断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式
表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．(5分)

15、如图，已知抛物线C1：522xay的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），
点B的横坐标是1．
（1）求P点坐标及a的值；（4分）
（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为
C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C
3
的解析式；（4分）

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4．抛物
线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直
角三角形时，求点Q的坐标．（5分）

N M B E
C

G
图（1）
图2

M
B E A C

G
N

y
x
A
O

图
C
1

C
2

图（1）

y
x
A
O
B

图
C
1

C
4

Q
E
F

图
16、二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交
于点H．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM平分∠OFP；
（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．

17、如图，已知AB是O⊙的直径，点C在O⊙上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，ACPC，
2COBPCB
．

（1）求证：PC是O⊙的切线；

（2）求证：12BCAB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，
若4AB，求MN*MC的值．

18、给定直线l：y=kx，抛物线C：y=ax2+bx+1．
（1）当b=1时，l与C相交于A，B两点，其中A为C的顶点，B与A关于原点对称，求a的值；
（2）若把直线l向上平移k2+1个单位长度得到直线r，则无论非零实数k取何值，直线r与抛物线
C
都只有一个交点．
①求此抛物线的解析式；
②若P是此抛物线上任一点，过P作PQ∥y轴且与直线y=2交于Q点，O为原点．求证：OP=PQ．