2007年高考真题试卷(湖南卷)数学(理科)
2007年湖南高考试卷
2007年湖南高考试卷科目：数学（文史类）（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和科目。
2．考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在草稿纸和本试卷上答题无效。
考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请用２Ｂ铅笔把应题目的答案标号所在方框涂黑，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹。
（2）非选择题部分（包括填空题和解答题）请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效。
（3）保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁、不折叠。
3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
4. 本试卷共5页。
如缺页，考生须声明，否则后果自负。
绝密★启用前数 学（文史类）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．不等式2x x >的解集是A ．(),0-∞B . ()0,1 C. ()1,+∞ D . ()(),01,-∞⋃+∞2．若O 、E 、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是A ．EF OF OE =+B . EF OF OE =- C. EF OF OE =-+ D . EF OF OE =--3. 设()2:400p b ac a ->≠，()2:00q x ax bx c a ++=≠关于的方程有实根，则p 是q 的A ．充分不必要条件B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件4．在等比数列{}()n a n N *∈中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为 A ． 8122- B . 9122- C. 10122- D . 11122-5．在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .11 6．如图1，在正四棱柱 1111ABCD A BCD -中，E 、F 分别是11AB C 、B 的中点，则以下结论中不成立的是A ．1EF BB 与垂直 B . EF BD 与垂直 C. EF 与CD 异面 D . EF 11与AC 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2），从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是A ．48米B . 49米 C. 50米 D . 51米图1 图28．函数244()43x f x x x -⎧=⎨-+⎩ 11x x ≤>的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 A ．1 B .2 C.3 D . 49．设12F F 、分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标为3c（c 为半焦距）的点，且122F F F P =，则椭圆的离心率是A ．312- B . 12 C. 512- D . 2210. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，12S S M k 、、、S 都是的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}{}{}(),,,,1,2,3,,i i i j jj S a b S ab i ji j k==≠∈、，都有{}()min ,min ,min ,j j i i i i j j a b a b x y b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭表示两个数x 、y 中的较小者.则k 的最大值是A ．10B .11 C. 12 D . 13二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11. 圆心为()1,1且与直线4x y +=相切的圆的方程是 . 12. 在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、，若1,3,3a c C π===，则A= . 13. 若232340,,log 9a a a >==则 . 14. 设集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+⋂≠∅，（1）b 的取值范围是 .（2）若(),,x y A B ∈⋂且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .15.棱长为1的正方形1111ABCD A BC D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E 、F 分别是该正方形的棱11AA 、DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 .三．解答题：本大题共６小题，共75分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分１２分）已知函数()212sin 2sin cos 888f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求： (Ⅰ)函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）函数()f x 的单调增区间.17.（本小题满分１２分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响.(Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率.18.（本小题满分１4分）如图3，已知直二面角45PQ A PQ B C BAP αβαβ--∈∈∈∠=，，，，，直线CA 和平面α所成的角为30. (Ⅰ)证明BC PQ ⊥；(Ⅱ)求二面角B AC P --的大小.19.（本小题满分13分）αβ已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交与A 、B 两点，点C 的坐标是（1，0）. （Ｉ）证明CA CB ⋅为常数；（Ⅱ）若动点M CM CA CB CO =++满足（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程.20.（本小题满分13分）设{}()22211,3,0n n n n n n S a n N n a a S n a S a *-∈==+≠是数列的前项和，且，2,3,4,n =.（Ⅰ）证明数列{}2(2)n n a a n +-≥是常数数列；（Ⅱ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}()n b n N *∈中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项.21.（本小题满分13分）已知函数()321132f x x ax bx =++在区间[)(]1,1,1,3-内各有一个极值点.（Ⅰ）求24a b -的最大值；（Ⅱ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点()()1,1A f 处的切线为l ，若在点A 处穿过()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式.2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π，2三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ2sin(2)2sin(2)2cos 2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==； （II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2cos2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ．ACQβ PH因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=， 不妨设2AC =，则3AO =，3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以3BO AO ==， 于是在Rt BOH △中，3tan 232BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则3AO =，1CO =． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=， 所以3BO AO ==． 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，(300)B ，，，(030)A ，，，(001)C ，，． 所以(330)AB =-，，，(031)AC =-，，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得33030x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，得1(113)n =，，．ABC Qαβ POxyz易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，． 所以121215cos 5||||51n n n n θ===⨯．故二面角B AC P --的大小为5arccos5． 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(22)，，(22)-，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，．当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- 22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，， 22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得：121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y+=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，．当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有 2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………② 由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列． 所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N *． 由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N *，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a -⨯+-项即可） 21．解：（I ）因为函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内分别有一个极值点，所以2()f x x ax b '=++0=在[11)-，，(13]，内分别有一个实根， 设两实根为12x x ，（12x x <），则2214x x a b -=-，且2104x x <-≤．于是2044a b <-≤，20416a b <-≤，且当11x =-，23x =，即2a =-，3b =-时等号成立．故24a b -的最大值是16．（II ）解法一：由(1)1f a b '=++知()f x 在点(1(1))f ，处的切线l 的方程是 (1)(1)(1)y f f x '-=-，即21(1)32y a b x a =++--， 因为切线l 在点(1())A f x ，处空过()y f x =的图象， 所以21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++--在1x =两边附近的函数值异号，则 1x =不是()g x 的极值点．而()g x 321121(1)3232x ax bx a b x a =++-++++，且 22()(1)1(1)(1)g x x ax b a b x ax a x x a '=++-++=+--=-++． 若11a ≠--，则1x =和1x a =--都是()g x 的极值点．所以11a =--，即2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--． 解法二：同解法一得21()()[(1)]32g x f x a b x a =-++-- 2133(1)[(1)(2)]322a x x x a =-++-+． 因为切线l 在点(1(1))A f ，处穿过()y f x =的图象，所以()g x 在1x =两边附近的函数值异号，于是存在12m m ，（121m m <<）．当11m x <<时，()0g x <，当21x m <<时，()0g x >；或当11m x <<时，()0g x >，当21x m <<时，()0g x <． 设233()1222a a h x x x ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则 当11m x <<时，()0h x >，当21x m <<时，()0h x >；或当11m x <<时，()0h x <，当21x m <<时，()0h x <．由(1)0h =知1x =是()h x 的一个极值点，则3(1)21102a h =⨯++=， 所以2a =-，又由248a b -=，得1b =-，故321()3f x x x x =--．。
2007年高考数学卷(全国卷Ⅰ.理)含详解
2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -=（5）设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为2，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2C．D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B．C．D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷注意事项：AB1B1A1D1C CD1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分） 设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围． （18）（本小题满分12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，BC =SA SB =（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…，43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案一、选择题： （1）D （2）B （3）A （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D （9）B（10）D （11）C （12）A二、填空题：（13）36（14）3()xx ∈R（15）13（16）三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =． （Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos cos 2A A A =++3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336A πππ<+<，所以1sin 232A π⎛⎫+<⎪⎝⎭．由此有232A π⎛⎫<+< ⎪⎝⎭所以，cos sin A C +的取值范围为32⎫⎪⎪⎝⎭，． （18）解：（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=，()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）．（19）解法一：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥底面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =，又45ABC =∠，故AOB △为等腰直角三角形，AO BO ⊥，由三垂线定理，得SA BC ⊥．（Ⅱ）由（Ⅰ）知SA BC ⊥，依题设AD BC∥， 故SA AD ⊥，由AD BC ==SA =AO =1SO =，SD =．SAB △的面积211122S AB SA ⎛=-= ⎝连结DB ，得DAB △的面积21sin13522S AB AD == 设D 到平面SAB 的距离为h ，由于D SAB S ABD V V --=，得121133h S SO S =， 解得h =A设SD 与平面SAB 所成角为α，则sin h SD α===所以，直线SD 与平面SBC所成的我为arcsin11． 解法二：（Ⅰ）作SO BC ⊥，垂足为O ，连结AO ，由侧面SBC ⊥底面ABCD ，得SO ⊥平面ABCD ．因为SA SB =，所以AO BO =．又45ABC =∠，AOB △为等腰直角三角形，AO OB ⊥． 如图，以O 为坐标原点，OA 为x0)A ，，(0B ，(0C -，，(001)S ，，，(2，(0CB =，0SA CB =，所以SA BC ⊥．（Ⅱ）取AB 中点E ，022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，连结SE ，取SE 中点G ，连结OG ，1442G ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，． 12OG ⎫=⎪⎪⎝⎭，，1SE ⎫=⎪⎪⎝⎭，(AB =． 0SE OG =，0AB OG =，OG 与平面SAB 内两条相交直线SE ，AB 垂直．所以OG ⊥平面SAB ，OG 与DS 的夹角记为α，SD 与平面SAB 所成的角记为β，则α与β互余．D ，(DS =．22cos 11OG DS OG DSα==sin β=，所以，直线SD 与平面SAB 所成的角为arcsin 11． （20）解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e xxf x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，故()2f x '≥． （当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()g x f x ax =-，则()()e e x x g x f x a a -''=-=+-，（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e 20xxg x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1ln x =，此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数．所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-∞，． （21）证明：（Ⅰ）椭圆的半焦距1c ==，由AC BD ⊥知点P 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=，所以，222200021132222y x y x ++=<≤． （Ⅱ）（ⅰ）当BD 的斜率k 存在且0k ≠时，BD 的方程为(1)y k x =+，代入椭圆方程22132x y +=，并化简得2222(32)6360k x k x k +++-=． 设11()B x y ，，22()D x y ，，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+2221222121)(1)()432k BD x x k x x x x k +⎡=-=++-=⎣+；因为AC 与BC 相交于点P ，且AC 的斜率为1k-，所以，2211132k AC k⎫+⎪⎝⎭==⨯+ 四边形ABCD 的面积222222222124(1)(1)962(32)(23)25(32)(23)2k k S BD AC k k k k +24+===++⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦≥． 当21k =时，上式取等号．（ⅱ）当BD 的斜率0k =或斜率不存在时，四边形ABCD的面积4S =．综上，四边形ABCD 的面积的最小值为9625． （22）解：（Ⅰ）由题设：11)(2)n n a a +=+1)(1)(2n a =+1)(n a =11)(n n a a+=．所以，数列{n a 是首项为21的等比数列，1)n n a =，即n a的通项公式为1)1nn a ⎤=+⎦，123n =，，，…． （Ⅱ）用数学归纳法证明．（ⅰ）当1n =2<，112b a ==，所以11b a <≤，结论成立．（ⅱ）假设当n k =43k k b a -<≤， 也即430k k b a -<． 当1n k =+时，13423k k k b b b ++-=+(3(423k k b b -+-=+(3023k k b b -=>+，又1323k b <=-+所以1(323k k k b b b +-=+2(3(k b <-4431)(k a -≤41k a +=也就是说，当1n k =+时，结论成立．43n n b a -<≤，123n =，，，…．2007年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k kn k n n P k C p p k n -=-=，，，…，一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-（2）设a 是实数，且1i1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12B ．1C ．32D ．2【解析】1i (1)1i 111i 22222a a i a a i +-++-+=+=++，∵1i1i 2a +++是实数，∴102a -=，解得a =1．选B ．（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向【解析】由a ·b =0，得a 与b 垂直，选A ．（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(4,0)，则双曲线方程为（ ）A ．221412x y -=B ．221124x y -=C ．221106x y -=D ．221610x y -=【解析】由2ca=及焦点是(40)-，，(4,0)，得4c =，2a =，24a =，∴22212b c a =-=，∴双曲线方程为221412x y -=．故选A ．（5）设a b ∈R ，，集合{}1{0}b a b a b a+=，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2【解析】由{}1{0}b a b a b a+=，，，，知0a b +=或0a =．若0a =则ba无意义，故只有0a b +=，1b =（若1ba=，这与0a b +=矛盾），∴1a =-，2b a -=．故选C ．（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，【解析】逐一检查，选C ．（7）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ D ）A ．15B ．25C ．35D ．45111||||5AD A B =1A 所成角的余弦值为45，选D ．（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ）（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件【解析】若“()f x ，()g x 均为偶函数”则()()f x f x -=，()()g x g x -=当然有()()h x h x -=；反之则未必，故选B ．（10）21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A 1D 1 C 1B 1AD CBA （综合法）（坐标法）A 1C 1 B 1AD CB第（7）题D 1A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】21()n x x-的展开式的通项公式为(22)()(23)1r n rr r n r r n n T C x x C x---+==，若常数项为15，令23015rnn r C -=⎧⎪⎨=⎪⎩，64n r =⎧⎨=⎩，选D ． （11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ C）（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．2()33ππ，B ．()62ππ，C ．(0)3π，D ．()66ππ-，()0x >，则第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．3．本卷共10题，共90分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 36 种．（用数字作答） 【解析】填36．从班委会5名成员中选出3名，共35A 种；其中甲、乙之一担任文娱委员的1224A A 种，则不同的选法共有35A -1224A A =36种．（14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．【解析】()f x =3()xx ∈R ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比AC1A A 0（16）题。
2007年高考试题——数学理(全国卷2)
2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷理科数学（必修 + 选修Ⅱ）注意事项：1．本试题卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分,共4页,总分150分,考试时间120分钟.2．答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上.3．选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.4．非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚5．非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效，在草稿纸、本试题卷上答题无效.6．考试结束、将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P （A +B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径),,2,1,0()1()(n k P P C k P k n k kn n =-=-一、选择题 （1）=210sin（A ）23 （B ）23-（C ）21 （D ）21-（2）函数|sin |x y =的一个单调增区间是（A ）)4,4(ππ-（B ）)43,4(ππ（C ）)23,(ππ （D ）)2,23(ππ（3）设复数z 满足==+z i zi 则,21 （A ）－2+i （B ）－2－i （C ）2－i（D ）2+i （4）下列四个数中最大的是（A ）2)2(ln（B ）)2ln(ln（C ）2ln（D ）2ln（5）在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若=+==λλ则,31,2（A ）32 （B ）31 （C ）31-（D ）32-（6）不等式0412>--x x 的解集是 （A ）（－2，1） （B ）（2，+∞） （C ）),2()1,2(+∞- （D ）),1()2,(+∞--∞（7）已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等,则AB 1与侧面ACC 1A 所成的角的正弦值等于（A ）46 （B ）410 （C ）22 （D ）23 （8）已知双曲线x x y ln 342-=的一条切的斜率为21，则切点的横坐标为（A ）3 （B ）2 （C ）1（D ）21（9）把函数x e y =的图像按向量a =（2,3）平移,得到)(x f y =的图像,则=)(x f（A ）23+-x e（B ）23-+x e（C ）32+-x e（D ）32-+x e（10）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （A ）40种 （B ）60种 （C ）100种 （D ）120种（11）设F 1、F 2分别是双曲线12222=-by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使||3||902121AF AF AF F ==∠且 ，则双曲线的离心率为（A ）25（B ）210（C ）215（D ）5（12）设F 为抛物线x y 42=的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若0=++FC FB FA ，则=++||||||FC FB FA（A ）9（B ）6（C ）4（D ）3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（13）82)1)(21(xx x -+的展开式中常数项为 ① .（用数字作答） （14）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布).0)(,1(2>σσN 若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在（0,2）内取值的概率为 ② .（15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 ③ cm 2. （16）已知数列的通项25+-=n a n ，其前n 项和为S n ，则2limn S nx ∞→= ④ .三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）在△ABC 中，已知内角,32,3==BC A 边π设内角B =x ，周长为y .（Ⅰ）求函数y=f (x )的解析式和定义域；（Ⅱ）求y 的最大值.（18）（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件.假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P （A ）=0.96.（Ⅰ）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ;（Ⅱ）若该批产品共100件，从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列.（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥S —ABCD 中,底面ABCD 为正方形,侧棱SD ⊥底面ABCD , E 、F 分别为AB 、SC 的中点.（Ⅰ）证明EF//平面SAD .（Ⅱ）设SD =2DC . 求二面角A —EF —D 的大小.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线43=-y x 相切.（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|PA |、|PO |、|PB | 成等比数列，求、的取值范围.（21）（本小题满分12分）设数列}{n a 的首项.,4,3,2,23),1,0(11 =-=∈-n a a a n n （Ⅰ）求}{n a 的通项公式;（Ⅱ）设,,231+<-=n n n n n b b a a b 证明其中n 为正整数. （22）（本小题满分12分）已知函数x x x f -=3)(.（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<-2007年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同.可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分的正确解答应得分数的一半,如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3．解答右段所注分数,表示考生正确做到这一步应得到累加分数. 4．只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题（1）D （2）C （3）C （4）D （5）A （6）C （7）A （8）A （9）C （10）B （11）B （12）B 二、填空题（13）－42 （14）0.8 （15）2+42 （16）25 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）△ABC 的内角和A+B+C =π,由.3200,0,3ππ<<>>=B C B A 得 应用正弦定理,知,sin 4sin 3sin32sin sin x x B ABC AC ===π).32sin(4sin sin x C A BC AB -==π因为 ,AC BC AB y ++= 所以 ).320(32)32sin(4sin 4ππ<<+-+=x x x y （Ⅱ）因为 32)s i n 21c o s 23(s i n4+++=x x x y =),6566(32)6sin(34ππππ<+<++x x 所以,当26ππ=+x ,即y x ,3时π=取得最大值36.（18）解（Ⅰ）记A 0表示事件“取出2件产品中无二等品”,A 1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”则A 0,A 1互斥,A =A 0+A 1,故P （A ）=P （A 0+A 1）=P （A 0）+P （A 1） =)1()1(122p p C p -+-21p -=于是 0.9621p -=解得 2.02.021-==p P （舍去） （Ⅱ）ξ的可能取值为0,1,2.若该批产品共100件,由（Ⅰ）知其二等品有100×0.2=20件,故.495316)0(2100280===C C P ξ.495160)1(2100130180===C C C P ξ.49519)2(2100220===C C P ξ所以ξ的分布列为（19（Ⅰ）作FG//DC 交SD 于点G ,则G 为SD 的中点.连结AG FG ////,21CD CD 又AB , 故FG //AE,AEFG 为平行四边形.EF//AG ,又AG ⊂平面SAD,EF ⊄平面SAD . 所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设DC =2,则SD =4,DG =2,△ADG 为等腰直角三角形. 取AG 中点H ,连结DH ,则DH ⊥AG .又AB ⊥平面SAD ,所以AB ⊥DH ,而AB AG =A .所以DH ⊥面AEF .取EF 中点M ，连结MH ，则HM ⊥EF . 连结DM ，则DM ⊥EF .故∠DMH 为二面角A —EF —D 的平面角.212tan ===∠HM DH DMH所以二面有A —EF —D 的大小为arctan 2 解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系D —xyz设A (a ,0,0),S(0,0,b ),则)2,2,0(),0,2,(),0,,0(),0,,(ba F a a E a C a a B ,)2,0,(b a -=,取SD 的中点)2,0,0(bG ,则)2,0,(ba AG -=,,,,//,SAD EF SAD AG AG EF 平面平面⊄⊂=所以EF //平面SAD .（Ⅱ）不妨设A (1,0,0),则 B (1,1,0),C (0,1,0),S (0,0,2),E(1,21,0),F (0, 21,1). EF 中点M (21,21,21),.,0,),1,0,1(),21,21,21(EF MD EF ⊥=-=---= 又EF EA EF EA EA ⊥=⋅-=,0),0,21,0(,所以向量和的夹角等于二面角A —EF —D 的平面角，33,cos =<，所以二面角A —EF —D 的大小为arccos 33.（20）解：（Ⅰ）依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线43=-y x 的距离，即 2314=+=r得圆O 的方程为422=+y x .（Ⅱ）不妨设4.),0,(),0,(22121=<x x x x B x A 由即得 A （－2，0），B （2，0） 设),(y x P ，由|PA |、|PO |、|PB |成等比数列，得222222)2()2(y x y x y x +=+-⋅++即 .222=-y x).1(24),2(),2(222-=+-=--⋅---=⋅y y x y x y x内于点P 在圆O 内做⎪⎩⎪⎨⎧=-<+24222y x y x由此得：y 2<1所以 ⋅的取值范围为).0,2[- （21）解：（Ⅰ）由 ,4,3,2231=-=-n a a n n ，， 整理得 ).1(2111---=-n n a a 又 }1{011n a a -≠-，所以是首项为11a -，公比为21-的等比数列，得 11)21)(1(1----=n n a a（Ⅱ）方法一： 由（Ⅰ）可知.0230><<n n b a ，故 那么， 221n n b b -+2222121)1(49)23()2323()23()23()23(-=---⨯--=---=++n n n n n n n n n n a aa a a a a a a a 又由（Ⅰ）知010221>-≠>+n n n n b b a a ，故且，因此 1+<n n b b ，n 为正整数. 方法二：由（Ⅰ）可知 .1230≠<<n n a a ， 因为 231nn a a -=+ 所以 .2)3(23111nn n n n a a a a b -=-=+++由2)23()23(1n n n n a a a a -<-≠可得 即n n n n a a a a 22)23()23(-<- 两边开平方得.2323n nn n a a a a -<-即 n b b n n ，1+<为正整数. （22）解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2-='x x f 曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(32t x t y --=（Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使322)13(t a t b --=于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t有三个相异的实数根，记 ,32)(23b a at t t g ++-= 则 at t t g 66)(2-=' )(6a t t -=当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：由)(t g 的单调性，当极大值0<+b a 或极小值0)(>-a f b 时，方程0)(=t g 最多有一个实数根；当0=+b a 时，解方程2300)(at t t g ===，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根；当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得20)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则⎩⎨⎧<->+0)(0a fb b a 即 ).(a f b a <<-。
高考数学2007年理科试题及答案(全国卷1)
高考数学试卷第Ⅰ卷一、选择题1．a 是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α= A ．51 B ．51-C ．135 D ．135-2．设a 是实数，且211ii a +++是实数，则a ＝ A ．21B ．1C ．23 D ．23．已知向量a ＝（－5，6），b ＝（6，5），则a 与b A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向4．已知双曲线的离心率为2，焦点是（－4，0），（4，0），则双曲线方程为A ．112422=-y xB ．141222=-y x C ．161022=-y xD ．110622=-y x 5．设R ,∈b a ，集合{}=-⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+a b b a b a b a 则,,,0,,1 A ．1B ．－1C ． 2D ．－26．下面给出的四个点中，到直线x －y+1=0的距离为22，且位于x y 10,x y 10+-<⎧⎨-+>⎩表示的平面区域内的点是 A ．（1，1） B ．（－1，1） C ．（－1，－1） D ．（1，－1）7．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为A ．51B ．52C ．53 D ．54 8．设a>1，函数x x f log,)(=在区间[a ，2a]上的最大值与最小值之差为21，则a= A ．2B ．2C ．22D ．49．)(),(x g x f 是定义在R 上的函数，)()()(x g x f x h +=，则“)(),(x g x f 均为偶函数”是“)(x h 为偶函数”的A ．充要条件B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件10．2n1(x )x-的展开式中，常数项为15，则n ＝ A ．3B ．4C ．5D ．611．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，,l AK ⊥垂足为K ，且△AKF 的面积是A ．4B ．33C ．43D ．812．函数2cos2cos )(22xx x f -=的一个单调增区间是 A ．（π2π,33） B ．（2,6ππ） C ．（π0,3） D ．（－ππ,66）第Ⅱ卷（非选择题 共95分）注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷ⅰ)
2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．2．（4分）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．23．（4分）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向4．（4分）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．5．（4分）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．（4分）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）7．（4分）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．49．（4分）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f（x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件10．（4分）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．611．（4分）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．812．（4分）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种．（用数字作答）14．（5分）函数y=f（x）的图象与函数y=log3x（x＞0）的图象关于直线y=x对称，则f（x）= ．15．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．16．（5分）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为．三、解答题（共6小题，满分82分）17．（12分）设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围．18．（12分）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；（Ⅱ）求η的分布列及期望Eη．19．（14分）四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2，SA=SB=．（Ⅰ）证明：SA⊥BC；（Ⅱ）求直线SD与平面SBC所成角的大小．20．（14分）设函数f（x）=ex﹣e﹣x（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P（Ⅰ）设P点的坐标为（x0，y0），证明：；（Ⅱ）求四边形ABCD的面积的最小值．22．（16分）已知数列{an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题4分，满分48分）1．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）α是第四象限角，，则sinα=（）A．B．C．D．【分析】根据tanα=，sin2α+cos2α=1，即可得答案．【解答】解：∵α是第四象限角，=，si n2α+cos2α=1，∴sinα=﹣．故选D．2．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a是实数，且是实数，则a=（）A．B．1 C．D．2【分析】复数分母实数化，化简为a+bi（a、b∈R）的形式，虚部等于0，可求得结果．【解答】解．设a是实数，=是实数，则a=1，故选B．3．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知向量，，则与（）A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得．【解答】解：∵向量，，得，∴⊥，故选A．4．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则c=4，a=2，b2=12，双曲线方程为，故选A．5．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a，b∈R，集合{1，a+b，a}={0，，b}，则b﹣a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，集合，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得a+b=0，进而分析可得a、b的值，计算可得答案．【解答】解：根据题意，集合，又∵a≠0，∴a+b=0，即a=﹣b，∴，b=1；故a=﹣1，b=1，则b﹣a=2，故选C．6．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）下面给出的四个点中，到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点是（）A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为，且位于表示的平面区域内的点，我们可以将答案中的四个点逐一代入验证，不难得到结论．【解答】解．给出的四个点中，（1，1），（﹣1，1），（﹣1，﹣1）三点到直线x﹣y+1=0的距离都为，但∵，仅有（﹣1，﹣1）点位于表示的平面区域内故选C7．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）如图，正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角，在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可．【解答】解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，故选D．8．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）设a＞1，函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=（）A．B．2 C．D．4【分析】因为a＞1，函数f（x）=logax是单调递增函数，最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1，所以loga2a﹣logaa=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a，logaa，∴loga2a﹣logaa=，∴，a=4，故选D9．（4分）（2008?上海）f（x），g（x）是定义在R上的函数，h（x）=f （x）+g（x），则“f（x），g（x）均为偶函数”是“h（x）为偶函数”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断，只能根据定义，而要否定奇偶性，一般用特值．【解答】解．若“f（x），g（x）均为偶函数”，则有f（﹣x）=f（x），g （﹣x）=g（x），∴h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=f（x）+g（x）=h（x），∴“h（x）为偶函数”，而反之取f（x）=x2+x，g（x）=2﹣x，h（x）=x2+2是偶函数，而f（x），g（x）均不是偶函数”，故选B10．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）的展开式中，常数项为15，则n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项，据n的特点求出n的值．【解答】解：的展开式中，常数项为15，则，所以n可以被3整除，当n=3时，C31=3≠15，当n=6时，C62=15，故选项为D11．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F 且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．8【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标，再由AK⊥l，垂足为K，可求得K 的坐标，根据三角形面积公式可得到答案．【解答】解：∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线为l：x=﹣1，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A（3，2），AK⊥l，垂足为K（﹣1，2），∴△AKF的面积是4故选C．12．（4分）（2007?全国卷Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】化简函数为关于cosx的二次函数，然后换元，分别求出单调区间判定选项的正误．【解答】解．函数=cos2x﹣cosx﹣1，原函数看作g（t）=t2﹣t﹣1，t=cosx，对于g（t）=t2﹣t﹣1，当时，g（t）为减函数，当时，g（t）为增函数，当时，t=cosx减函数，。
2007年高考数学试题全国2卷(理科)
2007年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)理科数学(必修+选修II)全解全析注意事项:1． 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共4页,总分150分考试时间120分钟. 2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上。
3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。
4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。
6． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k)=C kn P k (1－P)n －k一．选择题 1．sin2100 = (A)23 (B) -23 (C)21 (D) -212．函数f(x)=|sinx|的一个单调递增区间是 (A)（－4π，4π） (B) （4π，43π） (C) （π，23π） (D) （23π，2π）3．设复数z 满足zi 21+=i ，则z =(A) -2+i (B) -2-i(C) 2-i(D) 2+i4．以下四个数中的最大者是 (A) (ln2)2(B) ln(ln2) (C) ln 2 (D) ln25．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=球的表面积公式S=42R π其中R 表示球的半径， 球的体积公式V=334R π，其中R 表示球的半径(A)32(B)31 (C) -31 (D) -326．不等式:412--x x >0的解集为 (A)( -2, 1)(B) ( 2, +∞)(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞)(D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)7．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于(A)4(B)4(C) 2(D)28．已知曲线23ln 4xy x =-的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为(A)3 (B) 2(C) 1(D) 129．把函数y =e x 的图象按向量a =(2,3)平移，得到y =f (x )的图象，则f (x )= (A) e x -3+2 (B) e x +3－2 (C) e x -2+3 (D) e x +2－310．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种(B) 60种(C) 100种 (D) 120种11．设F 1，F 2分别是双曲线22221x y ab-=的左、右焦点。
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学理科卷 必修+选修Ⅱ
2007年普通高等学校招生全国统一考试数学理科卷理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页。
满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A +B ) = P (A ) + P (B ) S = 4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A ·B ) = P (A )·P (B )球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P . V = 43 πR 3那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径P n (k ) = C n k P k(1－P ) n －k一．选择题1、设全集U=R ，M={x |y =x –1}，N={x |0≤x <3}，则{x |x <1或x ≥3}等于( ) (A) A ∩B (B) A ∪( U B) (C) A ∩( U B) (D) ( U A)∪( U B)2、复数12z i =+的虚部与实部之和为 ( )(A) 13 (B)1 (C)15 (D) 353、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若458,=10 , a a = 则=8S ( ) (A) 18 (B)36 (C)54 (D) 724、下列函数中最小正周期最小的函数是 ( ) (A) ()|sin |f x x = (B) ()tan f x x = (C) ()|tan |f x x = (D) ()|sin 2|f x x =5、已知在平面直角坐标系中，O(0，0)，M(2，–1)，N(0，1)，Q(2，3)，动点P(x ，y)满足0≤OP ·OM ≤2，0≤OP ·ON ≤2，则ω=OP ·OQ 的最大值为 ( )(A)0 (B)2 (C)8 (D)10 6、若l ，m 表示直线，r ,,βα表示平面，则下列命题不正确．．．的是 （ ）(A)若βαβα⊥⊥⊥⊥则,,,m l m l (B)若βαβα⊥⊂⊂⊥则,,,m l m l (C)若βαβα⊥⊥则,//,r r(D)若βαβα⊥⊂⊥则,,,//m l m l7、若动圆的圆心在抛物线2x =12y 上, 且与直线30y +=相切，则此动圆恒过定点（ ） (A) (0,2) (B) (0, -3) (C) (0，3) (D) (0，6)238、设P 是曲线2ln y x x =-上一点，则P 到直线2y x =-的最短距离为( ) (A) 19、已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点恰好是椭圆12222=+by a x 的右焦点F ，且这两条曲线交点的连线过点F ，则该椭圆的离心率为（ ） (A) 12-(B))12(2-(C)215- (D)22 10、设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(13)x +a x ≤0f (x –1) x >0，方程f (x )=x 有且只有3个实数根，则实数a 的取值范围是(A)a ≤–3 (B) –3 <a ≤–2 (C) –1<a <0 (D) a ≥–211、空间四点P 、A 、B 、C 共面且满足12OP=2(OA+OB)+OC (>0),+b a b a b a ⋅、则的最小值为(A)(B)6+(C)(D) 1612、正六边形的六个顶点依次标上0、1、2、3、4、5，一只蚂蚁 从顶点0处开始，沿逆时针方向爬行，第1次爬1条边， 第2次爬2条边，第3次爬4条边，…，第n 次爬2n –1条边。
2007年高考数学(理)真题(Word版)——全国1卷(试题+答案解析)
2007年普通高等学校招生全国统一考试（全国1卷）数学（理）试题第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）已知向量(56)=-，a ，(65)=，b ，则a 与b （ ） A ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(40)-，，(40)，，则双曲线方程为（ ） A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．221106x y -= D ．221610x y -= （5）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-（6）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=的距离为22，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ）A ．(11)，B ．(11)-，C ．(11)--，D ．(11)-，（7）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45（8）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） A ．2B ．2C ．22D ．4（9）()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“()f x ，()g x 均为偶函数”是“()h x 为偶函数”的（ ） A ．充要条件 B ．充分而不必要的条件C ．必要而不充分的条件D ．既不充分也不必要的条件（10）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6（11）抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK l ⊥，垂足为K ，则AKF △的面积是（ ） A ．4B ．33C ．43D ．8（12）函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是（ ） A ．233ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．（13）从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中AB1B1A1D1C C D甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有 种．（用数字作答） （14）函数()y f x =的图像与函数3log (0)y x x =>的图像关于直线y x =对称，则()f x = ．（15）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为 ． （16）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分10分）设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =． （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．（18）（本小题满分12分） 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．（19）（本小题满分12分）四棱锥S ABC D -中，底面A B C D 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面A B C D ．已知45ABC = ∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==．（Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．（20）（本小题满分12分） 设函数()e e xxf x -=-．DBCAS（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．（21）（本小题满分12分）已知椭圆22132x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于AC ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ．（Ⅰ）设P 点的坐标为00()x y ，，证明：2200132x y +<； （Ⅱ）求四边形ABCD 的面积的最小值．（22）（本小题满分12分）已知数列{}n a 中12a =，1(21)(2)n n a a +=-+，123n =，，，…． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 中12b =，13423n n n b b b ++=+，123n =，，，…， 证明：432n n b a -<≤，123n =，，，…．答案解析一、选择题 1.答案：D解析：α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=－215131tan α=-+ 2.答案：B解析：设a 是实数，112a i i +++=(1)1(1)(1)222a i i a a i-+++-+=是实数，则a =1，选B 。
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2007年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．D 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．5π613．16-14．（1）[1)+∞，（2）9215．21n -，32三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：（I ）由题设知1π()[1cos(2)]26f x x =++．因为0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，所以0π26x +πk =，即0 π2π6x k =-（k ∈Z ）．所以0011π()1sin 21sin(π)226g x x k =+=+-．当k 为偶数时，01π13()1sin 12644g x ⎛⎫=+-=-= ⎪⎝⎭， 当k 为奇数时，01π15()1sin12644g x =+=+=．（II ）1π1()()()1cos 21sin 2262h x f x g x x x ⎡⎤⎛⎫=+=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1π31313cos 2sin 2cos2sin 22622222x x x x ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 1π3sin 2232x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 当πππ2π22π232k x k -++≤≤，即5ππππ1212k x k -+≤≤（k ∈Z ）时，1π3()sin 2232h x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是增函数， 故函数()h x 的单调递增区间是5ππππ1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（k ∈Z ）． 17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是 1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是21110.10.9P P =-=-=． 解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是 3()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是4()0.60.750.45P P A B ==⨯= ． 所以该人参加过培训的概率是5340.450.450.9P P P =+=+=．（II ）因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布(30.9)B ，，33()0.90.1kkkP k C ξ-==⨯⨯，0123k =，，，，即ξ的分布列是 ξ0 1 2 3 P0.0010.0270. 2430.729ξ的期望是10.02720.24330.729 2.7E ξ=⨯+⨯+⨯=．（或ξ的期望是30.9 2.7E ξ=⨯=）18．解：解法一：（Ｉ）因为平面1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，AD AB ⊥，AD ⊂平面A B C D ，所以A D ⊥平面1G A B ，又AD ⊂平面12G AD G ，所以平面1G A B ⊥平面12G AD G ．（II ）过点B 作1BH AG ⊥于点H ，连结2G H ． 由（I ）的结论可知，BH ⊥平面12G AD G ， 所以2BG H ∠是2B G 和平面12G AD G 所成的角．1G 2GDF CB A EOH1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G A B ，所以1G E ⊥平面A B C D ，故1G E EF ⊥．因为12G G AD <，AD EF =，所以可在E F 上取一点O ，使12EO G G =，又因为12G G AD EO ∥∥，所以四边形12G EO G 是矩形．由题设12AB =，25B C =，8E G =，则17G F =．所以218G O G E ==，217G F =， 2217815OF =-=，1210G G EO ==．因为A D ⊥平面1G A B ，12G G AD ∥，所以12G G ⊥平面1G A B ，从而121G G G B ⊥． 故222222221126810200BG BE EG G G =++=++=，2102BG =． 又2216810AG =+=，由11BH AG G E AB = 得81248105B H ⨯==．故22481122sin 525102BH BG H BG ∠==⨯=．即直线2B G 与平面12G AD G 所成的角是122arcsin25．解法二：（I ）因为平面1G AB ⊥平面A B C D ，平面1G AB 平面A B C D A B =，1G E AB ⊥，1G E ⊂平面1G A B ，所以1G E ⊥平面A B C D ，从而1G E AD ⊥．又A B A D⊥，所以A D ⊥平面1G A B ．因为AD ⊂平面12G AD G ，所以平面1G A B ⊥平面12G AD G ．（II ）由（I ）可知，1G E ⊥平面A B C D ．故可以E 为原点，分别以直线1EB EF EG ，，为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），由题设12AB =，25B C =，8E G =，则6E B =，25E F =，18EG =，相关各点的坐标分别是(600)A -，，，(6250)D -，，，1(008)G ，，，(600)B ，，．所以(0250)AD =，，，1(608)AG = ，，．设()n x y z =，，是平面12G AD G 的一个法向量，1G2GDFCB A EOxyz100n A D n A G ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，.得250680y x z =⎧⎨+=⎩，故可取(403)n =- ，，． 过点2G 作2G O ⊥平面A B C D 于点O ，因为22G C G D =，所以O C O D =，于是点O 在y 轴上．因为12G G AD ∥，所以12G G EF ∥，218G O G E ==．设2(08)G m ，， （025m <<），由222178(25)m =+-，解得10m =， 所以2(0108)(600)(6108)BG =-=-，，，，，，．设2B G 和平面12G AD G 所成的角是θ，则2222222|2424|122sin 25610843BG nBG nθ--===+++．故直线2B G 与平面12G AD G 所成的角是122arcsin25．19．解：（I ）如图，P H α⊥，H B α⊂，PB AB ⊥， 由三垂线定理逆定理知，AB H B ⊥，所以P B H ∠是 山坡与α所成二面角的平面角，则P B H θ∠=，1sin P H P B θ==．设(km )BD x =，0 1.5x ≤≤．则 2221PD x PB x =+=+[12]∈，．记总造价为1()f x 万元， 据题设有2211111()(1)(3)224f x P D A D A O a x x a =+++=-++21433416x a a ⎛⎫⎛⎫=-++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当14x =，即1(km )4B D =时，总造价1()f x 最小．（II ）设(km )AE y =，504y ≤≤，总造价为2()f y 万元，根据题设有222131()13224f y PD y y a ⎡⎤⎛⎫=++++-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2433216y y a a ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭． αAOE DBHP()22123yf y a y ⎛⎫'⎪=- ⎪+⎝⎭，由2()0f y '=，得1y =． 当(01)y ∈，时，2()0f y '<，2()f y 在(01)，内是减函数； 当514y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，2()0f y '>，2()f y 在514⎛⎫⎪⎝⎭，内是增函数．故当1y =，即1A E =（km ）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a 万元．（III ）解法一：不存在这样的点D '，E '．事实上，在A B 上任取不同的两点D '，E '．为使总造价最小，E 显然不能位于D ' 与B 之间．故可设E '位于D '与A 之间，且BD '=1(km )x ，1(km )AE y '=，12302x y +≤≤，总造价为S 万元，则221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭．类似于（I ）、（II ）讨论知，2111216x x --≥，2113322y y +-≥，当且仅当114x =，11y =同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km )4B D '=，1(km )AE =，S 取得最小值6716a ，点D E ''，分别与点D E ，重合，所以不存在这样的点 D E ''，，使沿折线P D E O ''修建公路的总造价小于（II ）中得到的最小总造价． 解法二：同解法一得221111113224x y S x y a ⎛⎫=-++-+⎪⎝⎭()()2221111111433334416x a y y y y a a ⎛⎫⎡⎤=-++-++++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22111114323(3)(3)416y y y y a a ⨯+-++⨯+≥6716a =．当且仅当114x =且2211113(3)(3)y y y y +-++，即11114x y ==，同时成立时，S 取得最小值6716a ，以上同解法一．20．解：由条件知1(20)F -，，2(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，． 解法一：（I ）设()M x y ，，则则1(2)F M x y =+ ，，111(2)F A x y =+，， 1221(2)(20)F B x y F O =+= ，，，，由1111F M F A F B F O =++ 得1226x x x y y y +=++⎧⎨=+⎩，即12124x x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，于是A B 的中点坐标为422x y -⎛⎫⎪⎝⎭，． 当A B 不与x 轴垂直时，121224822yy y y x x x x -==----，即1212()8y y y x x x -=--．又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(4)()x x x y y y --=-．将1212()8y y y x x x -=--代入上式，化简得22(6)4x y --=．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点(0)C m ，，使C A C B 为常数．当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-，2122421k x x k +=-，于是21212()()(2)(2)CA CB x m x m k x x =--+--22221212(1)(2)()4k x x k m x x k m =+-++++22222222(1)(42)4(2)411k k k k m k m k k +++=-++--222222(12)2442(12)11m k m m m m k k -+-=+=-++--．因为C A C B 是与k 无关的常数，所以440m -=，即1m =，此时C A C B=1-．当A B 与x 轴垂直时，点A B ，的坐标可分别设为(22)，，(22)-，，此时(12)(12)1C A C B =-=-，，．x 轴上存在定点(10)C ，，使C A C B为常数． 解法二：（I ）同解法一的（I ）有12124x x x y y y+=-⎧⎨+=⎩，当A B 不与x 轴垂直时，设直线A B 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±． 代入222x y -=有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241kx x k +=-．21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．由①②③得22441kx k -=-．…………………………………………………④241k y k =-．……………………………………………………………………⑤当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，4x k y-=，将其代入⑤有2222444(4)(4)(4)1x y x yy x x yy-⨯-==----．整理得22(6)4x y --=．当0k =时，点M 的坐标为(40)，，满足上述方程．当A B 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(80)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是22(6)4x y --=．（II ）假设在x 轴上存在定点点(0)C m ，，使C A C B为常数，当A B 不与x 轴垂直时，由（I ）有212241k x x k+=-，2122421k x x k +=-．以上同解法一的（II ）．21．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …… ①213(1)n n S S n ++=+． ……②由②－①得163n n a a n ++=+． …… ③ 于是2169n n a a n +++=+． …… ④ 由④－③得26n n a a +-=， …… ⑤ 所以2262n n nna a a n a nb eee b e++-+===，即数列2(2)n n b n b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭≥是常数数列．（II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-．由③有3215a a +=，4321a a +=，所以332a a =+，4182a a =-．而 ⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列， 所以226(1)k a a k =+-，2136(1)k a a k +=+-，2246(1)()k a a k k +=+-∈N *， 数列{}n a 是单调递增数列12a a ⇔<且22122k k k a a a ++<<对任意的k ∈N *成立．12a a ⇔<且2346(1)6(1)6(1)a k a k a k +-<+-<+- 1234a a a a ⇔<<<9151223218244a a a a a ⇔<-<+<-⇔<<．即所求a 的取值集合是91544M aa ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭． （III ）解法一：弦1n n A A +的斜率为1111n na a n n n n nn nb b eek a a a a ++++--==--任取0x ，设函数0()x xe ef x x x -=-，则0020()()()()xxxe x x e ef x x x ---=-记00()()()x x x g x e x x e e =---，则00()()()x x x xg x e x x e e e x x '=-+-=-，当0x x >时，()0g x '>，()g x 在0()x +∞，上为增函数， 当0x x <时，()0g x '<，()g x 在0()x -∞，上为减函数，所以0x x ≠时，0()()0g x g x >=，从而`()0f x '>，所以()f x 在0()x -∞，和0()x +∞，上都是增函数．由（II ）知，a M ∈时，数列{}n a 单调递增，0n x a =，因为12n n n a a a ++<<，所以11n na a n n neek a a ++-=-22n na a n neea a ++-<-．取02n x a +=，因为12n n n a a a ++<<，所以12112n n a a n n n eek a a +++++-=-22nn a a n n eea a ++->-．所以1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N *的斜率随n 单调递增． 解法二：设函数11()n a xn e ef x x a ++-=-，同解法一得，()f x 在1()n a +-∞，和1()n a ++∞，上都是增函数， 所以111111lim nn n n n a a a xa n n an n n eee ek ea a x a +++-+++--=<=--→，211111211lim n n n n n a a a xa n n a n n n eee ek ea a x a ++++++++++--=>=--→．故1n n k k +<，即弦1()n n A A n +∈N *的斜率随n 单调递增．。