研究生试卷详细答案

福建农林大学研究生考试试卷 （ A ）卷

2012 —2013 学年第 二 学期

课程名称： 系统模拟与仿真 考试形式 开卷

研究方向 年级 学号 姓名

一、系统设计与应用（第1 、2题各20分，共40分）

1．对房屋加热系统进行仿真，加热器和温度控制器用以下常微分方程描述：

)]()()[(0T T t C t K T -+='

其中，T 为温度控制器测量的室内温度，T 0为外部温度。所有温度均用摄氏度表示，K （t ）表示温度变化的时间常数，C （t ）为稳态内外温差，它们在加热器接通和关闭时都会发生变化。当加热器关闭时，K （t ）=8×10-5/s ，C （t ）=0℃；当加热器接通时，K （t ）=5×10-4/s ，C （t ）=40℃。温度控制器是一个开关，当检测的温度低于20℃时，接通加热器；当检测的温度高于22℃时，切断加热器。初始条件为T 0=0℃，T=18℃，加热器关闭。试选择合适算法仿真系统运行30分钟，使仿真温度的误差峰值在（0.01，0.02）范围内变化，并计算系统在此30分钟运行过程中要接通多少次加热器（附简要计算过程）。

解：根据已知条件，有2个微分方程，要求仿真温度的精度（20±0.01，22±0.02）。

（1）接通加热器方程：)40(10504

T T T -+⨯='-

（2）关闭加热器方程：)(10805

T T T -⨯='-

根据初始条件，T 0=0℃，T （0）=18℃，加热器关闭。这时温控器检测到温度T （0）<20℃, 接通加热器，方程为：)40(1054T T -⨯='-，即 )40(105),(4

T T t f -⨯=-

取步长h =20s ，根据欧拉公式有：)40(105204

1n n n n n T T hf T T -⨯⨯+=+=-+，整理得：

n n T T )01.01(4.01-+=+

（1）

应用式（1）计算接通加热器状态下各时刻的T 值，按h =20s 的间隔，将各T 值登记在表1-1中。

当温控器检测到温度T （t ）>22℃, 关闭加热器，仍取步长h =20s ，方程为：

T T 5108-⨯-=' ，即 T T t f 5108),(-⨯-=

根据欧拉公式有：n n n n n T T hf T T 5

110820-+⨯⨯-=+= 整理得：

n n T T )0016.01(1-=+

（2）

应用式（2）计算关闭加热器状态下各时刻的T 值，按h =20s 的间隔，将各T 值登记在表1-1中。

同样，按照温控器的动作，计算30分钟（1800s ）内各时刻的T 值。

表1-1 房屋加热系统温控仿真计算过程

根据表1-1的数据可得，从18º→20º约180s,20º→22º约200s ，22º→20º约1200s ，作图分析推测得，共需加热2次。

图1-1 房屋加热系统温控仿真过程

从表1-1可以看出，个别点仿真精度不符合要求，如在第1620s ，温度为

19.989º

<19.999º。出现此问题的主要原因是使用的步长h （=20s ）偏长，此外欧拉方法本身误差也比较大。

2．已知某控制系统框图如图2所示，计算该系统用差分方程表示的仿真模型。

初值：0)0(=u ，1)0(=y ，2)0(=y

图2 控制系统框图

解：用并联法将该连续系统分解如下图所示。

显然，可以求得上图中系数2

1

,2121-==n n ，则可得描述连续系统的状态方程为 y u e -=

e x x x x ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣

⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121212000 （3-P ）

21x x y +=

状态矩阵

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2000A ，输入矩阵 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=2121B ，则 t

22 20

18

在环节入口e 处加一虚拟采样开关及保持器，得到离散相似系统如图2-1所示。

图2-1 离散相似系统

设图中的H （s ）为零阶保持器，则有

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣

⎡⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+=-=-----210

01

200])[(11

1

1

1

s s L s s L A sI L e

At

⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-t e 2001

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==Φ-T AT

e e

T 2001

)(

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-=⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==Φ--⎰⎰

)1(001)(24121

21210

2T T

T

t At

m e T dt e Bdt e T 将计算结果代入式n m n n u T X T X )()(1Φ+Φ=+，得

)()1()()(001)1()1(2412

1

21221n e e T n X n X e n X n X T T ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--

与式（3-P ）对比，展开后得差分方程为， )()()(n y n u n e -=

)(2

1

)()1(11n Te n x n x +=+

)()1(41

)()1(2222n e e n x e n x T T -+=+--

)1()1()1(21+++=+n x n x n y

求初值，从式（3-P ）的输出方程得 1)0()0()0(21=+=x x y

2)0(2)0(2

1

)0(2)0(21)0(22=-=--=x e x e y

从而解得

2)0(1=x ，1)0(2-=x ，1)0(=y ，0)0(=u