研究生入学考试模拟试题.doc

2006年研究生入学考试模拟试题

数学二试卷答案

(1) 1

)

1(212211)1(212

2222++≤++++++≤++n n n n n n

n n n n n n Λ用夹逼定理可知原式21= (2) 作变量替换x t u -=2

则

⎰⎰---=

x

x x

u x t

x du e dt te 22

2

22

1

)

(

2222

22

1)12(210)()(x x

x x t x e x e dt te dx d +-=⎰-- (3) 微分方程x x x

y =++

'tany 1y sec 2

2

令 Z ＝tany ，化为x Z x

x

dx =++2

1dz ， 通解为 Z ＝

()

221x 131x

c ++＋，

即 tany ＝

()

221x 131x

c

++＋

(4) 交换累次积分的次序

原式＝

dy e dx x

x x

y ⎰

⎰2

121

＝

(

)

d x

e e x x ⎰-12

1

＝e e 218

3-

(5) ⎪⎪⎩⎪⎪

⎨⎧≥-<≤<≤-+-<=-+21

200

121)]([2122x x x e x x x e x g f x x

(6)

解: γ1+k γ2也是AX =0的解⇔ γ1+k γ2可以用α1,α2 线性表示⇔r(α1,α2,γ1+k γ2)=r(α1,α2). 1 1 1 1 1 1

(α1,α2,γ1+k γ2)= 2 1 k → 0 -1 k-2 ,

0 a 1 0 0 1+ak-2a 1 0 2k 0 0 k+1

得a=1/3,k=-1.

(7) 用洛必达法则原式左边x

b x a x x cos lim 2

2

0-+=→ ]C [1,42

1~

cos 102

即可选可见时==-→b a x x x Θ (8)

0)(lim )(2cos 1)

(0=+=-→x x x

x f x αα其中

2)(lim 0)0()(lim )0(21

~cos 10)cos 1)(()cos 1(2)(002

=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡

+=--='∴-→-+-=→→x x x x f x f f x x x x x x f x x αα时Θ 又当0)(cos 10)(||0><-<<

1

311x 031

2-=

=<≤⎰

x t d t x F x

时，当 ()1x t 1d x 211

－＝＝时，当⎰≤≤x

F x ，选[ D ]

(10) 选（C ）

(11) 选（D ） (12) 选（B ） (13) 解: (D).

αβT 的秩为1,其特征值为0 0 ,tr(αβT )= βT α =3, A 作为其多项式(1-2x 形式的), 特征值为1,1,-5. (14) 解: (D).

(A) A 列满秩,因此AX =0只有零解.

(B) A 不列满秩,因此A T

X =0有非零解.

(C) 因为系数矩阵A T 行满秩,所以对于任何3维向量β,A T

X =β一定有解.

(D) 因为系数矩阵A 的行向量是3个4维向量,存在4维向量β不能用它们线性表示,使得A X =β无解.

（15）证：由周期性可知,0)()2,1(,0)2()1()0(00>=∈===M x f x f f f 而不妨假设在

]2,[],1[00x x 和上分别用微分中值定理

存在)1(1)

1()()(),1(00101--=

'∈x f x f f x ξξ使

存在)2(2)()2()()2,(0

0202x x f f f x --=

'∈ξξ使

如果存在M x x f f x 21

)

(|)(|,)1()2

3,1(0010≥-=

'∈ξ得式则用

如果存在M x x f f ，x 22)(|)(|,)2()223

(

020≥-='∈ξ得式则用 式都可以式或则用如果)2()1(,2

3

0=x

故必有成立使M f ，

2|)(|)21(≥'∈ξξ

（16）证：根据拉格朗日中值定理存在()x ,0∈ξ使()()0f x f -=()()0-'x f ξ

于是 ()dx x f a ⎰0

＝()dx f x a

⎰

'0

ξ≤()2

2

0a M dx x M dx f x a

a ⋅=≤'⎰⎰ξ

（17）解：设从明年初（令此时0=t ）开始，第t 年湖泊中污染物A 的总量为m ,浓度为

V

m

，则在时间间隔],[dt t t +内，排入湖泊中A 的量为

dt m

dt V V m 6

600=⋅，流出湖泊的水中A 的量为

dt m

dt V V m 3

3=⋅因此在这段时间间隔内湖泊中污染物A 的改变量0

00300295|236m c m m ce m m dt m m dm t t

-==-=⎪⎭⎫

⎝⎛-==-得代入初始条件得通解于是，t m m e m m t

年即至多需经过得令3ln 63ln 6)91(2

030

==+=-