中考数学二轮 一元二次方程 专项培优 易错 难题及答案

一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：关于的方程有两个不相等实数根．

（1）用含的式子表示方程的两实数根；

（2）设方程的两实数根分别是，（其中），且，求的值．

【答案】（I）kx2+（2k－3)x+k－3 = 0是关于x的一元二次方程．

∴

由求根公式，得

．∴或

（II），∴．

而，∴，．

由题意，有

∴即（﹡）

解之，得

经检验是方程（﹡）的根，但，∴

【解析】

（1）计算△=（2k-3）2-4k（k-3）=9＞0，再利用求根公式即可求出方程的两根即可；（2）有（1）可知方程的两根，再有条件x1＞x2，可知道x1和x2的数值，代入计算即可．

一位数学老师参加本市自来水价格听证会后，编写了一道应用题，题目如下：节约用水、保护水资源，是科学发展观的重要体现.依据这种理念，本市制定了一套节约用水的管理措

施，其中规定每月用水量超过（吨）时，超过部分每吨加收环境保护费元.下图反映

了每月收取的水费（元）与每月用水量（吨）之间的函数关系.

请你解答下列问题：

2．将m看作已知量，分别写出当0m时，与之间的函数关系式；

3．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.

月份用水量（吨）水费（元）四月3559.5

五月80151

【答案】

4．解下列方程：

(1)2x2－4x－1＝0(配方法)；

(2)(x＋1)2＝6x＋6.

【答案】(1)x1＝16

x2＝1

6

1＝－1，x2＝5.

【解析】

试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；

（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可.

试题解析：(1)由题可得，x2－2x＝1

2

，∴x2－2x＋1＝

3

2

.

∴(x－1)2＝3

2

.

∴x－1＝3

2±

6 2

.

∴x1＝16x2＝16

(2)由题可得，(x＋1)2－6(x＋1)＝0，∴(x＋1)(x＋1－6)＝0.∴x＋1＝0或x＋1－6＝0.

∴x1＝－1，x2＝5.

5．已知关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +

214

k ＝0 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)当k 取最小整数时，求此时方程的解．

【答案】(1)k ＞﹣

12

；(2)x 1＝0，x 2＝﹣1． 【解析】

【分析】 (1)由题意得△＝(k +1)2﹣4×

14

k 2＞0，解不等式即可求得答案； (2)根据k 取最小整数，得到k ＝0，列方程即可得到结论．

【详解】 (1)∵关于x 的一元二次方程x 2+(k +1)x +

214k ＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝(k +1)2﹣4×

14k 2＞0， ∴k ＞﹣12

； (2)∵k 取最小整数，

∴k ＝0，

∴原方程可化为x 2+x ＝0，

∴x 1＝0，x 2＝﹣1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2﹣4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

6．淘宝网举办“双十一”购物活动许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售的A 商品的成本为30元/件，网上标价为80元/件．

（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A 商品吸引顾客，问该店平均每次降价率为多少时，才能使A 商品的售价为39.2元/件？

（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A 商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A 商品．在“双十一”购物活动当天，乙网店先将A 商品的网上标价提高a %，再推出五折促销活动，吸引了大量顾客，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A 商品数量相比原来一周增加了2a %，“双十一”活动当天乙网店的利润达到了3万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价．

【答案】（1）平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元；（2）乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【解析】

【分析】

（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，根据原标价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出a 的值，再将其代入80（1+a %）中即可求出结论．

【详解】

（1）设平均每次降价率为x ，才能使这件A 商品的售价为39.2元，

根据题意得：80（1﹣x ）2＝39.2，

解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝1.7（不合题意，舍去）．

答：平均每次降价率为30%，才能使这件A 商品的售价为39.2元．

（2）根据题意得：[0.5×80（1+a %）﹣30]×1000（1+2a %）＝30000，

整理得：a 2+75a ﹣2500＝0，

解得：a 1＝25，a 2＝﹣100（不合题意，舍去），

∴80（1+a %）＝80×（1+25%）＝100．

答：乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为100元．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7．已知关于x 的一元二次方程x 2+（2k +1）x +k 2=0①有两个不相等的实数根．

（1）求k 的取值范围；

（2）设方程①的两个实数根分别为x 1，x 2，当k =1时，求x 12+x 22的值．

【答案】（1）k >–

14；（2）7 【解析】

【分析】

（1）由方程根的判别式可得到关于k 的不等式，则可求得k 的取值范围；

（2）由根与系数的关系，可求x 1+x 2=-3，x 1x 2=1，代入求值即可．

【详解】

（1）∵方程有两个不相等的实数根，

∴>0∆，即()22214410k k k +-=+>，解得1

4

k >-； （2）当2k =时，方程为2x 5x 40++=，

∵125x x +=-，121=x x ，

∴()2

22121212225817x x x x x x +=+-=-=. 【点睛】

本题主要考查根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键．