第十五章分式知识点总结—8.9

分式知识点总结

2014.8.9 姓名：__________

知识点一：分式的定义

一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，

那么式子

B

A

叫做分式，A 为分子，B 为分母。 知识点二：与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）

③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩

⎨⎧≠=00

B A ）

④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨

⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0

B A ）

⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩

⎨⎧><00

B A ）

⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）

经典例题

1、代数式1

4x

-

是（ ） A .单项式 B .多项式 C .分式 D .整式 2、在

2x ，1

()3x y +，3ππ-，5a x -，24x y -中，分式的

个数为（ ） A .1 B .2 C .3 D .4

3、当a 是任何有理数时，下列式子中一定有意义的是（ ）

A .

1a a + B .21a a + C .211a a ++ D .21

1

a a +- 4、当1x =时，分式①11x x +-，②122x x --，③211x x --，④3

1

1

x +中，有意义的是（ ）

A .①③④

B .③④

C .②④

D .④ 5、当1a =-时，分式

21

1

a a +-（ ） A .等于0 B .等于1 C .等于－1 D .无意义

6、使分式

84

83

x x +-的值为0，则x 等于（ ） A .38 B .12- C .83 D .1

2

7、若分式221

2

x x x -+-的值为0，则x 的值是（ ）

A .1或－1

B .1

C .－1

D .－2

8、当x 时，分式1

1x x +-的值为正数. 9、当x 时，分式1

1

x x +-的值为负数.

10、当x = 时，分式1

32

x x +-的值为1.

11、分式1

111x

++有意义的条件是（ ）

A .0x ≠

B .1x ≠-且0x ≠

C .2x ≠-且0x ≠

D .1x ≠-且2x ≠-

12、如果分式

3

3

x x --的值为1，则x 的值为（ ） A .0x ≥ B .3x > C .0x ≥且3x ≠ D .3x ≠

知识点三：分式的基本性质

分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：

C B C ∙∙=A B A ，C

B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即

B

B A B B --=--=--=A

A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个

限制条件和隐含条件B ≠0。

经典例题

1、把分式

a

a b

+的分子、分母都扩大2倍，那么分式的值（ ）

A .不变

B .扩大2倍

C .缩小2倍

D .扩大4倍 2、在括号内填上适当的数或式子： ①

5()

412a xy axy =；②2111()

a a +=-；③()2m n

n =-；④2

26(2)

()3(2)

n n m m +=+. 3、不改变分式的值，把分式0.010.20.5x y

x y

-+的分子与

分母中的系数化为整数.

知识点四：分式的约分

定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

知识点五：最简分式的定义

一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

经典例题

1、约分： ①

222________20ab a b =； ②2

2

9

________69

x x x -=-+； ③32218________12a bc ab c =-； ④2

()________4()p q q p -=-.

2、下列各式与分式

a

a b

--的值相等的是（ ） A .a a b --- B .a a b + C .a b a - D .a b a

--

3、化简2

293m m

m --的结果是（ ）

A 、

3+m m B 、3+-m m

C 、3-m m

D 、m m -3 知识点六：分式的通分

① 分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分

式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 ② 分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数；

Ⅱ 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；

Ⅲ 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

经典例题

1、分式

223c a b ，44a b c -，2

52b

ac

的最简公分母是（ ） A .12abc B .12abc -

C .242

24a b c D .242

12a b c 2、通分： ①

222

,,693x y z ab a bc abc

-； ②

22

16

,211

a a a a -++-.

知识点七：分式的四则运算与分式的乘方

① 分式的乘除法法则：

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的

积作为积的分母。式子表示为：

d

b c a d c b a ∙∙=∙ 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为

c

c ∙∙=∙=÷b

d a d b a d c b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子

n n n

b a b a =⎪⎭⎫

⎝⎛

经典例题

1、下列运算正确的是（ ）

A .62x x x =

B .

0x y

x y

+=+ C .

1x y

x y

-+=-- D .

a x a

b x b +=+ 2、计算： 3921(

)______243a a b

b b a

÷÷⨯=； 3、计算：①23

2()______3a b c

-= ； ②2

32

()(

)()______b a c a

c b

--÷⨯=.