考研数学二微分中值定理.ppt

针对2014年考察方式的预测
• 1 预测基本依据：分析历年真题里面的常考题型 与核心题型。
• 2 特别重视“拉格朗日中值定理”的应用与各种 变形形式（据历年真题的不完全统计，考试核心 一般是围绕着“拉格朗日定理”展开考察，同时 兼顾着其他两大定理，其中：“罗尔定理”多为 铺垫。）
• 3大部分的考点里面兼顾着“原函数”解析式的寻 找，这就对积分的知识有了更高的要求。
x 1 x
法二 用Lagrange定理
设 g( x) ln x, [ x, x 1] Lagrange定理
ln(1 x) ln x 1 ( x 1 x),
x x1
由 1 1 得 ln(1 x) ln x 1
1 x,
1 x
即 ln(1 1 ) 1 , ( x 0).
x 1 x
尔定理，可用原函数法做辅助函数。 • （2）若结论中涉及到两个不同的函数，可考虑用
柯西中值定理。（注：有时需要用到拉格朗日定 理） • （3) 若已知条件中含有高阶导数时，多考虑有泰 勒公式，有时也考虑双导数中值定理。 • (4) 若结论中含有两个以上的中值，则需要多次 应用中值定理。
几种常见证明题的解题思路
2014年考研数学二冲刺重要考 解析与预测——微分中值定理
微分中值定理作如下分析
• 与中值相关的证明题是历年考研试题中的 重难点，得分率不高，考生对具体定理的 条件结论看得明白，但是做题的时候，不 知道如何使用。其主要原因是不能把具体 的知识点和考题结合起来，不会归纳其中 的常考题型，这里我重点介绍与中值相关 的证明题的处理手法。（注意：微分中值 定理的三大定理中，罗尔定理、拉格朗日 定理考查频繁，而柯西中值定理考查较少）
（3）证 (a,b)使f ( ) f ( ) 0 F ( x) ex f ( x) （4）证 (a,b)使 f ( ) f ( )即f ( )g( ) g( ) f ( ) 0
g( ) g( )
F( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) (F( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x) f ( x)g( x))
由 f ( x)
1 1 x
1 x
(1
1 x)2
1 x(1 x)2
0,
当x 0时, f ( x)
lim
x
f
(x)
xlimln1
1 x
1 1
x
0
可知, 当x 0时, f ( x) 0, 证明 ln(1 1 ) 1 ,( x 0).
x 1 x
即 ln(1 1 ) 1 , ( x 0).
例
且
试证存在
证 欲证
f ( )
ab
f () ,即要证 2
f ( )(b a)
b2 a2
f (). 2
因 f(x)在[a ,b]上满足拉氏中值定理条件, 故有
f (b) f (a) f ( )(b a), (a , b) ①
又因 f (x)及 x2 在[a,b]上满足柯西定理条件 , 故有
常见证明题的辅导函数技巧：
（1）证 (a,b)使f ( ) f ( ) F ( x) f ( x)x （2）证 (a,b)使f ( ) f ( ) 0 F ( x) e x f ( x)
若F ( x) e x f ( x) e x f ( x) 0 f ( x) f ( x) 0
fmax
f (1) ln 1 1 aa
分三种情况讨论
同时也是最大值
① f (1) ln 1 1 0 a 1
aa
e
由于 lim f ( x) lim f ( x)
x
x0
方程有两个实根，分别位于 (0, 1),(1 ,)
aa
② f (1) ln 1 1 0 a 1
aa 方程仅有一个实根，即
微分中值定理的主要应用
（1）研究函数或导数的性态 （2）证明方程根的存在性 （3）证明恒等式或不等式 （4）证明有关中值问题的结论 • （5）判断函数与导函数之间的关系 （eg1996/2002）
有关微分中值定理的解题方法
• 利用逆向思维，设辅助函数，一般解题思路： • （1）证明含一个中值的等式或根的存在,多用罗
• 4考试题型不外乎以上三大类，兼顾其他知识点将 会是将来考察的重要方式。
②
将①代入②,化简得 f ( ) a b f (), , (a,b) 2
例 问方程 ln x ax (a 0) 有几个实根
解 记 f ( x) ln x ax ( x 0)
f ( x) 1 a 令f ( x) 0 得 x 1
x
a
当x 1时 a
当x 1时 a
f ( x) 0 f ( x) 0
x 1e
a
③ f (1) ln 1 1 0 方程无实根
aa
①
②
③
例 证明不等式 ln(1 1 ) 1 , ( x 0). x 1 x
证 法一 用单调性 设 f ( x) ln(1 1 ) 1
x 1 x
1
1 x
x
(0, )
即 f ( xBaidu Nhomakorabea ln(1 x) ln x 1 1 x