陕西省高中数学导数应用4.2.2最大值最小值问题课件北师大版

[点评]
将方程的根转化为函数图象交点问题，进一步转
化为求函数的极大(极小)值问题．
构造函数证明不等式恒成立问题 利用导数证明不等式的方法 (1)证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，
如果 F′(x)<0 ，则 F(x) 在 (a ， b) 上是减函数，同时若 F(a)≤0 ，
2．解决优化问题的基本思路
1．本部分知识可以归纳为 (1)三个步骤：求函数单调区间的三个步骤：①确定定义域； ②求导函数 f′(x) ；③由 f′(x)>0( 或 f′(x)<0) 求出相应的单调区 间．
(2) 两个条件：①f′(x)>0 在 (a ， b) 上成立是 f(x) 在 (a ， b) 上单调
由减函数的定义可知， x∈(a ， b) 时，有 F(x)<0 ，即证明了 f(x)<g(x)． (2)证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)， 如果 F′(x)>0 ，则 F(x) 在 (a ， b) 上是增函数，同时若 F(a)≥0 ，
由增函数的定义可知，x ∈ (a， b) 时，有F(x)>0，即证明了
f′(1)＝0即可求出k的值；②由函数解析式，求导进而求出函数
的单调区间．③构造函数证明不等式．
ln x＋k 解 (1)由 f(x)＝ ，得 ex （ln x＋k）′ex－（ln x＋k）（ex）′ 1－kx－xln x f′(x)＝ ＝ ， 2x x e xe x∈(0，＋∞)，由曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x 轴平 行可知 f′(1)＝0，解得 k＝1.
直观且有条理，减少失分的可能.
利用导数研究函数的单调性 1．由f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数f(x)的单调增(减)区间．若遇 不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．
2．由函数的单调性求参数的取值范围的方法
(1)可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0( 或f′(x)≤0)(f′(x)在该区间的任意子区间内都不恒等于 0)恒成立， 然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取 值范围；
【例 2】 (2014· 山东滕州模拟)若函数 f(x)＝ax3－bx＋4，当 x＝2 4 时，函数 f(x)有极值－3. (1)求函数的解析式； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝k 有三个零点，求实数 k 的取值范围．
[解题指导]
解 (1)由题意可知 f′(x)＝3ax2－b. 1 f′（2）＝12a－b＝0， a＝ ， 于是 4 解得 3 f（2）＝8a－2b＋4＝－ ， 3 b＝4， 13 故所求的函数解析式为 f(x)＝ x －4x＋4. 3 (2)由(1)可知 f′(x)＝x －4＝(x－2)(x＋2)． 令 f′(x)＝0，得 x＝2，或 x＝－2， 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表所示：
2
x f′(x) f ( x)
(－∞， －2) ＋
－2 0 28 3
(－2，2) －
2 0 4 － 3
(2，＋∞) ＋
28 因此，当 x＝－2 时，f(x)有极大值 ， 3 4 当 x＝2 时，f(x)有极小值－ ， 3 所以函数的大致图象如图所示，
4 28 故实数 k 的取值范围是－3， 3 .
f(x)>g(x)．
【例 3】 设函数 f(x) ＝ x ＋ ax2 ＋ bln x ，曲线 y ＝ f(x) 过 P(1，0)，且在P点处的切线斜率为2. (1)求a，b的值； (2)证)＝1＋2ax＋ . x
f（1）＝0， 1＋a＝0， 由已知条件得 即 f′（1）＝2， 1＋2a＋b＝2.
(2)求可导函数极值的步骤 ①求f′(x)； f′(x)＝0 的根； ②求方程__________ f′(x)＝0 的根的左右两侧导数值的符 ③检查 f′(x) 的方程 _________
号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________ 极大值 ；如 极小值 ． 果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统 称为极值．
导数与函数的最值及在实际生活中的应用 1．函数的最值 (1) 在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 在 [a ， b] 上必有最大值与 ________ 最小值 ． (2) 若函数 f(x) 在 [a ， b] 上单调递增，则 f(a) 为函数的最小值，
[答题模板] 运用导数证明不等式f(x)>g(x)成立的一般步骤： 第一步：构造h(x)＝f(x)－g(x)；
第二步：求h′(x)；
第三步：判断h(x)的单调性；
第四步：确定h(x)的最小值；
第五步：证明h(x)min>0成立； 第六步：得出所证结论．
[ 温馨提醒 ]
利用导数知识证明不等式是导数应用的一个
再判断f′(x)＝0的根是否是极值点，可通过列表的形式进 行分析，若遇极值点含参数不能比较大小时，则需分类 讨论．
2．求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法
(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个
为最大值，一个为最小值；
(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的 极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小 值，可列表完成．
1 －ln x－1 x (2)由(1)知，f′(x)＝ ，x∈(0，＋∞)． ex 1 1 1 设 h(x)＝ －ln x－1，则 h′(x)＝－ 2－ <0， x x x 即 h(x)在(0，＋∞)上是减函数， 由 h(1)＝0 知，当 0<x<1 时，h(x)>0，从而 f′(x)>0， 当 x>1 时，h(x)<0，从而 f′(x)<0.综上可知，f(x)的单调递增区 间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
重要方面，也是高考的一个新热点，其关键是构造适当的
函数，判断区间端点对应的函数值与0的关系，实际就是利 用求导的方法去研究函数的单调性，并通过单调性证明不 等式．
(2) 可 导 函 数 在 某 一 区 间 上 存 在 单 调 区 间 ， 实 际 上 就 是 f′(x)>0( 或 f′(x)<0) 在该区间上存在解集，这样就把函数的单 调性问题转化成了不等式问题； (3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I 中含有参数时，可 先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时， f′(x)>0 ，右侧 _______ f′(x)<0 ，那么 f(x0) ①如果在 x0 附近的左侧 _______ 是极大值； f′(x)<0 ，右侧 _______ f′(x)>0 ，那么 f(x0) ②如果在 x0 附近的左侧 _______ 是极小值．
f(b)为函数的________ 最大值 ；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)
为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． (3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]
上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值； f(a)，f(b) 比较，其中最大的一个是最大 ②将 f(x) 的各极值与 __________ 值，最小的一个是最小值．
4.2,2导数的应用
导数与函数的单调性、极值 1．函数的单调性与导数
> ，那么函数y＝f(x)在这个 在某个区间(a，b)内，如果f′(x)___0
区间内单调递增；如果 f′(x)___0 < ，那么函数 y ＝ f(x)在这个区 间内单调递减．
2．函数极值的概念
(1)判断f(x0)是极值的方法
解得 a＝－1，b＝3.
(2)证明
f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由(1)知 f(x)＝x－x2＋3ln x. 设 g(x)＝f(x)－(2x－2)＝2－x－x2＋3ln x， （x－1）（2x＋3） 3 则 g′(x)＝－1－2x＋x ＝－ . x 当 0<x<1 时，g′(x)>0；当 x>1 时，g′(x)<0. 所以 g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而 g(1)＝0，故当 x>0 时， g(x)≤0，即 f(x)≤2x－2.
递增的充分不必要条件． ②对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的 必要不充分条件．
2．注意单调函数的充要条件，尤其对于已知单调性求参数 值(范围)时，隐含恒成立思想．
3．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，
要讨论参数的大小．
求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题
[点评] 用导数法求可导函数单调区间的一般步骤：
求f′（x）＝0在 定义域内的根
求定义域
→
求导数f′（x）
→
→
用求得的根 确定f′（x）在各个 得相应开区 → → 划分定义区间 开区间内的符号 间上的单调性
导数与极值（最值） 1．求函数f(x)极值的方法
求函数的极值应先确定函数的定义域，再解方程f′(x)＝0，
出参数的取值范围．
ln x＋k 【例 1】 (2014· 镇海中学模拟)已知函数 f(x)＝ ex (k 为常数， e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线 y＝f(x)在点(1，f(1))处 的切线与 x 轴平行． (1)求 k 的值； (2)求 f(x)的单调区间；
[解题指导](1)已知：曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与 x轴平 行． (2)分析：①由曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行可知