数学人教b版必修3导学案：§3.3 几何概型 含解析
人教A版数学必修三导学案：3.3几何概型(2)
4．两根相距 的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于 的概率．
5．向如图所示的正方形椭机地投掷飞镖（假设所有飞镖都一定能投掷在正方形范围内），求飞镖落在阴影部分的概率．
3．如图，在一个边长为 的正方形内部画一个边长为 的正方形，向大正方形内随机投点，求所投的点落入小正方形内的概率．
【课后巩固】
1．已知直线 ， ，则直线在 轴上的截距大于 的概率是_______．
2．已知实数 ，可以在 ， 的条件下随机取数，那么取出的
数对 满足 的概率是__________．
3．如图，在直角坐标系内，射线 落在 的终边上，任作一条射线 ，
（1）求使得 小于 的概率；
（2）求使得 和 都不小于 的概率．
【班级：姓名：学号：第学习小组
【课堂检测】
1．已知等腰 中， ．
（1）在直角边 上任取一点 ，求 的概率；
（2）在 内作射线 ，求 的概率．
2．在正方体 中，棱长为 ．在正方体内随机取点 ，
求使四棱锥 的体积小于 的概率．
课题：3.3几何概型（二）
班级：姓名：学号：第学习小组
【学习目标】
1、了解几何概型的基本特点；
2、会进行简单的几何概率计算．
【课前预习】
1．什么叫几何概型？其特点如何？
2．几何概型的常见类型有几种？
【课堂研讨】
例1在等腰直角三角形 中，在斜边 上任取一点 ，求 小于 的概率．
例2如图，在圆心角为 的扇形中，以圆心 为起点作射线 ．
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型
射中黄心的概率等于黄心 的面积与箭靶的面积的比，即 两者直径之比的平方。
图3.3-2
例3 有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一 个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有 这个细菌的概率.
分析：细菌在这升水中的分布 可以看作是随机的，取得0.1 升水可作为事件的区域。
“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为1/6
考：还有其它方法吗？
探究规律：
几何概型公式（1）：
公式（1）： P(A)=
构成事件 A 的区域长度 全结果所构成的区域长度
练习1（口答）
一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒， 黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。 当你到达路口时，看见下列三种情况的 概率各是多少？
例2:如图，在边长为2的正方形中随机撒一粒 豆子，则豆子落在圆内的概率是________。
分析：随机撒一粒豆子，豆子落在 正方形内任何一点是等可能的，且 豆子所在的位置有无限多个，符合 几何概型。 求解：利用几何概型求出豆子撒在 圆内的概率为：
圆的面积 ＝ 正方形的面积 4
探究规律：
几何概型公式（2）：
公式（2）： P(A)=
构成事件 A 的区域面积 全结果所构成的区域面积
练习3
• 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外向内为 白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色,金色靶心叫 “黄心”。奥运会的比赛靶面直径为122cm,靶心直 径为12.2cm.运动员在70m外射箭,假设每箭都能中靶, 那么射中黄心的概率是多少?
• 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.1几何概型同步课件 新人教B版必修3
36π 则(1)投中大圆内的概率 P(A1)＝ 投中大圆内的概率 ＝ ≈0.442； ； 256 (2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率 投中小圆与中圆形成的圆环的概率 投中小圆与中圆形成的圆环的概 12π P(A2)＝ ＝ ≈0.147； ； 256 (3)投中大圆之外的概率 投中大圆之外的概率 256－36π － 36π P(A3)＝ ＝ ＝1－ － ＝1－P(A1)≈0.558. － ≈ 256 256
_______，而与 的____________无关，满足以上 ，而与A的 无关， 无关 条件的试验称为几何概型． 条件的试验称为几何概型．
2．在几何概型中，事件A的概率定义为
µA P(A)＝ ＝ __________________， 其中 Ω 表示区域 ， 其中µ 表示区域Ω µΩ
的几何度量， 表示子区域A的几何度量 的几何度量． 的几何度量，µA表示子区域 的几何度量． 思考感悟 概率为0的事件一定是不可能事件吗 的事件一定是不可能事件吗？ 概率为 的事件一定是不可能事件吗？概率 的事件也一定是必然事件吗？ 为1的事件也一定是必然事件吗？ 的事件也一定是必然事件吗 提示： 如果随机事件所在区域是一个单点， 提示： 如果随机事件所在区域是一个单点， 因单点的长度、 面积、 体积均为0， 因单点的长度 、 面积 、 体积均为 ， 则它出 现的概率为0(即 ＝ ，但它不是不可能事件； 现的概率为 即P＝0)，但它不是不可能事件；
高中数学必修三3.3几何概型优秀课件
12r12r12r
5
5
5
2r
111 555
3 5
几何概型
定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度〔面积或体积〕成比例，那么称这 样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概 型．
事件 A的概率的计算公式： P(A)试验构 的成 全事 部 A的 件 结区果 的 域所 区 长构 域 度成 长 （度 面 积（ 积 ）面 积 或积 ） 体或
P“ ( 甲获 )S1胜 Sr22 ” S3
1r2 1r2 1r2
8
48
r2
111 848
1 2
以转盘〔2〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )S1胜 Sr22 ” S3
1r2 1r2 1r2
5
55
r2
111 555
3 5
问题2：能否由扇形区域面积过渡到相应的圆弧长度呢？
S 1 lr 2
其中 l, r是常数
扇形区域面积转化为圆弧长度
分析3：将指针指向扇形区域对应圆弧上的某个点，作为根本领 件
无限个 等可能
与扇形区域B对应圆弧长度有关
以转盘〔1〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )l胜 12l2r” l3
12r12r12r
8
4
8
2r
111 848
1 2
以转盘〔2〕为游戏工具时
P“ ( 甲获 )l胜 12l2r” l3
P(A)d 2 1 D 500250
课堂小结
知识：1、几何概型
2、概率计算公式
思想：1、化归与转化思想
2、符号化思想 3、整体思想 4、模型思想
课后作业
1.必做题：P142习题3.3A组1. 2.思考题：举例说明几何概型中概率为0的 事件，概率为1的事件. 3.预习：均匀随机数的产生.
数学必修三 几何概型 新课标人教B版 .ppt
定义：（1）试验中所有可能出现的基本事件
只有有限个; （2）每个基本事件出现的可能性相等. 我们将具有以上两个特点的概率模型称 为古典概率模型,简称古典概型.
概率计算公式: P(A)=
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数
问题1.
取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪 断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多 大？
2a, A 2a 2r
A 2a 2r a r P( A) 2a a
ar 所以，硬币不与任一条平行线相碰的概率为 。 a
思路三
解：记“硬币不与任一条平行线相碰”为事件A。 为了确定硬币的位置，过硬币中心O作两平行线间的垂线 段，其长度2a即是几何概型定义中Ω的几何度量。 当硬币不与平行线相碰时，硬币中心O可 移动长度2a-2r即是子区域A的几何度量。 这是一个几何概型问题。
基本事件:
从3m的绳子上的任意一点剪断.
问题2.
有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小 杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这 个细菌的概率.
提出问题
思考：上述问题的概率是古典概型问题吗？
为什么？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的。
那么对于有无限多个试验结果 （不可数）的情况相应的概率应 如何求呢?
（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个; （2）每个基本事件出现的可能性相等.
1、几何概型是怎样定义的？ 事件A理解为区域Ω 的某一子区域A，A的概率只与子 区域A的几何度量（长度、面积、体积）成正比，而与A的 位置和形状无关。满足以上条件的试验称为几何概型。
3.几何概型的概率计算公式
人教B版高中数学必修三几何概型学案(1)
几何概型 姓名 ☆学习目标：1. 了解几何概型的概念及基本特点； 2. 掌握几何概型中概率的计算公式；3. 会进行简单的几何概率计算．☻知识情境： 1. 基本事件的概念: 一个事件如果 事件，就称作基本事件.基本事件的两个特点:10.任何两个基本事件是 的；20.任何一个事件(除不可能事件)都可以 .2. 古典概型的定义：古典概型有两个特征：10.试验中所有可能出现的基本事件 ；20.各基本事件的出现是 ，即它们发生的概率相同．具有这两个特征的概率称为古典概率模型. 简称古典概型.3. 古典概型的概率公式, 设一试验有n 个等可能的基本事件，而事件A 恰包含其中的m 个基本事件，则事件A 的概率P(A)定义为：()P A == 。
☻问题情境： 试验１．取一根长度为3m 的绳子，拉直后在任意位置剪断． 试验２．射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶心是金色． 奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm ．运动员在70m 外射箭． 假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的．问题：对于试验１：剪得两段的长都不小于1m 的概率有多大？试验２：射中黄心的概率为多少？3.分析：试验１中,从每一位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3m 的绳上的任意一点．试验2中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,点可以是靶面直径为122cm 的圆内的任一点．在这两个问题中，虽然类似于古典概型的＂等可能性＂,但是基本事件有无限多个， 显然不能用古典概型的方法求解．那么, 怎么求解?①考虑第一个问题，记事件A =＂剪得两段的长都不小于1m ＂．把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．由于中间一段的长度等于绳长的 ，于是事件A 发生的概率()P A =．②第二个问题，记事件B =＂射中黄心＂为，由于中靶心随机地落在面积为2211224cm π⨯⨯的大圆内， 而当中靶点落在面积为22112.24cm π⨯⨯的黄心内时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率()P B ==．☆新知生成：1.几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．2.几何概型的基本特点：（１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；（２）每个基本事件出现的可能性相等．3.几何概型的概率公式：在区域D 中随机地取一点, 记事件A =＂该点落在其内部一个区域d 内＂，则事件A 发生的概率()d P A D =的测度的测度= A 构成事件的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)． 说明：（１）D 的测度不为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段,平面图形,立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３） 区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．☆例题学习：例1判下列试验中事件A 发生的概度是古典概型，还是几何概型。
2020版数学人教A版必修3学案：第三章 3.3 几何概型 Word版含解析.pdf
§3.3 几何概型学习目标 1.通过具体问题感受几何概型的概念，体会几何概型的意义.2.会求一些简单的几何概型的概率.3.会用随机模拟的方法近似计算某事件的概率．知识点一 几何概型的概念及特点1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．2．几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．知识点二 几何概型的概率公式事件发生的概率与构成该事件的区域测度(如长度、面积、体积)成比例，故可用区域的测度代替基本事件数．P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)知识点三 均匀随机数1．均匀随机数的定义如果试验的结果是区间[a ，b ]内的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，则称这些实数为均匀随机数．2．均匀随机数的特征(1)随机数是在一定范围内产生的．(2)在这个范围内的每一个数被取到的可能性相等．3．均匀随机数的产生(1)计算器产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数是RAND.(2)Excel软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为“rand ( )”．(3)产生方法：①由几何概型产生；②由转盘产生；③由计算器或计算机产生．1．在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( √ )2．与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( × )3．随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( √ )4．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关．( × )题型一 几何概型的识别例1 下列关于几何概型的说法错误的是( )A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都要具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性答案 A解析 几何概型和古典概型是两种不同的概率模型，几何概型中的基本事件有无限多个，古典概型中的基本事件有有限个．反思感悟 几何概型特点的理解(1)无限性：在每次随机试验中，不同的试验结果有无穷多个，即基本事件有无限多个；(2)等可能性：在每次随机试验中，每个试验结果出现的可能性相等，即基本事件的发生是等可能的．跟踪训练1 判断下列概率模型是古典概型还是几何概型．(1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求出现两个“4点”的概率；(2)如图所示，图中有一个转盘，甲、乙玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率．解 (1)先后抛掷两枚质地均匀的骰子，所有可能结果有6×6＝36(种)，且它们的发生都是等可能的，因此属于古典概型．(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，且它们的发生都是等可能的，而且不难发现“指针落在阴影部分”的概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．题型二 几何概型的计算命题角度1 与长度有关的几何概型例2 取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1 m 的概率为多少？解 如图，记“剪得两段的长都不小于1 m ”为事件A .把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段时，事件A 发生，因为中间一段的长度为1 m ，所以事件A 发生的概率为P (A )＝.13反思感悟 在求解与长度有关的几何概型时，首先找到试验的全部结果构成的区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找区域d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．跟踪训练2 (1)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )A. B. C. D.13122334(2)在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为 ．答案 (1)B (2)23解析 (1)如图，7：50至8：30之间的时间长度为40分钟，而小明等车时间不超过10分钟是指小明在7：50至8：00之间或8：20至8：30之间到达发车站，此两种情况下的时间长度之和为20分钟，由几何概型概率公式知，所求概率为P ＝＝.故选B.204012(2)∵区间[－1,2]的长度为3，由|x |≤1，得x ∈[－1,1]，而区间[－1,1]的长度为2，x 取每个值为随机的，∴在[－1,2]上取一个数x ，则|x |≤1的概率P ＝.23命题角度2 与面积有关的几何概型例3 (1)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－ B.－1 C ．2－ D.π4π2π2π4(2)在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，求满足x 2＋y 2≤4的概率．(1)答案 A解析 由题意知，将两个四分之一圆合在一起，其面积为×π×12＝，矩形面积为2，则所12π2求概率为＝1－.2－π22π4(2)解 在区间[－2,2]上任取两个实数x ，y 组成有序数对(x ，y )，区域Ω是边长为4的正方形区域，其中满足x 2＋y 2≤4的是图中阴影区域(如图所示)，S 阴＝π×22＝4π，所以P ＝＝.4π16π4反思感悟 解与面积有关的几何概型问题的关键点(1)根据题意确认是不是与面积有关的几何概型问题．(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式求得概率．跟踪训练3 一只海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m ，宽20 m 的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率．解 如图所示，区域Ω是长30 m 、宽20 m 的长方形．图中阴影部分表示事件A ：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m ”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率．由于区域Ω的面积为30×20＝600(m 2)，阴影部分的面积为30×20－26×16＝184(m 2)．所以P (A )＝＝≈0.31.1846002375即海豚嘴尖离岸边不超过2 m 的概率约为0.31.命题角度3 与体积有关的几何概型例4 已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为a ，高为h ，在正三棱锥内取点M ，试求点M 到底面的距离小于的概率．h2解 如图，分别在SA ，SB ，SC 上取点A 1，B 1，C 1，使A 1，B 1，C 1分别为SA ，SB ，SC 的中点，则当点M 位于平面ABC 和平面A 1B 1C 1之间时，点M 到底面的距离小于.h2设△ABC 的面积为S ，由△ABC ∽△A 1B 1C 1，且相似比为2，得△A 1B 1C 1的面积为.S4由题意，知区域D (三棱锥S －ABC )的体积为Sh ，13区域d (三棱台ABC －A 1B 1C 1)的体积为Sh －··＝Sh ·.1313S 4h 21378所以点M 到底面的距离小于的概率为P ＝.h 278反思感悟 如果试验的全部结果所构成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的区域体积及事件A 所占的区域体积．其概率的计算公式为P (A )＝.构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积跟踪训练4 在一个球内有一棱长为1的内接正方体，一动点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为( )A. B. C. D.6π32π3π233π答案 D解析 由题意可知这是一个几何概型，棱长为1的正方体的体积V 1＝1，球的直径是正方体的体对角线长，故球的半径R ＝，球的体积V 2＝π×3＝π，3243(32)32则此点落在正方体内部的概率P ＝＝.V 1V 2233π随机模拟方法的应用典例 (1)(2016·全国Ⅱ)从区间[0,1]上随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.B.4nm2n m C. D.4m n2m n(2)如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为．23答案 (1)C (2)83解析 (1)由题意得，(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )在如图所示的正方形中，而平方和小于1的点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知，＝，所以π＝.π41m n 4mn (2)由几何概型的概率公式可得＝，S 阴影S 正方形23又S 正方形＝4，所以S 阴影＝4×＝.2383[素养评析] (1)解决此类问题时应注意两点：一是选取适当的对应图形，二是由几何概型的概率公式正确地计算概率．(2)明确这类问题的运算对象，采用随机模拟的运算方法，设计运算程序，求得运算结果，这些就是数学核心素养中的数学运算.1．在半径为2的球O 内任取一点P ，则|OP |＞1的概率为( )A. B. C. D.78563412答案 A解析 问题相当于在以O 为球心，1为半径的球外，且在以O 为球心，2为半径的球内任取一点，所以P ＝＝.43π×23－43π×1343π×23782．如图，在平面直角坐标系中，射线OT 为60°角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内的概率是( )A. B. C. D.162313160答案 A解析 ∵在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在∠xOT 内对应的角度为60°，而整个角集合对应的角度为360°，∴该角终边落在∠xOT 内的概率P ＝＝，故选A.60°360°163．当你到一个红绿灯路口时，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，那么你看到黄灯的概率是( )A.B. C. D.1123811656答案 C解析 由题意可知，在80秒内路口的红、黄、绿灯是随机出现的，可以认为是无限次等可能出现的，符合几何概型的条件．事件“看到黄灯”的时间长度为5秒，而整个灯的变换时间长度为80秒，由几何概型的概率计算公式，得看到黄灯的概率P ＝＝.5801164．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是．答案 π8解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S 正方形＝4.由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝S 圆＝，所以12π2由几何概型知，所求概率P ＝＝＝.S 黑S 正方形π24π85．在区间[0,3]内任意取一个数，则此数大于2的概率为 ．答案 13解析 由于区间[0,3]的长度为3，区间(2,3]的长度为1，故所求概率P ＝.131．几何概型适用于试验结果是无穷多且事件是等可能发生的概率模型．2．几何概型主要用于解决与长度、面积、体积有关的问题．3．注意理解几何概型与古典概型的区别．4．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为P (A )＝.构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)一、选择题1．在长为10厘米的线段AB 上任取一点G ，用AG 为半径作圆，则圆的面积介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是( )A.B. C. D.925162531015答案 D解析 以AG 为半径作圆，面积介于36π平方厘米到64π平方厘米，则AG 的长度应介于6厘米到8厘米之间(如图)．所以所求概率P ＝＝.210152．有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案 A解析 ∵P (A )＝，P (B )＝，P (C )＝，P (D )＝，38282613∴P (A )>P (C )＝P (D )>P (B )．3．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )A. B. C. D.14131223答案 C解析 △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE 内部的概率为.124．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.B. C. D.1101911118答案 A解析 设“乘客到达站台立即乘上车”为事件A ，试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝.1105．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积小于32 cm 2的概率为( )A. B. C. D.16132345答案 C解析 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0＜x ＜12)，∴矩形面积为x (12－x )cm 2，由x (12－x )＜32，解得x ＞8或x ＜4，∴0＜x ＜4或8＜x ＜12.∴所求概率为＝，4＋41223故选C.6．如图，在一个边长分别为a ，b (a ＞b ＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边长分别为，，且高为b .现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是( )a 3a2A.B. C. D.7105751258答案 C解析 S 梯形＝b ＝ab ，S 矩形＝ab .12(a 3＋a 2)512所以P ＝＝.S 梯形S 矩形5127．在[0,5]之间随机取一个数作为x 的值，则使1<log 2(x －1)≤2成立的概率是( )A. B. C. D.15253545答案 B解析 由1<log 2(x －1)≤2，得2<x －1≤4，即3<x ≤5，则对应的概率P ＝＝.5－35－025故选B.8．如图，在等腰三角形ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <AC 的概率为( )33A.B.3334C.D.3214答案 D解析 由题意，在等腰△ABC 中，∠ACB ＝120°，DA ＝DC ，则AC ＝AD ，即AD ＝AC ，AB ＝333AC ＝3AD ，所以要使过顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM <3AC ，只要AM <AD 即可，由DA ＝DC ，得∠ACD ＝∠CAD ＝＝30°，所以AM <AC33180°－120°233的概率为＝.故选D.30°120°149．函数f (x )＝x 2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0使f (x 0)＞0的概率为( )A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8答案 C解析 如图，在[－5,5]上函数的图象和x 轴分别交于两点(－1,0)，(2,0)，只有x 0∈[－5，－1)∪(2,5]时，f (x 0)＞0，由题意，知本题是几何概型问题．记事件A 为“任取一点x 0，使f (x 0)＞0”，事件A 的区域长度是区间[－5，－1)与(2,5]的长度和，全体基本事件的长度是[－5,5]的区间长度．由几何概型的概率计算公式，得P (A )＝＝0.7.故选C.4＋310二、填空题10．在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为 ．答案 π16解析 点P 到点A 的距离小于等于a 可以看作是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1可视作试验的所有结果构成的区域，则用“体积比”公式计算概率，得P ＝＝π.18×43πa 3a 31611．有一个圆面，圆面内有一个内接正三角形，若随机向圆面上投一镖都中圆面，则镖落在三角形内的概率为．答案 334π解析 设圆面半径为R ，如图所示△ABC 的面积S △ABC ＝3·S △AOC ＝3·AC ·OD ＝3·CD ·OD12＝3·R sin 60°·R cos 60°＝，33R 24∴P ＝＝＝.S △ABCπR 233R 24πR 2334π12．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为，则m ＝.56答案 3解析 当m ≤0时，不合题意．当m ≤2时，＝无解．当2＜m ≤4时，2m 656由＝得m ＝3，综上m ＝3.m ＋2656三、解答题13．(2018·惠州模拟)我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图所示是赵爽的弦图．弦图是一个勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，试估计3落在黄色图形内的图钉个数．解 设勾为a ，则股为a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为a －a ，所以题图中大正方形33的面积为4a 2，小正方形的面积为(－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为＝13(3－1)24－，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为×1 000≈134.32(1－32)14．(1)在半径为1的圆的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过的3概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，其长度超过的概率是多少？3(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长度超过的概率是多少？3解 (1)设事件A ＝{弦长超过}，弦长只与它跟圆心的距离有关，3当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件．12由几何概型概率公式知P (A )＝.12(2)设事件B ＝{弦长超过}，由于弦中点已确定，故弦被确定，当且仅当弦中点在以半径为3的同心圆内时才能满足条件．12由几何概型概率公式知P (B )＝＝.π×(12)2π×1214(3)设事件C ＝{弦长超过}，如图，固定一点A 于圆周上，以此点为顶点作圆的内接正三角3形ABC ，显然只有当弦的另一端点D 落在上(不包括B ，C 两点)时，才有|AD |＞|AB |＝， BC3由几何概型概率公式知P (C )＝.1315．分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m >n 的概率为( )A ．0.3 B ．0.6C ．0.7 D ．0.8答案 C解析 画出图形(如图所示)，m ，n 所满足的区域为矩形ABCD ，而m >n 所满足的区域为梯形ABCE ，所以m >n 的概率P ＝＝＝0.7.故选C.S 梯形ABCES 矩形ABCD 15－921516．某校早8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为．(用数字作答)答案 932解析 设小张和小王到校的时间分别为y 和x ，则Error!则满足条件的区域如图中阴影部分所示．故所求概率P ＝＝.12×15×1520×20932。
必修三第3章第3节几何概型
年 级 高二 学 科 数学版 本苏教版课程标题 必修三第3章第3节 几何概型编稿老师 褚哲 一校 黄楠二校张琦锋审核孙永涛一、学习目标1. 正确理解几何概型的概念。
2. 掌握几何概型的概率计算公式。
二、重点、难点几何概型的概念、概率计算公式及应用三、考点分析本讲内容在高考中所占比重较小，近几年的高考对概率相关知识的要求降低，主要是以现实生活为背景，以几何图形为载体，重点考查几何概型的概率的求法，多以选择题、填空题形式出现。
其中与长度、面积（体积）有关的几何概型更为重要。
1. 几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
几何概型的特点：（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
2. 几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A知识点一：几何概型与古典概型的区别例1 判断下列试验中事件A 发生的概率属于古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B 区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
思路分析：本题考查几何概型与古典概型的特点。
古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。
解题过程：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中转盘指针指向B 区域时有无限多个结果，且不难发现“指针落在阴影部分”，所求概率可以用B 区域的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型。
解题后反思：要注意几何概型与古典概型的区别：古典概型具有有限性和等可能性，而几何概型则是在试验中会出现无限多个结果，且与构成事件的区域长度（面积或体积）有关。
人教B版高中数学必修三3.3.1 几何概型 .doc
高中数学学习材料唐玲出品3.3.1 几何概型 【目标要求】1．理解几何概型的条件2．会应用几何概型的定义解答相应问题 【巩固教材——稳扎马步】1．下列问题中不属于几何概型的是 （ ） A ．在400ml 水中有一个大肠杆菌，那么随机抽取2ml 水放到显微镜下观察，发现大肠杆菌的概率是2001. B ．某人午睡醒来发现手表停了，他打开收音机想听电台报时，则他等待时间小于10分钟的概率是61. C ．抛掷两妹同样的硬币，同时出现正面的概率为41. D ．在线段AD 上任取两点B ，C ，在B ，C 处折断得三个线段，则这三个线段能构成三角形的概率是41. 2．已知在一个在5万平方公里的海域内有表面积为40平方公里的大陆架贮藏着石油，假设在这个海域随意选定一点钻探，则钻到石油的概率是 .3．如图3.3.1-1, 圆盘被均匀的分成16个部分，现在转动圆盘，则圆盘停下来时指针落在阴影部分的概率是 .【重难突破——重拳出击】4．设计一个用计算器模拟试验：袋子中装有形状相同的红球和白球各一个，求从袋子中任意摸取一个球为红球.（图3.3.1-1）5．向间距为3l 的平行线之间投掷长度为5l 的长针，求针与平行线都相交的概率.6．在△ABC 中任取一点P ，证明：△ABP 与△ABC 的面积之比大于n n 1的概率为21n.7．如图3.3.1-2，向正方形投掷飞镖，求飞镖落在阴影部分 的概率.【巩固提高——登峰揽月】8．甲、乙两人相约7点到8点在某地会面，先到者等另一人20分钟，过时就可离去，试求 这两人能会面的概率.9．某汽车站每隔10分钟有一班汽车通过，求乘客候车时间不超过4分钟的概率，并尝试有计算机模拟该试验.【课外拓展——超越自我】10．在线段AB 上任取三点C ，D ，E ，求AC ，AD ，AE 能构成三角形的概率.2 y-2 2 0 x -2 图3.3.1-23.3.1答案 1．C 2．12501 3．214．[略解]首先用计算器产生0～1之间的随机数，如果数字 在0～0.5之间则认为摸到的是红球；若数字在0.5～1之 间，则认为摸到的是白球。
人教版高中数学必修三第三章第3节 3.3.1 几何概型 课件(共17张PPT)
【变式2】：圆O是边长为2的正方
形的内切圆 , 向这个正方形中随机
地投一点M,设M落在正方形中任一
点的可能性是相同的,试求点M落圆
O中的概率.
O
4
•M
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式3】一只小虫在一个棱长为20cm盛满 水的正方体容器中游动, 假设小虫出现在容 器中的任意一个位置均为等可能的, 记“它 所在的位置距离正方体中心不超过10cm”为 事件A, 那么事件A发生的概率是多少？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
知识探究（一）：几何概型的概念
思考 3：上述每个扇形区域对应的圆弧的长度（或 扇形的面积）和它所在位置都是可以变化的，从 结论来看，甲获胜的概率与字母 B 所在扇形区域 的哪个因素有关？
B
N
N
B
B
N
BB
N
N
B
与扇形的弧长（或面积）有关.
知识探究（一）：几何概型的概念 思考 4：如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样 的概率模型为几何概型. 参照古典概型的特性， 几何概型有哪两个基本特征？
所有基本事件构成 的区域是什么？
事件A构成的区域 是什么？
在线段AB上任取一
3m
点
A
B
3m
取到线段AB上某一点 A
B
3m
线段AB（除两端外） A
B
线段CD
1m
AC DB
知识探究（二）：几何概型的概率
【变式1】：在等腰直角三角形 ABC中，在斜边AB上任取一点M，
求AM的长大于AC的长的概率.
知识探究（二）：几何概型的概率
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教学目标：
1.通过师生共同探究,体会数学知识的形成,正确理解几何概型的概念；掌握
几何概型的概率公式：
P（A）=)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A,学会应用数学知识来
解决问题,体会数学知识与现实世界的联系,培养逻辑推理能力.
2.本节课学习时养成勤学严谨的学习习惯,会根据古典概型与几何概型的区
别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型,会进行简单的几何概率计算,
培养学生从有限向无限探究的意识.
教学重点：
理解几何概型的定义、特点,会用公式计算几何概率.
教学难点：
等可能性的判断与几何概型和古典概型的区别.
一、导入新课：
1、复习古典概型的两个基本特点：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个
基本事件发生都是等可能的.那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应
如何求呢?
2、在概率论发展的早期,人们就已经注意到只考虑那种仅有有限个等可能结果的
随机试验是不够的,还必须考虑有无限多个试验结果的情况.例如一个人到单位的
时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子,石
子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个.这就
是我们要学习的几何概型.
二、新课讲授：
提出问题
(1)随意抛掷一枚均匀硬币两次,求两次出现相同面的概率？
(2)试验1.取一根长度为3 m的绳子,拉直后在任意位置剪断.问剪得两段的长都
不小于1 m的概率有多大？
试验2.射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环.从外向内为白色,黑色,蓝色,红色,靶
心是金色.金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为122 cm,靶心直径为
12.2 cm.运动员在70 m外射箭.假设射箭都能射中靶面内任何一点都是等可能的.
问射中黄心的概率为多少？
(3)问题(1)(2)中的基本事件有什么特点?两事件的本质区别是什么?
(4)什么是几何概型?它有什么特点?
(5)如何计算几何概型的概率?有什么样的公式?
(6)古典概型和几何概型有什么区别和联系?
撰稿教师：赵志岩
结果：(1)硬币落地后会出现四种结果：分别记作（正,正）、（正,反）、（反,正）、
（反,反）.每
种结果出现的概率相等,P（正,正）=P（正,反）=P（反,正）=P（反,反）=1/4.
两次出现相同面的概率为214141.
(2)经分析,第一个试验,从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长
度为3 m的绳子上的任意一点.
第二个试验中,射中靶面上每一点都是一个基本事件,这一点可以是靶面直径为
122 cm的大圆内的任意一点.
在这两个问题中,基本事件有无限多个,虽然类似于古典概型的“等可能性”,但
是显然不能用古典概型的方法求解.
考虑第一个问题,如右图,记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等
分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳
长的31,
于是事件A发生的概率P(A)=31.
第二个问题,如右图,记“射中黄心”为事件B,由于中靶心随机地落在面积为
41×π×1222 cm2的大圆内,而当中靶点落在面积为4
1
×π×12.22 cm2的黄心
内时,事件B发生,于是事件B发生的概率P(B)=22122412.1241=0.01.
(3)硬币落地后会出现四种结果（正,正）、（正,反）、（反,正）、（反,反）是等可能
的,绳子从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是长度为3 m的绳子
上的任意一点,也是等可能的,射中靶面内任何一点都是等可能的,但是硬币落地
后只出现四种结果,是有限的;而剪断绳子的点和射中靶面的点是无限的;即一个
基本事件是有限的,而另一个基本事件是无限的.
(4)几何概型.
对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地
取一点,该区域中的每一个点被取到的机会都一样,而一个随机事件的发生则理解
为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图