函数的单调性p

函数的单调性

学习目标：

（1）从形与数两方面理解函数单调性的概念； （2）掌握用函数图像判断函数单调性的方法； （3）了解用定义判断函数单调性的方法． 重 点 （1）函数单调性的概念；（2）判断函数的单调性． 难 点 （1）函数单调性的知识形成；（2）用函数定义判断函数的单调性． 问题1

下图为股市中，某股票在半天内的行情，请描述此股票的涨幅情况.

回答下面的问题：

（1）_______时，股票价格最高，最高为_____元/股；_______时，股票价格最低，最低为_____元/股； （2）随着时间的推移，在时间段 _________、_________、__________、__________ 股市不断地_______；在时间段_________、_________、_________，股市不断地_________． 归纳

类似地，函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质就是函数的单调性． *动脑思考 探索新知 概念

函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质叫做函数的单调性． 类型

设函数)(x f 的定义域为I ，D 为定义域I 内的某个区间，即I D ⊆．

（1）如果对于区间D 内的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f 在区间D 内是增函数，区间D 叫作)(x f 的增区间，如图（1）所示（上升趋势）．

（2）如果对于区间D 内的任意两个自变量1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f 在区间D 内是减函数，区间D 叫作)(x f 的增区间，如图（2）所示（下降趋势）

图（1） 图（2）

如果函数)(x f 在某个区间上是增函数或减函数，那么，就称函数)(x f 在这个区间上是单调函数（或说具有单调性），并且这个区间就叫做函数)(x f 的单调区间． 几何特征

函数单调性的几何特征：在自变量取值区间上，顺着x 轴的正方向，若函数的图像上升，则函数为增函数；若图像下降则函数为减函数． 判定方法

判定函数的单调性有两种方法：借助于函数的图像或根据单调性的定义来判定． 问题3

（1）定义在R 上的函数)(x f ，有)2()1(f f <，能否判断函数)(x f 在R 上为增函数？（举例说明） （2）单调区间是否包括端点？

（3）函数)(x f 在R 上为增函数，则)2(____)1(f f -；(2)___(0)f f ； 函数)(x f 在R 上为减函数，则)3(____)0(f f ；(3)___(5)f f ． 注意

（1）函数的单调性是对某个区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，所以不存在单调性问题；

（2）单调区间包括不包括端点都可以；

（3）某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点．（举例说明） *巩固知识 典型例题

例1 说出股市(函数)()y f t =随着时间（自变量）t 的图像，说出函数单调性。

解：函数()y f t =在(9:00,

9:21)，(9:33,10:15)，

(10:28,11:06)和(11:12,11:30)上为增函数；函数

()y f t =在(9:21,9:33)、(10:15,10:28)和

(11:06,11:12)上为减函数。

练习

1． 如图，已知函数)(x f y =的图像（包括端点），试根据图像说出函数的单调区间，以及函数在每个单调

区间上的单调性．

解 函数)(x f y =的增区间为⎪⎭⎫

⎝

⎛2,

0π和⎪⎭⎫

⎝⎛ππ2,23，减区间为⎪⎭

⎫ ⎝⎛2

3,

2ππ

； 函数)(x f y =在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π和⎪⎭

⎫

⎝⎛ππ2,23上是增函数；

函数在区间⎪⎭

⎫

⎝⎛23,2ππ上是减函数． 2．下图是我国2008年8月至2009年2月的工业品出厂价格指数图．工业品出厂价格指数是由生产资料出厂价格指数和生活资料出厂价格指数合成的．请根据三种指数的函数图像，说出各个函数在这段时间范围内的单调性．

（第1题

解 工业品出厂价格指数函数、生产资料出厂价格指数函数和生活资料出厂价格指数函数在2008年8月至2009年2月均为减函数．

想一想：

*理论升华 整体建构 常用函数的单调性

（1）由一次函数b kx y +=)0(≠k 的图像（如下图）可知：

0>k 0

① 当0>k 时，图像从左至右上升，函数是增函数； ② 当0

k

y =

)0(≠x 的图像（如下图）可知：

0>k 0k 时，函数是减函数； ② 当0

x

y

x

y

y

x

y

x

（2008）年 124 116 108 100 92 工 业 品 出 厂 价 格 指 数

8月

2月

1月

12月 11月 10月 9月

（2009）年 （以上年

同期

价格

书上为100）

工业品出厂价格

生产资料

生活资料

（第2题图）

y

x

11

3

y x =-+113y x =+21y x =-21

y x =--y x

1y x

=

2y x

=1y x

=-

2y x

=-

y

y x

x

221

y x x =---1-2

-1-211

00

x y x

y

221

y x x =--