2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测试数学试题(解析版)
2024届浙江省嘉兴市高三下学期二模数学试题+答案
2024年高三教学测试数学试题卷（2024.4）本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.考生注意：1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置.2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{0},{24}M x x N x x =<=-<<∣∣，则()R M N ⋂=ð（ ）A.{2}xx >-∣ B.{20}xx -<<∣ C.{4}xx <∣ D.{04}xx <∣…2.已知函数()()cos (0)f x x ωϕω=+>是奇函数，则ϕ的值可以是（）A.0B.π4 C.π2D.π3.设z ∈C ，则“0z z +=”是“z 是纯虚数”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若正数,x y 满足2220x xy -+=，则x y +的最小值是（）C. D.25.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（）6.已知圆()()222:(5)(2)(0),6,0,0,8C x y r r A B -++=>-，若圆C 上存在点P 使得PA PB ⊥，则r 的取值范围为（ ）A.(]0,5B.[]5,15C.[]10,15D.[)15,∞+7.6位学生在游乐场游玩,,A B C 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若A 项目必须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）A.180种B.210种C.240种D.360种8.已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足()()()1xf x x f x ='-，且()10f >，则（ ）A.()()1122f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭ B.()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭C.()()1212f f f ⎛⎫<<⎪⎝⎭ D.()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据1,3,5,7,9，其中位数为a ，平均数为x ，极差为b ，方差为2s .现从中删去某一个数，得到一组新数据，其中位数为a 'x '，极差为b '，方差为'2s ，则下列说法中正确的是（ ）A.若删去3，则a a <'B.若删去9，则x x <'C.无论删去哪个数，均有b b '…D.若x x ='，则2'2s s <10.已知角α的顶点与原点重合，它的始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点()(),0,A a b ab a b ≠≠，定义：()a bTi a bα+=-.对于函数()()f x Ti x =，则（ ）A.函数()f x 的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B.函数()f x 在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C.将函数()f x 的图象向左平移π4个单位长度后得到一个偶函数的图象D.方程()12f x =在区间[]0,π上有两个不同的实数解11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线2Ω:2(0)y px p =>的准线为,l O 为坐标原点，在x 轴上方有两束平行于x 轴的入射光线1l 和2l ，分别经Ω上的点()11,A x y 和点()22,B x y 反射后，再经Ω上相应的点C 和点D 反射，最后沿直线3l 和4l 射出，且1l 与2l 之间的距离等于3l 与4l 之间的距离.则下列说法中正确的是（）A.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则,,A O P 三点共线B.若直线3l 与准线l 相交于点P ，则PF 平分APC ∠C.212y y p=D.若直线1l 的方程为2y p =，则7cos 25AFB ∠=三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量(),,,,1,a b c a b c =-=-是非零向量，且c 与,a b 的夹角相等，则c的坐标可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）13.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若1521,8b b b =-=，()()121nnn Sn n T -=+，则n a =__________.14.在四面体ABCD 中，2,90BC ABC BCD ∠∠=== ，且AB 与CD 所成的角为60 .若四面体ABCD 的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知2cos 3cos23A A -=.（1）求cos A 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，23b c =，求sin C 的值.16.（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面,ABCD PA ∥QD ，222,60BC AB PA ABC ∠==== .（1）证明：平面PCD ⊥平面PAC ；（2）若PQ =，求平面PCQ 与平面DCQ 夹角的余弦值.17.（15分）春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的人其检测结果有95%呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有99%呈阴性（未感染）.（1）估计该市流感感染率是多少？（2）根据所给数据，判断是否有99.9%的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k>0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82818.（17分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4，浙近线方程为2y x =±.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的左､右两支分别交于点,A B ，点M 是线段AB 的中点，过点F 且与l 垂直的直线l '交直线OM 于点P ，点Q 满足PQ PA PB =+，求四边形PAQB 面积的最小值.19.（17分）已知集合12120,i m a m i i A a a a a =⎧⎫=<<<∈⎨⎬⎩⎭∑N ∣…，定义：当m t =时，把集合A 中所有的数从小到大排列成数列{}()n b t ，数列{}()n b t 的前n 项和为()n S t .例如：2t =时，010*********(2)223,(2)225,(2)226,(2)229,b b b b =+==+==+==+= ，41234(2)(2)(2)(2)(2)23S b b b b =+++=.（1）写出56(2),(2)b b ，并求10(2)S ；（2）判断88是否为数列{}(3)n b 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；（3）若2024是数列{}()n b t 中的某一项()00n b t ，求00,t n 及()00n S t 的值.2024年高三教学测试数学参考答案（2024.4）一､单选题（40分）1-8DCBA DBCD第8题：由()()()1xf x x f x ='-变形得()()()f x xf x x f x '-=，从而有()()()()2f x xf x x f x f x '-=，()()'x x f x f x ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以()e x x k f x =⋅，所以()e x x f x k =⋅，则()()22e 1e e e e x x x x x k x k kx f x k k --⋅=='，又()10f >，所以()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+单调递减，所以()112f f ⎛⎫<⎪⎝⎭，()()21f f <，又()322212e 422e 2e f f k k -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又33e 2.719.716>≈>，所以32e 4>，所以()()1212f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故选D.二､多选题（18分）9.ACD 10.AB11.ACD第11题：对于选项A ，因为直线AC 经过焦点，设直线:2pAC x ty =+，与抛物线22y px =联立得222131320,2,y pty p y y pt y y p --=+==-，由题意得231312,,,,22OP y y p P y A y k p p ⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3213222AO y p pk p y p y ===--，所以OP AO k k =，即A O P ､､三点共线，A 正确；对于选项B ，因为,APF CPF CFP CPF ∠∠∠∠==，所以APF CFP ∠∠=，所以AP ∥CF ，与AP 和CF 相交于A 点矛盾，B 错误；对于选项1C,l 与2l 距离等于3l 与4l 距离，则2221212341212y y p p y y y y p y y y y --=-=-+=⋅，所以212,C y y p =正确；对于选项D ，()332,2,,,,0,,2,,822282p p p p p p A p p B F FA p FB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22337252,2821616p p p p p FA FB p FA FB ⎛⎫⋅=⋅-+⋅=⋅==⎪⎝⎭ ，7cos 25FA FB AFB FA FB∠⋅==⋅ ，D 正确.故选ACD三､填空题（15分）12.(),,0c x x x =≠均可13.2n 14.3第14题：依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ABE FCD -，因为AB 与CD 所成的角为60 ，所以60DCF ∠= 或120 ，设,CD x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O.1112sin60332ABCD CDF V BC S xy xy ⎛⎫=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，得24xy =，在Rt 2OCO 中，222222221112sin 3DF R OC OO CO DF DCF ∠⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，所以当60DCF ∠= 时，外接球的半径会更小.在CDF 中，由余弦定理得222DF x y xy =+-，所以()2221111933R x y xy xy =++-≥+=，所以min 3R =.四､解答题（77分）15.（13分）解析：（1）()22cos 32cos 13A A --=，即23cos cos 0A A -=，解得1cos 3A =或cos 0A =；（2）解法一：由正弦定理得()23,2sin 3sin ,2sin 3sin b cBC A C C ==+=，2sin cos 2sin cos 3sin A C C A C +=，因为1cos 3A =，所以sin A =；2sin 3sin 3C C C +=，解得tan C =，所以sin C =.解法二：由余弦定理得2221cos 23b c a A bc +-==，因为23b c =，所以22222291424,3393c c a c a c a c +-===，又1cos 3A =，所以sin A =，所以2sin sin 3C A ==.16.（15分）解析：（1）解法一：2,60BC AB ABC ∠== ，,AB AC CD AC ∴⊥∴⊥，PA ⊥ 底面,ABCD PA CD ∴⊥，CD ∴⊥平面,PAC CD ⊂ 平面PCD，∴平面PCD ⊥平面PAC .解法二：2,60,BC AB ABC AB AC ∠==∴⊥ .如图建立空间直角坐标系，()()0,0,1,0,0,0P A，()(),C D -，则()0,0,1PA =-，()()1,1,0,0PC CD =-=-设()1,,n x y z =是平面PAC的法向量，则1100000z n PA y z z n PC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⇒==⎨-=⋅=⎪⎩，取()11,0,0n = ，设()2,,n a b c =是平面PCD的法向量，则220000a n CD c n PC ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨-=⋅=⎪⎩(2= ，所以120n n ⋅=，所以平面PCD ⊥平面PAC .（2）解法一：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，过,C P 作,CE PE 分别平行于,AP AC ，连结QE ，作PF QC ⊥交QC 于F 点，连结EF ，,,AC CD AC QD AC ⊥⊥∴⊥ 平面CDQE，PE ∥,AC PE ∴⊥平面CDQE ，,PF QC EF QC ⊥∴⊥ ，PFE ∠∴为平面PCQ 与平面DCQ的夹角，PE =，在PCQ中解得PF =，sin cos PE PFE PFE PF ∠∠∴==∴==.（2）解法二：在直角梯形ADQP 中，解得3QD =，如图建立空间直角坐标系，()()0,0,1,P C，()(),Q D --，平面DCQ的法向量为()1n AC ==，()()1,0,3,0,CQ CP =-=，设平面PCQ 的法向量为()2222,,n x y z =，(22200CQ n n CP n ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩，121212cos cos ,n n n n n n θ⋅====⋅ ，即平面PCQ 与平面DCQ.17.（15分）解析：（1）估计流感的感染率220800.31000P +==.（2）列联表：流感情况疫苗情况患有流感不患有流感合计打疫苗220580800不打疫苗80120200合计3007001000根据列联表，计算()()()()222()1000(22012058080)11.9800200300700n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯.因为11.910.828>，所以有99.9%的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.（3）设事件A 为“一次检测结果呈阳性”，事件B 为“被检测者确实患有流感”，由题意得()()()()0.3,0.7,0.95,0.01P B P B P AB P A B ====∣∣，()()()0.30.950.285P AB P B P A B =⋅=⨯=∣，由全概率公式得()()()()()0.30.950.70.010.292P A P B P A B P B P A B =⋅+⋅=⨯+⨯=∣∣，()()()0.28597.6%0.292P AB P B A P A ==≈∣，所以此人真的患有流感的概率是97.6%.18.（17分）解析：（1）易知双曲线的标准方程为2214y x -=.（2）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M xy AB x my =+，联立方程2244x my x y ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩得()()()2222241160,Δ3206441641my m m m -++==--=+，且120002y y y x my +====由,,O M P三点共线得004PPy y m x x ==①，由PF AB ⊥得1PF AB k k ⋅=-11m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②解得P .由PQ PA PB =+可知，四边形PAQB 是平行四边形，所以2PAQB PAB P l S S d AB -==⋅ ，P l d -，()2228141m PQ y m +=-==-，所以)322PAQB S =，令22141,4t t m m+=-=，则PAQB S =令()32(5)t f t t +=，则()()222343(5)103(5)2(5)t t t t t t f t t t'+-+⋅-⋅+==，所以()f t 在()0,10上单调递减，()10,∞+上单调递增，所以()min 135()104f t f ==，所以()minPABQS ==，当且仅当10t =，即m =时取等号.19.（17分）解析：（1）因为2m =，此时{}121212220,,a aA a a a a =+≤<∈N ∣，313256(2)2210,(2)2212b b =+==+=，()0123410(2)422222124S ∴=++++=.（2）当3m =时，{}3121231232220,,,aa a A a a a a a a =++≤<<∈N ∣，64388222,88=++∴ 是数列{}(3)n b 中的项，比它小的项分别有31231231236222,05,,,,aaaa a a a a a NC ++≤<<≤∈个，有126212124222,03,,,a a a a a a C ++≤<≤∈N 个，有1461113222,02,,aa a C ++≤≤∈N 个，所以比88小的项共有32164329C C C ++=个，故88是数列{}(3)n b 的第30项.（3）1098765320242222222,2024=++++++∴ 是数列{}(7)n b 中的项，故07t =，则当7m =时，{}7121271272220,,,,aa a A a a a a a a =+++≤<<<∈N ∣，方法一：比它小的项分别有以下7种情况：①712127127222,09,,,,,10aaaa a a a a a +++≤<<<≤∈N 个数字任取7个得710C 个，②612101261262222,08,,,,aaaa a a a a a ++++≤<<<≤∈N ，得69C 个，③51291012512522222,07,,,,aaaa a a a a a +++++≤<<<≤∈N ，得58C 个，④1248910124124222222,06,,,,aaaa a a a a a ++++++≤<<<≤∈N ，得47C 个，⑤312789101231232222222,05,,,aaaa a a a a a ++++++≤<<≤∈N ，得36C 个，⑥1267891012122222222,04,,aaa a a a ++++++≤<≤∈N ，得25C 个，⑦15678910112222222,02,aa a ++++++≤≤∈N ，得13C 个，所以比2024小的项共有765432110987653C C C C C C C ++++++个，其中76543213333331098765310987653C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++333333441098765553C C C C C C C C =+++++++-4112C =-328=故2024是数列{}(7)n b 的第329项，即0329n =.方法二：{}712127127222010,,,,aa a A a a a a a a =+++≤<<<≤∈N ∣共有元素711C 个，最大的是109876542222222++++++，其次为1098765322222222024++++++=，所以2024是数列{}(7)n b 的第7111329C -=项，即0329n =.在总共711330C =项中，含有02的项共有610C 个，同理12102,2,2 都各有610C 个，所以()6011033010(7)2222102047429870S C =⋅+++=⨯= ，则()00329330330(7)(7)(7)4298702032427838n S t S S b ==-=-=.。
2020届高三数学下册3月月考检测试题3 新教材 新大纲 练习 测试 模拟 复习 考试 期中 期末 高考.doc
绵阳南山中学高2020级第四期入学暨3月月考数学（理科）试题命题人： 审题人： 考试时间：100分钟 试卷满分：100分 一．选择题（每题4分，共48分） 1.不等式015≥-+x x 的解集为（ ) A.[]1,5- B.(][)+∞-∞-,15, C.()()+∞-∞-,15, D.(]()+∞-∞-,15,2曲线192522=+y x 与曲线192522=-+-ky k x )9(<k 的（ ） A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等3.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-≥5231y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（ ）A.1B.2C.3D.44已知向量→→d c ,不共线，设向量.,2→→→→→→-=+=d k c b d c k a 若→a 与→b 共线，则实数k 的值为（ ）A.0B.1C.-1D.25.已知),,2(),0,12,1(t t b t t a =--=→→则→→-a b 的最小值为（ ）A 3.B 6.C 2.D 5.6.执行下图所示的程序框图输出s 的值为（ ）A.3B.-6C.10D.-157.下列条件中，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）A →→→→--=OC OB OA OM 3. B →→→→++=OC OB OA OM 213151.C.→→→→=++0.AB MB MA D →→→→→=+++0.OC OB OA OM 8.若一个口袋中有5个白球，3个黑球，从口袋中每次拿一个球，不放回，第二次拿到黑球的概率是（ )A.4143.B 83.C 81.D9.已知R b a ∈,，下列四个条件中使b a >成立的必要不充分条件是（ ）A.1->b aB.1+>b aC.b a >D.b a 22>10.已知a>b>0,设椭圆12222=+by a x 、双曲线12222=-b y a x 和抛物线abxy 22=的离心率分别为321,,e e e ，则( )A.321e e e <∙B.321e e e >∙C.321e e e =∙D.与a 、b 取值有关11．设直线l 经过双曲线x 2-22y =1的右焦点F ,且与双曲线交于A 、B两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有（ ）A.1条B.2条C.3条D.4条 12.在正四面体(各个面都是正三角形)ABCD 中,ΔABC 内的动点P 到平面BCD 的距离与到点A 的距离相等,则动点P 的轨迹是( ) A.一条线段 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分二．填空题（每题3分，共12分）13．已知经过椭圆1162522=+y x 的右焦点2F 作直线AB 交椭圆与A,B 两点，1F 为椭圆的左焦点，则B AF 1∆的周长为_________________14.已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，则双曲线的离心率为____________15如下图所示，在一个边长为a 、b (a >b >0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为13a 与12a ，高为b .向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是___________16．如图,在ΔABC 中,∠ACB=90º,BC=1,AC=2,D 是斜边AB 上的一个动点,以CD 为棱把ΔABC 折成直二面角A-CD-B 后,线段AB 的最小值是____.三．解答题（每小题10分，共40分）17.如图，平行六面体ABCD-1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1AA 的长为2，且AD A AB A 11∠=∠=ο60 (1)若,,,1→→→→→→===c AA b AD a AB 用→→→c b a ,,表示向量→→11,BD AC .(2)求直线1BD 与AC 夹角的余弦值。
2020年浙江省湖州中学高三下学期3月月考(网测)数学试题(解析版)(精编)
an 1 an ln an ，对选项进行逐一分析，可
设函数 f x x ln x ，由 x ln x 1 ln x ，
可得函数 y x ln x 在 0, 1 上单调递减，在 e
1 ,
e
上单调递增 .
且当 x
1
时，
y
e
1 ，则可以作出
f
x
e
x ln x ，如图 .
1 且f
e
1 , f 1 0, f e e，
2x y 2 0 由实数 x ， y 满足 x y 1 0 作出可行域，如图 .
2x y 2 0
标函数 z 3x y 可以化为 y 3x z . 则 z表示直线 y 3x z 在 y 轴上的截距的相反数 . 由图可知，当直线 y 3x z 过点 B 时，直线 y 3x z 在 y 轴上的截距最大，无最小
）
A． 3 3
B． 9 3
C．3
D． 6 3
【答案】 A
【解析】 由三视图可知该三棱锥的底面边长为 【详解】
3，高为 4，则其体积可求 .
由正三棱锥的三视图可知： 该正三棱锥的底面边长为 3，高为 4.
所以该三棱锥的体积为：
V
1 Sh
1 1 32
3 4 33
3
32
2
Hale Waihona Puke 故选： A【点睛】
本题考查利用三视图求原三棱锥的体积 ,属于基础题 .
x | 1 x 2, x Z
D ． 0,1,2 0,1
又全集为 A 1,0,1,2 ，所以 eAB 1,2
故选： C
【点睛】
本题考查解二次不等式和求集合的补集，属于基础题
.
2．已知双曲线 C 的离心率 e 2 ，其中一个焦点的坐标为 0,2 ，则该双曲线 C 的标
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题(解析版)
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题一、单选题1．已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B I 等于（ ） A ．()0,1 B ．()1,0-C ．()1,1-D ．(),1-∞-【答案】A【解析】先化简集合,A B ,再求其交集. 【详解】根据题意可得集合{}11A x x =-<<,集合{}01B x x =<<,()0,1A B ∴=I ,故选:A. 【点睛】本题考查交集运算,考查解不等式,属于简单题.2．在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A ．22142-=x yB ．221714x y -=C ．22136x y -=D ．221147y x -=【答案】B【解析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选：B 【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 4．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )A 1BC 1D 【答案】C【解析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解. 【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=， 故选C 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 5．“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B 【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题. 6．函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】抓住这几个选项的相同点和不同点，比如()0,1x ∈时()f x 的正负性和单调性等进行判断。
2019-2020学年浙江省嘉兴市桐乡第三中学高三数学文下学期期末试卷含解析
2019-2020学年浙江省嘉兴市桐乡第三中学高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的最小正周期T= （ ）
A．2π B．π C． D． 参考答案：
2. 若则的值是 ( ) A. 1 B. 0 C. D. 参考答案：
B 略
3. 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为] （ ）
A． B. C. D. 参考答案： B
4. 过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）ks5u A．10 B．8 C．6 D．4 参考答案：
B 5. 将A．B．C．D．Ｅ排成一列，要求A．B．C在排列中顺序为“A．B．C”或“C．B．A”（可以不相邻），这样的排列数有（ ）种。
A．12 B．20 C．40 D．60 参考答案：
C 6. 若等比数列的前项和为(为常数，)，则 A． B． C． D． 参考答案：
A 略 7. 设、为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的（ ）． A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案：
A 解：若存在，使得，则， 若，并不能得到与共线，可能两向量夹角为钝角， 故“存在负数，使”是“”的充分不必要条件． 故选．
8. 函数的图像为，如下结论中错误的是（ ） A．图像关于直线对称 B．图像关于点对称 C．函数在区间内是增函数 D．由得图像向右平移个单位长度可以得到图像 参考答案：
D 略
9. 若一个α角的终边上有一点P(－4，a)且sin α·cos α＝，则a的值为( ) A． B．± C．－或－ D. 参考答案：
C
10. 已知函数（，），，，若的最小值为，且的图象关于点对称，则函数的单调递增区间是（ ）
浙江省2021届高考数学模拟试卷(一)(3月份)(含答案解析)
浙江省2021届高考数学模拟试卷(一)(3月份)一、单选题（本大题共10小题，共40.0分） 1.已知集合M =x ={x|−3<x <1}，N ={x|x ≤3}，则集合{x|x ≤−3或x ≥1}=( )A. M ∩NB. M ∪NC. ∁M (M ∩N)D. ∁M (M ∪N)2.复数z 满足z(1−i)=|3+4i|，则z =( )A. −12+72iB. 12+72iC. 52−52iD. 52+52i3.已知向量a =(x + z ，3)，b =(2,y − z )，且a ⊥ b .若x ，y 满足不等式| x |+| y |≤1，则z 的取值范围为( )A. [−2,2]B. [−2,3]C. [−3,2]D. [−3,3]4.周长为1，圆心角为1rad 的扇形的面积等于( )A. 1B. 13C. 19D. 1185.下列图象中，函数f(x)=(e x −e −x )sinx ，x ∈[−π,π]图象的是( )A.B.C.D.6. 已知集合，，则“”是“A ⊆B “的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.在数列{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)，从数列{a n }中选出k (k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列．例如数列12、13、15、18为{a n }的一个4 项子列．若{b n }为数列{a n }的一个k (k ⩾3)项子列，且{b n }为等差数列，则{b n }的公差d 的最小值为( )A. −16B. −14C. −13D. −128. 已知双曲线右支上的一点到左焦点距离与道右焦点的距离之差为，且两条渐近线的距离之积为，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D.9.函数f(x)=2x 2−13x 3在区间[0,6]上的最大值是( )A. 323B. 163C. 12D. 910. 设正数a 、b 、c ∈R,a +b +c =1,M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )，则( )A. M ∈(−∞,−8]B. M ∈(−8,0)C. M ∈[0,8)D. M ∈[8,+∞)二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）11. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为56√3，则图中x =_________12. 已知(1+ax)5=1+10x +bx 2+⋯+a 5x 5，则b =_________． 13. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若asinA+bsinB−csinCasinB=2sinC ，则∠C 的大小为______． 14. 曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线与圆(x −√3)2+(y −1)2=1相切，则此双曲线的离心率为______15. 为贯彻“科学防疫”，某复课学校实行“佩戴口罩，不相邻而坐”，现针对一排8个座位，安排4名同学就坐，那么不同的安排方法共有______种．(用数字作答)16. 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是______ ．17. 已知四边形ABCD 是边长为3的正方形，若DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18. 函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x =π4时，y 取最大值1，当x =7π12时，y 取最小值−1．(1)求函数y =f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，求在[0,2π]内的所有实数根之和．19. 如图，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱D 1D 的中点，点F 在棱B 1B 上且B 1F =2FB ． (1)求证：EF ⊥A 1C 1；(2)求平面AEF 与平面ABCD 所成角的余弦值．20. 若数列{a n }同时满足条件：①存在互异的p ，q ∈N ∗使得a p =a q =c(c 为常数)； ②当n ≠p 且n ≠q 时，对任意n ∈N ∗都有a n >c ，则称数列{a n }为双底数列． (1)判断以下数列{a n }是否为双底数列(只需写出结论不必证明)： ①a n =n +6n ； ②a n =sinnπ2； ③a n =|(n −3)(n −5)|；(2)设a n ={101−2n,1≤n ≤502n−50+m,n >50，若数列{a n }是双底数列，求实数m 的值以及数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设a n =(kn +3)(910)n ，是否存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列？若存在，求出所有的k 的值，若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知椭圆：( )的离心率为，且经过点．(1)求椭圆的方程；(2)直线：()与椭圆有两个交点.若线段的中点为，求证：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．(为坐标原点)22. 已知函数，y=f(x)=−x3+ax2+b(a,b∈R)(Ⅰ)要使f(x)在(0,1)上单调递增，求a的取值范围；(Ⅱ)当a>0时，若函数f(x)的极小值和极大值分别为1、31，试求函数y=f(x)的解析式；27.时，求a的取值范围．(Ⅲ)若x∈[0,1]时，y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ，当0≤θ≤π4【答案与解析】1.答案：C解析：解：因为集合M={x|−3<x<1}，N={x|x≤3}，所以M∩N={x|−3<x<1}，M∪N={x|x≤3}，则∁M(M∩N)={x|x≤−3或x≥1}，∁M(M∪N)={x|x>3}，故选：C．根据题意和交、并、补集的运算，分别求出M∩N、M∪N、∁M(M∩N)、∁M(M∪N)，即可得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：D解析：解：∵|3+4i|=√32+42=5，∴z=51−i =5(1+i)(1−i)(1+i)=52+52i．故选：D．先求复数的模，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：D解析：由题意a⊥b得2x+3y=z，而|x|+|y|≤1表示的区域如图阴影所示，根据线性规划知识可知：直线通过A(0,1)时，z取得最大值，且z max=2×0+3×1=3；当直线通过B(0,−1)时，z取得最小值，且z min=2×0+3×(−1)=−3.故z∈[−3,3]．4.答案：D解析：根据扇形的面积公式进行求解即可．本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=1，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=1，则r=13，l=13，则对应的扇形的面积S=12×lr=12×13×13=118，故选：D．5.答案：D解析：解：根据题意，f(x)=(e x−e−x)sinx，则f(−x)=(e−x−e x)sin(−x)=(e x−e−x)sinx=f(x)，则f(x)为偶函数，排除BD，在区间(0,π)上，(e x−e−x)>0，sinx>0，则有f(x)>0，排除A；故选：D．根据题意，分析可得f(x)为偶函数且在区间(0,π)上，f(x)>0恒成立，据此由排除法分析可得答案．本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性、单调性或特殊值．6.答案：A解析：7.答案：A解析：本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列通项公式的运用，以及不等式的证明，考查推理能力，属于难题．解：由题意，知1≥b1>...>b k>0，所以d=b2−b1<0．假设b1=1，由{b n}为{a n}的一个k项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12，因为b k=b1+(k−1)d,b k>0，所以(k −1)d =b k −b 1=b k −1>−1，即d >−1k−1≥−12，这与d ≤−12， 所以假设不成立，即b 1≠1． 所以b 1≤12，所以当b 1=12，b 2=13，b 3=16时{b n }公差最小，此时公差为−16． 故选A ．8.答案：D解析：试题分析：依题意，，又双曲线的渐进线方程为，又点两条渐近线的距离之积为，则，而点在双曲线上，，∴，代入求得，∴，选D ．考点：双曲线的性质，点到直线的距离公式．9.答案：A解析：考查利用导数求函数的最值，属中档题，当函数在一区间上有唯一的极值时，该极值即为相应的最值．求导数f′(x)，根据导数的符号变化可求函数的极大值，易判断该极大值即为最大值． 解：f′(x)=4x −x 2=−x(x −4)， 当0≤x ≤4时，f′(x)≥0，f(x)递增； 当4<x ≤6时，f′(x)<0，f(x)递减； ∴x =4时f(x)取得极大值，也即最大值， ∴f(x)max =f(4)=2×16−13×43=323，故选：A ．10.答案：A解析：解：∵a +b +c =1， ∴M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )=(a−1a)(b−1b)(c−1c) =−(b+c a)(a+c b)(b+c c)≤−(2√bc a)(2√ac b )(2√bcc )=−8．当且仅当a =b =c 时，取等号． 故选A ．.利用题中条件：“a +b +c =1”将式子M ：M =(1−1a )(1−1b )(1−1c )进行转化成：−(b+c a)(a+c b)(b+c c)，最后利用基本不等式即可求得M 的取值范围即可．本小题主要考查基本不等式等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．11.答案：√3解析：本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图与体积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体，其直观图如下图所示，分别利用体积计算公式即可得出．解：如图所示，由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥与三棱柱的组合体， 其直观图如下图所示：∴该几何体的体积为56√3=1×12×1⋅x +13×12⋅x ， 解得x =√3． 故答案为√3．12.答案：40解析：由条件可知·a =10且·a 2=b ，∴b =40．13.答案：π4解析：解：在△ABC 中，∵asinA+bsinB−csinCasinB=2sinC ，∴由正弦定理可得：a 2+b 2−c 2ab=2sinC ，∴由余弦定理可得：cosC=a2+b2−c22ab =2absinC2ab=sinC，∴√2sin(C−π4)=0，可得：sin(C−π4)=0，∵C∈(0,π)，C−π4∈(−π4,3π4)，∴C−π4=0，可得：C=π4．故答案为：π4．由已知及正弦定理，余弦定理可得cosC=sinC，利用两角差的正弦函数公式可求sin(C−π4)=0，结合范围C−π4∈(−π4,3π4)，即可得解C的值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.答案：2解析：解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆相切，∴圆心到渐近线的距离为√3b−a|√a2+b2=1或√3b+a|√a2+b2=1，求得√3a=b，∴c2=a2+b2=4a2，∴e=ca=2．故答案为：2．先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离为圆的半径求得a和b的关系，进而利用c2=a2+b2求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等．考查了学生数形结合的思想的运用．15.答案：120解析：解：根据题意，分2步进行分析：①一排8个座位，安排4名同学就坐，有4个空座位，先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，有A54=120种安排方法，故答案为：120根据题意，分2步进行分析：①先将4个空座位排好，②空座位排好后，有5个间隔，在5个间隔中任选4个，安排4名同学，由排列数公式计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．16.答案：1.2解析：解：设含红球个数为ξ，ξ的可能取值是0、1、2， 当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球， 当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球， ∴P(ξ=0)=C 22C 52=0.1， P(ξ=1)=C 21C 31C 52=0.6P(ξ=2)=C 32C 52=0.3∴Eξ=0×0.1+1×0.6+2×0.3=1.2． 故答案为：1.2．由题意知ξ的可能取值是0、1、2，当ξ=0时，表示从中取出2个球，其中不含红球，当ξ=1时，表示从中取出2个球，其中1个红球，1个黄球，当ξ=2时，表示从中取出2个球，其中2个红球，这三种情况根据古典概型概率公式得到结果，求出期望．本题这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．不过大多数题目是以解答题的形式出现的．17.答案：9解析：解：∵DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BF ⃗⃗⃗⃗⃗=13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+13AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+119AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×32+13×32+0=9． 故答案为：9．由平面向量基本定理，用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作基底表示向量AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AF⃗⃗⃗⃗⃗ ，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算，用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 作基底来表示题中的向量是解决问题的关键，属中档题．18.答案：解：(1)函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)在同一个周期内，当x =π4时，y 取最大值1，当x =7π12时，y 取最小值−1．故T2=7π12−π4=4π12=π3，所以T =2π3．解得ω=2π2π3=3，由于|φ|<π2，所以当x =π4时，f(π4)=sin(3π4−φ)=1， 解得φ=−π4，所以f(x)=sin(3x −π4)， 令π2+2kπ≤3x −π4≤2kπ+3π2(k ∈Z)，解得π4+23kπ≤x ≤23kπ+7π12(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为[π4+23kπ,23kπ+7π12](k ∈Z)，(2)函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，在[0,2π]内恰有3个周期． 所以6个实数根的关系满足x 1+x 2=π2，x 3+x 4=11π6，x 5+x 6=19π6，所以在[0,2π]内的所有实数根之和为π2+11π6+19π6=11π2．解析：(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质，求出函数的单调递减区间． (2)利用函数函数f(x)满足方程f(x)=a(0<a <1)，在[0,2π]内恰有3个周期，所以有6个实数根，故x 1+x 2=π2，x 3+x 4=11π6，x 5+x 6=19π6，进一步求出和．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19.答案：(1)证明：连D 1B 1，DB ，A 1C 1⊥D 1B 1，又BB 1⊥面A 1B 1C 1D 1，A 1C 1⊥BB 1， 又BB 1∩D 1B 1=B 1，A 1C 1⊥面DBB 1D 1， 又∵EF ⊂面DBB 1D 1，∴A 1C 1⊥EF ． (2)解：由ED ⊥面ABCD ，FB ⊥面ABCD ， 得△ABD 是△AFE 在面ABCD 内的投影图形，S △ABD =12×1×1=12，又AF =√1+19=√103，AE =√1+14=√52， 在DE 上取点G ，使DG =BF =13，则EG =16， ∴在Rt △EGF 中，EF =√2+136=√736，∴cos∠EAF =109+54−73365√33=√210，∴sin∠EAF =7√210，∴S △AEF =12AE ⋅AF ⋅sin∠EAF =12×√52×√103×7√210=712，设二平面AEF 与ABCD 所成角为θ， 则cosθ=12×127=67，即二平面AEF 与ABCD 所成角余弦值为67．解析：(1)连D 1B 1，DB ，D 1B 1，DB ，由已知得A 1C 1⊥面DBB 1D 1，由此能证明A 1C 1⊥EF ． (2)由ED ⊥面ABCD ，FB ⊥面ABCD ，得△ABD 是△AFE 在面ABCD 内的投影图形，由此求出AF =√103，AE =√52，在DE 上取点G ，使DG =BF =13，则EG =16，由此能求出二平面AEF 与ABCD 所成角余弦值．本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.答案：解：(1)在①中，a n =n +6n 是双底数列；在②中，a n =sinnπ2不是双底数列；在③中，a n =|(n −3)(n −5)|是双底数列．(2)∵a n ={101−2n,1≤n ≤502n−50+m,n >50，数列{a n }是双底数列，∴a 50=a 51，即101−100=251−50+m =2+m ，解得m =−1， 当1≤n ≤50时，a n =101−2n ，{a n }是首项为a 1=99，公差d =−2的等差数列，∴S n =99n −n(n−1)2×2=100n −n 2；当n ≥51时，a n =2n−50−1，∴S n =(a 1+a 2+⋯+a 50)+(a 51+⋯+a n ) =100×50−502+2(1−2n−50)1−2−(n −50)=2n−49−n +2548；(3)a n =(kn +3)(910)n ，假设存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列， 根据题意，k <0，由a n =a n+1，得(kn +3)⋅(910)n =[k(n +1)+3]⋅(910)n+1， 整理，得n =9−3k ，∵k ∈Z ，∴k =−1或k =−3．解析：(1)在①中，a n =n +6n 是双底数列； 在②中，a n =sin nπ2不是双底数列；在③中，a n =|(n −3)(n −5)|是双底数列．(2)由a 50=a 51，能求出实数m 的值以及数列{a n }的前n 项和S n ．(3)假设存在整数k ，使得数列{a n }为双底数列，由a n =a n+1，得(kn +3)⋅(910)n =[k(n +1)+3]⋅(910)n+1，从而n =9−3k，由此能求出结果．本题考查双底数列的判断，考查实数值、数列的前n 项和的求法，考查满足双底数列的实数值的求法，考查等差数列、双底数列的性质等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.答案：(1)由题意得， ，解得 ，所以求椭圆 的方程为 ．(2)由，消得，即．设，则，所以线段的中点为的坐标为(．所以直线的斜率，所以(定值)．解析：本题考查椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系。
浙江省2020届高三数学下学期压轴卷含解析
浙江省2020届高三数学下学期压轴卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|||2}A x x =<，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =A. {0,1}B. {0,1,2}C. {1,0,1}-D. {1,0,1,2}-【答案】C 【解析】 试题分析：由，得，选C .【考点】集合的交集运算.【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集． 2.复数21i+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A. 1i -+ B. 1i -C. 1i +D. 1i --【答案】C 【解析】 【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解. 【详解】因为211i i=-+,所以其共轭复数是1i +，选C.【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.3.（2017新课标全国I理科）记n S为等差数列{}n a的前n项和．若4524a a+=，648S=，则{}n a的公差为A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】设公差为d，45111342724a a a d a d a d+=+++=+=，611656615482S a d a d⨯=+=+=，联立112724,61548a da d+=⎧⎨+=⎩解得4d=，故选C.点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a为等差数列，若m n p q+=+，则m n p qa a a a+=+.4.底面是正方形且侧棱长都相等的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是( )A. 43B. 843D.83【答案】C【解析】【分析】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2，求出四棱锥的底面积和高，计算它的体积.【详解】根据三视图知该四棱锥的底面是边长为2的正方形，且各侧面的斜高是2,画出图形，如图所示；所以该四棱锥的底面积为224S ==，高为22213h =-=； 所以该四棱锥的体积是11434333V Sh ==⨯⨯=. 故选：C .【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，属于中档题．5.若实数,x y 满足不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-⎩，则3x y -( )A. 有最大值2-，最小值83- B. 有最大值83，最小值2C. 有最大值2，无最小值D. 有最小值2-，无最大值【答案】C 【解析】 【分析】画出不等式组表示的平面区域，设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线，找出最优解，求出z 有最大值，且z 无最小值．【详解】画出不等式组02222y x y x y ⎧⎪-⎨⎪-≥⎩表示的平面区域，如图阴影所示；设3z x y =-，则直线30x y z --=是一组平行线；当直线过点A 时，z 有最大值，由022y x y =⎧⎨-=⎩，得(2,0)A ；所以z 的最大值为3202x y -=-=，且z 无最小值. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合思想，是中档题． 6.“a=1”是“直线x+y =0和直线x-ay =0互相垂直”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】直线0x y +=和直线0x ay -=互相垂直的充要条件是1()110a ⨯-+⨯=，即1a =，故选C7.函数()()11x x e f x x e+=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】求得f （x ）的奇偶性及f （1）的值即可得出答案．【详解】∵f （﹣x ）()()()111111x x x x x xe e e x e x e x e--+++====-----f （x ）， ∴f （x ）是偶函数，故f （x ）图形关于y 轴对称，排除C ，D ；又x=1时，()e 111ef +=-<0， ∴排除B ， 故选A ．【点睛】本题考查了函数图像的识别，经常利用函数的奇偶性，单调性及特殊函数值对选项进行排除，属于基础题．8.已知a 、b R ∈，且a b >，则（ ）A. 11a b<B. sin sin a b >C. 1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 22a b >【答案】C 【解析】 【分析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误. 【详解】对于A 选项，取1a =，1b =-，则a b >成立，但11a b>，A 选项错误； 对于B 选项，取a π=，0b =，则a b >成立，但sin sin0π=，即sin sin a b =，B 选项错误；对于C 选项，由于指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若a b >，则1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 选项正确；对于D 选项，取1a =，2b =-，则a b >，但22a b <，D 选项错误. 故选：C.【点睛】本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，考查推理能力，属于中等题.9.设P ABCD -是一个高为3，底面边长为2的正四棱锥，M 为PC 中点，过AM 作平面AEMF 与线段PB ，PD 分别交于点E ，F （可以是线段端点），则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为（ ） A. 4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】 设出比例关系,PE PFx y PB PD==，利用比例关系表示所求锥体体积，利用函数单调性即可求解. 【详解】首先证明一个结论：在三棱锥S ABC -中，棱,,SA SB SC 上取点111,,A B C则111111S A B C S ABCV SA SB SC V SA SB SC--⋅⋅=⋅⋅，设SB 与平面SAC 所成角θ，11111111111111sin sin 3211sin sin 32S A B C B SA C S ABC B SAC SA SC ASC SB V V SA SB SC V V SA SB SC SA SC ASC SB θθ----⨯⋅⋅∠⋅⋅⋅⋅===⋅⋅⨯⋅⋅∠⋅⋅，证毕.四棱锥P ABCD -中，设,PE PF x y PB PD ==，212343P ABCD V -=⨯⨯=12222P AEMF P AEF P MEF P AEF P MEF P AEF P MEFP ABCD P ABD P ABD P DBC P ABD P DBCV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭111222PA PE PF PE PM PF xy xy PA PB PD PB PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以3P AEMF V xy -=又12222P AEMF P AEM P MAF P AEM P MAF P AEM P MAFP ABCD P ABC P ABC P DAC P ABC P DACV V V V V VV V V V V V V -------------⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭11112222PA PE PM PA PM PF x y PA PB PC PA PC PD ⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭所以P AEMF V x y -=+ 即3,31x x y xy y x +==-，又01,0131xx y x ≤≤≤=≤-， 解得112x ≤≤ 所以体积2313,[,1]312x V xy x x ==∈-，令131,[,2]2t x t =-∈2(1)111()(2),[,2]332t V t t t t t +==++∈根据对勾函数性质，()V t 在1[,1]2t ∈递减，在[1,2]t ∈递增 所以函数()V t 最小值4(1)3V =，最大值13(2)()22V V ==， 四棱锥P AEMF -的体积的取值范围为43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：B【点睛】此题考查用平面截四棱锥形成新的锥体的体积问题，关键在于通过一种恰当的方式表示出所求锥体的体积，利用函数关系求解最值，此题涉及三棱锥体积的引理，需要在平常学习中多做积累.10.若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，34349x y a x y -++--的取值与x ，y 无关， 则实数a 的取值范围是( )A. 4a ≤B. 46a -≤≤C. 4a ≤或6a ≥D. 6a ≥【答案】D 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，转化34349x y a x y -++--为点P 到两条平行直线的距离之和来求解实数a 的取值范围【详解】依题意343493434955x y ax y x y a x y -+---++--=+表示(),P x y 到两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=的距离之和与,x y 无关，故两条平行直线340x y a -+=和3490x y --=在圆22(1)(1)1x y -+-=的两侧，画出图像如下图所示，故圆心()1,1到直线340x y a -+=的距离3415ad -+=≥，解得6a ≥或4a ≤-（舍去） 故选D.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查直线与圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.第II 卷（非选择题)二､填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分11.《九章算术》中有一题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺.”该女子第二日织______尺，若女子坚持日日织，十日能织______尺. 【答案】 (1). 1031(2). 165 【解析】 【分析】设该女子每天的织布数量为n a ，转化条件得数列{}n a 为公比为2的等比数列，利用等比数列的通项公式和前n 项和公式求得1531a =后即可得解.【详解】设该女子每天的织布数量为n a ，由题可知数列{}n a 为公比为2的等比数列， 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则()51512512a S -==-，解得1531a =， 所以2110231a a ==，()10105123116512S -==-. 故答案为：1031，165.【点睛】本题考查了等比数列的应用，关键是对于题目条件的转化，属于基础题. 12.二项式521)x的展开式中常数项为__________．所有项的系数和为__________． 【答案】 (1). 5 (2). 32 【解析】分析：利用二项展开式的通项公式求出531)x展开式的通项，令x 的指数为0，求出r 的值，将r 的值代入通项求出展开式的常数项，令1x =，得到所有项的系数和.详解：展开式的通项为5552215521()r r rr r r T C C xx--+==， 令55022r -=，解得1r =， 所以展开式中的常数项为1255T C ==，令1x =，得到所有项的系数和为5232=，得到结果.点睛：该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有展开式中的特定项以及展开式中的系数和，所用到的方法就是先写出展开式的通项，令其幂指数等于相应的值，求得r ，代入求得结果，对于求系数和，应用赋值法即可求得结果.13.设双曲线()222210x y b a a b-=>>的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l的距离为4c ，则双曲线的离心率为____；渐近线方程为_________. 【答案】(1). 2 (2). y = 【解析】 【分析】可设过（a ，0），（0，b ）两点的直线方程为1x ya b+=，结合点到直线距离公式可得24ab =，两式同时平方后，通过222c a b =+代换可转化为关于2e 的一元二次方程，即可求解 【详解】由题可设直线l 方程为：1x ya b+=，即0bx ay ab，则原点到直线的距离ab d c ===，解得24ab =，两式同时平方可得224163a b c =，又222b c a =-，代换可得()2224163a c a c -=，展开得：224416162a c a c -=，同时除以4a 得：2416163e e -=，整理得()()223440e e --=，解得243e =或4，又0b a >>，所以2222222222b a c a a c a e >⇒->⇒>⇒>，所以24,2ce e a===；b a ===b y x a =±=故答案为：2；y =【点睛】本题考查由直线与双曲线的位置关系求解离心率，渐近线，点到直线距离公式的应用，属于中档题14.已知函数22,0()log (),0x x f x x a x ⎧<=⎨-≥⎩，若(1)(1)f f -=，则实数a =_____；若()y f x =存在最小值，则实数a 的取值范围为_____. 【答案】(1). 1 (2). [1,0)- 【解析】 【分析】()1根据题意列出关于a 的方程即可；()2在每一段上求出其函数值域，然后小中取小，能取到即可．【详解】(1)(1)f f -=，122log (1)a -∴=-，1212a ∴-=，1a ∴=-易知0x <时，()2(0,1)xf x =∈；又0x 时，2()log ()f x x a =-递增，故2()(0)log ()f x f a =-， 要使函数()f x 存在最小值，只需20()0a log a ->⎧⎨-⎩，解得：10a -<.故答案为：1[1,0)-. 【点睛】本题考查分段函数的值域的求法．分段函数问题本着先分段研究，再综合的原则解决问题，属于中档题．15.设向量,,a b c 满足1a =，||2b =，3c =，0b c ⋅=．若12λ-≤≤，则(1)a b c λλ++-的最大值是________． 【答案】101+ 【解析】 【分析】令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大． 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2211318n b c λλλλ⎡⎤=+-=-⎣⎦，因为12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 13n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，max 2101a n a n +=+=+【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值．整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析． 16.某班同学准备参加学校在假期里组织的“社区服务”、“进敬老院”、“参观工厂”、“民俗调查”、“环保宣传”五个项目的社会实践活动，每天只安排一项活动，并要求在周一至周五内完成．其中“参观工厂”与“环保宣讲”两项活动必须安排在相邻两天，“民俗调查”活动不能安排在周一．则不同安排方法的种数是________． 【答案】36 【解析】 【分析】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，作差即可求解【详解】把“参观工厂”与“环保宣讲”当做一个整体，共有4242A A 48=种，把“民俗调查”安排在周一，有3232A A 12⋅=，∴满足条件的不同安排方法的种数为481236-=， 故答案为：36．【点睛】本题考查了简单排列应用问题，熟练掌握排列组合的意义及其计算公式是解题的关键，对于相邻问题经常使用“捆绑法”，注意“直接法”“间接法”的灵活选用，属于基础题.17.已知函数()2122,01()2,10x x x m x f x x m x +⎧+≤≤⎪=⎨---≤<⎪⎩若在区间[1,1]-上方程()1f x =只有一个解，则实数m 的取值范围为______． 【答案】1|12m m ⎧-≤<-⎨⎩或1}m = 【解析】 【分析】令11,01()221,10xx x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则方程()1f x =等价于()2g x x m =+有且只有一个实数根，在同一平面直角坐标系中画出函数()g x 的图像和()2h x x m =+的图像，动态平移()h x 的图像可得实数m 的取值范围.【详解】当01x ≤≤时，由()1f x =，得()221xx m +=，即212xx m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；当10x -≤<时，由()1f x =，得1221x x m +--=，即1221x x m +-=+.令函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩，则问题转化为函数11,01()221,10x x x g x x +⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与函数()h x =2x m +的图像在区间[1,1]-上有且仅有一个交点.在同一平面直角坐标系中画出函数11,01()221,10xxxg xx+⎧⎛⎫≤≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪--≤<⎩与2y x m=+在区间函数[1,1]-上的大致图象如下图所示：结合图象可知：当(0)1h=，即1m=时，两个函数的图象只有一个交点；当(1)(1),11(1)(1)2h gmh g<⎧⇒-≤<-⎨-≥-⎩时，两个函数的图象也只有一个交点，故所求实数m的取值范围是1|112m m m⎧⎫-≤<-=⎨⎬⎩⎭或.【点睛】已知方程的解的个数求参数的取值范围时，要根据方程的特点去判断零点的分布情况（特别是对于分段函数对应的方程），也可以参变分离，把方程的解的问题归结为不同函数的交点的个数问题．三､解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 18.已知函数()()23sin22cos1x Rf x x x=-+∈.(1)求()f x的单调递增区间;(2)当,64xππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求()f x的值域.【答案】（1）,()63k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）3⎡-⎣.【解析】【分析】（1）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数()f x 的增区间；（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值．【详解】(1) 函数()23sin 22cos 1322226f x x sin x cos x in x x s π⎛⎫⎪=⎝=-+-=⎭-， 令222()262πππππ-≤-≤+∈k x k k Z ，求得()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故函数f (x )的增区间为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦； (2)若,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则2,623x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当262x ππ-=-时，函数f (x )取得最小值为−2；当263x ππ-=时，函数f (x )取得最大值为3，所以函数的值域为2,3⎡⎤-⎣⎦.【点睛】本题考查三角恒等变换，考查正弦型函数的性质，考查运算能力，属于常考题. 19.如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是菱形ACBD O =，1A O ⊥底面ABCD ，12AA AB ==.（1）求证：平面1ACO ⊥平面11BB D D ； （2）若60BAD ∠=︒，求OB 与平面11A B C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）217【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得1AO BD ⊥，由菱形的性质可得CO BD ⊥，由线面垂直的判定可得BD⊥平面1A CO，再由面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，再求出平面11A B C的一个法向量为m，OB的方向向量OB，由cos,||||OB mOB mOB m⋅=即可得解.【详解】（1）证明：由1A O⊥底面ABCD可得1AO BD⊥，又底面ABCD是菱形，所以CO BD⊥，因为1AO CO O⋂=，所以BD⊥平面1A CO，因为BD⊂平面11BB D D，所以平面1ACO⊥平面11BB D D.（2）因为1A O⊥底面ABCD，以O为原点，OB，OC，1OA为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz-，则(1,0,0)B ，3,0)C，(0,3,0)A，1(0,0,1)A，11(1,3,0)A B AB==，()10,3,1AC =-，设平面11A B C的一个法向量为(,,)m x y z=，由111030030m A B x ym AC z⎧⋅=⇒+=⎪⎨⋅=⇒-=⎪⎩，取1x=得31,1m⎛⎫=-⎪⎝⎭，又(1,0,0)OB=，所以21cos,||||123OB mOB mOB m⋅===+，所以OB 与平面11A B C所成角的正弦值为7. 【点睛】本题考查了面面垂直的证明以及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力，属于中档题.20.等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设 31323log log ......log n n b a a a =+++，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）13n na = （2）21nn -+ 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q ，由23269a a a =，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q 的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q 的值，然后再根据等比数列的通项公式化简12231a a +=，把求出的q 的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q 写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，利用对数的运算性质及等差数列的前n 项和的公式化简后，即可得到bn 的通项公式，求出倒数即为1nb 的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{1nb }的前n 项和试题解析：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()21n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21nn -+ 考点：等比数列的通项公式；数列的求和21.已知抛物线22y px =（0p >）上的两个动点()11,A x y 和()22,B x y ，焦点为F .线段AB的中点为()03,M y ，且A ，B 两点到抛物线的焦点F 的距离之和为8.（1）求抛物线的标准方程；（2）若线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）24y x =；（2643. 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义可得12||||68AF BF x x p p +=++=+=，求出p 的值，从而得到抛物线的方程；（2）设直线AB 的方程为：x my n =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式可得22||413AB m m =+-AB 的中垂线方程可得点C 的坐标，再利用点到直线距离公式求出点C 到直线AB 的距离d ，所以()221||4132S AB d m m =⋅=+-23t m -则()244S tt =-⋅，利用导数可得最值.【详解】（1）由题意知126x x +=，则12||||68AF BF x x p p +=++=+=，∴2p =，∴抛物线的标准方程为24y x =； （2）设直线:AB x my n =+（0m ≠） 由24x my n y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=， ∴124y y m +=，∴()121224226x y x y m n n m =+++=+=，即232n m =-，即()21221216304812m y y m y y m ⎧∆=->⎪⎪+=⎨⎪⋅=-⎪⎩，∴12||AB y y =-=设AB 的中垂线方程为：2(3)y m m x -=--，即(5)y m x =--， 可得点C 的坐标为(5,0)，∵直线2:32AB x my m =+-，即2230x my m -+-=，∴点C 到直线AB的距离d ==，∴()21||412S AB d m =⋅=+令t =223(0m t t =-<<，()244S t t ∴=-⋅令()2()44f t tt =-⋅，∴()2()443f t t'=-，令()0f t '=，则t =，在⎛ ⎝⎭上()0f t '>；在⎝上()0f t '<，故()f t在0,3⎛ ⎝⎭单调递增，3⎛⎝单调递减，∴当3t =，即3m =±时，max 9S =. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题. 22.已知函数2()(1)(0)xf x x e ax x =+->.（1）若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x . （ⅰ）求实数a 的取值范围；（ⅱ）求证：12011111x x t +->+.（其中0t 为()f x 的极小值点） 【答案】（1）⎛-∞ ⎝⎭；（2）（ⅰ）12⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)先求其导函数，转化为()'0f x ≥，即求()22xx g x e a x+=⋅-的最小值即可； (2())ⅰ结合第一问的结论得()f x不单调，故(122a +⋅>；设()'0f x =有两个根，设为1t ，0t，且1001t t <<-<，可得原函数的单调性，把问题转化为()00f t <，即可求解结论．()ⅱ转化为先证明不等式，若1x ，()20,x ∈+∞，12x x ≠211221.2x x x xlnx lnx -+<<-再把原结论成立转化为证1202x x t +<；构造函数()()()00r x f t x f t x =+--一步步推其成立即可．【详解】（1）由2()(1)x f x x e ax =+-，得2()2x x f x x e a x +⎛⎫'=-⎪⎝⎭，设2()x x g x e x +=⋅，(0)x >；则2222()xx x g x e x +-'=⋅；由()0g x '，解得1x ≥-，所以()g x在1)上单调递减，在1,)-+∞上单调递增，所以1min ()1)(2=-=⋅g x g因为函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，所以()0f x '在(0,)+∞恒成立所以1(22⋅≥a ；所以，实数a的取值范围是：1(2,2⎛⎫+⋅-∞ ⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）因为函数()f x 有两个不同的零点，()f x 不单调，所以1(22a +⋅>.因此()0f x '=有两个根，设为10,t t，且1001t t <<<，所以()f x 在()10,t 上单调递增，在()10,t t 上单调递减，在()0,t +∞上单调递增； 又()1(0)1f t f >=，()22()(1)(1)xxxf x x e ax a e xx a e=+-=-++-⋅，当x 充分大时，()f x 取值为正，因此要使得()f x 有两个不同的零点，则必须有()00f t <，即()200010t t e a t +-⋅<； 又因为()()0000220tf t t e at '=+-=； 所以：()()000002202ttt t e t e +-⋅+<，解得0t >1122+>=a g ； 因此当函数()f x 有两个不同的零点时，实数a 的取值范围是12⎛⎫+⋅+∞ ⎪⎪⎝⎭. （ⅱ）先证明不等式，若12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠211221112x x x xnx nx -+<<-.证明：不妨设210x x >>，即证2212211211ln 1x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭<<+，设211x t x =>，()ln g t t =2(1)()ln 1t h t t t -=-+，只需证()0g t <且()0h t >；因为2()0g t '=<，22(1)()0(1)t h t t t -'=>+， 所以()g t 在(1,)+∞上单调递减，()h t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g <=，()(1)0h t h >=，从而不等式得证. 再证原命题12011111x x t +->+. 由()()1200f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩得()()122112221010x x x e ax x e ax ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩； 所以()()2212221211xx x e x e x x ++=，两边取对数得：()()()2121212ln ln ln 1ln 1x x x x x x ⎡⎤--+-+=-⎣⎦；即()()()()()212121212ln ln ln 1ln 1111x x x x x x x x -+-+-=-+-+. 因为()()()()()()()2121212112211111121111nx nx n x n x x x x x x x -+-+-<--+-++++，所以121221112x x x x +<<+++， 因此，要证12011111x x t +->+. 只需证1202x x t +<；因为()f x 在()0,t +∞上单调递增，1020x t x <<<，所以只需证()()2022f x f t x <-， 只需证()()1012f x f t x <-，即证()()00f t x f t x +<-，其中()0,0x t ∈-； 设()()00()r x f t x f t x =+--，00t x -<<，只需证()0r x <；计算得()()00000()224t tr x x t e x x t e x at '=++++-++--； ()()2000()33t x r x e x x t e x t ''⎡⎤=-+++--⎣⎦.由()()20033x y x t ex t =+++--在()0,0t -上单调递增， 得()()0003030y t e t <++--=，所以()0r x ''<；即()r x '在()0,0t -上单调递减，所以：()0()(0)20r x r f t '''>==；即()r x 在()0,0t -上单调递增，所以()(0)0r x r <=成立，即原命题得证.【点睛】本题考查了导数的综合应用，同时考查了不等式的证明，是对导数知识的综合考查，属于难题．。
浙江省嘉兴市桐乡高级中学2021-2022学年高三一诊考试数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A ．34B ．33C ．32D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．353．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数N 除以正整数m 所得的余数是n ”记为“(mod )N n m ≡”，例如71(mod 2)≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19 4．已知复数(2)1ai i z i +=-是纯虚数，其中a 是实数，则z 等于（ ） A ．2i B ．2i - C ．i D ．i -5．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ）A ．5B ．22C ．23D ．336．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =（ ）A ．{|12}x x -≤<B ．{}|25x x -<<C ．{|15}x x -≤<D ．{}|02x x << 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤< B ．{}|13x x ≤< C ．{}|23x x <≤ D ．{}|02x x <≤8．设非零向量a ，b ，c ，满足||2b =，||1a =，且b 与a 的夹角为θ，则“||3b a -=”是“3πθ=”的（ ）． A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9．等比数列{}n a 中，11,28a q ==，则4a 与8a 的等比中项是（ ） A ．±4 B ．4 C ．14± D ．1410．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i=+，则z z ⋅=（ ） A ．110 B ．110i C ．1100 D ．1100i 11．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC BC ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形12．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x x f x g x a a -+=-+（0a >且1a ≠），若(2)g a =，则函数()22f x x +的单调递增区间为（ ）A ．(1,1)-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(1,)-+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022学年浙江省桐乡市高三下学期联考数学试题(含解析)
2022学年高考数学模拟测试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD．2．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根 3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =+下上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸4．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．225．若实数x ，y 满足条件25024001x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )A ．52B ．1C ．2D ．06．复数z 满足()11z z i -=+ (i 为虚数单位),则z 的值是( )A ．1i +B ．1i -C ．iD ．i -7． “1cos 22α=-”是“3k παπ=+，k Z ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42B ．21C ．7D ．39．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）A ．56B ．60C ．140D ．12010．定义,,a a b a b b a b ≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数21()2sin f x x =-，21()2cos g x x =-，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（ ） A ．23B ．1C ．43D ．211．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．84二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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第 1 页 共 23 页 2020届浙江省嘉兴市桐乡市高级中学高三下学期3月模拟测试数学试题
一、单选题 1．已知集合(,)10Axyxy，(,)20Bxyxy，则ABI（ ）
A．(1,2) B．(1,2) C．1,2 D．
1,2xy
【答案】A 【解析】解方程组得到交点坐标，从而得到结果. 【详解】
解：1020xyxy，得12xy， ∴ABI(1,2) 故选：A 【点睛】 本题考查交集的概念及运算，考查集合的表示方法，属于基础题. 2．已知复数41izi，则z对应的点在复平面内位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A 【解析】利用复数除法运算化简z，由此求得z对应点所在象限. 【详解】
依题意41212211iiziiiii，对应点为2,2，在第一象限. 故选A. 【点睛】 本小题主要考查复数除法运算，考查复数对应点的坐标所在象限，属于基础题. 3．已知236ab，则a，b不可能满足的关系是（）
A．abab B．4ab C．
22112ab
D．
22
8ab 第 2 页 共 23 页
【答案】C 【解析】根据236ab即可得出21l3oga，31l2ogb，根据
23loglog132，33loglog222，即可判断出结果．
【详解】 ∵236ab； ∴226log1og3la，336log1og2lb； ∴2332log2log4ab，2332logog42lab，故,AB正确； 23222232
11loglog2log323log22ab，故C错误；
∵22232223loglog2log2323log2ab
23232324loglogl23oglog82，故D正确
故C． 【点睛】 本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2abab和不等式222abab的应用，属于中档题 4．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A 【解析】由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果. 【详解】 第 3 页 共 23 页
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A. 【点睛】 本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 5．已知ABC中，角A、B所对的边分别是a，b，则“ab”是“AB”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充分必要条件
【答案】D 【解析】由大边对大角定理结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 ABC中，角A、B所对的边分别是a、b，由大边对大角定理知“ab”“AB”，
“AB”“ab”. 因此，“ab” 是“AB”的充分必要条件. 故选：D. 【点睛】 本题考查充分条件、必要条件的判断，考查三角形的性质等基础知识，考查逻辑推理能力，是基础题． 6．已知函数()sin3cosfxaxx的图像的一条对称轴为直线56x，且
12()()4fxfx，则12xx的最小值为( )
A．3 B．0 C．3 D．
2
3
【答案】D 【解析】运用辅助角公式，化简函数fx的解析式，由对称轴的方程，求得a的值，得出函数fx的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案. 【详解】 由题意，函数2()sin3cos3sin()(fxaxxax为辅助角)， 第 4 页 共 23 页
由于函数的对称轴的方程为56x，且53()622af， 即23322aa，解得1a，所以()2sin()3fxx， 又由12()()4fxfx，所以函数必须取得最大值和最小值， 所以可设11152,6xkkZ，2222,6xkkZ， 所以1212222,3xxkkkZ， 当120kk时，12xx的最小值23，故选D. 【点睛】 本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 7．定义域为R的偶函数()fx满足任意xR，有(2)()(1)fxfxf，且当
[2,3]x时，2()21218fxxx.若函数()log(1)ayfxx至少有三个零点，
则a的取值范围是（ ）
A．20,2 B．30,3 C．50,5 D．
60,
6
【答案】B 【解析】由题意可得()fx的周期为2，当[2,3]x时，2()21218fxxx，令()log(1)agxx，则()fx的图像和()gx的图像至少有3个交点，画出图像，数形结
合，根据(2)(2)gf，求得a的取值范围. 【详解】 ()fx是定义域为R的偶函数，满足任意xR，
(2)()(1)fxfxf，令1,(1)(1)(1)xfff，
又(1)(1),(1))(2)(0,ffxfxff， ()fx为周期为2的偶函数，
当[2,3]x时，22()212182(3)fxxxx， 当2[0,1],2[2,3],()(2)2(1)xxfxfxx， 第 5 页 共 23 页
当2[1,0],[0,1],()()2(1)xxfxfxx， 作出(),()fxgx图像，如下图所示： 函数()log(1)ayfxx至少有三个零点， 则()fx的图像和()gx的图像至少有3个交点， ()0fxQ，若1a，
()fx的图像和()gx的图像只有1个交点，不合题意，
所以01a，()fx的图像和()gx的图像至少有3个交点， 则有(2)(2)gf，即log(21)(2)2,log32aaf，
22
1133,,01,033aaaaQ.
故选:B.
【点睛】 本题考查函数周期性及其应用，解题过程中用到了数形结合方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题. 8．在直角坐标平面上，点,Pxy的坐标满足方程2220xxy，点,Qab的坐
标满足方程2268240abab则ybxa的取值范围是（ ） A．22, B．4747,33 C．
13,3
D．
6767,33
【答案】B 第 6 页 共 23 页
【解析】由点,Pxy的坐标满足方程2220xxy，可得P在圆2211xy
上，由,Qab坐标满足方程2268240abab，可得Q在圆22341xy上，则PQybkxa求出两圆内公切线的斜率，利用数形结合可
得结果. 【详解】
Q点,Pxy的坐标满足方程2220xxy，
P在圆2211xy上， ,QabQ在坐标满足方程2268240abab，
Q在圆22341xy上，
则PQybkxa作出两圆的图象如图， 设两圆内公切线为AB与CD， 由图可知ABPQCDkkk， 设两圆内公切线方程为ykxm，
则2211343411kmkkmkmkmk， Q圆心在内公切线两侧，34kmkm，
可得2mk，2222111kmkkk， 化为23830kk，473k，