第2课时——正弦定理(2)(教、学案)
第2课时 正弦定理(优秀经典公开课课件)
＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝
2＋ 4
6，
∴b＝20×
2＋ 4
6＝5
2＋5
6.
[规律方法] 已知两角及一边类型的解题方法
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一边，再由三角形内角和 定理求出第三个角，最后由正弦定理求第三边．
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求第三个角，再由 正弦定理求另外两边．
A．35
B．53
C．37
D．57
解析 根据正弦定理，得ssiinn AB＝ab＝53.
答案 A
4．在△ABC 中，若 B＝30°，b＝2，则sina A＝________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析
a sin
A＝sinb
B＝12＝4.
2
答案 4
02
课堂案 题型探究
题型一 已知三角形两角及一边解三角形 [例 1] 在△ABC 中，已知 c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．
解法二 由已知得ac2osisnBB＝bc2osisnAA， 由正弦定理 sin A＝2aR，sin B＝2bR(R 为△ABC 的外接圆半径)， 得 acos A＝bcos B， 即 sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B，即 2A＝2B 或 2A＝π－2B， ∴A＝B 或 A＋B＝2π. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
[提示]
a sin
A＝2，sinb
B＝sin
630°＝2，sinc
C＝2，三者的值相等．
对于任意的直角三角形是否也有类似的结论？
[提示] 是．如图，∵sin A＝ac， ∴sina A＝c.∵sin B＝bc，∴sinb B＝c. ∵sin C＝1，∴sina A＝sinb B＝sinc C.
高二数学必修5第1章第 2课时学案
高二数学必修5第1章第 2课时学案
1.1正弦定理（二）
［学习目标］
初步运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
［自学质疑］范围：课本P 9～11。
1．什么是正弦定理？它可以解决什么类型的斜三角形？
2．练习：（1）在ΔABC 中，已知A=300，b=26,a=x,若三角形有两解，求x 的范围．
（2）在ΔABC 中，已知,45,30,26600==+=+B A b a 求S c ,．
3．什么叫仰角？什么叫俯角？尝试解决例3并思考此种类型的测量问题如何解决？
4．尝试解决例4并思考正弦定理在判断三角形形状中的作用，解决下列问题： 在ΔABC 中，C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2
222=+，试判断ΔABC 形状．
的外角平分线交BC的延长线于D，此等式是5．尝试解决例5并思考:在ΔABC中，A
否成立？如成立，请你给出证明．
P练习题吗？动动手有问题与同学或老师交流．
6.你能解决教材
10
[矫正反馈]
P3,4,5,6,7.
1．教材习题
11
2．同步导学第2课时．。
正弦定理和余弦定理》(第2课时)
1.1.2 正弦定理利用正弦定理解三角形时，解的问题的探讨：已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA⑵若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a【变式练习】1根据下列已知条件，判定有没有解，若有解，判断解的个数：⑴5=a ，4=b ，120=A ，求B⑵5=a ，4=b ，90=A ，求B⑶5=a ，3310=b ，60=A ，求B ⑷20=a ，28=b ，40=A ，求B⑸60=a ，50=b ，38=A ，求B⑹4=a ，3310=b ，60=A ，求B(⑴120=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示 ⑵ 90=A ,B 只能为锐角,因此仅有一解.图示⑶∵1sin =B ,即90=B ,∴仅有一解. 图示⑷即例2，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题有两解。
⑸即例3，先让学生判断，然后回忆对照。
再次理解本题仅有一解。
⑹由⑶改编，∵60sin 4b a <=，由图知，本题无解)2．已知A,B,C 是ABC ∆的三个内角，求证：cos cos a b C c B =+3．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，求sin sin sin a b cA B C++++的值（*）4. 在ABC ∆中，求证tan2tan 2A Ba b A Ba b --=++作业：1. 在ABC ∆中,已知210=c ,︒=∠45A ,在a 分别为20, ,3320,和5的情况下,求相应的角C.2．在ABC ∆中，b=2a, B=A 60+︒,求A3.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、．若()C a c b +︒=-60cos 2，求角A ．(*)4..课本11页B 组 1。
正弦定理
【学习目标】
1．在三角形中已知两边和其中一边的对角解三角形时会判断解的个数；
2．能运用正弦定理正确解一些斜三角形。
【学习重点】能用正弦定理正确解一些斜三角形
【学习难点】解三角形时会判断解的个数
【学法指导】
1.初中学过的锐角三角函数只能解决直角三角形中的边角问题，今天的正弦定理能解决任意的三角形中的边角问题，是锐角三角函数的推广。
1.在 中，已知 ，解三角形；
小结：
利用正弦定理可以解决的问题：
1、已知两角和任意一边，解三角形——唯一解；
2、已知两边和其中一边的对角——可能出现两解；
【当堂检测】
1.在△ABC中， ，求角A.
2.在△ABC中， , , ,求角B。
有错必改
我的错题目号：____用10－15分钟自学课本P1-P4，并完成【固学预学】。
3.用10－15分钟完成【小组讨论】及小组展示,由组长组织讨论，书写规范，并做好督促、检查。
4.用10分钟完成当堂检测，用5分钟完成改错、总结。
固学预学
1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的的比相等,即。
2．（1）在 中，已知 ， ， ，则 _________；
（2）在 中， ，则 _________；
【小组讨论】
讨论一：已知三角形中，一个内角的正弦值，求角。
在 中，若 则，则
若 则，则
若 则，则
结论：1、三角形内角和定理：
2、三角形内角的范围：
3、三角形内角的正弦值的符号：
讨论二：已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
（1） ，求B（2） ，求B；
讨论三：已知两边和其中一边的对角，解三角形
《1.1 正弦定理》教学案3
第2课时《正弦定理(2)》教学案●三维目标1.知识与技能(1)学会利用正弦定理解决有关平面几何问题以及判断三角形的形状，掌握化归与转化的数学思想；(2)能熟练运用正弦定理解斜三角形．2.过程与方法通过解斜三角形进一步巩固正弦定理，让学生总结本节课的内容．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解斜三角形问题的运算能力；(2)培养学生合情推理探索数学规律的数学思维能力．●重点、难点重点：利用正弦定理判断三角形形状．难点：灵活利用正弦定理以及三角恒等变换公式．教学时要抓住知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合三角形中的边角关系，不断地观察、比较、分析，总结判断三角形形状的方法，揭示其中的规律．教学方案设计●教学建议本节内容安排在学生学习了正弦定理之后，是对正弦定理的应用和深化．因此，建议本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的应用”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．●教学流程结合所提问题，引导学生在复习正弦定理内容的基础上探究正弦定理的各种变形形式.⇒引导学生结合已学三角形面积公式探究已知两边夹角时三角形的面积公式.⇒课前自主导学(对应学生用书第4页)在正弦定理的表达式中，asin A ＝b sin B ＝csin C ，其中比值的几何意义是什么？探索并证明你的结论．【提示】 比值是△ABC 外接圆的直径，可先对直角三角形探索，并推广到一般三角形，其证明过程如下：若△ABC 为锐角三角形，如图所示，连结BD . ∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D . 又∵asin D ＝2Rsin ∠DBC ，∠DBC ＝90°，∴asin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝csin ∠ACB ＝2R .若△ABC 为钝角三角形，不妨设B ＞90°，如图所示，连结BD . ∵A 与D 对应，∴A ＝D ，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝asin D .又∵asin D ＝2R sin ∠DBC ，∠DBC ＝90°，∴a sin D ＝2R 1，∴a sin A ＝b sin ∠ABC ＝c sin ∠ACB ＝2R .正弦定理经常变形如下，以便于边角互化．(1)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ；(2)a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ；(3)a b ＝sin A sin B ，a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin B sin C ；(4)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(5)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C .1．在△ABC 中，已知BC ＝a ，高AD ＝h ，如何计算△ABC 的面积S ？ 【提示】 S ＝12ah .2．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，角C 已知，你能否求出△ABC 的面积？ 【提示】 ∵h ＝AD ＝bsin C ， ∴S △ABC ＝12ah ＝12absin C .S △ABC ＝12absin C ＝12bcsin A ＝12casin B .课堂互动探究 (对应学生用书第4页)例1【思路探究】 画图，由图形可知，不能直接利用面积公式，应由正弦定理求出sin C ，从而求出sin B .【自主解答】 由正弦定理，得7sin 120°＝5sin C ， ∴sin C ＝5314，且C 为锐角， ∴cos C ＝1114，∴sin B ＝sin (180°－120°－C )＝sin (60°－C ) ＝sin 60°·cos C －cos 60°·sin C ＝3314. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×5×7×3314＝1534. 即△ABC 的面积为154 3.规律方法1．由于A ＞90°，所以B ，C 均为锐角，应避免对角C 分类讨论．2．利用两边一夹角公式求△ABC 的面积，应注意已知条件是否符合公式要求，即两边及它们的夹角，否则不能乱用．变式训练△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________．【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32.∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝23； 当C ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3. 故△ABC 的面积是23或 3. 【答案】 23或 3例2 ABC 的形状．【思路探究】 利用正弦定理的变形，将边化为角，再利用三角形内角和定理及三角恒等变换进行转化．【自主解答】 ∵b ＝acos C ， 由正弦定理得sin B ＝sin A ·cos C . ∵B ＝π－(A ＋C )，∴sin (A ＋C )＝sin A ·cos C .即sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A ·cos C ， ∴cos A sin C ＝0. ∵A 、C ∈(0，π)， ∴cos A ＝0，A ＝π2， ∴△ABC 为直角三角形．规律方法1．确定三角形的形状主要有两条途径： (1)化边为角； (2)化角为边．2．确定三角形形状的思想方法：先将条件中的边角关系由正弦定理统一为角角或边边关系，再由三角变形或代数变形分解因式，判定形状．在变形过程中要注意等式两端的公因式不要约掉，应移项提取公因式，否则会有漏掉一种解的可能．互动探究若将条件“b ＝acos C ”换为“bcos A ＝acos B ”，试判断△ABC 的形状．【解】 ∵bcos A ＝acos B ，∴sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin (A －B )＝0，∴A －B ＝0，∴A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形．例3 距离台风中心250 km 的范围内将会受其影响．如果台风风速不变，那么该城市在多长时间后开始受到台风的影响？这种影响将持续多长时间？(精确到0.1 h )【思路探究】 本题实质上是三角形中已知两边和其中一边所对的角，解三角形问题． 【自主解答】 如图所示，该城市位于点A ，台风中心点B 在点A 的正东方向300 km 处，以40 km /h 的速度向西北方向移动．设经过t 1小时，该城市受到影响，经过t 2小时，台风刚好离开，城市受影响的时间为t 小时．则在△ABC 1中，AB ＝300 km ，AC 1＝250 km ，AC 2＝250 km ，BC 1＝40t 2 km ，B ＝45°，由正弦定理得AC 1sin B ＝AB sin ∠AC 1B ＝BC 1sin ∠C 1AB ， 即sin ∠AC 1B ＝AB sin B AC 1＝352≈0.8485，∴∠AC 1B ≈58.05°，∠AC 2B ≈121.95°.当∠AC 1B ≈58.05°时，∠C 1AB ＝180°－(B ＋∠AC 1B )≈76.95°，BC 1＝AC 1sin ∠C 1AB sin B ≈344.42(km )，此时t 2＝BC 140≈8.6(h )．同理，当∠AC 2B ≈121.95°时，BC 2≈79.83(km )，t 1≈2.0(h )．t ＝t 2－t 1≈8.6－2.0＝6.6(h )．答：约2小时后该城市开始受到台风影响，持续时间约为6.6 h .规律方法1．解决正弦定理的实际应用问题的关键是根据题意将已知量置于可解的三角形中，通过正弦定理与其他知识解三角形后，根据实际问题得出结论．2．以三角形为数学模型求解实际问题时，要正确使用仰角，俯角，方位角，方向角等概念，依此得出相应的三角形内角的大小．变式训练甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 点处，测得乙船以每小时a 海里的速度向正北行驶．已知甲船的速度是每小时3a 海里，则甲船应如何航行才能最快地与乙船相遇？【解】 如图所示，设这两船最快在C 点相遇，在△ABC 中，B ＝120°，AB 为定值，A C ，BC 分别是甲船与乙船在相同时间内的行程，由已知条件有AC ∶BC ＝3a ∶a ＝3∶1，由正弦定理得sin ∠CAB ＝BC AC sin B ＝13sin 120°＝12，又0°＜∠CAB ＜60°，∴∠CAB ＝30°.故甲船的航向是北偏东60°－∠CAB ＝60°－30°＝30°. 故甲船向北偏东30°的方向航行，才能最快地与乙船相遇．易错易误解析(对应学生用书第5页)判断三角形形状时忽略隐含条件而致误典例在△ABC 中，(a 2＋b 2)sin (A －B )＝(a 2－b 2)·sin (A ＋B )，试判断△ABC 的形状．【错解】 由已知得a 2[sin (A －B )－sin (A ＋B )]＝b 2[－sin (A ＋B )－sin (A －B )]，所以2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A .由正弦定理，得sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， 所以sin 2A ＝sin 2B .所以2A ＝2B ，即A ＝B . 所以△ABC 为等腰三角形．【错因分析】 解题过程中忽略角的范围这一限制条件，约分时应指出sin A ≠0，sin B ≠0.同时由sin 2A ＝sin 2B 及角2A ，2B 的范围应得出两种情况：2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π.出现上述错误的主要原因就是三角函数的知识掌握得不扎实．【防范措施】 在进行有关三角形内角的三角恒等变换时，先讨论角的范围，然后在所求范围内，由三角恒等式讨论角的关系．【正解】 由(a 2＋b 2)sin (A －B )＝(a 2－b 2)sin (A ＋B )， 得a 2[sin (A ＋B )－sin (A －B )]＝b 2[sin (A ＋B )＋sin (A －B )]， 所以2a 2sin B cos A ＝2b 2sin A cos B .由正弦定理得sin 2A cos A sin B ＝sin 2B sin A cos B .因为A ，B ∈(0，π)，所以sin A ＞0，sin B ＞0， 所以sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . 因为0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π，所以2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2， 所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形．1．基础知识： (1)三角形面积公式； (2)正弦定理的深化及变化．2．基本技能：(1)求三角形的面积；(2)判断三角形形状；(3)正弦定理的综合应用与实际应用．3．思想方法：(1)转化与化归思想；(2)数学建模；(3)公式法求面积．当堂双基达标(对应学生用书第6页)1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，C ＝120°，则sin A ∶sin B ＝________.【解析】 sin A ∶sin B ＝a 2R ∶b2R ＝a ∶b ＝5∶3.【答案】 5∶32．已知△ABC 中，AB ＝6，A ＝30°，B ＝120°，则△ABC 的面积为________．【解析】 由BC sin A ＝ABsin C ，得BC ＝6， ∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝9 3. 【答案】 9 33．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离是________千米．【解析】 如图所示，∠C ＝180°－60°－75°＝45°.由正弦定理AC sin B ＝ABsin C 得 AC ＝AB ·sin Bsin C ＝2×3222＝ 6.【答案】64．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，若a b ＝cos Bcos A ，试判断△ABC的形状．【解】 由正弦定理得a b ＝sin Asin B ，所以，a b ＝cos B cos A ⇒sin A sin B ＝cos Bcos A ⇒sin A cos A＝sin B cos B ⇒sin 2A ＝sin 2B ⇒2A ＝2B 或2A ＝π－2B ⇒A ＝B 或A ＋B ＝π2， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.课后知能检测(对应学生用书第80页)一、填空题1．(2013·岳阳高二检测)在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，则A 、B 、C 分别所对边a ∶b ∶c ＝________.【解析】 a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4.【答案】 3∶2∶42．(2013·无锡检测)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，∠A ＝60°，AC＝23，S △ABC ＝92，则AB ＝________.【解析】 ∵S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12AB ×23×32＝32AB ， ∴32AB ＝92，∴AB ＝3.【答案】 33．(2013·南通检测)在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin A cos C ＝sin B ，则ac ＝________.【解析】 ∵2sin A cos C ＝sin (A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C∴sin A cos C －cos A sin C ＝0，∴sin (A －C )＝0.∴A ＝C ，∴ac ＝1.【答案】 14．在△ABC 中，若a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，则△ABC 一定是________三角形． 【解析】 ∵a cos A 2＝b cos B 2＝c cos C 2，∴sin A cos A 2＝sin B cos B 2＝sin C cos C 2，∴sin A2＝sin B 2＝sin C 2.∵0°＜A 2，B 2，C 2＜90°， ∴A 2＝B 2＝C 2，∴A ＝B ＝C ，∴△ABC 为等边三角形．【答案】 等边5．在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝________.【解析】 ∵a sin A ＝bsin B ，∴sin B ＝b sin A a ＝33.∵b ＜a ，∴B ＜A ，∴B 为锐角，∴cos B ＝63.【答案】 636．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，m ＝(a 2，b 2)，n ＝(tan A ，tan B )，且m ∥n ，那么△ABC 一定是________三角形．【解析】 ∵m ∥n ，∴a 2tan B ＝b 2tan A ，∴sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ， ∴sin A cos B ＝sin Bcos A ，∴sin 2A ＝sin 2B∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 是等腰或直角三角形．【答案】 等腰或直角7．(2013·德州高二检测)△ABC 中，B ＝60°，最大边与最小边之比为(3＋1)∶2，则最大角为________．【解析】 设最小角为α，则最大角为120°－α，∴－αsin α＝3＋12，∴2sin (120°－α)＝(3＋1)sin α，∴sin α＝cos α，∴α＝45°，∴最大角为120°－45°＝75°.【答案】 75°8．在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，则AC ＋AB 的取值范围是________．【解析】 根据正弦定理，得AC ＝BC sin Bsin A ＝23sin B ，AB ＝BC sin Csin A ＝23sin C ，∴AC ＋AB ＝23(sin B ＋sin C )＝23[sin B ＋sin (2π3－B )]＝23(sin B ＋32cos B ＋12sin B )＝6sin (B ＋π6)．∵0＜B ＜2π3， ∴π6＜B ＋π6＜5π6， ∴12＜sin (B ＋π6)≤1，∴3＜6sin (B ＋π6)≤6.∴AC ＋AB 的取值范围是(3，6]．【答案】 (3，6]二、解答题9．(2013·如皋检测)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝45，b ＝ 3.(1)求sin C 的值；(2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵cos A ＝45，∴sin A ＝35，∴sin C ＝sin (A ＋B )＝35×12＋45×32＝110(3＋43)．(2)由正弦定理asin A ＝b sin B ， ∴a ＝b sin Asin B ＝3×3532＝65，∴S ＝12absin C ＝12×65×3×3＋4310＝93＋3650.10．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状．【解】 ∵A 、B 、C 是三角形的内角，∴A ＝π－(B ＋C )，∴sin A ＝sin (B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝2sin B cos C .∴sin B cos C －cos B sin C ＝0，∴sin (B －C )＝0.又∵0＜B ＜π，0＜C ＜π，∴－π＜B －C ＜π，∴B ＝C .又∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，且a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ，(R 为△ABC 外接圆的半径)可得a 2＝b 2＋c 2，∴A 是直角，∴△ABC 是等腰直角三角形．11．在△ABC 中，若C ＝3B ，求c b 的取值范围．【解】 由正弦定理可知c b ＝sin C sin B ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2Bsin B＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ，故0°＜B ＜45°，22＜cos B ＜1， 所以12＜cos 2B ＜1，所以1＜4cos 2B －1＜3，故1＜cb ＜3. 即cb 的取值范围是(1，3)．教师备课资源备选例题在△ABC 中，求证a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .【思路探究】 由正弦定理把等式左边统一为角的三角函数，通过三角变换证明．【证明】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C .左边＝2R sin A －2R sin C ·cos B2R sin B －2R sin C ·cos A＝sin A －sin C ·cos Bsin B －sin C ·cos A ＝B ＋C －sin C ·cos B A ＋C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C －sin C ·cos Bsin A ·cos C ＋cos A ·sin C －sin C ·cos A＝sin B ·cos C sin A ·cos C ＝sin Bsin A ＝右边．所以a －c cos B b －c cos A ＝sin Bsin A .备选变式如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β.(1)求证sin α＋cos 2β＝0；(2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin (2β－π2)＝－cos 2β，即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC ，即DCsin α＝AC π－β，即DCsin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α.由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)，即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或sin β＝－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32， 所以β＝π3.拓展三角形中的几个隐含条件1．A ＋B ＋C ＝π.2．sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C2.3．sin (A ＋B )＝sin C ，cos (A ＋B )＝－cos C .4．任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 5．在△ABC 中，sin A ＞sin B ⇔A ＞B ⇔a ＞b ；A ＞B ⇔cos A ＜cos B .。
2第2课时 正弦定理PPT课件
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于直角三角形．( × )
(2)在△ABC 中必有 asin A＝bsin B．(× ) (3)在△ABC 中，若 a＞b，则必有 sin A>sin B．( √ )
(4)在△ABC 中，若 sin A＝sin B，则必有 A＝B.( √ )
栏目 导引
第六章 平面向量及其应用
2．正弦定理的变形
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1.1.1 正弦定理第二课时导学案(学生版)
1.1 正弦定理与余弦定理1．1.1 正弦定理导学案（第二课时）【知识目标】1、通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2、能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.教学难点：正弦定理的推导教学重点：正弦定理的应用【教学过程】《复习回顾》1．正弦定理文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
符号语言：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C2.正弦定理的常见变形：（1）sin sin a b A B =2sin c R C==， (2)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (3a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (4) sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R . 《典例分析》类型一：已知两角及一边解三角形【例1】在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形.【跟踪练习】在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .类型二：已知两边及其中一边的对角解三角形【例2】在△ABC 中，已知c ＝6，A ＝45°，a ＝2，解这个三角形.【小结】已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中大边对大角看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两组解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.【跟踪练习】在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求A ，C ，c .类型三：三角形形状的判断【例3】在△ABC 中，a cos )2(A -π＝b cos )2(B -π，判断△ABC 的形状．【小结】利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径(1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a ＝b ，a 2＋b 2＝c 2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. (2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ．【跟踪练习】在△ABC 中，b sin B ＝c sin C 且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断三角形的形状.《当堂检测》1．△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，b ＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．2 C. 3 D ．232.在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，B ＝60°，那么A 等于( )A.135°B.90°C.45°D.30°3.在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C等于( ) A.833 B.2393 C.2833D.23 4、在△ABC 中，BC ＝a ＝4，AC ＝b ，AB ＝c ＝26，A ＝45°，求b ，B 和C .5.在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状.《课堂小结》1.正弦定理的应用：①已知两角和任一边，求其他两边和一角.①已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.2.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.。
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第2课时 正弦定理（2） 【学习导航】
知识网络 正弦定理→测量问题中的应用
学习要求
1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；
2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】
自学评价
1．正弦定理：在△ABC 中，===C
c B b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，B R b sin 2=，C R c sin 2=
（2）R a A 2sin =，R b B 2sin =，R
c C 2sin = 2．三角形的面积公式：
（1）C ab s sin 2
1==A bc sin 21=B ca sin 21 （2）s=C B A R sin sin sin 22
（3）R
abc s 4= 【精典范例】
【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）． 分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑
解△ＡＢＤ．
【解】
过点Ｄ 作ＤＥ ∥ＡＣ 交ＢＣ 于Ｅ，因为 ∠ＤＡＣ ＝２
０°，所以∠ＡＤＥ＝１６０°，于是∠ＡＤＢ＝３６０°－１６０°－６５°＝１３５°．又∠ＢＡＤ＝３５°－２０°＝１５°，所以∠ＡＢＤ＝３０°． 在△ＡＢＤ中，由正弦定理，得21000sin sin =∠∠=ABD ADB AD AB （ｍ）．
在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ＡＢｓｉｎ３５°＝１0002ｓｉｎ３５°≈８１１（ｍ）． 答 山的高度约为８１１ｍ．
【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？
（819.055sin ,766.050sin 00≈≈）
分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；
（2）求三角形的高。
【解】
（1）先分别沿A 、B 延长断边，确定交点C ，∠C=1800-∠A-∠B ，用
正弦定理算出AC 或BC ；sin sin AB AC B C
=⋅ 00120sin 55101.8sin 75
=⋅≈ （2）设高为h ，则
7850sin 8.101sin 0≈⋅=⋅=A AC h
【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（请用计算器解答，精确到1.0）
【解】
连接BD ，设∠BDC=α，则由正弦定理知
DBC
DC BDC BC ∠=∠sin sin ，即 )
60sin(50sin 700αα-= 05.3517
37tan ≈⇒=⇒αα，从而有 0005.695.35105=-=∠BDA ，
4.1045
.35sin 120sin 00≈⇒=BD BC BD ，由 于BAD
BD BDA AB ∠=∠sin sin ，即 2.10175
sin 4.1045.69sin 00≈⇒=AB AB ， 而梯形的高
33560sin 70sin 0==∠=ABC BC h 所以有1()2
ABCD S CD AB h =+ 1
(50101.2)4583.02
=+⋅
注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。
【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、
∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若a =4，b =5，S =35，求c 的长度。
【解】
由三角形的面积公式得：11sin 45sin
22S ab C C ==⋅⋅⋅ sin C ==
1cos 2
C c ⇒=±⇒=
=， 6121或=c 追踪训练一
1．海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是 ( D
A.103海里
B.
3610海里 C. 52海里 D.56海里
2．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长( A )
A. 1公里
B. sin10°公里
C. cos10°公里
D. cos20°公里
3．如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ
【解】在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒ 由正弦定理： 15
sin 30sin 100BC = ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：
)
90sin(15sin 20045sin 50θ+=
⇒c os θ =13-, ∴θ = 4294︒
【选修延伸】
【例5】在湖面上高h 处，测得云彩仰角为α，而湖中云彩影的俯角为β，求云彩高.
【解】C 、C ’关于点B 对称，设云高C E = x ，
则CD = x - h ，C ’D = x + h ，
在R t △ACD 中，α-=α=
tan tan h x CD AD 在R t △AC ’D 中，β
+=β=tan tan 'h x D C AD , ∴β
+=α-tan tan h x h x 解得 )sin()sin(tan tan tan tan α-βα+β⋅=α-βα+β⋅
=h h x . 追踪训练二
1．一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°， 另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时 ( C )
A.5海里
B.53
海里
C.10海里
D.103海里
2．某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差，则第一辆车与第二辆车的距离1d 与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为 ( C )
A. 21d d >
B. 21d d =
C. 21d d <
D. 不能确定大小。