数学北师大版八年级下册平行线的判定
北师大版八年级数学下册 判定平行四边形的五种常用方法
5．(中考·哈尔滨)如图①，在▱ ABCD 中，点 O 是对角线 AC 的 中点，EF 过点 O，且 EF 与 AD，BC 分别相交于点 E，F， GH 过点 O，且 GH 与 AB，CD 分别相交于点 G，H，连接 EG，FG，FH，EH.
(1)求证：四边形 EGFH 是平行四边形；
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
3．(中考·青海)如图，在▱ ABCD 中，点 E，F 在对角线 AC 上， 且 AE＝CF.求证：
(2)四边形 DEBF 是平行四边形．
证明：由(1)，可知△ADE≌△CBF， ∴∠ADE＝∠CBF. ∵∠DEF＝∠DAE＋∠ADE，∠BFE＝∠BCF＋∠CBF， ∴∠DEF＝∠BFE，∴DE∥BF， 又∵DE＝BF， ∴四边形 DEBF 是平行四边形．
4．(2018·巴中)如图，在▱ ABCD 中，过 B 点作 BM⊥AC 于点 E， 交 CD 于点 M，过 D 点作 DN⊥AC 于点 F，交 AB 于点 N.
(2)已知 AF＝12，EM＝5，求 AN 的长． 解：∵四边形 BMDN 是平行四边形， ∴DM＝BN. ∵CD＝AB，CD∥AB，∴CM＝AN，∠MCE＝∠NAF. ∵∠CEM＝∠AFN＝90°，∴△CEM≌△AFN，∴FN＝EM＝5.
第六章 平行四边形
阶段方法专训 判定平行四边形的五种常用方法
1．如图，已知△ABD，△BCE，△ACF 都是等边三角形． 求证：四边形 ADEF 是平行四边形．
证明：∵△ABD，△BCE 都是等边三角形， ∴BA＝BD，BC＝BE，∠DBA＝∠EBC＝60°. ∴∠EBC－∠EBA＝∠DBA－∠EBA.∴∠ABC＝∠DBE. ∴△ABC≌△DBE(SAS)． ∴AC＝DE.
解：与四边形 AGHD 面积相等的 平行四边形有▱ GBCH，▱ ABFE，
北师大版八年级数学(上)第七章 平行线的证明 第4节 平行线的判定
B．∠2＝∠4
C．∠A＝∠5
D．∠ABC+∠C＝180°
解：A、∠1＝∠3 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 A 错误；
B、∠4＝∠2 能判断 AD∥BC，故 B 正确；
C、∠A＝∠5 可知 AB∥CD，不能判断 AD∥BC，故 C 错误；
平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么 这两条直线平行.
简已述知为：知：如内图识错,∠点角1和相∠等2，是两直直线线a，平b行被.直线c截出的内错角，且∠1=∠2.
求证：a// b. 证明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（对顶角相等）， ∴∠3=∠2（等量代换）. ∴a//b（同位角相等，两直线平行）.
解：A、∵∠A＝∠BDF，∴DF∥AC，错误；
B、∵∠1＝∠3，∴DF∥AC，错误；
C、∵∠2＝∠4，∴DE∥BC，正确；
D、∵∠A+∠ADF＝180°，∴DF∥AC，错误；故选：C．
例 2：已知：如图，在△ABC 中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为 D，F，∠1＝∠2．
求证：DE∥BC．
证明：∵BD⊥AC，EF⊥AC，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴EF∥BD，∴∠1＝∠EDB，
当∠3＝∠4 时，可知是 DE 和 AC 被 AB 所截得到的内错角，可得 DE∥AC，故 C 可以；
当∠2+∠A＝180°时，是一对同旁内角，可得 DE∥AC；故 D 可以；故选：B．
练习：如图，下列四个条件中，能判断 DE∥BC 的是（ ）
A．∠A＝∠BDF
B．∠l＝∠3
C．∠2＝∠4
D．∠A+∠ADF＝180°
练习：四边形 ABCD 中，∠A＝∠C＝90°，BE、DF 分别是∠ABC、∠ADC 的平分线．求证：
北师大版数学八年级下册6.2 平行四边形的判定(第2课时)同步课件
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
探究新知
核心知识点二： 平行四边形的判定定理4
思考：我们可以从角出发来判定一个四边形是否为
平行四边形吗？
A
D
B
B、②和③
A
D
C、②和④
D、只有④
B
课堂练习
2. 在四边形ABCD中，AC交BD于点O，且AB∥CD，给出以下四种说法：
①如果再加上条件“BC＝AD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；②
如果再加上条件“∠BAD＝∠BCD”，那么四边形ABCD一定是平行四边形
；③如果再加上条件“AO＝OC”，那么四边形ABCD一定是平行四边形；
探究新知
归纳总结 平行四边形的判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形.
文字语言
∵OA=OC,OB=OD ∴ 四边形ABCD是平行四边形
符号语言
图形语言
探究新知
例:已知,如图,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线AC上， 并且AE=CF． 求证:四边形BFDE是平行四边形吗？ 证明: 如图,连接BD，交AC于点O.
探究新知
核心知识点一： 平行四边形的判定定理3
小明将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固 定，再用一根橡皮筋绕端点A，B，C，D围成一个四边 形ABCD，小明高兴地说：‘’这的确是个平行四边形！”
猜想：对角线互相平分的四边 形是平行四边形 你能证明他的猜想吗？
探究新知
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
∴△ABE≌△FCE（AAS）. ∴AE=EF. 又∵BE=CE，∴四边形ABFC是平行四边形．
北师大版数学八年级下册平行四边形的判定课件
A．AB的长就是l1与l2之间的距离 B．AB＝CD C．HE的长就是l1与l2之间的距离 D．HE＝FG
跟踪练习
牛刀小试
2．如图，直线AB∥CD，P是AB上的动点，当点P的位置变化 时，三角形PCD的面积将( )
一个四边形为平行四边形？
课堂检测
能力提升题
2.如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间 的距离都等于1.若等腰直角三角形ABC的三 个顶点分别在这三条平行直线上,求斜边AB的
长.
分析:利用平行线间的距离相等构造全等三角形,然后利用勾股定
理求AB的长.
解:如图,过点A作AD⊥l1于点D,过点B
经过度量，我们发现这些垂线段的长度都相等 (从图中也可以看到这一点)．
猜想：平行线间距离处处相等.
探索新知
理论证明
例3：如图，直线a//b，A，B是直线a上任意两点， AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C,D.求证：AC=BD．
证明：∵AC⊥CD，BDC∥BD.
课题：平行四边形判定（3）
学习目标
1.探索并证明平行四边形其他相关的结论，发展演 绎能力；
2.利用平行四边形的判定研究“夹在平行线之间的 平行线段相等”，并理解平行线之间的距离；
3.能够综合运用平行四边形的判定定理和性质进行 计算和证明．
复习导入
平行四边形的判定方法
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 从边来判定 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
巩固练习
1. 如图：平行四边形ABCD中，∠ABC=700，∠ABC的平分线交AD 于点E,过D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数.
(精华讲义)数学北师大版八年级下册平行四边形的判定
平行四边形的判定一、平行四边形的判定定理平行四边形的性质：两组对边分别平行;两组对边分别相等;对角线互相平分;两组对角分别相等。
一、考虑“对边”关系 思路1：证明两组对边分别相等例1 如图1所示，在△ABC 中,∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上,并且AF ＝CE.求证:四边形ACEF 是平行四边形。
证明：∵DE 是BC 的垂直平分线， ∴DF⊥BC，DB = DC. ∴∠FDB = ∠ACB = 90°. ∴DF∥AC .∴CE = AE =21AB 。
∴∠1 = ∠2 .又∵EF∥AC，AF = CE = AE ， ∴∠2 =∠1 =∠3 =∠F。
∴△ACE≌△EFA。
∴AC = EF 。
∴四边形ACEF 是平行四边形。
ABCDEF（图1）123思路2：证明两组对边分别平行例 2 已知：如图2,在△ABC 中，AB ＝AC,E 是AB 的中点,D 在BC 上,延长ED 到F,使ED = DF = EB 。
连结FC.求证:四边形AEFC 是平行四边形。
证明：∵AB＝AC ，∴∠B =∠ACB。
∵ED = EB，∴∠B =∠EDB .∴∠ACB =∠EDB。
∴EF∥AC。
∵E 是AB 的中点，∴BD = CD.∵∠EDB =∠FDC，ED = DF ， ∴△EDB≌△FDC. ∴∠DEB =∠F. ∴AB∥CF。
∴四边形AEFC 是平行四边形.思路3：证明一组对边平行且相等例3 如图3，已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点,AE = CF,M 、N 分别是DE 、BF 的中点。
求证：四边形ENFM 是平行四边形. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD = BC,∠A =∠C 。
又∵AE = CF ，∴△ADE≌△CBF.∴∠1 =∠2，DE = BF . ∵M、N 分别是DE 、BF 的中点， ∴EM = FN 。
6.2.2 平行四边形的判定(2)北师大版数学八年级下册课件
问题2：在笔直的铁轨上,夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长? 你能说明理由吗 ?解：猜想:平行线间距离处处相等. 如图,直线 a∥b,A,B 是直线 a 上任意两点,AC⊥b,BD⊥b,垂足分别为 C,D. 求证:AC=BD. 证明:∵ AC⊥CD,BD⊥CD,∴ ∠1=∠2=90°.∴ AC∥BD. ∵ AB∥CD,∴ 四边形 ACDB 是平行四边形.∴ AC=BD.
三 教学过程
1.知识回顾
我们上节学习的平行四边形的判定有哪些?
解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形 是平行四边形.
2.探究新知
问题1：将两根木条 AC,BD 的中点重叠,并用钉子固定,四边形 ABCD 看起来是平行四 边形.于是猜想:对角线互相平分的四边形是平行四边形.你同意上边的猜想吗? 尝试 证明一下. 解：同意.已知:四边形 ABCD 中, OA=OC,OB=OD. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形. 证明:∵ OA=OC,OD=OB.∠AOD=∠COB,∴ △AOD≌△COB. ∴ AD=CB,∠ADO=∠CBO.∴ AD∥CB. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形).
4.巩固练习 完成教材课 后同步练习
5.课堂小结
1.平行四边形的判定定理 3. 2.平行线的距离.
3.例题精讲
例1 已知:如左图,E、F是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上的两点,并且 AE=CF. 求证:四边形 BFDE 是平行四边形. 证明：如右图,连接 BD,交 AC 于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AO=CO,BO=DO. ∵ AE=CF. ∴ AO-AE=CO-CF. ∴ EO=FO. ∴ 四边形 BFDE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).
北师版八年级数学下册课件 第六章 平行四边形 平行四边形的判定 第2课时 利用对角线判定平行四边形
12．(10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别 为E，F，BG⊥AC，DH⊥AC，垂足分别为G，H，试判断四边形GEHF的形状， 并说明理由．
解：先证△AOE≌△COF，得OE＝OF，再证△BOG≌△DOH，得OG＝OH， ∴四边形GEHF是平行四边形
【素养提升】 13．(12分)在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点E，使DE＝AD，连 接BE和CE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，易得四边形ABEC是平行 四边形．这种方法是数学证明中常用的一种添辅助线的方法，叫做“倍长中线 法”． 请用这种方法解决下面的问题： 如图，在△ABC中，AB＝AC，延长AB到点D，使DB＝AB，E是AB的中点．求 证：CD＝2CE.
三、解答题(共42分) 10．(10分)(教材P144例2变式)如图，在▱ABCD中，点E，F分别为对角线BD， DB延长线上的两点，且BE＝DF，求证：四边形AFCE是平行四边形．
证明：连接AC，交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC， OB＝OD.又∵BE＝DF，∴BE－OB＝DF－OD，即OE＝OF，∴四边形AFCE是 平行四边形
二、填空题(每小题6分，共12分) 8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，给出下列四个条件：① AD∥BC；②AD＝BC；③OA＝OC；④OB＝OD.从中任选两个条件，能使四边 形ABCD为平行四边形的选法有__4__种． 9.
如图，线段AB，CD相交于点O，且图上各点把线段AB，CD四等分，则这些 点可以构成__4__个平行四边形．
数学 八年级下册 北师版
第六章 平行四边形
6.2 平行四边形的判定
第2课时 利用对角线判定平行四边形
八年级数学平行线的证明知识点
八年级数学平行线的证明知识点
在八年级数学中，学生学习了平行线的证明。
以下是一些相关的知识点：
1. 平行线的定义：两条直线在同一个平面内如果不相交，且不在同一直线上的任一点到另一条直线的距离相等，则这两条直线互为平行线。
2. 平行线的性质：
a. 平行线之间永远不会相交。
b. 平行线与同一条横截线所产生的对应角、同位角和内错角等对应角相等。
c. 平行线与同位角加内错角之和等于180度。
3. 平行线的证明方法：
a. 直线内角和为180度。
b. 两线条间的夹角关系：例如，错位角、锐角与钝角之间的关系。
c. 线条与横截线之间夹角的性质：例如，顶角定理和同位角定理。
4. 平行线的证明步骤：
a. 根据已知条件写出证明目标。
b. 根据性质和定义选择合适的性质或定理。
c. 根据所选的性质或定理给出相关的逻辑推理。
d. 使用逻辑推理来证明所需要的结论。
需要注意的是，平行线的证明通常是通过以证明反证法的方式进行。
也就是首先假设两条直线不平行，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而推出两条直线是平行的。
2024八年级数学上册第七章平行线的证明3平行线的判定课件新版北师大版
复习导入
图片导入
情境导入
1.阅读课本172－173页并完成以下问题．
2.
平行线的判定定理1 平行线的判定定理2 平行线的判定定理3
___同__位__角__相等，两 _内__错__角___相等，两直 同旁内角__互__补_，两直
直线平行
线平行
线平行
图例
几何 语言
因为_∠_1_＝__∠__2___， 因为__∠_1_＝__∠__2__，所 因为_∠_1_＋___∠_2_＝__1_8_0_°__，
所以__a_∥__b_
以__a_∥__b_
所以__a_∥_b__
3.如图，根据条件完成填空： (1)因为∠1＝∠A(已知)，所以_A_D_∥_B_C_．(_同__位__角__相__等__，__两__直__线__平__行__) (2)因为∠3＝∠4(已知)，所以_D__C_∥_A__B_．(_内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行__) (3)因为∠2＝∠5(已知)，所以__A_D_∥__B_C_．(__内__错__角__相__等__，__两__直__线__平__行_) (4)因为∠ADC＋∠C＝180°(已知)，所以 _A_D_∥_B_C__．(__同__旁__内__角__互__补__，__两__直__线__平__行____)
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点：平行线的判定(重、难点)
同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行．
特别说明：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行， 即由数推形.
【题型】利用判定定理证明平行
例1：如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断
3 平行线的判定
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平行线的判定
一、教学目标
1．了解推理、证明的格式，理解判定定理的证法．
2．掌握平行线的第二个判定定理，会用判定公理及定理进行简
单的推理论证．
3．通过第二个判定定理的推导，培养学生分析问题、进行推理
的能力．
4．使学生了解知识来源于实践，又服务于实践，只有学好文化
知识，才有解决实际问题的本领，从而对学生进行学习目的的教
育．
二、学法引导
1．教师教法：启发式引导发现法．
2．学生学法：积极参与、主动发现、发展思维．
三、重点·难点及解决办法
（一）重点
判定定理的推导和例题的解答．
（二）难点
使用符号语言进行推理．
（三）解决办法
1．通过教师正确引导，学生积极思维，发现定理，解决重点．
2．通过教师指导，学生自行完成推理过程，解决难点及疑点．
四、课时安排
1课时
五、教具学具准备
三角板、投影仪、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．通过设计练习，复习基础，创造情境，引入新课．
2．通过教师指导，学生探索新知，练习巩固，完成新授．
3．通过学生自己总结完成小结．