空间几何体表面积和体积—小题狂刷2020年高考数学(理)(含解析)

狂刷33空间几何体的表面积和体积1．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积A．缩小为原来的34B．缩小为原来的23C．扩大为原来的2倍D．不变2．球的体积是32π3，则此球的表面积是A．12πB．16πC．16π3D．64π33．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．43B．53C．73D．524．将边长为2的正ΔABC沿高AD折成直二面角B−AD−C，则三棱锥B−ACD的外接球的表面积是A．20πB．10πC．203πD．5π5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．2831)π+B ．32π＋C ．32(31)π+D ．283π＋6．如图，在三棱锥V −ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC,ΔVAB 为等边三角形，AC ⊥BC, AC =BC =√2，其中O,M 分别为AB,VA 的中点，则三棱锥B −MOC 的体积为A 3B 3C 3D 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为8，则这个球的表面积为________.8．如图，网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．9．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图(单位：寸)如图所示，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为__________.11．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形)，则该三棱锥的体积为A ．4B ．8C ．16D ．2412．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -的体积的最大值为36，则球O 的表面积为A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π13．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A ．4+4√2B ．4+6√2C ．6+4√2D ．6+6√214．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．3500πcm 3 B ．3866πcm 3 C ．31372πcm 3D ．32048πcm 315．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．25π3 B ．26π3 C ．22π3D ．23π316．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A ．πB ．2C ．4D ．617．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32，则a 的值为A ．14 B ．13C ．12D ．118．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π19．如图①，矩形ABCD 的边7BC =BCM 的边2BM =，3CM =，沿BC 把三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -，使得M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．20．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．6π C ．6πD 6π21．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是A ．158B ．162C ．182D ．32422．【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．2B ．4C ．6D ．823．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183 C ．243D ．54324．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π25．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4 C ．π2D ．π426．【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是俯视图正视图2211A ．12π+ B ．32π+ C ．312π+D ．332π+ 27．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.28．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．29．【201925底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________．30．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .31．【2018年高考江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．32．【2018年高考天津卷理数】已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 .33．【2018年高考全国II 卷理数】已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为515__________．34．【2017年高考全国I 卷理数】如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为 .35．【2017年高考山东卷理数】由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 .36．【2017年高考天津卷理数】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为___________．37．【2017年高考江苏卷】如图，在圆柱12O O 内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12V V 的值是 .141．若圆锥的高扩大为原来的3倍，底面半径缩短为原来的12，则圆锥的体积 A ．缩小为原来的34B ．缩小为原来的23C ．扩大为原来的2倍D ．不变【答案】A【解析】设原来的圆锥底面半径为r ，高为h ，该圆锥的体积为21π3V r h =， 变化后的圆锥底面半径为12r ，高为3h ， 该圆锥的体积为221131π3π3243V r h r h ⎛⎫'=⨯⨯=⨯ ⎪⎝⎭，变化后的圆锥的体积缩小到原来的34.故选A.【名师点睛】本题考查圆锥体积的计算，考查变化后的圆锥体积的变化，解题关键就是圆锥体积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.设原来的圆锥底面半径为r ，高为h ，可得出变化后的圆锥的底面半径为12r ，高为3h ，利用圆锥的体积公式可得出结果. 2．球的体积是32π3，则此球的表面积是A ．12πB ．16πC ．16π3 D ．64π3【答案】B【解析】设球的半径为R ，则3432ππ33V R ==，∴R =2，∴此球的表面积S =4πR 2=16π． 故选B.3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．43 B ．53C ．73D ．52【答案】A【解析】该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，底面三角形的面积为12112S =⨯⨯=，三棱柱和三棱锥的高均为1，则三棱柱的体积为1111V =⨯=，三棱锥的体积为2111133V =⨯⨯=， 故该几何体的体积为14133V =+=. 故选A.【名师点睛】本题考查了空间组合体的三视图，考查了学生的空间想象能力，属于基础题.该空间几何体是由具有相同底面和高的三棱柱和三棱锥组合而成，分别求出体积即可.4．将边长为2的正ΔABC 沿高AD 折成直二面角B −AD −C ，则三棱锥B −ACD 的外接球的表面积是 A ．20π B ．10π C ．203πD ．5π【答案】D【解析】根据题意可知三棱锥B -ACD 的三条侧棱BD 、DC 、DA 两两互相垂直， 所以它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 又长方体的体对角线的长为√1+1 +(√3)2＝√5， 所以球的直径是√5，半径为√52， 则球的表面积为4π(√52)2=5π.故选D ．5．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A ．2831)π+B ．32π＋C ．32(31)π+D ．283π＋【答案】B【解析】由三视图可知该几何体是组合体，下面是长、宽、高分别为2，2，3的长方体，上面是底面半径为1、母线长为2的圆锥，其表面积等于长方体的表面积加上圆锥的侧面积，再减去圆锥的底面积．所以该几何体的表面积为12222342π2π32π2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=+. 故选B.【名师点睛】本题考查三视图、几何体的表面积计算．根据三视图得几何体，再利用面积公式求表面积．借助长方体还原该几何体的直观图，由正视图和侧视图知该组合体只有一个顶点在正方体的上表面，所以组合体的上方是一个锥体.6．如图，在三棱锥V −ABC 中，平面VAB ⊥平面ABC,ΔVAB 为等边三角形，AC ⊥BC, AC =BC =√2，其中O,M 分别为AB,VA 的中点，则三棱锥B −MOC 的体积为A ．33B ．34C 3D3【答案】D【解析】在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√2，∴AB=2，OC=1，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=√3，∵O，M分别为AB，VA的中点，∴S△BMO=14S△VAB=√34．又∵平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面VAB，∴三棱锥V B−MOC=V C−MOB=13×√34×1=√312．故选D．7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为8，则这个球的表面积为________.【答案】20π【解析】正四棱柱的高为4，体积为8，则底面积为22，正四棱柱的体对角线长即球的直径为25∴球的半径为5R=24π20πS R==，故答案为20π.【名师点睛】本题考查学生的空间想象能力，四棱柱的体积，球的表面积，容易疏忽的地方是几何体的体对角线是外接球的直径，属于基础题．先求正四棱柱的底面边长，然后求其对角线，就是球的直径，再求其表面积．8．如图，网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．【答案】π83 +【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为2111π224π1282233半圆锥三棱柱V V V =+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+． 故答案为π83+． 【名师点睛】本题以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解．9．如图，直角梯形ABCD 中，AD DC ⊥，∥AD BC ，222BC CD AD ===，若将直角梯形绕BC 边旋转一周，则所得几何体的表面积为__________．【答案】(32)π+【解析】由题意知所得几何体为一个圆锥与圆柱的组合体， 则表面积为2π2πππ122π11π12π3πrl rh r ++=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+．10．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅制造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图(单位：寸)如图所示，若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 为__________.【答案】3【解析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成． 由题意得：()215.4 1.61π() 1.612.62x -⋅⋅+⋅⋅=，则x =3． 故答案为3.11．一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形)，则该三棱锥的体积为A ．4B ．8C ．16D ．24【答案】B【解析】由三视图知三棱锥的侧棱AO 与底面OCB 垂直，其直观图如图，可得其俯视图是直角三角形，直角边长分别为2，4，且6OA =，∴该三棱锥的体积11246832V =⨯⨯⨯⨯=，故选B.【名师点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力的最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.12．已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -的体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π【答案】C【解析】设球O 的半径为R ，则212△AOB S R =， 当三棱锥O ABC -的体积最大时，C 到平面AOB 的距离为R ， 则2113632R R ⨯⨯=，解得：6R =， ∴球O 的表面积为：24π144πS R ==.本题正确选项为C.【名师点睛】本题考查球的表面积的求解问题，关键是能够明确三棱锥体积最大时顶点到底面的距离为R .对于本题，当三棱锥O ABC -的体积最大时，C 到平面AOB 的距离为R ；利用棱锥体积公式可求得6R =；代入球的表面积公式即可得到结果.13．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如下图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为A ．4+4√2B ．4+6√2C ．6+4√2D ．6+6√2【答案】C【解析】由三视图可知，三棱柱空间结构如下图所示：由左视图和主视图可知，主视图为等腰直角三角形，且直角边长为√2，斜边长为2 所以两个底面面积为S 底=2×12×(√2)2=2，侧面由三个面组成，其中两个面是全等的，底为2，高为√2； 另外一个面底为2，高为2，侧棱与底面垂直， 所以S 侧=2×2×√2+2×2=4+4√2， 所以表面积为S 表=6+4√2.所以选C.14．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，则球的体积为A ．3500πcm 3 B ．3866πcm 3 C ．31372πcm 3D ．32048πcm 3【答案】A【解析】设球的半径为R ，由题意知R ，2R -，正方体棱长的一半可构成直角三角形，即OBA △为直角三角形，如图所示．则2BC=，4BA =，2OB=R -，OA =R ，由2222(4)R =R -+，得5R=， 所以球的体积为34500π5π33⨯=(cm 3)，故选A. 15．如图画出的是某几何体的三视图，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为A ．25π3 B ．26π3 C ．22π3D ．23π3【答案】A【解析】由三视图还原几何体，如图所示，可知原几何体为组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14， 则该组合体的体积33341425π2π1π43433V =⨯⨯+⨯⨯=. 故选A ．【名师点睛】本题考查了三视图还原几何体的图形，求球的组合体的体积，属于中档题．求解时，由三视图还原几何体，可知原几何体为球的组合体，是半径为2的球的34与半径为1的球的14，再由球的体积公式计算即可．16．某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的等腰三角形，则该几何体的体积不可能是A ．πB ．2C ．4D ．6【答案】D【解析】几何体可能是圆锥，底面半径为1，高为3，几何体的体积为：13×12×π×3=π，排除A ；几何体如果是正四棱锥，底面正方形边长为2，高为3，几何体的体积为：13×22×3=4，排除C ； 几何体如果是三棱锥，底面是腰长为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为3，几何体的体积为：13×12×2×2×3=2，排除B .故选D ． 17．如图，网格纸上小正方形的边长为a ，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的表面积为32，则a 的值为A ．14 B ．13C ．12D ．1【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的直三棱柱ABE DCF -，其中3AB BC BE a ===，2232AE AB BE a =+=，则292△△ABE CDF S S a ==，292ADFE S a =长方形，29正方形正方形ABCD BCFE S S a ==，所以该几何体的表面积为22227929(32)32a a a +=+=+，得13a =. 故选B.【名师点睛】本小题主要考查三视图还原几何体，考查几何体表面积的计算，考查空间想象能力，属于基础题.根据三视图还原为几何体，利用几何体的表面积列方程，解方程求得a 的值.18．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a ，b ，且()520,02a b a b +=>>，则此三棱锥外接球表面积的最小值为A ．17π4B ．21π4C ．4πD ．5π【答案】B【解析】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方体1111ABCD A B C D -的四个顶点，即为三棱锥11A CB D -，且长方体1111ABCD A B C D -的长、宽、高分别为2,,a b ，∴此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，且球半径为2222224a b a b R ++++==，∴三棱锥外接球的表面积为()()222222421π4ππ45π124a b a b a ⎛⎫++=++=-+⎪ ⎪⎝⎭， ∴当且仅当1a =，12b =时，三棱锥外接球的表面积取得最小值21π4．故选B ．19．如图①，矩形ABCD 的边7BC =BCM 的边2BM =，3CM =，沿BC 把三角形BCM 折起，构成四棱锥M ABCD -，使得M 在平面ABCD 内的射影落在线段AD 上，如图②，则这个四棱锥的体积的最大值为__________．27【解析】因为M 在矩形内ABCD 的射影落在线段AD 上， 所以平面MAD 垂直于平面ABCD ，因为BA AD ⊥，所以BA ⊥平面MAD ，BA MA ⊥， 同理CD MD ⊥，设AB x =，则24MA x =-，23MD x =-在△MAD 中，()()222222cos 243MA MD AD AMD MA MDx x +-∠==⋅--，()()222127sin 43x AMD xx -∠=--所以21127sin 2△MADx S MA MD AMD -=⋅⋅∠=所以四棱锥M ABCD -的体积221272233△M ABD B AMDAMD x V V V S BA ---===⋅=.因为22242636127127777x x x x x ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭，所以当42x =，即42AB =时，体积V 27，故答案为77. 【名师点睛】本题主要考查面面垂直的性质，余弦定理的应用以及锥体的体积公式，考查了配方法求最值，属于难题.解决立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用空间点、线、面位置关系和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.20．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68π B ．6π C ．6πD 6π【答案】D【解析】解法一：,PA PB PC ABC ==Q △为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA ，AB 的中点，EF PB ∴∥，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CE AC C EF =∴⊥I 平面PAC ，∴PB ⊥平面PAC ，2APB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===P ABC ∴-为正方体的一部分，22226R =++=6R =34466π6338V R ∴=π=⨯=π. 故选D ．解法二：设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 的中点，EF PB ∴∥，且12EF PB x ==，ABC Q △为边长为2的等边三角形，3CF ∴=，又90CEF ∠=︒，213,2CE x AE PA x ∴=-==， AEC △中，由余弦定理可得()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =Q ，D \为AC 的中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x +-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，，，2PA PB PC ∴===， 又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=62R ∴=，344666338V R ∴=π=π⨯=π，故选D.【名师点睛】本题主要考查学生的空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决．21．【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm），则该柱体的体积（单位：cm3）是A．158 B．162C．182 D．324【答案】B【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为2646336162 22++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.22．【2018年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】C【解析】根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上、下底分别为1，2，梯形的高为2，因此几何体的体积为()112226,2⨯+⨯⨯= 故选C.【名师点睛】先由几何体的三视图还原几何体的形状,再在具体几何体中求体积或表面积等.23．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183 C ．243D ．543【答案】B【解析】如图所示，设点M 为三角形ABC 的重心，E 为AC 中点，当点D 在平面ABC 上的射影为M 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时，4OD OB R ===，俯视图正视图221123934ABCS AB ==Q △，6AB ∴=,Q 点M 为三角形ABC 的重心，2233BM BE ∴== Rt OBM ∴△中，有222OM OB BM =-=，426DM OD OM ∴=+=+=，()max 19361833D ABC V -∴=⨯= B.【名师点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当点D 在平面ABC 上的射影为三角形ABC 的重心时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2233BM BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型.24．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A ．90πB ．63πC ．42πD ．36π【答案】B【解析】由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱，其体积213436V =π⨯⨯=π，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积221(36)272V =⨯π⨯⨯=π，故该组合体的体积12362763V V V =+=π+π=π．故选B ．【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．25．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示：由题意可得：11,2AC AB==，结合勾股定理，底面半径221312r⎛⎫=-=⎪⎝⎭由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是2233ππ1π24V r h⎛⎫==⨯⨯=⎪⎪⎝⎭.故选B.【名师点睛】（1）求解空间几何体体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；（2）若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解.26．【2017年高考浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A ．12π+B ．32π+ C ．312π+D ．332π+【答案】A【解析】根据所给三视图可还原几何体为半个圆锥和半个棱锥拼接而成的组合体，所以，几何体的体积为21113(21)13222V π⨯π=⨯⨯+⨯⨯=+.故选A ．【名师点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽．由三视图画出直观图的步骤和思考方法：（1）首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图； （2）观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度； （3）画出整体，然后再根据三视图进行调整．27．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.【答案】118.8【解析】由题意得，214642312cm 2EFGH S =⨯-⨯⨯⨯=四边形， ∵四棱锥O −EFGH 的高为3cm ， ∴3112312cm 3O EFGH V -=⨯⨯=． 又长方体1111ABCD A B C D -的体积为32466144cm V =⨯⨯=，所以该模型体积为3214412132cm O EFGH V V V -=-=-=，其质量为0.9132118.8g ⨯=．故答案为118.8.【名师点睛】本题考查几何体的体积问题，理解题中信息联系几何体的体积和质量关系，从而利用公式求解．根据题意可知模型的体积为长方体体积与四棱锥体积之差进而求得模型的体积，再求出模型的质量即可.28．【2019年高考北京卷理数】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________．【答案】40【解析】如图所示，在棱长为4的正方体中，三视图对应的几何体为正方体去掉棱柱1111MPD A NQC B -之后余下的几何体，则几何体的体积()3142424402V =-⨯+⨯⨯=.【名师点睛】本题首先根据三视图，还原得到几何体，再根据题目给定的数据，计算几何体的体积.属于中等题.(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．29．【201925底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 【答案】π425512-=.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故圆柱的体积为21ππ124⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭. 【名师点睛】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径.注意本题中圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半.30．【2019年高考江苏卷】如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E −BCD的体积是 ▲ .【答案】10【解析】因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120，所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点，所以112CE CC =，。