等边三角形培优练习题
部编数学八年级上册专题03等边三角形(解析版)含答案
2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）专题03 等边三角形【题型1】等边三角形的性质1．（2022·全国·八年级课时练习）下列条件中，不能判断ABC V 是等边三角形的是（ ）．A ．AB AC =，60B Ð=oB ．AB AC =，B A Ð=ÐC ．60A B Ð=Ð=oD ．2A B CÐ+Ð=Ð【答案】D【分析】根据等边三角形的定义和判定定理判断即可．【详解】解：A 选项：∵AB =AC ．∠B =60°．∴△ABC 是等边三角形，故A 选项不符合题意；B 选项：∵∠B =∠A ，∴AC =BC ，∵AB =AC ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故B 选项不符合题意；C 选项：∵∠A =∠B =60°，∠C =180°−∠A −∠B =60°，∴∠A =∠B =∠C ，∴AB =AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，故C 选项不符合题意；D 选项：∵∠A +∠B =2∠C ，∠A +∠B +∠C =180°，∴∠C =60°，不能判断△ABC 是等边三角形，故D 选项符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，解题的关键是熟悉等边三角形的定义及等边三角形的判定定理．注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．【变式1-1】2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，△ABC 是等边三角形，且BD ＝CE ，∠1＝15°，则∠2的度数为____°．【答案】60【分析】根据等边三角形的性质可得AB BC =，A ABC CB =Ð∠，证明△ABD ≌△BCE （SAS ），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠CBE ，根据三角形外角的性质可得∠2＝∠1+∠ABE ，继而根据等量代换可得∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ，即可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB BC =，A ABC CB =Ð∠，在△ABD 和△BCE 中，AB BC ABC ACB BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∴∠1＝∠CBE ，∵∠2＝∠1+∠ABE ，∴∠2＝∠CBE +∠ABE ＝∠ABC ＝60°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．【题型2】等边三角形的判定1．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，已知P 、Q 是△ABC 的BC 边上的两点，BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠BAC 的大小为（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．90°【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质，得∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质求得∠BAP =∠CAQ =30°，从而求解．【详解】解：∵PQ =AP =AQ ，∴△APQ 是等边三角形，∴∠PAQ =∠APQ =∠AQP =60°，∵BP ＝AP ， QC ＝AQ∴∠B =∠BAP ，∠C =∠CAQ ．又∵∠BAP +∠ABP =∠APQ =60°，∠C +∠CAQ =∠AQP =60°，∴∠BAP =∠CAQ =30°．∴120BAC BAP PAQ CAQ Ð=Ð+Ð+Ð=°．故∠BAC 的度数是120°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了运用等边三角形的性质与判定、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质．【变式2-1】2．（2021·辽宁·辽河油田实验中学八年级阶段练习）如图，在等边△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，点E 在线段AD上，且2ED＝BC，则∠ACE＝_______【题型3】等边三角形的判定和性质1．（2022·山东·济南市济阳区垛石街道办事处中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm．若AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN=_________．【答案】2cm【分析】作辅助线来沟通各角之间的关系，首先求出△BMA与△CNA是等腰三角形，再证明△MAN为等边三角形即可．【详解】连接AM，AN，∵AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，∴BM=AM，CN=AN，∴∠MAB=∠B，∠CAN=∠C，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，∴∠MAB=∠B=∠CAN=∠C=30°∴∠BAM+∠CAN=60°，∠AMN=∠ANM=60°，∴△AMN是等边三角形，∴AM=AN=MN，∴BM=MN=NC，∵BC=6cm，∴MN=2cm．故答案为：2cm．【点睛】本题考查的知识点为线段的垂直平分线性质以及等腰三角形的性质；正确作出辅助线是解答本题的关键．【变式3-1】2．（2022·福建·莆田哲理中学八年级期末）如图，AB ＝AC ，AE ＝EC ＝CD ，∠A ＝60°，延长DE 交于AB 于F ，若EF ＝2，则DF ＝_________．【答案】6【分析】由AB AC =，60A Ð=°得到△ABC 是等边三角形，由等边三角形的性质和AE EC CD ==，推出BE =4，再由∠DBE =∠CDE =30°，推出ED =BE =4，从而求出DF 的长度．【详解】解：∵AB AC =，60A Ð=°，∴△ABC 是等边三角形，又∵AE EC =，∴∠AEB =90°，∠ABE =∠DBE =30°，∵∠ACB =60°，EC CD =，∴∠CED =∠CDE =30°，∴∠AEF=30°，∴∠FEB =60°，∴∠BFE =90°，∵2EF =，∴BE =4，∵∠DBE=∠CDE =30°，∴ED=BE =4，∴DF = ED+EF =6．故答案为6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是根据已知条件推出△BEF 是直角三角形．【题型4】含30度角的直角三角形1．（2020·湖北·公安县教学研究中心八年级期中）如图，∠B =∠D =90°，AB =AD ，∠2=60°，BC =5，则AC =（ ）A ．5B ．10C ．15D ．2.5【答案】B 【分析】利用HL 证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ，推出∠1=30°，再利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵∠B =∠D =90°，AB =AD ，AC =AC ，∴Rt △ACB ≌Rt △ACD （HL ），∴∠ACB =∠ACD =60°，∴∠1=30°，∵BC =5，∴AC =2BC =10，故选：B ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是证明Rt △ACB ≌Rt △ACD ．【变式4-1】2．（2022·湖南·澧县教育局张公庙镇中学八年级期末）如图，在Rt ABC D 中，90C Ð=°，BE 平分ABC Ð，ED 垂直平分AB 于D ．若9AC =，则AE 的值是______．【答案】6【分析】先根据角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得,AE BE ABE CBE A =Ð=Ð=Ð，再根据三角形的内角和定理可得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE x =-，在Rt BCE V 中，根据含30度角的直角三角形的性质即可得．【详解】解：BE Q 平分ABC Ð，ABE CBE \Ð=Ð，ED Q 垂直平分AB ，AE BE \=，ABE A \Ð=Ð，ABE CBE A \Ð=Ð=Ð，又90C Ð=°Q ，90ABE CBE A \Ð+Ð+Ð=°，解得30CBE Ð=°，设AE BE x ==，则9CE AC AE x =-=-，Q 在Rt BCE V 中，90C Ð=°，30CBE Ð=°，2BE CE \=，即()29x x =-，解得6x =，即6AE =，故答案为：6．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．一．选择题1．（2020·全国·九年级专题练习）如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，若12AB cm =，则阴影部分的面积是（ ）A ．12B ．18C ．24D ．362．（2022·广东清远·八年级期中）如图，在Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，1BC =，则AB =（ ）A ．2B C D ．1.5【答案】A 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC ，代入求出即可．【详解】解：Q 在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，2AB BC \=，1BC =Q ，2AB \=，故选：A ．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质定理，能根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB ＝2BC 是解此题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在等边△ABC 中，AB ＝4cm ，BD 平分∠ABC ，点E 在BC 的延长线上，且30E Ð=o ，则CE 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．3cmD ．4cm4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ．若BC ＝6，则DE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2021·贵州·铜仁市第十一中学八年级期中）如图，D 是等边ABC V 的边AC 上的一点，E 是等边ABC V外一点，若BD CE =，12Ð=Ð，则对ADE V 的形状最准确的是（ ）．A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．不等边三角形【答案】C 【分析】先根据已知利用SAS 判定△ABD ≌△ACE 得出AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，从而推出△ADE 是等边三角形．【详解】解：∵三角形ABC 为等边三角形，∴AB ＝AC ，∵BD ＝CE ，∠1＝∠2，在△ABD 和△ACE 中，12AB AC BD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°，∴△ADE 是等边三角形．故选：C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和全等三角形的判定方法，掌握等边三角形的判定和全等三角形的判定是本题的关键，做题时要对这些知识点灵活运用．6．（2021·江苏·九年级专题练习）如图，一块三角形空地上种草皮绿化，已知AB ＝20米，AC ＝30米，∠A ＝150°，草皮的售价为a 元/米2，则购买草皮至少需要（ ）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元【答案】C 【详解】如图，过点C 作CD ⊥BA 交BA 的延长线于点D ，∵∠BAC=150°，∴∠DAC=30°，∵CD⊥BD，AC=30m，∴CD=15m，∵AB=20m，∴S△ABC=AB×CD÷2=×20×15÷2=150m2，∵草皮的售价为a元/米2，∴购买这种草皮的价格：150a元．故选C．二、填空题7．（2022·广东·平洲一中八年级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8cm，则BC＝_____cm．8．（2022·上海·七年级专题练习）如图，已知O是等边△ABC内一点，D是线段BO延长线上一点，且Ð=_____．Ð=120°，那么BDC=，AOBOD OA【答案】60°【分析】由AOB Ð的度数利用邻补角互补可得出60AOD Ð=°，结合OD OA =可得出AOD D 为等边三角形，而根据旋转全等模型由SAS 易证出BAO CAD D @D ，根据全等三角形的性质可得出120ADC AOB Ð=Ð=°，再根据BDC ADC ADO Ð=Ð-Ð即可求出BDC ∠的度数．【详解】解：ABC D Q 为等边三角形，AB AC \=，60BAC Ð=°．120AOB Ð=°Q ，180AOD AOB Ð+Ð=°，60AOD \=°∠．又OD OA =Q ，AOD \D 为等边三角形，AO AD \=，60OAD Ð=°，60ADO Ð=°．60BAO OAC OAC CAD Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，BAO CAD \Ð=Ð．在BAO D 和CAD D 中，AB AC BAO CAD AO AD =ìïÐ=Ðíï=î，()BAO CAD SAS \D @D ，120ADC AOB \Ð=Ð=°，60BDC ADC ADO \Ð=Ð-Ð=°．故答案为：60．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及角的计算，通过证明BAO CAD D @D ，找出120ADC AOB Ð=Ð=°是解题的关键．9．（2022·山东临沂·八年级期末）已知等腰ABC V 的一底角∠B =15°，且斜边AB ＝6cm ，则ABC V 的面积为__10．（2020·辽宁阜新·中考真题）如图，直线a，b过等边三角形ABC顶点A和C，且//a b，142Ð=°，则2Ð的度数为________．【答案】102°【分析】根据题意可求出BACÐ的度数，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．【详解】Q三角形ABC为等边三角形\Ð=°BAC60//Qa b\Ð=Ð+Ð=°+°=°BAC214260102故答案为：102°．【点睛】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．11．（2022·内蒙古·呼和浩特市回民区秋实学校八年级阶段练习）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE = ，则BC =________．12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，AB AC =，点D 在BC 上，AD DE =，如果20BAD Ð=o ，∠AED ＝60o ，那么∠EDC 的度数为___度．【答案】10【分析】先证明△ADE 是等边三角形，从而得到∠ADE =∠AED =60°，再根据等腰三角形的性质与三角形外角的性质得到∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，据此求解即可．【详解】解：∵AD =DE ，∠AED =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴∠ADE =∠AED =60°，∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵∠ADC =∠B +∠BAD ，∠AED =∠C +∠EDC ，∴∠EDC =∠AED -∠C =60°-∠C ，∠EDC =∠ADC -∠ADE =∠B +∠BAD -∠ADE =∠B -40°，∴2∠EDC =60°-∠C +∠B -40°，∴∠EDC =10°，故答案为：10．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明△ADE 是等边三角形是解题的关键．三、解答题13．（2021·辽宁营口·九年级期中）ABC V 与CDE △都是等边三角形，连接AD 、BE ．（1）如图①，当点B 、C 、D 在同一条直线上时，则BCE Ð=______度；（2）将图①中的CDE △绕着点C 逆时针旋转到如图②的位置，求证：AD BE =．【答案】（1）120；（2）证明见解析．【分析】（1）根据CDE △是等边三角形及点B 、C 、D 在同一条直线上即可求解；（2）证明BCE ACD D D ≌即可求解．【详解】解：（1）∵CDE △是等边三角形，∴60DCE Ð=°，∵点B 、C 、D 在同一条直线上，∴180BCE DCE ÐÐ+=°，∴180120BCE DCE ÐÐ=°-=°（2）∵ABC V 与CDE △都是等边三角形，∴BC =AC ，CE =CD ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠ACE =∠DCE +∠ACE ，∴∠BCE =∠ACD ，在BCE V 与ACD △中，BC AC BCE ACD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()BCE ACD SAS D D ≌，∴BE =AD ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．14．（2021·江苏·南通田家炳中学一模）如图，已知点D 、E 在ABC V 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE Ð的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）90o．【分析】（1）作AF BC ^于点F ，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF CF =，DF EF =，相减后即可得到正确的结论；（2）根据等边三角形的判定得到ADE V 是等边三角形，根据等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及角的和差关系即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点A 作AF BC ^于F ．Q AB AC =，AD AE =，\BF CF =，DF EF =，15．（2021·江西·信丰县第七中学八年级阶段练习）如图，△ABC中，∠A=90°，∠B=60°，BC的垂直平分线交BC与点D，交AC于点E．求证：（1）AE=DE；（2）若AE=6，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）12．【分析】（1）由垂直平分线可得EB=EC，则得∠EBC=∠C=30°=∠ABE，由角平分线性质可得AE=DE；（2）根据直角三角形中，30°所对直角边为斜边的一半．即可得到答案．【详解】（1）证明：连接BE，∵∠A=90°，∠B=60°，∴∠C=30°．∵DE垂直平分BC，16．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，点C 为线段AB 上一点，ACM V ，CBN V 是等边三角形，直线AN MC 、交于点E ，直线BM CN 、交于点F ．（1）求证：AN BM =；（2）求证：EC FC =；（3）求证：//AB EF ．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）只需要证明△CAN ≌△CMB 即可得到答案；（2）根据△CAN ≌△CMB 得到∠EAC =∠FNC ，再由AC =MC ，∠ACE =∠MCF =60°，即可证明△AEC ≌△MFC ，得到CE =CF ；（3）根据CE =CF ，∠ECF =60°，推出△ECF 是等边三角形，则∠CEF =∠ACE =60°，即可得证．【详解】解：（1）∵△ACM 和△CBN 都是等边三角形，∴AC =MC ，CN =CB ，∠ACM =∠BCN =60°，∴∠MCN =180°-∠ACM -∠BCN =60°，∴∠CAN =∠ACM +∠MCN =∠MCN +∠BCN =∠BCM =120°，∴△CAN ≌△CMB （SAS ），∴AN =BM ；（2）∵△CAN≌△CMB，∴∠EAC=∠FNC，∵AC=MC，∠ACE=∠MCF=60°，∴△AEC≌△MFC（ASA），∴CE=CF；（3）∵CE=CF，∠ECF=60°，∴△ECF是等边三角形，∴∠CEF=∠ACE=60°，∴EF∥AB．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．17．（2022·全国·八年级课时练习）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．【答案】等边 6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（S A S），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AA S），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形．故答案为：等边；（2）∵点D关于直线AC的对称点为点E．∴△ACD≌△ACE，∴CE＝CD，∠ACD＝∠ACE，∵BG＝CD，∴CE＝BG，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝CB，∴∠ACD＝∠GBC＝120°，∴∠ACE＝∠GBC＝120°，∴△ACE≌△CBG（S A S），∴AE＝CG，∵∠BCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°，∴∠BCE+∠BGC＝180°，∴BG∥CE，∴∠G＝∠FCE，∵F为BE的中点，∴BF＝EF，∵∠BFG＝∠CFE，∴△CEF≌△GBF（AA S），∴CF＝GF，18．（2021·河北唐山·八年级期末）在三角形纸片ABC 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，4AC =，点E 在AC 上，3AE =．将三角形纸片ABC 按图中方式折叠，使点A 的对应点A ¢落在AB 的延长线上，折痕为ED ，A E ¢交BC 于点F ．（1）求CFE Ð的度数；（2）求BF 的长度．【答案】（1）60°；（2）1．【分析】（1）先根据折叠的性质可得30A A ¢Ð=Ð=°，再根据邻补角的定义可得90A BF =¢Ð°，然后根据直角三角形的性质可得60A FB ¢Ð=°，最后根据对顶角相等即可得；（2）先根据线段的和差可得1CE =，再根据等边三角形的判定与性质可得1EF CE ==，然后根据折叠的性质可得3A E AE ¢==，从而可得2A F ¢=，最后利用直角三角形的性质即可得．【详解】（1）由折叠的性质得：30A A ¢Ð=Ð=°，90ABC Ð=°Q ，点A ¢落在AB 的延长线上，18090ABC A BF ¢Ð=°Ð=-\°，9060A FB A ¢¢\Ð=°-Ð=°，由对顶角相等得：60CFE A FB ¢Ð=Ð=°；（2）4,3C E A A ==Q ，1CE AC AE \=-=，Q 在ABC V 中，90ABC Ð=°，30A Ð=°，9060C A \Ð=°-Ð=°，由（1）知，60CFE Ð=°，。
专题训练 等腰三角形等边三角形 (培优班辅导)
专题训练等腰三角形、等边三角形
知识点归纳：
1、已知一个等腰三角形的两边长分别为3cm，4cm,则周长为。
若两边第分别为4cm，8cm，则周长为。
2、如图是一个正五角星，请你求出每个角的度数。
第2题第3题第4题
3、（2013•玉林中考）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．
4、（2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E=度．
5、如图在△ABC中，∠BCA为90度，BD=BC，AE=AC，
求∠ECD的度数。
6、
7、
（若AD是角平分线，结论还成立吗？）
要赶着河流马群先到河边饮水，再带到草地
吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计
出最短的放牧路线。
9、
10、如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC，求∠P的度数。
11、。
八年级数学上等边三角形优选题集锦培优辅导周末练习
八年级数学上等边三角形优选题集锦培优辅导周末练习一、选择题1．如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上爬行（A，C端点除外），设甲虫P到另外两边的距离之和为d，等边三角形ABC的高为h，则d与h的大小关系是（）A．d＞h B．d＜h C．d=h D．无法确定2．如图，将边长为2个单位的等边△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．123．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里4．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，将△BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25°B．30°C．45°D．60°5．下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm时，这个六边形的周长为（）cm．A．30 B．40 C．50 D．60二、填空题．6．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则△AMN的周长为______．7．如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6．沿DE 折叠，使得点A 与点B 重合，则折痕DE 的长为______．8．如图，将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2=______度．9．.如图，P 、Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ ，则∠ABC 的大小等于___ ___度．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD=___ ___．11．如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB=AC=12cm ，∠ABC=30°，那么底边上的高AD=______cm ．12．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠1=120°，如果BC=1，则AB=______．13． 如图，点P 是∠AOB 的角平分线上一点，过点P 作PC ∥OA 交OB 于点C ．若∠AOB=60°，OC=4，则OD 等于______．三、解答题14．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°．（1）尺规作图：作线段AB 的垂直平分线L （保留作图痕迹，不写作法）；（2）在已作的图形中，若直线L 分别交AB 、AC 及BC 的延长线于点D 、E 、F ，连接BE ． 求证：EF=2DE ．15．△ABC 是等边三角形，∠ADB=120°，∠AEC=120°，求证：CE=BD+ED ．CB。
初二上(八年级上)：全等等边三角形难题好题压轴题、培优提高
6、在△ABC中，BD=DC，ED⊥DF．求证：BE＋CF＞ EF．
考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题；探究型．分析：（1）利用同角的余 （3）ED=AD+BE． 已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形， 角相等得出∠CAD=∠BCE，进而根据AAS证明△ADC≌△CEB． 证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∠ACB=90°，F是AB的中点，直线l经过点C，分别过点A、 （2）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD． ∴∠ADC=∠CEB=90°． B作l的垂线，即AD⊥CE，BE⊥CE， （3）根据AAS证明△ADC≌△CEB后，得DC=BE，AD=CE，又有ED=CE+DC，进 ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， 而得到ED=AD+BE．解答：（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． （1）如图1，当CE位于点F的右侧时，求证： ∴∠ADC=∠CEB=90°． 在△ADC与△CEB中 △ADC≌△CEB； ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， （2）如图2，当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD； ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． 在△ADC与△CEB中 ∴DC=BE，AD=CE． （3）如图3，当CE在△ABC的外部时，试猜想ED、AD、 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， 又∵ED=CE+DC， BE之间的数量关系，并证明你的猜想． ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴ED=AD+BE．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应 （2）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE， 边相等进行等量交换，证明线段之间的数量关系，这是一种很重要的方法，注意掌握 ∴∠ADC=∠CEB=90°． ∵∠ACD+∠ECB=90°，∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠CAD=∠BCE（同角的余角相等）． 在△ADC与△CEB中 ∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠BCE AC=BC ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）． ∴DC=BE，AD=CE． 又∵ED=CD-CE， ∴ED=BE-AD．
初二数学等腰等边三角形培优题1(完整资料).doc
此文档下载后即可编辑等腰等边三角形培优题11．如图，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°，得到△DEC ，连接AD ，若∠BBB =25∘，则∠BBB =______．2．如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP ＝PQ ＝QC ＝AP ＝AQ ，则∠ABC ＝_____.3．如图，在△BBBBBB 中，BB BB =BBBB ，CD 是∠BBBBBB 的平分线，BB BB //BBBB ，交AC 于点E ．若∠BBBB =35∘，则∠BBB=.4．如图，等边△BBBBBB 中，AD 是中线，BBBB ⊥BBBB 于点E ，BBBB =3，则点D 到AB 的距离为：______．5．已知：在△ABC 中，AH ⊥BC ，垂足为点H ，若AB +BH =CH ，∠ABH =70∘，则∠BAC =______ ∘.6．如图，在△ABC 中，BI ，CI 分别平分∠ABC，∠ACB，过I 点作DE∥BC，交AB 于D ，交AC 于E ，给出下列结论：①△DBI 是等腰三角形；②△ACI 是（第1题） （第2题） （第3题）（第4题） （第6题） （第7题）等腰三角形；③AI 平分∠BAC；④△ADE 周长等于AB ＋AC ．其中正确的是( )A ． ①②③B ． ②③④C ． ①③④D ． ①②④7．如图，已知AB ＝A 1B ，A 1B 1＝A 1A 2，A 2B 2＝A 2A 3，A 3B 3＝A 3A 4，….若∠A＝70°，则∠B n －1A n A n －1的度数为( )A ． 702n ⎛⎫︒ ⎪⎝⎭B ． 1702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭C ． 1702n -⎛⎫︒ ⎪⎝⎭D ． 2702n +⎛⎫︒ ⎪⎝⎭8．如图，在等边△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠BDE=∠CDF=30°， 在下列结论中：①△ABD≌△ACD；②2DE=2DF=AD；③△ADE≌△ADF；④4BE=4CF=AB．正确的有 （填序号） 9．如图所示，在Rt △ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AB=12，D 是斜边AC 的中点，P 是AB 上一动点，则PC+PD 的最小值为 ．10．如图，已知△BBBBBB 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠BBBBBB ，BBBB =BBBB ，BBBB =7， 则 AE 的长度是 ． 11．如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD于点F ，连接CF .若∠A =60°，∠ABD =24°，则∠ACF 的度数为 ．12．如图，已知点C 是线段AB 的中点，点D 是线段BC 上的定点(不同于端点B 、C )，过点D 作直线l 垂直线段AB ，若点P 是直线l 上的任意一点，连接PA 、PB ，则能使△PAB 成为等腰三角形的点P 一共有_______ 个．（填写确切的数字）（第11题） （第9题） （第10题）（第8题）（第12题） （第13题）13．如图，AB=2，BC=5，AB⊥BC于点B，l⊥BC于点C，点P自点B开始沿射线BC移动，过点P作PQ⊥PA交直线l于点Q，当BP= 时，PA=PQ. 14．已知△ABC是等边三角形，E是AC边上一点，F是BC边延长线上一点，且CF=AE，连接BE,EF．（1）如图1，若E是AC边的中点，猜想BE与EF的数量关系为___________________．（2）如图2，若E是线段AC上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF 的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明．（3）如图3，若E是线段AC延长线上的任意一点，其它条件不变，上述线段BE、EF的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明。
八上培优6 等边三角形与全等三角形
八上培优6 等边三角形与全等三角形20190920一．选择题（共6小题）1．如图，已知等边△ABC和等边△BPE，点P在BC的延长线上，EC的延长线交AP于M，连BM．若∠ABM=40°，则∠APB=（）A．40°B．45°C．50°D．60°2．如图，已知等边△ABC和等边△PAF，过P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，连接PQ交AC边于D，当PA=CQ，AB=1时，DE的长（）A．B．C．D．不能确定3．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，若∠AEB=70°，则∠EBD的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°4．如图，设△ABC和△CDE都是等边三角形，且∠EBD=65°，则∠AEB的度数是（）A．115°B．120°C．125°D．130°5．如图，OE是等边△AOB的中线，OB=4，C是直线OE上一动点，以AC为边在直线AC下方作等边△ACD，连接ED，下列说法正确的是（）A．ED的最小值是2 B．ED的最小值是1C．ED有最大值D．ED没有最大值也没有最小值6．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°二．填空题（共3小题）7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC于点E、M、F，交BC的延长线于点G，给出下列四个等式：①∠1=（∠2+∠3）；②∠1=（∠3﹣∠2）；③∠4=（∠3﹣∠2）；④∠4=∠1．其中，正确的是（填序号）．8．如图，等腰△ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM 的周长最小值为cm．9．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．当t=秒时，△DFE与△DMG全等．三．解答题（共14小题）10．如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s 的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．（1）求：AM=cm，=；=2S△DGC；（2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED（3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等；（4）若BD=8，则CD=cm．11．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB=AC，DE=DF，∠BAC=∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC=60°，点F与点C重合，求证：AF=AE+AD；（2）如图2，若AD=AB，求证：AF=AE+BC．12．已知，点D、E分别是等边△ABC的边BC、AB上的点，∠ADE=60°．（1）如图1，当点D是BC的中点时，求证：AE=3BE；（2）如图2，点M在AC上，满足∠ADM=60°，求证：BE=CM；（3）如图3，作CF∥AB交ED的延长线于点F，探究三条线段BE、CF、CD 之间的数量关系，并给出证明．13．已知△ABC中，AC=BC，（1）如图1，分别过A、B做AM⊥BC，BN⊥AC，垂足分别为点M、N，AM 与BN相交于点P，求证：AP=BP；（2）如图2，分别在AC的右侧、BC的左侧做等边△ACE和等边△BCD，AE 与BD相交于点F，连接CF并延长交AB于点G，求证：点G是AB的中点；（3）在（2）的条件中，当∠ACB的大小发生变化时，设直线CD与直线AE相交于H点，当∠ACB等于度时，使得AH=CD．14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．15．如图，在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE 的值．16．在边长为4的等边△ABC中．（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP=AQ，∠BAP=18°，求∠AQB的度数；（2）点P、Q在BC边上的两个动点（不与点B、C重合），点P在点Q的左侧，且AP=AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM、PM，依题意将图2补全，并求证：PA=PM．（3）在（2）中，当AM的值最小时，直接写出CM的长．17．在等边△ABC中，（1）点E在AB上，点D在CB的延长线上，∠EDC=∠ECD，如图1，试确定线段AE与DB之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，点E在AB上，AE=3BE，连接CE，作∠BCM=∠AEC，CM=CE，连接AM交BC于P点，求BP：CP的值；（3）如图3，△ABC的边长为6，点E在AB上，点D在BC上，以DE为边作等边△DEF，若点F在△ABC外，BE=x（3＜x＜6），连接CF，且有CF⊥BC，直接写出CD的长，（用含有x的式子表示）18．如图1，△ABC是边长为8cm的等边三角形，点D从B点出发沿B→A方向在线段BA上以acm/s的速度运动，点E从C点出发沿C→B方向在线段CB 上以bcm/s的速度运动，D，E两点同时出发，运动时间为ts，当点D到达点A 后，D，E两点停止运动．（1）如图2，若a=b=1，连接AE，CD，相交于点F，连BF①求∠AFC的度数；②当AF=2CF时，求t的值（2）如图3，若a=2，b=1，连接DE，以DE为边作等边△DEM，使M，B在DE的两侧，点O为AC的中点，连接OM，求OM的最小值．19．已知在△ABC中，AB=AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC 于点G、H．（1）如图1，若∠ABC=60°，∠MBN=30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1=∠2；②如图2，若BF=2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE=∠BAC=2∠CFE，求的值．20．已知：如图1，在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（b，0），C（0，c），且|a+b|+（c﹣a）2=0，△ABC的面积为9，点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动．连接PA，PB．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）设点P运动的时间为t秒，D为AC上的动点（不与A、C两点重合）问：当t为何值时，DP与DB垂直相等？并直接写出此时点D的坐标．（3）如图2，若PA＞AB，以PA为边作等边△APQ，使△APQ与△ABP位于AP的同侧，直线BQ与y轴、直线PA交于点E、F，请找出线段PE，EQ，OE 之间的数量关系（等量关系），并说明理由．21．如图，在平面直角坐标系中，A（8，0），点B在第一象限，△OAB为等边三角形，OC⊥AB，垂足为点C．（1）直接写出点C的横坐标；（2）作点C关于y轴的对称点D，连DA交OB于E，求OE的长；（3）P为y轴上一动点，连接PA，以PA为边在PA所在直线的下方作等边△PAH．当OH最短时，求点H的横坐标．22．如图△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点．（1）如图，若OC=5，求BD的长度；（2）设BD交x轴于点F，求证：∠OFA=∠DFA；（3）如图，若正△AOB的边长为4，点C为x轴上一动点，以AC为边在直线AC下方作正△ACD，连接ED，求ED的最小值23．在平面直角坐标系中，已知点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，AO=a，AB=b，BO与x轴正方向的夹角为150°，且a2﹣b2+a﹣b=0．（1）试判定△ABO的形状；（2）如图1，若BC⊥BO，BC=BO，点D为CO的中点，AC、BD交于E，求证：AE=BE+CE；（3）如图2，若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，问：AP与AO之间有何数量关系？试证明你的结论．。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优测验总分： 110 分测验时光： 120 分钟卷I（选择题）一.选择题（共 10 小题,每小题2 分,共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形,则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不消失的是（）B.在一个三角形中,假如双方相等,那么它们所对的角也相等C.同位角相等,两直线平行3.已知：如图,,,,则不准确的结论是（）B.C.D.4.如图,是的中位线,延伸至使,衔接,则的值为（）A. B. C. D.5.如图,在平面直角坐标系中,在轴.轴的正半轴上分离截取.,使;再分离以点.为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点．若点的坐标为,则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图,是等边三角形,,于点,于点,,则下列结论：①点在的角等分线上; ②;③;④．准确的有（）7.如图,直线..″暗示三条互订交叉的公路,现筹划建一个加油站,请求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有（）8.如图,是的角等分线,则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线,且比的周长大,则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合,那么它的三个内角中（）卷II（非选择题）二.填空题（共 10 小题,每小题2 分,共 20 分）11.问题情境：在中,,,点为边上一点（不与点,重合）,交直线于点,衔接,将线段绕点顺时针偏向扭转得到线段（扭转角为）,衔接．特例剖析：如图．若,则图中与全等的一个三角形是________,的度数为________．类比探讨：请从下列,两题中任选一题作答,我选择________题．：如图,当时,求的度数;：如图,当时,①猜测的度数与的关系,用含的式子暗示猜测的成果,并证实猜测;②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延伸线上”,其余前提不变,请直接写出的度数（用含的式子暗示,不必证实）12.如图,正方形纸片的边长为,点.分离在边.上,将.分离沿.折叠,点.正好都落在点处,已知,则的长为________．13.在中,为的等分线,于,于,面积是,,,则的长为________．14.在中,,的垂直等分线与地点的直线订交所得到锐角为,则等于________．15.如图,等分,于,于,,则图中有________对全等三角形．16.如图,在中,,点从点动身沿射线偏向,在射线上活动．在点活动的进程中,贯穿连接,并认为边在射线上方,作等边,贯穿连接．当________时,;请添加一个前提：________,使得为等边三角形;①如图,当为等边三角形时,求证：;②如图,当点活动到线段之外时,其它前提不变,①中结论还成立吗？请解释来由．17.如图,从圆外一点引圆的两条切线,,切点分离为,．假如,,那么弦的长是________．18.如图,在中,,,是的等分线,等分交于,则________．19.浏览下面材料：小聪碰到如许一个有关角等分线的问题：如图,在中,,等分,,求的长．小聪思虑：因为等分,所以可在边上取点,使,衔接．如许很轻易得到,经由推理能使问题得到解决（如图）．请答复：是________三角形．的长为________．参考小聪思虑问题的办法,解决问题：如图,已知中,,,等分,,．求的长．20.如图,在和中,,,若要用“斜边直角边．．”直接证实,则还需填补前提：________．三.解答题（共 7 小题,每小题10 分,共 70 分）21.如图,已知为等边三角形,为延伸线上的一点,等分,,求证：为等边三角形．22.尺规作图（不请求写作法,保存作图陈迹）如图,作①的等分线; ②边上的中线;22.一块三角形外形的玻璃决裂成如图所示的三块,请你用尺规作图作一个三角形,使所得的三角形和本来的三角形全等．（不请求写作法,保存作图陈迹．不克不及在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个,按请求进行下列绘图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格,再向上平移格后的．23.平行四边形中,,点为边上一点,贯穿连接,点在边地点直线上,过点作交于点．如图,若为边中点,交延伸线于点,,,,求;如图,若点在边上,为中点,且等分,求证：;如图,若点在延伸线上,为中点,且,问中结论还成立吗？若不成立,那么线段..知足如何的数目关系,请直接写出结论．24.如图,直线与轴.轴分离交于.两点,直线与直线关于轴对称,已知直线的解析式为,求直线的解析式;过点在的外部作一条直线,过点作于,过点作于,请画出图形并求证：;沿轴向下平移,边交轴于点,过点的直线与边的延伸线订交于点,与轴订交于点,且,在平移的进程中,①为定值;②为定值．在这两个结论中,有且只有一个是准确的,请找出准确的结论,并求出其值．25.如图：,,过点,于,于,．求证：．26.如图,点,在上,,,,与交于点．求证：;试断定的外形,并解释来由．27.如图,已知点是等分线上一点,,,垂足为.吗？为什么？是的垂直等分线吗？为什么？答案11.[“”,“”][“”]12.[“”]13.[“”]14.[“或”]15.[“”]16.[“;”][ "添加一个前提,可得为等边三角形;故答案为：;①∵与是等边三角形,∴,,,∴,即,在与中,,∴,∴;②成立,来由如下;∵与是等边三角形,∴,,,∴,即,在与中,,∴,∴．" ]17.[“”]18.[“”]19.[ "解：是等腰三角形,在与中,,∴,∴,,∵,∴,∴,∴是等腰三角形;" ][ "的长为,∵中,,,∴,∵等分,∴,在边上取点,使,衔接,则,∴,∴,∴,在边上取点,使,衔接,则,∴,,∵,∴,∴,∵,∴．" ]\"go题库\"20.[“”]21.证实：∵为等边三角形,∴,,即,∵等分,∴,在和中,,∴,∴,,又,∴,∴为等边三角形．22.解：如图所示：;如图所示：即为所求;;①如图所示：即为所求;②如图所示：即为所求;．．23.解：如图,在平行四边形中,,∴,∵在中,为的中点,,∴,又∵,∴,故可设,,则中,,解得,∴,又∵,,∴为的中点,∴;如图,延伸交的延伸线于点,则,∵,∴,又∵等分,∴,∴是等腰直角三角形,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴;若点在延伸线上,为中点,且,则中的结论不成立,准确结论为：．证实：如图,延伸交的延伸线于点,则,∵,∴,∴,又∵,∴,∴,,又∵为的中点,∴,∴,∴,∵,∴．24.解：∵直线与轴.轴分离交于.两点,∴,,∵直线与直线关于轴对称,∴∴直线的解析式为：;如图．．∵直线与直线关于轴对称,∴,∵与为象限等分线的平行线,∴与为等腰直角三角形,∴,∵,∴∴∴,,∴;①对,过点作轴于,直线与直线关于轴对称∵,,又∵,∴,则,∴∴∴∴∴．25.证实：衔接,∵,∴,∵,∴,∴,∵,,∴,在和中,∴．26.证实：∵,∴,即．又∵,,∴,∴．解：为等腰三角形来由如下：∵,∴,∴,∴为等腰三角形．27.解：．来由：∵是的等分线,且,,∴,∴;是的垂直等分线．来由：∵,在和中,,∴,∴,由,,可知点.都是线段的垂直等分线上的点,从而是线段的垂直等分线．。
第7课时等边三角形的综合运用培优
等边三角形的综合运用1、 已知△ABC 为等边三角形，D 为AC 的中点，∠EDF=120°,DE 交线段AB 于E,DF 交直线BC 于点F.(1) 如图1，求证：DE=DF;(2) 如图2，若BE=3AE,求证：CF=41BC;(3) 如图3，若BE=31AE,则CF=________BC;在图1中，若BE=4AE,则CF=____________BC.2、如图1，等边△ABC 中，点G 、H 分别自B 、C 点出发，以等速沿着线段BC 、线段CA 运动，连接AG 、BH 交于F 点.(1)直接写出∠AFH 的度数____________________;（不证明）（2）如图2，连接FC,当G 、H 运动到AG ⊥CF 时，求BF:AF 的值；（3）如图3，若点G 、P 分别自B 、A 点出发，以等速沿线段BC、BA 的延长线运动，连接PG 、PC,3线段MN 交AB 于点P 。
（1） 当n=1时，求PNPM 和PB AP的值； （2） 当n=2时，求证：AP=2PB（3） 当n=_________时，AP=5PBA B C D F E①A B C D E F A B C D EF ② ③AB CPMN NABCPMP ABCNM4、如图，已知等边△ABC 中，D 为AC 边上一动点，CD=nAD,连接BD,M 为线段BD 上一点， ∠AMD=60°，AM 交BC 于E 点。
（1） 若n=1，如图①，则ABBE=________; （2） 若n=2,如图②，求证：2AB=3BE ； （3） 当97=AB BE 时，则n 的值为：_________.5、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 为△ABC 外一点，∠ABD=60°。
（1）若∠ADB=90°-BDC ∠21，求证：AB=BD+CD （2）若∠ACD=60°，求证：AB=BD+DC6、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB=DA,BP=AB,且BD 平分∠CBP,求∠BPD 的度数。
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等边三角形专项练习题
双基训练
1. 如图14-45，在等边ΔABC中，O是三个内角平分线的交点，OD∥AB，OE∥AC，则图中等腰三
角形的个数是 。
2.如图14-46，ΔABC是等边三角形，D为BA的中点，DE⊥AC，垂足为点E，EFAB，AE=1，则AD= ，
ΔEFC的周长= 。
3.如图14-47，在等边ΔABC中，AE=CD，BG⊥AD，求证：BP=2PG。
纵向应用
1.如图14-48，已知等边ΔABC的ABC、ACB的平分线交于O点，若BC上的点E、F分别在OB、OC
垂直平分线上，试说明EF与AB的关系，并加以证明。
2. 如图14-49，C是线段AB上的一点，ΔACD和ΔBCE是两个等边三角形，点D、E在AB同旁，AE
交CD于点G，BD交CE于点H，求证：GH∥AB。
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3. 如图14-50，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D使得ΔCDE是等边三角形，
如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：ΔCMN是等边三角形。
4. 如图14-51，C是线段AB上一点，分别以BC、AC为边作等边ΔACD和ΔCBE，M为AE的中点，
N为DB的中点，求证：ΔCMN为等边三角形。
5. 如图14-52，在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，以CD为边向形外作等边ΔCDE，连结AE，
求证：ΔABE为等边三角形。
6. 如图14-53，已知ΔABC是等边三角形，D为AC上一点，∠1=∠2，BD=CE，求证：ΔADE是等边三
角形。
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7. 如图14-54，设在四边形ABCD中，∠A+∠B=1200，AD=BC，M、N、P分别是AC、BD、CD的中点。
求证：ΔMNP是等边三角形。
8. 如图14-55，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB>CD,AD=BC,对角线AC、BD交于点O，∠AOB=600，
且E、F分别是OD、OA的中点，M是BC的中点，求证：ΔEFM是等边三角形。
9. 如图14-56，在ABCD中，ΔABE和ΔBCF都是等边三角形，求证：ΔDEF是等边三角形。
10.如图14-57，已知D为等边ΔABC内一点，DA=DC，P点在ΔABC外，且CP=CA，CD平分∠PCB，
求∠P。
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横向拓展
1. 如图14-58，已知P是等边三角形ABC内一点，APB:CPA=5:6:7,求以PA、PB、PC为边长的三角形
的三内角之比。
2. 如图14-59，点O为等边ΔABC内一点，∠AOB=1100，∠BOC=1350，试问：
（1）以OA、OB、OC为边，能否构成三角形？若能，请求出该三角形各内角的度数；若不能，请说明
理由；
（2）如果∠AOB大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA、OB、OC为边的三角形是一个直
角三角形？
3.如图14-60，已知ΔABC是边长为1的等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC为1200的等腰三角形，以
点D为顶点作一个600角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，形成一个三角形。
求证：AMN的周长等于2。
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4.如图14-61，在ΔABC中，∠A=600，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE、
CF交于点M。（1）如果AB=AC，求证：ΔDEF是等边三角形；
（2）如果AB≠AC，试猜想ΔDEF是不是等边三角形？如果ΔDEF是等边三角形，请加以证明；如果
ΔDEF不是等边三角形，请说明理由；
（3）如果CM=4cm，FM=5cm，求BE的长度。
5.如图14-62，已知AO=10，P是射线ON上一动点（即P点可在射线ON上运动），∠AON=600。
（1）OP为多少时，ΔAOP为等边三角形？（2）OP为多少时，ΔAOP为直角三角形？
（3）OP为多少时，ΔAOP为锐角三角形？
（4）OP满足什么条件时，ΔAOP为钝角三角形？
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6.（1）如图14-63，下列每个图形都是由若干个边长为1的等边三角形组成的等边三角形，它们的
边长分别为1,2,3,…，设边长为n的等边三角形由s个小等边三角形组成，按此规律推断s与n有
怎样的关系；
（2）现有一个等角六边形ABCDEF（六个内角都相等的六边形，如图14-64），它的四条边长分别
是2、5、3、1，求这个等角六边形的周长；
（3）（2）中的等角六边形能否用（1）中最小的等边三角形无空隙拼合而成？如果能，请求出需要这
种小等边三角形的个数。
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参考答案；等边三角形；双基训练
1.7个 2.2 9 3.提示：证ΔABD≌ΔBCE，证∠BPG=600
纵向应用；1.EF=13 2.提示：证ΔGCH为等边三角形 3.提示：ΔECB≌ΔDCA，ΔECN≌ΔDCM
4.略 5.提示：证ΔADE≌ΔBCE 6.提示：证ΔABD≌ΔACE 7.略 8.略 9.提示：证ΔADE≌Δ
EBF 10.300。提示：连结BD，易证ΔABD≌ΔCBD，再证ΔCDP≌ΔADB
横向拓展
1.2:3:4. 提示：将ΔAPC绕顶点C逆时针方向转600，点P转到点P′的位置，连结PP′ 2.(1)
能，500，550，750 （2）1500或1000 3.提示：延长AC至点E，使CE=BM，连结DE。证ΔMDB≌
ΔEDC，ΔMDN≌ΔEDN 4.(1)略 (2)提示：证∠EDF=600 （3）12cm 5.(1)10 (2)5或20
(3)5
DE交于点Q，延长ED、BC交于点R，可证ΔPAB、ΔQEF、ΔRCD、ΔPQR为等边三角形 (3)能，
s=102-22-32-62=51(个)