2020届河北衡水中学高三理科数学试卷及答案
河北省衡水中学2020届高三下学期三调考试数学(理)试题答案解析
2019-2020学年度下学期第三次调研考试答案一．选择题（共12小题）1．解：∵集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）．故选：D．2．解：由z（1+2i）＝2﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：A．3．解：由条形图得到：全国从2014年到2018年国内生产总值逐年增加，增长速度较为平稳．国内生产总值相比上一年年增长额最大在2017年；故选：C．4．解：由函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，则函数f（|x﹣2|）为复合函数单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间（﹣∞，2），再根据复合函数的单调性同增异减，可得函数的单调递减区间为（﹣∞，2）．故选：B．5．解：由双曲线的性质可知：|F2M|﹣|F1M|＝2a＝4，|F1N|﹣|F2N|＝2a＝4，∴|F2M|＝|F1M|+4，|F1N|＝|F2N|+4，∵∠F2MN＝∠F2NM，∴|F2M|＝|F2N|，∴|F1N|＝|F1M|+8，∴|MN|＝|F1N|﹣|F1M|＝8．故选：C．6．解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，且，解得n＝75．故选：D．7．解：∵，且，∴3（cos2α﹣sin2α）＝（cosα﹣sinα），∴3（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）＝（cosα﹣sinα），∴cosα+sinα＝①，或cosα﹣sinα＝0，（舍去），∴两边平方，可得：1+sin2α＝，解得：sin2α＝﹣，∴cosα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣，②∴由①+②可得：cosα＝，可得：cos2α＝2cos2α﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：A．8．解：由已知AC＝4，∠ADC＝120°，如图所示；可构造△ADC的外接圆，其中点D在劣弧AC上运动，当运动到弧中点时，△ADC面积最大，此时△ADC为等腰三角形，＝×AC•tan30°×AC＝××＝4．其面积为S△ADC故选：D．9．解：根据三视图，可得三棱锥P﹣ABC的直观图如图所示，其中D为AB的中点，PD⊥底面ABC．所以三棱锥P﹣ABC的体积为，，PA，PB，PC不可能两两垂直，三棱锥P﹣ABC的侧面积为．故选：C．10．解：函数f（x）＝sin（2x﹣）在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，与g（x）＝cos（x+）在区间（）上单调递减，在上单调递增，所以：这两个函数在区间上单调递减，故：b＝，即所求的最大值．故选：B．11．解：由题意知函数的定义域为（0，+∞），，∵函数f（x）恰有一个极值点1，∴f′（x）＝0有且仅有一个解，即x＝1是它的唯一解，也就是另一个方程无解，令，则，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，从而，所以当时，方程无解，故选：C．12．解：设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、C （x 3，y 3）、D （x 4，y 4），由，即（1﹣x 1，1﹣y 1）＝λ（x 3﹣1，y 3﹣1），则x 1+λx 3＝1+λ，y 1+λy 3＝1+λ，由，同理可得：x 2+λx 4＝1+λ，y 2+λy 4＝1+λ．则（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）＝（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4），将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得：＝﹣•，由题意可得：AB ∥CD ，∴k AB ＝k CD ＝﹣．则a 2（y 1+y 2）＝4b 2（x 1+x 2）①，同理可得：a 2（y 3+y 4）＝4b 2（x 3+x 4），∴λa 2（y 3+y 4）＝4λ2（x 3+x 4），②①+②得：a 2[（y 1+y 2）+λ（y 3+y 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]＝4b 2[（x 1+x 2）+λ（x 3+x 4）]，∴a 2＝4b 2，则椭圆的离心率e ＝＝＝．故选：A ．二．填空题（共4小题）13．解：向量＝（3，﹣2），＝（1，m ），则﹣＝（2，﹣m ﹣2），又⊥（），所以•（﹣）＝0，即3×2﹣2×（﹣m ﹣2）＝0，解得m ＝﹣5．故答案为：﹣5．14．17种，解：按照甲乙是否在一起分为两种情况：①甲乙在一起，则都在C 病区，则丙丁分配在AB 病区，有两种。
河北省衡水中学2020届高三高考考前密卷(一)数学(理)试题 Word版含解析
衡水2019-2020届高考考前密卷(一)数学(理)注意事项：1，本试卷分第1卷(选择题)和第1卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.2，答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在本卡相应的位置. 3，全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4，考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第1卷(选择题共60分)一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|320}A x x x =-+≤，{}2|lo 1g B x x =<，则A B =（ ）A. {}|12x x ≤<B. {}2|1x x <≤C. {}2|0x x <≤D.{}2|0x x ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】分别求出集合,A B ，然后取并集即可. 【详解】由题意，2{|320}A x x x =-+≤{|12}x x =≤≤，{}{}2|log 12|0B x x x x =<<=<，所以AB ={}2|0x x <≤.故选：C.【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的并集，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2.已知1z 、2z 均为复数，下列四个命题中，为真命题的是（ ）A. 11||||z z ==B. 若2||2z =，则2z 的取值集合为{2,2,2,2}i i --（i 是虚数单位）C. 若22120z z +=，则10z =或20z =D. 1212z z z z +一定是实数 【答案】D 【解析】 【分析】对A ，取1z i =，即可判断出正误；对B ，由2||2z =，则22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π；对C ，取1z i =，2z i =-，即可否定；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，利用复数的运算法则即可判断出正误．【详解】对A ，例如取1z i =无意义，故A 错误；对B ，2||2z =，取22(cos sin )z i θθ=+，[0θ∈，2)π，故B 错误； 对C ，例如取1z i =，2z i =-，满足条件，故C 错误；对D ，设1z a bi =+，2z c di =+，a ，b ，c ，d R ∈，则1212()()z z z z a bi c di +=+-()()()()2a bi c di ac bd bc ad i ac bd ad bc i ac +-+=++-+-+-=，所以1212z z z z +是实数，故D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算法则、复数的相关概念，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 3.已知正实数,a b 满足21()log 2aa =，21()log 3bb =，则（ ） A. 1a b <<B. 1b a <<C. 1b a <<D.1a b <<【答案】B 【解析】 【分析】在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象，结合图象，即可求解． 【详解】由题意，在同一坐标系内，分别作出函数211(),()log 23xxy y y x ===的图象， 结合图象可得：1b a <<，故选B ．【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的图象与性质的应用，其中解中熟记指数函数、对数函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．4.2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A.2764B.916C.81256D.716【答案】B 【解析】 【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率．【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况； 所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==； 故选：B.【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题． 5.已知函数()2sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示，点(3A ，,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法错误的是（ ）A. 直线12x π=是()f x 图象的一条对称轴B. ()f x 的最小正周期为πC. ()f x 在区间,312ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 的图象可由2sin 2g x x 向左平移3π个单位而得到【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式()2sin(2)3f x x π=+，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求求解.【详解】由题意，函数()2sin()f x x ωϕ=+的图象过点(3A ， 可得()03f =2sin 3ϕ=3sin 2ϕ=， 因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，即()2sin()3f x x πω=+，又由点,03B π⎛⎫⎪⎝⎭，即()2sin()0333f πππω=⨯+=，可得33ππωπ⨯+=，解得2ω=，所以函数的解析式为()2sin(2)3f x x π=+，令12x π=，可得2121()2sin(2)si 222n 3f ππππ=⨯+==，所以12x π=是函数()f x 的一条对称轴，所以A 是正确的；由正弦型函数的最小正周期的计算的公式，可得222T πππω===，所以B 是正确的；当(,)312x ππ∈-，则2(,)332x πππ+∈-， 根据正弦函数的性质，可得函数()f x 在区间(,)312ππ-单调递增，所以C 是正确的；由函数2sin 2g xx 向左平移3π个单位而得到函数22sin[2()]2sin(2)33y xx， 所以选项D 不正确. 故选：D .【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象求解三角函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确计算与逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.6.设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”：a b ⨯是一个向量，它的模||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅，若(3,1),(1,3)a b =--=，则||a b ⨯（ ）A.B. 2C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据(3,1),(1,3)a b =--=，利用数量积运算求得夹角，进而得到夹角的正弦值，再代入公式||||||sin a b a b θ⨯=⋅⋅求解. 【详解】(3,1),(1,3)a b =--=||2,||2a b ∴==23cos ||||a b a b θ⋅-∴===⋅则1sin 2θ=||||||sin 2a b a b θ∴⨯=⋅⋅=，故选：B【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及向量积的新定义运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 7.已知621(1)a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和为256，则该展形式中3x 的系数为（ ） A. 26 B. 32C. 38D. 44【答案】C 【解析】 【分析】令1x =，由系数和求得a ，然后求得6(1)x +展开式中3x 和5x 的系数，由多项式乘法法则得结论．【详解】令1x =则6(1)2256,3a a +⋅=∴=， ∴6231(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中含3x 的项为26335536338C x C x x x+⋅=，所以3x 的系数为38. 故选：C.【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求展开式中所有项的系数和，对多项式相乘问题，除要掌握二项展开式通项公式外还应掌握多项式乘法法则． 8.执行如下的程序框图，则输出的S 是（ ）A. 36B. 45C. 36-D. 45-【答案】A 【解析】 【分析】列出每一步算法循环，可得出输出结果S 的值.【详解】18i =≤满足，执行第一次循环，()120111S =+-⨯=-，112i =+=；28i =≤成立，执行第二次循环，()221123S =-+-⨯=，213i =+=； 38i =≤成立，执行第三次循环，()323136S =+-⨯=-，314i =+=； 48i =≤成立，执行第四次循环，()4261410S =-+-⨯=，415i =+=； 58i =≤成立，执行第五次循环，()52101515S =+-⨯=-，516i =+=； 68i =≤成立，执行第六次循环，()62151621S =-+-⨯=，617i =+=； 78i =≤成立，执行第七次循环，()72211728S =+-⨯=-，718i =+=； 88i =≤成立，执行第八次循环，()82281836S =-+-⨯=，819i =+=； 98i =≤不成立，跳出循环体，输出S 的值为36，故选A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9.数列{}n a 满足1a Z ∈，123n n a a n ++=+，且其前n 项和为n S .若13m S a =，则正整数m =（ ） A. 99 B. 103 C. 107 D. 198【答案】B 【解析】 【分析】根据递推公式，构造新数列{}1n a n --为等比数列，求出数列{}n a 通项，再并项求和，将13S 用1a 表示，再结合通项公式，即可求解.【详解】由123n n a a n ++=+得()()1111n n a n a n +-+-=---， ∴{}1n a n --为等比数列，∴()()11112n n a n a ---=--，∴()()11121n n a a n -=--++，()()11121m m a a m -=--++，∴()()131231213S a a a a a =+++++()112241236102a a =+⨯++++⨯=+，①m 为奇数时，1121102a m a -++=+，103m =.②m 为偶数时，()1121102a m a --++=+，1299m a =+， ∵1a Z ∈，1299m a =+只能为奇数， ∴m 为偶数时，无解. 综上所述，103m =. 故选:B.【点睛】本题考查递推公式求通项，合理应用条件构造数列时解题的关键，考查并项求和，考查分类讨论思想，属于较难题.10.已知双曲线22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,过2F 的直线交双曲线右支于,P Q 两点,且1PQ PF ⊥,若134PQ PF =,则该双曲线离心率e =( )A.3B.5 C.3D.5【答案】C 【解析】 【分析】由1PQ PF ⊥,134PQ PF =,可得1QF 与1PF 的关系,由双曲线的定义可得12122a PF PF QF QF =-=-,解得|1PF ,然后利用12Rt PF F ∆,推出,a c 的关系,可得双曲线的离心率.【详解】设,P Q 为双曲线右支上一点, 由1PQ PF ⊥,134PQ PF =, 在直角三角形1PF Q 中1154QF PF ==由双曲线的定义可得:12122a PF PF QF QF =-=-134PQ PF =∴ 22134PF QF PF +=可得:111532244PF a PF a PF -+-=1351444PF a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭解得183a PF =21223a PF PF a =-=在12Rt PF F ∆中根据勾股定理:122c F F ==解得:23c a =∴ 3c e a ==故选:C.【点睛】本题考查了求双曲线的离心率,解题关键是掌握离心率的定义和根据条件画出草图,数形结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.11.在三棱锥P ABC -中,ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,则球O 的表面积为( )A.53π B. 2πC. 5πD.203π【答案】A 【解析】 【分析】由ABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形,,,,P A B C 四点在球O 的球面上,当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直,画出图像,求出此时的三棱锥P ABC -外接球的半径,即可求得答案.【详解】当三棱锥P ABC -的体积最大时,即面ABC 与面PBC 垂直 画出立体图像:设PBC ∆外接圆圆心为M ,ABC ∆外接圆圆心为N ,P ABC -外接球的半径为R , 取BC 中点为Q PBC ∆等边三角形∴ PQ BC ⊥又面ABC ⊥面PBC 垂直∴ PQ ⊥面ABCAQ ⊂面ABC∴ PQ ⊥AQABC ∆与PBC ∆均为边长为1的等边三角形∴ 可得ABC ∆与PBC ∆外接圆半径为3即33AN PM == 则36NQ MQ == 又OM ⊥面PBC ,ON ⊥面ABC∴ 四边形OMNQ 是正方形,36NQ MQ OM ON ∴====在Rt PMO △中有:222PO OM PM =+解得: 22233512PO ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故P ABC -外接球的半径为2512R =球的表面积公式为:25544123S R πππ==⨯= 故选:A.【点睛】本题考查了求三棱锥外接球表面积,解题关键是掌握三棱锥外接球半径的求法,画出立体图形,结合图形,寻找几何关系,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.12.已知函数()f x 与()f x '的图象如图所示，则不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为（ ）A. ()0,1B. 41,3⎛⎫⎪⎝⎭C. 4,23⎛⎫⎪⎝⎭D. ()2,4【答案】A 【解析】 【分析】对图中实线部分曲线为函数()y f x =或其导函数()y f x '=的图象进行分类讨论，结合导数符号与原函数单调性之间的关系进行分析，再结合图象得出不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集.【详解】若图中实线部分曲线为函数()y f x =的图象，则虚线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，由导函数()y f x '=的图象可知，函数()y f x =在区间()0,4上的单调递减区间为()0,2， 但函数()y f x =在区间()0,2上不单调，不合乎题意；若图中实线部分曲线为导函数()y f x '=的图象，则函数()y f x =在区间()0,4上的减区间为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为4,43⎛⎫⎪⎝⎭，合乎题意. 由图象可知，不等式()()04f x f x x ⎧>⎨<<'⎩的解集为()0,1.故选：A.【点睛】本题考查利用图象解不等式，解题的关键就是要结合导函数与原函数之间的关系确定两个函数的图象，考查数形结合思想以及推理能力，属于中等题.第11卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题据要求作答､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为16，第二轮检测不合格的概率为110，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X 元，则P (X ≥－80)＝________. 【答案】243256【解析】 【分析】首先求某产品两轮检测合格的概率113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算()80P X ≥-.【详解】由题意得该产品能销售的概率为113116104⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,易知X 的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B 34,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以()443144kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以P (X ＝－80)＝P (ξ＝2)＝2224312744128C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ， P (X ＝40)＝P (ξ＝3)＝33431274464C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， P (X ＝160)＝P (ξ＝4)＝444318144256C ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故P (X ≥－80)＝P (X ＝－80)＋P (X ＝40)＋P (X ＝160)＝243256【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键. 14.已知()sin(2019)cos(2019)63f x x x ππ=++-的最大值为A ，若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为____________ 【答案】22019π【解析】 【分析】利用三角恒等变换可得f （x ）=2sin （2019x+6π），依题意可知A=2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，从而可得答案． 【详解】∵f （x ）=sin （2019x+6π）+cos （2019x ﹣3π），=12cos2019x+12，=2sin （2019x+6π）， ∴A=f （x ）max =2，周期T=22019π， 又存在实数x 1，x 2，对任意实数x 总有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立， ∴f （x 2）=f （x ）max =2，f （x 1）=f （x ）min =﹣2，|x 1﹣x 2|的最小值为12T=2019π，又A=2， ∴A|x 1﹣x 2|的最小值为22019π．故答案为22019π． 【点睛】本题考查三角函数的最值，着重考查两角和与差的正弦与余弦，考查三角恒等变换，突出正弦函数的周期性的考查，属于中档题．15.设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(],21e -∞- 【解析】 【分析】先利用换元法求出()f x ，然后再用分离变量法，借助函数的单调性解决问题． 【详解】解：由题意可设()xf x e x t -+=，则()xf x e x t =-+，∵()xf f x e x e ⎡⎤-+=⎣⎦，∴()ttf t e t t e e =-+==，∴1t =，∴()1xf x e x =-+，∴()1xf x e '=-，由()()f x f x ax '+≥得11x x e x e ax -++-≥，∴21x e a x≤-对()0,x ∈+∞恒成立，令()21xe g x x =-，()0,x ∈+∞，则()()221'x e x g x x-=， 由()'0g x =得1x =，∴()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞单调递增，∴()()121g x g e ≥=-， ∴21a e ≤-，故答案为：(],21e -∞-．【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查利用函数的单调性解决恒成立问题，属于中档题．16.已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ； （4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5） 【解析】 【分析】（1）由A 、B 在抛物线上，根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，从而有相等的角，由此可判断11A F B F ⊥；（2）取AB 的中点C ，利用中位线即抛物线的定义可得()1122CM AF BF AB =+=，从而可得AM BM ⊥；（3）由（2）知，AM 平分1A AF ∠，从而可得1A F AM ⊥，根据AM BM ⊥，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；（4）取1AA 与y 轴的交点D ，可得1A D OF =，可得出1A F 的中点在y 轴上，从而得出结论；（5）设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，证明出1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线，由此可得出结论.【详解】（1）由于A 、B 在抛物线上，且1A 、1B 分别为A 、B 在准线l 上的射影， 根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，则11AA F AFA ∠=∠，11BB F BFB ∠=∠，11//AA BB ，11180FAA FBB ∠+∠=，则1111180AA F AFA BB F BFB ∠+∠+∠+∠=，即()112180AFA BFB ∠+∠=，1190AFABFB ∴∠+∠=，则1190A FB ∠=，即11A F B F ⊥，（1）正确；（2）取AB 的中点C ，则()1122CM AF BF AB =+=，90AMB ∴∠=，即AM BM ⊥， （2）正确；（3）由（2）知，1//CM AA ，1A AM AMC ∠=∠，12CM AB AC ==，AMC CAM ∴∠=∠，1A AM CAM ∴∠=∠，AM ∴平分1A AF ∠，1AM A F ∴⊥，由于BM AM ⊥，11//A F B M ∴，（3）正确； （4）取1AA 与y 轴的交点D ，则12pA D OF ==，1//AA x 轴，可知1A DE FOE ∆≅∆，1A E EF ∴=，即点E 为1A F 的中点，由（3）知，AM 平分1A AF ∠，1A M ∴过点E ，所以，1A F 与AM 的交点的y 轴上，（4）正确；（5）设直线AB 的方程为2p x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则点11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得，2220y mpy p --=，由韦达定理得212y y p =-，122y y mp +=，直线1OA 的斜率为1221122222OAp y y y p k p p p y ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-=-=-， 直线OB 的斜率为22222222OB y y p k y x y p===，1OA OB k k ∴=， 则1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线， 所以，1AB 与1A B 交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，涉及抛物线定义的应用，考查推理能力，属于中等题.三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.(一)必考题：共60分17.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2a 是1a 与4a 的等比中项，612a =，11221a b a b ==.(1)求n a ，n S 与n T ; (2)若n c =:()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<.【答案】(1)2n a n =，()1n S n n =+，112n nT =-;(2)见解析 【解析】 【分析】（1）由题意得，2214a a a =，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差，则等差数列的通项公式与前n 项和可求，再将12,a a 代入11221a b a b ==，利用等比数列通项公式求出1b ，q ，进而可得n T ；（2）由n c =，结合10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭恒成立，即可得到12n c n <<=+，结合等差数列的前n 项和公式即可证明()1222n n n c c c +++⋅⋅⋅+<. 【详解】(1)根据定义求解.由题易知()()2111135120a d a a d a d d ⎧+=+⎪+=⎨⎪≠⎩解得122a d =⎧⎨=⎩，故()112n a a n d n =+-=，()()112n n a a n S nn +==+，1122111241a b a b b b q ==⇒==解得112b =，12q =， 则1112n n n b b q-==，()11112n n n b q T q -==--，n N +∈.(2)由题可知n c =10112n⎛⎫<-< ⎪⎝⎭，12n <+，121(1)1(2)1232222n n n n nc c c n n n ++∴++⋯+<+++++=+=，即()1222n n n c c c ++++<成立. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题.18.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次乙肝普查，为此需要抽验960人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验960次.方案②：按k 个人一组进行随机分组，把从每组k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这k 个人的血就只需检验一次；否则，若呈阳性，则需对这k 个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组k 个人的血总共需要化验1k +次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组k 个人中每个人的血化验次数为X ，求X 的分布列；（2）设0.1p =，试比较方案②中，k 分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？(最后结果四舍五入保留整数).【答案】（1）见解析（2）390次 【解析】【分析】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-，11,1X k k=+，求出k 个人的血混合后呈阴性反应的概率，呈阳性反应的概率得分布列；（2）由（1）计算出期望()E X ，令2,3,4k =分别计算出均值后可得检验次数，从而可得结论．【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为q ，则1q p =-所以k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为k q ，呈阳性反应的概率为1kq - 依题意可知11,1X =+，所以X 的分布列为：（2）方案②中结合（1）知每个人的平均化验次数为：()111()111k k k E X q q q k k k ⎛⎫=⋅++⋅-=-+ ⎪⎝⎭所以当2k =时，21()0.910.692E X =-+=，此时960人需要化验的总次 数为662次，3k =时，31()0.910.60433E X =-+=，此时960人需要化验的总次数为580次，4k =时，41()0.910.59394E X =-+=，此时960人需要化验的次数总为570次即2k =时化验次数最多，3k =时次数居中，4k =时化验次数最少 而采用方案①则需化验960次，故在三种分组情况下，相比方案①，当4k =时化验次数最多可以平均 减少960570390-=次．【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查用样本估计总体，考查了学生的数据处理能力和运算求解能力．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC ==，D ，E 分别为1AA ，1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知1B C 与平面BCD 所成的角为30°，求二面角1D BC B --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）22． 【解析】 【分析】（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，根据题目条件，利用线面垂直的判定定理，得出AF ⊥平面11BCC B ，由于E 为1B C 中点，1EFBB ，112EF BB =，可证出四边形ADEF 为平行四边形，得出AF DE ∥，从而可证出DE ⊥平面11BCC B ；（2）设1AB AC ==，12AA a =，根据（1）可知，DE ⊥平面1BCB ，则D 到平面1BCB 距离22DE =，设1B 到面BCD 距离为d ，根据三棱锥等体积法有11B BDCD BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，得221d a =+1B C 与平面BCD 所成的角为30°，可求出2a =，结合线面垂直的判定定理证出BC ⊥平面DEFA ，进而得出EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角，只需求出EFD ∠，即可求出二面角1D BC B --的余弦值．【详解】解：（1）取BC 中点F ，连接AF 、EF ，∵AB AC =∴AF BC ⊥，∵1BB ⊥平面ABC ，AF ⊂平面ABC ， ∴1BB AF ⊥，而BC ⊂平面11BCC B ，1B B ⊂平面11BCC B ，1BC B B B =∩ ∴AF ⊥平面11BCC B ， ∵E 为1B C 中点，∴1EF BB ，112EF BB =， ∴EFDA ，EF DA =，∴四边形ADEF 为平行四边形，∴AF DE ∥． ∴DE ⊥平面11BCC B ．（2）设1AB AC ==，12AA a =，则BC =2AF =，BD DC ==∴DF ==∴12BDCS BC DF =⋅=△1112BCB SBB BC =⋅=，D 到平面1BCB 距离2DE =，设1B 到面BCD 距离为d ， 由11B BDC D BCB V V --=，得11133BCB BDC S DE S d ⋅=⋅△△，即113232d ⋅=⋅，得d = 因为1B C 与平面BCD 所成的角为30°， 所以12sin 30d B C d ===︒而在直角三角形1B BC 中，1B C ==所以2242221a a +=+，解得2a =． 因AF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以AF BC ⊥，又EF ⊥平面11BCC B ，BC ⊂平面11BCC B ，所以EF BC ⊥， 所以BC ⊥平面DEFA ，∵DF ⊂平面DBC ，EF ⊂平面1B BC 所以EFD ∠为二面角1D BC B --的平面角， 而22DA AF ==， 可得四边形DAFE 是正方形，所以45EFD ∠=︒， 则2cos cos452EFD ∠=︒=， 所以二面角1D BC B --的余弦值为22．【点睛】本题考查线面垂直的判定定理，以及利用几何法求二面角余弦值，涉及平行四边形的证明、等体积法求距离、棱锥的体积，线面角的应用等知识点，考查推理证明能力和计算能力.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为22，P 是椭圆上一点，且△12PF F 面积的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 且不垂直坐标轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，在x 轴上是否存在一点(,0)N n ，使得22||:||:AN BN AF BF =，若存在，求出点(,0)N n ，若不存在，说明理由.【答案】（1）2212x y +=;（2）(1,0)N ,过程见解析【解析】 【分析】（1）当P 是椭圆短轴顶点时，△12PF F 面积取得最大值，建立方程组可得（2）设直线方程，联立得22121222422,2121k k x x x x k k -+==++ 若22||:||:AN BN AF BF =，则0NB NA k k += ，得12120y y x n x n+=--化简得1n = 【详解】（1）121212PF F P SF F y =，由椭圆性质知当=P y b 时，△12PF F 面积最大. 由题得： 222121222c b c a a b c ⎧⨯⨯=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩解得21a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线方程为(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y22(1)21y x x y k =-+=⎧⎪⎨⎪⎩ 化简得2222(21)4220k x k x k +-+-= 22121222422,2121k k x x x x k k -+==++22||:||:AN BNAF BF =，如图，作//AM BN 交2NF 延长线与M 点，易证得22||||AF AM BN BF =,22||:||:AN BN AF BF = AM AN ∴= 22ANF BNF ∴∠=∠所以2F N 是ANB ∠的角平分线,则有0NB NA k k +=12120y yx n x n+=-- ，1221(1)(1)0y x y x ∴-+-= 1122,y kx k y kx k =-=-1221()(1)()(1)0kx k x kx k x ∴--+--= 12212()(+)20kx x kn k x x kn ∴+++=22222242()202121k k k kn k kn k k -∴⨯+++=++ 化简得1n =所以存在点(1,0)N 满足题意.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线的取值范围等基本知识与基本技能，以及数形结合、转化与化归的数学思想.意在考查考生的运算求解能力、推理论证能力以及分析问题、解决问题的能力. 21.已知函数()2xf x eax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()21f x ax >+，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）(],2-∞. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的导数，分0a ≤和0a >两种情况讨论，分析导数()f x '的符号变化，即可求出函数()y f x =的单调区间；（2）问题变形为2210x e ax ax --->，令()221xg x e ax ax =---，由题意得出()()00g x g >=，根据函数()y g x =的单调性确定a 的范围即可．【详解】（1）()2x f x e ax =-，定义域为R 且()22x f x e a '=-.①当0a ≤时，则()0f x '>，则函数()y f x =在R 上单调递增； ②当0a >时，由()0f x '=，得22x e a =，得1ln 22ax =. 当1ln 22ax <时，()0f x '<，函数()y f x =单调递减； 当1ln 22ax >时，()0f x '>，函数()y f x =单调递增.此时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =的单调递增区间为(),-∞+∞； 当0a >时，函数()y f x =的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2）()21f x ax >+变形为2210x e ax ax --->，令()221xg x e ax ax =---，定义域为()0,∞+，且()00g =，()()2222x g x e ax a f x a '=--=-.①当0a ≤时，对任意的0x >，()0g x '>，函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数， 此时，()()00g x g >=，合乎题意；②当0a >时，则函数()y g x '=在R 上的单调减区间为1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，单调增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （i ）当1ln 022a≤时，即当02a <≤时，则函数()y g x '=在区间()0,∞+上为增函数， 此时()()020g x g a ''>=-≥，则函数()y g x =在区间()0,∞+上为增函数. 此时，()()00g x g >=，合乎题意；（ii ）当1ln 022a >时，即当2a >时，则函数()y g x '=在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在区间1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，所以，()min 1ln ln 0222a a g x g a ⎛⎫''==-< ⎪⎝⎭，又()020g a '=-<，所以，函数()y g x =在区间10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 当10,ln 22a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．(二)选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为11212x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.直线l 的极坐标方程为2cos sin 0m ρθρθ-+=.（1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）已知l 与C 相切，求m 的值.【答案】（1）C的直角坐标方程为2212yx-=,直线l的直角坐标方程为20x y m-+=（2）m=【解析】【分析】（1）将11212x tty tt⎧⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭⎪⎨⎫⎪=-⎪⎪⎝⎭⎩化为121x tttt⎧=+⎪⎪=-，两式平方相减，消去参数t，求得C的普通方程；cos,sinx yρθρθ==代入极坐标方程，即可求出直线l的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C方程联立，消去y，得到关于x的一元二次方程，l与C相切，0∆=，即可求解.【详解】解：（1）因为()222122x tt=++，22212tt=+-，两式相减，有22424x y-=，所以C的直角坐标方程为2212yx-=.直线l的直角坐标方程为20x y m-+=.（2）联立l与C的方程，有221220yxx y m⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，消y，得222420x mx m+++=，因为l与C相切，所以有()222164228160m m m∆=-⨯+=-=，解得：m=.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，考查直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题,23.已知0a>，0b>，0c>设函数()f x x b x c a=-+++，x∈R（1）若2a b c===，求不等式()7f x>的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a ++≥+++++． 【答案】（1）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意，当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2，然后利用零点分段法解不等式即可；（2）根据题意，由绝对值不等式的性质可得f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2，进而利用柯西不等式即可证明不等式．【详解】解：（1）解：（1）当a ＝b ＝c ＝2时，f （x ）＝|x ﹣2|+|x +2|+2 所以f （x ）>7⇔2227x x ≤-⎧⎨->⎩或2267x -⎧⎨>⎩＜＜或2227x x ≥⎧⎨+>⎩所以不等式的解集为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）因为a ＞0，b ＞0，c ＞0所以()()()f x x b x c a x b x c a b c a a b c =-+++≥--++=++=++ 因为f （x ）的最小值为2，所以a +b +c ＝2()()()41914192a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭21189()422a b c ≥==++ 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，涉及柯西不等式的应用，考查转化能力与计算能力，属于基础题．。
河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题 含解析
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x=-≤，(){}|lnB x y x a==-，若A B A=，则实数a的取值范围为（）A. (),0-∞B.(],0-∞C.()1,+∞D.[)1,+∞【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据A B A=得到A是B子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001 A x x x x=-≤⇒≤≤(){}|lnB x y x a x a==-⇒>A B A A B⋂=⇒⊆所以0a<故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB是抛物线22y x=的一条焦点弦，AB中点C的横坐标是 ( )A.2【答案】B【解析】【分析】先设A B，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A,B,x y x y，，C的横坐标为0x，则因为AB是抛物线22y x=的一条焦点弦，所以所以123x x+=，故故选B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）3355306 66【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠= 设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中6466cos ,6226EAD +-∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（ ）3π-3π6π-6π【答案】C【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以27cos 7α=，57sin 14β= ，由()21212757491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-，且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x xππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x xππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a bπ=-，注意到[0,2)bπ∈，只有这两组．故选B．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.已知F是双曲线22:145x yC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OP OF，则OPF△的面积为（）A. 32 B.52 C.72 D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y，因为=OP OF再结合双曲线方程可解出0y，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y，则2200145x y-=①．又453 OP OF==+=，22009x y∴+=②．由①②得2259y=，即53y=，115532232 OPFS OF y∆∴==⨯⨯=，【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．7.已知等差数列{}na的公差不为零，其前n项和为nS，若3S，9S，27S成等比数列，则93SS=（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，得29327S S S=⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a=，即可求解93SS 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S，9S，27S成等比数列，所以29327S S S=⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a+++⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a=⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d+=++，解得12d a=，所以919135329()3()9223S a a a a aS a++=÷=＝11113(4)2793a d aa d a+==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC∆中，点P满足3BP PC=，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM ABλ=，()0,0AN ACμλμ=>>，则λμ+的最小值为（）212+312+3252【答案】B【解析】由题意得出1344AP AB AC =+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP-=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AMλ∴=，1AC ANμ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()1333312114444442λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C，故BC 1上任意一点到平面1AD C的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C为底面，则三棱锥1A D PC-的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B，11AC ，111//A C AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. 23B. 43C. 13D. 213【答案】B【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43． 故选B ． 11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ，延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，111A C 3DC =，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQDNC 11111hV V V V S h h Sh S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭下．故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设()()22D 22xx a e aa =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A. 2B. 3C. 21+D. 31+【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有112FQ+==，则D的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log,042,0xx xf xx->⎧=⎨-≤⎩，则18f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】-4【解析】【分析】先求18f⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log,042,0xx xf xx->⎧=⎨-≤⎩，则211log388f⎛⎫==-⎪⎝⎭()1348f f f⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________.【答案】52【解析】 【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π【解析】 【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=，∴A 'F2251R OF =-=-=2， 所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE2251R DE =-=-=2， ∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF3π=， 故∠A 'DB23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x xe =+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()f xg x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e =+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x当0＜x 0＜e 时，F（x ）在（x 0∴x∈（x 0F （x ）＜F （x 0）＝0当x 0＞e 时，F （x x 0）上递减；∴x ∈x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （ef （x【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C=；（2）192CE=【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C；（2）利用向量法求出CE．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cosBD BC CD BC CD=+-⋅1312cosC C=-，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C12=，60C∴=；（2）由1()2CE CD CB=+，得2221(2)4CE CD CB CD CB=++⋅1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192CE=.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EFPB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DEPC ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得由方程组结合215x x =，可得经检验k 的值详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，又由222a b c =+，可得23a b =．由从而3,2a b ==．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y消去y ，由215x x =，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得时，290x =-<，不合题意，舍去；当时，212x =，意．所以，k 的值为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ； （2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）56【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出BD 3=，继而得到BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，∴5sin 3ADE ∠=，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6AH ABH AB ∠==，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值56.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px=，其中常数0p>，F是抛物线Γ的焦点.（1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求||||PAPF的最大值；（2）设2p=，1l，2l是两条互相垂直，且均经过点F的直线，1l与抛物线Γ交于点A，B，2l与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4FG FA FB FC FD=+++，求点G的轨迹方程. 【答案】（1）最大值为2；（2）23y x=-【解析】【分析】（1）求得A的坐标，设出过A的直线为y＝k（x2p+），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A是点(,0)2pF关于顶点O的对称点，可得(,0)2pA-，设过A的直线为()2py k x=+，tankα=，联立抛物线方程可得22222(2)04k pk x k p p x+-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p∆=--=，解得1k=±，可取1k=，可得切线的倾斜角为45°，，而α的最小值为45°，（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，由两直线垂直的条件，可将k ，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e xg x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-.【解析】，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e xg x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围. 试题解析：（I ）由()()32634f x x x a a x b=---+，可得()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.，得4a a <-.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.（II ）（i ）因为()()()()''x g x e f x f x =+，由题意知()()0000'xx g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在x x =处的导数等于0. （ii ）因为()xg x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a=.，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x=-，令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-.所以，b的取值范围是[]7,1-.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。
河北省衡水中学2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案
2019—2020学年度高三年级下学期第一次模拟考试数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡）1. 设复数11z i =+，21z i =-，则1211z z +=（ ） A. 1B. -1C. iD. i -2. 已知集合(){}|ln 1M x y x ==+，{}|x N y y e ==，则M N =（ ）A. ()1,0-B. ()1,-+∞C. ()0,+∞D. R3. 为比较甲、乙两名高中学生的数学素养，对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验（指标值满分为5分，分值高者为优），根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图，则下面叙述不正确的是（ ）A. 甲的数据分析素养优于乙B. 乙的数据分析素养与数学建模素养相同C. 甲的六大素养整体水平优于乙D. 甲的六大素养中数学运算最强4. 若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，7cos 225α=，则sin 3sin 2απα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A. 34-B.34 C.43D. 43-5. 已知123,,x x x R ∈，123x x x <<，设1212x x y +=，2322x x y +=，3132x x y +=，1212y y z +=，2322y y z +=，3132y y z +=，若随机变量X ，Y ，Z 满足：()()()i i i P X x P Y y P Z z =====1(1,2,3)3i ==，则（ ） A. ()()()D X D Y D Z << B. ()()()D X D Y D Z >> C. ()()()D X D Z D Y <<D. ()()()D X D Z D Y >>6. 函数cos ln y x x =-⋅的图象可能是（ ）A. B . C. D.7. 标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A. 4510a B. 91010a C. 45110a ⎛⎫⎪⎝⎭D. 910110a ⎛⎫⎪⎝⎭8. 已知1F ，2F 为椭圆C ：221(0)x y m m+=>的两个焦点，若C 上存在点M 满足12MF MF ⊥，则实数m 取值范围是（ ） A. 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. [)2,+∞C. [)10,2,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. (]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭9. 已知函数()f x x ω=和()()0g x x ωω=>图象的交点中，任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点，为了得到()y g x =的图象，只需把()y f x =的图象（ ）A. 向左平移1个单位B. 向左平移2π个单位 C. 向右平移1个单位D. 向右平移2π个单位10. 已知函数()()2121f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则a =（ ） A.12B. -1C. 1±D. 12±11. 如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=，则直线1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）A. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 1,22⎡⎢⎣⎦D. 12⎡⎢⎣⎦12. 已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，P 为C 上一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M （异于P ，F ），与y 轴交于点N ，直线MB 与y 轴交于点H ，若3HN OH =-（O 为坐标原点），则C 的离心率为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（共4题，每题5分）13. 已知平面向量a 与b 的夹角为45︒，()1,1a =-，1b =，则a b +=______.14. 在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3.则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的所有选项是___________（填A 、B 、C 、D ） 15. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，且A 为锐角，则当2a bc 取得最小值时，a b c+的值为______.16. 在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体P ABC -的顶点A ，B 分别在x 轴，y 轴上移动，若该正四面体的棱长为2，则OP 的取值范围是______.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. 如图，四棱锥S ABCD -中，二面角S AB D --为直二面角，E 为线段SB 的中点，3390DAB CBA ASB ABS ∠=∠=∠=∠=︒，1tan 2ASD ∠=，4AB =.（1）求证：平面DAE ⊥平面SBC ； （2）求二面角C AE D --的大小.18. 数列{}n a ，{}n b 定义如下：11a =，12b =，12n n n a a b +=+，12n n n b a b +=+. （1）求数列{}n n a b -的通项公式； （2）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式.19. 已知抛物线1C ：()220x py p =>上的点到焦点的距离最小值为1.（1）求p 的值；（2）若点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，且在曲线1C 上存在三点A ，B ，C ，使得四边形PABC为平行四边形.求三角形PAC 的面积S 的最小值. 20. 已知函数()()21x a e x f x x--=，且曲线()y f x =在()()2,2f 处的切线斜率为1.（1）求实数a 的值；（2）证明：当0x >时，()1f x >； （3）若数列{}n x 满足()1n x n ef x +=，且113x =，证明：211n x n e -<.21. 系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件正常工作的事件相互独立，如果系统中有多于一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性. （1）某系统配置有21k -个元件，k 为正整数，求该系统正常工作概率k P 的表达式.（2）现为改善（1）中系统的性能，拟增加两个元件，试讨论增加两个元件后，能否提高系统的可靠性. 选做题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 已知平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()2sin 02ρθθπ=≤≤.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于极点的A ，B 两点，且4OA OB =，求α的值. 23. 已知()22f x x x a =-++.（Ⅰ）当2a =时，求不等式()5f x >的解集；（Ⅱ）设不等式()21f x x ≤+的解集为B ，若[]3,6B ⊆，求a 的取值范围.答 案一、选择题（共12小题） 1-5：ACDBB 6-10：ACCAC11-12：AB1. A 解：12111111111(1)(1)i iz z i i i i -+++=+==+-+-.故选：A.2. C 解：∵{}|1M x x =>-，{}|0N y y =>，∴()0,M N =+∞，故选：C.3. D 解：甲乙的六大素养指标A ：甲的数据分析素养优于乙，故A 正确；B ：乙的数据分析优于数学建模素养相同；故B 正确；C ：甲的六大素养整体水平优于乙，故C 正确；D ：甲的六大素养中，直观想象，数据分析与逻辑推理能力最强，故D 错误.4. B 解：由题可得：222222cos sin 1tan 7cos 2cos sin 1tan 25ααααααα--===++，解得3tan 4α=±，因为,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3tan 4α=-，所以sin sin 3tan 3cos 4sin 2αααπαα==-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭.故选：B. 5. B 解：()1231()3E X x x x =++，2331121()3222x x x x x x E Y +++⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()()12313x x x E X =++=，122x x +，232x x +，312x x +距()E Y ，1x ，2x ，3x 较近，所以()()D X D Y >，同理()()D Y D Z >，故()()()D X D Y D Z >>，故选：B.6. A 解：因为cos ln y x x =-⋅为偶函数，定义域为{}|0x x ≠，故排队C ，D ； 当x π=时，ln 2y π=<，排除B ； 故选：A.7. C 解：由题意可得，假若视力4.9的视标边长为首项，则公比q = 4.1的视标边长为a ，故81a a q =，即451881101010a aa a q -===⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：C. 8. C 解：当焦点在x 轴上时，2a m =，21b =，1m >，当M 为上下顶点时，12F MF ∠最大， 因为120MF MF ⋅=坐标，122FMF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=，即11≥，解得2m ≥； 当焦点在y 轴上时，21a =，2b m =，01m <<，当M 为左右顶点时，12F MF ∠最大，因为120MF MF ⋅=，122F MF π∠≥，14F MO π∠≥，所以1tan tan 14c F MO b π∠=≥=1≥，解得102m <≤，故选C.9. A 解：令()f x x ω=和()g x x ω=相等可得 sin cos tan 14x x x x k πωωωωπ=⇒=⇒=+，k Z ∈；∴可设连续三个交点的横坐标分别为：4πω，54πω，94πω；对应交点坐标为：,14A πω⎛⎫⎪⎝⎭，5,14B πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,14C πω⎛⎫⎪⎝⎭； ∵任意连续三个交点均可作为一个等腰直角三角形的顶点； ∴B 到AC 的距离等于AC 的一半；即1922442πππωωω⎛⎫=⨯-⇒= ⎪⎝⎭；∴11()222f x x x x πωππ⎛⎫===- ⎪⎝⎭()11222x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；∴需把()y f x =的图象向左平移1个单位得到1()2g x x x ωπ==的图象；故选：A.10. C 解：设2()()1()()21g x h x ax g x h x x ax +=+⎧⎨-=+-⎩，所以22()()1g x x ax h x x ⎧=+⎨=-⎩， 则()()()()()f x g x h x g x h x =++-()()()()()()2,2,g x g x h x h x g x h x ≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，由于()()g x x x a =+的图象恒过()0,0，(),0a -，()h x 的图象为开口向下， 且过()1,0-，()1,0的抛物线，且()f x 的最小值为0，结合图象可得1a -=或1a -=-，即有1a =±. 故选：C.12. B 解：不妨设P 在第二象限，FM m =，()()0,0H h h >， 由3HN OH =-知()0,2N h -，由AFM AON △△，得2m c ah a-=（1）， 由BOHBFM △△，得h am c a =+（2）， （1），（2）两式相乘得12c ac a-=+，即3c a =，离心率为3.故选：B.二、填空题（共4小题）13.14. AD 15.16. 1⎤⎦13. 解：根据题意，()1,1a =-，则2a =，又由a 与b 的夹角为45︒，1b =，则22222215a b a a b b +=+⋅+=++=，则5a b +=；故答案为：14. 解：该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.在A 地中，中位数为2，极差为5，257+=，每天新增疑似病例不会超过7人，所以A 地符合标准；在B 地中，总体平均数为2，众数为2，每天新增疑似病例可以超过7人，所以B 地不符合标准； 在C 地中，总体平均数为1，总体方差大于0，每天新增疑似病例可以超过7人，所以C 地不符合标准；在D 地中，总体平均数为2，总体方差为3.根据方差公式，如果存在大于7的数存在，那么方差大于3，所以D 地符合标准.故答案为：AD .15. 解：由3cos 3cos 5sin b C c B a A +=，及正弦定理可得：23sin cos 3sin cos 5sin B C C B A +=， 可得：23sin()5sin B C A +=，由sin()sin 0B C A +=>，可得3sin 5A =，而A 是锐角， 所以4cos 5A =，则2222282cos 5a b c bc A b c bc =+-=+-， 则22222882825555b c bc a b c bc bc bc bc bc +-+==-≥-=，当且仅当b c =时，2a bc 取得最小值25， 故2225a b =，故5a =，所以a b c =+三、解答题（共2小题）17. 解：（1）∵二面角S AB D --为直二面角，∴平面SAB ⊥平面ABCD ， ∴90DAB ∠=︒，∴AD AB ⊥，∵平面ABCD平面SAB AB =，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面SAB ，又BS ⊂平面SAB ，∴AD BS ⊥，∵ASB ABS ∠=∠，∴AS AB =，又E 为BS 的中点，∴AE BS ⊥，又AD AE A =，∴BS ⊥平面DAE ，∵BS ⊂平面SBC ，∴平面DAE ⊥平面SBC .（2）如图，连接CA ，CE ，在平面ABS 内作AB 的垂线，建立空间直角坐标系A xyz -， ∵1tan 2ASD ∠=，∴2AD =，∴()0,0,0A ，()0,4,0B ，()0,4,2C，()2,0S -，)E，∴()0,4,2AC =，()3,1,0AE =，设平面CAE 的法向量为(),,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4200x z y +=⎧⎪+=，令1x =，则y =z =(1,3,2n =-是平面CAE 的一个法向量，∵SB ⊥平面DAE ，∴平面DAE 的一个法向量为()SB =-，∴21cos ,2n SB n SB n SB⋅-===-⋅，由图可知二面角C AE D --的平面角为锐角，故二面角C AE D --的大小为60︒.18. 解：（1）由12n n n a a b +=+和12n n n b a b +=+，两式相减得()11n n n n a b a b ++-=-+，又111a b -=-，则数列{}n n a b -成首项为-1，公比为-1的等比数列，则(1)n n n a b -=-.（2）两式相加得()113n n n n a b a b +++=+，则数列{}n n a b +成首项为3，公比为3的等比数列，则3nn n a b +=，所以3(1)2n nn a +-=，3(1)2n n n b --=.19. 解：（1）解析：设线法由抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故最小值应为()0,0，准线2p y =-，由题意可得12p=，解得2p =； （2）解析：设线法：设直线AC ：y kx b =+，当直线斜率k 不存在时，此时直线AC 为垂直x 轴的直线，与抛物线只有一个交点，故舍去. 点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，设()11,A x y ，()22,C x y ， 联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx b --=，124x x k +=，124x x b =-，故线段AC 的中点()22,2D k k b +， 若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程()()22004442k x k b y -=+-，即()2000148kx b x y +=+①1212PAC S AC d x =⋅⋅=-△00kx b y =+-， 代入①得：2004S x y =-===当012k x =时，min 2S =.所以三角形PAC 的面积S的最小值2. （2）解析2：设点法设()11,A x y ，()22,C x y ，直线AC ：()121240x x x y x x +--=，点()00,P x y 在曲线2C ：2114y x =+上，故2044x y -=-，线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，若要满足四边形PABC 为平行四边形，则B ，P关于点D 对称，则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭. 又点B 在抛物线1C 上，故满足方程：()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭， 即()()2012120022x x x x x x y +=++ ①12PACS AC d =⋅⋅=△1222000014428x x x y x y -⋅=-=-2004x y=-32200416x y ≥-2=，所以三角形PAC 的面积S 的最小值为：2. 20.（1）解：由()21()x a e x f x x--=，得()32'()2xx a x e f x x⎡⎤-++⎣⎦=，则()'212af ==，即2a =； （2）证明：要证()1f x >，只需证21()102x h x e x x =--->， ()'1x h x e x =--，()''1x h x e =-，∵()0,x ∈+∞时，()''0h x >，∴()'1xh x e x =--在()0,+∞上单调递增，∴()()'1'00xh x e x h =-->=，则21()12x h x e x x =---在()0,+∞上单调递增. ∴()21()1002x h x e x x h =--->=成立.∴当0x >时，()1f x >； （3）证明：由（2）知，当0x >时，()1f x >，∵()1n x n ef x +=，∴()1ln n n x f x +=⎡⎤⎣⎦，设()()ln n n g x f x =⎡⎤⎣⎦，则()1n n x g x +=，∴()()()()()()121n n n x g x g g x gg x --====.要证：211n x n e -<，只需证112n nx e ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，∵113x =，∴11311x e e -=-，∵3327028e e ⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭，∴1332e <，则1131112x e e -=-<；故只需证11112n nx x ee +-<-. ∵()0,n x ∈+∞，故只需证111122n n x x ee +-<-.即证()11122n x nf x e -<-.只需证当()0,n x ∈+∞时，()2211222022x x e x x x ϕ⎛⎫=-+++>⎪⎝⎭.()2'1222x x x e x x ϕ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，()212112''x x x e x ϕ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭， ()21310''2'x x x e x ϕ⎛⎫=++> ⎪⎝⎭，∴()''x ϕ在()0,+∞上单调递增，故()()21211''''002x x x e x ϕϕ⎛⎫+-+>=⎪⎝⎭=，∴()'x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()2122'002'x x x x e x ϕϕ⎛⎫+-++>=⎪⎝⎭=，∴()x ϕ在()0,+∞上单调递增， 故()()22112220022x x x e x x ϕϕ⎛⎫-+++>⎪⎝==⎭.∴原不等式成立.21. 解：（1）21k -个元件中，恰好k 个正常工作的概率为121(1)k k k k C p p ---，恰好有1k +个元件正常工作的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，……，恰好21k -个元件正常工作的概率为212121k k k C p ---，故212121(1)k ii k i k k i kP Cp p ----==-∑.（2）当有21k +个元件时，考虑前21k -个元件，为使系统正常工作，前21k -个元件中至少有1k -个元件正常工作.①前21k -个元件中恰有1k -个元件，它的概率为11221(1)k k k k C p p ++---，此时后两个必须同时正常工作，所以这种情况下系统正常工作的概率为11221(1)k k k k C pp p ----⋅.②前21k -个元件中恰好有k 个正常工作，它的概率为121(1)k k k k C p p ---，此时后两个元件至少有一个正常工作即可，所以这种情况下系统正常工作的概率为1221(1)1(1)k k k k C p p p --⎡⎤-⋅--⎣⎦.③前21k -个元件中至少有1k +个元件正常工作，它的概率为121(1)k k k k k P C p p ----，此时系统一定正常工作.故1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P C p p p C p p p P C p p ----+---⎡⎤=-⋅+-⋅--+--⎣⎦. 所以1121211212121(1)(1)1(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k P P C p p p C p p p C p p ----+---⎡⎤-=-⋅+-⋅----⎣⎦()112221(1)(1)2k k k k p p C p p p p p p ---⎡⎤=--+--⎣⎦12121(1)(12)(1)(1)(21)k k k k k kk k p p C p p p p C p ---=---=--.故当12p =时，1k k P P +=，系统可靠性不变；当102p <<，1k k P P +<，系统可靠性降低，当112p <<，1k k P P +>，系统可靠性提高.22. 解：（1）曲线1C 的参数方程为2211222x t y t t =+⎧⎪⎨=++⎪⎩（t 为参数，t R ∈），转换为直角坐标方程为：22x y =，转换为极坐标方程为22cos 2sin ρθρθ=，整理得22sin cos θρθ=. （2）射线l 的极方程为()0,0θααπρ=≤≤≥，若射线l 与曲线1C ，2C 分别交于异于原点的A ，B 两点，所以22sin cos θρθθα⎧=⎪⎨⎪=⎩，故22sin cos A αρα=， 同理2sin ρθθα=⎧⎨=⎩，故2sin B ρα=，由于4OA OB =，所以22sin 8sin cos ααα=，所以24cos 1α=，所以3πα=或23π. 23. 解：（Ⅰ）当2a =时，()5f x >即2225x x -++>，当22(2)(2)5x x x <-⎧⎨--+>⎩，解得2x <-；当222(2)25x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩，解得21x -≤<；当22(2)(2)5x x x >⎧⎨-++>⎩，解得73x >；故不等式()5f x >解集为7|13x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（Ⅱ）若[]3,6B ⊆，则原不等式()21f x x ≤+在[]3,6上恒成立， 即2221x a x x ++-≤+，即()2122x a x x +≤+--，5x a +≤， ∴55x a -≤+≤，即55a x a --≤≤-，解得81a -≤≤-，故满足条件的a 的取值范围是[]8,1a ∈--.。
衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学(理)试题含解析
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试(Ⅰ)理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则( ）A 。
M N⊇ B 。
M N⊆C.()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,MN =-∞-+∞。
故选:A 。
【点睛】本题考查集合包含关系的判断,同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解,考查计算能力，属于基础题.2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ）A 。
3B 。
3i C. 4 D.4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解；【详解】解：2=+=+，所以z的虚部为4.(2)34z i i故选：C.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题。
3。
以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图的是( ）。
则下列选项错误．．A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B。
清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C。
清华大学2019年签三方就业的毕业生中,本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D。
清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】【分析】选项A在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A正确；选项B在表中找出硕士生的就业率达89.2％,本科生的就业率达17.3％，则判断选项B正确；选项C在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C正确；选项D在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51。
【4月衡水十调理数】2020年衡水中学高三年级第十次调研考试理科数学试卷及参考答案
3
所以 EF // 平面PQB .…………………6 分
证法 2：因为直棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是菱形， AC BD, AA1 底面ABCD ，
设 AC, BD 交点为 O ，以 O 为原点，分别以 OA,OB ，及过 O 且与 AA1 平行的直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.则有 A(2,0,0) ， B(0,1,0) ， C(2,0,0) ， D(0,1,0) ，设 BF a ，
②当k 1时，f (x)在(1, k )递减，（k,）递增 f ( x) f (k ) ek e3 0k 3此时1 k 3
综上： 0 k 3
故选 D.
二．填空题：
13. 10
14.
y
1 16
1
15.
4
16.①⑤
15.解析：易知 an
19 , n 1 2 11 n, n
2
b1
②当k 1时，f (x)在（- ，1）上递减 当x 1时，f (x)有最小值，即f (1) 0 1 0显然成立，此时k 1
（2）当 x 1时， f ( x) ( x k 1)ex e3 f ' ( x) ( x k )ex
①当k 1时，f (x)在（1， ）上递增 f ( x) f (1) ke e3 0k e2 此时k 1
,
2 T
2
,
y
2 sin
2
x
6
1
2 sin
2x
3
1 ,又 新函数的图像关于
y
轴对称，
k , k ，
3
2
6
min
6
答案：A
11.【解析】由题可知P（2a,2b）, F1(c,0),
河北省衡水中学2020届高三数学下学期一模考试试题 理(含解析)
2020学年度第二学期高三年级一模考试数学（理科）试卷第I卷（选择题共60分）一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简集合B,再求得解.【详解】由题得B={x|x≥2或x≤},所以，所以.故选：B【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】先求出复数z和,再求出在复平面内的共轭复数对应的点的位置得解.【详解】由题得，所以，所以在复平面内的共轭复数对应的点为（1,1），在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查复数的模和复数的除法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3. 某单位共有36名员工，按年龄分为老年、中年、青年三组，其人数之比为3：2：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为12的样本，则青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：按分层抽样应该从青年职工组中抽取人,其中青年组共有人,这六人中抽取两人的基本事件共有种，甲乙至少有一人抽到的对立事件为甲乙均没被抽到，基本事件为种，因此青年组中甲、乙至少有一人被抽到的概率为，故选B．考点：1．分层抽样；2．古典概型．4.如图是2020年第一季度五省情况图，则下列陈述中不正确的是（）A. 2020年第一季度增速由高到低排位第5的是浙江省.B. 与去年同期相比，2020年第一季度的总量实现了增长.C. 去年同期河南省的总量不超过4000亿元.D. 2020年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个.【答案】D【解析】分析：解决本题需要从统计图获取信息，解题的关键是明确图表中数据的来源及所表示的意义，依据所代表的实际意义获取正确的信息．详解：由折线图可知A、B正确；，故C正确；2020年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏均第一；河南均第四，共2个.故D错误.故选D.点睛：本题考查条形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图得到必要的住处是解决问题的关键．5.是双曲线右支上一点, 直线是双曲线的一条渐近线.在上的射影为,是双曲线的左焦点, 则的最小值为( )A. 1B.C.D.【答案】D【解析】设双曲线的右焦点为，连接，则（为点到渐近线距离），即的最小值为；故选D.点睛：本题考查双曲线的定义和渐近线方程；在处理涉及椭圆或双曲线的点到两焦点的距离问题时，往往利用椭圆或双曲线的定义，将曲线上的点到一焦点的距离合理转化到另一个焦点间的距离.6.如图，在三棱柱中，，，两两互相垂直，，，是线段，上的点，平面与平面所成（锐）二面角为，当最小时，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出的大小．【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，设，，则，0，，，1，，，0，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量，，，，取，得，，，平面的法向量，0，，平面与平面所成（锐二面角为，，解得，当|最小时，，，，．故选：．【点睛】本题考查角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．7.已知函数，在的大致图象如图所示，则可取（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：从图像可以看出为偶函数，结合的形式可判断出为偶函数，故得的值，最后通过得到的值．详解：为上的偶函数，而为上的偶函数，故为上的偶函数，所以．因为，故，．因，故，所以，．因，故，所以．综上，，故选B ．点睛：本题为图像题，考察我们从图形中扑捉信息的能力，一般地，我们需要从图形得到函数的奇偶性、单调性、极值点和函数在特殊点的函数值，然后利用所得性质求解参数的大小或取值范围．8.《九章算术》中描述的“羡除”是一个五面体，其中有三个面是梯形，另两个面是三角形.已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的体积为（）A. 20B. 24C. 28D. 32【答案】B【解析】【分析】画出五面体的直观图，利用割补法求其体积.【详解】五面体对应的直观图为：由三视图可得：，三个梯形均为等腰梯形且平面平面到底面的距离为，间的距离为.如下图所示，将五面体分割成三个几何体，其中为体积相等的四棱锥，且，，则棱柱为直棱柱，为直角三角形.又；，故五面体的体积为.故选A.【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．而不规则几何体的体积的计算，可将其分割成体积容易计算的规则的几何体.9.在中，内角所对的边分别是,且边上的高为,则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，这个形式很容易联想到余弦定理：cos A，①而条件中的“高”容易联想到面积， bc sin A，即a2＝2bc sin A，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(cos A＋sin A)，∴＝2(cos A＋sin A)＝4sin(A＋)，当A＝时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，利用基本不等式或函数方法求最值. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.10.已知函数，若，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析得到的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，再求函数的绝对值最小的零点即得解.【详解】由题得等于函数的零点的2倍，所以的最小值等于函数f(x)的绝对值最小的零点的2倍，令所以,所以所以绝对值最小的零点为，故的最小值为.故选：D【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.过抛物线的焦点的一条直线交抛物线于、两点，正三角形的顶点在直线上，则的边长是（）A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，求出，利用弦长公式，可得结论．【详解】抛物线的焦点为，设的中点为，过、、分别作、、垂直于直线于、、，设，由抛物线定义知：，，，，，即，所以直线AB的斜率k=,所以直线AB的方程为，联立直线AB方程和抛物线方程得，所以.故选：．【点睛】本题考查抛物线的方程与性质，考查抛物线的定义，正确运用抛物线的定义是关键．12.设函数（，为自然对数的底数）,定义在上的函数满足，且当时，．若存在，且为函数的一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先构造函数，由题意判断出函数的奇偶性，再对函数求导，判断其单调性，进而可求出结果. 【详解】构造函数，因为，所以，所以为奇函数，当时，，所以在上单调递减，所以R上单调递减.因为存在，所以，所以，化简得，所以，即令，因为为函数的一个零点，所以在时有一个零点因为当时，，所以函数在时单调递减，由选项知，，又因为，所以要使在时有一个零点，只需使，解得，所以a的取值范围为，故选D.【点睛】本题主要考查函数与方程的综合问题，难度较大.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.若实数，满足约束条件，则的最小值为__________.【答案】【解析】分析】先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最小值．【详解】作出约束条件，表示的平面区域（如图示：阴影部分）：由得A（,），由z＝3x+y得y＝﹣3x+z，平移y＝﹣3x，易知过点A时直线在y上截距最小，所以的最小值为+．故答案为：2．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，关键是画出可行域并理解目标函数的几何意义．14.若，则的值为___________．【答案】0【解析】试题分析：由，解得，又．考点：三角函数的化简求值．15.函数图像上不同两点，处的切线的斜率分别是，，为两点间距离，定义为曲线在点与点之间的“曲率”，给出以下命题：①存在这样的函数，该函数图像上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数图像上两点与的横坐标分别为1,2，则“曲率”；③函数图像上任意两点之间的“曲率”；④设，是曲线上不同两点，且，若恒成立，则实数的取值范围是。
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试(理数)
河北省衡水中学2020届高三年级下学期三调考试数 学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知全集R U =，集合}06|{2≥--=x x x A ，}1|{≥=x x B ，则=B A C U I )(( )A ．}31|{<≤x xB ．}32|{<≤x xC ．}3|{>x xD ．2．已知等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，364S S =，852=-a a ，则=2a( )A ．4B ．－4C ．12D ．－123．设变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--≤-+,0,01,042y y x y x 则目标函数y x z +=的最大值为 ( )A ．lB ．2C．37 D ．44．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生 近视形成的原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进行调查，则样本容量和抽取的初中生近视的人数分别为 ( )A ．600，72B ．600，80C ．1200，90D ．1200，3005．已知双曲线以椭圆14822=+y x 的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．x y ±=B ．x y 2±=C ．x y 2±=D ．4±=y6．用数字0，l ，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中比3000大的奇数的个数是( )A ．6B ．12C ．18D ．247．函数xx xy sin cos +=的部分图象大致为( )8．运行如图所示的程序框图，若输出结果为713，则判断框中应该填的条件是 ( ) A ．?5>kB ．?6>kC ．?7>kD ．?8>k9．如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，2=，则=⋅FE FD ( )A ．98-B ．43-C ．94-D ．41-10．设c b a ,,均为正数，且c b a cba 2log 21,21log 21,21log 2=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=，则 ( )A ．C b a <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．C a b <<11．如图，已知半圆的直径20||=AB ，l 为半圆外的一条直线，且与BA 的延长线交于点T ，4||=AT ，半圆上相异两点M ，N 与直线l 的距离||MP ，||NQ 满足条件1||||||||==NA NQ MA MP ，则||||AN AM +的值为 ( ) A ．22B ．20C ．18D ．1612．已知函数x x x f ln )(=，ex ax x g 3221)(3--=，若函数)(x f 的图象与函数)(x g 的 图象在交点处存在公切线，则函数)(x g 在点())1(,1g 处的切线在y 轴上的截距为( )A ．e32-B ．e32C ．ee 323+-D ．ee 322+ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若),(1)1(R y x yi ixi ∈+=+，则=+||yi x ____________． 14．已知直线l 1是曲线x y ln =在1=x 处的切线，直线l 2是曲线xe y =的一条切线，且21//l l ，则直线l 2的方程是______________．15．如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD ．若ο90=∠BPC ，2=PB ，2=PC ，则四棱锥ABCD P -的体积的最大值为__________．16．已知离心率为21的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好过抛物线x y 162=的焦点F ，A 为椭圆的上顶点，P 为直线AF 上的一个动点，点A 关于直线OF 的对称点为Q ，则||PQ 的最小值为____________．三、解答题（共70分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
.2020 届河北衡水中学高三年级期中考试理科数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分满分150 分.考试时间120 分钟.第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1．已知集合 S={1，2}，T={x|x 2＜4x ﹣3}，则 S∩T=（）A ．{1}B ．{2}C ．1D ．22．已知复数 z 1，z 2 满足|z 1|=|z 2|=1，|z 1﹣z 2|= ，则|z 1+z 2|等于（ ）A ．2B ．C ．1D ．33．设正数 x ，y 满足 x+y=1，若不等式对任意的 x ，y 成立，则正实数 a 的取值范围是（）A ．a≥4B ．a ＞1C ．a≥1D ．a ＞44．如图，在正方体 ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1 中，O 是底面 ABCD 的中心，E 为 CC 1 的中点，那么异面直线 OE 与 AD 1 所成角的余弦值等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）A ．i ＞10B ．i ＜10C ．i ＞20D ．i ＜206．如图，在 R t△ABC 中，AC=1，BC=x ，D 是斜边 AB 的中点，将△BCD 沿直线 CD 翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得 CB⊥AD，则 x 的取值范围是（ ）A ．（0，C ．（] B ．（，2 ] D ．（2，4]，2]7．数列{a n }中，对任意 n∈N *，a 1+a 2+…+a n =2n ﹣1，则 a 12+a 22+…+a n 2 等于（）A ．（2n ﹣1）2B ．C ．4n ﹣1D ．8．已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2B ．C ．D ．9．设函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ 是常数，A ＞0，ω＞0），且函数 f （x ）的部分图象如图所示，则有（）A ．f （﹣C ．f （）＜f （）＜f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）） B ．f （﹣D ．f （ ）＜f （）＜f （﹣ ）＜f （）＜f （ ））10．若圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称，则由点（a ，b ）向圆 C 所作切线长的最小值是（）A ．2B ．3C ．4D ．611．若函数 f （x ）=x 3﹣3x 在（a ，6﹣a 2）上有最大值，则实数 a 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣1） B ．（﹣ ，﹣1] C ．（﹣ ，﹣2）D ．（﹣ ，﹣2]12．已知 f′（x ）为函数 f （x ）的导函数，且 f （x ）=x 2﹣f （0）x+f′（1）e x ﹣1，若g （x ）=f （x ）﹣ x 2+x ，则方程 g （﹣x ）﹣x=0 有且仅有一个根时，a 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，0）∪{1}B ．（﹣∞，1]C ．（0，1]D ．[1，+∞）第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣3y的最小值．14．设数列{an}的n项和为Sn，且a1=a2=1，{nSn+（n+2）an}为等差数列，则{an}的通项公式an=．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则取值范围是．的Xf（x）﹣21﹣14116.已知正三棱锥S﹣ABC内接于半径为6的球，过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如右图，则此三棱锥的侧面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分12分）△ABC中，已知的对边依次为a，b，c．（1）求∠C的大小；（2）若c=2，且△ABC是锐角三角形，求a2+b2的取值范围．，记角A，B，C18. （本小题满分 12 分）已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且 S n =n （n+1）（n∈N *）．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足：，求数列{b n }的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N *），求数列{c n }的前 n 项和 T n ．19. （本小题满分 12 分） 已知圆 C ：x 2+y 2+2x ﹣4y+3=0．（1）若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等，求此切线的方程；（2）从圆 C 外一点 P （x 1，y 1）向该圆引一条切线，切点为 M ，O 为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点 P 的坐标．20. （本小题满分 12 分）如图，ABCD 是边长为 3 的正方形，DE⊥平面 ABCD ，AF∥DE，DE=3AF ，BE 与平面 ABCD 所成角为 60°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面 BDE ；（Ⅱ）求二面角 F ﹣BE ﹣D 的余弦值；（Ⅲ）设点 M 是线段 BD 上一个动点，试确定点 M 的位置，使得 AM∥平面 BEF ，并证明你的结论．21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）．（1）若a=﹣2，求证：函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（2）求函数f（x）在[1，e]上的最小值及相应的x值；（3）若存在x∈[1，e]，使得f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，圆C的方程是x2+y2﹣4x=0，圆心为C，在以坐标原点为极点，以x轴的：ρ=﹣4sinθ与圆C相交于A，B两点．非负半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1（1）求直线AB的极坐标方程；：（t是参数）交直线AB于点D，交y轴于点（2）若过点C（2，0）的直线C2E，求|CD|：|CE|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=m﹣|x﹣3|，不等式f（x）＞2的解集为（2，4）．（1）求实数m的值；（2）若关于x的不等式|x﹣a|≥f（x）恒成立，求实数a的取值范围．理科数学参考答案一．选择题1-5B C C DA6-10A D B D C11-12D A．二．填空题13．﹣814.．16.．三．解答题17．解：（1）依题意：又0＜A+B＜π，∴，∴（2）由三角形是锐角三角形可得，，即，，...............4分即由正弦定理得∴，，，=====∵，∴=，，∴，即..............12分18.．解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=2，当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n=2n，知a1=2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an=2n．（2分）（Ⅱ）∵（n≥1）①∴②（4分）②﹣①得：，b n+1=2（3n+1+1），故bn=2（3n+1）（n∈N*）．（6分）（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，∴Tn =c1+c2+c3+…+cn=（1×3+2×32+3×33+…+n×3n）+（1+2+…+n）（8分）令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，①则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②①﹣②得：﹣2Hn=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=∴，…（10分）∴数列{cn}的前n项和…（12分）19.解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径即，解得：a=﹣1或a=3，，当截距为零时，设y=kx，同理可得或，则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．---------6分（2）∵切线PM与半径CM垂直，∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．∴2x1﹣4y1+3=0．∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，∴由，可得故所求点P的坐标为．--12分20.证明：（Ⅰ）因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD，从而AC⊥平面BDE．….......................................（4分）解：（Ⅱ）因为DA，DC，DE两两垂直，所以建立空间直角坐标系D﹣xyz如图所示．因为BE与平面ABCD所成角为600，即∠DBE=60°，所以．由AD=3，可知则A（3，0，0），，．，，B（3，3，0），C（0，3，0），所以，．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），则，即．令，则=．因为AC⊥平面BDE，所以为平面BDE的法向量，．所以cos．因为二面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．…（8分）（Ⅲ）点M是线段BD上一个动点，设M（t，t，0）．则．因为AM∥平面BEF，所以=0，即4（t﹣3）+2t=0，解得t=2．此时，点M坐标为（2，2，0），即当时，AM∥平面BEF．…（12分）21.解：（1）当a=﹣2时，f（x）=x2﹣2lnx，当x∈（1，+∞），，所以函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；........2分（2），当x∈[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．若a≥﹣2，f'（x）在[1，e]上非负（仅当a=﹣2，x=1时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．若﹣2e2＜a＜﹣2，当时，f'（x）=0；当当故[f（x）]min =时，f'（x）＜0，此时f（x）是减函数；时，f'（x）＞0，此时f（x）是增函数．=．若a≤﹣2e2，f'（x）在[1，e]上非正（仅当a=﹣2e2，x=e时，f'（x）=0），故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．综上可知，当a≥﹣2时，f（x）的最小值为1，相应的x值为1；当﹣2e2＜a＜﹣2时，f（x）的最小值为，相应的x值为；当a≤﹣2e2时，f（x）的最小值为a+e2，相应的x值为e．.....................7分（3）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x﹣lnx）≥x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x﹣lnx＞0，因而（x∈[1，e]）令（x∈[1，e]），又 ，当 x∈[1，e]时，x ﹣1≥0，lnx≤1，x+2﹣2lnx ＞0，从而 g'（x ）≥0（仅当 x=1 时取等号），所以 g （x ）在[1，e]上为增函数，故 g （x ）的最小值为 g （1）=﹣1，所以 a 的取值范围是[﹣1，+∞）．......12 分22.解：（1）在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，极坐标与直角坐标有如下关系 x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线 C 1：ρ=﹣ sinθ，∴ρ2=﹣4 ρsinθ，∴x 2+y 2=﹣4 y ，∴曲线 C 1：x 2+y 2+ y=0，∴直线 AB 的普通方程为：（x 2+y 2﹣4x ）﹣（x 2+y 2+4y ）=0，∴y=﹣x ，∴ρsinθ=﹣ρcosθ，∴tanθ=﹣ ，∴直线 AB 极坐标方程为：θ = - 1( ρ ∈ R ) ．............ 5 分6（2）根据（1）知，直线 AB 的直角坐标方程为 y=﹣x ，根据题意可以令 D （x 1，y 1），则，又点 D 在直线 AB 上，所以 t 1=﹣（2+ t 1），解得 t 1=﹣，根据参数方程的定义，得|CD|=|t 1|= ，同理，令交点 E （x 2，y 2），则有，又点 E 在直线 x=0 上，令 2+t 2=0，∴t 2=﹣ ，∴|CE|=|t 2|= ，∴|CD|：|CE|=1：2．........................... 10 分23.解：（1）∵f（x ）=m ﹣|x ﹣3|，∴不等式 f （x ）＞2，即 m ﹣|x ﹣3|＞2，∴5﹣m ＜x ＜m+1，而不等式 f （x ）＞2 的解集为（2，4），∴5﹣m=2 且 m+1=4，解得：m=3；....... 5 分（2）关于 x 的不等式|x ﹣a|≥f（x ）恒成立⇔关于 x 的不等式|x ﹣a|≥3﹣|x ﹣3|恒成立⇔|x ﹣a|+|x ﹣3|≥3 恒成立⇔|a ﹣3|≥3 恒成立，由 a ﹣3≥3 或 a ﹣3≤﹣3，解得：a≥6 或 a≤0．............. 10 分。