2021考研管理类联考数学基础课程讲义(二)

2021 考研管理类联考数学基础课程

第四章函数

第一节一次函数

一次函数：一般地，形如 y=kx+b（k≠0，k,b 是常数），那么 y 叫做 x 的一次函数。当 b=0时，y=kx+b 即 y=kx，即正比例函数(并不是自变量与因变量成正比)，其函数图像则为一条直线。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数，但不能说一次函数是正比例函数。

基本性质：

1．当 x=0 时，b 为一次函数图像与 y 轴交点的纵坐标，该点的坐标为(0, b)。

2．当 b=0 时，一次函数变为正比例函数。当然正比例函数为特殊的一次函数。

3．对于正比例函数，y 除以 x 的商是一定数（x≠0）。

4．在两个一次函数表达式中：

①当两个一次函数表达式中的 k 相同，b 也相同时，则这两个一次函数的图像重合；

②当两个一次函数表达式中的 k 相同，b 不相同时，则这两个一次函数的图像平行；

③当两个一次函数表达式中的 k 不相同，b 也不相同时，则这两个一次函数的图像相交；

④当两个一次函数表达式中的 k 不相同，b 相同时，则这两个一次函数图像交于 y 轴上的同一点（0，b）；

⑤当两个一次函数表达式中的 k 互为负倒数时，则这两个一次函数图像互相垂直。

5.直线 y=kx+b 的图象和性质与 k、b 的关系如下表所示：

k>0,b>0：经过第一、二、三象限

k>0,b<0：经过第一、三、四象限k>0,b=0：

经过第一、三象限（经过原点）

结论：k>0 时，图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大。

k<0,b>0：经过第一、二、四象限

k<0,b<0：经过第二、三、四象限

k<0,b=0：经过第二、四象限

结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。

2021 考研管理类联考数学基础课程第二节反比例函数：

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于 0 的常数，那么就说这两个变量成反比例。形如 y=k/x（k 为常数，k≠0，x≠0）的函数就叫做反比例函数。当 k>0 时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时，图像分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随 x 的增大而增大。k>0 时，函数在 x<0 上同为减函数、在 x>0 上同为减函数；k<0 时，函数在 x<0 上为增函数、在 x>0 上同为增函数。

第三节二次函数的性质及其应用

y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)

（1）一元二次函数的图像为一条抛物线

（2）当a > 0 时，开口向上；当a < 0 时，开口向下

（3）a 越大，开口越小

（4）对称轴方程x=-

b

2a

（5）顶点坐标⎛ ⎝

-

b

2

a

,

4a

c -

4

a

b

2

⎫

⎪⎪

⎭（6）最值问题：当

a > 0

时

，

最

小

值

为

4

a

c

-

4

a

b

2

；

当

a

<

时，最大值为

4ac -

4a

b2

（7）

b2

-

⎧

>

⎪

4

a

c⎨=

⎪⎩<

,

与x轴有两个交点0,

与x轴有一个交点0,

与x轴没有交点

（8）当a > 0 时，对称轴左侧递减，对称轴右侧递增

当a < 0 时，对称轴左侧递增，对称轴右侧递减

【例 1】已知二次函数y = ax2 + bx + c 的图像如下页图所示，则 a，b，c满足（）．

（A）a < 0 ，b < 0 ，c > 0（B）a < 0 ，b < 0 ，c < 0

（C）a < 0 ，b > 0 ，c > 0（D）a > 0 ，b < 0 ，c > 0

（E）a > 0 ，b > 0 ，c > 0

2021 考研管理类联考数学基础课程【例 2】已知函数y = x2 - 4ax ，当1 ≤ x ≤ 3 时，是单调递增的函数，则 a的取值范围是（）．

（A）⎛

⎝

1

-∞, 2

⎤

⎥

⎦

（B）(-∞,1]

（C）

⎛

⎝

1 3

,

2 2

⎤

⎥

⎦

（D）⎛ 3 ,

⎝ 2

+∞

⎫

⎪

⎭

（E）

⎛

⎝

3

-

∞

, 2

⎫

⎪

⎭

【例3】设-1 ≤ x ≤ 1 ，函数f (x) = x2 + ax + 3 ，当0 < a < 2 时，则（）．（A）f (x) 最大值是4 + a ，最小值

3

-

a

2

4

（B）f (x) 最大值是4 + a ，最小值4 - a

（C）f (x) 最大值是4 - a ，最小值4 + a

5

（D）f (x) 最大值是4 + a ，最小值4 a2

+ 3

5

（E）f (x) 最大值是4 a2 + 3 ，最小值4 + a

第四节指数与对数

1．指数的有关概念：

①规定：1）a n = a ⋅ a ⋅⋅ a(n ∈ N*) ， 2）a 0 = 1(a ≠ 0) ，

n 个

3）

a

-

p

=

1

a

p

(

p

∈

Q，

4）

a

m

n

=

n

a

m

(

a

>

0,

m

、

n

∈

N*

n

>

1)

②性质：1）a r ⋅ a s = a r + s (a > 0, r 、s ∈Q），

2）(a r ) s = a r⋅s (a > 0, r 、s ∈ Q），

3）(a ⋅ b)r = a r ⋅ b r (a > 0, b > 0, r ∈ Q）

（注）上述性质对 r、s ∈R 均适用.

2．对数的概念：

①定义：如果a(a > 0,且a ≠ 1) 的 b次幂等于 N，就是a b = N ，那么数b 称以a 为底 N 的对数，记作log a N = b, 其中a 称对数的底，N 称真数.