两线段的距离(最近点的距离)

空间两线段间的最小距离d min

利用几何方法分析

两条线段之间的最小距离，分三步： （1）求线段所在直线的公垂线段的大小d perp

（2）将两直线投影到与公垂线垂直的平面，计算平面内两线段的最小距离d in

（3）线段间的最小距离222

perp in

d d d =+

图a.直线PQ 是异面直线AB 、CD 的公垂线，垂足P 、Q 分别落在线段AB 、线段CD 上，显然|PQ|即为异面线段AB 、CD 的最小距离d min 。

图b. 垂足Q 在线段CD 的延长线上。E 、F 分别 是线段AB 、CD 上的任意一点，过E 作EE ’//PQ 交A ’B ’于E ’。EE ’⊥E ’F ，|EE ’|大小为常量，|EF|取决于|E ’F|，|EF|2=|EE ’|2+|E ’F|2。A ’到线段CD 的最小距离、B ’到线段CD 的最小距离、C 到线段A ’B ’的最小距离、D 到线段A ’B ’的最小距离，四者中的最小值就是|E ’F|min ；而点到线段的最小距离，要么是点到线段所在直线的距离，要么是点到线段端点的连线距离。设A ’到直线CD 的距离为d 1，B ’到直线CD 的距离为d 2，C 到直线A ’B ’的距离为d 3，D 到直线A ’B ’的距离为d 4，则线段A ’B ’、CD 的最小距离d in ：

1234min 'min(,,,,',',',')in d E F d d d d A C A D B C B C ==

两条线段的各端点坐标111222333444(,,),(,,),(,,),(,,)A x y z B x y z C x y z D x y z

A

B

D

Q

C

P B A 图 a. 垂足分别落在线段

图 b. 垂足未全落在线段

111212121222434343313131(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)AB m n p x x y y z z CD m n p x x y y z z AC x x y y z z ==---==---=---

（1）求公垂线段大小d perp 。

公垂线向量AB CD =⨯

n

perp AC d ⋅=

=

n n

（2）平面内线段间最小距离d in 。

● 投影线段端点A ’、B ’的坐标1

11'(,,)A x y z ''',222'(,,)B x y z ''' 'perp A A d =+⋅

n

n 'perp B B d =+⋅

n n

● 点到线段的最小距离d 1、 d 2、 d 3、 d 4。

以A ’到线段CD 的最小距离d 1为例，先计算A ’到线段CD 所在直线的距离d PL ，再判断垂足是在线段CD 上、CD 延长线上、DC 延长线上。

直线CD ：

333

x x y y z z l m n

---==，434343,,l x x m y y n z z =-=-=-

PL d =

若'0CA CD ⋅≤ ，说明垂足在DC 延长线上，1'd A C =； 若'0DA DC ⋅≤

，说明垂足在CD 延长线上，1'd A D =；

若'0CA CD ⋅> 且'0DA DC ⋅>

，说明垂足在线段CD 上，1PL d d =。 ● 线段间最小距离d in 。

1234min(,,,,',',',')in d d d d d A C A D B C B C =

（3）线段间的最小距离222

perp in

d d d =+

利用向量、代数方法分析求解

直线段0100:()(),[0,1]P s P s P P P s s =+-=+∈1L u 和直线段

0100:()(),[0,1]Q t Q t Q Q Q t t =+-=+∈2L v

线段上各一点构成向量(,)()()s t P s Q t =-w ，要求最近两点的距离等同于求解2

2(,),(,)[0,1]F s t w s t =∈的最小值。

22(,)222F s t as bst ct ds et f =+++++

其中，00,,,,,,P Q a b c d e f =-=⋅=-⋅=⋅=⋅=-⋅=⋅r u u u v v v u r v r r r 。

2

22()()()0ac b -=⋅⋅-⋅=⨯≥u u v v u v u v

若20ac b ->，两线段所在直线不平行，F(s,t)的图像是一个抛物面；若

20ac b -=，则两线段所在直线平行，F(s,t)的图像是抛物柱面。

（1）线段所在直线不平行

F 的梯度2(,)F as bt d bs ct e ∇=++++

令0F ∇=，得2()/()c s be cd ac b =--，2()/()c t bd ae ac b =--。

定义子区域20{(,)|01,01}[0,1]R s t s t =≤≤≤≤=。若(,)0c c s t R ∈，则找到最小值min (,)c c F F s t =；若(,)0c c s t R ∉，最小值必定出现在区域R0的边界上。s-t 平面的区域划分如下图。

若按区域来分情况讨论，有9种情况，显得太复杂。选择按区域R0的边界来讨论会更简洁一些，只需分5种情况。若(s c , t c )∈R0，则F min =F (s c , t c )，对应的几何意义是两直线公垂线的垂足分别落在线段内；下面讨论(,)0c c s t R ∉时的四种情况：以其中一种情况为例：

s c <0（区域R4、R5、R6）：最小距离点出现在抛物面F 与平面s =0的交线上，交线方程是L (t )=F (0,t ), t ∈[0,1]。现在要求的变成求某一段抛物线的最小值，即在区间[0,1]上求L (t )的最小值。令L (t )=0，得t s 。若t s <0，L (t )在[0,1]是增函数，F min =L min =L (0,0)；若t s >1，L (t )在[0,1]是减函数，F min =L min =L (0,1) ；否则，F min =L min =L (0,t s )。对应的几何解释是：s =0表示的是线段L 1上的P 0点；两线段的最小距离是点P 0到线段L 2的最小距离，P 0Q 0或P 0Q 1或P 0Q H （点Q H 是点L 2作垂线的垂足）。

其它几种情况：s c >1（区域R1、R2、R8），t c <0（区域R6、R7、R8），t c >1（区域R2、R3、R4），可以进行类似分析。分别代表意义是另外三个端点到另一条线段的最小距离。

（2）线段所在直线平行20ac b -=

在直线()/s bt d a =-+上，F (s ,t )的梯度都为0。在[0,1]2的区域上，任务满足

s

s-t 平面区域分布