数值计算的基本概念
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
h2 f ( x0 h) f ( x0 ) hf ( x0 ) f ( x0 ) O ( h3 ) 2!
所以有
f ( x0 h) f ( x 0 ) h f ( x0 ) f ( x0 ) O( h2 ) h 2!
(2.1.3)
(2.1.1)中用上式左端近似 f ( x0 ) ，误差总数存在，但 步长越小时，(2.1.1)的近似程度越好.(2.1.3)中的
§2.1 浮点数与舍入误差
计算机中的数 二进制表示，使用 IEEE 国际通用标 准。进行数值计算，并不需要时刻关注这这样的细节，但 了解其特殊性，对建立数值计算的基本概念十分重要。
Matlab 中数的范围 21022 x 21023 ，这一区间的全 体数称为浮点数。
舍入误差：实数中的绝大部分在计算机上总不能精确 表出，总要经过“舍”或“入” ，由一个与之相近的浮点 数代替，由此引起的误差称为舍入误差，这也是误差的主 要来源。
实验要求：选择具有代表性的函数 f ( x ) （最好选择多 个） ，利用 Matlab 提供的绘图工具画出该函数在某个区间 的导数曲线 f ( s ) ( x )，再将数值计算的结果用 Matlab 画出来， 认真思考实验的结果。 实验分析：不论采用怎样的算法，计算结果通常总是 有误差，如对算法(2.1.1)，由泰勒 有
数值计算的基本概念
计算地球表面公式：
构造算法的基本手段：近似。 研究算法的核心问题：近似对计算结果的影响。
A 4 r
包含了许多近似。
2
A 模型：地球被看成一个球，这是简单的理想模型，与 实际情况差别很大。
B 测量仪器的误差：地球半径要经过测量得到，无论使 用什么手段，其误差是无法避免的。
C 截断误差：公式中的 是物理数，在计算机中无法精 确表示，只能将它截断到有限字长。 D 舍入误差：输入的数据和公式的计算都被舍入。
2.2.2 计算机的浮点数表示
机器数：计算机所能表示的数的集合。 机器数的二进制浮点表示为：2k 0. 1 2 t ，其中 k 称为 阶。 用二进制表示 k 有 k 1 2 s 。其中 1 1 ， j 0 或 1 （ j 2, 3, t ） ，s 是阶的位数，0. 1 2 t 称为尾数， 且 1 1， ，t 是尾数部位的位数。s 和 t 与具体的 j 0 或 1（ j 2,3, t ） 机器有关。
实数的机器数： 对于非零实数 x 作估计 2 1 2 ，其中 为整数。若
s s 2 1,2 1 ，则存在一个与 x 最接近的形如
2k 0. 1 2 t 的机器数，记为 fl ( x ) ，它就是实数 x 的机器数
表示。 设 x R ，2 1 x 2 ， [2 s 1,2 s 1]，则存在 ，使得
h T1 f ( x0 ) O ( h2 ) 2!
(2.1.4)
称为算法(2.1.1)的截断误差。它来源于有限差分替代了 无限的过程。 类似地：可以分析(2.1.2)的截断误差，其结果为
h2 T2 f ( x0 ) O ( h3 ) 3!
比较两种算法，后者比前者好。
Fra Baidu bibliotek
注意： 在实际计算中， 并不是所有计算都是 h越小越好， 如图 P25,2.3 图。
有效数字的位数： 如果近似值 x 的误差界 * 是某一位上的半个单位，则若 该位到 x * 的第一位非零数字共有 n 位，称 x * 具有 n 位有效数 字。
相对误差界： 若用式子
x * 10k 0.a1a2a3 an 表示的近似数 x * 具有 n 为有效数字，则其相对误差界满足： * 1 r* * 10 ( n1) 2a1 x
实验 2.1
（数值微分精度及步长的关系）
实验目的：数值计算中的误差是不可避免的，通过实 验初步认识数值分析中的两个重要概念：截断误差和舍入 误差，并认真体会误差对计算结果的影响。 问题提出：设一元函数 f : R R ，则 f 在 x0 的导数定义 为
f ( x0 ) lim
h 0
f ( x0 h) f ( x0 ) 。 h
实验内容：计算在 x0 的导数值可以用算法
f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x 0 ) h
(2.1.1)
或
f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
(2.1.2)
给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工：
1. 对同样的 h，比较(2.1.1)和(2.1.2)的计算结果。 2. 针对高阶导数的算法， 比较 h取不同值的计算结果。
§2.2 计算机算术的若干问题
2.2.1 误差与有效数字
定义 1 设 x 是某实数的精确值， x * 是它的一个近似值， * x x 则 e* x x * 称为近似值 x * 的绝对误差， 简称误差。 称 x 为 x * 的相对误差。注意当 x 0 时，相对误差没有意义。实 x x* * x 际上精确值 x 往往是未知的，所以常常把 作为 的相 * x 对误差。
定义 2 设 x 是某实数的精确值， x * 是它的一个近似值， 若 x * 的绝对误差满足 x x * * ，则称 * 是 x * 的绝对误差界， 简称误差界。称 r*
*
| x* |
为 x * 的相对误差界。
定义 3 设 x * 是 x 的一个近似值，写成： x * 10k 0.a1a2a3 an 它可以是有限或无限小数的形式。其中 ai（ i 1,2 , n ） 是 0,1, ,9 中的数字，且 a1 0 ，k 为整数。如果 x * 满足条件： x x * 0.5 10k n 则称 x * 为 x 的具有 n 位有效数字的近似值， 且 x * 具有 n 位 有效数字。
所以有
f ( x0 h) f ( x 0 ) h f ( x0 ) f ( x0 ) O( h2 ) h 2!
(2.1.3)
(2.1.1)中用上式左端近似 f ( x0 ) ，误差总数存在，但 步长越小时，(2.1.1)的近似程度越好.(2.1.3)中的
§2.1 浮点数与舍入误差
计算机中的数 二进制表示，使用 IEEE 国际通用标 准。进行数值计算，并不需要时刻关注这这样的细节，但 了解其特殊性，对建立数值计算的基本概念十分重要。
Matlab 中数的范围 21022 x 21023 ，这一区间的全 体数称为浮点数。
舍入误差：实数中的绝大部分在计算机上总不能精确 表出，总要经过“舍”或“入” ，由一个与之相近的浮点 数代替，由此引起的误差称为舍入误差，这也是误差的主 要来源。
实验要求：选择具有代表性的函数 f ( x ) （最好选择多 个） ，利用 Matlab 提供的绘图工具画出该函数在某个区间 的导数曲线 f ( s ) ( x )，再将数值计算的结果用 Matlab 画出来， 认真思考实验的结果。 实验分析：不论采用怎样的算法，计算结果通常总是 有误差，如对算法(2.1.1)，由泰勒 有
数值计算的基本概念
计算地球表面公式：
构造算法的基本手段：近似。 研究算法的核心问题：近似对计算结果的影响。
A 4 r
包含了许多近似。
2
A 模型：地球被看成一个球，这是简单的理想模型，与 实际情况差别很大。
B 测量仪器的误差：地球半径要经过测量得到，无论使 用什么手段，其误差是无法避免的。
C 截断误差：公式中的 是物理数，在计算机中无法精 确表示，只能将它截断到有限字长。 D 舍入误差：输入的数据和公式的计算都被舍入。
2.2.2 计算机的浮点数表示
机器数：计算机所能表示的数的集合。 机器数的二进制浮点表示为：2k 0. 1 2 t ，其中 k 称为 阶。 用二进制表示 k 有 k 1 2 s 。其中 1 1 ， j 0 或 1 （ j 2, 3, t ） ，s 是阶的位数，0. 1 2 t 称为尾数， 且 1 1， ，t 是尾数部位的位数。s 和 t 与具体的 j 0 或 1（ j 2,3, t ） 机器有关。
实数的机器数： 对于非零实数 x 作估计 2 1 2 ，其中 为整数。若
s s 2 1,2 1 ，则存在一个与 x 最接近的形如
2k 0. 1 2 t 的机器数，记为 fl ( x ) ，它就是实数 x 的机器数
表示。 设 x R ，2 1 x 2 ， [2 s 1,2 s 1]，则存在 ，使得
h T1 f ( x0 ) O ( h2 ) 2!
(2.1.4)
称为算法(2.1.1)的截断误差。它来源于有限差分替代了 无限的过程。 类似地：可以分析(2.1.2)的截断误差，其结果为
h2 T2 f ( x0 ) O ( h3 ) 3!
比较两种算法，后者比前者好。
Fra Baidu bibliotek
注意： 在实际计算中， 并不是所有计算都是 h越小越好， 如图 P25,2.3 图。
有效数字的位数： 如果近似值 x 的误差界 * 是某一位上的半个单位，则若 该位到 x * 的第一位非零数字共有 n 位，称 x * 具有 n 位有效数 字。
相对误差界： 若用式子
x * 10k 0.a1a2a3 an 表示的近似数 x * 具有 n 为有效数字，则其相对误差界满足： * 1 r* * 10 ( n1) 2a1 x
实验 2.1
（数值微分精度及步长的关系）
实验目的：数值计算中的误差是不可避免的，通过实 验初步认识数值分析中的两个重要概念：截断误差和舍入 误差，并认真体会误差对计算结果的影响。 问题提出：设一元函数 f : R R ，则 f 在 x0 的导数定义 为
f ( x0 ) lim
h 0
f ( x0 h) f ( x0 ) 。 h
实验内容：计算在 x0 的导数值可以用算法
f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x 0 ) h
(2.1.1)
或
f ( x 0 ) f ( x0 h) f ( x0 h) 2h
(2.1.2)
给出几个计算高阶导数的近似算法，并完成如下工：
1. 对同样的 h，比较(2.1.1)和(2.1.2)的计算结果。 2. 针对高阶导数的算法， 比较 h取不同值的计算结果。
§2.2 计算机算术的若干问题
2.2.1 误差与有效数字
定义 1 设 x 是某实数的精确值， x * 是它的一个近似值， * x x 则 e* x x * 称为近似值 x * 的绝对误差， 简称误差。 称 x 为 x * 的相对误差。注意当 x 0 时，相对误差没有意义。实 x x* * x 际上精确值 x 往往是未知的，所以常常把 作为 的相 * x 对误差。
定义 2 设 x 是某实数的精确值， x * 是它的一个近似值， 若 x * 的绝对误差满足 x x * * ，则称 * 是 x * 的绝对误差界， 简称误差界。称 r*
*
| x* |
为 x * 的相对误差界。
定义 3 设 x * 是 x 的一个近似值，写成： x * 10k 0.a1a2a3 an 它可以是有限或无限小数的形式。其中 ai（ i 1,2 , n ） 是 0,1, ,9 中的数字，且 a1 0 ，k 为整数。如果 x * 满足条件： x x * 0.5 10k n 则称 x * 为 x 的具有 n 位有效数字的近似值， 且 x * 具有 n 位 有效数字。