数学分析三大基本思想之分解

数学分析三大基本思想之分解

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说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。

本章介绍数学分析中的三大基本思想之分解。需要强调的是，逼近、变换和分解这三大分析基本思想是统一的，在处理数学问题时常常是综合运用。

笔者将分解看作这样一种数学思想：将一个复杂的结构或问题，分解成若干子结构，使得这些子结构尽可能简单。若按照广义理解，从一个复杂问题中分离出主要矛盾，这也是一种分解思想。

前者的例子可以考虑幂级数分解，如考虑超越函数

21112!

!n z e z z z n =+++++L L 如此将一个复杂的超越函数z e 分解成幂级数形式，而幂级数可以看做多项式的

推广，而我们对子结构n z 非常熟悉（可类比整数的加减乘除运算）

。实际上，幂级数是研究超越函数的有力工具。当然我们也可以使用Fourier 级数，或者其它函数级数。

后者的例子可以考虑微分，考虑函数增量()()y f x x f x Δ=+Δ−，数学上证明了对可导函数，有

()()y f x x o x ′Δ=Δ+Δ

y Δ的线性主部记为()dy f x x ′=Δ（微分），dy 对y Δ的贡献较大，属于主要矛盾。如此，我们从一个非线性增量中，分离出线性部分，达到简化问题的目的。这个例子很平凡，但却很实用，特别在物理分析中（如微元法）。很多宏观物理过程在短时间内或小尺度范围内变化很小，可以近似为线性过程。

数学上已经证明了非初等函数是大多数，而研究非初等函数的常见途径有三个，即积分法（如含参数积分）、微分方程法和级数法（特别是幂级数法）。从实用角度看，级数法更方便，比如利用幂级数进行数值计算。

分解思想在数学中非常普遍（不仅仅是数学分析），我们在证明一个复杂数学定理时，常常分成若干引理，这其实应用了分解思想。学会如何把一个复杂

问题简化，拆成若干简单问题，这是一门真功夫，需要能力和经验的积累。

分解思想的重要性还体现在可操作性上。数学上很多定义逻辑上很抽象，也很完备，但单靠定义是无法操作的。比如重积分的Riemann 和定义，如果靠重积分的Riemann 和定义来计算，甚至证明数学定理，恐怕举步维艰。累次积分就应运而生

(,)(,)X Y X Y

f x y dxdy dx f x y dy ×=∫∫∫∫

累次积分的妙处还在于“给无序的定义引入一种有序的计算”。在无序中引入顺序或偏序，这种思想的妙用不仅仅在数学中存在，大家需要好好体会。

递归关系或者递推关系1()n n a f a +=也可以看做是一种分解，即在同一法则f 下形成一种逐级发展的“自相似结构”。比如我们计算积分

2

0sin n n a x dx π=∫ 时，就设法建立n a 与2n a −的递归关系。建立递归关系是一种可操作性非常强的分解思想，大家应该熟练掌握。

说到递归关系，有一个非常经典的例子，将逼近与递归联系到一起。这就是求解非线性方程的经典解法---牛顿迭代法。

非线性问题非常复杂，直接求解基本不可能，于是人们发展了一些实用性较高的近似方法来求解非线性问题。如压缩映射不动点法和牛顿迭代法（又称切线法），我们主要谈谈后者。

设函数()f x 在[,]a b 上连续可微，并且满足

()()0,()0,[,]f a f b f x x a b ′<≠∀∈

根据函数零点定理（介值定理），可知()0f x =在区间(,)a b 内至少有一根ξ。根据()0f x ′≠可知导数在区间内不变号（根据导数介值定理），因而是严格单调的。所以可知ξ是惟一的。

那么如何计算零点ξ？牛顿想到了一种切线方法，该方法的具有非常强的几何直观。切线法的思想：设曲线()y f x =在一点0x 处的切线方程为

000()()()y f x f x x x ′=+−

为了近似求解方程()0f x =，这里用上述切线与x 轴的交点近似代替零点ξ. 换句话说，就是用方程

000()()()0f x f x x x ′+−=

的解近似代替方程()0f x =的解。

牛顿迭代法示意图

上面我们用了逼近思想和变换思想，即局部上用切线近似代替曲线，用线性变换代替非线性变换。

解方程000()()()0f x f x x x ′+−=，得到

0100()()

f x x x f x =−

′ 以1x 代替0x 点，交x 轴于点2x ，于是 1211()()

f x x x f x =−′ 如此反复迭代，得到一个迭代序列{}n x （建立递归关系）

111(),1,2,()

n n n n f x x x n f x −−−=−=′L 如果此序列存在极限n x c →，对上式两边取极限，得到

()()

f c c c f c =−′ 由此得到()0f c =，再由惟一性可知c ξ=.

剩下的问题是如何保证此递归序列存在极限n x c →，通常要加上一些附加

条件（不唯一），这方面一个比较实用的定理如下：

（定理）设函数()f x 在[,]a b 上二阶连续可微，并且满足条件

()()0,()()0,[,]f a f b f x f x x a b ′′′<≠∀∈

如果可以选取初值0x 满足

00()()0f x f x ′′>

那么由迭代序列

111(),1,2,()

n n n n f x x x n f x −−−=−=′L 产生的数列{}n x 单调收敛于方程()0f x =在区间(,)a b 内的惟一解ξ.

注：上述定理的证明请参考《数学分析新讲》第二册。

类似的方法还有很多，比如数理方程中常见的用幂级数法解常微分方程，然后建立系数n a 之间的递推关系。最后利用初值条件，求解数列n a 的通项。

说到分解思想，笔者想起了高中时一件小事。那时笔者已经初步掌握了单元微分法和积分法，偶然在一篇文章中看到“矢量也可以积分”的内容，感到无比诧异。习惯了代数思维的自己，很难想象矢量如何积分。后来，隔了一年多才想明白，其实也简单。矢量可以投影到三维坐标轴上，得到三个分量。然后用矢量分量的坐标表示，从而将一个矢量积分转化为三个代数积分。多年后回想这件事情仍然很有意思，困惑不在于技术上，而在于理念或想法的转变上。这个例子本质上是将“几何思维转化为代数思维”，这种转化远不像字面上那样容易。后来偶然发现一道中学物理竞赛试题，比较能说明上述想法。

（第23届全国中学生物理竞赛决赛 第6题）

在高能物理中，实验证明，在实验室参考系中，一个运动的质子与一个静止的质子相碰时，碰后可能再产生一个质子和一个反质子，即总共存在三个质子和一个反质子。试求发生这一情况时，碰前那个运动质子的能量（对实验室参考系）的最小值（即阈值）是多少？

已知质子和反质子的静止质量都是270 1.6710kg m −=×. 不考虑粒子间的静电作用。