2020学年上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题(解析版)

5．
lim
n
1
1 n
__________.
【答案】1
【解析】由 lim 1 =0 即可求得 x n
【详解】
lim(1 1）= lim1 lim 1 =1-0=1
x
n x x n
【点睛】
利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
6．等差数列{an}中，若 a1 3 , an 21, d 2 ，则 n ___________. 【答案】10.
n cos + n(n 1）sin ， 2
数列的前 2n 项中所有偶数项的和为：
（sin +nsin）n （1+n）nsin
2
2
S2n1
n cos +
n(n 1）sin 2
（1+n）n sin 2
a2n1
n cos + n(n 1）sin （1+n）n sin cos +n sin
2
2
(n 1) cos n(n 1) sin
∴
S10
10a1
10 9 2
2
100
∴ a1 1
∴ a7 1 7 12 13.
故选：C
【点睛】
本题考查了等差数列的通项公式及前 n 项和公式，考查计算能力，属于基础
题.
2．等比数列 的前 项和为 ，已知
， ，则 （ ）
A．
B．
【答案】C
【解析】由题意可知，
C．
D．
，
，解得：
，
，求得 ，故选 C.
2019 6 336 3， x2019 x3 b a ． 故答案为： b a . 【点睛】 本题主要考查周期数列的判定及利用周期数列的性质特点求数列任一项的 值，考查不完全归纳法的应用，考查从特殊到一般的思想和基本的运算求解
能力．
12．数列{an}满足下列条件：a1 1，且对于任意正整数 n ，恒有 a2n an n ， 则 a512 ______. 【答案】512
7．数列{an}中，已知 an 4n 13•2n 2, n N * ，50 为第________项. 【答案】4
【解析】方程变为 4n 13•2n -48=0，设 2n x ，解关于 x 的二次方程可求得。 【详解】
an 4n 13•2n 2, n N * ，则 50 4n 13•2n 2 ，即 4n 13•2n -48=0 设 2n x ，则 x2 13x 48 0，有 x 16 或 x 3 取 x 16 得 2n 16 ， n 4 ，所以是第 4 项。 【点睛】
， Tn
是数列{bn}的前 n
项和，则 T99
_______.
【答案】 9 10
【解析】利用
an
Sn
Sn1
将
Sn
1 2
an
1 an
变为
Sn
1 2
Sn
Sn1
Sn
1 Sn1
（ n
2)
，整理发现数列{
Sn2
}为等差数列，求出
Sn2 ，进一步可以求出 an ，再将 an ， Sn 代入 bn ，发现可以裂项求 bn 的前 99
【解析】直接由 a2n an n ，可得
a512 a256 256 a256 28 =a128 128 28 a128 27 28 ，再带入等比数列的求和公式即可求得结论。
，这样推下去
【详解】
a2n an n
a512 a256 256 a256 28 =a128 128 28 a128 27 28 a1 1 21 22 28 1 1 29
【点睛】
对于递推式为 an2 -an d ，其特点是隔项相减为常数，这种数列要分类讨论， 分偶数项和奇数项来研究，特别注意偶数项的首项为 a2 ，而奇数项的首项为 a1 . 14．已知数列{an}是正项数列， Sn 是数列{an}的前 n 项和，且满足
Sn
1
2
an
1 an
.若
bn
an1 Sn Sn1
项和。
【详解】
1 1
Sn
2
an
an
Sn
1 2
Sn
Sn1
Sn
1 Sn1
（ n
2)
1 2Sn Sn Sn1 Sn Sn1
1 Sn Sn1 Sn Sn1
Sn2
S2 n1
1
Sn2 S12 (n 1) 1 (n 1) n
Sn n (n 2）
当 n 1时， S1 1 符合 Sn n ，Sn n
k 1 故答案为： 2 (2k 1) . 【点睛】 本题考查数学归纳法的应用，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．数列{an}满足 a1 1, a2 3 , an1 (2n )an (n 1, 2 , ) ，则 a3 等于 __________. 【答案】15. 【解析】先由 a1 1，a2 3 ，结合 an1 (2n )an ，求出 ，然后再求出 a3 ． 【详解】
即 0 x1 x3 x2 1 (sin a)1 (sin a)x2 (sin a)x3 (sin a)x1 (sin a)0 1,
即 0 x1 x3 x4 x2 1 (sin a)1 (sin a)x2 (sin a)x4 (sin a)x3 (sin a)x1 (sin a)0 1,
3．设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 Sm1 2, Sm 0, Sm1 3 ，则
m( )
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】由 Sm 0 a1 am Sm Sm1 2 又 am1 Sm1 Sm 3 ，可得
公差 d am1 am 1 ，从而可得结果. 【详解】
上海市上海中学高二下学期期末考试数学试题 一、单选题
1．已知等差数列an的公差为 2，前 n 项和为 Sn ，且 S10 100 ，则 a7 的值为
A．11
B．12
C．13
D．14
【答案】C
【解析】利用等差数列通项公式及前 n 项和公式，即可得到结果.
【详解】
∵等差数列an的公差为 2，且 S10 100 ，
两式相减得 an2 -an sin ,
数列的奇数项，偶数项分别成等差数列，
a1 a2 sin cos，，
a2 sin cos a1 sin cos cos sin a2n1 cos (n 1) sin ，
a2n sin (n 1) sin n sin ，
数列的前 2n 项中所有奇数项的和为：
an 是等差数列
Sm
m a1
2
ams
0
a1 am Sm Sm1 2
又 am1 Sm1 Sm 3 ， ∴公差 d am1 am 1 ， 3 am1 a1 m 2 m m 5，故选 C． 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式的应用，意在考查灵活应用所
k 1 化简即可得出． 【详解】 假设 n k 时命题成立，则 (k 1)(k 2)(k 3) (k k) 2k 135(2k 1) ， 当 n k 1时， (k 2)(k 3) (k 1 k 1) 2k1 135(2k 1) 从 n k 到 n k 1时左边需增乘的代数式是 (k 1 k)(k 1 k 1) 2(2k 1) ．
1 2 512
故选 C。
【点睛】 利用递推式的特点，反复带入递推式进行计算，发现规律，求出结果，本题 是一道中等难度题目。
13．数列{an}定义为 a1 cos , an an1 n sin cos , n 1，则 S2n1 _______.
【答案】 n2 n sin (n 1) cos
【解析】直接由等差数列的通项公式结合已知条件列式求解 n 的值．
【详解】
在等差数列{an}中，由 a1 3， an 21 ， d 2 ，
且 an
a1
(n
1)d
，所以 n
1
an
a1 d
21 3 2
9，
所以 n 10 ．
故答案为：10.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式，考查用基本量法求 n ．
a1 1 ， a2 3 ， an1 (2n )an ， a2 2 3 ， 1． a3 (4 ) 3 15 ． 故答案为：15. 【点睛】 本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查 基本运算求解能力． 11．数列{xn}满足 xn1 xn xn1 , n 2 , n N * , x1 a , x2 b ，则 x2019 _________. 【答案】 b a . 【解析】根据数列递推关系，列出前面几项，发现数列{xn}是以 6 为周期的 周期数列，然后根据周期数列的性质特点可得出 x2019 的值． 【详解】 由题干中递推公式，可得： x1 a ， x2 b ， x3 x2 x1 b a ， x4 x3 x2 b a b a ， x5 x4 x3 a (b a) b ， x6 x5 x4 b (a) a b ， x7 x6 x5 a b (b) a ， x8 x7 x6 a (a b) b ， x9 x8 x7 b a ， 数列{xn}是以 6 为最小正周期的周期数列．
an Sn Sn1 n n 1 (n 2)
当 n 1时， a1 1符合 an n n 1，an n n 1
bn
an1 Sn Sn1
n1 n 1 n n 1 n
1 n 1
T99 b1 b2 b3
即 0 x1 x3 x5 x4 x2 1, , 0 x1 x3 x5 x7 x8 x6 x4 x2 1， 数列 {xn } 是奇数项递增，偶数项递减的数列，故选：C. 【点睛】
本题涉及数列的函数特性，利用函数单调性，通过函数的大小，反推变量的
大小，是一道中档题目。
二、填空题
y (sin a)x 为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
【详解】
根据题意， 0 ，则 0 sin a 1，指数函数 y (sin a)x 为减函数 2
(sin a)1 (sin a)sina (sin a)0 1
即 Fra Baidu bibliotek x1 (sin a)x1 1 (sin a)1 (sin a)x2 (sin a)x1 (sin a)0 1,
发现 4n （2n）2 ，原方程可通过换元，变为关于 x 的一个二次方程。对于指数 结构 4n （2n）2 ， 9n （3n）2 ， 25n （5n）2 等，都可以通过换元变为二次形式研 究。
8．{an}为等比数列，若 a1 a2 a3 26 , a4 a1 52 ，则 an _______. 【答案】 2•3n1 【解析】将 a1 a2 a3 26 , a4 a1 52 这两式中的量全部用 a1, q 表示出来， 正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。 【详解】 a1 a2 a3 26 相当于 a（1 1 q q2）=26 ， a4 a1 52 相当于 a（1 q3 -1）=a1(q 1)(q2 q 1) 52 ， 上面两式相除得 q 1 2, q 3 代入就得 a1 2 ， an 2 3n1 【点睛】 基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表 示，列方程，解方程即可求得。 9．用数学归纳法证明 (n 1)(n 2) (n n) 2n 13 (2n 1)(n N *) 时，从 “ n k 到 n k 1”，左边需增乘的代数式是___________. 【答案】 2 (2k 1) . 【解析】从 n k 到 n k 1时左边需增乘的代数式是 (k 1 k)(k 1 k 1) ，
学知识解答问题的能力，属于中档题.
4．设
0
2
，若
x1
sin ,
xn1 (sin )xn (n 1, 2, 3,
) ，则数列{xn}是
（）
A．递增数列
B．递减数列
C．奇数项递增，偶数项递减的数列 D．偶数项递增，奇数项递减的数列
【答案】C
【解析】根据题意，由三角函数的性质分析可得 0 sin a 1，进而可得函数
【解析】由已知得两式 an an1 n sin cos , an1 an2 （n+1）sin cos，，相减可发现原数列的 奇数项和偶数项均为等差数列，分类讨论分别算出奇数项的和和偶数项的 和，再相加得原数列前 2n 1的和 【详解】
an an1 n sin cos , an1 an2 （n+1）sin cos，