上海市北初级中学数学代数式单元测试卷附答案

一、初一数学代数式解答题压轴题精选（难）

1．|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离，例如：|3|＝|3﹣0|，即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地，点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|，解决下面问题：

（1）数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________；数轴上P、Q两点的距离为6，点P表示的数是2，则点Q表示的数是________；

（2）点A在数轴上表示数为x，点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________

①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC ＝2OB时，求t的值；________

②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________，直接写出距离之和的最小值为________.

【答案】（1）3；8或﹣4

（2）解：∵多项式2m2n+mn﹣2的常数项是﹣2，次数是3，

∴点B、C在数轴上表示的数分别为﹣2、3.

；运动t秒，B点表示的数为﹣2+3t，C点表示的数为3+2t，

∵OC＝2OB，

∴3+2t＝2× ，

∴3+2t＝2（﹣2+3t），或3+2t＝2（2﹣3t），

解得t＝，或t＝，

故所求t的值为或

；；5.

【解析】【解答】（1）解：数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是|2﹣（﹣1）|＝3；设点Q表示的数是m，则|m﹣2|＝6，

解得m＝8或﹣4，

即点Q表示的数是8或﹣4.

故答案为3，8或﹣4。（2）解：②AB+AC＝|﹣2﹣x|+|3﹣x|，其最小值为5.

故答案为|﹣2﹣x|+|3﹣x|，5.

【分析】（1）根据数轴上A、B两点之间的距离为|AB|＝|a?b|，代入数值运用绝对值的性质即可求数轴上表示?1和2的两点之间的距离；设点Q表示的数是m，根据P、Q两点的距离为6列出方程|m?2|＝6，解方程即可求解；

（2）根据多项式的常数项与次数的定义求出点B、C在数轴上表示的数；

①根据OC＝2OB列出方程，解方程即可求解；

②根据数轴上A、B两点之间的距离为|AB|＝|a?b|即可表示AB＋AC，然后可得距离之和的最小值．

2．从2022年4月1日起龙岩市实行新的自来水收费阶梯水价，收费标准如下表所示：

（2）某用户8月份用水量为24吨，求该用户8月份应缴水费是多少元．

（3）若某用户某月用水量为m吨，请用含m的式子表示该用户该月所缴水费．

【答案】（1）解：2.2×10=22元，

答：该用户4月份应缴水费是22元，

（2）解：15×2.2+（24﹣15）×3.3=62.7元，

答：该用户8月份应缴水费是 62.7元

（3）解：①当m≤15时，需交水费2.2m元；

②当15＜m≤25时，需交水费，2.2×15+（m﹣15）×3.3=（3.3m﹣16.5）元，

③当m＞25时，需交水费2.2×15+10×3.3+（m﹣25）×4.4=（4.4m﹣44）元．

【解析】【分析】（1）先根据月用水量确定出收费标准,再进行计算即可；

（2） 8月份应缴水费为：不超过15吨的水费+超出的9吨的水费；

（3）分①m≤15吨,②1525吨三种情况,根据收费标准列式进行计算即可得解。

3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收贵的价目表如下（注：水费按月份结算，m3表示立方米）

5m3和8m3，则应收水费分别是________元和________元.

（2）若该户居民3月份用水量am3（其中6＜a≤10），则应收水费多少元？（用含a的式子表示，并化简）

（3）若该户层民4、5两个月共用水14m3（5月份用水量超过4月份），设4月份用水xm3，求该户居民4、5两个月共交水费多少元？（用含x的式子表示，并化简）

【答案】（1）10；20

（2）解：由依题意得：6×2+（a﹣6）×4＝4a﹣12（元）

答：应收水费（4a﹣12）元。

（3）解：当0＜x≤4时，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4×4+6（14﹣x﹣10）＝52﹣4x；

当4＜x≤6，该户居民4、5两个月共缴水费＝2x+12+4（14﹣x﹣6）＝﹣2x+44；

当6＜x＜7时，该户居民4、5两个月共缴水费＝12+4（x﹣6）+12+4（14﹣x﹣6）＝32.【解析】【解答】（1）解：该户居民1月份用水5m3，应缴水费＝5×2＝10（元）；

2月份用水8m3，应缴水费＝6×2+2×4＝20（元）；

故答案是：10；20

【分析】（1）①按照价目表可知，不超过6m3的用水量的水费=5×不超过6m3的用水量的价格计算即可求解；

②按照价目表可知，超过6m3的不超过10m3的用水量的水费=6×不超过5m3的用水量的价格+超过6m3的用水量×超过6m3的价格计算即可求解；

（2）由题意知，用水量属于第二档，按照（1）中②的方法可求解；

（3）结合（1）的方法，分类可求解.

4．请观察图形，并探究和解决下列问题：

（1）在第n个图形中，每一横行共有________个正方形，每一竖列共有________个正方形；

（2）在铺设第n个图形时，共有________个正方形；

（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n=5的图形时，共需花多少钱购买木板？

【答案】（1）（n+3）；（n+2）

（2）（n+2）（n+3）

（3）解：当n=5时，有白木板5×（5+1）=30块，黑木板7×8-30=26块，

共需花费26×8+30×6=388（元）．

【解析】【解答】⑴第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，

故答案为：（n+3）、（n+2）；

⑵所用木板的总块数（n+2）（n+3），

故答案为：（n+2）（n+3）；

【分析】本题主要考查的是探索图形规律，并根据所找到的规律求值；根据所给图形找出正方形个数的规律是解决问题的关键.

5．阅读：将代数式x2+2x+3转化为（x+m）2+k的形式（其中m，k为常数），则x2+2x+3=x2+2x+1﹣1+3=（x+1）2+2，其中m=1，k=2．

（1）仿照此法将代数式x2+6x+15化为（x+m）2+k的形式，并指出m，k的值．

（2）若代数式x2﹣6x+a可化为（x﹣b）2﹣1的形式，求b﹣a的值．

【答案】（1）解：∵ x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，

∴m=3．k=6；

（2）解：∵x2﹣6x+a=x2﹣6x+9﹣9+a=（x﹣3）2+a﹣9=（x﹣b）2﹣1，

∴b=3，a﹣9=﹣1，即a=8，b=3，

∴b﹣a=﹣5．

【解析】【分析】（1）根据完全平方公式的结构，按照要求x2+6x+15=x2+6x+32+6=（x+3）2+6，可知m=3．k=6，从而得出答案．

（2）根据完全平方公式的结构，按照要求x2-6x+a=x2-6x+9-9+a=（x-3）2+a-9=（x-b）2-1，即可知b=3，a-9=-1，然后将求得的a、b的值代入b-a，并求值即可.注意完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

6．甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每副定价20元，乒乓球每盒定价5元．现两家商店搞促销活动，甲店的优惠办法是：每买一副乒乓球拍赠一盒乒乓球；乙店的优惠办法是：按定价的9折出售．某班需购买乒乓球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．

（1）用代数式表示（所填式子需化简）：

当购买乒乓球的盒数为x盒时，在甲店购买需付款________元；在乙店购买需付款________元．

（2）当购买乒乓球盒数为10盒时，到哪家商店购买比较合算？说出你的理由．

（3）当购买乒乓球盒数为10盒时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付款几元？

【答案】（1）（5x+60）；（4.5x+72）

（2）解：当x=10时，甲店需付费5×10+60=110元；乙店需付费4.5×10+72=117元，

∴到甲商店比较合算

（3）解：可在甲店购买4副乒乓球拍子，在乙店购买（10﹣4）盒乒乓球，所需费用为：4×20+（10﹣4）×5×0.9=80+27=107元

【解析】【解答】解：（1）甲店需付费：4×20+（x﹣4）×5=80+5x﹣20=（5x+60）元；乙店需付费：（4×20+x×5）×0.9=（4.5x+72）元；

故答案为（5x+60）；（4.5x+72）；

【分析】（1）甲店需付费：4副乒乓球拍子费用+（x﹣4）盒乒乓球费用；乙店需付费：（4副乒乓球拍子费用+x盒乒乓球费用）×0.9，把相关数值代入求解即可；（2）把x=10代入（1）得到的式子计算，比较结果即可；（3）可在甲店购买乒乓球拍子，在乙店购买乒乓球．

7．小方家住户型呈长方形，平面图如下(单位：米)，现准备铺设地面，三间卧室铺设木地板，其它区城铺设地砖.

（1）求a的值.

（2）铺设地面需要木地板和地砖各多少平方米(用含x的代数式表示)？

（3）按市场价格，木地板单价为300元/平方米，地砖单价为100元/平方米，装修公司有A、B两种活动方案，如表：

活动方案木地板价格地砖价格总安装费

A8折8.5折2000元

B9折8.5折免收

料费及安装费）更低？

【答案】（1）解：根据题意，可得a＋5＝4＋4，

解得a＝3；

（2）解：铺设地面需要木地板：4×2x＋a[10＋6?（2x?1）?x?2x]＋6×4

＝8x＋3（17?5x）＋24＝75?7x；

铺设地面需要地砖：16×8?（75?7x）＝128?75＋7x＝7x＋53；

（3）解：∵卧室2的面积为21平方米，

∴3[10＋6?（2x?1）?x?2x]＝21，

∴3（17?5x）＝21，

∴x＝2，

∴铺设地面需要木地板：75?7x＝75?7×2＝61，铺设地面需要地砖：7x＋53＝7×2＋53＝67．

A种活动方案所需的费用：61×300×0.8＋67×100×0.85＋2000＝22335（元），

B种活动方案所需的费用：61×300×0.9＋67×100×0.85＝22165（元），

22335＞22165，

所以小方家应选择B种活动方案，使铺设地面总费用（含材料费及安装费）更低．

【解析】【分析】（1）根据长方形的对边相等可得a＋5＝4＋4，即可求出a的值；（2）

根据三间卧室铺设木地板，其它区域铺设地砖，可知将三间卧室的面积的和为木地板的面积，用长方形的面积?三间卧室的面积，所得的差为地砖的面积；（3）根据卧室2的面积为21平方米求出x，再分别求出所需的费用，然后比较即可．

8．某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价180元，椅子每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：

方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子

方案二：课桌和椅」都按定价的80%付款

某校计划添置100张课桌和把椅子，

（1）若，请计算哪种方案划算;

（2）若，请用含的代数式分别把两种方案的费用表示出来

（3）若，乔亚萍认为用方案一购买省钱，小兰认为用方案二购买省钱，如果两种方案可以同时使用，你能帮助学校设讣·种比乔亚萍和小兰的方案都更省钱的方案吗?若能，请你写出方案，若不能，请说明理由.

【答案】（1）解：当x=100时

方案一：100×180=18000；

方案二：（100×180+100×80）×80％=20800；

18000＜20800

∴方案一划算；

（2）解：当x＞100时

方案一：100×180+80（x-100）=80x+10000；

方案二：（100×180+80x）×80％=64x+14400；

（3）解：当x=320时

按方案一购买：80×320+10000=35600

按方案二购买：64×320+14400=34880

35600＞34880

∴方案二更省钱.

【解析】【分析】（1）根据两种方案的优惠方式，分别列式计算，再比较大小即可作出判断。

（2）根据x＞100，根据两种优惠方案，分别列式即可。

（3）将x=320分别代入（2）中的两种优惠方案的费用中进行计算，再比较大小可作出判断。

9．已知（其中是各项的系数，是常数项），我们规定的伴随多项式是，且

. 如

，则它的伴随多项式

.

请根据上面的材料，完成下列问题：

（1）已知，则它的伴随多项式 ________.

（2）已知，则它的伴随多项式 ________；若，x=________

（3）已知二次多项式，并且它的伴随多项式是，若关于的方程有正整数解，求的整数值.

【答案】（1）5x4

（2）10x-27；x=4；

（3）解：∵

∴g（x）=2（a+3）x+16=（2a+6）x+16，

由g（x）=-2x，得（2a+6）x+16=-2x，

化简整理得：（2a+8）x=-16，

∵方程有正整数解，

，

∴，

∵a为整数，

∴a+4=-1或-2或-4或-8，

∴a=-5或-6或-8或-12.

【解析】【解答】解：（1）∵，

∴g（x）=5x4；

故答案为：5x4；

（ 2 ）解：∵ = ，

∴g（x）=10x-27，

由g（x）=13，得10x-27=13，

解得：x=4；

故答案为：10x-27；x=4；

【分析】（1）由题意可知n=5，根据题中的新定义确定出g（x）即可；（2）先变形为 = ，再根据题中的新定义确定出g（x），并求出所求x的值即可；

（3）确定出f（x）的伴随多项式g（x）=（2a+6）x+16，由g（x）=-2x得，再根据方程有正整数解，确定出整数a的值即可.

10．小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤，下面是爸爸妈妈的对话：

妈妈：“上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元”；

爸爸：“今天，报纸上说与上个月相比，萝卜的单价上涨了25%，排骨的单价上涨了20%”请根据上面的对话信息回答下列问题：

（1）请用含的式子填空：上个月排骨的单价是________元/斤，这个月萝卜的单价是________元/斤，排骨的单价是________元/斤。

（2）列式表示今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？（结果要求化成最简）

（3）当a＝4，求今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花多少元？【答案】（1）7a+2；125%a；8.4a+2.4

（2）解：今天买的萝卜和排骨花的钱数为3×125%a+2×（8.4a+2.4）；

上个月买的萝卜和排骨花的钱数为3×a+2×(7a+2)

故今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花的钱数为

[3×125%a+2×（8.4a+2.4）]-[ 3×a+2×(7a+2)]= 3.55a+0.8(元)

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花（3.55a+0.8）元；

（3）解：把＝4代入3.55a+0.8=3.55×4+0.8=15（元）

答：今天买的萝卜和排骨比上月买同重量的萝卜和排骨一共多花15元.

【解析】【解答】（1）∵上个月萝卜的单价是元/斤，排骨的单价比萝卜的7倍还多2元

∴上个月排骨的单价是(7a+2)元/斤；

这个月萝卜的单价是（1+25%）a=125%a元/斤;

这个月排骨的单价是（1+20%）(7a+2)=（8.4a+2.4）元/斤

故填：7a+2,125%a,8.4a+2.4;

【分析】（1）根据题意即可写出上个月排骨的单价、这个月萝卜的单价及排骨的单价；（2）计算两次买的价钱，再相减即可求解；（3）把a=4代入即可求解.

11．某市居民使用自来水接如下标准收费(水费按月缴纳)

户月用水量单价

不超过10m3的部分2元／m3

超过10m3但不超过18m3的部分3元／m3

超过18m3的部分4元／m3

（1）某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费}

（2）设某户月用水量为"n”立方米，当n>18时，求该用户应缴纳的水费(用含n的代数式表示)}

（3）甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元。设甲用户这个月用水xm3，直接写出甲、乙两用户一个月共缴纳的水费(用含x的代数式表示)．

【答案】（1）解：∵25＞18

∴10×2+3×（18-10）+4×（25-18）

=20+24+28

=72

答：某用户一个月用了25m3水，求该用户这个月应缴纳的水费为72元；

（2）解：∵n＞18

∴10×2+3×8+4（n-18）

=20+24+4n-72

=4n-28

答：当n>18时，求该用户应缴纳的水费4n-28；

（3）解：∵甲、乙两用户一个月共用水36m3。已知甲用户缴纳的水费超过了20元

∴x＞10

当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

20+3（x-10）+2×10+3×8+4（36-x-18）

=20+3x-30+20+24+72-4x

=106-x

当x＞18，0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

44+4（x-18）+2（36-x）

=44+4x-72+72-2x

=2x+44

当x＞18，10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费：

44+4（x-18）+20+3（36-x-10)

=44+4x-72+20+78-3x

=x+70

答：

当10＜x≤18时，则36-x＞18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：106-x；

当x＞18，则0＜36-x＜10时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：2x+44；

当x＞18，则10＜36-x＜18时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：x+70；

【解析】【分析】（1）利用表中数据，根据用户用水量，列式计算可求解。

（2）利用表中数据，根据用户用水量n＞18，列式化简可求解。

（3）由题意分情况讨论：当10＜x≤18时，则36-x＞18时；当x＞18，则0＜36-x＜10时；当x＞18，则10＜36-x＜18时，分别列式化简，可得出答案。

12．

（1）在如图所示的数轴上，把数﹣2，，4，﹣，2.5表示出来，并用“＜“将它们连接起来；

（2）假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看作一点），小球甲从表示数﹣2的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动；同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（秒）．

请从A，B两题中任选一题作答．

A．当t=3时，求甲、乙两小球之间的距离．

B．用含t的代数式表示甲、乙两小球之间的距离．

【答案】（1）解：如图所示：

-2<- < <2.5<4

（2）解：∵甲球运动的路程为：1?t=t，OA=2，∴甲球与原点的距离为：t+2；

乙球到原点的距离分两种情况：

（Ⅰ）当0＜t≤2时，乙球从点B处开始向左运动，一直到原点O，

∵OB=4，乙球运动的路程为：2?t=2t，∴乙球到原点的距离为：4-2t；

（Ⅱ）当t＞2时，乙球从原点O处开始一直向右运动，此时乙球到原点的距离为：2（t-2）=2t-4；

A、当t=3时，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2=7；

B、分两种情况：（Ⅰ）0＜t≤2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+4-2t=6-t；

（Ⅱ）t＞2，甲、乙两小球之间的距离为：t+2+2t-4=3t-2

【解析】【分析】（1）根据给出的数字，在数轴上进行标注即可，按照数轴上从左往右的顺序用＜连接得到答案。

（2）根据两个小球运动的时间以及运动的方式进行计算得到答案即可。