近年现控考研题

五、(20分)某单输入线性定常系统(也叫线性非时变系统)的状态方程是

u b Ax x

+= ，已知： (1)当⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡-=11)0(x 时，系统的零输入响应为)0()(x x t e t -=；

(2)当⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡-=21)0(x 时，系统的零输入响应为)0()(2x x t

e t -=；

(3)系统的零状态单位阶跃响应为⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡+--=--t t e e t 11)(x 1.试确定A 和b ；

2.以T = ln2为采样周期，求系统离散化的状态方程。

六、（20分）已知线性定常的离散时间系统的状态方程为：

⎩⎨

⎧++=++-=+)()()()1()

()()1(21221k u b k x k x a k x k u k x k x

1．确定使系统渐近稳定的a 值范围； 2．给出系统完全能控的充分必要条件。

七、（20分）已知单输入－单输出系统的传递函数为：

4

＋3223)(23

2

s s s s s s G ++++=

1．给出该传递函数的一个能控标准型实现（输入u 、输出y 、状态x ）； 2．上述能控标准型系统引入状态反馈 kx +=v u 后，问：

（1）闭环系统（输入v 、输出y 、状态x ）是否一定能控；若是，请给出证明；若否，给出一个尽可能简单的反例；

（2）闭环系统（输入v 、输出y 、状态x ）是否一定能观；若是，请给出证明；若否，给出一个尽可能简单的反例。

注:上述“尽可能简单”是指闭环系统的传递函数阶数最低，且静态增益

为1。要求求出k 及相应的闭环传递函数)(o s G

五、(20分) 已知两单输入单输出系统的状态空间方程分别是：

⎩⎨⎧+=+=⎩⎨

⎧+=+=2

22222222221

1111111111:,

:u d y u S u d y u S x c b x A x x c b x A x

1. 将它们负反馈联接，即：12y u =，21y v u -=，试以v 为输入，

1y y =为输出，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=21x x x 为状态，求反馈系统的状态空间方程；

2. 当1,1,1,11111===-=d c b A ，0,1,1,22222===-=d c b A ，

,1)0(,1)0(21-==x x 且输入v 是幅值为2的阶跃信号时，求状

态)(t x 的表达式及输出)3(y 的值。 六、（24分）已知系统的动态方程为

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=+-=++-=21212211232x

x y u x x x

u x x x

1．判断系统的渐近稳定性和BIBO 稳定性；

2．若可能，设计状态反馈使闭环系统的极点位于22j ±-；

3．当系统的状态不可直接量测时，若可能，设计极点均位于-6处的

最小维状态观测器；

4．用你得到的观测状态实现你设计的状态反馈，给出实现你所设计

的复合系统结构图。

七、（16分）对n 维线性定常单输入－单输出系统：

cx

b Ax x =+=y u

1．已知)2,,2,1,0(,0-==n i i

b cA ，但01

≠-b cA

n ，试证明该系

统是既能控又能观的； 2．证明该系统的传递函数是：

)

det()det()det()

()()(A I bc A I A I -----=

=

s s s s U s Y s G

五、（20分）已知系统的动态结构图如下：

1．列写系统的状态空间表达式；2. 当初态,1)0(1=x ,1)0(2-=x 0)0(3=x ，输入u 是单位阶跃信号

时，求状态)(t x 的表达式及输出)2(y 的值。

六、（20分）已知系统的动态方程为

⎪⎩

⎪

⎨⎧-=+=++=2121221122x

x y ax x x u x x x

1．分析参数a 对系统的能控性、能观性、渐近稳定性和BIBO

稳定性的影响；

2．当1=a ，且系统的状态不可直接量测时，若可能，设计极点

均位于-5处的最小维状态观测器。 七、（20分）1．对线性定常系统，证明：线性变换不改变系统的渐

近稳定性。

2．对单输入-单输出线性定常系统{ A , b , c }，证明：若{ A , b }

能控，则一定存在行向量c ，使{ A , c }能观。

五、（20分）系统的动态结构如图所示，试以u 为输入，y 为输出，x 为状态

变量列写系统的状态空间表达式：

⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=32

12121,,x x x y y u u x y u

六、（24分）已知某系统的传递函数如下，试分别给出满足以下条件的实现并分

析实现的稳定性

)

3)(2()4)(1(2)(++++=

s s s s s g

1．求既能控又能观的约当型实现，分析该实现的渐近稳定性；

2．求一个维数尽可能低的能控但不能观、李雅普诺夫意义下稳定但非渐近稳定的实现，分析该实现的BIBO 稳定性；

3．求一个维数尽可能低的既不能控又不能观、且李雅普诺夫意义下不稳定的实现，分析该实现的BIBO 稳定性和渐近稳定性。

七、（16分）对单输入-单输出能控的线性定常系统

1．证明：状态反馈不改变传递函数的零点； 2．问：如果系统不能控上述结论还正确吗？

2007

五、（25分）已知单输入－单输出系统的传递函数为

s

s s s s G 2＋3)(2

3

++=β

1.给出该传递函数的一个能控标准型实现；