《多面体欧拉公式的发现》教学设计
研究性课题：多面体欧拉定理的发现
(不成立)
由观察发现并非对所有的多面体上述规律都成立。那么它对什么样的多面体一定成立呢？
拓扑变换：假定多面体的表面是用橡胶薄膜(不会破裂)做成的，对它们内部充气，观察变形情况：
一、简单多面体及欧拉定理
1、简单多面体：多面体表面经过连续变形可变为球面的多面体叫简单多面体。
(棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体等都是简单多面体。)
①什么叫简单多面体的概念问题。所谓简单多面体即是：
多面体经过连续变形，表面能变为一个球面的多面体称为简单多面体。
②经过观察、归纳、猜想，我们发现了简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间的一般规律：即
欧拉定理：简单多面体顶点数V、面数F、棱数E之间满足：
V+F-E=2
欧拉示性数f(p)=V+F-E
简单多面体的欧拉示性数f(p)=V+F-E =2
③根据欧拉定理，我们可解决简单多面体的一此实际问题。
注意：在利用欧拉公式解决问题时，计算棱数方法可从两个方面考虑：
(i)E=各面多边形边数总和除以2；
(ii)E=各顶点棱数总和除以2..
教
学
过
程
1、已知凸多面体的每个面都是正三角形，且每个顶点都有4条棱，
试问这是几面体？
答案：∵多面体每个面有3条边，∴E=3F/2，又每个顶点有4条棱，
∴E=4V/2，又V+F-E=2，解得：E=12，F=8，V=6。
∴这个多面体是正八面体。
4、一个多面体共有10个顶点，每个顶点都有4条棱，面的形状只
有三角形和四边形，求作一个符合条件的模型，并说明作法。
作法：取一正方体，在相对的两个面的外侧各取一点，与该点最近面的顶点连线组成一个十二面体即为所求。
(第29课)多面体欧拉定理的发现(1)
课题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现(一)教学目的：1. 了解多面体与简单多面体的概念、发现欧拉公式2.培养学生发现问题、探究问题、归纳总结能力教学重点：欧拉公式的发现过程教学难点：欧拉定义及其证明授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节为研究性课题通过研究欧拉定理的发现过程，让学生了解欧拉公式及其简单应用，扩大学生的知识面，培养学生学习数学的兴趣教学过程：一、复习引入：1 欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝（详细资料附后）2多面体的概念：由若干个多边形围成的空间图形叫多面体；每个多边形叫多面体的面，两个面的公共边叫多面体的棱，棱和棱的公共点叫多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线段叫多面体的对角线．3．凸多面体：把多面体的任一个面展成平面，如果其余的面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫凸多面体．如图的多面体则不是凸多面体．4．凸多面体的分类：多面体至少有四个面，按照它的面数分别叫四面体、五面体、六面体等二、讲解新课：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体⑹2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：发现：它们的顶点数V 、面数F 及棱数E 式：2V F E +-=．上述关系式对简单多面体都成立3.欧拉公式的探究1．请查出图⑹的顶点数V 、面数F 、和棱数E V ＋F －E ＝6+6-10=22．查出图⑺中的顶点数V 、面数F 、和棱数E ，并验证上面公式是否还成立？3. 假如图⑸→图⑻的多面体表面是像皮膜，向内充气则⑸⑹将变成一个球面，图⑺将变成两个紧贴的球面，图⑻将变成一个环面。
9.10.2多面体欧拉定理的发现(2)
多面体欧拉定理的发现（2）一、课题：多面体欧拉定理的发现（2）二、教学目标：欧拉定理的应用．三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种．证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nF E = （1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mV E =（2） 由（1）（2）得：2E F n =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n+-=． ∴11112m n E+-= （3），∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，（若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的） ∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E+-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样若3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家。
60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目． 解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。
60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯ （2），由（1）（2）得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数． 解：由题意设每一个面的边数为m ,则(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,则62n E V n ==，12n F m =得121262n n m+-=,即5213n m +=（1）, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时（1）中m 无整数解；当5n =,由（1）得3m =,∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =. 五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．。
§多面体欧拉定理的发现01
芯衣州星海市涌泉学校多面体欧拉定理的发现〔2〕一、课题：多面体欧拉定理的发现〔2〕二、教学目的：欧拉定理的应用．三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：〔一〕复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．〔二〕新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故一一共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公一一共边，故多面体棱数2nFE =〔1〕令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故一一共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE =〔2〕 由〔1〕〔2〕得：2E Fn =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n +-=． ∴11112m n E+-=〔3〕，∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，〔假设3m >，3n >，那么有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的〕∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，那么1111032m E +-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样假设3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子构造中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大奉献的三位科学家。
60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目．解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。
60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯=〔1〕，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯〔2〕，由〔1〕〔2〕得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为m ,那么(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,那么62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m+=〔1〕, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或者者4n =时〔1〕中m 无整数解；当5n =,由〔1〕得3m =,∴30E =,∴20F =，综上可知:30E=，12V =，20F =.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页习题9．10第2，3题．。
高中数学第九章直线平面简单几何体B第30课多面体欧拉定理的发现2教案
课 题：9．10研究性课题：多面体欧拉定理的发现 (二)教学目的：会用欧拉公式解决实际问题 教学重点：欧拉定理的应用教学难点：在具体问题中会利用顶点V 、面数F 、棱数E 的关系互化 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入：1．简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体 2．五种正多面体的顶点数、面数及棱数：3．欧拉定理（欧拉公式）：简单多面体的顶点数、面数及棱数E 有关系式： 2V F E +-=．4．欧拉示性数：在欧拉公式中令()f p V F E =+-，()f p 叫欧拉示性数说明：（1）简单多面体的欧拉示性数()2f p =．（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数()0f p =．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体()161632f p =+-=二、讲解范例：例1 由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数2nFE =（1） 令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故共有mV 条棱由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE = （2） 由（1）（2）得：2EF n =，2E V m =代入欧拉公式：222E EE m n+-=． ∴11112m n E+-= （3）， ∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，（若3m >，3n >，则有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的）∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，则1111032m E+-=>，∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤． 同样若3m =可得35n ≤≤．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大贡献的三位科学家60是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯ （2），由（1）（2）得：12x =，20y =∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数解：由题意设每一个面的边数为m ,则(2)20F m ππ-=， ∴(2)20F m -=，∵2mFE =，∴10EF =+, 将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,则62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m +=（1）, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥， ∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或4n =时（1）中m 无整数解； 当5n =,由（1）得3m =, ∴30E =, ∴20F =，综上可知:30E =，12V =，20F =.三、小结 ：欧拉定理的应用；会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题 四、课后作业：⒈ 一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有下面的关系：F ＝2V －4证明：∵23FE ＝ ，V ＋F －E ＝2 ∴V ＋F －F 23＝2 ∴F ＝2V －4 ⒉ 设一个凸多面体有V 个顶点，求证：它的各面多边形的内角和为（V-2）·360°解：设此多面体的上底面有V 上个顶点，下底面有V 下个顶点 将其下底面剪掉，抻成平面图形则 V 上·360°＋（V 下－2）·180°＋（V 下－2）·180° ＝（V 上＋V 下－2）·360° ＝（V －2）360°⒊ 有没有棱数是7的简单多面体？说明理由 证明：∵V ＋F －E ＝2 ， ∴V ＋F ＝7＋2＝9 ∵多面体的顶点数V ≥4，面数F ≥4∴只有两种情况V ＝4，F ＝5或V ＝5，F ＝4但是有4个顶点的多面体只有四个面，不可能是5个面有四个面的多面体是四面体，也只有四个面，不可能有5个面 ∴没有棱数是7的简单多面体⒋ 是否存在这样的多面体，它有奇数个面，且每一个在都有奇数条边 证明：设有一个多面体，有F （奇数）个面，并且每个面的边数F n n n 21,也都是奇数，则 E n n n F 221=+++但是上式左端是奇数个“奇数相加”，结果仍为奇数，可右端是偶数，这是不可能的∴不存在这样的多面体五、板书设计（略）六、课后记：。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。
他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.发现关系：V+F-E=2。
是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。
将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。
简单多面体的欧拉公式精品教案
简单多面体的欧拉公式新课程倡导教师对学生最重要的价值引导就是“会做数学”比“会说数学”更重要，课堂始终以“做数学”为主旋律，教师不断地创设有意义的问题情境或教学活动，激励学生在解决问题中学习。
与传统数学相比，现代数学的巨大变化还表现在，通过观察作出猜想、建立模型、然后进行修改调整，成为现代数学家以及应用数学家、工程技术人员的基本思维。
“研究性课题：多面体欧拉定理的发现”是一个探究式、自主学习的课题，在这节课中，我利用网络资源，不断地创设一系列问题情境，引导学生独立自主地发现问题——解决问题——应用知识，提高了学习的效率。
在教学中，我设计了以下几个环节，愿与大家探讨。
一、创设情境提出问题歌尼斯堡问题是学生在课前搜集相关资料的时候找到的一个相关问题，由于它是平面的问题，比较简单易懂。
在课堂上学生积极地向其他同学介绍这个有意思的问题。
不仅扩充了课程资源，也渗透了与图形大小、长短无关的一类几何问题，为接下去的学习活动提供了良好的教学情境。
二、问题驱动自主探究接下来，以网页课件为媒体，开展以下活动：活动一：问题驱动引出定理通过一系列问题，引领学生体验从二维到三维的类比推广，把问题引向未研究过的的领域，并通过学生自己的实践（数正多面体的棱数、面数、顶点数）总结出、有价值的规律。
学生相互交流思考问题。
师生交流后教师给出密码，提供比较完整的问题解答，实现了师生互动与交流。
活动二：实例验证加深理解学生在知道了欧拉定理后，以正四面体为例，通过课件的提示帮助，体会“平面法”验证欧拉定理的思想。
教师布置任务：以同样的思想方法，以正六面体为例，验证欧拉定理。
汇总各小组的研究方案，选代表在黑板上演示，并宜从一些不成立的步骤着手，引导学生找出问题所在，在逐步矫正中，加深学生对“平面法”的理解。
随后由教师提供密码，给出比较完善的方案。
活动三：知识应用解决问题用欧拉定理解决所提出的问题：正多面体为什么只有五种？由学生自己阅读，教师加以点拨即可。
研究性课题 多面体欧拉公式的发现
研究性课题 多面体欧拉公式的发现【教材分析】教材结合9.8节关于多面体的分类而编，目的在于以学生主动参与的发现式学习活动，培养他们通过观察发现规律并证明所得猜想的能力。
【学情分析】该公式的证明较抽象，前后知识的联系较少，学生理解上有较大难度。
但在前面立几教学中学生已有将空间问题转化为平面问题来研究的降维思想和转化策略的基础，所以本节课采用多媒体辅助教学，降低空间想象的难度，突破降维过程中的变与不变的难点，从而达到降低教学难度的目的。
【教学目标】1、知识目标：培养学生观察，归纳，大胆猜想的能力，了解欧拉公式的发现及其法。
2、能力目标 掌握公式证明体现的思想方法。
使学生领悟转化、化归思想，从空间到平面的降维策略，学会从一般到特殊和特殊到一般的分析问题和解决问题的方法，增强学生应用数学知识解决实际问题的的意识和能力。
3、情意目标 通过教学使学生了解和感知欧拉公式发现的历程，激发学生热爱科学勤奋学习热情，培养学生勇于探索的创新意识。
【教学重点】欧拉公式和它的证明，证明的思想方法是重点。
【教学难点】证明过程是难点。
【教学过程】问题1：下面6个多面体，分别数出它们的顶点数V 、面数F 和棱数E ，并填出表1。
(1) (2) (3)(4) (5) (6) D 1C 1B 1A 1AB CD B 1D 1C 1E 1A 1ABCDE观察表1中各组数据，猜想V 、F 、E 之间的规律：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
是否任意一个多面体都有上述规律吗？问题是数学的心脏。
创设问题情境，让学生在解决问题的过程中去观察、猜想、探索；让学生以类似或模拟科学研究的方式进行学习，使学生形成探究性学习的习惯，培养和锻炼学生的探究能力。
问题2：下面3个多面体，分别数出它们的顶点数V 、面数F 和棱数E ，并填出表2。
（7） （8） （9）简单直观的问题情景能一下子激发学生探索的兴趣。
学生进入问题情景，发现问题，在问题的驱动下，进入探究性活动。
“多面体欧拉定理的发现”教学活动设计
“多面体欧拉定理的发现”教学活动设计作者：王怀昌来源：《信息技术教育》2006年第09期背景材料介绍背景：北京时间6月9日22点30分，2006年德国世界杯的开幕式在慕尼黑的安联体育场拉开序幕，随着德国总统克勒宣布大赛开幕，万众瞩目的世界杯大赛正式开始。
首场揭幕战6月10日零点，德国VS哥斯达黎加，比赛地点是慕尼黑。
问题提出足球虽然是球体，但实际是由正五边形、正六边形橡胶粘合成的多面体加工而成。
试问：正五边形、正六边形橡皮各有多少块呢？观察每个小组发一个足球，让学生进行观察。
各个小组仔细观察足球的构造，回答上述问题。
结论：(1)每块正五边形橡皮周围都是正六边形橡皮。
(2)每两个相邻的多边形恰有一条公共的边。
(3)每个顶点处都有三块橡皮，而且都遵循一个正五边形、两个正六边形。
(4)共32个面，更进一步可以得到60个顶点，90条棱……思考仅有上面1～3的信息，能不能求出来足球共有多少个面？这个问题，希望通过本节课的学习之后，你能够进行回答。
打开互动程序——多面体/check.do?func=1&moduleID=87。
多面体欧拉公式的发现实验探索，归纳猜想运行“多面体”互动程序（/check.do?func=1&moduleID=87），通过拖动鼠标可以旋转多面体，以便从不同角度观察多面体，通过三维模型直观性更强。
如图1所示。
学生分小组进行观察、讨论、总结，然后表述各自的观点，最后共同总结出下述的结论。
发现规律以小组为单位对上面的表格进行讨论，研究各个数值的关系。
结果：V+F-E=2。
引申问题图２图３图２是带洞的多面体，图３是两个顶部相连的四面体，这时前面的结论还成立吗？引导学生讨论，引出前面结论的限制条件。
教师说明：上面的反例都不能被看成是“真正的”多面体，因为一个真正的多面体应当是无空穴的、无重叠的。
归纳简单多面体的定义：连续变形中表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。
欧拉公式：对任何简单的多面体，V+F-E=2成立。
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(I)
一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴ （3），∵又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。
是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目． 解：设分子中有五边形个，六边形个。
分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,∵，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴, ∴，综上可知:，，.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
⑶列方程时除了欧拉公式，还应注意提问之中的两个等式。
例3，（见课本P59，问题5（2））
四、巩固练习：1、课本P6习4。
2、求证：如果简单多面体的所有面都是奇数边的多边形，而以面数为偶数。
五、小结：前面我们学习了一个研究性课题：欧拉公式的发现，我们从中应学到：
教学方法：指导自学法
教学过程：一、旧知回顾
1、什么叫做多面体。
2、多面体通常如何分类？多面体至少有几个面？
3、什么叫做正多面体？正多面体有几种？
二、新课引入：下面我们对多面体的顶点数V,面数F和棱数E的关系进行研究，请大家注意研究的过程。
三、新课讲授
问题1：课本P56图9-82中有5个多面体，分别数出它们的顶点数V,面数F和棱数E，并填表1：
六、作业：P61，2。
高一数学：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.2研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、进一步认识理解欧拉公式；
2、掌握多面体欧拉公式并能灵活运用。
教学重点：欧拉公式的应用
高一数学：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
执笔人：郭炜2010。12.25
单位：江西省宜春市万载中学（336100）
个人备课笔录
课题：9.9.1研究性课题：多面体欧拉公式的发现
教学目标：1、通过一些具体多பைடு நூலகம்体研究V、F、E的关系；
2、对欧拉公式进行证明。
教学重点：欧拉公式的发现
教学难点：研究方法
1、发现欧拉公式的过程，观察——猜想——证明——应用。
2、求简单多面体的顶点数、面数或棱数一般采用方程的思想。列方程时，除了利用欧拉公式，还应注意另两个等式（见前述）。
个人备课笔录
表1：
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
⑴
⑵
⑶
⑷
⑸
从中你能发现V、F和E之间的规律为。
这个规律是否适用于一切多面体？看问题2。
问题2：课本P57图9-83中有3个多面体。填表2。
表2：
图形编号
顶点数V
面数F
棱数E
⑴
⑵
⑶
这些图形都符合前面找出的规律吗？
符合上述规律的多面体有什么共面特点呢？看问题3。
问题3：如果这些多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它们的内部充气，那么其中哪些多面体能够连续（不破裂）变形，最后其表面可变为一个球面？哪些不能？像以上那样的连续变形中，表面能变为一个球面的多面体，叫做简单多面体。
二、新课引入：上节课我们通过观察，猜想发现了欧拉公式并学习了它的证明，下面我们来研究它的应用。
三、新课讲授
例1，简单多面体每个面都是五边形，且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面体的面数、棱数、顶点数（F=12，V=20，E=30）
例2，（见课本P59问题5（1））
点评：⑴欧拉公式有用来解决与简单多面体的顶点数、面数、棱数有关的一些问题。
根据问题1，2，3你能得出什么猜想？
正确的猜想是V+F-E=2，它叫做欧拉公式。
问题4：如何证明欧拉公式呢？（学生自学，教师指导）
四、课堂练习：课本P61，练习1，2习题1。
五、小结：本节课我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想方法去发现公式V+F-E=2的过程，并通过大家自学了证明欧拉公式的一种方法，那么欧拉公式有何作用？请大家课外初步的研究，下节课我们一起来讨论解决。
教学难点：欧拉公式的应用
教学方法：讲讲练练
教学过程：一、旧知回顾
1、简单多面体的顶点数V，面数F和棱数E之间的关系为
。
2、（1）凸多面体各面边数和与棱数之间有什么关系？（各面边数和=2x棱数）。
（2）凸多面体各棱数和与该多面体棱数之间又有何关系？（各顶点棱数和=2x棱数）
3、一个简单多面体的各面都是三角形，且有6个顶点，则这个简单多面体的面数。