【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.5]
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题4_第1讲_等差数列和等比数列(含答案)
第1讲 等差数列和等比数列考情解读 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．1．a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.2．等差数列和等比数列热点一 等差数列例1 （1）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＋a 6＝12，则S 7的值是( ) A ．21 B ．24 C ．28 D ．7（2）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若－1<a 3<1,0<a 6<3，则S 9的取值范围是________． 思维启迪 (1)利用a 1＋a 7＝2a 4建立S 7和已知条件的联系；(2)将a 3，a 6的范围整体代入． 思维升华 (1)等差数列问题的基本思想是求解a 1和d ，可利用方程思想； (2)等差数列的性质①若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； ②S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，仍成等差数列； ③a m －a n ＝(m －n )d ⇔d ＝a m －a nm －n(m，n ∈N *)；④a n b n ＝A 2n －1B 2n －1(A 2n －1，B 2n －1分别为{a n }，{b n }的前2n －1项的和)． (3)等差数列前n 项和的问题可以利用函数的性质或者转化为等差数列的项，利用性质解决．（1）已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64（2）在等差数列{a n }中，a 5<0，a 6>0且a 6>|a 5|，S n 是数列的前n 项的和，则下列说法正确的是( ) A ．S 1，S 2，S 3均小于0，S 4，S 5，S 6…均大于0 B ．S 1，S 2，…S 5均小于0，S 6，S 7，…均大于0 C ．S 1，S 2，…S 9均小于0，S 10，S 11…均大于0 D ．S 1，S 2，…S 11均小于0，S 12，S 13…均大于0热点二 等比数列例2 （1）(2014·安徽)数列{a n }是等差数列，若a 1＋1，a 3＋3，a 5＋5构成公比为q 的等比数列，则q ＝__________. （2）已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n 等于( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1思维启迪 (1)列方程求出d ，代入q 即可；(2)求出a 1，q ，代入化简． 思维升华 (1){a n }为等比数列，其性质如下：①若m 、n 、r 、s ∈N *，且m ＋n ＝r ＋s ，则a m ·a n ＝a r ·a s ； ②a n ＝a m q n －m ；③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列(q ≠－1)．(2)等比数列前n 项和公式S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1(q ＝1)，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q (q ≠1).①能“知三求二”；②注意讨论公比q 是否为1；③a 1≠0.（1）已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11等于( )A ．1B ．2C ．4D ．8（2）在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝34，a 2·a n －1＝64，且前n 项和S n ＝62，则项数n 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7热点三 等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. （1）求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；（2）将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．思维启迪 (1)利用方程思想求出a 1，代入公式求出a n 和S n ；(2)将恒成立问题通过分离法转化为最值． 思维升华 等差(比)数列的综合问题的常见类型及解法(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)等差数列、等比数列与函数、方程、不等式等的交汇问题，求解时用等差(比)数列的相关知识，将问题转化为相应的函数、方程、不等式等问题求解即可．已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且12，a n ，S n 成等差数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求证：1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3．等差、等比数列的单调性 （1）等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值． d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值． d ＝0⇔{a n }为常数列． （2）等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论（1）若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．（2）若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }仍为等比数列．（3）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…，成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)q a 2－a 1＝q .（4）等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒（1）应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．（2）三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac.真题感悟1．(2014·大纲全国)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．32．(2014·北京)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 押题精练1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( ) A ．若a 3>0，则a 2 013<0 B ．若a 4>0，则a 2 014<0 C ．若a 3>0，则a 2 013>0 D ．若a 4>0，则a 2 014>02．已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a n a n .若对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围为________．3．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝4S n ＋4n ＋1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14恰好是等比数列{b n }的前三项．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）记数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，(T n ＋32)k ≥3n －6恒成立，求实数k 的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、选择题1．等比数列{a n }中a 1＝3，a 4＝24，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．1892．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 6＝6＋a 7，则S 9的值是( ) A ．27 B ．36 C ．45D ．543．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．64．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11 5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 014等于( )A ．16B ．－16C ．6D ．－66．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )， Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →等于( ) A ．2 011 B ．－2 011 C ．0 D ．1 二、填空题7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝________.8．(2014·广东)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝______. 9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n ＝________. 10．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 三、解答题11．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.（1）求数列{b n }的通项公式；（2）数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．12．若数列{b n }对于n ∈N *，都有b n ＋2－b n ＝d (常数)，则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列，如数列{c n }，若c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数，4n －9，n 为偶数，则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足a 1＝a ，对于n ∈N *，都有a n＋a n ＋1＝2n .（1）求证：{a n }为准等差数列； （2）求{a n }的通项公式及前20项和S 20.13．(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．例1 (1)C (2)(－3,21) 变式训练1 (1)A (2)C 例2 (1)1 (2)D 变式训练2 (1)D (2)B 例3 解 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4， ∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n (9－n )2.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4[1－(12)m ]1－12＝8[1－(12)m ]，∵(12)m 随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m <8. 又S n ＝n (9－n )2＝－12(n 2－9n )＝－12[(n －92)2－814]，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n <T m ＋λ， 则10<4＋λ，得λ>6.即实数λ的取值范围为(6，＋∞)． 变式训练3 (1)解 ∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋12，当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－12，两式相减得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴a na n －1＝2，∴数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，∴a n ＝12×2n －1＝2n －2.(2)证明 b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝log 222n ＋1－2×log 222n＋3－2＝(2n －1)(2n ＋1)，1b n ＝12n －1×12n ＋1＝12(12n －1－12n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12(1－12n ＋1)<12(n ∈N *)． 即1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n <12.1．C 2．8 1．C 2．(－8，－7)3．解 (1)当n ≥2时，由题设知4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，∴4a n ＝4S n －4S n －1＝a 2n ＋1－a 2n －4，∴a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2，∵a n >0，∴a n ＋1＝a n ＋2.∴当n ≥2时，{a n }是公差d ＝2的等差数列． ∵a 2，a 5，a 14构成等比数列，∴a 25＝a 2·a 14，(a 2＋6)2＝a 2·(a 2＋24)，解得a 2＝3， 由条件可知，4a 1＝a 22－5＝4，∴a 1＝1，∵a 2－a 1＝3－1＝2，∴{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝2的等差数列． ∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. ∵等比数列{b n }的公比q ＝a 5a 2＝2×5－13＝3，∴等比数列{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)T n ＝b 1(1－q n )1－q ＝3(1－3n )1－3＝3n ＋1－32，∴(3n ＋1－32＋32)k ≥3n －6对任意的n ∈N *恒成立，∴k ≥2n －43n 对任意的n ∈N *恒成立，令c n ＝2n －43n ，c n －c n －1＝2n －43n －2n －63n －1＝－2(2n －7)3n ，当n ≤3时，c n >c n －1；当n ≥4时，c n <c n －1.∴(c n )max ＝c 3＝227，∴k ≥227.CDCBDA 7．3 8．50 9．6 10．2×⎝⎛⎭⎫32n －1 ⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，⎝⎛⎭⎫32n －2 (n ≥2)11．(1)解 设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15.解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d .依题意，有(7－d )(18＋d )＝100，解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2. 由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以b n ＝b 1·q n －1＝54·2n －1＝5·2n －3，即数列{b n }的通项公式b n ＝5·2n －3.(2)证明 由(1)得数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，2为公比的等比数列．12．(1)证明 ∵a n ＋1＋a n ＝2n ，① ∴a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋2.②由②－①得a n ＋2－a n ＝2(n ∈N *)， ∴{a n }是公差为2的准等差数列． (2)解 已知a 1＝a ，a n ＋1＋a n ＝2n (n ∈N *)， ∴a 1＋a 2＝2，即a 2＝2－a .∴由(1)可知a 1，a 3，a 5，…，成以a 为首项，2为公差的等差数列，a 2，a 4，a 6，…，成以2－a 为首项，2为公差的等差数列．∴当n 为偶数时，a n ＝2－a ＋(n2－1)×2＝n －a ，当n 为奇数时，a n ＝a ＋(n ＋12－1)×2＝n ＋a －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数，n －a ，n 为偶数.S 20＝a 1＋a 2＋…＋a 19＋a 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20) ＝2×1＋2×3＋…＋2×19＝2×(1＋19)×102＝200.13．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18.即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .假设存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n >0，上式不成立； 当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012， 即2n ≥2 012，得n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N ，k ≥5}．。
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.2(含答案)
14．若 cos2θ＋cosθ＝ 0，求 sin2θ＋sinθ的值．
答案 0 或 ± 3
解析 ∵ cos2θ＋cosθ＝ 0 ∴ 2cos2θ＋cosθ－1＝0
∴ (2cosθ－1)(cosθ＋ 1)＝0
∴ cosθ＝－ 1 或 cosθ＝12
当 cosθ＝－ 1 时， sin2θ＋ sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝ 0
4．A 为△ ABC 的内角，且 sin2A＝－ 35，则 cos(A＋π4)等于 (
)
25 A. 5
B．－
2 5
5
5 C. 5
D．－
5 5
答案 B
解析
cos2(
π A＋4)＝ [
2 2 (cosA－
sinA)]
2
＝
1 2(1－
4 sin2A)＝5.
又 cosA<0，sinA>0
∴ cosA－ sinA<0
°－ sin10 －°cos10
°＝°－
1
5． (tanx＋ta1nx)cos2x 等于 (
)
A ． tanx B． sinx C． cosx D． cotx
答案 解析
D
1 (tanx＋tan
x)cos2x＝
(
sinx cosx＋
csoinsxx)cos2x＝
cos2x sinx·cosx＝
cot
x
∴ sinα＝13.
Байду номын сангаас
(1)cos(α－
32π)＝cos(32π－α)＝－
sinα＝－
1 3.
(2)sin(
π 2＋α)＝cosα，
cos2α＝
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-3(含答案)
第十章10.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．在(ax－1)7展开式中含x4项的系数为－35，则a为() A．±1B．－1C．－12D．±12答案 A解析由通项公式可得C37(ax)4(－1)3＝－35x4，∴C37a4(－1)3＝－35，∴a4＝1，∴a＝±1.2．在(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中，x4的系数是通项公式为a n＝3n－5的数列的()A．第20项B．第18项C．第11项D．第3项答案 A解析∵x4的系数是C45＋C46＋C47＝C15＋C26＋C37＝5＋15＋35＝55，则由a n＝55，即3n－5＝55，解得n＝20.3．在(x＋1)(2x＋1)……(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为()A．C2n B．C2n＋1C．C n－1n D.12C3n＋1答案 B解析1＋2＋3＋…＋n＝n·(n＋1)2＝C2n＋14．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N ＝240，则展开式中x3项的系数为()A．500 B．－500C．150 D．－150答案 C解析N＝2n，令x＝1，则M＝(5－1)n＝4n＝(2n)2，∴(2n)2－2n＝240,2n＝16，n＝4.展开式中第r＋1项T r＋1＝C r4·(5x)4－r·(－x)r＝(－1)r·C r4·54－r·x4－r2.令4－r2＝3，即r＝2，此时C24·52·(－1)2＝150.5．如果(x2－12x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，那么展开式中的所有项的系数之和是()A．0 B．256C．64 D.1 64答案 D解析 解法一由已知得⎩⎪⎨⎪⎧C 3n >C 4nC 3n >C 2n ，∴5<n <7，∵n ∈N *，∴n ＝6. 令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝164.解法二 由题意知，只有第4项的二项式系数最大，∴n ＝6，令x ＝1，则原式＝(1－12)6＝164.6．二项展开式(2x －1)10中x 的奇次幂项的系数之和为( ) A.1＋3102 B.1－3102 C.310－12 D ．－1＋3102答案 B解析 设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，令x ＝1，得1＝a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10，再令x ＝－1，得310＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＋a 10，两式相减可得a 1＋a 3＋…＋a 9＝1－3102，故选B.7．已知(1－2)10＝a ＋2b (a ，b 为有理数)，则a 2－2b 2＝( ) A ．(1－2)20 B ．0 C ．－1 D ．1 答案 D解析 在二项式(a ＋b )n 与(a －b )n 的展开式中，奇数项是完全相同的，偶数项互为相反数，根据这个特点，当(1－2)10＝a ＋2b 时，必有(1＋2)10＝a －2b ，故a 2－2b 2＝(a ＋2b )(a －2b )＝(1－2)10(1＋2)10＝1.二、填空题8．(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数为________． 答案 179解析 (x ＋2)10(x 2－1)＝x 2(x ＋2)10－(x ＋2)10本题求x 10的系数，只要求(x ＋2)10展开式中x 8及x 10的系数T r ＋1＝C r 10x10－r · 2r取r ＝2，r ＝0得x 8的系数为C 210×22＝180；x 10的系数为C 210＝1，∴所求系数为180－1＝179.9．设a n (n ＝2,3,4，…)是(3－x )n的展开式中x 的一次项的系数，则32a 2＋33a 3＋…＋318a 18的值为____________． 答案 17解析 由通项C r n 3n －r (－1)r x r 2知，展开式中x 的一次项的系数为a n ＝C 2n 3n －2，所以32a 2＋33a 3＋…＋318a 18＝32(21×2＋22×3＋23×4＋…＋217×18)＝17.10．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 答案 6解析 注意到二项式(x ＋43y )20的展开式的通项是T r ＋1＝c r 20·x 20－r ·(43y )r ＝C r 20·3r 4·x 20－r ·y r .当r ＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x ＋43y )20的展开式中，系数是有理数的项共有6项．11．(2011·安徽江南十校)a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0＝x 4，则a 3－a 2＋a 1＝________.答案 －14解析 [(x ＋1)－1]4＝a 4(x ＋1)4＋a 3(x ＋1)3＋a 2(x ＋1)2＋a 1(x ＋1)＋a 0，∴a 3－a 2＋a 1＝(－C 14)－C 24＋(－C 34)＝－14.12．二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x 在[0,2π]内的值为________．答案 π6或5π6解析 二项式(1＋sin x )n 的展开式中，末尾两项的系数之和C n －1n ＋C nn ＝1＋n ＝7，∴n ＝6，系数最大的项为第4项，T 4＝C 36(sin x )3＝52，∴(sin x )3＝18，∴sin x ＝12，又x ∈[0,2π]，∴x ＝π6或56π.13．(1－3a ＋2b )5展开式中不含b 项的系数之和是________． 答案 －32解析 令a ＝1，b ＝0，即得不含b 项的系数和(1－3)5＝－32. 三、解答题14．设m ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)dt ，求二项式(m x －1x )6展开式中含x 2项的系数及各项系数之和．答案 －192,1解析 ∵m ＝⎠⎛0π(sin t ＋cos t)dt ＝(sin t －cos t)| π0＝2.∴(m x －1x )6＝(2x －1x )6，又T r ＋1＝C 626－r(－1)r x 3－r ，令3－r ＝2，∴r ＝1，∴x 2项的系数为－192. 令x ＝1知各项系数之和为1.15．设(2－3x)100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. 解析 (1)(2－3x)100展开式中的常数项为 C 0100·2100，即a 0＝2100，或令x ＝0， 则展开式可化为a 0＝2100.(2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100① ∴a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100.(3)令x ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100② 与x ＝1所得到的①联立相减可得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100) ＝(2－3)100(2＋3)100＝1.拓展练习·自助餐1．把(3i －x)10(i 是虚数单位)按二项式定理展开，展开式的第8项的系数是( )A ．135B ．－135C ．－3603iD ．3603i 答案 D解析 ∵T 7＋1＝C 710(3i )3(－x)7＝－C 71033i 3x 7＝C 71033i x 7.所以展开式的第8项的系数为33·C 710i ，即3603i .2．若(2x －22)9的展开式的第7项为214，则x ＝________.答案 －13解析 T 7＝T 6＋1＝C 69(2x )3(－22)6＝214，即9×8×73×2×1·23x ·18＝214， 所以23x －1＝2－2，因此有3x －1＝－2，即x ＝－13.3． (x ＋1)3＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 6＝________.答案 28解析 ∵(x ＋1)3＋(x －2)8＝[(x －1)＋2]3＋[(x －1)－1]8，∴a 6(x －1)6＝C 28(x －1)6(－1)2＝28(x －1)6，∴a 6＝28.4． (1＋ax ＋by)n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为( )A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 答案 D解析 注意到(1＋ax ＋by)n ＝[(1＋ax)＋by]n ＝[(1＋by)＋ax]n ，因此依题意得(1＋|b|)n ＝243 ＝35， (1＋|a|)n ＝32＝25，于是结合各选项逐一检验可知，当n ＝5时，|b|＝2，|a|＝1，因此选D .5．请先阅读：在等式cos 2x ＝2cos 2x －1(x ∈R )的两边对x 求导，即(cos2x )′＝(2cos 2x －1)′；由求导法则得(－sin2x )·2＝4cos x ·(－sin x )， 化简后得等式sin2x ＝2sin x cos x .(1)利用上述想法(或者其他方法)，试由等式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n x n －1＋C n n x n(x ∈R ，整数n ≥2)证明：n [(1＋x )n －1－1]＝∑nk ＝2k C k n xk －1. (2)对于整数n ≥3，求证：∑nk ＝1 (－1)k k C k n ＝0.解析 (1)在等式(1＋x )n ＝C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n －1n xn －1＋C n n x n 两边对x 求导得 n (1＋x )n －1＝C 1n ＋2C 2n x ＋…＋(n －1)C n －1n x n －2＋n C n n xn －1. 移项得n [(1＋x )n －1－1]＝∑nk ＝2k C k n xk －1.(*) (2)在(*)式中，令x ＝－1，整理得∑nk ＝1 (－1)k －1k C kn ＝0，所以∑nk ＝1(－1)k k C k n ＝0.。
2015届高考数学总复习配套课件：选4-5 2 不等式的证明
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
第二节 不等式的证明
提素能
高效
训练
[最新考纲展示]
了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、 山 东
放缩法．
金
太
阳
书
业
有
限
公
司
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第一页，编辑于星期五：十点 十七分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
高考总复习 A 数学（文）
抓主干 考点 解密
研考向
要点 探究
2．用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为( )
悟典题
A．a，b，c全为0
能力
提升
B．a，b，c至少有一个为0
提素能
高效 训练
C．a，b，c至少有一个不为0
D．a，b，c至多有一个不为0
山
东
解析：“a，b，c全为0”的反面应是“a，b，c中至少有一个不为0”， 金
提素能 高效 训练
【例1】 (1)求证：当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2；
山
东
(2)求证：32－n＋1 1＜1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n≥2，n∈N＋)．
金 太
阳
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十一页，编辑于星期五：十点 十七分。
高考总复习 A 数学（文）
抓主干
[证明] (1)证法一 (1＋2x4)－(2x3＋x2)
考点
解密
研考向 要点
∴1＋a a＞1＋aa＋b，1＋b b＞1＋ba＋b.
探究
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-6(含答案)
第十章 10.6 第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．如图为一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)、在其内部随机地撒一粒黄豆、则它落在阴影部分的概率为()A.2πB.1πC.12 D ．1－2π 答案 D解析 S 扇形＝14πR 2＝π、S △＝12×2×2＝2、S 阴影＝S扇形－S △＝π－2.由几何概型概率公式得黄豆落在阴影部分的概率P ＝π－2π＝1－2π.2．在集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}内任取一个元素、能使不等式x 5＋y2－1≤0成立的概率为( )A.14B.34C.13D.23 答案 A解析 集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}在直角坐标系中表示的区域是一个由直线x ＝0、x ＝5、y ＝0、y ＝4所围成的长为5、宽为4的矩形、而不等式x 5＋y2－1≤0和集合{(x 、y )|0≤x ≤5,0≤y ≤4}表示区域的公共部分是以5为底、2为高的一个直角三角形、由几何概型公式可以求得概率为12×5×25×4＝14.3.如右图、在一个长为π、宽为2的矩形OABC 内、曲线y ＝sin x (0≤x ≤π)与x 轴围成的如图所示的阴影部分、向矩形OABC 内随机投一点(该点落在矩形OABC 内任何一点是等可能 )、则所投的点落在阴影部分的概率是( )A.1πB.2πC.3πD.π4 答案 A解析 S 矩形OABC ＝2π、S 阴影＝⎠⎛0πsin x d x ＝2、由几何概型概率公式得P ＝22π＝1π.4．已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 、其中0≤b ≤4,0≤c ≤4、记函数f(x)满足条件⎩⎨⎧f (2)≤12f (－2)≤4为事件A 、则事件A 发生的概率为( ) A .14 B .58 C .12 D .38 答案 C解析 由题意知、事件A 所对应的线性约束条件为⎩⎨⎧0≤b ≤40≤c ≤44＋2b ＋c ≤124－2b ＋c ≤14、其对应的可行域如图中阴影部分所示、所以事件A 的概率P(A)＝S △OAD S 正方形OABC＝12、选C .5．已知实数a 满足－3<a<4、函数f(x)＝lg (x 2＋ax ＋1)的值域为R 的概率为P 1、定义域为R 的概率为P 2、则( )A ．P 1>P 2B ．P 1＝P 2C ．P 1<P 2D ．P 1与P 2的大小不确定 答案 C解析 若f (x )的值域为R 、则Δ1＝a 2－4≥0、得a ≤－2或a ≥2.故P 1＝－2－(－3)4－(－3)＋4－24－(－3)＝37.若f (x )的定义域为R 、则Δ2＝a 2－4<0、得－2<a <2故P 2＝47.∴P 1<P 2. 二、填空题6．函数f (x )＝x 2－x －2、x ∈[－5,5]、那么任取一点x 0使f (x 0)≤0的概率为________．答案 0.3 解析 如图、在[－5,5]上函数的图象与x 轴交于两点(－1,0)、(2,0)、而x 0∈[－1,2]、那么f (x 0)≤0.所以P ＝区间[－1，2]的长度区间[－5，5]的长度＝310＝0.3.7．在区间(0,2)内任取两数m 、n (m ≠n )、则椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率大于32的概率为________．答案 12解析 如图、m 、n 的取值在边长为2的正方形中．当m >n 时、椭圆离心率e ＝m 2－n 2m ＝1－(nm )2、由e >32、得m >2n .同理、当m <n 时、n >2m .故满足条件的m 、n 为图中阴影部分．所求概率P ＝2×12×2×122＝12.8．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1.其中实数a 、b 满足⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0，b >0，则函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率是________．答案 13分析 这个概率就是函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数时点(a 、b )在已知区域中所占有的面积和已知区域的面积之比．解析函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在[1、＋∞)单调递增的充要条件是2b a ≤1、即b ≤a2.作出平面区域如图所示、问题等价于向区域OAB 中任意掷点、点落在区域OAC (其中点C 的坐标是(163、83))中的概率、这个概率值是12×83×812×8×8＝13.9．已知菱形ABCD 的边长为2、∠A ＝30°、则该菱形内的点到菱形的顶点A 、B 的距离均不小于1的概率是________．解析如图所示、只有当点位于图中的空白区域时、其到A 、B 的距离才均不小于1、菱形的面积为2×2×sin30°＝2、两个阴影部分的扇形面积之和恰好是一个半径为1的半圆、其面积为π2、故空白区域的面积为2－π2、所求的概率是2－π22＝4－π4＝1－π4.10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P 、则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．解析 满足条件的点在半径为a 的18球内、所以所求概率为p ＝18×43πa 3a 3＝π6.11．利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a 和b 、则方程x ＝－2a －abx 有实根的概率为________．答案 14解析 方程x ＝－2a －abx 即x 2＋2ax ＋ab ＝0若方程有实根、则有Δ＝4a 2－4ab ≥0、即b ≤a 、其所求概率可转化为几何概率、如图、其概率等于阴影面积与正方形面积之比．∴P ＝12.12．周长为定值的扇形OAB 、当其面积最大时、向其内任意掷一点、则点落在△OAB 内的概率是__________．答案 12sin2解析 设扇形周长为m 、半径为r 、则弧长l ＝m －2r 、扇形的面积是12rl ＝12r (m －2r )≤14·(2r ＋m －2r 2)2＝m 216、当且仅当r ＝m 4时等号成立、此时扇形的弧长为m2、故此时扇形的圆心角为lr ＝2弧度、点落在△OAB 内的概率是12r 2sin212×2×r2＝12sin2.三、解答题13．甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头、它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．(1)如果甲船和乙船的停泊的时间都是4小时 、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时、乙船的停泊时间为2小时、求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．解析(1)设甲、乙两船到达时间分别为x 、y 、则0≤x <24,0≤y <24且y －x >4或y －x <－4.作出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24y －x <4或y －x <－4设“两船无需等待码头空出”为事件A 、则P (A )＝2×12×20×2024×24＝2536.(2)当甲船的停泊时间为4小时、两船不需等待码头空出、则满足x －y >2或y －x >4、设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B 、画出区域⎩⎨⎧0≤x <24，0≤y <24，y －x >4或x －y >2.P (B )＝12×20×20＋12×22×2224×24＝442576＝221288.14．已知关于x 的一元二次函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1. (1)设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}、分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a 、b )是区域⎩⎨⎧x ＋y －8≤0，x >0，y >0内随机点、求函数y ＝f (x )在区间[1、＋∞)上是增函数的概率．解析 (1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为x ＝2ba要使f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间[1、＋∞)上为增函数、当且仅当a >0且2ba ≤1、即2b ≤a . 若a ＝1、则b ＝－1、 若a ＝2、则b ＝－1,1、 若a ＝3、则b ＝－1,1∴事件包含基本事件的个数是1＋2＋2＝5.∴所求事件的概率为515＝13.(2)由(1)知当且仅当2b ≤a 且a >0时、函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1在区间 [1、＋∞)上为增函数、依条件事知试验的全部结果所构成的区域为{(a 、b )|⎩⎨⎧a ＋b －8≤0a >0b >0}构成所求事件的区域为三角形部分． 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －8＝0，b ＝a 2，得交点坐标为(163、83)． ∴所求事件的概率为P ＝12×8×8312×8×8＝13.15．已知复数z ＝x ＋yi (x 、y ∈R )在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4、－3、－2,0}、Q ＝{0,1,2}、从集合P 中随机抽取一个数作为x 、从集合Q 中随机抽取一个数作为y 、求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]、y ∈[0,4]、求点M 落在不等式组：⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解析 (1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4、－4＋i 、－4＋2i 、－3、－3＋i 、－3＋2i 、－2、－2＋i 、.－2＋2i,0、i,2i 、且每种情况出现的可能性相等、属于古典概型、 其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i 、∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16.(2)依条件可知、点M 均匀地分布在平面区域{(x 、y )|⎩⎨⎧0≤x ≤30≤y ≤4}内、属于几何概型．该平面区域的图形为右图中矩形OABC 围成的区域、面积为S ＝3×4＝12.而所求事件构成的平面区域为{(x 、y )|⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0}、其图形如图中的三角形OAD (阴影部分)．又直线x ＋2y －3＝0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0、32)、∴三角形OAD 的面积为S 1＝12×3×32＝94. ∴所求事件的概率为P ＝S 1S ＝9412＝316.教师备选题1．平面上有一组平行线、且相邻平行线间的距离为3 cm 、把一枚半径为1 cm 的硬币任意平掷在这个平面上、则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B 解析如图所示、这是长度型几何概型问题、当硬币中心落在阴影区域时、硬币不与任何一条平行线相碰、故所求概率为P ＝13.2．将长为l 的棒随机折成3段、求3段构成的三角形的概率．解析 设A ＝“3段构成三角形”x 、y 分别表示其中两段的长度、则第3段的长度为l －x －y .则试验的全部结果可构成集合Ω＝{(x 、y )|0<x <l,0<y <l,0<x ＋y <l }、要使3段构成三角形、当且仅当任意两段之和大于第3段、即x ＋y >l －x －y ⇒x ＋y >l2、x ＋l －x －y >y ⇒y <l2、y ＋l －x －y >x ⇒x <l2. 故所求结果构成的集合A ＝{(x 、y )|x ＋y >l 2、y <l 2、x <l2}． 由图可知、所求概率为P (A )＝A 的面积Ω的面积＝12·(l 2)2l 22＝14.3．在区间[0,2]内任取两个数a 、b 、那么函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 2无零点的概率为________．答案 34解析 依题意、方程x 2＋ax ＋b 2＝0无零点、则有Δ＝a 2－4b 2<0、即(a ＋2b )(a －2b ) <0.在平面直角坐标系aOb 内画出不等式组⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2①与⎩⎨⎧0≤a ≤20≤b ≤2(a ＋2b )(a －2b )<0②表示的平面区域、注意到不等式组①表示的平面区域的面积是4、不等式组②表示的平面区域的面积是22－12×2×1＝3、因此所求的概率为34.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：1.2(含答案)
第一章 1.2 第2课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．有下列四个命题：①“若x＋y＝0、则x、y互为相反数”的逆命题；②“若a＞b、则a2＞b2”的逆否命题；③“若x≤－3、则x2＋x－6＞0”的否命题；④“若a b是无理数、则a、b是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1C．2 D．3答案 B2．“a>1”是“1a<1”的()A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件答案 B3．“a＝－3”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[－3、＋∞)上为增函数”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A4．与命题“若a∈M、则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M、则b∉M B．若b∉M、则a∈MC．若a∉M、则b∈M D．若b∈M、则a∉M答案 D解析命题的逆否命题．5．已知a、b是实数、则3a＜3b是log3a＜log3b的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由题知、3a＜3b⇔a＜b、log 3a＜log3b⇔0＜a＜b.故3a＜3b是log3a＜log3b 的必要不充分条件．故选B.6．若向量a＝(x,3)(x∈R)、则“x＝4”是“|a|＝5”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案 A解析当x＝4时、a＝(4,3)、则|a|＝5；若|a|＝5、则x＝±4.故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．7．“m<14”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的()A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件答案 A解析 一元二次方程x 2＋x ＋m ＝0有实数解 ⇔Δ＝1－4m ≥0⇔m ≤14.当m <14时、m ≤14成立、但m ≤14时、m <14不一定成立、故选A.8．设{a n }是等比数列、则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 由题可知、若a 1<a 2<a 3、 即⎩⎨⎧ a 1<a 1q a 1q <a 1q 2、当a 1>0时、 解得q >1、此时数列{a n }是递增数列、当a 1<0时、解得0<q <1、此时数列{a n }是递增数列；反之、若数列{a n }是递增数列、则a 1<a 2<a 3成立、所以“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的充分必要条件、故选C.二、填空题9．(1)命题“等腰三角形的两内角相等”的逆命题是“________________________”．(2)命题“两个奇数之和一定是偶数”的否命题是“________________________”．(3)命题“正方形的四个角相等”的逆否命题是“________________________”．答案 (1)若一个三角形的两个内角相等、则这个三角形是等腰三角形(2)若两个数不都是奇数、则它们的和不一定是偶数(3)四个角不全相等的四边形不是正方形10． a 、b 为非零向量、“a ⊥b ”是“函数f (x )＝(x a ＋b )(x b －a )为一次函数________条件．答案 必要不充分解析 f (x )＝x 2a ·b ＋x (b 2－a 2)－a ·b当a ⊥b 时、a ·b ＝0f (x )＝x (b 2－a 2)若|a |≠|b |为一次函数若|a |＝|b |为常数、∴充分性不成立．当f (x )为一次函数∴a ·b ＝0且b 2－a 2≠0∴a ⊥b 且|a |≠|b |∴必要性成立．11．命题A ∩B ＝A 是命题∁U B ⊆∁U A 的________条件．答案 充要12．命题“若m >0、则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0有实根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中、真命题的个数是________．答案 2解析 原命题及其逆否命题为真命题．三、解答题13．写出命题“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”的逆命题、否命题、逆否命题、并判断其真假．答案 略解析 原命题：“若x ≥2且y ≥3、则x ＋y ≥5”、为真命题．逆命题：“若x ＋y ≥5、则x ≥2且y ≥3”、为假命题．否命题：“若x <2或y <3、则x ＋y <5”、其为假命题．逆否命题：“若x ＋y <5、则x <2或y <3”、其为真命题．14．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)、命题q ：|x 2－4|<1、若p 是q 的充分不必要条件、求实数a 的取值范围．答案 0<a ≤5－2解析 由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a 、q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5.又由题意知p 是q 的充分不必要条件．所以有⎩⎪⎨⎪⎧ －5≤2－a 2＋a ≤－3a >0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧ 3≤2－a 2＋a ≤5a >0 ②、由①得a 无解；由②解得0<a ≤5－2.15．已知f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、对命题“若a ＋b ≥0、则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．”(1)写出其逆命题、判断其真假、并证明你的结论；(2)写出其逆否命题、判断其真假、并证明你的结论．答案 略分析 题干中已知函数的单调性、利用函数单调性大多是根据自变量取值的大小推导函数值的大小、当已知两个函数值的关系时、也可以推导自变量的取值的大小．多个函数值的大小关系、则不容易直接利用单调性、故可考虑利用四种命题的关系寻求原命题的等价命题．解 (1)逆命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )、则a ＋b ≥0.(用反证法证明)假设a ＋b <0、则有a <－b 、b <－a .∵f (x )在(－∞、＋∞)上是增函数、∴f (a )<f (－b )、f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、这与题设中f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛看、故假设不成立．从而a ＋b ≥0成立．逆命题为真．(2)逆否命题：已知函数f (x )是(－∞、＋∞)内的增函数、a 、b ∈R 、若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )、则a ＋b <0.原命题为真、证明如下：∵a ＋b ≥0、∴a ≥－b 、b ≥－a .又∵f (x )在(－∞、＋∞)内是增函数、∴f (a )≥f (－b )、f (b )≥f (－a )．∴f(a)＋f(b)≥f(－b)＋f(－a)＝f(－a)＋f(－b)．∴原命题为真命题．∴其逆否命题也为真命题．拓展练习·自助餐1．(1)“x>y>0”是“1x<1y”的________条件．答案充分不必要解析1x<1y⇒xy·(y－x)<0、即x>y>0或y<x<0或x<0<y.(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案充分不必要解析题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件、显然是充分不必要条件．2．“α＝π6＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝12”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析由α＝π6＋2kπ(k∈Z)、知2α＝π3＋4kπ(k∈Z)、则cos2α＝cos π3＝12成立、当cos2α＝12时、2α＝2kπ±π3、即α＝kπ±π6(k∈Z)、故选A.3．若a1、a2、a3均为单位向量、则a1＝(33、63)是a1＋a2＋a3＝(3、6)的________条件．答案必要不充分解析由题意可知、|a1|＝|a2|＝|a3|＝1、若a1＋a2＋a3＝(3、6)、则|a1＋a2＋a3|＝3＝|a1|＋|a2|＋|a3|、a1、a2、a3共线且方向相同、即a1＝a2＝a3＝(33、63)；若a1＝(33、63)、当a1、a2、a3不全相等时、a1＋a2＋a3≠(3、6)、故为必要不充分条件．4．△ABC中“cos A＝2sin B sin C”是“△ABC为钝角三角形”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析cos A＝－cos(B＋C)＝－cos B cos C＋sin B sin C＝2sin B sin C、∴cos(B－C)＝0.∴B －C ＝π2.∴B ＝π2＋C ＞π2、故为钝角三角形、反之显然不成立、故选B.5 .设M 、N 是两个集合、则“M ∪N ≠∅”是“M ∩N ≠∅”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件答案 B解析M ∪N ≠∅、不能保证M 、N 有公共元素、但M ∩N ≠∅、说明M 、N 中至少有一元素、∴M ∪N ≠∅.故选B.教师备选题1．对于数列{a n }、“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2、…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为a n ＋1＞|a n |⇒a n ＋1＞a n ⇒{a n }为递增数列、但{a n }为递增数列⇒a n ＋1＞a n 推不出a n ＋1＞|a n |、故“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件、选B.2．已知A ＝{x ||x －1|≥1、x ∈R }、B ＝{x |log 2x ＞1、x ∈R }、则x ∈A 是x ∈B 的________条件．答案 必要非充分条件解析 A ＝{x |x ≥2或x ≤0}、B ＝{x |x ＞2}、由x ∈A ⇒/ x ∈B 、但由x ∈B ⇒x ∈A .3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0、p ≠1)、则{a n }为等比数列的充要条件是________．答案 q ＝－14．已知A 为xOy 平面内的一个区域．命题甲：点(a 、b )∈{(x 、y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}； 命题乙：点(a 、b )∈A .如果甲是乙的充分条件、那么区域A 的面积的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 设⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN 为集合B .由题意、甲是乙的充分条件、则B ⊆A 、所以区域A 面积的最小值为S △PMN ＝ 12×4×1＝2.故选B.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：11-3(含答案)
第十一章 11.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、某单位有职工750人、其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人、为了了解该单位职工的健康情况、用分层抽样的方法从中抽取样本、若样本中的青年职工为7人、则样本容量为( )A 、7B 、15C 、25D 、35答案 B解析 设样本容量为n 、则依题意有350750×n ＝7、n ＝15、选B.2、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品、产品的数量之比依次为3∶4∶7、现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本、样本中A 型号产品有15件、那么样本容量n 为( )A 、50B 、60C 、70D 、80答案 C解析 由分层抽样方法得33＋4＋7×n ＝15、解之得n ＝70、故选C. 3、某高中在校学生2000人、高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人、为了响应“阳光体育运动”号召、学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动、每其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5、全校参与登山的人数占总人数的25、为了了解学生对本次活动的满意程度、从中抽取了一个200人的样本进行调查、则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A 、36人B 、60人C 、24人D 、30人答案 A解析 ∵登山占总数的25、故跑步的占总数的35、又跑步中高二级占32＋3＋5＝310. ∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36、故选A.4、问题：①某社区有500个家庭、其中高收入家庭125户、中等收入家庭280户、低收入家庭95户、为了了解社会购买力的某项指标、要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会、方法一：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法、问题与方法配对正确的是()A、①Ⅲ、②ⅠB、①Ⅰ、②ⅡC、①Ⅱ、②ⅢD、①Ⅲ、②Ⅱ答案 A解析①因为社会购买力与家庭收入有关、因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名、样本和总体都比较少、适合采用简单随机抽样法、5、从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛、若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人、剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取、则每人入选的概率()A、不全相等B、均不相等C、都相等、且为502010D、都相等、且为502000答案 C6、将参加夏令营的600名学生编号为：001,002、…、600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本、且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区、从001到300在第Ⅰ营区、从301到495在第Ⅱ营区、从496到600在第Ⅲ营区、三个营区被抽中的人数依次为()A、26,16,8B、25,17,8C、25,16,9D、24,17,9答案 B解析依题意及系统抽样的意义可知、将这600名学生按编号依次分成50组、每一组各有12名学生、第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)、令3＋12(k－1)≤300得k≤1034、因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得1034<k≤42、因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知、选B.7、某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查、经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查、发现有20名同学上次被抽到过、估计这个学校高一年级的学生人数为()A、180B、400C、450D、2000答案 C解析90x＝20100、∴x＝450.故选C.8、某初级中学有学生270人、其中七年级108人、八、九年级各81人、现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查、考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案、使用简单随机抽样和分层抽样时、将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时、将学生统一随机编号为1、2、…、270、并将整个编号依次分为10段、如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中、正确的是()A、②、③都不能为系统抽样B、②、④都不能为分层抽样C、①、④都可能为系统抽样D、①、③都可能为分层抽样答案 D解析对于系统抽样、应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样、应在1～108中抽取4个号、109～189中抽取3个号、190～270中抽取3个号、点评虽然三种抽样的方式、方法不同、但最终每个个体被抽取是等可能的、这正说明了三种抽样方法的科学性和可可行性、要根据不同的研究对象和不同的要求、采取不同的抽样方法、9、衡水中学为了提高学生的数学素养、开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程、供高二学生选修、已知高二年级共有学生600人、他们每人都参加且只参加一门课程的选修、为了了解学生对选修课的学习情况、现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈、据统计、参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列、则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为()A、8B、10C、12D、16答案 C解析根据题意可得、参加《数学史选讲》的学生人数为240人、抽取比例是30600＝120、故应该抽取240×120＝12人、二、填空题10、将一个总数为A、B、C三层、其个体数之比为5∶3∶2。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-10(含答案)
第十章10.10 第十课时一、选择题1．关于正态曲线性质的叙述：(1)曲线关于直线x＝μ对称，这个曲线在x轴上方；(2)曲线关于直线x＝σ对称，这个曲线只有当x∈(－3σ，3σ)时才在x轴上方；(3)曲线关于y轴对称，因为曲线对应的正态密度函数是一个偶函数；(4)曲线在x＝μ时处于最高点，由这一点向左右两边延伸时，曲线逐渐降低；(5)曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；(6)σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．上述说法正确的是()A．只有(1)(4)(5)(6)B．只有(2)(4)(5)C．只有(3)(4)(5)(6) D．只有(1)(5)(6)答案 A2．下列函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝12πσe(x－μ)22σ2，μ、σ(σ＞0)都是实数B．f(x)＝2π2πe－x22C．f(x)＝12 2πe－x－σ4D．f(x)＝－12πex22答案 B解析A中的函数值不是随着|x|的增大而无限接近于零．而C中的函数无对称轴，D中的函数图象在x轴下方，所以选B.3．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝() A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84答案 A解析利用正态分布图象的对称性，P(ξ≤0)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.4．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，则P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.1587C．0.1586 D．0.1585答案 B解析P(X>4)＝12[1－P(2≤X≤4)]＝12×(1－0.6826)＝0.1587.5．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，已知P(400＜ξ＜450)＝0.3，则P(550＜ξ＜600)等于() A．0.3B．0.6 C．0.7D．0.4答案 A6．设随机变量ξ～M(μ，σ2)，且P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，则P的值为() A．0 B．1C.12D．不确定与σ无关答案 C解析∵P(ξ≤C)＝P(ξ>C)＝P，∴C＝μ，且P＝1 2.二、填空题7．已知随机变量x～N(2，σ2)，若P(x＜a)＝0.32，则P(a≤x＜4－a)＝________.答案0.36解析由正态分布图象的对称性可得：P(a≤x＜4－a)＝1－2P(x＜a)＝0.36.8.随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，已知P(ξ<0)＝0.3，则P(ξ<2)＝________.答案0.7解析由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P(ξ<2)＝P(ξ<0)＋P(0<ξ<1)＋P(1<ξ<2)，又P(0<ξ<1)＝P(1<ξ<2)＝0.2，所以P(ξ<2)＝0.7.9．若随机变量ξ～N(0,1)，且ξ在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的大小关系为________．答案P1＝P2解析如图所示，由正态分布图象的对称性可得，两阴影部分面积相等，即在区间(－3，－1)和(1,3)内取值的概率P1＝P2.10．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N(100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案100解析∵数学考试成绩ξ－N(100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x＝100对称．显然P(80≤ξ≤100)＝P(100≤ξ≤120)＝13；∴P(ξ≤80)＝P(ξ≥120)，又∵P(ξ≤80)＋P(ξ≥120)＝1－P(80≤ξ≤100)－P(100≤ξ≤120)＝13，∴P(ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．11．若随机变量ξ～N(μ，σ2)，则η＝ξ－32服从参数为________的正态分布．答案 (μ－32，σ2)解析 ∵ξ～N (μ，σ2)，∴Eξ＝μ，Dξ＝σ2.而η＝ξ－32也服从正态分布，即Eη＝E (ξ－32)＝12Eξ－32＝μ－32Dη＝D (ξ－32)＝14Dξ＝σ24∴Dη＝σ2服从(μ－32，σ2)的正态分布． 三、解答题12．设X ～N (1,22)，试求(1)P (－1＜X ≤3)；(2)P (3＜X ≤5)；(3)P (X ≥5)． 解析 ∵X ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2. (1)P (－1＜X ≤3)＝P (1－2＜X ≤1＋2) ＝P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826.(2)∵P (3＜X ≤5)＝P (－3＜X ≤－1)，∴P (3＜X ≤5)＝12[P (－3＜X ≤5)－P (－1＜X ≤3)] ＝12[P (1－4＜X ≤1＋4)－P (1－2＜X ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)] ＝12×(0.9544－0.6826)＝0.1359. (3)∵P (X ≥5)＝P (X ≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3＜X ≤5)] ＝12[1－P (1－4＜X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)] ＝12[1－0.954]＝0.023.13．如下图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．解析 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值为12 π，所以μ＝20.由12πσ＝12 π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12πe－(x－20)24，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.14．灯泡厂生产的白炽灯寿命X(单位：h)，已知X～N(1000,302)，要使灯泡的平均寿命为1000 h的概率为99.7%，问灯泡的平均寿命应控制在多少小时以上？解析因为灯泡寿命X～N(1000,302)故X在(1000－3×30,1000＋3×30)的概率为99.7%，即在(910,1090)内取值的概率为99.7%，故灯泡最低使用寿命应控制在910 h以上．15．某市有210名学生参加一次数学竞赛，随机调阅了60名学生的答卷，成(1)(2)若总体服从正态分布，求此正态曲线近似的密度函数．解析(1)平均成绩x＝160(4×6＋5×15＋6×21＋7×12＋8×3＋9×3)＝6，S2＝160[6×(4－6)2＋15×(5－6)2＋21×(6－6)2＋12×(7－6)2＋3×(8－6)2＋3×(9－6)2]＝1.5，S＝1.22.即样本平均成绩为6分，标准差为1.22.(2)以x＝6，S＝1.22作为总体学生的数学平均成绩和标准差估计值，即μ＝6，σ＝1.22.正态曲线密度函数近似地满足y＝11.22 2πe－(x－6)22×1.5.拓展练习·自助餐1．若随机变量ξ的密度函数为f(x)＝12πe－x22，ξ在(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为P1，P2，则P1，P2的关系为()A．P1>P2B．P1<P2C．P1＝P2D．不确定答案 C解析由题意知，μ＝0，σ＝1，所以曲线关于x＝0对称，根据正态曲线的对称性，可知P1＝P2.2．正态总体N(0，49)，数值落在(－∞，－2)∪(2，＋∞)的概率为()A．0.46 B．0.9974 C．0.03 D．0.0026 答案 D解析P(－2<ξ≤2)＝P(0－3×23<ξ≤0＋3×23)＝P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴数值落在(－∞，2)∪(2，＋∞)的概率为：1－0.9974＝0.0026.3．已知三个正态分布密度函数φi(x)＝12πσie－(x－μi)22σ2i(x∈R，i＝1,2,3)的图象如图所示，则()A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3答案 D解析正态分布密度函数φ2(x)和φ3(x)的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的对称轴的横坐标值比φ1(x)的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x)和φ2(x)的图象一样“瘦高”，φ3(x)明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.4．设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，求c的值．解析由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.2(含答案)
第二章 ２．２ 第２课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先减后增D ．先增后减答案 C解析 对称轴为x ＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．2．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0”的是( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)答案 A解析 满足f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0其实就是f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故选A. 3．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－3答案 B解析 对称轴x ＝1－a ≥4.∴a ≤－3.4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )A ．y ＝cos xB ．y ＝－|x －1|C ．y ＝ln 2－x 2＋xD ．y ＝e x ＋e －x 答案 D5．函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2·2－3)∴y ＝log a 5>0，∴a >1由复合函数单调性知单减区间须满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3>0x <－1，解之得x <－3.6．已知奇函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立．在下列不等式中，正确的是( )A ．f (－5)>f (3)B ．f (－5)<f (3)C ．f (－3)>f (－5)D ．f (－3)<f (－5)答案 C解析 由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0对任意两个不相等的正实数x 1、x 2都成立，可知，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (x )为奇函数，故f (x )在(－∞，0)上也为增函数，故选C.7．函数f (x )在区间(－2,3)上是增函数，则y ＝f (x ＋5)的一个递增区间是( )A ．(3,8)B ．(－7，－2)C ．(－2，－3)D ．(0,5)答案 B解析 令－2<x ＋5<3，得：－7<x <－2. 8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案 C解析 y ＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4在[0，＋∞)上单调递增；y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4在(－∞，0)上单调递增．又x 2＋4x －(4x －x 2)＝2x 2≥0，∴f (2－a 2)＞f (a )⇒2－a 2＞a ⇒a 2＋a －2＜0⇒－2＜a ＜1，故选C.9．给定函数①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④答案 B解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y ＝log 12x 向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y ＝x －1的图象保留x 轴上方的部分，下方的图象翻折到x 轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R 上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.二、填空题10．给出下列命题①y ＝1x 在定义域内为减函数；②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x 在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．答案 3解析 ①②④错误，其中④中若k ＝0，则命题不成立．11．函数f (x )＝|log a x |(0<a <1)的单调递增区间是________．答案 [1，＋∞)解析 函数图象如图12．函数f (x )＝－x 2＋|x |的递减区间是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0与⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析 数形结合13．在给出的下列4个条件中， ①⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(－∞，0) ②⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1x ∈(0，＋∞) ③⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a ∈(－∞，0) ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1x ∈(0，＋∞) 能使函数y ＝log a 1x 2为单调递减函数的是________．(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析 利用复合函数的性质，①④正确．14．若奇函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，则不等式f (lg x )＋f (1)>0的解集是________．答案 (0，110)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，又因为f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上也为单调递减函数，所以函数f (x )在R 上为单调递减函数．不等式f (lg x )＋f (1)>0可化为f (lg x )>－f (1)＝f (－1)，所以lg x <－1，解得0<x <110.三、解答题15．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．答案 (1)略 (2)0<a ≤1解析 (1)证明 任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解 任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). ∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1.综上所述知0<a ≤1.16．函数f (x )对任意的a 、b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.答案 (1)略 (2){m |－1<m <43}解 (1)证明：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0.∴f (x 2)>f (x 1)．即f (x )是R 上的增函数．(2)∵f (4)＝f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5，∴f (2)＝3，∴原不等式可化为f (3m 2－m －2)<f (2)，∵f (x )是R 上的增函数，∴3m 2－m －2<2，解得－1<m <43，故m 的解集为{m |－1<m <43}．拓展练习·自助餐1．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．2．设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x <0)，则f (x )( )A ．有最大值B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数答案 A解析 当x <0时，－x >0，－(2x ＋1x )＝(－2x )＋(－1x )≥2(－2x )·(－1x )＝22，即2x ＋1x ≤－22，2x ＋1x －1≤－22－1，即f (x )≤－22－1，当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取等号，此时函数f (x )有最大值，选A.3．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f (|1x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(0,1)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由已知得：|1x |>1⇒－1<x <0或0<x <1，故选C.4．函数f (x )＝x 2x －1(x ∈R 且x ≠1)的单调增区间是______． 答案 (－∞，0)和(2，＋∞)解析 将原函数y ＝x 2x －1变形为y ＝(x －1)＋1x －1＋2 显然x －1在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)内取值时，函数单调递增，即得x 在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内取值时，函数单调递增．5．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2＋1，x ≥0(a 2－1)e ax ，x <0在(－∞，＋∞)上单调，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，－ 2 ]∪(1， 2 ]解析 因为f (x )为单调函数，若a >0，则当x ≥0时，f (x )＝ax 2＋1是单调递增函数，故当x <0时，f (x )也是单调递增函数，又a >0时，e ax 为单调递增函数，所以a 2－1>0，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调，故还应满足(a 2－1)·e 0≤a ×02＋1，即需满足⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a 2－1>0⇒1<a ≤2a 2－1≤1同理，当a <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a <0a 2－1>0⇒a ≤－ 2.a 2－1≥1 综上得1<a ≤2或a ≤－ 2.6．已知函数f (x )自变量取值区间A ，若其值域区间也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．(1)求函数f (x )＝x 2形如[n ，＋∞)(n ∈R )的保值区间；(2)g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，求m 的取值范围．解析 (1)若n <0，则n ＝f (0)＝0，矛盾．若n ≥0，则n ＝f (n )＝n 2，解得n ＝0或1，所以f (x )的保值区间为[0，＋∞)或[1，＋∞)．(2)因为g (x )＝x －ln(x ＋m )的保值区间是[2，＋∞)，所以2＋m >0，即m >－2，令g ′(x )＝1－1x ＋m>0，得x >1－m ， 所以g (x )在(1－m ，＋∞)上为增函数，同理可得g (x )在(－m,1－m )上为减函数．若2≤1－m即m≤－1时，则g(1－m)＝2得m＝－1满足题意．若m>－1时，则g(2)＝2，得m＝－1，矛盾．所以满足条件的m值为－1.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：3.4(含答案)
第三章 3.4 第4课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．下列值等于1的积分是( )A .⎠⎜⎛01x d x B.⎠⎜⎛01(x ＋1)d x C .⎠⎜⎛011d x D.⎠⎜⎛01 12d x 答案 C2．m ＝⎠⎜⎛01e xd x 与n ＝⎠⎜⎛1e 1x d x 的大小关系是( ) A ．m>n B . m<nC ．m ＝nD ．无法确定 答案 A解析 m ＝⎠⎜⎛01e x d x ＝ex | 01＝e －1， n ＝⎠⎜⎛1e 1xd x ＝ln x | e1＝1，m ≈1.72>1， ∴m>n 故选A .3．根据⎠⎜⎛02πsin x d x ＝0推断，直线x ＝0，x ＝2π，y ＝0和正弦曲线y ＝sin x 所围成的曲边梯形的面积时，正确结论为( )A ．面积为0B ．曲边梯形在x 轴上方的面积大于在x 轴下方的面积C ．曲边梯形在x 轴上方的面积小于在x 轴下方的面积D ．曲边梯形在x 轴上方的面积等于在x 轴下方的面积 答案 D解析 y ＝ sin x 在[0,2π]上关于(π，0)对称，⎠⎜⎛02πsin x d x ＝⎠⎜⎛0πsin x d x ＋⎠⎜⎛π2πsin x d x ＝0.4．已知f(x)为偶函数且⎠⎜⎛06f(x)d x ＝8，则⎠⎛-66f(x)d x 等于( ) A ．0 B ．4C ．8D ．16 答案 D解析 原式＝⎠⎜⎛－60 f(x)d x ＋⎠⎜⎛06f(x)d x ， ∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称．∴对应的面积相等.8×2＝16，故选D .二、填空题5． ⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋a cos x)d x ＝2，则实数 a 等于________． 答案 1解析 ⎠⎜⎛0π2 (sin x ＋a cos x)d x ＝(－cos x ＋a sin x) ⎪⎪⎪⎪π20＝(－cos π2＋a sin π2)－(－cos 0＋a sin 0)＝a ＋cos 0＝a ＋1＝2，∴a ＝1. 6．f(x)＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f(x)d x 为________．答案 π解析 由y ＝3＋2x －x 2＝4－(x －1)2，(x －1)2＋y 2＝4，(y ≥0)∴⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14∴等于14·π·22＝π. 7由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为________．答案 112解析 由题可知y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形的面积为⎠⎛01(x 2－x 3)dx ＝(13x 3－14x 4)⎪⎪⎪1＝13－14＝112. 8．设f(x)＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈[1，2]，则⎠⎛02f(x)d x ＝______答案 56解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x＝13x 3⎪⎪⎪10＋(2x －12x 2) ⎪⎪⎪21＝13＋4－2－2＋12＝56.9．有一根弹簧，原长50 cm ，每伸长1 cm 需要5 g 力，如果把它从60 cm ，拉伸80 cm 长，那么拉力F(x)所做的功为______(g ·cm )．答案 2000解析 F(x)＝kx ，F(x)＝5 g 力，x ＝1(cm )，则5＝k·1，k ＝5.∴F(x)＝5x.弹簧由50 cm ，伸长到80 cm ，弹簧实际伸长了由0到30 cm ，此时做的功为：⎠⎜⎛030F(x)d x ＝⎠⎜⎛0305x d x ＝52x 2⎪⎪⎪300＝52×900＝2250.弹簧由50 cm ，伸长到60 cm ，弹簧实际伸长了10 cm ，此时做的功为：⎠⎜⎛010F(x)d x ＝⎠⎜⎛0105x d x ＝52x 2⎪⎪⎪100＝52×100＝250.所以把它从60 cm ，位伸到80 cm 长，F(x)所做的功为2250－250＝2000(g ·cm )10．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．答案 －1解析 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.11．一条平面曲线在点x 处的切线斜率为2x ，并且经过点(3,5)，则该曲线方程______答案 y ＝x 2－4解析 由题意知该曲线应满足y ＝∫2x d x ＝x 2＋C 且过点(3,5)，∴5＝32＋C ，C ＝－4，故该曲线方程是y ＝x 2－4.12．设函数f(x)＝ax 2＋b(a ≠0)，若⎠⎛02f(x)d x ＝2f(x 0)，x 0>0，则x 0＝________答案233解析 ⎠⎛02f(x)d x ＝⎠⎛02(ax 2＋b)d x ＝(13ax 3＋bx) ⎪⎪⎪2＝83a ＋2b ＝2(ax 20＋b)，∴83a ＝2ax 20.又x 0>0∴x 0＝233.三、解答题13．求由抛物线y 2＝x －1与其在点(2,1)，(2，－1)处的切线所围成的面积解析 y ＝±x －1.y ′x ＝±12(x －1)－12.∵过点(2,1)的直线斜率为y ′|x ＝2＝12(2－1)－12＝12，直线方程为y －1＝12(x －2)，即y ＝12x.同理，过点(2，－1)的直线方程为y ＝－12x ，抛物线顶点在(1,0)．如图所示，由抛物线y 2＝x －1与2条切线y ＝12x ，y ＝－12x 围成的面积为：S ＝S △AOB －2⎠⎛12x －1d x ＝12·2·2－2·23·(x －1)32| 21＝2－43(1－0)＝23.14．设y ＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分⎠⎛01f(x)dx.先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N)．再数出其中满足y i ≤f(x i )(i ＝1,2，…，N)的点数N 1，那么由随机模拟方法求积分⎠⎛01f(x)dx 的近似值答案 N 1N解析 由均匀随机数产生的原理知：在区间[0,1]满足y i ≤f(x i )的点都落在了函数y ＝f(x)的下方，又因为0≤f(x)≤1，所以由⎩⎨⎧0≤x ≤10≤y ≤1y ≤f (x )围成的图形的面积是N 1N ，由积分的几何意义知⎠⎛01f(x)dx ＝N 1N .15．如图，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax(a>1)交于点O ，A ，直线x ＝t(0<t ≤1)与曲线C 1，C 2分别相交于点D ，B ，连结OD ，DA ，AB ，OB.(1)写出曲边四边形ABOD(阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f(t)； (2)求函数S ＝f(t)在区间(0,1]上的最大值．解 (1)由⎩⎨⎧ y ＝x 2y ＝－x 2＋2ax ，解得⎩⎨⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎨⎧x ＝ay ＝a 2. ∴O(0,0)，A(a ，a 2)．又由已知得B(t ，－t 2＋2at)，D(t ，t 2)，∴S ＝⎠⎛0t (－x 2＋2ax)d x －12t ×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t)＝(－13x 3＋ax 2)|t 0－12t 3＋(－t 2＋at)×(a －t)＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t.∴S ＝f(t)＝16t 3－at 2＋a 2t(0<t ≤1)．(2)f ′(t)＝12t 2－2at ＋a 2，令f′(t)＝0，即12t2－2at＋a2＝0.解得t＝(2－2)a或t＝(2＋2)a. ∵0<t≤1，a>1.∴t＝(2＋2)a应舍去．若(2－2)a≥1，即a≥12－2＝2＋22时，∵0<t≤1，∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S的最大值是f(1)＝a2－a＋16.若(2－2)a<1，即1<a<2＋22时，当0<t<(2－2)a时f′(t)>0.当(2－2)a<t≤1时，f′(t)<0.∴f(t)在区间(0，(2－2)a]上单调递增，在区间((2－2)a,1]上单调递减．∴f(t)的最大值是f((2－2)a)＝16[(2－2)a]3－a[(2－2)a]2＋a2(2－2)a＝22－23a3.。
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第四章 4.5 第5课时 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题 1．与图中曲线对应的函数是( )
A．y＝sinx B．y＝sin|x| C．y＝－sin|x| D．y＝－|sinx| 答案 C
2．已知简谐运动f(x)＝2sin(π3x＋φ)(|φ|最小正周期T和初相φ分别为( ) A．T＝6，φ＝π6 B．T＝6，φ＝π3
C．T＝6π，φ＝π6 D．T＝6π，φ＝φ3 答案 A 解析 ∵图象过点(0,1)，∴2sinφ＝1，∴sinφ＝12
∵|φ|
3．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A．y＝sin(2x－π10) B．y＝sin(2x－π5)
C．y＝sin(12x－π10) D．y＝sin(12x－π20) 答案 C 解析 将y＝sinx的图象向右平移π10个单位得到y＝sin(x－π10)的图象，再将图
象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin(12x－π10)的图象，选C. 4．方程sinπx＝14x的解的个数是( ) A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C 解析 如图所示 在x≥0，有4个交点， ∴方程sinπx＝14x的解有7个．
5．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( ) A.23 B.43
C.32 D．3 答案 C 解析 解法一 函数y＝sin(ωx＋π3)＋2的图象向右平移4π3后得到函数y＝
sin[ω(x－4π3)＋π3]＋2＝sin(ωx－4π3ω＋π3)的图象，因为两图象重合，所以sin(ωx＋π3)＋2＝sin(ωx－4π3ω＋π3)＋2，∴ωx＋π3＝ωx－4π3ω＋π3＋2kπ，k∈Z. ∴ω＝32k，k∈Z.当k＝1时，ω的最小值是32. 解法二 本题的实质是已知函数y＝sin(ωx＋π3)＋2(ω＞0)的最小正周期是4π3，求ω的值．由T＝2πω＝4π3，∴ω＝32. 6．函数y＝sinx－cosx的图像可由y＝sinx＋cosx的图像向右平移( ) A.3π2个单位 B．π个单位
C.π4个单位 D.π2个单位 答案 D 解析 y＝sinx＋cosx＝2sinx＋π4
y＝sinx－cosx＝2sinx－π4 ＝2sinx－π2＋π4 7. 电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0象如右图所示，则当t＝1100秒时，电流强度是( ) A．－5 A B．5 A C．53A D．10 A 答案 A
解析 由图象知A＝10，T2＝4300－1300＝1100，
∴ω＝2πT＝100π.∴T＝10sin(100πt＋φ)． (1300，10)为五点中的第二个点，∴100π×1300＋φ＝π2. ∴φ＝π6.∴I＝10sin(100πt＋π6)，当t＝1100秒时，I＝－5 A，故选A. 8．为了得到函数y＝sin (2x－π3)的图像，只需把函数y＝sin (2x＋π6)的图像( ) A．向左平移π4个长度单位 B．向右平移π4个长度单位 C．向左平移π2个长度单位 D．向右平移π2个长度单位 答案 B 解析 由y＝sin(2x＋π6)――→x→x＋φy＝sin[2(x＋φ)＋π6]＝sin(2x－π3)，即2x＋2φ＋π6
＝2x－π3，解得φ＝－π4，即向右平移π4个长度单位．故选B.
9．要得到函数y＝2cosx的图象，只需将函数y＝2sin(2x＋π4)的图象上所有的点的( ) A．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度
B．横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C．横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 答案 C 解析 y＝2cosx＝2sin(x＋π2)，y＝2sin(2x＋π4)图象上所有点的纵坐标不变，
横坐标伸长为原来的2倍，得到y＝2sin(x＋π4)的图象，再向左平移π4个单位． 二、填空题 10．将函数y＝sin(－2x)的图象向右平移π3个单位，所得函数图象的解析式为________． 答案 y＝sin(23π－2x)
11．已知f(x)＝cos(ωx＋π3)的图象与y＝1的图象的两相邻交点间的距离为π，要得到y＝f(x)的图象，只需把y＝sinωx的图象向左平移________个单位． 答案 5π12
解析 依题意，y＝f(x)的最小正周期为π，故ω＝2，因为y＝cos(2x＋π3)＝sin(2x＋π3＋π2)＝sin(2x＋5π6)＝sin[2(x＋5π12)]，所以把y＝sin2x的图象向左平移5π12个单位即可得到y＝cos(2x＋π3)的图象． 12．已知将函数f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位，然后向上平移2个单位后得到的图象与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，则函数g(x)＝________. 答案 2sinπ3x＋2
解析 将f(x)＝2sinπ3x的图象向左平移1个单位后得到y＝2sin[π3(x＋1)]的图象，向上平移2个单位后得到y＝2sin[π3(x＋1)]＋2的图象，又因为其与函数y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝g(x)＝2sin [π3(2－x＋1)]＋2＝2sin[π3(3－x)]＋2＝2sin(π－π3x)＋2＝2sinπ3x＋2. 13．函数y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到的图象恰好关于直线x＝π6对称，则φ的最小值是________．
答案 5π12 解析 y＝sin2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得y＝sin2(x－φ)＝sin(2x－2φ)．因其中一条对称轴方程为x＝π6，则2·π6－2φ＝kπ＋π2(k∈Z)．因为φ>0，所以
φ的最小值为5π12 三、解答题
14．已知函数f(x)＝2sinxcos(π2－x)－3sin(π＋x)cosx＋sin(π2＋x)cosx. (1)求函数y＝f(x)的最小正周期和最值； (2)指出y＝f(x)的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．
解析 (1)f(x)＝2sinxsinx＋3sinxcosx＋cosxcosx＝sin2x＋1＋3sinxcosx＝32＋ 32sin2x－12cos2x＝32＋sin(2x－π6)，
∴y＝f(x)的最小正周期T＝π， y＝f(x)的最大值为32＋1＝52，最小值为32－1＝12.
(2)将函数f(x) ＝32＋sin(2x－π6)的图象左移π12个单位，下移32个单位得到y＝sin 2x关于坐标原点对称． (附注：平移(－kπ2－π12，－32)，k∈Z均可) 15．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值．
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函
数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π16]上的最小值． 解析 (1)因为f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx，
所以f(x)＝sinωxcosωx＋1＋cos 2ωx2
＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin(2ωx＋π4)＋12. 由于ω>0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝22sin(2x＋π4)＋12， 所以g(x)＝f(2x)＝22sin(4x＋π4)＋12. 当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2， 所以22≤sin(4x＋π4)≤1.因此1≤g(x)≤1＋22. 故g(x)在区间[0，π16]上的最小值为1. 16．已知函数f(x)＝cos2x－sin2x2，g(x)＝12sin2x－14. (1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出？ (2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最小值，并求使h(x)取得最小值的x的集合．
解析 (1)f(x)＝12cos2x＝12sin(2x＋π2)＝ 12sin2(x＋π4)，
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移π4个单位长度，再将所得的图象向上平移14个单位长度即可． (2)h(x)＝f(x)－g(x)＝12cos2x－12sin2x＋14＝ 22cos(2x＋π4)＋14.
当2x＋π4＝2kπ＋π(k∈Z)时， h(x)取得最小值－22＋14＝1－224. h(x)取得最小值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ＋3π8，k∈Z}．
拓展练习·自助餐 1．y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是________． 答案 －π≤a≤0 2．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x)的图象，那么f(x)可以写成( )
A．sin(1＋x) B．sin(－1－x) C．sin(x－1) D．sin(1－x) 答案 D 解析 设y＝sin(x＋φ)，点(1,0)为五点法作图的第三点，∴由sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋π－1)＝sin(1－x)．
3．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ答案 9π10
解析 显然2π－3π4＝5π4＝T2⇒T＝5π2＝2πω⇒ω＝45，将x＝3π4代入y＝sin(ωx＋φ)，得45×3π4＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z，从而可得φ＝11π10＋2kπ，k∈Z，又φ∈[－π，π)，∴φ＝9π10. 4．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是( )