〖009〗高考数学点拨精华：运用韦恩图解题“三层次”

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例谈“回归定义”策略在数学高考中的运用

所以去＝ｒｌ２＋ｒ２２： ÷ ＋去
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（＋吉）ｃ。ｓ（一１＋１）ｓｉｎ［一（＋吉）＋（一１＋１）ｓｉｎ２０．
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丽１１＝孚一．
高中版中’ ？毒受・７
（１）若ａｂ＞Ｏ。判断函数厂（）的单调性；
（２）若ａｂ＜Ｏ。求（＋１）＞（）时的取值范围．
评述：上海一直走在全国课改的前面，他们的课堂技术支持在全国也是最先进的（笔者２００４年下半年到华
东师大参加骨干教师新课程培训，深入过一些实际课
函数是中学数学最重要的概念，对函数概念的考查，突出的是运动变化和对应关系，具体体现为 “ 函数三要素” ；函数的下位概念中，最突出的是函数的单调性，新课程有强化 “ 导数 ” 工具倾向，但也有必要力图体现性质本
２０１３年５月
考纲点睛
试究
例谈 “ 回归定义” 策略在数学高考中的运用
⑩ 江苏省启东市吕四中学蔡罡
概念是学科构成的细胞，加强概念的过程性学习是体现对数学本质理解探寻的追求． “ 回归定义 ”实质是重
关” 的作用，这道题以函数概念为载体，紧扣对应关系，若能将符号语言用韦恩图直观给出对应法则，是不难得出
答案的：（１）ａ（ａ为正整数），（２）１６．
新审视概念并用概念解决问题，是一种朴素而又重要的策略和思想．高考对中学数学主体内容中的那些核心概

2022上海高考真题—数学(理)解析版(纯word版)

2022上海高考真题—数学（理）解析版（纯word 版）一．填空题 1．运算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.【答案】1-2i 【解析】3-i(3-i)(1-i)2-4i===1-2i 1+i (1+i)(1-i)2. 【点评】本题着重考查复数的除法运算，第一，将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可.2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A . 【答案】⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,21 【解析】依照集合A 210x +>，解得12x >-，由12,,13x x --<<得到，因此⎪⎭⎫⎝⎛-=3,21B A .【点评】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等式的解法.解决此类问题，第一分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴或韦恩图解决. 3．函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 . 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,25 【解析】依照题目22sin 212cos sin )(--=--=x x x x f ，因为12sin 1≤≤-x ，因此23)(25-≤≤-x f . 【点评】本题要紧考查行列式的差不多运算、三角函数的范畴、二倍角公式，属于容易题，难度较小.考纲中明确要求把握二阶行列式的运算性质.4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）. 【答案】2arctan【解析】设直线的倾斜角为α，则2arctan ,2tan ==αα.【点评】本题要紧考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示.直线的倾斜角的取值情形一定要注意，属于低档题，难度较小. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 . 【答案】160-【解析】依照所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，确实是333462C ()160T x x=-=- . 【点评】本题要紧考查二项式定理.关于二项式的展开式要清晰，专门注意常数项的构成.属于中档题.6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以1为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim 21=-=+++∞→n n V V V .【点评】本题要紧考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范畴是 .【答案】(]1,∞- 【解析】依照函数,(),x a x ax a e x a f x ee x a---+⎧≥⎪==⎨<⎪⎩看出当a x ≥时函数增函数，而已知函数)(x f 在区间[)+∞,1上为增函数，因此a 的取值范畴为：(]1,∞- .【点评】本题要紧考查指数函数单调性，复合函数的单调性的判定，分类讨论在求解数学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题属于中低档题目，难度适中.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 . 【答案】33π【解析】依照该圆锥的底面圆的半径为r ，母线长为l ，依照条件得到ππ2212=l ，解得母线长2=l ，1,22===r l r πππ因此该圆锥的体积为：ππ331231S 3122=-⨯==h V 圆锥. 【点评】本题要紧考查空间几何体的体积公式和侧面展开图.审清题意，所求的为体积，不是其他的量，分清图形在展开前后的变化；其次，对空间几何体的体积公式要记准记牢，属于中低档题.9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f ，若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 【答案】1- 【解析】因为函数2)(x x f y +=为奇函数，因此,3)1(,1)1(,2)1()1(==+=g f f g 所以，又1232)1()1(,3)1(-=+-=+-=--=-f g f .(1)(1).f f -=-【点评】本题要紧考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(x f y =为奇函数，因此有)()(x f x f -=-那个条件的运用，平常要加强这方面的训练，本题属于中档题，难度适中.10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=，若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf . 【答案】)6sin(1θπ-【解析】依照该直线过点)0,2(M ，能够直截了当写出代数形式的方程为：)2(21-=x y ，将此化成极坐标系下的参数方程即可，化简得)6sin(1)(θπθ-=f .【点评】本题要紧考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意把握差不多规律和基础知识即可.关于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的竞赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（结果用最简分数表示）. 【答案】32【解析】一共有27种取法，其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18种，因此依照古典概型得到此种情形下的概率为32.【点评】本题要紧考查排列组合概率问题、古典概型.要分清差不多事件数和差不多事件总数.本题属于中档题.12．在平行四边形ABCD 中，3π=∠A ，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD CN BC BM =，则AN AM ⋅的取值范畴是 . 【答案】[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，因此51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则依照题意，有)83235,4821(),1,(x x AM x AN --==→→.因此83235)4821(x x x AN AM -+-=•→→⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤2521x ，因此2 5.AM AN →→≤•≤【点评】本题要紧考查平面向量的差不多运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ，其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ，函数)(x xf y =（10≤≤x ）的图象与x 轴围成的图形的面积为 . 【答案】45【解析】依照题意得到，110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩从而得到22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩因此围成的面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，因此围成的图形的面积为45 .【点评】本题要紧考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出表达数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 . 【答案】13222--c a c【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也确实是说，线段CD AC BD AB ++与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，现在有最大值，现在最大值为：13222--c a c .【点评】本题要紧考查空间四面体的体积公式、空间中点线面的关系.本题要紧考虑依照已知条件构造体积表达式，这是解决问题的关键，本题综合性强，运算量较大.属于中高档试题.二、选择题（20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b【答案】 B【解析】依照实系数方程的根的特点1也是该方程的另一个根，因此b i i -==-++22121，即2-=b ，c i i ==+-3)21)(21(，故答案选择B.【点评】本题要紧考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算，属于中档题，注重对差不多知识和差不多技巧的考查，复习时要专门注意. 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定【答案】C【解析】由正弦定理，得,sin 2,sin 2,sin 2C RcB R b A R a===代入得到222a b c +<，由余弦定理的推理得222cos 02a b c C ab+-=<，因此C 为钝角，因此该三角形为钝角三角形.故选择A.【点评】本题要紧考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.要紧抓住宅给式子的结构来选择定理，假如显现了角度的正弦值就选择正弦定理，假如显现角度的余弦值就选择余弦定理.本题属于中档题. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x ，随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0，随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x xx +++++、、、、的概率也均为2.0，若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差，则（）A ．21ξξD D >B ．21ξξD D = C ．21ξξD D < D ．1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关【答案】 A【解析】由随机变量21,ξξ的取值情形，它们的平均数分别为：1123451(),5x x x x x x =++++，2334455112211,522222x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭且随机变量21,ξξ的概率都为2.0，因此有1ξD ＞2ξD . 故选择A.【点评】本题要紧考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题. 18．设25sin1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在10021,,,S S S 中，正数的个数是（） A ．25 B ．50 C ．75 D ．100 【答案】C【解析】依据正弦函数的周期性，能够找其中等于零或者小于零的项.【点评】本题要紧考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题要紧找到规律，从题目动身能够看出来相邻的14项的和为0，这确实是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）[解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，因此PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，因此CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，因此三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯.（2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系，则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ，θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分yA BDP EF[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形，因此∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分【点评】本题要紧考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易显现找错角的情形，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范畴；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数 )(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分） [解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，因此1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分（2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，因此所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分【点评】本题要紧考查函数的概念、性质、分段函数等基础知识．考查数形结合思想，熟练把握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，属于中档题．21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912xy =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船动身t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若现在两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分） [解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912xy =中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan307，故救援船速度的方向为北偏东arctan307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，通过t 小时追上失事船，现在位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，因此22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：xy 2±=. 过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y xy ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分因此所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x bx y ，得01222=---b bx x .设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x b x x .又2，因此221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（明显22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，因此22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，因此3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分【点评】本题要紧考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系、椭圆的标准方程和圆的有关性质.专门要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最专门的为等轴双曲线，它的离心率为2，它的渐近线为x y ±=，同时相互垂直，这些性质的运用能够大大节约解题时刻，本题属于中档题．23．关于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中nx x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若关于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分因此x =2b ，从而x =4. ……4分（2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，因此s 、t 异号.因为-1是X 中唯独的负数，因此s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分假设1=kx ，其中n k <<1，则nx x <<<101.选取Yx x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ，则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则nn x s sx x ≤<=1，矛盾.因此x 1=1. ……10分（3）[解法一]推测1-=i i qx ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则kA 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中显现-1时，明显有2a 满足021=⋅a a ；当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，因此有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.因此1t ∈k A .从而kA 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论明显成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A有性质P ，则},,,1,1{2kk x x A -= 也有性质P ，因此},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；因此1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，因此k k q x =+1.综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分 [解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯独负数，},,,{)0,(32nx x x B ---=-∞ 共有n -1个数，因此),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n<<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<< (1)2x x注意到12111x x x x x x n n >>>- ，因此12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, ..., n . (18)分【点评】本题要紧考查数集、集合的差不多性质、元素与集合的关系等基础知识，本题属于信息给予题，通过定义“X具有性质P”这一概念，考查考生分析探究及推理论证的能力．综合考查集合的差不多运算，集合问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视．。

浅析2005年高考数学试题

浅析2005年高考数学试题株洲市二中邓秋和一、背景与基本情况1、2005年全国各省（市）首次全部使用新课程卷，全国实施自主命题的省份已由2004年的11个增加至14个，教育部考试中心和各单独命题省（市）共命制16套数学高考试卷。

2、2005年的高考《考试大纲》取消了数学科的题型数量分布及分值的限制，由各单独命题省（市）在保持连续．．的基础上，各自制定各题型数量及．．、稳定分值。

3、重新界定能力要求，调整了部分考查内容的要求，对“数学基础知识”、“数学思想方法”、“数学能力”、“实践能力”、“创新意识”、分别细化了命题原则。

特别对高考考查“运算能力”从理论到实践作了较为细致的说明。

4、2004年数学高考各单独命题省（市）虽不乏有背景新、构思巧且不落俗套的好题型，但整体来看，普遍认为成题或成题的影子太多。

无论是命题专家还是前沿教师都认为，高考试题编制必须创新，所以教育部考试中心在试题评价报告中明确：2005年命题必须有“好的区分度指标”的同时，重新强化“创设开放情境，强化探究能力”等较高层次的命题要求。

二、试卷总体情况1、试卷结构（下面出现的算式表示“选择题数+填空题数+解答题数）所有16套试卷都是由选择题，填空题解答题三部分组成，但某些省（市）考卷的三部分比例较往年有所变化，如重庆、天津为10+6+6；湖南为10+5+6；浙江、广东为10+4+6。

而上海为4+12+6；北京为8+6+6，由于上海、北京是高考单独命题最早省（市），所以我们有充分理由预测，在保持稳定、连续的前提下，三部分比例会沿着减少选择题即客观试题数量，而增加填空题、解答题即主观试题数量的趋势变化。

2、难度分析由于2004年的数学高考试卷总体难度较小（尤其是大多数省市单独命制的试卷），据悉有的省市难度系数达到0.65~0.7，与考试中心提出的0.55差距甚大。

因此，2005年大多数省市增加了加大“区分度指标”的试题，与考试中心提出的总体难度系数为0.55有所接近，大多数单独命制试题的省市创新意识强，出现很多背景新、构思巧的好题。

2012年上海高考数学试题(理数)

π ， 6
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【答案】
1 π sin( − θ ) 6 1 ( x − 2) ，将此 2
【解析】根据该直线过点 M ( 2,0) ，可以直接写出代数形式的方程为： y =
化成极坐标系下的参数方程即可，化简得 f (θ ) =
1 . π sin( − θ ) 6
【点评】本题主要考查极坐标系，本部分为选学内容，几乎年年都有所涉及，题目类型以小题为主，复习时，注意掌握基本规律和基础知识即可 .对于不常见的曲线的参数方程不作要求.本题属于中档题，难度适中. 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是【答案】（结果用最简分数表示）.
1 为公比的等比数列，体积分别记为 2
.
V1，V2， ⋯，Vn， ⋯ ，则 lim (V1 + V2 + ⋯ + Vn ) =
n→∞
【答案】
8 7 1 为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了 2 1 1− 1 8 = 8 . 7
【解析】由正方体的棱长组成以 1为首项，
一个以 1 为首项，
1 为公比的等比数列，因此， lim (V1 + V2 + ⋯ + Vn ) = n →∞ 8
【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义 . 考查知识较综合. 7．已知函数 f ( x) = e | x − a| （ a 为常数）.若 f ( x ) 在区间 [1, +∞) 上是增函数，则 a 的取值范围是 .
【答案】 (− ∞,1] 【解析】根据函数 f ( x ) = e
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数形结合在2013年高考选择_填空题中的应用举例_廖栲连

44 福建中学数学 2013年第11期样时，需要在总体中剔除1个个体，则样本容量n =_______．解析进行系统抽样时，因为样本容易为n 且不需要剔除个体，所以n 是36的约数，即n =1，2，3，4，6，9，12，18，36；进行分层抽样时，也不需要剔除个体，而(18126)6=，，，由上述定理知，n 必为6的倍数，故n 可取6，12，18，24，30，36．故n 为6，12，18，36．而样本容量增加1后，要在35个个体中进行系统抽样，所以(1)n +必是35的约数，即(1)n +为1，5，7，35，解得n 为0，4，6，34．综上可知，样本容量为6．数形结合在2013年高考选择、填空题中的应用举例廖栲连福建省晋江市季延中学（362216）“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微．”在这首诗中华罗庚先生指出了数与形相互之间的关系，揭示了数形结合思想方法的本质和重要性．数形结合思想是中学数学中七个常用基本思想方法之一，在高考数学试题中，数形结合的渗透是方方面面．题目主要出现在集合、函数、导数、解析几何及不等式最值等题目上，把图象作为工具、载体，不仅可以直观，而且易于寻找解题的途径和突破口，以此寻求解题思路或制定解题方案，能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，尤其在解选择或填空题时其优越性更加突出．从近年高考课标卷来看，对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是课标课程高考明确的一个命题方向．本文从五方面结合2013年相关高考试题谈谈数形结合思想方法在解选择或填空题时的应用．应用1：集合有关问题例1 （1）（2013年全国新课标卷I·理1）已知集合{}2|20A x x x =−>，{|B x x =<<，则（） A ．A B ∩=∅ B ．A B ∪=R C ．B A ⊆ D ．A B ⊆ 解析因为{|0A x x =<或2}x >，利用数轴非常直观的得出答案A B ∪=R ，故选答案B ．点评不等式型集合的交、并、补通常可以利用数轴直观进行，有时解题还要注意验证区间端点是否符合题意．（2）（2013年高考山东卷·文2）已知集合A ，B 均为全集{1234}U =，，，的子集，且(){4}U C A B ∪=，{12}B =，，则U A C B ∩=（） A ．{3} B ．{4} C ．{34}， D ．∅ 解析画出韦恩图，可知{}123A B =∪，，，则{3}U A C B ∩=，故选答案A ．点评本题主要利用韦恩图考查集合的概念和集合的关系，一般解决集合问题常采用数轴或韦恩图；应用2：函数与方程、不等式问题例2 （1）（2013年高考天津卷·理7）函数0.5()2|log |1x f x x =−的零点个数为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析令0.5()2log 10x f x x =−=，则0.52log 1x x =，即0.51log 2xx ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，由此求原函数零点个数可转化为求函数0.5log y x =与12x y ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠图象的交点个数，画出图象，有两个交点A 和B ．故选答案B ．点评本题考查了函数零点、方程的实根、函数图象交点之间的关系，渗透了函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想．其中，数形结合是解题关键，数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系A B1，234U|y2013年第11期福建中学数学 45来研究图形的性质，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．（2）（2013年高考全国大纲卷·理15）记不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，，，所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 公共点，则a 的取值范围是______．解析如图画出平面区域D 即ABC Δ，过点()10M −，且与ABC Δ有公共点的直线斜率a 满足：MC MA k a k ≤≤，故a 的取值范围是1[4]2，．点评本题考查了线性规划的简单应用及直线的点斜式方程，运用了线性规划思想解决直线的斜率问题，必然采用数形结合求解，要求必须具有良好的基本功和数学素养．应用3：三角函数、平面向量问题例3 （1）（2013年高考全国新课标卷Ⅰ·文9）函数()(1cos )sin f x x x =−在[]−ππ，的图象大致为（）解析因为()(1cos )sin f x x x =−为奇函数，所以图象关于原点对称，排除答案B，又()03f π=>，则排除答案A ，现在对比答案C ，D ，答案C 的图象在第一象限靠近原点部分呈现凹函数的特征，所以局部从左到右的切线斜率是增大，而答案D 的图象是凸函数的特征，局部从左到右的切线斜率是减小，所以只要判断这部分导函数的单调性，计算2219()sin (1cos )cos 2(cos )48f x x x x x ′=+−=−−+，存在0x ，使导函数()f x ′在区间[]00x ，满足单调递增，所以第一象限靠近原点局部从左到右的切线斜率是增大，故选答案C ．点评本题考查了函数的奇偶性、导数的运算、导数的几何意义等，难点在于答案C ，D 判断，突破口在于C ，D 图象在第一象限靠近原点部分呈现凹、凸函数的特征，局部从左到右的切线斜率是增大或减小，所以只要判断这部分导函数的单调性，必然通过计算求解．借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以“数”为手段，“形”为目的．（2）（2013年高考福建卷·文10）四边形ABCD 中，(12)AC = ，，(42)BD =− ，，则该四边形的面积为AB． C ．5 D ．10解析已知AC ，BD 坐标，发现0AC BD ⋅=，得出对角线互相垂直，通过图形结合性质：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线长度乘积的一半，得四边形的面积为152S AC BD =⋅⋅=，故选答案C ．点评本题看似简单，但是基础不扎实的学生没有一点思路，关键是没把“数”与“形”相结合，本题要先由“数”得“形”，而后再由“形”得“数”．即先由0AC BD ⋅=的“数”，得出对角线互相垂直的“形”，再计算出面积的“数”．本题充分体现了 “以形助数”和“以数辅形”两个方面的统一．应用4：解析几何问题例4 （2013年高考江西卷·理9）过点0)引直线l与曲线y =相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当AOB Δ的面积取最大值时，直线l 的斜率等于（）A．3 B ．PA C．3D．解析由方程y =变形为221(1)y x y −=≥，所以该曲线为双曲线的上支，其渐近线为y x =±，如图所示，因为过点0)的直线l与曲线y =相交于A ，B 两点，则直线l 的斜率k ，必须满足：10k −<<，故选答案B ．点评本题如果直接计算，涉及到弦长公式、点到直线距离公式以及求最大值等问题，运算繁琐，得不偿失．此题运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程，从而能极大的提高解题效率．应用5：函数与导数问题例5 （2013年高考安徽卷·文10）已知函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，若1()f x 12x x =<，则关于x 的方程23()2()0f x af x b ++=的不46 福建中学数学 2013年第11期同实根个数为（）A ．3B ．4C ．5D ．6解析因为函数32()f x x ax bx c =+++有两个极值点1x ，2x ，所以方程2()320f x x ax b ′=++=有两个不等的实根1x ，2x ，从而方程23()2()f x af x b ++ 0=可转化为：1()f x x =或2()f x x =．又因为方程1()f x x =根的个数可看成函数()y f x =与1y x =图象的交点个数，又112()f x x x =<，则函数()f x 极大值点为1x x =，且函数()f x 图象过点11()A x x ，，如图，函数()y f x =与1y x =的图象有两个交点A 和B ．同理：方程2()f x x =根的个数可看成函数()y f x =与2y x =图象的交点个数，由图象可以判断函数()y f x =与2y x =的图象有且只有一个交点C ．综上所述，方程23()2()0f x af x b ++=有三个不同的实根，故选答案A ．点评本题本质上是把方程实根的个数转化为两个函数的图象交点个数，体现了转化与化归思想、数形结合思想，本题考查了函数的极值点、方程的根、函数与导数的关系，综合了二次函数的基本性质等，难度比较大，综合性很强，对考生的能力要求非常高．一般从“形”入手更为直观，利用其图象特征，就可以找到解题思路，利用图象进行分析．当然不是只用图象解出，还需相应的数学具体变形与运算，这样才体现数形结合，争取做到胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的．数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化．总而言之，数形结合思想方法的应用是有条件的，若问题所涉及的“数”具有“形”的特征，或“形”具有“数或式”的特征，则可以应用数形结合的思想方法解之，当然这种特征要依赖于基本的数学知识和数学概念，依赖于良好的思维品质和一定想像力这一前提．《考纲》指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能．从目前高考“重视思想方法，注重通法，淡化技巧”的命题原则来看，我们在教学上要更加重视学生在数形结合的思想方法上的训练．对一类利用导数求参数取值范围问题解法的完善叶培杰福建省漳平第一中学（364400）在高三数学总复习过程中，笔者发现在“函数和导数”这一知识块的“函数综合应用”中，大部分的参考书都重点分析了如何利用导数求参数的取值范围，题型也很丰富．但仔细推敲之下，笔者发现有的参考书给的解法不够规范、严谨，如某总复习第一轮用书（以下简称为用书）的第四章的第十一节“函数综合问题（一）”的“知识回顾”表述为：可导函数()f x 在区间()a b ，上为增函数，则()0f x ′≥；可导函数()f x 在区间()a b ，上为减函数，则()0f x ′≤．紧接着，用书以上面的知识为依据，配了两道利用导数求参数取值范围的题目．题1 （用书第61页，例2）已知函数()f x = 24x ax +在[2)+∞，上是减函数，实数a 的取值范围是____．参考答案 2(2)(2)()0x x f x ax −+′=≤∵，在[2)+∞，上恒成立，)。

巧用韦恩图拓展热点奥数题及计算机仿真

倾向于软规范遥 4.3 焊接工艺参数调整的范围比较
钢轨预热闪光对焊的参数有几十个袁每个参数对焊接过程有不同程度的影响又有密切联系遥我们在实际焊接试验中袁对于 U75V 钢轨的焊接工艺参数主要调整加热时间尧二次电压尧顶锻力及顶锻时的走行极限基本上就可以通过落锤试验遥
但对于 U71Mn 钢轨需要在焊接试验中控制灰斑袁灰斑主要在预热和烧化过程中产生袁顶锻阶段可以减少灰斑但不能消除灰斑遥因此 U71Mn 钢轨的焊接工艺参数调整相比 U75V 钢轨参数个数要多袁除了上面提到的几个参数袁还要考虑热扩散时间尧快闪时间尧烧化速度等袁防止焊接端面出现大的火口和闪光不稳定的现象遥对于大灰斑袁延长闪平时间袁增加闪平距离袁增加端面热量可以消除灰斑曰另外每组 5 个试件里出现 1 个大灰斑的调整方法主要是降低扩散时间袁降低预热夹持力袁可以减小灰斑遥 [2]
咱责任编辑院田吉捷暂
渊上接第 201 页冤映在建筑上就是其沉降值以及其减小速率均逐渐减小遥 2冤回灌压力的增加袁使得建筑的最终沉降值减小遥在此过程中袁其
150-渊150衣3-150衣3衣5冤-渊150衣5-150衣3衣5冤=90
2 原题拓展
150 盏亮着的电灯袁各有一个拉线开关控制袁按顺序编号为1袁2袁3袁噎袁150援先将编号为 2 的倍数的灯的拉线各拉一下曰再将编号为 3 的倍数的灯的拉线各拉一下曰最后将编号为 5 的倍数的灯的拉线各拉一下袁拉完后亮着的灯数为 ______ 盏遥
if((i+1)%5==0) Light[i]=(Light[i]+1)%2;
}
num=0;
for(i=0;i<N;i++)
{
if(Light[i]==1)

2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学(理)试题【含答案】

2023届四川省成都市高三下学期三诊热身考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合，则集合（）{}2230,A x x x B N=--<=∣A B = A ．B ．C ．D ．{0}{0,1}{0,1,2}{1,2,3}【答案】C【分析】先解出集合A 再求.A B ⋂【详解】由得，.{}{}2230|13,A x x x x x B N =--<=-<<=∣{0,1,2}A B ⋂=故选：C【点睛】集合的交、并、补运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴．2．人口普查是世界各国所广泛采用的搜集人口资料的一种科学方法，是提供全国基本人口数据的主要来源．根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作，人口普查资料是制定人口政策的依据和前提．截止目前，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次普查的全国人口及年均增长率情况，下列说法正确的是（）A ．年均增长率逐次减小B ．年均增长率的极差是1.08%C ．这七次普查的人口数逐次增加，且第四次增幅最小D ．第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大【答案】D【分析】增幅其实就是增长率，不是增长量。

增长率为正的时候，总人口都是增加的；增长率为负的时候，总人口才减少。

看图，排除错误选项即可.【详解】对于A 选项，由图可知第三次增幅最大，之后增幅减小，所以年增长率是先增后减的，故A 错；对于B 选项，极差为，故B 错；2.09%0.53% 1.56%-=对于C 选项，第七次增幅最小，故C 错；对于D 选项，第七次普查的人口数最多，且第三次增幅最大，故正确故选：D3．已知平面，，直线，满足，，则“”是“”的（）αβm n m α⊂n β⊂//m n //αβA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用平面与平面的位置关系判断充分条件和平面平面平行的性质定理判断必要条件.【详解】，，若，则或相交，故不充分；m α⊂n β⊂//m n //αβ若，由面面平行的性质定理得平行或异面，故不必要；//αβm n ，故选：D【点睛】本题主要考查以直线、平面的位置关系为载体的逻辑条件判断，属于基础题.4．已知函数的图象如图所示，则函数的图象为（）()f x ()()g x f x =-A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性及判断函数正负即可得解.x -≤【详解】因为，所以为偶函数，其图象关于轴对称，()()g x g x -=()g x y 排除C 与D .又，所以：x -≤()()0g x f x =-≤故选：B.5．下列关于统计概率知识的判断，正确的是（）A ．将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，1x 2x 21s ，且已知，则总体方差22s 12x x =222121()2s s s =+B ．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数r 越接近于1C ．已知随机变量X 服从正态分布，若，则2(,)N μσ()()151P X P X ≥-+≥=2μ=D ．回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点ˆˆˆy bx a =+(,x y 【答案】C【分析】A 选项，根据均值和方差的定义，通过两层的均值和方差表示出总体的均值和方差，然后进行判断；B 选项，根据相关系数的定义进行判断；C 选项，根据正态曲线的性质进行判断；D 选项，根据回归直线的性质进行判断.【详解】解：对于A ，设2层数据分别记为，因为，1212,,,;,,,m nx x x x x x 12x x =所以总体样本平均数为，所以121112mx nx mx nx x x x m n m n ++====++，()()()()222222112211111111,mm n ni i j j i i j j s x x x x s x x x x m m n n =====-=-=-=-∑∑∑∑所以总体方差，()()222111m ni j i j s x x x x m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()22121ms ns m n =++2212m n s s m n m n =+++只有当时，才成立，A 错误；m n =()2221212s s s =+对于B ，相关性越强，越接近于，B 错误；r1对于C ，若，则，C 正确；()()151P X P X ≥-+≥=()()511(5),22P X P X μ+-≥-=<∴==对于D ，回归直线恒过样本点的中心，可以不过任一个样本点，D 错误.ˆˆˆy bx a =+()x y 故选：C6．设等比数列中，使函数在时取得极值，则的值是{}n a 37,a a ()3223733f x x ax a x a =+++=1x -05a（）A ．B C ．D．±±【答案】D【分析】由极值点和极值可构造方程组求得，代回验证可知满足题意；结合等比数列37,a a 3729a a =⎧⎨=⎩性质可求得结果.【详解】由题意知：，()23736f x x a x a '=++在处取得极值，，()f x =1x -0()()23733711301360f a a a f a a '⎧-=-+-+=⎪∴⎨-=-+=⎪⎩解得：或；3713a a =⎧⎨=⎩3729a a =⎧⎨=⎩当，时，，31a =73a =()()22363310f x x x x '=++=+≥在上单调递增，不合题意；()f x \R 当，时，，32a =79a =()()()23129313f x x x x x '=++=++当时，；当时，；∴()(),31,x ∈-∞--+∞ ()0f x ¢>()3,1x ∈--()0f x '<在上单调递增，在上单调递减，()f x \()(),3,1,-∞--+∞()3,1--是的极小值点，满足题意；1x ∴=-()f x，又与同号，253718a a a ∴==5a 37,a a 5a ∴=故选：D.7．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该ie cos isin x x x =+i x ∈R 公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（）A ．为虚数B ．函数不是周期函数πie i()e x f x =C ．若D ．i e x 2π3x =ππi i 34e e ⋅【答案】D【分析】A 选项，根据题意计算出，A 错误；B 选项，由是周期函数，得到答案；iπe 1=-sin ,cos x xC 选项，根据欧拉公式得到C 错误；D 选项，计算出1cos ,sin 2x x ==，得到共轭复数.ππ34e e =+⋅【详解】A 选项，，为实数，A 错误；πie cos πisin π1+=-=B 选项，，由于是最小正周期为的函数，所以i()e cos isin x f x x x ==+sin ,cos x x 2π是周期函数，B 错误；i ()e cos isin x f x x x ==+C 选项，由题意得，所以cos isin x x +1cos ,sin 2x x ==又时，C 错误；2π3x =1cos ,sin 2x x =-=D选项，ππi i 34ππππe e cos isin cos isin 133442⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⋅⎭+⎝⎝+⎝⎭⎭，=，D 正确.故选：D8．如图，已知三棱锥的侧棱长均为2，，，点D 在线段-P ABC 35APB BPC ︒∠=∠=50APC ︒∠=上，点在线段上，则周长的最小值为（）PA E PC BDE△A ．B ．4C ．D ．6【答案】A【分析】作三棱锥的侧面展开图，结合两点之间线段最短的结论及余弦定理可求-P ABC的最小值.BDE △【详解】如图，将三棱锥的侧面展开，则周长的最小值与展开图中的线段相等.BDE △12B B 在中，，12PB B △12122,353550120PB PB B PB ∠===++=在中，根据余弦定理可得：12PB B △2221212122cos120B B PB PB PB PB =+-⋅，22122222122⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭所以12B B =即周长的最小值为BDE △故选：A.9．已知函数（，，）的部分图象如图所示.若()()sin f x A x =+ωϕ0A >0ω>0πϕ<<，则的值为（）π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭22sin cos 22αα-A ．B ．C ．D ．354535-45-【答案】C【分析】根据题意，结合图像性质求出解析式，再根据诱导公式与二倍角公式，即可求解.【详解】根据题意，结合图像易知，，，因此，2A =254312T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭22T πω==因为函数图像过点，所以，2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭242sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即，，由，解得，故.4232k ππϕπ+=-+Z k ∈0πϕ<<6πϕ=()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为，所以，即，π6625f α⎛⎫+= ⎪⎝⎭62sin 2cos 365ππαα⎛⎫++== ⎪⎝⎭3cos 5α=因此.223sin cos cos 225ααα-=-=-故选：C.10．设，给出下列四个结论：①；②；③，④10a b c >>>>11ac bc >c c ba ab >()()11a b c c <--.其中正确结论有（）()()log log +>+b a a c b c A ．个B ．个C ．个D ．个1234【答案】B【分析】直接利用不等式的性质和对数函数以及指数函数的性质的应用对①②③④进行判断.【详解】由题意，，所以对于①，，故，所以①错误；对于②，取10a b c >>>>ac bc >11ac bc <，则，，故②错误；对于③，因为，13,2,2a b c ===c ba =cab c c baab <011c <-<且，所以，故③正确；对于④，，所以a b >()()11abc c <--1+>+>a c b c ，故④正确.()()log log log ()+>+>+a b b a c b b c c 故选：B.11．在四面体中，，，两两垂直且为球心，2为半A BCD -AB AC AD AB AC AD ===C 径的球与该四面体每个面的交线的长度和的值为（）2O A ．B ．C ．D ．56ππ43π32π【答案】D【分析】设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，与的边AB 、CB 分别交于点2O Rt ACD Rt ABC H 、G ，求出球与该四面体四个面的交线的长度，即得解.2O【详解】解：因为四面体中，两两垂直，且A BCD -,,AB AC AD AB AC AD ===由题意知、为等腰直角三角形，且C 为球心，2为半Rt ACD Rt ABC AB AC AD ===径作一个球，2O 设球与的边CD 、AD 分别交于点M 、N ，2O Rt ACD 如图1；与的边AB 、CB 分别交于点H 、G ，Rt ABC如图2；易得，，cos ACN ∠6ACN π∠=tan 16AN AC π=⋅=所以∠NCM =∠ACD -∠ACN =，所以弧MN 的长，4612πππ-=2126MNππ=⨯=同理，弧. 6GHπ=在内，如图3，因为AH =AN =1，∠HAN =，则，ABD △2π122HNππ=⨯=又如图4，易知弧GM 是以顶点C 为圆心，2为半径，圆心角为，则，所以球3π2233GMππ=⨯=面与该四面体的每个面的交线的长度和为.2366232πππππ+++=故选：D.12．已知函数，若函数恰有5个零点()2e ,02,0x x xf x x x x ⎧≤=⎨-+>⎩22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R ，且，，则的取值范围是12345,,,,x x x x x 12345x x x x x <<<<()()34f x f x =()()()13322f x f x f x ++-（）A ．B ．31,00,2e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．D ．32e ,00,2e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22e ,00,3e 3⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【分析】将看成整体解出或，作出的大致图象，将式子化为()f x ()f x m =2()3mf x =-()f x ，然后转化为的范围进行分()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+m 类讨论即可判断.【详解】当时，，此时，，0x ≤()e x f x x =()()1e xf x x '=+令，解得：，令，解得：，()0f x ¢>10x -<<()0f x '<1x <-可得在上单调递减且恒负，在上单调递增且恒负，且，()f x (),1-∞-()1,0-()11e f -=-当时，，作出的大致图象如图所示，0x >()()22211f x x x x =-+=--+()f x 函数恰有5个零点，22()3[()]()2()g x f x mf x m m =--∈R 12345,,,,x x x x x 等价于方程有5个不同的实数根，223[()]()20f x mf x m --=解得：或，，该方程有5个根，()f x m=()23mf x =-0m ≠且，则，，()()34f x f x =342x x +=()()()125f x f x f x ==当时，，0m <()()()1251,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，故，()()342(0,1)3m f x f x ==-∈1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+；4222,0333e m m m ⎛⎫=-=∈- ⎪⎝⎭当时，，0m >()()()12521,03e f x f x f x m ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭，故，()()34(0,1)f x f x m ==∈30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以()()()()()()()()1331341322222f x f x f x f x f x f x f x f x ++-=++=+，42120,33e m m m ⎛⎫=-+=∈ ⎪⎝⎭综上：的取值范围是：.()()()13322f x f x f x ++-21,00,3e e ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对的理解，将看成一个，解223()()20f x mf x m --=()f x t 出其值，然后通过图象分析，转化为直线与图象的交点情况.12,y t y t ==二、填空题13．已知向量，，，且、、三点共线，则_______(),12=OA k ()4,5=OB (),10=-OC k A B C k =【答案】23-【分析】先求出的坐标，再根据、、三点共线求出的值.,AB BC A B C k 【详解】由题得，(4,7)AB OB OA k =-=--，(4,5)BC OC OB k =-=--因为、、三点共线，A B C 所以，=AB BC λ 所以，(4)57(4)0k k -⋅+--=所以.23k =-故答案为：23-【点睛】本题主要考查向量的坐标运算和共线向量，考查三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．已知实数满足，的取值范围是______．,x y ()2221x y +-=ω=【答案】[]1,2【分析】设，，利用向量夹角坐标运算可求得，利用圆的切线的求(),a x y =(b =2cos ωθ=法可求得所在直线倾斜角的范围，从而确定的范围，进而求得的范围.(),a x y =θω【详解】由圆的方程知：点在以为圆心，为半径的圆上，(),x y ()0,21设，，与的夹角为，，(),a x y =(b = a bθcos 2ωθ∴=即；2cos ωθ=设直线与圆相切，则圆心到直线距离，y kx =()2221x y +-=1d ==解得：，k =结合图象可知：所在直线倾斜角为，(),a x y =π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦又所在直线倾斜角为，，(b =π3π0,3θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，则.1cos ,12θ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦[]1,2ω∈故答案为：.[]1,2【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆位置关系的综合应用问题，解题关键是能够利用平面向量夹角公式将所求式子转化为两向量夹角余弦值取值范围的求解问题，采用数形结合的方式来进行求解.15．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中诗篇《李白沽酒》里记载：“今携一壶酒，游春郊外走，逢朋加一倍，人店饮斗九”意思是说，李白去⋯郊外春游时，带了一壶酒，遇见朋友，先到酒店里将壶中的酒增加一倍（假定每次加酒不会溢出），再饮去其中的3升酒．那么根据这个规则，若李白酒壶中原来有酒升，将李白在第00(3)a a >家店饮酒后所剩酒量记为升，则__（用和表示）．(1,)n n n N ∈︒ n a n a =0a n 【答案】升023(12)n na +-【分析】由题干递推列式，找寻规律，并根据规律计算即可.【详解】解：李白在第家店饮酒后所剩酒量记为升，(1,)n n n N ∈︒ n a 则第一家店饮酒后所剩酒量为升，1023a a =-第二家店饮酒后所剩酒量为升，22100232(23)323(12)a a a a =-=--=-+第三家店饮酒后所剩酒量为升，323202323(122)a a a =-=-++第四家店饮酒后所剩酒量为升，4234302323(1222)a a a =-=-+++⋯第家店饮酒后所剩酒量为n 升．211000122323(1222)2323(12)12nnn nn n n n a a a a a ---=-=-+++⋯+=-⨯=+--故答案为：升．023(12)n na +-16．已知双曲线G 的方程，其左、右焦点分别是，，已知点P 坐标为，双曲221169x y -=1F 2F ()4,2线G 上点，满足，则______．()00,Q x y ()000,0x y >>11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=12F PQ F PQS S-=△△【答案】8【分析】设的内切圆与三边分别相切于，利用切线长相等求得内切圆圆心横坐标为，12Q FF ,,D E G a 又由得在的平分线上，进而得到即为内心，应用双曲线的定义求11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅= P 12QF F ∠P 得面积差即可.【详解】如图，设的内切圆与三边分别相切于，可得，又由双12Q FF ,,D E G 1122,,QD QG F D F E F E F G===曲线定义可得，则，又1228QF QF a -==()1212122QD DF QG GF DF GF EF EF a +-+=-=-=，解得，则点横坐标为，即内切圆圆心横坐标为.122EF EF c +=1EF a c=+E a a 又，可得，化简得11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=11121112121cos cos QF PF PF Q F F PF PF F QF F F ⋅∠⋅∠= ，即，112cos cos PF Q PF F ∠=∠112PF Q PF F ∠=∠即是的平分线，由于，，可得即为的内心，且半径为2，则1PF 12QF F ∠()4,2P 4a =P 12Q FF r .121211()28822F PQ F PQS Sr QF QF -=-=⨯⨯=△△故答案为：8.【点睛】本题关键点在于先利用切线长定理求得内切圆圆心横坐标为，再由12Q FF a 得到在的平分线上，结合的横坐标为进而得到即为内心，利用11211121QF PF F F PF QF F F ⋅⋅=P 12QF F ∠P a P 双曲线定义及面积公式即可求解.三、解答题17．在中，角的对边分别为，且.ABC ∆、、A B C a b c、、2sin 02AA += （Ⅰ）求角的大小；A（Ⅱ）若的周长.ABC ∆R ABC ∆【答案】（1）;（2）3A π=3【分析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得结合范围，可求tan A =0A π<<的值；(2)由正弦定理可求 ,利用余弦定理可得,解得的值,可求周长.A a 260c -=c【详解】（1）2sin 02AA +=，∴1cos sin 02AA -+=即sin 0A A =又tan A ∴=0A π<<3A π∴=（2）2sin a R A =2sin π33a R A ∴===ABC ∆1sin 2bc A ∴=bc 4=2222cos a b c bc A=+- 229b c bc ∴+-=2()9391221b c cb ∴+=+=+=b c ∴+=3a b c ++=【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另2222cos a b c bc A =+-222cos 2b c a A bc +-=外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以30,45,60o o o便在解题中直接应用.18．2020年上半年受新冠疫情的影响，国内车市在上半年累计销量相比去年同期有较大下降.国内多地在3月开始陆续发布促进汽车消费的政策，开展汽车下乡活动，这也是继2009年首次汽车下乡之后开启的又一次大规模汽车下乡活动.某销售商在活动的前2天大力宣传后，从第3天开始连续统计了6天汽车销售量（单位：辆）如下表：y 第天x 345678销售量（单位：辆）y 172019242427（1）从以上6天中随机选取2天，求这2天的销售量均在20辆以上（含20辆）的概率.（2）根据上表中前4组数据，求关于的线性回归方程.y x ˆˆˆybx a =+（3）用（2）中的结果计算第7、8天所对应的，再求与当天实际销售量的差，若差值的绝ˆyˆy y 对值都不超过1，则认为求得的线性回归方程“可行”，若“可行”则能通过此回归方程预测以后的销售量.请根据题意进行判断，（2）中的结果是否可行？若可行，请预测第9天的销售量；若不可行，请说明理由.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为：ˆˆˆybx a =+1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx ==-⋅==--∑∑【答案】（1）；（2）；（3）可行，29.25ˆ211yx =+【分析】（1）先确定6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，再根据组合以及古典概型概率公式求结果；（2）先求均值，再代入公式求，即得结果；ˆˆ,b a （3）根据回归直线方程确定对应的，再根据定义判断是否“可行”，最后代入得结果.ˆy9x =【详解】（1）6天中销售量均在20辆以上（含20辆）有4天，242662155C P C ===（2）3456172019244.5,2044x y ++++++====41317420519624370i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221345686ii x==+++=∑23704 4.52028644ˆ.5b-⨯⨯==-⨯202ˆ 4.511a=-⨯=所以ˆ211yx =+（3）由（2）知，时，，25-24=1；7x =141125y =+=时，，27-27=08x =161127y =+=所以求得的线性回归方程“可行”时，9x =181129y =+=【点睛】本题考查古典概型概率公式、线性回归方程及其应用，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图所示多面体ABCDEF 中，平面平面ABCD ，平面ABCD ，是正三角形，ADE ⊥CF ⊥ADE四边形ABCD 是菱形，，2AB =CF =.3BAD π∠=(1)求证：平面ABCD ；EF (2)求二面角的正弦值.E AF C --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由面面垂直的性质定理与线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，用坐标法计算面面角正弦值即可.【详解】（1）证明：取中点，连接，AD N NE NC ､因为是正三角形，ADE所以,2sin60EN AD EN ⊥=⋅=因为平面平面平面，平面平面ADE ⊥,ABCD EN ⊂ADE ADE ABCD AD =所以平面，又因为平面，EN ⊥ABCD CF ⊥ABCD 所以，又因为，EN CF ∥EN CF =所以四边形是平行四边形，所以，ENCF EF NC ∥又因为平面平面，NC ⊂,ABCD EF ⊄ABCD 所以平面.EF ABCD （2）连接交于，取中点，连接，AC BD ､O AF M OM 所以，因为平面，所以平面，OM CF ∥CF ⊥ABCD OM ⊥ABCD 因为平面，所以，OA OB ⊂､ABCD ,OM OA OM OB ⊥⊥又因为四边形是菱形，所以，ABCD OA OB ⊥所以两两垂直，OA OB OM ､､建立如图所示的空间直角坐标系，，)()()()(11,0,1,0,,0,1,0,,0,,22AB C D N E F ⎫---⎪⎪⎭，(1,2AF AE ⎛=-=- ⎝ 设平面的法向量为，AEF (),,m x y z=，令0102AF m AE m y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩()1,2,x m == 平面的法向量为，AFC ()0,1,0n =设二面角的大小为，E AF C --θcos θ==所以二面角E AF C --20．已知为坐标原点，点在椭圆上，椭圆的左右焦点分别为O 12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>C，且12,F F 12F F =(1)求椭圆的标准方程；C (2)若点在椭圆上，原点为的重心，证明：的面积为定值.012,,P P P C O 012P PP012P PP 【答案】(1)2214x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据焦距可确定在椭圆上，代入方程解方程组可得答案.c =12P ⎫⎪⎭（2）设直线的方程为，和椭圆联立，整理得到根与系数的关系式，继而根据重心性12PPy kx m =+质表示出坐标为，代入椭圆方程得到参数之间的关系式，从而再表示出三角形0P2282(,1414km mk k -++的高,根据面积公式表示出的面积，将参数间的关系式代入化简即可证明.012P PP【详解】（1）由椭圆的左右焦点分别为，且C 12,F F 12F F =可知：，即① ，c =223a b =+将代入方程得： ②，12P ⎫⎪⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>223114a b +=① ②联立解得，224,1a b ==② 故椭圆的标准方程为.2214x y +=（2）证明：设，000111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y 当直线斜率不存在时，即，12PP12x x =由原点为的重心，可知O 012P PP 0120120,033x x x y y y++++==故可得此时有，该点在椭圆上，则，01,0)P x （-22114x =不妨取，则有，或，11x=012(2,0),(1,PP P -012(2,0),(1,P P P -则此时012132P P P S =⨯=当直线斜率存在时，不妨设方程为，12PP12PP y kx m =+则联立，整理得：，2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2221+4)8440k x kmx m ++-=（且需满足，22222(8)16(14)(1)16(41)0km k m k m ∆=-+-=+->则，212122284(1),1414km m x x x x k k --+==++所以，121222()214my y k x x m k +=+-=+由原点为的重心知，，O 012P PP012012(),()x x x y y y =-+=-+故坐标为，代入到中，0P 2282(,1414km m k k -++2214x y +=化简得：，即，222282()4(41414km m k k -+=++22414m k =+又原点为的重心，故到直线的距离为原点到直线距离的3倍，O 012P PPP 12PPO 12PP所以，d =而1212|||x x PP =-==，因此0121211||22P P P S PP d =⨯⨯===综合上述可知：的面积为定值.012P PP【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及重心性质的应用，以及椭圆内的特殊三角形面积问题，运算量比较复杂而且计算量较大，解决本题的关键是设出直线方程，要利用重心性质表示出一个点的坐标并代入椭圆方程中，找到两参数之间的关系式，然后三角形面积的表示这点并不困难，表示的方法也比较常规，但需要计算时十分细心还要有耐心.21．已知函数.()ln 1a x a f x x +-=(1)求在处的切线方程；()f x ()()1,1f (2)（i ）若恒成立，求的取值范围；()1xf x x ≤-a （ii ）当时，证明：.1a =()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【答案】(1)2y x a =+-(2)（i ）；（ii ）证明见解析[]0,1【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；()1f ()1f '（2）（i ）由题意可得，设，其中，对实数的取值进行分ln 0x a x a --≥()ln h x x a x a=--0x >a 类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，在、的情况下，验证在()h x ()0,∞+0a =0a <()0h x ≥上能否恒成立，在时，可得出，求出实数的取值范围，综合即可得解；()0,∞+0a >()min 0h x ≥a （ii ）当时，；结合（i ）中所求，可得，在时，直接验证结1a =()2ln f n nn n =22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭2n =论即可；在时，利用不等式进行适度放缩，结合裂项求和，即可容易证明.3n ≥【详解】（1）解：因为，则，其中，()ln 1a x a f x x +-=()()22ln 11ln ax a x a a x x f x x x ⋅-+--'==0x >所以，，，()11f a =-()11f '=所以，函数在点处的切线方程为，即.()f x ()()1,1f ()11y a x --=-2y x a =+-（2）解：（i ），可得.()ln 11xf x a x a x =+-≤-ln 0x a x a --≥令，其中，则.()ln h x x a x a=--0x >()1a x ah x x x -'=-=①当时，，合乎题意；0a =()0h x x =>②当时，由基本不等式可得，a<0()()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦当且仅当时，等号成立，1a =-，当且仅当时，等号成立，221331244a a a ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭12a =-所以，，()1112221313e e e 1e 04e 4a a a a aa h a a a a a a +++-⎛⎫⎛⎫=-+-=-++<-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，不恒成立，不合乎题意；()0h x ≥③当时，，0a >()1a x a h x x x -'=-=当时，，此时函数单调递减，0x a <<()0h x '<()h x 当时，，此时函数单调递增，x a >()0h x '>()h x 所以，，可得，解得.()()min ln ln 0h x h a a a a a a a ==--=-≥ln 0≤a 01a <≤综上所述，实数的取值范围是；a []0,1（ii ）当时，，所以.1a =()ln x f x x =()2ln f n n n n =由（i ）知：，即，所以.()1xf x x ≤-ln 1x x ≤-ln 11x x x ≤-令，得，即，所以.2x n =222ln 11n nn ≤-222ln 11n n n ≤-22ln 1112n n n ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭当时，，则，显然，结论成立；2n =()2ln 224f =1193222248n n +-=+ln213448<<当时，3n ≥()()()22222223ln2ln3ln 11111112323223f f f n n n n n ⎛⎫+++=+++≤-+-++- ⎪⎝⎭ ()()()222111111111112232434451n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫=--+++<--++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⨯⨯⨯+⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦()1111111112434451n n n ⎡⎤⎛⎫=--+-+-++- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦，结论成立.()171111911912121211222224n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此，当时，成立.2n ≥()()()212323192224f f n n n n f +++<+-+ 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明()()f x g x >()()f x g x <（或），进而构造辅助函数；()()0f x g x ->()()0f x g x -<()()()h x f x g x =-（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极xOy O x 1C坐标方程为，曲线的极坐标方程为.2cos ρθ=2C ρ=(1)写出曲线的参数方程；2C (2)设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求之间距离的最大值.A 1CB 2C ,A B 【答案】(1)，（为参数）.2cos :2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ1【分析】（1）利用极坐标和直角坐标方程的互化公式和二倍角公式可得的直角坐标方程为2C ，再根据圆锥曲线参数方程可得的参数方程为，（为参数）；2214y x +=2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）根据题意可得之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，根据二次,A B B 1C 函数性质即可求得最大值.【详解】（1）根据曲线的极坐标方程为可得，2C ρ=，即，()2226cos 8ρθ+=22828x y +=所以曲线的直角坐标方程为；2C 2214y x +=根据圆锥曲线参数方程定义可得，曲线的参数方程为，（为参数）.2C cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩ϕ（2）由曲线的极坐标方程为可得，1C 2cos ρθ=曲线的直角坐标方程为，其圆心，半径；1C ()2211x y -+=()11,0C 1r =由题意可得设，()cos ,2sin B ϕϕ易知之间距离的最大值为点到圆心的距离的最大值再加上半径，,A B B 1C即，1max 11AB BC r =+==由二次函数性质可知，当时，；1cos 3ϕ=-max 1AB =所以,A B 123．已知函数.()211f x x x =-++（1）解不等式；()6f x ≤（2）记函数的最小值为，若，且，求()()1g x f x x =++m ,,a b c ∈R 230a b c m ++-=的最小值.222a b c ++【答案】（1）；（2）.{}22x x -≤≤914【分析】（1）利用零点分界法即可求解.（2）利用绝对值三角函数不等式可得，进而可得，再利用柯西不等式即可求解.3m =233a b c ++=【详解】解：（1）或或，()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩解得，即不等式的解集为.22x -≤≤()6f x ≤{}22x x -≤≤（2），()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=当且仅当时取等号，∴.()()21220x x -+≤3m =故.233a b c ++=由柯西不等式，()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=整理得，222914a b c ++≥当且仅当，即，，时等号成立.123a b c ==314a =614b =914c =所以的最小值为.222a b c ++914【点睛】本题考查了分类讨论解不等式、绝对值三角不等式、柯西不等式，属于基础题.。

高中数学一题多解经典例题解析

【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B

{2,3} {3}

{3}

{2,3}

CU
B

CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A

{2,3}

{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②

路虽远,行则必至;事虽难,做则必成-2011高考数学考前必看

路虽远，行则必至；事虽难，做则必成—2011年高考理科数学停课复习建议数学考点：大题常见题型：一、三角函数：常见题型：①化归到：sin()y A x b ωϕ=++，求其图像和性质②恒等变换，化简求值③解三角形④三角形应用（测量距离、高度和角度等）二、概率统计：①概率类型（二项分布，正态分布，列举法等）②熟记公式（二项分布、正太分布、独立性检验和线性回归方程）③注意解题格式三、立几：①三视图、体积、表面积和平行垂直的判定和性质②线线角、二面角和线面角定义的理解、角的范围和公式区别③综合法和坐标法的灵活应用（要注意坐标系如何建立，容易找坐标等）。

四、解几：①直线、圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、性质和它们的位置关系②求轨迹方程③数学结合解决直线和曲线的位置关系五、数列：①等差、等比数列（基本定义、公式和基本量的计算（1a 、d 和q ）②构造等差等比数列③求和：错位相减法、裂项和叠加迭乘等方法④不等式、比较大小（放缩法）。

六、函数：①二次函数(有范围的讨论最大值和最小值)②基本初等函数的图像和性质（常见：31l o g ,,l g ,l n ,,xa x x y x y a y y y xy x x======和）③积分④求导：利用导数讨论函数的单调性、最大值和最小值；小题常考知识点：三角、概率统计、立几、解几、数列、函数（和答题对应都是考基本的知识较多，难度不大）另外：集合（注意表示）、常用逻辑用语（四种命题，充要条件和逻辑连结词）、不等式（基本不等式、含绝对值不等式和线性规划）、平面向量（线性运算、坐标运算和平行垂直）、计算原理（分类、分步、排列组合和二项式定理）、算法初步（框图和语句）、复数、几何证明选讲、极坐标和参数方程）。

思想方法（一）函数方程思想函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重要的数学思想。

1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来，并研究这些量间的相互制约关系，最后解决问题，这就是函数思想；2.应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求，确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或（方程组），通过解方程（或方程组）求出它们，这就是方程思想；3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决，很多函数的问题也需要用方程的方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。

云南师大附中2015届高三高考适应性月考(一)数学(理)试题 Word版含解析

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（一）理科数学【试卷综析】本试卷是高三理科试卷，以基础知识和基本技能为载体，以能力测试为主导，在注重考查学科核心知识的同时，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、注重常规、注重主干知识，兼顾覆盖面.试题重点考查：不等式、复数、向量、三视图、导数、简单的线性规划、直线与圆、圆锥曲线、立体几何、数列、函数的性质及图象、三角函数的性质、三角恒等变换与解三角形、命题、程序框图、排列组合、概率与随机变量分布列与期望、不等式选讲、几何证明选讲、参数方程极坐标等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份较好的试卷.一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 【题文】1、已知全集U 和集合A 如图1所示，则()U C A B ⋂= A.{3} B.{5,6} C.{3,5,6} D.{0,4,5,6,7,8}【知识点】集合及其运算A1 【答案解析】B 解析：由图易知()U A B =ð{5,6}.则选B.【思路点拨】本题主要考查的是利用韦恩图表示集合之间的关系，理解集合的补集与交集的含义是解题的关键.【题文】2、设复数12,z z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，则12z z = A .－2i B.2i C .－2 D.2 【知识点】复数的概念与运算L4【答案解析】A 解析：11i z =+在复平面内的对应点为(1,1)，它关于原点对称的点为(1,1)--，故21i z =--，所以212(1i)2i.z z =-+=-则选A.【思路点拨】通过复数的几何意义先得出2z ，再利用复数的代数运算法则进行计算. 【题文】3、已知向量,a b 满足6a b -=，1a b ∙=，则a b += A .6 B.22 C .10 D.10 【知识点】向量的数量积及其应用F3【答案解析】C 解析：由已知得222222()226-=-=+-⋅=+-=a b a b a b a b a b ，即228+=a b ，所以2+=a b 222()210+=++⋅=a b a b a b ，即10.+=a b 则选C.【思路点拨】遇到求向量的模时，一般利用向量的模的平方等于向量的平方转化求解. 【题文】4、曲线11axy e x =++在点(0,2)处的切线与直线y=x+3平行，则a= A .1 B.2 C .3 D.4 【知识点】导数的应用B12 【答案解析】B 解析：21e (1)ax y a x '=-+，由题意得011x y a ='=-=，所以 2.a =则选B.【思路点拨】理解导数与其切线的关系是解题的关键.【题文】5、在△ABC 中，若sinC=2sinAcosB,则此三角形一定是A .等腰直角三角形 B.直角三角形 C .等腰三角形 D.等边三角形【知识点】解三角形C8【答案解析】C 解析：由已知及正、余弦定理得，22222a c b c a ac+-=，所以22a b =，即a b =.则选C.【思路点拨】判断三角形形状，可以用正弦定理及余弦定理把角的关系转化为边的关系，也可利用三角形内角和的关系进行转化求解.【题文】6、函数()2sin 3sin cos f x x x x =+在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A .1 B.132+ C .32 D.13+【知识点】函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质C4【答案解析】C 解析：函21cos 231π()sin 3sin cos sin 2sin 22226x f x x x x x x -⎛⎫=+=+=+- ⎪⎝⎭, ππππ5π,,2,42636x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∵∴, ()f x 的最大值是32.则选C.【思路点拨】一般研究三角函数的性质，通常先化成一个角的三角函数再进行解答.【题文】7、已知实数x,y 满足约束条件0024030220x y x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎪+-≤⎨⎪+-≤⎪⎪+-≥⎩，则z=x+3y 的取值范围是A .[1,9] B.[2,9] C .[3,7] D.[3,9]【知识点】简单的线性规划问题E5【答案解析】B 解析：根据线性约束条件作出可行域，如图1所示阴影部分．作出直线l ：30x y +=，将直线l 向上平移至过点 (0,3)M 和(2,0)N 位置时，max 0339z =+⨯=，min 230 2.z =+⨯=则选B.【思路点拨】本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答.【题文】8、如图，网格纸上小方格的边长为1(表示1cm)，图中粗线和虚线是某零件的三视图，该零件是由一个底面半径为4cm ，高为3cm 的圆锥毛坯切割得到，则毛坯表面积与切削得的零件表面积的比值为 A .310 B.510 C .710 D.910【知识点】三视图G2【答案解析】D 解析：圆锥毛坯的底面半径为4cm r =，高为3cm h =，则母线长5cm l =，所以圆锥毛坯的表面积2ππ36πS rl r =+=原表，切削得的零件表面积2π2140πS S =+⨯⨯=零件表原表，所以所求比值为910．则选D. 【思路点拨】由三视图求几何体的表面积，关键是正确的分析原几何体的特征.【题文】9、若任取x,y ∈[0,1]，则点P(x,y)满足2y x >的概率为 A .23 B.13 C .12 D.34【知识点】定积分几何概型K3 B13【答案解析】A 解析：该题属几何概型，由积分知识易得点(,)P x y 满足2y x >的面积为12310012(1)33x dx x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭⎰，所以所求的概率为23．则选A. 【思路点拨】当总体个数有无限多时的概率问题为几何概型，若事件与两个变量有关时，可归结为面积问题进行解答.【题文】10、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =，则椭圆的离心率是A .32 B.22C .13 D.12【知识点】椭圆的几何性质H5【答案解析】D 解析：因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e ===∴∴．则选D.【思路点拨】求椭圆的离心率一般先结合条件寻求a,b,c 关系，再结合离心率的定义解答即可.【题文】11、把边长为2的正三角形ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角，设折叠后BC 中点为M ，则AC 与DM 所成角的余弦值为 A .23 B.24 C .32 D.33【知识点】异面直线所成的角G11【答案解析】B 解析：建立如图2所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,3),(1,0,0),(0,1,0),A B C11,,0,(0,0,0),2211(0,1,3),,,0,222cos ,,4M D AC DM AC DM AC DM AC DM⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⋅〈〉==∴∴则AC 与DM 所成角的余弦值为24.所以选C. 本题也可用几何法：在△ABC 中过点M 作AC 的平行线，再解三角形即得．【思路点拨】求异面直线所成角时，可先考虑用定义法作出其平面角，再利用三角形解答，若作其平面角不方便时，可采取向量法求解. 【题文】12、函数()()3f x x xx R =+∈当02πθ<<时，()()sin 10f a f a θ+->恒成立，则实数a 的取值范围是A .(﹣∞，1] B.(﹣∞,1) C .(1, ＋∞) D.(1, ＋∞) 【知识点】奇函数函数的单调性B3 B4【答案解析】A 解析：2()130f x x '=+>，故3()()f x x x x =+∈R 在R 上单调递增，且为奇函数，所以由(sin )(1)0f a f a θ+->得(sin )(1)f a f a θ>-，从而sin 1a a θ>-，即当π02θ<<时，1sin 1a θ<--恒成立，所以1a ≤．则选A.【思路点拨】本题可先利用奇函数及函数的单调性进行转化，再把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题进行解答.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)【题文】13、定义一种新运算“⊗”：S a b =⊗，其运算原理如图3的程序框图所示，则3654⊗-⊗=_______.【知识点】程序框图L1【答案解析】﹣3解析：由框图可知(1),,(1),.a b a b S b a a b ->⎧=⎨-⎩≤ 从而得36546(31)5(41)3⊗-⊗=---=-．【思路点拨】读懂程序框图，理解所定义的新运算，即可解答.【题文】14、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1234,2,a a a 成等差数列，若11a =，则4S =_____.【知识点】等比数列与等差数列D2 D3【答案解析】15解析：1234,2,a a a ∵成等差数列,2213211144,44,440,a a a a a q a q q q +=+=-+=∴即∴42,15q S ==∴．【思路点拨】遇到等差数列与等比数列，若无性质特征，则用其公式转化为首项与公比关系进行解答.【题文】15、关于sinx 的二项式()1sin nx +的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，当x ∈[0, π]时，x=___________. 【知识点】二项式定理J3 【答案解析】π6或5π6．解析：1C C 17n n n n n -+=+=，故6n =，所以第4项的系数最大，于是3365C sin 2x =，所以，31sin 8x =，即1sin 2x =，又[0,π]x ∈，所以π6x =或5π6．【思路点拨】一般遇到二项展开式某项或某项的系数问题，通常结合展开式的通项公式进行解答.【题文】16、已知函数()3232a b f x x x cx d =+++(a ＜b)在R 上单调递增，则a b c b a++-的最小值为______.【知识点】导数的应用基本不等式B12 E6【答案解析】3解析：由题意2()0f x ax bx c '=++≥在R 上恒成立，故0b a >>，24b c a≥，于是a b c b a ++-≥2211441b b b a b a a a b b a a ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭=--，设b t a =(1)t >，则问题等价于求函数244()4(1)t t g t t ++=-(1)t >的最小值，又()()244191()166634(1)414t t g t t t t ++⎡⎤==-++≥+=⎢⎥--⎣⎦，由此可得min ()(4)3g t g ==．【思路点拨】先由函数的单调性结合导数得到abc 的关系，再通过换元法转化为熟悉函数的最小值问题.三、解答题(共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 【题文】17、(本小题满分12分)一个口袋内有5个大小相同的球，其中有3个红球和2个白球. (1)若有放回的从口袋中连续的取3次球(每次只取一个球)，求在3次摸球中恰好取到两次红球的概率；(2)若不放回地从口袋中随机取出3个球，求取到白球的个数ξ的分布列和数学期望E(ξ). 【知识点】概率离散随机变量的分布列和数学期望K6 K7【答案解析】(1)54125(2)6()5E ξ=解析：(1)设在3次有放回的摸球中恰好取到两次红球的概率为P ，由题设知， 21233354C 155125P ⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (2)白球的个数ξ可取0，1，2，3211233232333555C C C C C 133(0),(1),(2)C 10C 5C 10P P P ξξξ=========．所以ξ的分布列如下表：ξ0 1 2P110 35 3101336()012105105E ξ=⨯+⨯+⨯=．【思路点拨】求离散随机变量的分布列一般先确定随机变量的所有取值，再计算各个取值的概率，最后得分布列并计算期望. 【题文】18、(本小题满分12分)如图4，在斜三棱柱111ABC A B C -中，点O 、E 分别是111,AC AA 的中点，111AO A B C ⊥平面，已知∠BCA=90°，12AA AC BC ===. (1)证明：OE ∥平面11AB C ；(2)求直线11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值.【知识点】直线与平面平行，线面所成的角G4 G11【答案解析】(1) 略(2) 217解析：方法一：（1）证明：∵点O 、E 分别是11AC 、1AA 的中点，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ， ∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设点1C 到平面11AA B 的距离为d ，∵111111A A B C C AA B V V --=，即1111111323AC B C AO ⋅⋅⋅⋅=⋅11AA B S d ⋅△．又∵在11AA B △中，11122A B AB ==, ∴11AA B S △7=．∴2217d =，∴11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．方法二：建立如图3所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,3)A ，113(0,1,0),0,,22A E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭， 1(0,1,0)C ，1(2,1,0)B ，(0,2,3)C ．（1）证明：∵OE =130,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， 1(0,1,3)AC =-，∴112OE AC =-，∴1OE AC ∥，又∵OE ⊄平面11AB C ，1AC ⊂平面11AB C ，∴OE ∥平面11AB C ．（2）解：设11AC 与平面11AA B 所成角为θ，∵11(0,2,0)AC =，11(2,2,0)A B =，1(0,1,3)A A =.设平面11AA B 的一个法向量为(,,)n x y z =，111220,0,30,0,x y A B n y z A A n ⎧+=⎧⋅=⎪⎪⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩则即不妨令1x =，可得31,1,3n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴11221sin cos ,7723AC n θ=〈〉==⋅， ∴11AC 与平面11AA B 所成角的正弦值为217．【思路点拨】证明直线与平面平行通常利用线面平行的判定定理，求线面所成角可以先作出其平面角，再利用三角形求解，若直接作角不方便时可考虑用向量的方法求解. 【题文】19、设数列{}n a 满足10a =且*11.2n na n N a +=∈-. (1)求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)设11,n n n a b S n+-=为数列{}n b 的前n 项和，证明：n S ＜1.【知识点】等差数列数列求和D2 D4【答案解析】(1) 11n a n =-． (2)略解析：（1）解：将112n n a a +=-代入11111n n a a +---可得111111n n a a +-=--，即数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列．又1111,,11nn a a ==--故所以11n a n=-．（2）证明：由（Ⅰ）得11111,11n n a n n b nn nnn +-+-===-+⋅+111111111nnn k k k S b k k n ==⎛⎫==-=-< ⎪++⎝⎭∑∑．【思路点拨】证明数列为等差数列通常利用等差数列的定义证明，遇到与数列的和有关的不等式可先考虑能否求和再证明. 【题文】20、已知函数()()1ln f x ax x a R =--∈. (1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，对()()0,,2x f x bx ∀∈+∞≥-恒成立，求实数b 的取值范围.【知识点】导数的应用B12【答案解析】(1) 当0a ≤时，没有极值点；当0a >时，有一个极值点． (2) 211e b -≤ 解析：（1）11()ax f x a x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减， ∴()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，由()0f x '<得10x a <<，由()0f x '>得1x a>， ∴()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛+∞⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()f x 在1x a =处有极小值．∴当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上没有极值点；当0a >时，()f x 在(0,)+∞上有一个极值点．（2）∵函数()f x 在1x =处取得极值，∴1a =， ∴1ln ()21x f x bx b x x -⇔+-≥≥，令1ln ()1xg x x x=+-，可得()g x 在2(0,e ]上递减，在2[e ,)+∞上递增，∴2min 21()(e )1e g x g ==-，即211e b -≤．【思路点拨】一般遇到不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.【题文】21、如图5，已知抛物线C:()220y px p =>和圆M ：()2241x y -+=，过抛物线C 上一点H ()00,x y ()01y ≥作两条直线与圆M 相切于A,B 两点，圆心M 到抛物线准线的距离为174. (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线AB 在y 轴上的截距为t ，求t 的最小值.【知识点】抛物线直线与圆锥曲线H8 H7【答案解析】(1) 2y x = (2) min 11t =- 解析：（1）∵点M 到抛物线准线的距离为42p +=174，∴12p =，即抛物线C 的方程为2y x =．（2）方法一：设1122(,),(,)A x y B x y ，∵114MA y k x =-，∴114HA x k y -=，可得，直线HA 的方程为111(4)4150x x y y x --+-=，同理，直线HB 的方程为222(4)4150x x y y x --+-=，∴210101(4)4150x y y y x --+-=，220202(4)4150x y y y x --+-=，∴直线AB 的方程为22000(4)4150y x y y y --+-=，令0x =，可得000154(1)t y y y =-≥，∵t 关于0y 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．方法二：设点2(,)(1)H m m m ≥，242716HM m m =-+，242715HA m m =-+．以H 为圆心，HA 为半径的圆方程为22242()()715x m y m m m -+-=-+，① ⊙M 方程为22(4)1x y -+=．②①-②整理得直线AB 的方程为：2242(24)(4)(2)714x m m y m m m m -----=-+．当0x =时，直线AB 在y 轴上的截距154t m m=-(1)m ≥， ∵t 关于m 的函数在[1,)+∞上单调递增， ∴min 11t =-．【思路点拨】求抛物线的方程关键是利用圆心到其准线的距离求p ，求两切点所在直线方程，可利用两圆的公共弦所在直线方程的方法进行解答.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【题文】22、(本小题10分)[选修4-1：几何证明选讲]如图6，直线AB 经过圆O 上一点C ，且OA=OB,CA=CB,圆O 交直线OB 于E,D. (1)求证：直线AB 是圆O 的切线； (2)若1tan 2CED ∠=，圆O 的半径为3，求OA 的长.【知识点】几何证明选讲N1 【答案解析】(1)略； (2)5解析：（1）证明：如图4，连接OC ，∵,,OA OB CA CB == ∴OC AB ⊥，∴AB 是⊙O 的切线. （2）解：∵ED 是直径，∴90ECD ∠=︒，在Rt △ECD 中，∵1tan 2CED ∠=, ∴12CD EC =. ∵AB 是⊙O 的切线， ∴BCD E ∠=∠，又∵CBD EBC ∠=∠，∴ △BCD ∽△BEC , ∴BD BC =CD EC =12，设,BD x =则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，∴2(2)(6)x x x =⋅+，解得：120,2x x ==, ∵0BD x =>, ∴2BD =， ∴235OA OB BD OD ==+=+=.【思路点拨】证明直线是圆的切线，只需证明圆心到直线的距离等于圆的半径，若直线与圆有公共点，则公共点为切点；第二问利用三角形相似解答即可. 【题文】23、(本小题10分)[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ (t 为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为25sin ρθ=.(1)求圆C 的圆心到直线l 的距离；(2)设圆C 与直线l 交于点A,B ，若点P 的坐标为()3,5，求PA PB +. 【知识点】坐标系与参数方程N3【答案解析】(1)322(2)32 解析：（1）由25sin ρθ=，可得22250x y y +-=，即圆C 的方程为22(5)5x y +-=．由23,225,2x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ （t 为参数）可得直线l 的方程为530x y +--=．所以，圆C 的圆心到直线l 的距离为05533222+--=．（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=．由于2(32)4420∆=-⨯=>．故可设12t t 、是上述方程的两个实根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨⋅=⎪⎩，．又直线l 过点(35)P ，，故由上式及t 的几何意义得1212||||||||32PA PB t t t t +=+=+=．【思路点拨】一般由参数方程或极坐标方程研究曲线之间的位置关系不方便时，可转化为直角坐标方程进行解答；第二问可利用直线参数的几何意义进行解答. 【题文】24、(本小题10分)[选修4-5：不等式选讲] 已知一次函数f(x)=ax －2.(1)解关于x 的不等式()4f x <；(2)若不等式()3f x ≤对任意的x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的范围. 【知识点】不等式选讲N4【答案解析】(1) 当0a >时，不等式的解集为26x x a a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a <时，不等式的解集为62x x aa ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.(2) 15a-≤≤且a≠0．解析：（1）()4f x<⇔24ax-<⇔424ax-<-<⇔26ax-<<，当0a>时，不等式的解集为26x xa a⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；当0a<时，不等式的解集为62x xa a⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭.（2）()3f x≤⇔23ax-≤⇔323ax--≤≤⇔15ax-≤≤⇔5,1, axax⎧⎨-⎩≤≥∵[0,1]x∈，∴当x=0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为5,1, axax ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩≤≥又∵515,1x x--≥≤，所以15a-≤≤且a≠0．【思路点拨】解绝对值不等式的关键是去绝对值，可利用性质、分段讨论等方法，对于不等式恒成立求参数范围问题，通常分离参数转化为函数的最值问题进行解答.。

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运用韦恩图解题“三层次”

由于图形简明、直观，因此很多数学问题解题往往借助于图形来分析，下面例析运用集合中“韦恩图”
解题的三层次：识图——用图——构图．
一、识图
是指给出韦恩图形式，用集合的交、并及补等集合的运算表示．
例1 如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的
集合是( )
(A) （M∩P）∩S
(B) （M∩P）∪S
(C) （M∩P）∩ðI S
(D) （M∩P）∪ðI S
解：阴影部分是M与P的公共部分(转化为集合语言就是M∩P)，且在S的外部(转化为集合语言就是
ð
I

S)，故选(C)．

例2 用集合A、B及它们的交集、并集、补集的符号表示阴影部分的集合，正确的表达式是（）
(A) (A∪B)－(A∩B)
(B) ðU (A∩B)
(C) (A∩ðUB)∪(ðUA∩B)
(D) ðU (A∪B)∩ðU (A∩B)
解：阴影有两部分，左边部分在A内且B外(转化成集合语言就是A∩ðUB)，右边部分在B内且A外(转
化成集合语言就是ðUA∩B)，故选(C)．

二、用图
例3设U是全集，非空集合P、Q 满足PQU，若含P、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果
为空集，则这个运算表达式可以是_______（只要写出一个表达式）.
解将集合语言用韦恩图表示，

P
Q

1图

U
A
B
如图1，极易得到其多种答案：
⑴rðUQ∩P；
⑵P∩(rðUP∩Q)；
⑶rðUQ∩(P∪Q)；等等.
例4 已知全集I＝N*，集合A={x│x=2n，n∈N*}，B={x│x＝4n，n∈N*}，则 ( )
(A) BAI (B)
IAB
I
ð

(C) IABIð (D) IABII痧
解：根据题意，易得BA，画出韦恩图
(如图2)，显然I＝A∪ðIB，故选(C)．
例5 设全集U ＝{x|0＜x≤10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩ðUB＝{1，5，7}，ðUA∩ðUB＝{9}，求A，
B．
分析：本题关系较为复杂，由推理的方法较难，而用韦恩图，则显得简捷．
解：由U ＝{1，2，3，„，9}，据题意，画韦恩图，如右图，易得
A＝{1，3，5，7}，B＝{2，4，6，8}．

三、构图
对于某些应用题，若能构造韦恩图求解，可使问题变得简单明了．
例6 某班50名学生中，会讲英语的有36人，会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14
人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{某班50名学生}，A＝{会讲英语的学生}，B＝{会讲日语的学生}，A∩B＝{既会讲英语
又会讲日语的学生}，则由韦恩图知，既不会英语又不会日语的学生有：50－22－14－6＝8(人)．

例7 50名学生做物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确有40人，化学实验做得正确有31人，
两种实验都做错的有4人，问这两种实验都做对的有多少人？

B
A

图2

A
B
U
2 4
6 8
1 5

7
3

A
B
U
(6)

22

AB
(50)

(14)

UU
AB痧
解：设全集U ＝{做理化实验的50名学生}，A＝{做对物理实验的学生}，B＝{做对化学实验的学生}，
A∩B＝{两种实验都做对的学生}，并设Card(A∩B)＝x，则由韦恩图(图略)，知 40－x＋x＋31－x＋40＝50，
解得x＝25．
即两种实验都做对有25人．