(人教版)数学八年级下：第16章《二次根式》小结与复习ppt课件(共16张PPT)
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人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品课件
6
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
观察两者有什么关系？
4×9
36 6 ;
=_________
400 20 ;
16 × 25 =_________
900 30 .
25 × 36 = _________
知识讲解
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)
4
(2)
16
(3)
25
9 = 4 9；
25= 16 25；
16a 4a 2 a 2 .
4
4
知识讲解
2. 若长为 24 ，宽为 8 ，求出它的面积.
解：它的面积为 24 × 8 = 24 × 8 =
82 × 3 = 8 3.
随堂训练
−6 = ⋅ −6
1.若
，则 （ A ）
A．x≥6
B．x≥0
C．0≤x≤6
D．x为一切实数
（ D ）
6 2
（2） 6 × 12 = _______;
2 6
（3） 3 × 2 2 = _____.
4. 比较下列两组数的大小（在横线上填“＞”“＜”或“=”）：
（1）
5 4
＞
4 5；
（2） 4 2
＜
2 7.
随堂训练
5.计算：（1）2 3 × 5 21；
18
（2）3 3 × (−
);
4
（3）3 2 × 2 10 × 5;
（3） 3 ×
1
=
3
1
3
3 × = .
1
.
3
知识讲解
归纳： 化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数) ；
2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因
新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件
人教版数学教材八年级下
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
人教版八年级数学 下册：16章 二次根式 复习和小结【课件】(共16张PPT)
人教版 八年级 下册
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
第16章 小结与复习
知识回顾
问题 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请用基本
运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接它们，你能 得到哪些算式？
如： -2ab2，3a-4b， a+b ， a ， a b， a b ， a + a3 a
请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
算术平方根 二次根式
基本性质 乘除法则
乘除运算
化简（最简 二次根式）
分配律
加减运算
混合运算
典型例题
例1 （1）要使 x-2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
典型例题
例2
典型例题
（1）下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． NhomakorabeaA． 8
1 B． 70 C． 99 D．
x
典型例题
典型例题
例4 计算：（1）3 12-2 48+ 8
3
课堂小结
（1）什么叫代数式？
（2）能说说本章的主要知识吗？
（3）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？
（3）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？
（4）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？
（5）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异同？
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及与前面 已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构图．
典型例题
（3） 80-（ 3 1 + 4 45）． 55
新版人教版八年级下16.1二次根式课件.ppt
2
什么启示?
(a≥0)
? 一般地,二次根式有下面的性质:
a 2 a (a 0) 1149a765
a
快 速 判12 Nhomakorabea3 __3____,2
2 7
2
2
___7___,
3
2
1 3
2
__2__1____, 3
断
2
4
2
5 ___5_____,5
2 3
_____2___. 3
3页例2
16.1二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 aa
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用 aa (a≥0)表示。
情景问题
1.面积为3的正方形的边长为____3__ ，面积为S
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
2 1
5 x2 2xy y2 y x (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
Q 2 a 0， b 2 0
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
人教版八年级数学下册《二次根式的乘除》二次根式PPT精品教学课件课件
36
6
（2）
=(
7
49
),
4
16
(
);
5
25
6
36
(
);
49
7
a
a
b
b
活动探究
二次根式的除法法则：二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例1 计算：
（2） 3
（1） 24 ；
3
解： (1)
24
2
24
3
3
3
(2)
2
1
．
18
8 2 2
1 ＝ 3 1 ＝ 3 18
＝ 27 ＝3 3
2
18
2
18
活动探究
探究二：二次根式除法法则的逆运用
把
a
b
aห้องสมุดไป่ตู้
( a 0，b＞0) 反过来，就得到
b
a
a
( a 0，b＞0)
b
b
典例精讲
例2 化简：
(1)
3
100
解：（1）
75
27
(2)
3
=
100
75
（2） =
27
3
100
=
a
a
( a 0，b＞0)
解：原式=
− × −
= ×
解：原式= − × −
= ×××
=
× ×
=
4、计算： ∙ −
原式= ∙
人教版八年级下册数学第十六章_二次根式全章复习【课件】 (共20张ppt)
x＞ 0
x≥0且
（ 5 ） x x≥0
5
x （ 6） x 1
x≠1
复习回顾： 2、最简二次根式定义：
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数不含开的尽 方的因数或因式
巩固练习
3、化简
(1) 24,
2 6
(2) 72,
6 2
(3) 50
5 2
(4) 9a,
(5) 2a ,
2
(6) a b
2 3
2
提高练习：
4 、 已 知 ： x 31 , y 31 , x 2xy y 求 的 值 。 2 2 x y
2 2
提高练习：
5 、 已 知 ： 4 x y4 x 6 y 1 0 0 ,
2 2
2 2 1 y 2 x 求 x y 3 5 x 的 值 。 x9 x 3 y x x
巩固练习
5、下列各式中，哪些是同类二次根式？ 2 75 1 50 a 6b 2b 1 27 3
2 3 8ab 3
复习回顾： 4、分母有理化：
去掉分母中的二次根式 的变形叫分母有理化
巩固练习
6、化简（分母有理化） 1 2 1 27 y 6x 3x
复习回顾： 二次根式的三个性质:
1 、 a 0 , a 0 （ . 双 重 非 负 性 ）
2 、 a aa ( 0 )
3、 a =∣a∣=
2
2
a -a
(a≥ 0) (a≤0)
32 7 、 计 算 ： (5 )= _ _ _ _ ； ( )= _ _ _ _ _ ; 4 2 2 (2 3 ) _ _ _ _ _ _ ； ( 3a ) _ _ _ _ _ _ _
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)二次根式 课件(共35张PPT)
而 2a b2 0
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
?
2a0 ， b20
a 2， b 2
原式 a2 b 12 2 2 212 21 3
已知 1 有意义,那A(a, a
在 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
已知y 2 x x 2 5,
则
y x
5
___2_
2-X≥0
X-2≥0
x ≤2 x≥2
练习:用心算一算:
1 25 5 2 72 7
33
2
2
18
4
1
2
2
5 x2 2xy y2 (x﹤y)
已知a.b为实数，且满足 a 2b 1 1 2b 1 求a 的值.
若a.b为实数,且 2 a b 2 0
求 a2 b2 2b 1的值
解:
2 a 0， b 2 0
的正方形的边长为___S__。
2.一长方形围栏，长是宽的2倍，
面积为130，则它的宽为 ___6_5__
h 3.h=5t2,则t=_____5__
3S
h 65 5
你认为所得的各式有哪些共同点？
表示一些正数的算术平方根
我们知道，一个正数有两个平方根；0的平 方根是0；在实数范围内，负数没有平方根。因 此，在实数范围内开平方时，被开放数只能是 正数或0.
22 __2_,
| 2 | _2__;
52 _5__,
02 __0_,
| 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2与 | a | 有什么关系?
a 当 a 0 时, a2 ____ ; 当 a 0 时, a2 __a__.
一般地,二次根式有下面的性质:
人教版数学八年级下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式 课件 (共18张PPT)
抽象概念
h 3, S , a b , , 5 2
一般地，我们把形如 a (a 0) 的式子
叫做二次根式， 称为二次根号.
类比分式: 体会“形式+参数+定义域”
巩固概念
例1 下列各式是二次根式吗?为什么？
(1)
6, (2)
12, (3)
4,
3
(4) -m ( m 0) , (5)
2
乘方
开方
x 5 (平方)
x 5(平方根)
x 5( x 0) (平方)
x 5(算数平方根)
引入概念—代数运算
2.我们学过哪些数与字母的运算？举例说明.
运算 加 减 乘 举 例 结 果 多项式 多项式 单项式 整式或分式 整式
除 乘方 开方
a+2，2a+b，a+a a-2，2a-b， a-2a -3ab ，5a2b3 a 3 x , , 2 b y 2 2 3 5 , a , ( a)
2
则 abc =
.
课堂小结
1.你有哪些收获？（知识、思想方 法、经验） 2.你有哪些困惑？ 3.展望后面将要学习哪些内容？
谢谢！
5, a,
3
b
?
引入概念—实际例子
（1）面积为2的正方形的边长为 面积为S的正方形的边长为 面积为(a+b)的正方形的边长为 ， ,
.
（2）面积为2的圆的半径为 . （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所 用的时间t（单位：S）与开始落下时离地面的 高度h（单位：m）满足关系h=st2如果用含有 h的式子表示t，那么t =_____.
xy ,(6)
5
巩固概念
八年级数学下册 第十六章 二次根式小结与复习教学课件下册数学课件
( 3 )6 5 2 6 2 2 6 5 5 2 3 1 1 0 6 ;
2
2
( 4 )5 6 25 6 256 2 5 8 43
12/12/2021
43 3 .
第十三页，共二十六页。
方法总结
二次根式的混合运算的运算顺序与整式的运算顺序一 样，先算乘方，再算乘除，最后(zuìhòu)算加减，有括号 的先算括号内的，在具体运算中可灵活运用运算律和 乘法公式简化运算.
12/12/2021
第九页，共二十六页。
方法总结
初中阶段主要涉及三种非负数： a ≥0，|a|≥0， a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非 负数都必为0.这是求一个方程中含有多个未知数的 有效方法之一.
12/12/2021
第十页，共二十六页。
例3 实数(shìshù)a,b在数轴上的位置如图所示，请化简：
3
x
0,
解得 - 5≤x＜3.
12/12/2021
第八页，共二十六页。
考点二 二次根式(gēnshì)的性 质
例2 若 x1(3xy1)20,求 5 x y 2的值. 【解析】根据题意及二次根式与完全平方式的非负 性可知 x 和1 (3xy1均)为2 0.
解：∵ x1(3xy1)20, ∴x-1=0,3x+y-1=0,解得x=1,y=-2. 则 5xy251(2)23.
一定是二次根式的个数有
（ ）B
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
12/12/2021
第七页，共二十六页。
2.求下列二次根式中字母(zìmǔ)的取值范围:
(1) x4 4x;
(2) x5 1 . 3x
解：(1)
人教版初二数学8年级下册 第16章(二次根式)章节知识点梳理 课件(共44张PPT)
1
x0
x
(5) x3
x0
(6) 1 x2
x0
典题突破
3、当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数。 x为任何实数。
典题突破
4、函数 y 1 5 x 中，自变量x的取值范围
例：(1) x 2 2
x2 ( 2)2 x 2 x 2
(2)2x2 3 y 2
( 2x)2 ( 3y)2 2x 3y 2x 3y
典题突破
二次根式的非负性的应用。
14、已知： x 4 + 2x y =0，求x-y的值。
解：由题意，得x-4=0且2x+y=0 解得x=4，y=-8
a (a 0,b 0)
b
1、 a 2 aa 0
aa 0 2、 a2 a aa 0
四种运算
加、减、乘、除
知识点梳理
知识点一：二次根定义
1. 一般地，我们把形如 a（a≥0）
的式子叫做二次根式，“ ”称为二次
根号。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2。
知识点梳理
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式
知识点四：最简单的二次根式的定义
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次式。
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式。 （2）被开方数中不含开方开得尽的因数或因 式。
知识点梳理
知识点五：同类二次根式的定义
几个二次根式化为最简二次根 式后，若被开方数相同，则这几个 二次根式就叫做同类二次根式。
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= （3 2 - 2 ） 2 4 =2 2 = 16 ． 2 4
综合运用
例 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示 叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这 个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）． 解法2：S = （ 18 - 2） 2 4
2
什么叫代数式？ 请找出整式、分式、二次根式各一个．
知识回顾
（1）什么叫二次根式？我们主要研究了什么？ （2）你认为二次根式与算术平方根有什么联系？ （3）谈谈你对二次根式 a 有哪些认识？
（4）你能说出二次根式乘法与除法法则吗？ （5）什么是最简二次根式，如何化简二次根式？ （6）二次根式的加减运算与整式的加减运算有何异 同？
=（ 18 2 - 2 =（6- 2） 4 = 16 ． 2 ） 4
综合运用
如果这两张纸片的面积分别为a，剪去的小 a 正方形面积为 ，得到的盒子的侧面积又是多少？ 3 变式
a a S= （ a） 4 3 3 = a a a 2 -（ ） 4 3 3
八年级 下册
第16章二次根式 小结与复习
课件说明
本课是在完成二次根式概念、性质和运算的基础上， 对相关知识及其关系进行整理，优化知识结构；同 时，训练二次根式的运算技能．
课件说明
学习目标： 1．了解二次根式及代数式的概念，理解其基本性 质，并能熟练地化简二次根式； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运 算． 学习重点： 二次根式相关知识关系的整理和二次根式的运算．
（1） 45 ； （2）
．
基础检测
练习5 计算：
（1） 3 12 - 2 48 + 8 ；
1 1 （2） 32 -5 +6 ； 2 8
4 3 10）； （3） 4 3 5 （5 4 1 4 45） （4） 80 -（ 3 + ． 5 5
综合运用
例 把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面 积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示 叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这 个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）． 解法1：S = （ 18 - 2 ） 2 4
知识回顾实数ຫໍສະໝຸດ 间可以进行加、减、乘、除、乘方和开方运 算． 9 9+5，9-5，9×5， ， 9 ， 5 ， 9 - 5 5
知识回顾
问题1 如果a，b分别表示实数，数可以运算，请 用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连 接它们，你能得到哪些算式？ 如：
a +b -2ab ， 3a- 4b， ， a ， a b， a b ， a + a 3 a
a2 a 4 3 a 4a =（ - ） 4 = 3 3 3 3
课堂小结
（1）请写出单项式、多项式、分式、二次根式各一个． （2）什么叫代数式？ （3）能说说本章的主要知识吗？ （4）实数的运算律在二次根式及其余代数式中都可以 运用吗？为什么？
课后作业
作业：教科书第19～20页复习题16．
下列各式中，是最简二次根式的是（ B ）． 1 A． 8 B． 70 C． 99 D． x
基础检测
练习3 化简：
3
330 1 1 1 = （1 ） （2 ） + = 30 ； 2 ； 5 6 _______ 12 _______ 3 18 （3） a = a 2a _______．
练习4 化简：
18 + 6 - 3
知识整理
问题2 请思考本章各知识点之间的逻辑关系以及 与前面已学习的知识之间的关系，画出本章的知识结构 图．
知识整理
平方根 算术平方根 字母表示数 基本性质 二次根式 乘除法则 乘除运算 化简（最简 二次根式） 分配律 加减运算
混合运算
基础检测
练习1
练习2
要使 x - 2 有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．