新初一暑期衔接预习教材七年级上册数学有理数的加法重要知识点讲解及经典题型解析
初一数学全章经典 有理数的加减法(提高)知识讲解
有理数的加减法（提高）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简 算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b )+c ＝a+(b+c )要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、有理数的减法1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：（1）21358⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）13(6)(2)34+++（3）21.12535⎛⎫+- ⎪⎝⎭（4）20(5)3+- （5）13( 3.5)2-++ 【思路点拨】（1）（2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（3）（5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条． 【答案与解析】（1）2121213(3)3585840⎛⎫⎛⎫-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）1313131(6)(2)(62)8934341212+++=++=+= （3）21.1253 1.125( 3.4)(3.4 1.125) 2.2755⎛⎫+-=+-=--=- ⎪⎝⎭（4）220(5)533+-=- （5）13( 3.5) 3.5 3.502-++=-+= 【总结升华】绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时，一定要先确定符号，再计算绝对值． 举一反三：【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数的加法例2】 【变式1】计算：(1) -721+1061; (2) (-21)+(-7.3); (3) 141+(-231); (4)751+(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=； （2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++-⎪⎝⎭【答案】1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】解法一：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)( 3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．解法二：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[( 3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-． 类型二、有理数的减法运算2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=- 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）1113.7639568 4.7621362--+--+ （4）51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++ （5）1355354624618-++-； （6）132.2532 1.87584+-+【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+-++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13- 易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组． 解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++- 1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-18273010036-++-=+2936= 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 113322-=--． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.25321.87584+-+ (2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】（1）（2）【答案】（1）=42733243327211()()()()()1175957977559955---+-=++--+=+-= （2）11111111(13579)()25(...)3153563991335911=+++++++++=++++⨯⨯⨯11525(1)2521111=+-=类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数加减的应用】4．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10，-3，+4，+2，-8，+13，-2，+12，+8，+5. （1）问收工时距A 地多远？（2）若每千米路程耗油0.2升，问从A 地出发到收工时共耗油多少升？ 【答案与解析】（1）求收工时距A 地多远，应求出已知10个有理数的和，若和为正数，则在A 地前面，若和为负数，则在A 地后面；距A 地的路程均为和的绝对值. 解：(1) (+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5) =[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)=0+0+44+(-3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2升即可.(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)×0.2=67×0.2=13.4（升）. 答：收工时在A地前面41千米，从A地出发到收工时共耗油13.4升.【总结升华】利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克)答：出售的粮食共1594千克．。
七年级数学上学期期中考点专题03有理数的加减法含解析新人教版
专题03 有理数的加减法重点突破知识点一 有理数的加法（基础）有理数的加法法则：（先确定符号,再算绝对值） 1.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；2.异号两数相加,绝对值不相等时,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0,那么这两个数互为相反数）4.一个数同0相加,仍得这个数。
有理数的加法运算律：1.两个数相加,交换加数的位置,和不变。
即a b b a +=+；2.三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变。
即()()a b c a b c ++=++。
知识点二 有理数的减法（基础） 有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
即()a b a b -=+-。
【注意减法运算2个要素发生变化】：减号变成加号；减数变成它的相反数。
有理数减法步骤： 1.将减号变为加号。
2.将减数变为它的相反数。
3.按照加法法则进行计算。
考查题型考查题型一 有理数加法运算典例1．（2018·广东初一期中）计算－(－1)＋|－1|,其结果为( ) A ．－2 B ．2 C ．0 D ．－1【答案】B 【解析】试题提示：由题可得：原式=1+1=2,故选B．a b的值（）变式1-1．（2019·呼伦贝尔市期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示,则A．大于0B．小于0C．小于a D．大于b【答案】A【提示】先根据数轴的特点判断出a,b的符号,再根据其与原点的距离判断出其绝对值的大小,然后根据有理数的加法法则得出结果．【详解】根据a,b两点在数轴上的位置可知,a＜0,b＞0,且|b|＞|a|,所以a+b＞0．故选A．【名师点拨】此题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则．解题关键在于用几何方法借助数轴来求解,非常直观,体现了数形结合的优点．变式1-2．（2019·庆阳市期中）若a＝2,|b|＝5,则a＋b＝( )A．－3 B．7 C．－7 D．－3或7【答案】D【提示】根据|b|=5,求出b=±5,再把a与b的值代入进行计算,即可得出答案．【详解】∵|b|=5,∴b=±5,∴a+b=2+5=7或a+b=2-5=-3；故选D．【名师点拨】此题考查了有理数的加法运算和绝对值的意义,解题的关键是根据绝对值的意义求出b的值．变式1-3．（2019·扬州市期中）若|m|=3,|n|=5,且m-n＞0,则m+n的值是（）A．-2 B．-8或8 C．-8或-2 D．8或-2【答案】C【详解】∵|m|=3,|n|=5,∴m=±3,n=±5,∵m-n＞0,∴m=±3,n=-5,∴m+n=±3-5,∴m+n=-2或m+n=-8．故选C ．变式1-4．（2018·上饶市期末）若m 是有理数,则m m +的值是（ ） A ．正数 B ．负数C ．0或正数D ．0或负数【答案】C【提示】根据：如果m>0,则|m|=m; 如果m<0,则|m|=-m; 如果m=0,则|m|=0.【详解】如果m 是正数,则m m +是正数；如果m 是负数,则m m +是0；如果m 是0,则m m +是0. 故选C【名师点拨】本题考核知识点：有理数的绝对值.解题关键点：理解绝对值的意义. 考查题型二 有理数加法中的符号问题典例2．（2018·重庆市期末）将 6-(+3)+(-2) 改写成省略括号的和的形式是（ ） A ．6-3-2 B ．-6-3-2C ．6-3+2D ．6+3-2【答案】A【提示】先把加减法统一成加法,再省略括号和加号．【详解】将6﹣（+3）+（﹣2）改写成省略括号的和的形式为6﹣3﹣2． 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加减混合运算,将算式写成省略括号的形式必须统一成加法后,才能省略括号和加号．变式2-1．（2020·银川市期中）把（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）写成省略括号的和的形式是（ ）． A ．﹣3﹣5+1﹣7 B ．3﹣5﹣1﹣7 C ．3﹣5+1﹣7 D ．3+5+1﹣7 【答案】C【解析】（+3）﹣（+5）﹣（﹣1）+（﹣7）=（+3）+（-5）+（+1）+（﹣7）=3﹣5+1﹣7, 故选：C.变式2-2．（2020·邯郸市期末）若两个非零的有理数a,b 满足：|a|＝－a,|b|＝b,a ＋b ＜0,则在数轴上表示数a,b 的点正确的是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D【提示】根据|a|=-a 得出a 是负数,根据|b|=b 得出b 是正数,根据a+b ＜0得出a 的绝对值比b 大,在数轴上表示出来即可．【详解】解：∵a 、b 是两个非零的有理数满足：|a|=-a,|b|=b,a+b ＜0, ∴a ＜0,b ＞0, ∵a+b ＜0, ∴|a|＞|b|, ∴在数轴上表示为：故选D.【名师点拨】本题考查数轴,绝对值,有理数的加法法则等知识点,解题关键是确定出a ＜0,b ＞0,|a|＞|b|． 变式2-3．（2019·深圳市期中）如果a ＜0,b ＞0,a ＋b ＜0 ,那么下列关系式中正确的是（ ） A ．a b b a ->>-> B ．a a b b >->>- C ．a b b a >>->- D ．b a b a >>->-【答案】A【提示】由于a ＜0,b ＞0,a+b ＜0,则|a|＞b,于是有-a>b,-b>a,易得a,b,-a,-b 的大小关系． 【详解】∵a ＜0,b ＞0,a+b ＜0, ∴|a|＞b, ∴-a>b,-b>a,∴a,b,-a,-b 的大小关系为：-a>b>-b>a, 故选A ．【名师点拨】本题考查了有理数的加法法则,有理数的大小比较,异号两数的加法法则确定出|a|＞b 是解题的关键. 考查题型三 有理数加法在实际生活中的应用典例3（2018·厦门市期末）下列温度是由－3℃上升5℃的是（ ） A ．2℃ B ．－2℃ C ．8℃ D ．－8℃【答案】A【提示】物体温度升高时,用初始温度加上上升的温度就是上升之后的温度,即是所求 【详解】（－3℃）+5℃= 2℃ 故本题答案应为：A【名师点拨】此题考查了温度的有关计算,是一道基础题．熟练掌握其基础知识是解题的关键变式3-1．（2019·石家庄市期中）在学习“有理数的加法与减法运算”时,我们做过如下观察：“小亮操控遥控车模沿东西方向做定向行驶练习,规定初始位置为0,向东行驶为正,向西行驶为负．先向西行驶3m,在向东行驶lm,这时车模的位置表示什么数？”用算式表示以上过程和结果的是（ ） A ．（﹣3）﹣（+1）=﹣4 B ．（﹣3）+（+1）=﹣2C．（+3）+（﹣1）=+2 D．（+3）+（+1）=+4【答案】B【详解】由题意可得：（﹣3）+（+1）=﹣2．故选B．变式3-2．（2019·石家庄市期中）一家快餐店一周中每天的盈亏情况如下（盈利为正）：37元,-26元,-15元,27元,-7元,128元,98元,这家快餐店总的盈亏情况是（）A．盈利了290元B．亏损了48元C．盈利了242元D．盈利了-242元【答案】C【提示】利用有理数的加法求出已知各数的和即可求出一周总的盈亏情况．【详解】∵37+(−26)+(−15)+27+(−7)+128+98=242（元）,∴一周总的盈亏情况是盈利242元.故选择C.【名师点拨】本题考查正数和负数、有理数的加法,解题的关键是掌握正数和负数、有理数的加法.±kg,现随机选取10袋面粉进行质量变式3-3．（2020·沈阳市期末）面粉厂规定某种面粉每袋的标准质量为500.2检测,结果如下表所示：则不符合要求的有（）A．1袋B．2袋C．3袋D．4袋【答案】A【提示】提示表格数据,找到符合标准的质量区间即可解题.±kg,即质量在49.8kg——50.2kg之间的都符合要求,【详解】解：∵每袋的标准质量为500.2根据统计表可知第5袋49.7kg不符合要求,故选A.【名师点拨】本题考查了有理数的实际应用,属于简单题,熟悉概念是解题关键.考查题型四有理数加法运算律典例4．（2019·忠县期中）计算1﹣3+5﹣7+9=（1+5+9）+（﹣3﹣7）是应用了（）A．加法交换律 B．加法结合律C．分配律 D．加法交换律与结合律【答案】D【提示】根据加法交换律与结合律即可求解．【详解】计算1-3+5-7+9=（1+5+9）+（-3-7）是应用了加法交换律与结合律．故选：D．【名师点拨】考查了有理数的加减混合运算,方法指引：①在一个式子里,有加法也有减法,根据有理数减法法则,把减法都转化成加法,并写成省略括号的和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式,就可以应用加法的运算律,使计算简化．变式4-1．（2018·新蔡县期中）计算()+()+()+()等于（）A．-1 B．1 C．0 D． 4【答案】A【提示】有理数的加减运算,适当运用加法交换律.【详解】解：故选：A.【名师点拨】本题考查有理数的加减运算,熟记有理数的加减运算法则,同时能够题目数字特点进行灵活计算.变式4-2．（2019淮南市期中）－1＋2－3＋4－5＋6＋…－2017＋2018的值为( )A．1 B．－1 C．2018 D．1009【答案】D【提示】从左边开始,相邻的两项分成一组,组共分成1009组,每组的和是1,据此即可求解．【详解】原式=(−1+2)+(−3+4)+(−5+6)+…(−2015+2016)+(−2017+2018),=1+1+1+…+1=1×1009,=1009.故选D.【名师点拨】属于规律型：数字的变化类,考查有理数的加减混合运算,掌握运算法则是解题的关键.变式4-3．（2019·南阳市期中）下列交换加数的位置的变形中,正确的是A．1-4+5-4=1-4+4-5 B．13111311 34644436 -+--=+--C．1-2+3-4=2-1+4-3 D．4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7 【答案】D【详解】A. 1−4+5−4=1−4−4+5,故错误；B.13111311=-34644436-+--+--,故错误；C. 1-2+3-4=-2+1-4+3,故错误；D. 4.5−1.7−2.5+1.8=4.5−2.5+1.8−1.7,故正确． 故选D.考查题型五 有理数减法运算典例5．（2020·济南市期末）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ） A ．﹣1 B ．1 C ．5 D ．﹣5【答案】A【提示】利用有理数的减法的运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1,故选A ．【名师点拨】本题主要考查了有理数的减法运算,正确掌握运算法则是解题关键． 变式5-1．（2019·郯城县期末）比﹣1小2的数是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣2 D ．﹣3【答案】D【提示】根据题意可得算式,再计算即可． 【详解】-1-2=-3, 故选D ．【名师点拨】此题主要考查了有理数的减法,关键是掌握减去一个数,等于加上这个数的相反数． 变式5-2．（2019·重庆市期末）若 |a |= 3, |b | =1 ,且 a > b ,那么 a -b 的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．-4 D ．4或2【答案】D根据绝对值的性质可得a =±3,b =±1,再根据a ＞b ,可得①a =3,b =1②a =3,b =﹣1,然后计算出a －b 即可． 【详解】∵|a |=3,|b |=1,∴a =±3,b =±1． ∵a ＞b ,∴有两种情况： ①a =3,b =1,则：a －b =2； ②a =3,b =﹣1,则a －b =4． 故选D ．【名师点拨】本题考查了绝对值的性质,以及有理数的减法,关键是掌握绝对值的性质,绝对值等于一个正数的数有两个．变式5-3．（2018·自贡市期中）若x ＜0,则()x x --等于（ ） A ．－x B ．0 C ．2x D ．－2x【答案】D【提示】根据有理数的加法法则和绝对值的代数意义进行提示解答即可.【详解】()2x x x x x --=+=, ∵0x <, ∴20x <,∴原式=22x x =-. 故选D.【名师点拨】“由已知条件0x <得到20x <,进而根据绝对值的代数意义得到：22x x =-”是解答本题的关键. 考查题型六 有理数减法在实际生活中的应用典例6．（2019临河区期末）某市有一天的最高气温为2℃,最低气温为﹣8℃,则这天的最高气温比最低气温高（ ） A ．10℃ B ．6℃ C ．﹣6℃ D ．﹣10℃ 【答案】A【解析】提示：用最高温度减去最低温度,然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 详解：2-（-8） =2+8 =10（℃）． 故选：A ．名师点拨：本题考查了有理数的减法,是基础题,熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． 变式6-1．（2019·长兴县月考）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表,则这四天中温差最大的是（ ）A ．星期一B ．星期二C ．星期三D ．星期四【答案】C【提示】利用每天的最高温度减去最低温度求得每一天的温差,比较即可解答. 【详解】星期一温差：10﹣3＝7℃； 星期二温差：12﹣0＝12℃； 星期三温差：11﹣（﹣2）＝13℃； 星期四温差：9﹣（﹣3）＝12℃； 综上,周三的温差最大. 故选C ．【名师点拨】本题考查了有理数的减法的应用,根据题意正确列出算式,准确计算有理数减法是解题的关键． 变式6-2．（2018·吕梁市期末）我市冬季里某一天的最低气温是-10℃,最高气温是5℃,这一天的温差为 A ．-5℃ B ．5℃C ．10℃D ．15℃【答案】D【详解】解：5−(−10) =5+10=15℃． 故选D.变式6-3．（2020·寿阳县期末）甲、乙、丙三地海拔分别为20m ,15m -,10m -,那么最高的地方比最低的地方高( ) A ．10m B ．25mC ．35mD ．5m【答案】C【提示】根据正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法即可得．【详解】由正数与负数的意义得：最高的地方的海拔为20m ,最低的地方的海拔为15m - 则最高的地方比最低的地方高20(15)201535()m --=+= 故选：C ．【名师点拨】本题考查了正数与负数在实际生活中的应用、有理数的减法,理解负数的意义是解题关键． 考查题型七 有理数加减混合运算典例7（2018·南阳市期中）计算：①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33）；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） 【答案】①0；②512． 【解析】①﹣13+（﹣20）﹣（﹣33） =﹣33+33 =0；②（+12）﹣（﹣13）+（﹣14）﹣（+16） =12+13﹣14﹣16 =643212121212+-- =512. 变式7-1．（2019·河池市期中）计算：（1） 6789-+- （2） 2(5)(8)5---+-- 【答案】（1）-2；（2）-10-+-【详解】解：（1）6789-+-=189-=79=-2---+--（2）2(5)(8)5=-+--2585=--385=--55=-10【名师点拨】此题考查的是有理数的加减法混合运算,掌握有理数的加、减法法则是解决此题的关键．变式7-2．（2019·枣庄市期中）请根据如图所示的对话解答下列问题．求：(1)a,b,c的值；(2)8－a＋b－c的值．【答案】(1)a＝－3,b＝±7,c=-1或-15; (2)33或5.【详解】解：（1）∵a的相反数是3,b的绝对值是7,∴a=-3,b=±7；∵a=-3,b=±7,c和b的和是-8,∴当b=7时,c= -15,当b= -7时,c= -1,（2）当a=-3,b=7,c=-15时,8-a+b-c=8-（-3）+7-（-15）=33；当a=-3,b=-7,c=-1时,8-a+b-c=8-（-3）+（-7）-（-1）=5．故答案为（1）a=-3,b=±7；c=-1或-15;（2）33或5.【名师点拨】本题考查有理数的加减混合运算,掌握相反数和绝对值的概念是解题关键.。
七年级数学上册3.1有理数的加法与减法知识点解读有理数的加法素材青岛版(2021-2022学年)
知识点解读:有理数的加法知识点一：有理数的加法法则１.同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加.2．绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．3．互为相反数的两个数相加得０．４．一个数同0相加仍得这个数.方法技巧:在进行有理数的加法运算时,运算步骤可归纳为“一看、二定、三求和”.一看：即观察两个数的符号是同号还是异号,算式中有没有零；二定：即用哪条法则及和的符号；三求和:根据法则求出结果.例1：在1,-1,—2这三个数中,任意两数之和的最大值是_______．分析：在1,—1,—2这三个数中，求任意两数之和的最大值,则先求出两数之和再进行比较,1+(-１）=０；１+(－2)=—1;(-1）+(—２)=—3;所以最大值为0.变式练习：计算：-1+（+3）的结果是（ ）A.-1 Ｂ．1 Ｃ.2 Ｄ.3参考答案：Ｃ知识点二:有理数加法的运算律１.加法交换律:两个数相加,交换加数的位置,和不变．即:ａ+b=b ＋a.2．加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．即（a+b ）+c=a+(b+ｃ）方法技巧: (１)有些加数相加后可以得到整数时，可以先行相加．(２)分母相同或易于通分的分数，可以先行相加;（３）有相反数可以互相消去0时,可以先行相加.（4)有许多正数和负数相加时,可以把符号相同的数相加，即正数与正数相加,负数与负数相加，最后再把一个正数和一个负数相加.例2：计算下列各式（1)(—45.3)+9。
5+（-4。
7)+（-0。
5)；(２) ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+21174128分析：（1)观察四个加数的符号以及它们的小数部分的特点,发现调整加数的顺序，使可以得到整数的先相加，使运算变得比较简便．(２）做带分数加法时,可将整数部分与分数部分分别相加,然后再把结果相加；解题时要注意:①分开的整数部分与分数部分必须保持原带分数的符号；②运算符号和数的性质符号要用括号分开.解: (1) 原式=［(-４5.3）+(—4。
沪科版七年级数学上第一章《有理数》第4节《有理数的加减》例题与讲解(课后辅导)
1.4 有理数的加减1．有理数的加法(1)有理数的加法法则①同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加．②异号两数相加，绝对值相等时和为零；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数与零相加，仍得这个数．(2)两个有理数相加的步骤第一步：有理数的加法法则分三种情况，进行有理数加法时，要先区别是哪种情况；第二步：确定和的符号；第三步：求每个加数的绝对值；第四步：根据具体的法则计算两个数的绝对值的和或差；第五步：写出最后的计算结果．析规律有理数的加法运算规律(1)有理数的加法法则是进行有理数运算的依据，进行加法运算时要先确定用哪条法则．(2)小学学过的加法中，和一定大于每一个加数，在数的范围扩大到有理数以后，这个结论就不成立了，只有两个正数的和必定大于每一个加数，而两个负数的和要小于每一个加数，一个非零数与零相加，得到的和等于非零加数．(3)如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数．即：如果a＋b＝0，那么a＝－b.例如：(－3)＋a＝0，则a＝3.(4)进行有理数的加法运算要遵循“一定二求三和差”的步骤，即第一步先确定和的符号，第二步再求加数的绝对值，第三步要分析确定是绝对值相加还是相减．【例1】计算：(1)(＋8)＋(＋5)；(2)(＋2.5)＋(－2.5)；(3)(－17)＋(＋9)；(4)(－4)＋0.分析：根据有理数的加法法则，两数相加，只要确定它适合有理数加法法则的哪一种情况，再根据法则确定和的符号，然后根据法则求出和的绝对值．解：(1)(＋8)＋(＋5)(同号两数相加)＝＋(8＋5)(取与加数相同的符号，并把绝对值相加)＝13.(2)(＋2.5)＋(－2.5)(异号两数相加，绝对值相等)＝0(和为0)．(3)(－17)＋(＋9)(异号两数相加，绝对值不等)＝－(17－9)(取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值)＝－8.(4)(－4)＋0(一个数与零相加)＝－4(仍得这个数)．2．有理数的减法(1)有理数的减法法则减去一个数，等于加上这个数的相反数．用字母表示为a－b＝a＋(－b)．(2)有理数减法运算的基本步骤①将减法转化为加法；②按有理数的加法法则运算．(3)法则理解①有理数的减法，不像小学里的那样直接减，而是把它转化为加法，借助于加法进行计算．其关键是正确地将减法转化为加法，再按有理数的加法法则计算．②学习有理数减法运算，关键在于处理好法则中两个“变”字，即注意两个符号的变化：一是运算符号——减号变为加号，二是性质符号——减数变成它的相反数．③其含义可以从以下两方面理解：(a)(b)④并不是所有的减法运算都要转化为加法运算．一般来说，当减数或被减数为负数，或两数“不够减”时才运用法则转化为加法运算． 解技巧 有理数的减法运算技巧(1)可用口诀记忆法则：“减正变加负，减负变加正．”(2)带分数减法运算，可把带分数拆成整数和分数和的形式后再进行计算．(3)特别注意减法没有交换律．【例2】 计算：(1)3－(－5)；(2)(－3)－(－7)；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516； (4)5.2－(＋3.6)．分析：有理数减法运算，按照减法法则，将减法转化为加法，然后按有理数加法进行计算．在做减法转换为加法时，一定要注意符号的变换．解：(1)3－(－5)＝3＋(＋5)＝8；(2)(－3)－(－7)＝(－3)＋(＋7)＝4；(3)⎝⎛⎭⎫－213－516＝⎝⎛⎭⎫－213＋⎝⎛⎭⎫－516＝－712； (4)5.2－(＋3.6)＝5.2＋(－3.6)＝1.6.3．有理数加法的运算律(1)加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变．用字母表示为：a ＋b ＝b ＋a .(2)加法结合律：三数相加，先把前两个数相加或先把后两个数相加，和不变．用字母表示为：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．【例3】 计算：(1)(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋2＋⎝⎛⎭⎫－12＋12； (2)⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫＋45＋⎝⎛⎭⎫－12. 分析：进行三个以上的有理数加法运算时，常常运用加法的交换律和结合律，把同号的数相结合，把互为相反数的两个数相结合，把同号的数中的同分母的分数相结合，以达到计算简便、迅速的目的． 解：(1)原式＝(2＋12)＋⎣⎡⎦⎤(－8)＋⎝⎛⎭⎫－212＋⎝⎛⎭⎫－12＝14＋(－11)＝3； (2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－13＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫＋12＋⎝⎛⎭⎫－12＋45＝－1＋0＋45＝－15. 4.有理数的加、减混合运算(1)加减法统一成加法①有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式．如：(－12)－(＋8)＋(－6)－(－5)＝(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)．②在和式里，通常把各个加数的括号省略不写，写成省略加号的和的形式．如：(－12)＋(－8)＋(－6)＋(＋5)＝－12－8－6＋5.③和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“负12，负8，负6，正5的和”，即把各个数中间的符号作为后面的这个数的性质符号来读；二是按运算意义读作“负12减8减6加5”，即把各个数中间的符号作为运算符号来读．(2)有理数加、减混合运算的方法和步骤由于减法可以转化为加法，所以在进行有理数的加减混合运算时，首先要将混合运算的式子写成省略括号的和式的形式，然后按加法法则和运算律进行简便运算．第一步：用减法法则将减法转化为加法；第二步：运用加法法则、加法交换律、加法结合律进行简便运算．(3)进行有理数的加减混合运算的注意事项①交换加数的位置时，一定要连同加数前的符号一起移动；②如果需要添括号，一定要连同加数前的符号一起括进括号内，并将原来已省略的括号写出来； ③省略加号和括号的“和”与小学里的“和”是有区别的，小学里的“和”是一个具体的数，并且和一定不小于任何一个加数，而这里的“和”则是表示的是有理数的加法运算，也表示相加的结果．有理数的“和”可以大于任何一个加数，也可以小于任何一个加数，和可能是正数、负数或零．【例4－1】 把下列各式写成省略加号的和的形式：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)．分析：先统一成加法，再省略括号和加号．在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化．解：(1)(－26)－(－7)＋(－10)－(－3)＝－26＋(＋7)＋(－10)＋(＋3)＝－26＋7－10＋3.(2)(－30)－(－8)＋(－12)－(－5)＝(－30)＋(＋8)＋(－12)＋(＋5)＝－30＋8－12＋5.【例4－2】 计算：(1)0－327－6＋1167－537； (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45； (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18；(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5.分析：(1)本题是省略括号和加号后的和的形式，在五个加数中，考虑到－327，1167，－537三个加数分母都是7，便于运算，所以把这三个加数放在一起；(2)把加减混合运算统一成加法运算后结果为⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45，考虑到⎝⎛⎭⎫－12，⎝⎛⎭⎫－23，⎝⎛⎭⎫＋16便于通分，把它们结合起来，可使计算较为简便；(3)统一成加法后，可采用同号结合法，即把正数与正数、负数与负数分别相加；(4)统一成加法后，可采用凑整结合法，即把相加得整数的加数先结合．解：(1)0－327－6＋1167－537＝(0－6)＋⎝⎛⎭⎫－327＋1167－537 ＝－6＋⎝⎛⎭⎫＋317＝－267. (2)⎝⎛⎭⎫－12－⎝⎛⎭⎫－16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫＋16＋⎝⎛⎭⎫－23＋⎝⎛⎭⎫－45 ＝(－1)＋⎝⎛⎭⎫－45＝－145. (3)(－5)－(－21)＋(－12)＋8－(－4)－18＝－5＋21－12＋8＋4－18＝(21＋8＋4)＋(－5－12－18)＝33－35＝－2.(4)(＋10.4)－7.5＋12.7－(－3.6)＋(－1.7)－2.5＝10.4－7.5＋12.7＋3.6－1.7－2.5＝(10.4＋3.6)＋(12.7－1.7)＋(－7.5－2.5)＝14＋11－10＝15.5．含有字母的有理数加法的运算我们可以用字母表示有理数加法的运算法则：①同号两数相加：若a ＞0，b ＞0，则a ＋b ＝＋(|a |＋|b |)；若a ＜0，b ＜0，则a ＋b ＝－(|a |＋|b |)．②异号两数相加：若a ＞0，b ＜0，且|a |＝|b |，则a ＋b ＝0；若a ＞0，b ＜0，且|a |＞|b |，则a ＋b ＝＋(|a |－|b |)；若a ＞0，b ＜0，且|a |＜|b |，则a ＋b ＝－(|b |－|a |)．③一个数与0相加：a ＋0＝a .【例5－1】 根据加法法则填空：(1)如果a ＞0，b ＞0，那么a ＋b __________0；(2)如果a ＜0，b ＜0，那么a ＋b __________0；(3)如果a ＞0，b ＜0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0；(4)如果a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，那么a ＋b ________0.答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞ (4)＜【例5－2】 已知有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，且|a |＞|b |＞|c |，则(1)|a ＋(－b )|＝__________；(2)|a ＋b |＝__________；(3)|a ＋c |＝__________；(4)|b ＋(－c )|＝__________；(5)|b ＋c |＝__________.答案：(1)|a |＋|b | (2)|a |－|b | (3)|a |＋|c | (4)|b |＋|c | (5)|b |－|c |6.有理数加减混合运算的注意事项(1)运用加法交换律，在交换各数的位置时要连同它们前面的符号一起交换，千万不要把符号漏掉．(2)应用加法结合律时，应充分考虑同号加数结合、同分母或便于通分的加数结合、凑整的加数结合、互为相反数的加数结合等情形，从而选择适当的方法，使运算简便．(3)若分数、小数混在一块运算时，可以把它们统一成分数或小数再运算．(4)如果有大括号和小括号应当先进行小括号里的运算，再进行大括号里的运算．反之，进行有理数的加减混合运算，有时候需要添加括号，此时一定要连同加数的符号一起括进括号内，并将原来已省略的加号写进来．辨误区 拆分负的带分数负的带分数拆分为整数与分数的和时，易将负整数与负分数的和错拆为负整数与正分数的和．【例6】 计算：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312)；(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111. 分析：把分母不同的分数的加减混合运算统一成加法之后，应用运算律使同分母分数相加可以简化运算．解：(1)(－837)＋(－7.5)＋(－2147)＋(＋312) ＝－837－7.5－2147＋312＝－837－2147－7.5＋312＝(－837－2147)－(7.5－312) ＝－30－4＝－34.(2)⎪⎪⎪⎪5111－3417＋4417－111＝5111－3417＋4417－111＝5111－111－3417＋4417＝(5111－111)－(3417－4417) ＝5＋1＝6.7．有理数加减法的运用学习有理数的加减法后，可以和前面学过的数轴、相反数、绝对值综合出题，把有理数的知识融合得更紧密，理解得更深刻．(1)有理数的加法与绝对值在有些计算中，含有绝对值符号，这就要用绝对值的概念，先去掉绝对值符号，再按有理数混合运算法则进行计算．几个非负数的和等于0，则每个加数必等于0.(2)有理数的加法与有理数的大小比较学习加法后，在比较大小的数中，出现了和的形式或差的形式(差可以化成和)．特别是以字母表示的数．这就需要用加法法则来判断数的正负，或判断数对应的点在数轴上的位置关系，从而确定两个数的大小关系．(3)有理数加法在实际问题中的应用在实际问题中，要应用有理数的加法法则求解问题，注意运算技巧的使用．【例7－1】 若|x －3|与|y ＋3|互为相反数，求x ＋y 的值．解：根据题意得|x －3|＋|y ＋3|＝0.则x －3＝0，y ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝－3.所以x ＋y ＝3＋(－3)＝0.【例7－2】 一小吃店一周中每天的盈亏情况如下(盈利为正)：128.3元，－25.6元，－15元，－7元，36.5元，98元，27元，这一周总的盈亏情况如何？分析：正数表示盈利，负数表示亏损，这些数的代数和就是总的盈亏情况，如果代数和为正，则总的情况是盈利，否则是亏损．解：128.3＋(－25.6)＋(－15)＋(－7)＋36.5＋98＋27＝(128.3＋36.5＋98＋27)＋(－25.6－15－7)＝289.8－47.6＝242.2.答：一周总的盈亏情况是盈利242.2元．【例7－3】 一农业银行某天上午9：00～12：00办理了7笔储蓄业务；取出9.5万元，存入5万元，取出8万元，存入12万元，存入25万元，取出10.25万元，取出2万元．这天上午该银行的现金增减情况怎样？分析：可以设存入为正，取出为负，用正、负数分别表示这7笔业务，求它们的和即可判断现金的增减情况．若结果为正数，则表明现金增加了；若结果为负数，则表明现金减少了．解：(－9.5)＋(＋5)＋(－8)＋(＋12)＋(＋25)＋(－10.25)＋(－2)＝[(－9.5)＋(－8)＋(－10.25)＋(－2)]＋[5＋(＋12)＋(＋25)]＝－29.75＋42＝12.25(万元)．答：这天上午该银行的现金增加了12.25万元．8.有理数减法的应用(1)有理数减法的应用比较常见的题型有：计算高度，计算温差，计算销售利润，计算距离，计算时差等．有理数减法的应用题虽然比较简单，但却能让大家主动地从数学角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略，充分体现课程标准所要求的“数学应用意识”．因此，我们要有意识地加强数学知识与现实生活联系密切的问题的训练，提高自己的能力．(2)利用有理数减法求数轴上两点间的距离求数轴上两点间的距离是有理数减法最典型的应用之一，数轴上任意两点之间的距离，都可以用数轴上表示这两点的有理数的差的绝对值来表示．【例8－1】如图所示的数轴上，表示－2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示2和－5的两点之间的距离是______，数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是______．解析：数轴上表示－2和5两点之间的距离是|－2－5|或|5－(－2)|；数轴上表示2和－5两点之间的距离是|2－(－5)|或|－5－2|；数轴上表示－1和－3的两点之间的距离是|－1－(－3)|或|－3－(－1)|.答案：77 2【例8－2】以地面为基准，A处高为＋2.5米，B处高为－17.8米，C处高为－32.4米，问：(1)A处比B处高多少米？(2)B处与C处哪个地方高？高多少米？解：(1)＋2.5－(－17.8)＝2.5＋17.8＝20.3(米)，所以A处比B处高20.3米．(2)－17.8－(－32.4)＝－17.8＋32.4＝14.6(米)，所以B处比C处高，高了14.6米．。
七年级数学上册有理数加减法提高知识讲解含答案及解析.doc
有理数的加减法（提高）2019-2020 年七年级数学上册：有理数的加减法（提高）知识讲解（含答案与解析）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题.【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同 0 相加，仍得这个数．要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则．(2)确定和的符号 ( 是“ +”还是“－” ) ．( 加数的绝对值是相加还是相减(3) 求各加数的绝对值，并确定和的绝对值) ．3.运算律：加法文字语言两个数相加，交换加数的位置，和不变a+b＝ b+a有理交换符号语言数加律法运加法三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，文字语言算律结合和不变律符号语言(a+b)+c ＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号．要点二、有理数的减法1. 定义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+? ＝7，求？，减法是加法的逆运算．要点诠释： （1）任意两个数都可以进行减法运算．（ 2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2. 法则： 减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：a b a ( b) ．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算.【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．计算：（ 1） 3 21 （ 2） ( 6 1) (2 3)5834（ 3） 1.12532（ 4） 0 ( 5 2)（ 5） 31( 3.5)532【思路点拨】 （ 1）（ 2）属于同一类型，用的是加法法则的第一条：；（ 3）（ 5）属于同一类，用的是加法法则的第二条；（4）用的是法则的第三条．【答案与解析】（1）321(321) 321；5 8 5 840（2） 1 31 3 13 1( 6 ) ( 2 )(62 ) 8934 3412 12（3） 1.125321.125( 3.4)(3.41.125)2.2755（4） 0 ( 5 2) 52（5） 313 3( 3.5)3.5 3.52【总结升华】 绝对值不等的异号两数相加，是有理数加法的难点，在应用法则时， 一定要先确定符号，再计算绝对值．举一反三：【高清课堂：有理数的加减法382681 有理数的加法例 2】【变式 1】计算： (1) -71 +10 1;(2) (-1)+(-7.3); (3) 11+(-2 1 ); (4)26 2437 1+(-3.8)+(-7.2)5(1017 1)(11 1)2 2；【答案】 （1）原式 =(9 7)6 26 2 3（2）原式 = (0.57.3)7.8 ；（ 3）原式 = (2 11 1)1 1；3412（4）原式 = 7.2 7.2 3.8 0 3.83.8【变式 2】计算：11 51162 3【答案】11 1151 1 1 1 5 ( 1 1)11 5 12 3623 6236【变式 3】计算：( 6)1 ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 61．44【答案】 解法一：( 6)1 ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16)1464( 6)1 ( 3)( 0.3) ( 8) ( 6)( 3.3) ( 6) ( 16)61→同号44的数一起先加( 23.55) ( 31.55)8．解法二： ( 6)1 ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6)( 16)1 464( 6)161[( 3.3) ( 3) ( 0.3)] [( 6) ( 6)] [( 16) ( 8)]44→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加0 0 0 ( 8) 8 ．类型二、有理数的减法运算2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)4 3 1 ．7 3【思路点拨】 此题是有理数的减法运算， 先按照减法法则将减法转化为加法， 再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】 本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3) ＝ 2+3＝ 5 (2) 原式＝ 0+3.72+(-2.72)+4 ＝(0+4)+(3.72-2.72) ＝ 4+1＝5（3）原式 =4( 3 1)(314) 2 16733 721【总结升华】 算式中的“ +”或“ - ”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（ 1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（ 2） 11-12+13-15+16-18+17； （3） 3.76 39 5168 4.76 21 114 512 13 36 2（ 4） 3.463.87 1.543.376 3 44（ 5） 3153 4 56 5； （ 6） 2.25 3 1 2 31.875246 18 8 4【答案与解析】（ 1）观察各个加数，可以发现 -3.72 与 3.72 互为相反数，把它们分为一组；4.18 、-2.93 与-1.25 的和为 0，把它们分为一组可使计算简便．解： -3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72＝ (-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23＝ 0+0-1.23 ＝ -1.23（ 2）把正数和负数分别分为一组．解： 11-12+13-15+16-18+17＝ (11+13+16+17)+(-12-15-18)＝ 57+(-45) ＝ 12（ 3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1 ，两个整数的和是 29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组． 解： 3.7639 5168 4.76 2111311 1 62(3.764.76)2 ) ( 39 68)1( 6) 29 22 (5613 2（4）3.46 和 1.54的和为整数 , 把它们分为一组； -3.87 与 3.37 的和为 -0.5 ，把它们分为一组； 4 5与1 易于通分，把它们分为一组；2 1 与 3同分母，把它们分为一组．63 4 4解： 3.46451 3.87 211.54 3.37 36 34 4(3.461.54) (3.87 3.37) (45 1) ( 2 13)6 3 4 45 ( 0.5) 4 1 ( 1 1) 4.53 7.52 2（ 5）先把整数分离后再分组．解： 3153 456 5246 1831 3 4 5 65256 184( 3 5 4 6) (1 3 5 5)24 6 1818 27 30 10362936注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如3 131．22（ 6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解： 2.2531231.87584(2.25 2.75) (3.125 1.875)0.5 5 4.5【总结升华】 计算多个有理数相加时，必须先审题， 分析特点， 寻找规律， 然后再去计算． 注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式 】（ 1）（ 2）【答案】 （1）= 4 2( 7 3) (3 2) ( 4 3) (3 2) (7 2) 1 11175 957 977559 955（2）(13 5 7 9) (11 1 11 ) 25 ( 1 3 1 ... 1 )3 15 35 63 99 1 3 5 9 11251(1152 ) 2511 11类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用【高清课堂：有理数的加减法382681 有理数加减的应用 】4．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，约定前进为正，后退为负，某天自A 地出发到收工时所走路线（单位：千米）为：+10， -3 ， +4， +2， -8 ， +13， -2 ， +12，+8， +5.（ 1）问收工时距 A 地多远？（ 2）若每千米路程耗油 0.2 升，问从 A 地出发到收工时共耗油多少升？【答案与解析】 （1）求收工时距 A 地多远，应求出已知 10 个有理数的和，若和为正数，则在 A 地前面，若和为负数，则在A 地后面；距 A 地的路程均为和的绝对值 .解： (1) (+10)+(-3)+(+4)+(+2)+(-8)+(+13)+(-2)+(+12)+(+8)+(+5)=[+2+(-2)]+[(-8)+(+8)]+(+10+4+13+12+5)+(-3)=0+0+44+(-3)=41（千米）；（2）要求耗油量，需求出汽车共行走的路程，即求各数的绝对值之和，然后乘以0.2 升即可.(|+10|+|-3|+|+4|+|+2|+|-8|+|+13|+|-21|+|+12|+|+8|+|+5|)× 0.2=67 × 0.2=13.4 （升） .答：收工时在A 地前面41 千米，从A 地出发到收工时共耗油13.4 升 .【总结升华】 利用有理数的加减混合运算可以解决很多现实生活中的实际问题，这就需要我们认真观察、大胆分析和设想．举一反三：【变式 】某产粮专业户出售粮食8 袋，每袋重量( 单位：千克) 如下：197， 202， 197， 203， 200， 196，201， 198．计算出售的粮食总共多少千克 ?【答案】法一：以 200( 千克 ) 为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这 8 个数的差的累计是： (-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+ (-2) ＝ -6 200× 8+(-6) ＝ 1594( 千克 )答：出售的粮食共1594 千克．法二： 197+202+197+203+200+196+201+198＝ 1594( 千克 )答：出售的粮食共1594 千克．。
人教版七年级数学上册 1.3有理数的加减法 知识点归纳
人教版七年级数学上册1.3有理数的加减法知识点归纳有理数加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
例1、计算（－3）+（－5）分析：两数的符号都是“－”号，所以得数的符号是“－”号。
－3的绝对值是3，－5的绝对值是5 。
3+5=8所以（－3）+（－5）=－8 。
②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
例2、计算（－3）+5分析：－3的绝对值是3，5的绝对值是5 。
5＞3所以得数的符号是“＋”号，“＋”号可以省略。
5-3=2所以（－3）+5=2 。
③互为相反数的两个数相加得0 。
例3、（－6）+6=0④一个数与0相加，仍得这个数。
例4、6+0=6，－10+0=－10 。
计算有理数的加减法时，要先定符号，再算绝对值。
小学所学的加法运算定律对有理数仍然适用。
加法运算定律：①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。
字母表示：a+b=b+a②加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，或者先把后面两个数相加，和不变。
字母表示：a+b+c=a+(b+c)③如果一个算式中只有加法运算，则加数的顺序可以任意交换。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
字母表示：a-b=a+(－b)运用有理数减法法则，可以把减法转化为加法，之后就可以用有理数加法法则来计算。
例5、5-8-7=5+(－8)+(－7)=（－3）+(－7)=－10拆括号法则：①a+（－b）=a-b②a-（－b）=a+b例6、10+(－8)-(－7) =10-8+7=2+7=9。
2022-2023学年七年级数学上册讲义(北师大版)第10讲-有理数的加法(教师版)
第10讲有理数的加法知识点有理数的加法法则（先确定符号，再算绝对值）（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得_____；（如果两个数的和为_____，那么这两个数互为相反数）（4）一个数同0相加，仍得这个数.【答案】0；0考点精析考点一概念辨析例1下列说法正确的是（）A．两个有理数相加和一定大于每个加数B．两个非零有理数相加，和可能等于零C．两个有理数和为负数时，这两个数都是负数D．两个负数相加，把绝对值相加【分析】根据有理数的加法法则进行逐一计算即可．【解答】解：A、不能确定，例如：（﹣1）+（﹣2）＝﹣3；B、正确，互为相反数的两个数相加和为0；C、不能确定，例如：（﹣8）+2＝﹣6；D、错误，两个负数相加，取原来的符号并把绝对值相加．故选：B．例2如果a、b异号，且a+b<0，则下列结论正确的是（）A．a>0，b>0B．a<0，b<0C．a，b异号，且正数的绝对值较大D．a，b异号，且负数的绝对值较大【分析】两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条件可选出答案．【解答】解：∵a+b＜0，∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大，∵a，b异号，∴a、b异号，且负数的绝对值较大．故选：D．变1s变2若两个数之和为负数，则一定是（）A．这两个加数都是负数B．这两个加数只能一正一负C．两个加数中，一个是负数，一个是0D．两个加数中至少有一个是负数【答案】D【解析】【分析】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．【详解】两个数之和为负数有三种情况：两个数都是负数；一正一负，且负数的绝对值大于正数；一个负数，一个是0．由此可知，若两个数之和为负数，则两个加数中至少有一个是负数．故答案为：D．变3对于有理数a、b，有以下几种说法，其中正确的说法个数是（）①若a+b＝0，则a与b互为相反数；②若a+b＜0，则a与b异号；③a+b＞0，则a与b同号时，则a＞0，b＞0；④|a|＞|b|且a、b异号，则a+b＞0；⑤|a|＜b，则a+b＞0．A．3个B．2个C．1个D．0个【分析】①根据相反数的意义：只有符号不同的两个数互为相反数，若a+b＝0，移项可得a＝﹣b，满足相反数的定义，故a与b互为相反数，本选项正确；②举一个反例满足a+b＜0，可以取a与b同时为负数满足条件，但a与b不异号，本选项错误；③根据条件可得a+b大于0，且a与b同号，可得a与b只能同时为正，进而得到a、b大于0，本选项正确；④举一个反例，a与b两数都为负数，a的绝对值大于b的绝对值满足条件，但是a+b小于0，本选项错误；⑤由|a |＜b ，所以b ＞0，所以a +b ＞0，本选项正确．【解答】解：①若a +b ＝0，则a ＝﹣b ，即a 与b 互为相反数，本选项正确；②若a +b ＜0，若a ＝﹣1，b ＝﹣2，a +b ＝﹣3＜0，但是a 与b 同号，本选项错误；③a +b ＞0，若a 与b 同号，只有同时为正，故a ＞0，b ＞0，本选项正确；④若|a |＞|b |，且a ，b 同号，例如a ＝﹣3，b ＝﹣2，满足条件，但是a +b ＝﹣5＜0，本选项错误．⑤由|a |＜b ，所以b ＞0，所以a +b ＞0，本选项正确；则正确的结论有3个．故选：A ．考点二有理数的加法运算【注意】注意解题格式.例1计算下列各题：（1）()()()340328-++-+-（2）()()13564734+-++-（3）()()43772743+-++-【答案】（1）3-；（2）30-；（3）50-【解析】【分析】优先负数和负数相加，正数和正数相加，能凑整先凑整的原则进行简便运算即可．【详解】解：（1）()()()()32834043340320384=-+-++-+-++=-+=-；（2）()()()1341356473475634609030=+-+-++-+=-=-；（3）()()()43277437727437012054073=+-++-+=-=-+-．变1计算下列各题：（1）()()253415665-+++-（2）()()64172368-++-+（3）()()()42578423-++-+-（4）()()63729637++-+-【答案】（1）100；（2）2-；（3）92-；（4）2【解析】【分析】根据有理数加法法则准确计算即可．【详解】解：（1）()()253415665-+++-[](25)(65)(34156)=-+-++=(90)190-+100=，（2）()()64172368-++-+[](64)(23)(1768)=-+-++=(87)85-+2=-，（3）()()()42578423-++-+-[](42)(84)(23)57=-+-+-+=(149)57-+92=-，（4）()()63729637++-+-[](96)(37)(6372)=-+-++=(133)135-+2=，例2阅读下面文字．对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以如下计算：原式5231(5)(9)17(3)6342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦5231[(5)(9)17(3)]6342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭114=-上面这种方法叫拆项法，类比上面的方法计算．（1）235120202019201820173462⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）153212000400019992643⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）124-；（2）54-【解析】【分析】仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得．【详解】解：（1）235120202019201820173462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=()()235120202019201820173462⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=()()235120202019201820173462⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-++-++-+⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦=124⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=124-；（2）153212000400019992643⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()()()153212000400019992643⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦=()()()153212000400019992643⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=504⎛⎫+- ⎪⎝⎭=54-例3运用加法的运算律计算（+631）+（-18）+（+432）+（-6.8）+18+（-3.2）最适当的是（）A ．[（+631）+（+432）+18]+[（-18）+（-6.8）+（-3.2）]B ．[（+631）+（-6.8）+（+432）]+[（-18）+18+（-3.2）]C ．[（+631）+（-18）]+[（+432）+（-6.8）]+[18+（-3.2）]D ．[（+631）+（+432）]+[（-18）+18]+[（-3.2）+（-6.8）]【分析】根据互为相反数的两数的两数之和为0以及同分母的分数相加的原则进行计算即可．【解答】解：（+613）+（﹣18）+（+423）+（﹣6.8）+18+（﹣3.2）＝[（+613）+（+423）]+[（﹣18）+18]+[（﹣3.2）+（﹣6.8）]；故选：D ．例4计算：（1）(-17)+59+(-37)（2）(-18.65)+(-6.15)+18.15+6.15；（3）(-432)+(-331)+621+(-241)（4）(-0.5)+341+2.75+(-521)【答案】（1）5；（2）-0.5；（3）334-；（4）0【解析】【分析】【详解】（1）(－17)+59+(－37)（2）(－18.65)+(－6.15)+18.15+6.15=[(－17)+(－37)]+59=[(－6.15)+6.15]+[(－18.65)+18.15]=(－54)+59=0+(－0.5)=5=－0.5（3）(－423)+(－313)+612+(－214)（4）(－0.5)+314+2.75+(－512)=[(－423)+(－313)+(－214)]+6=[(－0.5)+(－512)]+(314+2.75)=(－1014)+612=－6+6=－334=0变2阅读下面文字对于（-565）+（-932）+1743+（-321）可以如下计算：原式＝[（-5）+（−65）]+[（-9）+（−32）]+（17+43）+[（-3）+（−21）]＝[（-5）+（-9）+17+（-3）]+[（−65）+（−32）+43+（−21）]＝0+（-141）＝-141上面这种方法叫拆项法，仿照上面的方法，计算：（1）-141+（-231）+765+（-421）（2）（-202032）+201943+（-201865）+201721【分析】（1）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得；（2）仿照题示解题过程，将整数部分相加减、分数部分相加减，再计算可得．【解答】解：（1）﹣114+（﹣213）+756+（﹣412）＝（﹣1−14）+（﹣2−13）+（7+56）+（﹣4−12）＝（﹣1﹣2+7﹣4）+（−14−13+56−12）＝0−14=−14；（2）（﹣202023）+201934+（﹣201856）+201712＝（﹣2020−23）+（2019+34）+（﹣2018−56）+（2017+12）＝（﹣2020+2019﹣2018+2017）+（−23+34−56+12）＝﹣2−14＝﹣214．变3计算：110.53(2.75)742⎛⎫⎛⎫-+-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】1【解析】【分析】根据有理数加法法则和运算律进行解答即可得．【详解】解：原式=11(0.5)(7)(3(2.75)24⎡⎤⎡⎤-+++-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=7(6)+-=1变4计算：1130.25(3)()(5)844+-+-+-【答案】788-例5类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：616232323233121=-=⨯-⨯=-，我们将上述计算过程倒过来，得到312132161-=⨯=，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于421⨯可以用裂项的方法变形为：4121(21421-⨯=⨯．类比上述方法，解决以下问题．（1）猜想并写出：=+)1(1n n ．（2）探究并计算：5049149481431321211⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯．【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题；（2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值；【解答】解：（1）1or1)=1−1r1，故答案为：1−1r1；（2）11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+149×50＝1−12+12−13+13−14+⋯+149−150＝1−150=4950；例6计算：99163135115131++++.【答案】115变5阅读理解题：第1个等式：211121221-=⨯-=；第2个等式：3121232361-=⨯-=；第3个等式：41313434121-=⨯-=112；……观察以上等式，请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：；（2）计算：2021201711391951511⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯．【分析】（1）仿照已知等式得到第5个等式即可；（2）原式利用得出的规律变形，计算即可求出值．【解答】解：（1）第5个等式：130=6−56×5=15−16；（2）11×5+15×9+19×13+⋯⋯+12017×2021=14×（1−15+15−19+19−113+⋯⋯+12017−12021）=14×（1−12021）=14×20202021=5052021．故答案为：130=6−56×5=15−16．变6计算：2022202112021202011216121⨯+⨯+⋅⋅⋅+++.【答案】20222021考点三有理数加法的应用（填数）例1如图，将-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，现在a ，b ，c 分别表示其中的一个数，则a b c -+的值为（）A ．-5B ．-4C ．0D ．5【分析】（1）首先根据第3行和第1列的三个数之和相等，求出c 的值是多少；然后根据第1行和第3列的三个数之和相等，求出a 的值是多少；最后根据第1行和对角线上的三个数之和相等，求出b 的值是多少；再根据有理数加减法的运算方法，求出a b c -+的值是多少即可．（2）先由第二行得三数之和均为1133-++=，然后利用减法分别求出a ，b ，c 的值，进而求出a b c -+的值为多少即可．【解答】解：（1）解法一：4(1)52c =+--=-，3(2)43a =+--=-，4(3)2120b =+-+--=，a b c∴-+30(2)=--+-5=-．（2）解法二：三数之和均为：1133-++=，3(42)363a ∴=-+=-=-，3[4(1)]330b=-+-=-=，c=-+=-=-，3(23)352∴-+a b c=--+-30(2)=-．5故选：A．例2在如图所示的星形图案中，十个“圆圈”中的数字分别是1，2，3，4，5，6，8，9，10，12，并且每条“直线”上的四个数字之和都相等．请将图中的数字补全．【答案】见解析【解析】【分析】根据每条“直线”上的四个数字之和都相等代入计算即可求解．【详解】解：根据每条“直线”上的四个数字之和都相等，可得：+++=+++=+++=+++=+++=，1213824,1242624,1014924,1035624,852924如图所示：故答案为：例3如表，从左边第一个格子开始向右，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则前2021个格子中所有整数的和为．【分析】根据任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，可得出x、y、z所表示的数，进而得出这一列数，再求和即可．【解答】解：根据“任意三个相邻格子中所填整数之和都相等”可得这列数如下：因为2021÷3＝673……2，所以前2021个格子中所有数的和为673×2﹣8+6＝1344，故答案为：1344．变1综合实践课上，同学们在如图所示的三阶幻方中，填写了一些数、式子和图案（其中每个式子或图案都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列、两条斜对角线上的3个数之和都相等，则x+y的值为（）A．6B．10C．12D．-6【分析】根据题意列出方程求出x，y的值，代入代数式求值即可．【解答】解：根据题意得：202602-+=-++=++，x y y y解得：8y=，x=，2x+y=10．故选：B．变2如图，在一个由6个圆圈组成的三角形里，把-15到-20这6个连续整数分别填入图的圆圈中，要求三角形的每条边上的三个数的和S都相等，那么S的最小值是（）A．-53B．-54C．-55D．-56【分析】三个顶角分别是﹣20，﹣19，﹣18，﹣20与﹣19之间是﹣15，﹣20和﹣18之间是﹣16，﹣19和﹣18之间是﹣17，这样每边的和才能相等并且S有最小值．【解答】解：由图可知S＝﹣20﹣19﹣15＝﹣54．故选：B．变3如图，3×3的正方形方格中共有9个空格，如果同一横行、同一竖列、同一对角线上的3个数字之和相等，我们把这样的图表叫做幻方，请将2，3，4，5，6，7，8，9，10填入右表构成幻方．【分析】方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数6，进而最大的数10，和最小的数2加上6，就组成一列，然后是10，6，2，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等．【解答】解：如表：5103468927考点四有理数加法的实际应用米”，又向西走了12米，此时他的位置例1在一条东西走向的路上，小王先向东走了7米，记作“7可记作（）A．+5米B．-5米C．+19米D．-19米【答案】B【解析】【分析】+米”，可得向西走了12米记作-12+7=-5米，即可求解．根据向东走了7米，记作“7【详解】+米”，解：∵向东走了7米，记作“7∴向西走了12米记作-12+7=-5米，即此时他的位置可记作-5米，故选：B.例2小云计划户外徒步锻炼，每天有“低强度”“高强度”“休息”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休息”（第一天可选择“高强度”）．则小云5天户外徒步锻炼的最远距离为_______km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度86654高强度121315128休息00000【答案】36【解析】【分析】根据题意得，只有第一天和第三天选择“高强度”，计算出此时的距离即可．【详解】解：如果第二天和第三天选择低强度，则距离为6+6=12（km），如果第三天选择高强度，则第二天休息，则距离为15km，∵12<15，∴第二天休息，第三天选择高强度，如果第四天和第五天选择低强度，则距离为5+4=9（km），如果第五天选择高强度，则第四天休息，则距离为8km，∵9>8，∴第四天和第五天选择低强度，为保持最远距离，则第一天为高强度，∴最远距离为12+0+15+5+4=36（km）故答案为36．变1明明家为起点，向东走记为正，向西走记为负．明明从家出发，先走了+20米，又走了－30米，这时明明离家的距离是（）米．A．20B．10C．-10D．-20【答案】B【解析】【分析】根据正、负数的运算方法，把明明两次走的路程相加，然后根据正负数意义求出明明离家的距离即可．【详解】解：因为（+20）+（-30）=-10（米），所以这时明明离家的距离是10米．故选：B．变2小华参加“中探协”组织的徒步探险旅行活动，每天有“低强度”“高强度”“休整”三种方案，下表对应了每天不同方案的徒步距离（单位：km）．若选择“高强度”要求前一天必须“休整”（第一天可选择“高强度”）．则小华5天徒步探险旅行活动的最远距离为______km．日期第1天第2天第3天第4天第5天低强度87565高强度121314129休整00000【答案】37【解析】【分析】根据“高强度”要求前一天必须“休息”，则如果“高强度”的距离比前一天＋当天的“低强度”距离短的话，则没有必要选择“高强度”，因此只有第一天和第三天适合选择“高强度”计算出此时的距离即可．【详解】解：∵“高强度”要求前一天必须“休息”，∴当“高强度”的徒步距离＞前一天“低强度”距离＋当天“低强度”距离时选择“高强度”时，把前一天休息未走的距离能补上，会使徒步距离最远，∵第3天“高强度”14＞7＋5，第4天“高强度”12＞6＋5，∴适合选择“高强度”的是第三天和第四天，又∵第一天可选择“高强度”，∴方案①第一天选择“高强度”，第二天“休息”，第三天选择“高强度”，第四天和第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12＋0＋14＋6＋5＝37（km ），方案②第一天选择“高强度”，第二天选择“低强度”，第三天选择“休息”，第四天选择“高强度”，第五天选择“低强度”，此时徒步距离为：12＋6＋0＋12＋5＝35（km ），综上，徒步的最远距离为37km ．例3公路检修小组从甲地出发，驾车沿东西方向的线路进行检修，规定向东行进为正，向西行进为负．检修小组一天在各个检测点行进的情况记录如下：（单位：千米）4-，7+，9-，8+，6+，4-，3-．（1）求在最后一个检测点时，检修小组与甲地间的距离；（2）检修小组距甲地最远时有多少千米？此时在甲地什么方向？（3）在最后一个检测点完成任务后，检修小组驾车回到甲地．若车辆每千米耗油0.15升，这一天共耗油多少升？【答案】(1)检修小组与甲地间的距离为1千米(2)检修小组距甲地最远时有8千米，此时在甲地东边(3)这一天共耗油6.3升【解析】【分析】（1）根据正负数的意义进行求和即可得；（2）依次算出各个检测点相距的距离，即可得；（3）先算出从出发地手工汽车行驶的总路程，再乘0.15即可得．(1)解：（1）47986431-+-++--=（千米），所以检修小组与甲地间的距离为1千米．(2)（2）473-+=，396-=-，682-+=，268+=，844-=，431-=，所以，检修小组距甲地最远时有8千米，此时在甲地东边．(3)（3）479864341-+++-+++++-+-=0.1541 6.3⨯=（升），答：这一天共耗油6.3升．例4出租车司机小王某天下午的一段时间内营运全是在南北走向的北海路上进行的．如果向南记作“＋”，向北记作“－”．他这段时间内行车情况如下：4-，7+，2-，3-，8-，8+（单位：千米；每次行车都有乘客）．请解答下列问题：（1）小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？（2）若规定每次乘坐出租车的起步价是8元，3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收1.8元钱，那么小王这段时间内收到的乘客所给车费共多少元？（3）若小王的出租车每千米耗油0.1升，每升汽油5元．不计汽车的损耗的情况下，除去汽油钱，请你帮小王计算一下这段时间他赚了多少钱？【答案】（1）北，2千米；（2）75；（3）59【解析】【分析】（1）把小王下午的行车记录相加，然后根据正负数的意义解答；（2）根据行车记录，分每一次的起步价和超过3千米的钱数两个部分列出收钱的算式，然后进行计算即可得解；（3）根据单位耗油量乘以行车距离，可得耗油量，根据油价乘以耗油量，可得出租成本，根据收入减成本，可得答案．【详解】-++-+-+-+=-，（1）47(2)(3)(8)82故小王在下午出车的出发地的北方,距离出发地2千米处；+⨯++⨯++++⨯++⨯=（元），（2）(81 1.8)(84 1.8)88(85 1.8)(85 1.8)75所以小王这天下午收到乘客所给车费共75元；-++-+-+-+=（千米），（3）47238832⨯⨯=（元），320.1516751659-=（元），∴小王这天下午是盈利59元.变3为了有效控制酒后驾驶，广州交警的汽车在一条东西方向的公路上巡逻，约定向东为正方向，从出发点A开始所走的路程为（单位：千米）：+14．﹣9，+8，﹣7，+13，﹣6，+12，﹣5．（1）请你帮忙确定交警最后所在地相对于A地的方位？（2）若汽车每千米耗油0.2升，如果队长命令他马上返回出发点，这次巡逻（含返回）共耗油多少升？【分析】（1）把这些数值相加，结果为正，在东方，反之在西方；（2）不论向那边走，都要耗油，所以与方向无关，算这些数的绝对值的和加上返回的20千米即为所走的路程，进而求出耗油量．【解答】（1）+14+（﹣9）+（+8）+（﹣7）+（+13）+（﹣6）+（+12）+（﹣5）＝20（千米），答：交警最后所在地在A地的东方20千米处．（2）14+|﹣9|+8+|﹣7|+13+|﹣6|+12+|﹣5|+20＝94（千米），94×0.2＝18.8（升），答：这次巡逻（含返回））共耗油18.8升．变4某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：km）：（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？（2）若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油多少升？（3）若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过3km收费10元，超过3km的部分按每千米加1.8元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？第1批第2批第3批第4批第5批5km2km﹣4km﹣3km10km 【分析】（1）计算这5个数的和，根据符号判断方向，根据绝对值判断距离；（2）求出行驶的总路程，再求燃油量；（3）求出每送一批顾客的收费，再求和即可．【解答】解：（1）5+2﹣4﹣3+10＝+10（km），因此，接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司10千米，答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司的南方，距离公司10千米；（2）0.2×（5+2+3+4+10）＝0.2×24＝4.8（升），答：若该出租车每千米耗油0.2升，那么在这过程中共耗油4.8升；（3）送第1批顾客收费为：10+1.8×（5﹣3）＝13.6（元），送第2批顾客收费为：10（元），送第3批顾客收费为：10+1.8×（4﹣3）＝11.8（元），送第4批顾客收费为：10（元），送第5批顾客收费为：10+1.8×（10﹣3）＝22.6（元），所以总收费为：13.6+10+11.8+10+22.6＝68（元），答：该驾驶员共收到车费68元．课后强化-+的结果是（）1.计算(7)3A．-4B．-10C．-21D．4【答案】A【解析】【分析】根据有理数的加法法则进行计算，进而得出结果．【详解】-+=-，解：(7)34故答案为：A．2.下面说法正确的有（）①一个有理数不是正数就是负数；②0是最小的整数；③两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和；④任何数的绝对值都大于0；⑤数轴上原点两侧的数互为相反数；⑥两个有理数相加，和一定大于每一个加数．A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】【分析】根据有理数的分类，整数的定义，绝对值的意义，相反数的定义，有理数的加法逐项判断即可．【详解】∵0是有理数但它不是正数也不是负数，∴①错误；∵负整数小于0，∴②错误；两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和，∴③正确；∵0的绝对值等于0，∴④错误；数轴上原点两侧且与原点距离相等的点所表示的数互为相反数，∴⑤错误；∵两个负数相加，和小于每一个加数，∴⑥错误；综上可知，正确的有1个，故选B．3.下列关于有理数的加法说法错误的是（）A．同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加B．异号两数相加，绝对值相等时和为0C．互为相反数的两数相加得0D．绝对值不等时，取绝对值较小的数的符号作为和的符号【分析】根据有理数的加法法则判断即可．【解答】解：A选项，同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，故该选项不符合题意；B选项，异号两数相加，绝对值相等时和为0，故该选项不符合题意；C选项，互为相反数的两数相加得0，故该选项不符合题意；D选项，绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号作为和的符号，故该选项符合题意；故选：D．4.若两个数的和为负数，则这两个数满足（）A．都是负数B．都是正数C．至少一个是负数D．恰好一正一负【分析】根据有理数的加法法则：同号相加，取相同符号，并把绝对值相加，绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0，一个数同0相加，仍得这个数；判断即可．【解答】解：两个数的和为负数，这两个数都是负数或有一个是负数且负数的绝对值比另一个数的绝对值大；故选：C．5.小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将-1、2、-3、4、-5、6、-7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．-6或-3B．-8或1C．-1或-4D．1或-1【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．【解答】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．6.把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的a b-的值是（）A．-3B．-2C．2D．3【分析】根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得a、b的值，根据有理数的减法，可得答案．【解答】解：根据幻方的性质，则985a+=+，所以4a=，而85+=+，a b则7b=，故473-=-=-，a b故选：A．7.用[x]表示不大于x的整数中最大整数，如[2.4]=2，[-3.1]=-4，请计算[-5.2]+[4.8]=______．【答案】2-【解析】【分析】先根据新定义求出[-5.2]和[4.8]的最大值，再算加法．【详解】解：[-5.2]+[4.8]=-6+4=-2．故答案为：-2．8.计算：4441313171317⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】-1【解析】【分析】根据加法的交换律和结合律计算即可．【详解】解：原式=4441313131717⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=0+(-1)=-1．9.计算：（1）(-2)+(+3)+(+4)+(-3)+(+5)+(-4)（2）133222543443⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)3(2)4-【解析】【分析】（1）按照加法的交换律和结合律把互为相反数的结合进行求解即可；（2）按照加法的交换律和结合律把同分母的结合进行求解即可；(1)原式=[(-2)+(+5)]+[(+3)+(-3)]+[(+4)+(-4)]=(+3)+0+0=3；(2)解：原式=][123324253344⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()73=-++4=-．10.计算：（1）()()4.70.85.38.2+-++-（2）1116312⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】(1)1(2)112【解析】【分析】对于（1），将两个正数，两个负数分别结合，再计算；对于（2），先通分，再结合计算即可．(1)原式=(4.7+5.3)+(-0.8-8.2)=10-9=1；(2)原式=214-+121212-（）=34-+1212=112．11.阅读材料，回答下列问题．通过计算容易发现：①31213121⨯=-；②51415141⨯=-；③71617161⨯=-.（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式：_________；（2）通过观察，计算761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值．（3）探究上述的运算规律，试计算9997197951971751531311⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+⨯的值．【分析】（1）观察①②③三个算式，可知分母中两个乘数的差为1，分子的差也为1，直接写出一个类似的算式即可；（2）根据上述规律得原式＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17，计算即可得出答案；（3）所给算式分母中两个乘数的差为2，但分子的差为1，故前面乘以12，则可以用裂项法进行计算．【解答】解：（1）17−18=17×18；故答案为：17−18=17×18；（2）11×2+12×3+13×4+14×5+15×6+16×7＝1−12+12−13+13−14+14−15+15−16+16−17＝1−17=67；（3）11×3+13×5+15×7+17×9+19×11+⋯+197×99的值．=12（1−13+13−15+15−17+17−19+19−111+⋯+197−199）=12（1−199）=12×9899=4999．12.某天早上，一辆交通巡逻车从A地出发，在东西向的马路上巡视，中午到达B地，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶纪录如下．（单位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次+15﹣8+6+12﹣4+5﹣10（1）巡逻车在巡逻过程中，第次离A地最远．（2）B地在A地哪个方向，与A地相距多少千米？（3）若每千米耗油0.2升，每升汽油需7元，问这一天交通巡逻车所需汽油费多少元？【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据有理数的加法运算，分别计算出每次距A地的距离，可得离A地最远距离；（2）根据有理数的加法运算，可得正数或负数，根据向东记为正，向西记为负，可得答案；（3）根据行车就耗油，可得耗油量，再根据总价=单价×数量即可求解．【解答】解：（1）第一次距A地：15千米，第二次距A地：15-8=7千米，第三次距A地：7+6=13千米，第四次距A地：13+12=25千米，第五次距A地：25-4=21千米，第六次距A地：21+5=26千米，第七次距A地：26-10=16千米，26＞25＞21＞16＞15＞13＞7，答：巡逻车在巡逻过程中，第6次离A地最远；（2）15-8+6+12-4+5-10=16（千米），答：B地在A地东方，与A地相距16千米；（3）|+15|+|-8|+|+6|+|+12|+|-4|+|+5|+|-10|=60（千米），60×0.2=12（升），12×7=84（元）．答：这一天交通巡逻车所需汽油费84元．故答案为：6．13.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+15，-8，+9，-6，+14，-5，+13，-4．（1）B地位于A地的什么方向？距离A地多少千米？（2）若冲锋舟每千米耗油0.6升，油箱容量为30升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？（3）救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远时，距A地多少千米？【答案】见试题解答内容【分析】（1）把题目中所给数值相加，若结果为正数则B地在A地的东方，若结果为负数，则B地在A地的西方；（2）先求出这一天航行的总路程，再计算出一共所需油量，减去油箱容量即可求出途中还需补充的油量；（3）分别计算出各点离出发点的距离，取数值较大的点即可．【解答】解：（1）∵15-8+9-6+14-5+13-4=28，∴B地在A地的东边28千米；（2）这一天走的总路程为：15+|-8|+9+|-6|+14+|-5|+13|+|-4|=74千米，应耗油74×0.6=44.4（升），故还需补充的油量为：44.4-30=14.4（升），答：冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充14.4升油；（3）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：15千米；15-8=7千米；7+9=16千米；16-6=10千米；10+14=24千米；24-5=19千米；19+13=32千米；32-4=28千米．∴冲锋舟离出发点A最远时，距A地32千米．。
[初中数学+]+有理数的加法(1)课件++人教版数学七年级上学期
【例1】计算： (1)(－4)＋(－2)(__同______号两数相加) ＝__－______(__4______＋___2_____) (取同号，即___－_____号，并把绝对值相加) ＝__－__6____；
方法：
在运算过程中，“先定和的符号，再算和的绝 对值”是一种有效的方法。 （简记：先定符号，在运算。）
4. 在括号内填上合适的数字使得等式成立： (1)8＋(___－__7____)＝1； (2)－1＋(___1______)＝0； (3)－5＋(___－__2____)＝－7.
5. 下列说法正确的是
( A)
A. 同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加
B. 两数之和必大于任何一个加数
C. 两负数相加和为负数，并把绝对值相减
第二章 有理数 第1课 有理数的加法(1)
知识点 1 有理数加法法则 (1)同号两数相加，取_相__同__的__符__号___，并把绝对值__相__加__； (2)绝对值不相等的异号两数相加，取__绝__对__值__较__大__的加
数的符号，并用较大的绝对值__减__去__较小的绝对值； (3)一个数同0相加，仍得这个数； (4)互为相反数的两个数相加得__0___. 提示：同号相加取同号；异号相加“大”减“小”，符号跟
D. 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并把
绝对值相加
6.用“＜”或“＞”填空： (1)若a＞0，b＞0，则a＋b__＞_____0； (2)若a＜0，b＜0，则a＋b___＜____0； (3)若a＞0，b＜0，|a|＞|b|，则a＋b__＞_____0； (4)若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则a＋b__＜_____0.
7.【分类讨论】已知|a|＝6，|b|＝3. (1)当a，b同号时，求a＋b的值；
七年级数学有理数的加减法知识讲解和巩固练习
有理数的加减法（提高）【学习目标】1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算；2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化的思想；3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】要点一、有理数的加法1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法．2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤：(1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)．(3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.有理数加法运算律加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b ＝b+a加法结合律文字语言三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变符号语言 (a+b)+c ＝a+(b+c)要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算．（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值．2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：()a b a b -=+-．要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”．如：要点三、有理数加减混合运算将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【典型例题】类型一、有理数的加法运算1．（2015秋•江都市月考）阅读下题的计算方法． 计算．解：原式===0+（﹣） =﹣上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：．【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【答案与解析】解：原式=[（﹣2011）+（﹣）]+[（﹣2010）+（﹣）]+[4022+]+[（﹣1）+（﹣）] =[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）] =0+（﹣） =﹣．【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键． 举一反三：【变式1】计算：(1) -721+1061；(2) (-21)+(-7.3)；(3) 141+(-231)；(4)751+(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式=11112(107)(97)(1)262623+-=-+-=； （2）原式=(0.57.3)7.8-+=-；（3）原式=111(21)13412--=-；（4）原式=7.27.2 3.80 3.8 3.8--=-=-【变式2】计算：11511236⎛⎫-++-⎪⎝⎭【答案】1151151151111(11)1236236236⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-=--++-=-++-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦【变式3】计算：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】解法一：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)(3)(0.3)(8)(6)( 3.3)(6)(16)644⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++++++++++-+-+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦→同号的数一起先加(23.55)(31.55)8=++-=-．解法二：11(6)( 3.3)(3)(6)(0.3)(8)(6)(16)644⎛⎫⎛⎫++++-+++-+++++++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11(6)6[( 3.3)(3)(0.3)][(6)(6)][(16)(8)]44⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++-+-+++++-+++-++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦→同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加000(8)8=+++-=-． 类型二、有理数的减法运算2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3)41373⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数的加法进行计算．【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算．(1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式=411416(3)(3)2733721+-=--=- 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性质符号按多重符号化简进行计算.类型三、有理数的加减混合运算3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；（2）11-12+13-15+16-18+17； （3）1113.7639568 4.7621362--+--+（4）51133.4643.872 1.54 3.376344+---+++ （5）1355354624618-++-； （6）132.2532 1.87584+-+【答案与解析】（1）观察各个加数，可以发现-3.72与3.72互为相反数，把它们分为一组；4.18、-2.93与-1.25的和为0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23（2）把正数和负数分别分为一组．解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12（3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是29，三个分数通分后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组．解：1113.7639568 4.7621362--+--+ 111(3.76 4.76)(521)(3968)362=-+--++-+1(6)2922=-+-+=（4）3.46和1.54的和为整数,把它们分为一组；-3.87与3.37的和为-0.5，把它们分为一组；546与13- 易于通分，把它们分为一组；124-与34同分母，把它们分为一组． 解：51133.464 3.872 1.54 3.376344+---+++5113(3.46 1.54)( 3.87 3.37)(4)(2)6344=++-++-+-+115(0.5)4(1) 4.537.522=+-++-=+=（5）先把整数分离后再分组．解：1355354624618-++- 1355354624618=--++++--1355(3546)()24618=-++-+-++-182********-++-=+2936= 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数都是负数，例如 113322-=--． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组．解：132.2532 1.87584+-+(2.25 2.75)(3.125 1.875)=-++0.55 4.5=-+=【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换.举一反三：【变式】5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]．【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19．类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用4.“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．（1）现有1，2，3，4，5，6，7，8，9共九个数字，请将它们分别填入图1的九个方格中，使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于15；（2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1这九个数字分别填入图2的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案与解析】解：（1）15÷3=5，∴最中间的数是5，其它空格填写如图1；（2）如图2所示．【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键．举一反三：【变式】某产粮专业户出售粮食8袋，每袋重量(单位：千克)如下：197，202，197，203，200，196，201，198．计算出售的粮食总共多少千克?【答案】法一：以200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则这8个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6200×8+(-6)＝1594(千克) 答：出售的粮食共1594千克．法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克) 答：出售的粮食共1594千克．【巩固练习】一、选择题 1.（2015•怀化）某地一天的最高气温是12℃，最低气温是2℃，则该地这天的温差是（ ） A ． ﹣10℃ B ． 10℃ C ． 14℃ D ． ﹣14℃ 2.（2016•仪征市一模）比﹣1小2015的数是（ ） A ．﹣2014 B ．2016 C ．﹣2016 D ．2014 3.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )．A ．两个正数，一个负数B ．两个负数，一个正数C ．三个都是零D ．其中两个数之和等于第三个数的相反数 4. 若0,0a b ><,a b <, 则a 与b 的和是 ( ) A.B.C.D.．5.下列判断正确的是（ ） A ．两数之差一定小于被减数．B ．若两数的差为正数，则两数都为正数．C ．零减去一个数仍得这个数．D ．一个数减去一个负数，差一定大于被减数．6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg ，(25±0.2)kg ，(25±0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ( )A ．0.8kgB ．0.6kgC ．0.5kgD ．0.4kg 二、填空题7.有理数,,a b c 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：（1）｜a ｜______｜b ｜；（2）a ＋b ＋c ______0： （3）a －b ＋c ______0； （4）a ＋c ______b ； （5）c －b ______a ．8.（2015春•广饶县校级月考）小明存折中原有450元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有______元．9. 若a ，b 为整数，且|a-2|+| a -b|＝1，则a+b ＝________．10．某地的冬天，半夜的温度是-5︒C ，早晨的温度是-1︒C ，中午的温度是4︒C.则 (1)早晨的温度比半夜的温度高________度；(2)早晨的温度比中午的温度低________度.11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京时间15：00，那么纽约时间是______________12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理数a 和b ，有a ☆b ＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2的值是 . 三、解答题13.计算题（1）3401(1)(5)|4|77⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；（2）212102133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）4444499999999999999955555++++ （4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100的值．1111244880120++++； （6）2312()()3255---+--+- 14.数轴上到原点的距离小于3的整数的个数为x ，不大于3的正整数的个数为y ，绝对值等于3的整数的个数为z ，求：x+y+z 的值．15.（2016•南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股11.2元买了一批股票，下表为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况 求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数．（2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？ 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌/元 +0.4 +0.45 ﹣0.2 +0.25 ﹣0.4【答案与解析】一、选择题 1. 【答案】B ． 2. 【答案】C【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016，故选C.3. 【答案】D【解析】若0a b c ++=，则a b c +=-或b c a +=-或a c c +=-，所以D 正确. 4．【答案】D 【解析】(a b +)的符号与绝对值较大的b 一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，即有()b a --.5. 【答案】D【解析】A 错误，反例：2-（-3）=5，而5＞2；B 不对，反例：2-（-3）=5，而-3为负数；C 错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数. 6．【答案】B【解析】因为最低重量为24.7kg ，最大重量为25.3kg ，故质量最多相差25.3-24.7＝0.6kg ． 二、填空题7. 【答案】＜，＜，＞，＞，＞【解析】由图可知：b a c >>，且0,0b a c <<>，再根据有理数的加法法则可得答案.8.【答案】340【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）． 9．【答案】2,6,3或5【解析】当|a-2|＝1，| a -b|＝0时，得：a+b ＝6或2；当|a-2|＝0，| a -b|＝1时，得：a+b ＝3或5；10．【答案】(1)4 (2) 5【解析】 (1)-1-（-5）=4 (2) -1-（+4）= -5 11．【答案】2：00【解析】15：00+(-13)=2：00． 12. 【答案】 -1【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1 三、解答题13. 【解析】（1）原式341[15]45(5)1077=--+-++=--= （2）原式212102133434⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21212133434=-++- 2211213213183344⎛⎫⎛⎫=-++-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）原式=1111101001000100005555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦11000005⎡⎤⎛⎫++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦11111(10100100010000100000)55555⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111110(1)111109=+-=．（4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100＝[1+(-2) + (-3)+4]+[5+(-6) + (-7)+8]+…+[97+(-98) + (-99)+100] ＝0+0++…+0＝0． （5）111111111182448801202446688101012++++=++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111*********()()22446688101012221224=-+-+-+-+-=-= （6）原式23122312231283[()][()]32553255325530=------=--------=----=-14.【解析】解：根据数轴，到原点的距离小于3的整数为0，±1，±2，即x=5，不大于3的正整数为1，2，3，即y=3，绝对值等于3的整数为3，﹣3，即z=2，所以x+y+z=10．15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元），则本周星期三收盘时，该只股票每股为11.85元；（2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元），则本周该只股票最高价12.1元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．。
七年级数学有理数的加法
七年级数学有理数的加法有理数是数学中的一类数，包括整数、分数和小数。
在七年级的数学学习中，我们需要学习和掌握有理数的基本运算，其中包括有理数的加法。
本文将介绍七年级数学有理数的加法，并提供一些例题帮助大家更好地理解。
在开始学习有理数的加法之前，我们先回顾一下正数和负数的概念。
正数是大于零的数，负数是小于零的数，0既不是正数也不是负数。
在数轴上，正数位于零的右侧，负数位于零的左侧。
有理数的加法可以分为以下几种情况：1. 正数与正数的加法：当我们要计算两个正数的和时，可以直接将它们的绝对值相加，并保持符号不变。
例如：2 +3 = 52. 负数与负数的加法：当我们要计算两个负数的和时，同样可以直接将它们的绝对值相加，并保持符号为负。
例如：-2 + (-3) = -53. 正数与负数的加法：正数与负数相加时，我们需要做一些额外的计算。
我们可以先将两个数的绝对值相加，然后取结果的绝对值，最后根据两个数的符号决定最终结果的符号。
例如：4 + (-2) = 2-4 + 2 = -2有理数的加法运算也可以用数轴来表示。
比如计算2 + 3，我们可以在数轴上先找到2的位置，然后向右移动3个单位，最后确定结果为5。
同样，对于-2 + (-3)，我们可以在数轴上先找到-2的位置，然后向左移动3个单位，最后确定结果为-5。
现在我们来练习一些有理数的加法题目：例题1：计算下列各题：a) 7 + 4b) -5 + 2c) -3 + (-6)d) -8 + 5解答：a) 7 + 4 = 11b) -5 + 2 = -3c) -3 + (-6) = -9d) -8 + 5 = -3例题2：用数轴表示以下各题：a) 3 + 2b) 5 + (-4)c) -3 + (-2)d) -5 + 6解答：a) 在数轴上找到3的位置，向右移动2个单位，结果为5。
b) 在数轴上找到5的位置，向左移动4个单位，结果为1。
c) 在数轴上找到-3的位置，向左移动2个单位，结果为-5。