全国初中数学竞赛试题及答案79416教案资料
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题[注意：以下是一篇根据给定题目，用试题的格式来写的文章]一、选择题1. 下列数中哪个是质数？A) 10B) 13C) 16D) 202. 解下列方程：4x + 7 = 35A) x = 7B) x = 8C) x = 9D) x = 103. 若a = 3，b = -2，则a + b的值是：A) 1B) 2C) 3D) 4二、填空题1. 两数之和是20，其中一个数比另一个数大6，求这两个数分别是多少？2. 一个圆的半径为4 cm，求其面积和周长各是多少？三、解答题1. 已知三角形ABC中，∠B=90°，AC = 5 cm，BC = 12 cm。
求∠C 的大小。
解：由正弦定理可得：sinC = AC/BCsinC = 5/12C ≈ 24.84°所以，∠C的大小约为24.84°。
2. 两种不同商品A和B的价格分别是x和y，设y = 2x，而买A商品需要支付12元，买B商品需要支付10元。
求x的值。
解：由已知条件可得：y = 2x10 = y + 2将y = 2x代入上式，得到：10 = 2x + 2解方程可得：2x = 8x = 4所以，x的值为4。
四、证明题已知数列1，2，3，4，5...，其中第n个数的值为n。
证明该数列是等差数列。
证明：设数列的通项公式为An = n，其中n为正整数。
首先，计算第n+1个数与第n个数的差：An+1 - An = (n+1) - n = 1由此可见，数列中任意相邻两项之间的差都为1，即存在一个公差为1的等差数列。
所以，数列1，2，3，4，5...是等差数列。
五、应用题小明去果园摘水果，他一共采摘了20个苹果和15个梨。
已知一个苹果的重量是150克，一个梨的重量是200克。
求小明这次采摘的水果的总重量。
解：已知苹果的重量是150克，梨的重量是200克，所以小明采摘的20个苹果的总重量为：20 × 150 = 3000 克小明采摘的15个梨的总重量为：15 × 200 = 3000 克所以，小明这次采摘的水果的总重量是3000克。
全国初中数学竞赛试题参考答案.doc
6. D解：由 可得2011年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1. A解：因为 61=山, Q + 1 = J7, a 2 =6-2a ,所以3a ，+ 12tz — 6a — 12 = 3a(6 — 2a) +12(6 — 2a) — 6a — 12=—6a" — 12a + 60= -6(6-2a)-12a+ 60 = 24.2. B解：(略)3. D解：(略)4. C解：由已知得%2 + 3x +1 = 0,于是x(x + l)(x + 2)(x + 3) - (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2)=(y+3x+i )2—1=—i.5. Bux + vy = u, fu(x-l) + vy = 0, 解：依定义的运算法则，有 , 即,n , 八对任何实数 xa + uy = v, |^v(x-l) + wy =0",V 都成立.由于实数”，V 的任意性，得(X, y ) = (1, 0).x + 2y-5z - 3, x — 2y - z = —5,x = 3z~ 1,< y = z + 2. 于是 x 2 + y 2 + z 2 = 1 lz 2 - 2z + 5 .因此，当z=#时，x 2 + /+?的最小值为普.7. C解：由题设可知y = 于是所以所以4y —1 = 1, 1 9故从而x = 4.于是工+》=@.8. CQ解：两式相加，得3t2 +5t = 8 ,解得£ = 1,或7 =—（舍去）.3当『=1时，A = 45。
，3 = 30。
满足等式，故f = l.所以，实数，的所有可能值的和为1.9. C解：如图，连接庞，设S&DEF=S；，则F夺=*'」从而有S；S3 = S2S4 .因为S[>S；,所以S.S. > S2S4. B 匕二10. A解：当k = 2,3,…，2011,因为] 1 _ 1F ______ 1______ 1-2k（k+\）]< S = 1 H—— + • • • H----- <1 — -------------------- <—23 332011321 2 2011x2012 J 4于是有4<4S<5,故4S的整数部分等于4.二、填空题11.3V〃?W4解：易知x = 2是方程的一个根，设方程的另外两个根为叫，可，则叫+易=4, x t x2 = m .显然x, + x2 = 4 > 2 ,所以国-引<2, △ = 16-4〃z30,即 +扬）2 -4.%工2 < 2 , △ = 16-4/77 30,所以J16 —4”？ < 2 , A = 16 — 4/77 ^0,解之得3V〃?W4.12.解：在36对可能出现的结果中，有4对：（1, 4）, （2, 3）, （2, 3）, （4, 1）的和为5,所以朝上的面两数字之和为5的概率是生=4 36 913. 6 解：如图，设点C 的坐标为（a, b ）,点。
全国初一初中数学竞赛测试带答案解析
全国初一初中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.如果x，y满足2x+3y=15，6x+13y=41，则x+2y的值是。
A．5B．7C．D．9 。
2.-2和2对应的点将数轴分成3段，如果数轴上任意n个不同的点中至少有3个在其中之ㄧ段，那么n的最小值是。
A．5B．6C．7D．8 。
3.满足 || x-1 |-| x ||-| x-1 +| x |=1的x的值是。
A．0B．±C．D．±。
4.乘积为-240的不同五个整数的平均值最大是。
A．B．C．7D．9 。
5.如果x+y+z=a，++=0，那么x2+y2+z2的值为。
6.如图，甲，乙两人分别从A、B两地同时出发去往C地，在距离C地2500米处甲追上乙；若乙提前10分钟出发，则在距离C地1000米处甲追上乙。
已知，乙每分钟走60米，那么甲的速度是每分钟米。
7.在2001、2002、…、2010这10个数中，不能表示成两个平方数差的数有个。
8.如图，某风景区的沿湖公路AB=3千米，BC=4千米，CD=12千米，AD=13千米，其中AB^BC，图中阴影是草地，其余是水面。
那么乘游艇游点C出发，行进速度为每小时11千米，到达对岸AD最少要用小时。
二、解答题用甲乙两种饮料按照x：y(重量比)混合配制成一种新饮料，原来两种饮料成本是：甲每500克5元，乙每500克4元。
现甲成本上升10%，乙下降10%，而新饮料成本恰好保持不变，则x：y= 。
A．4：5B．3：4C．2：3D．1：2 。
三、选择题一个立方体的每一个面都写有一个自然数，并且相对的两个面内的两数之和都相等，下图是这个立方体的平面展开图，若20、0、9的对面分别写的是a、b、c，则a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为。
A．481B．301C．602D．962 。
全国初一初中数学竞赛测试答案及解析一、填空题1.如果x，y满足2x+3y=15，6x+13y=41，则x+2y的值是。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案1.选择题解答1.答案为（B）。
因为根据题意，M>P，所以M与P的大小关系为M>P。
2.答案为（C）。
因为只有图（C）正确地表示了题意，包括沿原路返回的一段路程和消耗的时间。
3.答案为（A）。
根据题意可得甲-乙=5.4.答案为（B）。
在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x=-1+4N，y=-25+5N，其中N是整数。
因为-1+4N>0，-25+5N<=0，所以N=1,2,3,4,5，共有5个点。
5.答案为（B）。
根据题意可得∠ABC=2∠ACB，因此∠BAC=2∠ACB，即∠B=2∠A。
6.答案为（D）。
题目中未给出S和S1的具体数值，因此无法确定它们的大小关系。
首先，文章中存在一些格式错误和重复的段落，需要删除和修改。
修改后的文章如下：一、选择题1、已知，那么x的值为______。
答：1.∵，即。
x=1.2、已知函数，且在区间[0,1]上单调递增，则f(0)与f(1)的大小关系为______。
答：f(0)<f(1)。
因为f(x)单调递增，所以f(0)<f(1)。
3、已知数列的通项公式为，若a1=1，则a4的值为______。
答：16.因为a1=1，所以a4=16.4、已知函数f(x)=x^2+bx+c在区间[0,1]上单调递减，则b 与c的大小关系为______。
答：b1/4.因为f(x)在[0,1]上单调递减，所以b1/4.5、已知数列的前n项和为Sn=n^2+2n，则该数列的通项公式为______。
答：an=n+1.因为Sn=n(n+2)，所以an=Sn-Sn-1=n+1.6、已知S=1+2+3+。
+100，S1=1+3+5+。
+99，则S与S1的大小关系为______。
答：S>S1.因为S=1+2+3+。
+100>1+3+5+。
+99=S1.二、填空题7、已知。
那么x的值为________。
答：1.∵，即。
全国初中数学竞赛试题及答案
20XX 年“TRULY ®信利杯”全国初中数学竞赛试题参考答案与评分标准一、选择题（每小题6分，满分30分）1．D由⎩⎨⎧=-+=--,072,0634z y x z y x 解得⎩⎨⎧==.2,3z y z x 代入即得.2．D因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）.3．C如图所示，∠B +∠BMN +∠E +∠G =360°，∠FNM +∠F +∠A +∠C =360°， 而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G =540°.4．D显然AB 是四条线段中最长的，故AB =9或AB =x 。
（1）若AB =9，当CD =x 时，222)51(9++=x ，53=x ；当CD =5时，222)1(59++=x ，1142-=x ； 当CD =1时，222)5(19++=x ，554-=x .（2）若AB =x ，当CD =9时，222)51(9++=x ，133=x ；当CD =5时，222)91(5++=x ，55=x ；当CD =1时，222)95(1++=x ，197=x .故x 可取值的个数为6个.5．B设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k +1，k +2，…，k +（n －1），由题意可知1002)1(=-+n n kn ，即()[]20012=-+n k n .N MAB CEFG O C DAB因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n <2k +（n －1），且n 与2k +（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n =5或n =8. 当n =5时，k =18；当n =8时，k =9. 共有两种不同方案.6．23-. 4341442141212222--=-+--=---++x x x x x x ＝234)31(32-=-+-。
全国初中数学竞赛历年竞赛试题及参考答案
∴△ ABC∽△ DAC，∠ BAC＝∠ D，∵∠ BAD＝∠ D，∴∠ ABC＝∠ D＋∠ BAD＝2∠D＝
2∠BAC。
6、已知△ ABC的三边长分别为
，面积为 S，△Ａ1B1C1 的三边长分别为
，面积为 S1，且 （ ）。
，则 S 与 S1 的大小关系一定是
（ A） S＞ S1；（ B）S＜S1；（ C） S＝ S1；（ D）不确定。
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恰好将矩形 OABC分成面积相等的两部分，那么 ＝________。
答： 。直线
通过点 D（15，5），故 BD＝1。当
2021年全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会2021年全国初中数学竞赛试题答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交．一、选择题〔共5小题，每题7分，共35分．每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分〕1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，那么222ab bc ca a b c ++++的值为〔 〕．〔A 〕12-〔B 〕0 〔C 〕12〔D 〕12．关于x 的不等式组255332x x x t x +⎧->-⎪⎨+⎪-<⎩，恰有5个整数解，那么t 的取值范围是〔 〕．〔A 〕6-＜t ＜112-〔B 〕6-≤t ＜112-〔C 〕6-＜t ≤112-〔D 〕6-≤t ≤112-3．如图，在Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．假设AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，那么线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为〔 〕．〔A 〕OD 〔B 〕OE 〔C 〕DE〔D 〕AC4．如图，△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，那么图中阴影局部的面积为〔 〕．〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕6〔D 〕85．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*〞为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，那么2013201232****的值为〔 〕． 〔A 〕607967〔B 〕1821967〔C 〕5463967〔D 〕16389967二、填空题〔共5小题，每题7分，共35分〕6．设33a =，b 是a 的小数局部，c 是2a 的小数局部，那么(4)b b c ++的值为 ．7．一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1，2，3，4，5，6．掷这个正方体三次，那么其朝上的面的数和为3的倍数的概率是 ．8．正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，那么abc 的最大值为 ．9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，那么所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．10．444444222222121231991001121231991001++++++++++-+-+-…的值为 ．三、解答题〔共4题，每题20分，共80分〕11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC ∠CBE．12．设△ABC的外心、垂心分别为O H、，假设B C H O、、、共圆，对于所有的△ABC，求BAC∠所有可能的度数．13．如图，设点D 在△ABC 外接圆上，且为BC 的中点，点X 在BD 上，E 是AX 的中点，过△ABC 的内心I 作直线R T 平行于DE ，分别与BC ，AX 交于点R ，T ，设直线DR 与ET 交于点S ．证明：点S 在△ABC 的外接圆上．14．假如将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数〞〔例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数〕．求正整数n 的最小值，使得存在互不一样的正整数12n a a a ，，…，，满足对任意一个正整数m ，在12n a a a ，，…，中都至少有一个为m 的魔术数．中国教育学会中学数学教学专业委员会2021年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1．A解：由得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++． 2．C解：根据题设知不等式组有解，解得，32t -＜x ＜20．由于不等式组恰有5个整数解，这5个整数解只能为15，16，17，18，19，因此14≤32t -＜15，解得6-＜t ≤112-． 3．D解：因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC =，·DC DODE OC=都是有理数，而AC＝·AD AB 不一定是有理数． 4．C解：因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC ．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ，因此原来阴影局部的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影局部的面积为6．5．C解：设201320124m ***=，那么()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．二、填空题 6．2解：由于2123a a <<<<，故1=-b a ，22=-c a ．所以223(4)(1)(124)(1)(1)12b b c a a a a a a a ++=--+-+=-++=-=．7．13解：掷三次正方体，朝上的面的数和为3的倍数的是3，6，9，12，15，18，且3＝1＋1＋1，6＝1＋1＋4＝1＋2＋3＝2＋2＋2，9＝1＋2＋6＝1＋3＋5＝1＋4＋4＝2＋2＋5＝2＋3＋4＝3＋3＋3， 12＝1＋5＋6＝2＋4＋6＝2＋5＋5＝3＋3＋6＝3＋4＋5＝4＋4＋4， 15＝3＋6＋6＝4＋5＋6＝5＋5＋5， 18＝6＋6＋6．记掷三次正方体面朝上的数分别为x ，y ，z ．那么使x ＋y ＋z 为3的倍数的〔x ，y ，z 〕中，3个数都不相等的有8组，恰有两个相等的有6组，3个数都相等的有6组．故所求概率为83263616663⨯⨯+⨯+=⨯⨯．8．2013解：由2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．假设1a =，那么()2859b -=，无正整数解； 假设2a =，那么()2840b -=，无正整数解；假设3a =，那么()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． 〔i 〕假设11b =，那么61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； 〔ii 〕假设5b =，那么13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．9．(1212)，，，--，(00)，，，-t t 〔t 为任意实数〕 解：由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b 由上式，可知b a c d =--=． 假设0b d =≠，那么1==d a b ，1==bc d ，进而2b d a c ==--=-．假设0b d ==，那么c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t 〔t 为任意实数〕． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t 〔t 为任意实数〕满足条件． 10解：设0k >，那么=11111(1)1k k k k ⎡⎤⎫=+=+-⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦． 上式对1=k ，2，…，99求和，得原式11991100100100⎫⎫=+-=-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题11．解：将0x =分别代入y =113x -+，23y ax bx =+-知，D (0，1)，C (0，3-)，所以B (3，0)，A (1-，0)．直线y =113x -+过点B ．将点C (0，3-)的坐标代入y =(1)(3)a x x +-，得1a =．…………5分抛物线223y x x =--的顶点为E (1，4-)．于是由勾股定理得BC ＝32，CE ＝2，BE ＝25． 因为BC 2＋CE 2＝BE 2，所以，△BCE 为直角三角形，90BCE ∠=︒．…………10分因此tan CBE ∠=CE CB =13．又tan ∠DBO =13OD OB =，那么∠DBO ＝CBE ∠． 所以，45DBC CBE DBC DBO OBC ∠-∠=∠-∠=∠=︒．…………20分12．解：分三种情况讨论． 〔i 〕假设△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．…………5分〔ii 〕假设△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠>︒，因为2BHC A BOC A ∠=∠∠=∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得3180A ∠=︒，于是60A ∠=︒．…………15分〔iii 〕假设△ABC 为直角三角形．当90A ∠=︒时，因为O 为边BC 的中点，B C H O ，，，不可能共圆，所以A ∠不可能等于90︒；当90A ∠<︒时，不妨假设90B ∠=︒，此时点B 与H 重合，于是总有B C H O ，，，共圆，因此A ∠可以是满足090A ︒<∠<︒的所有角．综上可得，A ∠所有可能取到的度数为所有锐角及120︒．…………20分13．证明：如图，设DR 与△ABC 的外接圆交于点S '，AX 与S E '交于点T '，连接S C CD S A AE AD ''，，，，．由D 为BC 的中点知，A ，I ，D 三点共线，且∠CS D '=∠RCD ，△S CD '∽△CRD ，所以S D CDCD RD'=， ① 即2CD S D RD '=⋅． ②…………5分由E 为AX 的中点知，∠AS E '=∠T AE '，△AS E '∽△T AE '，所以S E AEAE T E'='， ③ 即2AE S E T E ''=⋅． ④由IR ∥DE ，知180IRD S'DE S'AE ∠=︒-∠=∠．又因为IDR S DA S EA ''∠=∠=∠，所以△IRD ∽△S AE '，那么有ID S ERD AE'=． ⑤ …………10分由I 为△ABC 的内心，连接CI ，由CID CAI ACI DCB BCI ICD ∠=∠+∠=∠+∠=∠知ID CD =．由式①，⑤，得S D S ECD AE''=， 即S D CDS E AE'='． ⑥ 由式②，④，得22CD S D RDAE S E T E'⋅=''⋅． ⑦ 由式⑥，⑦得S D RDS E T E'=''， …………15分于是RT '∥DE ．又RT ∥DE ，故点T '与T 重合，即点S '在直线ET 上．从而，点S '与S 重合，即点S 在△ABC 的外接圆上．…………20分14．解：假设n ≤6，取m =1，2，…，7，根据抽屉原理知，必有12na a a ，，…，中的一个正整数M 是(1i j ，≤i ＜j ≤7)的公共的魔术数，即7|(10M i +)，7|(10M j +)．那么有7|(j i -)，但0＜j i -≤6，矛盾．故n ≥7．…………10分又当12n a a a ，，…，为1，2，…，7时，对任意一个正整数m ，设其为k 位数〔k 为正整数〕．那么10k i m +〔12i =，，…，7〕被7除的余数两两不同．假设不然，存在正整数i ，(1j ≤i ＜j ≤7)，满足7|[(10)(10)]k k j m i m +-+，即7|10()k j i -，从而7|()j i -，矛盾．故必存在一个正整数i (1≤i ≤7)，使得7|(10)k i m +，即i 为m 的魔术数． 所以，n 的最小值为7．…………20分。
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全国初中数学竞赛试题及答案79416 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式
22||()||aabcabc
可以化简为（ ）．
（A）2ca （B）22ab （C）a （D）a 1（乙）．如果22a，那么11123a
的值为（ ）．
（A）2 （B）2 （C）2 （D）22 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =x
b（b ≠0 ）的图象有两个
交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）． （A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 2（乙）． 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，
y）的个数为（ ）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果ab，为给定的实数，且1ab，那么1121aabab，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）214a （C）12 （D）14 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30ADC，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（ ）． 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 （A）23 （B）4 （C）52 （D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）． （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4（乙）．如果关于x的方程 20xpxqpq（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的个数是（ ）． （A） 5 （B） 6 （C） 7 （D） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123pppp，，，，则0123pppp，，，中最大的是（ ）．
（A）0p （B）1p （C）2p （D）3p
5（乙）．黑板上写有111123100L， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数ab，，然后删去ab，，并在黑板上写上数abab，则经过99次操作后，黑板上剩下的数是（ ）． （A）2012 （B）101 （C）100 （D）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：
程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 . 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 OABC
E
D
6（乙）.如果a，b，c是正数，且满足9abc，111109abbcca，那么
abcbccaab的值为 ．
7（甲）．如图，正方形ABCD的边长为215， E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB 分别交于点M，N，则△DMN的面积是 . 7（乙）.如图所示，点A在半径为20的圆O上，以OA为一条对角线作矩形OBAC，设直线BC交圆O于D、E两点，若12OC，则线段CE、BD的长度差是 。
8（甲）. 如果关于x的方程x2+kx+43k2－3k+92= 0的两个实数根分别为1x，2x，那么
20122
20111x
x 的值为 ．
8（乙）．设n为整数，且1≤n≤2012. 若22(3)(3)nnnn能被5整除，则所有n的个数为 . 9（甲）. 2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 . 9（乙）．如果正数x，y，z可以是一个三角形的三边长，那么称xyz（，，）是三角形数．若abc（，，）和111abc（，，）均为三角形数，且a≤b≤c，则ac的取值范围是 . 10（甲）如图，四边形ABCD内接于⊙O， AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD， 交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线 交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 xyOECABD
长为 . 10（乙）．已知n是偶数，且1≤n≤100．若有唯一的正整数对ab（，）使得22abn成立，则这样的n的个数为 ． 三、解答题（共4题，每题15分，共60分） 11（甲）．已知二次函数232yxmxm（），当13x时，恒有0y；关于x的方程2320xmxm（）的两个实数根的倒数和小于910．求m的取值范
围． 11（乙）. 如图所示，在直角坐标系xOy中，点A在y轴负半轴上，点B、C分别在x轴正、负半轴上，48,,sin5AOABACC
。点D在线段AB上，连结CD交y轴于点E，且
COEADESS。试求图像经过B、C、E三点的二次函数的解析式。
12（甲）. 如图，⊙O的直径为AB，1Oe过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与1Oe交于点D，且ODCD．点E在OD上，且DCDE，BE的延
长线与1Oe交于点F，求证：△BOC∽△1DOF． 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 12（乙）．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，AC，BD是它的对角线，AC的中点I是△ABD的内心. 求证： （1）OI是△IBD的外接圆的切线； （2）AB+AD = 2BD.
13（甲）. 已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a2012时，求a的最小值.
13（乙）．给定一个正整数n，凸n边形中最多有多少个内角等于150？并说明理由． 精品文档
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 14（甲）. 求所有正整数n，使得存在正整数122012xxxL，， ，，满足122012xxxL，且122012122012nxxxL. 14（乙）．将2，3，…，n（n≥2）任意分成两组，如果总可以在其中一组中找到数abc，， （可以相同），使得
b
ac，求n的最小值．
参考解答 一、选择题 1(甲) .C 解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知 精品文档 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 0bac，且bc，
所以 22||()||()()()aabcabcaabcabc
a．
1（乙）．B
解：1111111122122312a
11121221
．
2（甲）．D 解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）. 2（乙）．B 解：由题设x2＋y2≤2x＋2y， 得0≤22(1)(1)xy≤2. 因为xy，均为整数，所以有 22(1)0(1)0xy，； 22(1)0(1)1xy，； 22(1)1(1)0xy，； 22(1)1(1)1.xy，
解得 11xy，； 12xy，； 10xy，； 01xy，； 00xy，； 02xy，； 21xy，； 20xy，； 22.xy，
以上共计9对xy（，）. 3（甲）．D 解：由题设知，1112aabab，所以这四个数据的平均数为 1(1)(1)(2)34244aababab，
中位数为 (1)(1)44224aabab，
于是 4423421444abab.
3（乙）．B