华罗庚学校数学教材(五年级下)第05讲 同余的概念和性质

本系列共15讲

第五讲同余的概念和性质

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你会解答下面的问题吗？

问题1：今天是星期日，再过15天就是“六·一”儿童节了，问“六·一”儿童节是星期几？

这个问题并不难答，因为，一个星期有7天，而15÷7=2…1，即15=7×2＋1，所以“六·一”儿童节是星期一。

问题2：1993年的元旦是星期五，1994年的元旦是星期几？

这个问题也难不倒我们。因为，1993年有365天，而365=7×52＋1，所以，1994年的元旦应该是星期六。

问题1、2的实质是求用7去除一总的天数后所得的余数。在日常生活中，时常要注意两个整数用某一固定的自然数去除，所得的余数问题。这样就产生了“同余”的概念。如问题1、2中的15与365除以7后，余数都是1，那么我们就说15与365对于模7同余。

余同定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b(mod m)(*)

上式可读作：

a同余于b，模m。

同余式(*)意味着（我们假设a≥b）:

a－b=mk，k是整数，即m︱(a－b).

例如：①15≡365（mod7），因为365－15=350=7×50。

②56≡20（mod9），因为56－20=36=9×4。

③90≡0（mod10），因为90－0=90=10×9。

由例③我们得到启发，a可被m整除，可用同余式表示为：a≡0(mod m).

例如，表示a是一个偶数，可以写a≡0(mod2)

表示b是一个奇数，可以写b≡1(mod2)

补充定义：若m不能整除（a－b），就说a、b对模m不同余，用式子表示是：

a b(mod m)

我们书写同余式的方式，使我们想起等式，而事实上，同余式与等式在其性质上相似。同余式有如下一些性质（其中a、b、c、d 是整数，而m是自然数）。

性质1：a≡a(mod m)，（反身性）

这个性质很显然，因为a－a=0=m·0.

性质2：若a≡b(mod m)，那么b≡a(mod m)，（对称性）。

性质3：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么a≡c(mod m)，（传递性）。

性质4：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么a±c≡b±d(mod m)，（可加减性）。

性质5：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，那么ac≡bd(mod m)，（可乘性）。

性质6：若a≡b(mod m)，那么a n≡b n(mod m)，（其中n为非0自然数）。

性质7：若ac≡bc(mod m)，(c，m)=1，那么a≡b(mod m)。

注意：同余式性质7的条件(c，m)=1，否则像普通等式一样，两边约去，就是错的。

例如6≡10(mod4)，而35(mod4)，因为（2，4）≠1。

请你自己举些例子验证上面的性质。

同余是研究自然数的性质的基本概念，是可除性的符号语言。

例1判定288和214对于模37是否同余，74与20呢？

解：∵288-214=74=37×2，∴288≡214（mod37）.

∵74-20=54，而3754，∴7420(mod37).

例2求乘积418×814×1616除以13所得的余数。

若先求乘积，再求余数，计算量太大。利用同余的性质可以使“大数化小”，减少计算量。

解：∵418≡2（mod13），814≡8(mod13)，1616≡4(mod13),∴根据同余的性质5可得：

418×814×1616≡2×8×4≡64≡12(mod13).

答：乘积418×814×1616除以13余数是12。

例3求14389除以7的余数。

分析同余的性质能使“大数化小”，凡求大数的余数问题首先考虑用同余的性质化大为小。这道题先把底数在同余意义下变小，然后从低次幂入手，重复平方，找找有什么规律。

解法1：∵143≡3(mod7)，∴14389≡389(mod7).

∵89=64＋16＋8＋1，

而32≡2(mod7)

34≡4(mod7)

38≡16≡2(mod7)

316≡4(mod7),

332≡16≡2(mod7),

364≡4(mod7).

∵389≡364·316·38·3≡4×4×2×3≡5(mod7),

∴14389≡5(mod7).

答：14389除以7的余数是5。

解法2：证得14389≡389(mod7)后，

36≡32×34≡2×4≡1(mod7),

∴384≡(36)14≡1(mod7),

∴389≡384·34·3≡1×4×3≡5(mod7).

∴14389≡5(mod7).

例4四盏灯如图所示组成舞台彩灯，且每30秒钟灯的颜色改变一次，第一次上下两灯互换颜色，第二次左右两灯互换颜色，第三次又上下两灯互换颜色，…，这样一直进行下去。请问开灯1小时四盏灯的颜色如何排列？

分析与解答经观察试验我们可以发现，每经过4次互换，四盏灯的颜色排列重复一次。而1小时=60分钟=120×30秒，所以这道题实质是求120除以4的余数。因为120≡0（mod4），所以开灯1小时四盏灯的颜色排列刚好同一开始一样。

例5设自然数，其中、、、…、分别110...n n N a a a a −=0a 1a 2a n a 是个位、十位、…上的数码，再设，求证：

01...n M a a a =+++N≡M(mod 9).

证明：∵110

...n n N a a a a −==110

1000(0)1000(10)10(10)n n a n a n a a −×⋅⋅⋅+×⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+×+个个个=1110

101010n n n n a a a a −−×+×+⋅⋅⋅+×+又∵1≡1(mod 9),

10≡1(mod 9),

102≡1(mod 9),

…

10n ≡1(mod 9).

上面这些同余式两边分别同乘以、、、…、，再相加

0a 1a 2a n a 得：

2012101010n

n a a a a +×+×+⋅⋅⋅+×≡(mod 9)，

01...n a a a +++即N≡M(mod 9).

这道例题证明了十进制数的一个特有的性质：

任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和。