一类具周期裂解免疫反应的HIV感染模型正周期解的存在性
一类具季节性时变参数和周期时滞的浮游植物-浮游动物模型的正周期解
一类具季节性时变参数和周期时滞的浮游植物-浮游动物模型的正周期解刘华祥;曾广洪【摘要】提出了一类具季节性时变参数和周期时滞的有3种浮游生物种群组成的动力学模型，包括无毒浮游植物(NTP)、有毒浮游植物(TPP)和浮游动物(Z)，并研究了该系统的正周期解的存在性。
通过运用叠合度理论中的延拓定理，建立了保证该系统至少存在1个正周期解的充分条件，所得结果适用于相应的无时滞和离散时滞系统。
【期刊名称】《江西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(000)005【总页数】6页(P506-511)【关键词】浮游植物-浮游动物;时滞;正周期解;叠合度的延拓定理;拓扑度【作者】刘华祥;曾广洪【作者单位】广东海洋大学理学院数学系, 广东湛江 524088;江西师范大学数学与信息科学学院, 江西南昌330022【正文语种】中文【中图分类】O290 引言海洋中的浮游植物群落的一个特征是生物种群有时会呈激速增长或爆发的趋势, 也就是发生所谓的水华现象. 由于生物量的高度聚集, 或者由于毒性的存在, 水华中有一些被称之为“有害水华”, 它们不仅对海洋生态系统或人类健康产生危害, 而且可能危及海洋生态资源, 对社会经济造成极大损害.因此, 防止有害藻华, 维持浮游动植物种群的共存,是关乎水生生态环境保护、海洋资源开发利用以及人类健康的重要问题.近年来, 利用生态数学模型研究浮游植物群落巨大波动的机理成为生物数学的一个重要课题. Maynard Smith和J. Chattopadhyay基于2种群Lotka-Volterra竞争系统, 通过假设每一种群会产生对另一个种群生存有抑制作用的物质(以下称植化相克物质), 而提出了一个修改的2种群Lotka-Volterra 竞争系统[1-2]. A. Mukhopadhyay等提出了时滞Lotka-Volterra系统[3]. P.K.Tapaswi等提出了带随机扰动项的Lotka- Volterra系统[4]. 宋新宇等提出了具季节性时变参数的浮游生物植化相克时滞微分方程模型[5]. 然而这些研究大都只涉及2种浮游植物种群的相互作用. 事实上,水生环境中, 浮游生物包括两大类别, 即浮游植物和浮游动物, 在考虑水生环境的生态状况时, 对浮游动物与浮游植物之间的相互作用是不容忽视的.现有的研究已经发现, 水生系统中存在着有毒浮游植物、无毒浮游植物和浮游动物之间的作用, 所以利用3种群的捕食-被捕食模型来研究浮游动物与浮游植物之间的相互作用更为合理. J.Chattopadhyay等研究了浮游植物-浮游动物的相互作用[6]. S. Pal等结合现场的调查研究, 对J. Chattopadhyay等提出的模型进行了推广, 提出并研究了如下模型[7] :其中P1( t)、P2( t)和Z( t)分别为无毒浮游植物(NTP)、产毒浮游植物(TPP)和浮游动物(Z)种群在时刻t的密度, r和s分别是无毒浮游植物和产毒浮游植物的增长率, μ为浮游动物的死亡率, α和β为浮游植物种间竞争系数, K1和K2为无毒浮游植物和有毒浮游植物的承载量, 1α和2α是浮游动物分别对无毒浮游植物和有毒浮游植物的攻击率,1α′和2α′分别是无毒浮游植物和有毒浮游植物转换为浮游动物生物量的转换效率, 功能反应为Beddington 型函数f( P1, P2, Z)=Z/(1+β1P 1+β2P 2).然而, 现有的研究已经表明, TPP种群释放化学毒素是有条件的, 即只有在其周围存在浓度较高的浮游动物种群时才释放化学毒素, 而且毒素物质使得摄食强度减少的效果并不是即时的, 而是有一个时间延迟, 同时, 有毒和无毒浮游植物之间的竞争不仅存在, 而且也存在植化相克物质的释放且其效果也是有延迟的. 另一方面, 按照Berryman的观点,捕食者平均增长率不只是与被捕食者密度有关, 还应与捕食者密度有关, 据此R. Arditi等提出了比率依赖的功能反应[8]. 另外, 生态系统中环境的周期性变化(如季节性变化、食物供给、群居习性等)对于种群的生存与发展是一个现实的因素, 因而不可忽视. 根据这些考虑, 本文在上述模型中将捕食者功能反应取为比率依赖的功能反应, 并加入与水生环境更为贴近的2个因素: 周期性的时变环境; 竞争的浮游植物种群产生的植化相克物质以及产生对浮游动物的摄食有抑制作用的毒素都不是即时的, 而是需要一定的时间延迟, 因此假设系统中的相关系数和时滞是连续可微的ω周期函数, 从而提出下述模型其中r( t), s( t), α(t), β(t), αi(t ), , τi(t )∈C(R,[0,∞))都是正的ω-周期函数, βi是正常数(i=1,2). 考虑到系统(1)的生物意义,假定系统(1)初始条件为而x2,x3):xi≥0,i=1,2,3},同时定义xi＞0,i=1,2,3}.对于正的连续ω周期函数f引入记号:周期环境中多种群相互共存以及在某些情况下不同种群的消长总是一个自然现象,而浮游生物种群的激速增长导致的水华现象是这种自然现象中更值得关注的问题. 因此, 本文主要研究满足初始条件(2)的系统(1)的非常数周期解的存在性.1 记号和引理本节介绍本研究中将要用到的关于叠合度的概念和有关结果[5,9-10].设X,Z都是赋范线性空间,L: DomL⊂X→Z是线性映射, N:X→Z为连续映射. 若dimKerL=codimImL ＜+∞, 且ImL在Z中闭, 则称线性映射是指标为0的Fredholm映射. 若L是指标为0的Fredholm映射, 则存在连续投影P:X→X, Q：Z→Z使得ImP=KerL, KerQ=ImL=Im(I−Q).由此可知,L|DomL∩KerP :(I−P)X→ImL可逆, 用KP表示这个映射的逆.设Ω是X的有界开子集, 若QN(Ω)有界, 且KP(I−Q) N :Ω→X是紧映射, 则称映射N在Ω上是L-紧的. 因ImQ与KerL同构, 所以存在同构映射J:ImQ→KerL.引理1(延拓定理) 设L是指标为0的Fredholm映射, N在Ω上是L-紧的, 如果(i) 对每个β∈(0,1), Lx=βNx的解x满足x∉∂Ω;(ii) 对每个x∈∂Ω∩K, QNx≠0, 且deg{JQN, Ω∩KerL,0}≠0, 则方程Lx=Nx在DomL∩中至少有1个解.引理2 关于系统(1)是正不变的.2 非平凡周期解的存在性本节利用延拓定理研究系统(1)存在非平凡正周期解的条件.定理1 假设条件成立, 则满足初始条件(2)的系统(1)至少存在1个正ω周期解.证由引理2知, 满足初始条件(2)的系统(1)的解对所有t≥0都为正, 故可令ui (t)=ln(Pi( t )), i=1,2, u3(t)=ln(Z( t)), 则系统(1)变成其中容易看出, 如果系统(3)有1个ω周期解则是系统(1)的1个周期解, 因此, 为了完成定理1的证明, 只须证明系统(3)至少有1个ω周期解. 取则X和Z依范数||u(t)||=||(u(t), u(t),u(t ))T ||=123都是Banach空间. 记DomL={(u1(t),并分别取L:DomL∩ X→X, N:X→X, P: X→X, Q: Y→Y如下:则有且易知ImL在Z中是闭的, 并且有dimKerL=3= codimImL, 因此L是指标为0的Fredholm 算子.容易看出, P和Q都是连续投影, 且使得因此, LP的嵌入KP: ImL→KerP∩DomL存在, 且于是显然, QN和KP(I−Q) N都是连续的. 于是对于X中的任何有界开集Ω, 应用Arzela-Ascoli定理,容易证明是紧致集,QN(是有界集.因此, N在上是L-紧的.下面寻找一个合适的开有界集Ω, 以便能利用引理1完成定理1的证明.对应于算子方程Lu=λNu, λ∈(0,1), 有设u=u( t)∈X 是方程组(4)在λ∈(0,1)取某一定值时的解, 在区间[0,ω]上对(4)式进行积分, 并注意到于是得到从而由(4)式和(5)式可得因为u(t)=(u(t), u(t), u( t))T ∈X , 所以∃ξ,η∈123ii [0,ω], i=1,2,3, 使得由(5)式可得利用这2个不等式, 可得由此, 又利用(5)式中的第3式可得所以这样就有另一方面, 由(5)式中的第1式和(6)式中的第2式可得因为条件(H1)成立, 故由此可解得同理可得利用积分中值定理可知, ∃∈[0,ω], 使得由(5)中的第3式及(6)式可得由此又可得利用上述所得结果又可得下述不等式组令,则由(6)式及(7)式可知i=1,2,3. 显然Bi(i=1,2,3)都不依赖于λ, 且对于(4)式的解u=u(t)∈X有||u(t)||≤B1+B2+B3＜R1.又若3元常数组(u1,u2,u3)T满足下列方程组由(8)式并结合前面的计算结果, 有再利用条件(H1), 从(9)式可解得又显然有由此及(10)式有据(11)式就有综上可知, 若取则引理1的条件(i)得到满足. 又当u(t)∈∂Ω∩KerL=∂Ω∩R3时, u(t)=(u1,u2,u3)T 是R3中的实向量, 且它满足|u1|+|u2|+|u3|=R1+R2, 对这样的实向量有这证明引理1中条件(ii)也得到满足.为了验证引理1中的条件(iii), 定义同伦映射G:DomL∩KerL×[0,1]→X为当时, 易知事实上, 若不然, 则由G(u1,u2,u3,λ)=(0,0,0)T易知,u=(u1,u2,u3)T满足(9)～(11)式, 从而有||u ||＜R1+R2, 矛盾. 因此, 有于是, 由拓扑度的同伦不变性定理可得由条件(H1)和(H2), 下面的代数方程组有唯一解其中因此有至此, 已经证明Ω满足引理1中的所有条件,因此, 系统(3)至少有1个ω周期解, 从而系统(1)至少有1个正ω周期解.推论1 定理1对系统(1)在具有离散时滞或无时滞时仍成立.3 结束语本文对J. Chattopadhyay等提出的模型进行了有实际意义的推广, 提出了有3种浮游生物种群组成的动力学模型, 包括无毒浮游植物(NTP)、有毒浮游植物(TPP)和浮游动物(Z). 通过应用Gaines和Mawhin的延拓定理, 建立了保证系统(1)至少存在1个正周期解的条件, 这组条件不仅便于验证, 而且揭示了系统中的浮游植物-浮游动物在相互作用中维持营养动力学的动态平衡达到所有物种呈周期性消长的各系数函数之间的制约关系. 本文的研究结果显示, 海洋浮游生物种群之间的共存是动态的, 当相互之间的消长作用达到一定的条件时, 种群的密度会呈现周期性的变化, 而这正好说明了在种群发展的某些时期, 在一定的条件下, 某个种群的密度发生激速增长从而导致水华现象的出现是一种必然.4 参考文献【相关文献】[1] Maynard-Smith J. Models in ecology [M]. Cambridge: Cambridge University, 1974.[2] Chattopadhyay J. Effect of toxic substances on a two-species competitive system [J]. Ecological Modelling, 1996, 84(1/2/3): 287-289.[3] Mukhopadhyay A, Chattopadhyay J, Tapaswi P K. A delay differential equations model of plankton allelopathy [J]. Math Biosci, 1998, 149(2): 167-189.[4] Tapaswi P K, Mukhopadhyay A. Effects of environmental fluctuation on plankton allelopathy [J]. J Math Biol, 1999, 39(1): 39-58.[5] 宋新宇, 陈兰荪. 一类浮游生物植化相克时滞微分方程的周期解 [J]. 数学物理学报, 2003, 23A (1): 8- 13.[6] Chattopadhyay J, Sarkar R R, Pal S. Mathematical modelling of harmful algal blooms supported by experimental findings [J]. Ecol Comp, 2004, 1(3): 225–235.[7] Pal S, Samrat Chatterjee, Krishna Pada Das, et al. Role of competition in phytoplankton population for the occurrence and control of plankton bloom in the presence of environmental fluctuations [J]. Ecological Modeling, 2009, 220(2): 96-110.[8] Arditi R, Ginzburg L R. Coupling in predator-prey dynamics: Ration-dependence [J]. J Theor Biol, 1989, 139(3): 311-326.[9] Gaines R E, Mawhin J L. Coincidence degree and nonlinear differential equations [M]. Berlin, New York: Springer, 1977.[10] 向昭红. 一类食物链条系统的正周期解 [J]. 江西师范大学学报: 自然科学版, 2001, 25(4): 342-347.。
一类非线性脉冲免疫接种 SIR 传染病模型的周期解与分支
一类非线性脉冲免疫接种 SIR 传染病模型的周期解与分支赵文才;刘雨林【摘要】Due to limited medical resources,vaccine immunization rates are not often constant.To adapt nonlinear pulse vaccination function,an SIR epidemic model with lifelong immunity and pulse vaccination is stablished.By using stroboscopic map and fixed point of difference equations,the existence of disease free periodic solution in the model is discussed.The global asymptotically stability of disease free periodic solution is proved by applying Floquet multiplier theory and differential pulse comparison theorem.By choosing the pulse vaccination period as a bifurcation parameter,a sufficient condition under which the system has a positive periodic solution is obtained by using the bifurcation theorem.%由于受到医疗资源的限制，疫苗的免疫接种率一般不是常数。
采用非线性脉冲免疫接种函数，建立了一类具有终身免疫的脉冲预防接种 SIR 模型，利用频闪映射及差分方程的不动点，讨论了模型无病周期解的存在性；运用 Floquet 乘子理论和脉冲微分方程比较定理，证明了模型无病周期解的全局渐近稳定性；选取脉冲免疫接种周期为分支参数，利用分支定理，给出了系统存在正周期解的充分条件。
一类随机SWEIA艾滋病毒传播模型的动力学分析
一类随机SWEIA艾滋病毒传播模型的动力学分析
马怡婷;张太雷;邓金超
【期刊名称】《河南师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(52)2
【摘要】研究了一类具有随机效应的SWEIA艾滋病毒传播模型.首先,通过构造Lyapunov函数证明了确定性模型平衡点的全局渐近稳定性,利用停顿理论等方法证明了随机模型正解的全局存在唯一性与有界性;其次,分析了随机模型的解在相应确定性模型的无病平衡点与地方病平衡点附近的震荡行为,并得到了随机模型解的平均持续与灭绝性的充分条件;最后,通过数值模拟进一步显示了模型的动力学行为.【总页数】10页(P41-50)
【作者】马怡婷;张太雷;邓金超
【作者单位】长安大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.一类随机细粒棘球蚴病传播动力学模型的研究
2.一类具有随机扰动的谣言传播模型的动力学行为分析
3.一类具有Holling-Ⅱ功能型反应的随机捕食与被捕食模型的动力学行为分析
4.一类带Lévy跳的随机SEIQR传染病模型动力学分析
5.一类随机SICR丙肝模型的动力学分析
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离散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性
离散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性
离散Lotka-Volterra偏害模型周期正解的存在性
陈凤德,张茂石,韩荣玉
【摘要】摘要:研究了一类非自治离散Lotka-Volterra偏害模型,借助重合度理论得到了一组保证系统存在周期正解的充分性条件.
【期刊名称】沈阳大学学报
【年(卷),期】2015(027)003
【总页数】4
【关键词】关键词:偏害作用; 重合度; 周期正解
1 预备知识
本文恒设Z,Z+,Z-,R,R+分别表示所有的整数、非负整数、负整数、实数、非负实数的集合. 设{g(k)}为定义在k∈Z的ω-周期实数序列,定义
自然界中物种间的关系主要有捕食-食饵、竞争、合作、寄生4种类型[1-3], 然而除了这些主要的种间关系外, 两个种群间也存在这样一种关系:一种生物对另一种产生抑制、伤害作用,甚至杀死对方,但本身却不从中直接得到益处或害处, 称其为偏害关系. 例如跳蚤生活在狗背上,蛲虫生活在儿童的肠道中,这些都属于偏害共生. 孙广才[4]提出了如下两种群偏害关系模型:
借助特征根分析的方法研究了系统(1)的各个平衡点的局部稳定性问题.式中,ri,ki(i=1,2)均为正常数. 祝占法、陈巧灵[5]在文献[4]的基础上提出了如下两种群偏害关系模型:
借助向量场分析的方法研究了系统(2)的轨线走向问题.式中,x≥0,y≥0,a1>0,a2>0,b1<0,c1<0,c2<0均为常数. 最近,韩荣玉等[6]认为生态系统是随着季节变化而变化的,故需要考虑时变的非自治系统,他们提出了如下。
一类具有相互干扰和脉冲效应系统正周期解的存在性
一
、
介 绍
是 脉 冲微 分方 程 ，本 文 考虑 如下 具有 相互 干扰 和
脉 冲效 应 系统 正周 期解 的存 在性 ，相关研 究 成果 见 文 献 一 ］对 于 脉 冲微 分 方 程 的理 论 参 考 了文 ５，
献 ［— 】 ６７。
文献 ［ｌ １ｒ ￣研究 了如下 系统 的一 些 动力 学行 为
２１ ０ ０年 ８月 第 ２期
兴 义 民族 师 范学 院学 报
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Ａｕ ． ２０１ ｇ ０ Ｎｏ２ ．
一
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一类具有年龄结构的接种和垂直传染的SEI流行病模型平衡解的存在性
一类具有年龄结构的接种和垂直传染的SEI流行病模型平衡解的存在性王丰;白江红;闫萍【摘要】本文讨论了一类具有年龄结构且带有接种和垂直传染的SEI流行病模型,通过归一化变换后,讨论其平衡解的存在性.结果表明,当R0＜1时,系统仅存在无病平衡解;当R0＞1时,系统不仅存在无病平衡解还存在唯一地方病平衡解.【期刊名称】《山西师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(028)001【总页数】5页(P18-22)【关键词】年龄结构;垂直传染;接种;SEI流行病【作者】王丰;白江红;闫萍【作者单位】新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046;安徽农业大学理学院,安徽合肥230036【正文语种】中文【中图分类】O175.120 引言近年来, 新型病毒不断变异和蔓延, 给人们的生活带来严重威胁. 因此, 研究某种流行病在某一地区是否会蔓延下去并成为该地区的地方病, 或最终消除, 对这种流行病的预防、治疗、控制具有重要的理论和现实意义.疾病的垂直传染是指染病的父母通过遗传将疾病带给他们的子女, 这种疾病的传播方式在维持疾病的延续中起着重要的作用，而且许多流行病都具有垂直传染的特征.因此, 考虑具有垂直传染的流行病模型具有重要的理论和现实意义. 目前对具有年龄结构的接种和垂直传染的流行病模型所见的报道还很少[1～8], 而且也很不完整.文献[1]研究了具有接种和年龄结构的SIRS模型,利用微分方程和积分方法理论，得到基本再生数，并讨论了平衡解的稳定性;文献[2]利用有界线性算子半群理论证明了具有垂直传染年龄结构的SIR模型解的存在唯一性; 文献[3]研究了垂直传染年龄结构的接种SIS模型, 得到了正平衡解存在的充分条件; Eldoma M 分别讨论了具有垂直传染年龄结构的SI和SIS模型[4,5]; 文献[6]研究了具有垂直传染年龄结构的SIR模型解的全局稳定性; 文献[7]讨论了具有垂直传染年龄结构的SIS模型解的全局稳定性;文献[8]研究了一类具有垂直传染和年龄结构的SEI传染病模型, 讨论了其平衡解的稳定性.本文主要讨论一类具有年龄结构的接种和垂直传染的SEI流行病模型平衡解的存在性，通过归一化变换后得到平衡解存在的充分条件.1 模型的建立我们将人群分为易感者、潜伏者、患病者和接种者四类,潜伏期有垂直传染.疾病无法治愈,一旦接种之后就终身免疫,且潜伏者和患病者接种后的新生婴儿也带有终身免疫. 我们首先引入一些记号:a表示年龄,t表示时间,S(a,t),E(a,t),I(a,t),R(a,t)分别表示t时刻这四类人口关于年龄a的密度函数.用d(a),B(a)分别表示自然死亡率和出生率,β(a,t)表示水平传染力函数.ε表示由潜伏者变为患病者的比例,q表示垂直传染率,V表示接种率.我们假定无疾病引起的额外死亡率, 故总人口模型就是一般的具有年龄结构的种群模型.于是综合年龄分布种群模型和传染病模型的建立方法,得到具有年龄结构的下述一阶偏微分方程(1)总人口密度函数f(a,t)=S(a,t)+E(a,t)+I(a,t)+R(a,t)显然边界条件应该由新生儿组成,新生儿有易染者、潜伏者和接种者三类.其中染病者的新生婴儿中一部分通过垂直传染变成潜伏者,这些婴儿中部分通过母体接种具有被动免疫.边界条件为(2)初始条件为S(a,0)=S0(a) E(a,0)=E0(a) I(a,0)=I0(a) R(a,0)=R0(a)下面来建立β(a,t)表达式.年龄为a的易感者可能与任意年龄的染病者接触从而感染.有效接触率设为变量分离形式:b(a)当被接触者为病人时就会传染.因此(3)2 平衡解的存在性对SEI模型做归一化变换,令方程组(1)变为(4)假定种群的总成员已达到稳定的年龄分布,即f(a,t)=ρe-λaπ(a)e-λt ρ为常数代入(3)式得(5)边界条件变为(6)由文献[9]知s(0,t)+e(0,t)+r(0,t)=B(a)e-λa π(a)da=1当系统(1)达到稳定年龄分布状态时,s,e,i,r均仅为a的函数而与t无关,这时方程组(4)蜕化为下列常微分方程组(7)而(5)式蜕化为(8)边界条件(6)蜕化为常微分方程(7)的初始条件(s0,e0,0,r0)(s0+e0+r0=1).解此常微分方程组,得(9)容易看出,V=1时e(a)=i(a)=0,s(a)+r(a)=s0=B(a)e-λaπ(a)[1-qi(a)-qe(a)]da=1即存在无病平衡解.将(9)式所确定的稳定年龄分布函数i(a)代入(8)式,得(10)由于此时s(a,t)≡s(a)与t无关,可由(6)式知(11)将(9)式中对应的表达式i(a),e(a)代入(11)得s0=s0F1+(1-s0)F2(12)其中再将由(12)式确定的s0表达式代入(10),两边约去kb(a)后整理可得(13)其中(14)(13)式右端可看作关于V的函数P(V), 即P(V)=1. 当V=1时,P(1)=0;当V=0时, 易知P′(V)<0,即P(V)关于V单调减小.所以当R0<1时,方程(13)无正根,故不存在地方病平衡解.这时系统仅存在唯一无病平衡解；当R0>1时,方程(13)有且仅有一正根V*.从而系统(4)不仅存在无病平衡解,还存在唯一地方病平衡解(9).因此可得下面定理.定理1 考察具有边界条件(2)的系统(1),有当R0<1时, 系统仅存在唯一无病平衡解; 当R0>1时,系统不仅存在无病平衡解,还存在唯一地方病平衡解(9).【相关文献】[1] 王世飞,王娟,王海霞. 具有接种疫苗年龄结构的SIRS流行病模型分析[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版),2007,20(4):395～398.[2] Guo shuli,Li Jingjie,Ding Fengxia.Existence and uniqueness of solution to an age-structured SIR epidemic model with vertical transmission[J]. 信阳师范学院学报(自然科学版), 2004,17(4):395～398.[3] 朱礼营,马美杰.带有垂直传染具有年龄结构的接种流行病模型研究[J].烟台师范学院学报(自然科学版),2002,18(1):11～15.[4] Eldoma M. Analysis of an age-dependent SIS epidemic model with vertical transmission and proportionate mixing assumption [J]. Mathematical and Computer Modelling, 1999, 29 :31～43.[5] Eldoma M. Global stability results and well posedness of an SI age-structured epidemic model with vertical transmission[J].AAM,2006,1(2):126～140.[6] Hisashi Inaba. Mathematical an analysis of an age-structured SIR epidemic model with vertical transmission[J]. Discrete and continuous dynamical system (SEIRESB),2006,6(1):69～96.[7] Michel Langlais.Global Behaviour in age structured SIS model with easonal periodicities and vertical transmission[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1997,213:511～533.[8] 杨霞霞,白江红,闫萍.具有垂直传染和年龄结构的SEI传染病模型研究[J].山西师范大学学报(自然科学版),2013,27(2):5～12.[9] 马知恩,周义仓,王稳地,等.传染病动力学的数学建模与研究[M].北京:科学出版社,2004.44～45.。
一类具有脉冲的中立型时滞微分方程正周期解的存在性
１９ ９７年 ， ｉ 利用 Ｍａ ｉ 续定 理 ， 论 了～ 类 具 常 时滞 的周 期 系 数 的 中立 型 泛 函微 分 方 程 ．０ １年 ， Ｌ Ｊ ｗｈｎ连 讨 ２０ Ｆｎ ［ 讨 论 了方程 （ ）并且 对 文献 ［］中公 开 问题 给出 了解答 ．０ ３年 ，ｕ６研 究 了如 下方 程 正周 期解 的 ａｇ５ ］ ２， ３ ２０ Ｌ［ ］
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收稿日期 ：０ ９—０ ２０ ３—１ ０
基 金项 目： 湖南省教育厅 ２０ 年科技项 目（６ ０ ２ ； ０６ ０ Ｃ ４ ） 湖南工学院 ２ ０ 年科研项 目（ Ｙ ８ ２ ） ０８ Ｈ ０ ０ ６ 作者简 介： 盛洁波 （９ ９ ， ， １ ６ 一） 女 湖南人 ， 讲师 ， 主要研究方 向： 微分方程 ．
பைடு நூலகம்
一
类具有脉冲 的中立型 时滞微分方程正周期解 的存在性
盛 洁波 陈福 来２ ，
（． １湖南工 学院 基础课教学部 ， 湖南 衡阳 ４ １０ ；． ２０ ２ ２ 湘南学 院 数学系 ， 湖南 郴州 ４３０ ） ２ ０ ０
摘 要 ： 一个实际生态系统， 常受到周围环境 变化 以及人类活动的影响 ， 因而在 生态系统建模 中应 该考虑脉冲的存在 ． 现有的研究过 多局限在具有常时滞的周期 系统的中立型泛函微分方程， 对具有 脉 冲的 中立型 时滞微 分方程 模 型研 究较 少． 本文利 用 重合度理 论 ， 究 了一类 具有脉 冲 的 中立型 时 研
—
１］本文利用重合度理论 ， ３． 讨论方程（ ） １ 的正周期解的存在性。
１ 预 备 知 识
一类具生物控制的多滞量捕食模型正周期解的存在性
文 章 编 号 ：０ ９４ ２ （０ ０ ０ －０ １ ６０
一
类 具 生 物 控 制 的 多滞 量 捕 食 模 型 正 周 期 解 的 存 在 性
程 荣福
（ 北华大学 数 学学院 ， 吉林 吉林 １２ ３ ） ３ ０ ３
摘要： 利用重合度理论 中的延拓定理讨论 了具有生物控 制的多滞 量捕食 模型 的正周 期解 的存 在性 ， 到 了保 证 得 周期解 存在的充分条件 ， 推广 了已知 的相关结果．
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收 稿 日期 ：０ ９１ －５ ２０ ．２０ 基 金项 目： 吉林 省教育厅“ 十一五” 科学技术研究项 目（ 吉教合字 ２０ ．３ ） ０ ８１ ６ ． 作 者简介 ： 荣福（ ９ ４一） 男 ， 程 １５ ， 教授 ， 硕士生 导师 ， 主要从事微分方程理论及应用研究
关键 词 ： 捕食者一 食饵 模型 ； 生物控制 ； 期解 ； 周 多滞 量
中 图分 类 号 ： １ ５ ｔ ０ ７ ．４ 文献标识码 ： Ａ
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毒粒 子 与感染 细胞 的 比例往 往处 于一 种相 对 稳定
收 稿 日期 ：０ １ ２— ０ ２ １ —１ ２
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基金项 目： 湖南省科技厅计划基金资助项 目（０ ０ Ｋ ０３ ； ２ １Ｇ ３ １ ） 湖南省 自然科学衡 阳联合基金资助项 目（ １Ｊ０ １ １Ｊ９ ０ ） 作者简介 ： 王会兰（ ９ ０一） 女 ， １７ ， 湖南邵 阳人 ， 南华大学数理学院讲师 ， 士． 硕 主要研究方 向： 生物数学．
．
单 ， 要力 求考 虑 到现实 环境 对生 物 系统 的影 响 ． 又
在对 具 有免 疫 反应 的 ＨＩ Ｖ感 染模 型 的研 究 中 ， 一
＝ｓ—ｄ ｘ—ｆ ｙ ｌ ， ｘ
般考虑 由健康 细胞 、 感染 细胞 、 Ｖ病 毒粒 子及 免 ＨＩ 疫细 胞所 构 成 的 四种 群 系 统 ｌ 但 由于 Ｈ Ｖ病 １ 引． Ｉ
第２ （自然 科 学 版 ） Ｊｕｎ ｌ ｆ ｎ ｅ ｉ ｆ ｏ ｔ Ｃ ｉａ Ｓｉ ｃ ｏ ｒａ ｏ ｉ ｒ ｔ ｏ Ｓｕｈ ｈｎ （ ｃ ｎｅｊ Ｕ ｖ ｓｙ ｅ
Ｖｏ．２ ． １ ６ Ｎｏ １ Ｍ ａ． ｒ２０１ ２
Ａｂｓ ｒ ｃ ： ｅ ｉ ｄ ｃ ｌ ｙ ｉ ｍｍｕ ｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ｓ ｃ ｎ ｉ ｅ ｅ ｏ ｌｓ ｆＨＩ ｍｏ ｅ ｓｗｉ ｔ ａ ｔ Ｐ ｒｏ ｉａｌ ｌｔｃ ｉ ｙ ｎ ｅ ｐ ｎ ｅ ｉ ｏ ｓｄ ｒ ｄ ｆ ｒａ ｃ ａ ｓ ｏ Ｖ ｄ ｌ ｔ ｈ ｓ ｔ ａｉ ｎ ｅｆ ｃｓａ ｄ ｄ ｌｙ ｗｈｉｈ ａ ｅ ｄ ｓ ｒｂｅ ｓｄ ｆｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉｎ ． ｈ ｏ ｙ ｏ ｐ — ａｕｒ ｔ ｆｅ ｔ ｎ ｅ ａ ｃ ｒ ｅ ｃ ｉ ｄ ａ ｉｆｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔ ｓ Ｂｙ ｔ ｅ ｒ ｆｔ ｏ ｏ ｏ ｏ ｌ ｇｃ ｄｅ ｒ ｅｉ ｏ ｌｎ ａ ｕ ｃｉ ｎ ｌａ ａｙ ｉ ， ｕ ｆｃｅ ｔｃ ｎ ｉｉｎｓａ ｅｏ ｔｉ ｅ ｒｔ ｅ ｅ ｉｔ ｏ ｉ ｇ ｅ ｎ ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｆ ｎ ｔｏ ａ ｎ ｌｓｓ ｓ ｆｉｉ ｎ ｏ ｄ ｔｏ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｆ ｈ ｘ ｓ— ｏ
Ｏ 引 言
建立 生物 数 学模 型时 ， 要 使 模 型 尽 可 能 简 既
的状态 ， 因此 ， 立模 型时就 可 以 只考 虑 由健 康 细 建
胞、 感染 细胞 及免 疫 细胞所 构成 的三种 群系 统 了． Ｗａ ｇＫ ｉ ＿ 研 究 了如 下一 类 具有 周 期 裂解 免 疫 ｎ ａｆ ４ ａ 反 应 的 Ｈ Ｖ感染 模 型 ： Ｉ
第２ ６卷第 １ 期
王会兰等 ： 一类 具周期裂解免疫反应 的 Ｈ Ｖ感染模 型正周期解 的存在性 Ｉ
４ ５
其 中 （） Ｙ ｔ ， ｔ 分 别 表 示 ｔ时 刻 健 康 靶 细 ｚ ， （ ） （ ） 胞 、 染 细胞 及 免疫 细 胞 的浓 度 ； 示靶 细胞 的 感 ｓ表
对 连续周 期 函数 Ｐ ｔ ） ＝Ｐ ｔ 记 （＋ （），
Ｗ ＡＮＧ ｉｌ ｎ， ＡＯ ｎ－ ｕ ｎ， Ｈｕ －ａ ＬＩ Ｘｉ ｙ ａ ＺＨＵ ｉｙ ｎ Ｈｕ － ａ
（ ｃｏｌ ｆ ａｈｍａ ｃ ｎ ｈｓ ｓＵ ｉ ｒ ｔ ｏ ｏ ｔ ｈｎ ， ｎ ｙｎ ， ｎ ｎ４ １０ ， ｈｎ ） Ｓｈ ｏ ｏ ｔｅ ｔ ｓ ｄＰ ｙｉ ， ｎｖ ｓ ｙ ｆ ｕｈＣ ｉａ Ｈｅｇ ａｇ Ｈｕ ａ ２ ０ １ Ｃ ｉａ Ｍ ｉ ａ ｃ ｅ ｉ Ｓ
文 章 编 号 ：６ ３— ０２ ２ １ ） ｌ一 ０ ４— ４ １７ ０ ６ （０ ２ ０ ０４ ０
一
类具 周期裂解免疫反应的 ＨＶ感染 Ｉ 模 型 正 周 期 解 的 存 在 性
王会 兰 ， 廖新元 ， 朱惠延
（ 南华大学 数理学 院， 湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２ ０ １
摘
要 ： 虑 了 Ｈ Ｖ感 染 系统 中免 疫 细胞 对 感 染 细胞 的 周期 裂 解 作 用 ， 立起 具有 考 Ｉ 建
免 疫饱 和 效应 的 时滞微 分方程模 型 ， 用非 线性泛 函分 析 中的拓 扑度 理论 ， 到 了 系 运 得
统存 在正 周期 解 的充分 条件 ．
关 键词 ： Ｉ Ｈ Ｖ感 染 ； 解免 疫反应 ； 周期 解 ； 扑度 裂 正 拓
中图 分类 号 ： １ ５ ０ ７ 文 献标 识码 ： Ａ