2019-2020年广东省广州市二模：广州市2019届高三第二次模拟考试数学(文)试题-附答案精品
广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学(文)试题Word版含答案
开始x=2，n=0n ≤3?x=2x+1n=n+1输出x 结束是否图1绝密★启用前广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（文）试题本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合}1,0,1{-=A ，}032|{2<--=x x x B ，则=B A I（A ）}1,0,1{- （B ）}0{（C ）)1,1(-（D ）)3,1(-（2）已知复数2a iz i+=(其中i 为虚数单位)的虚部与实部相等，则实数a 的值为（A ）1 （B ）12 （C ）1- （D ）12- （3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为12，甲赢棋的概率为13，则甲输棋的概率为（A ）56 （B ）23 （C ）16 （D ）12（5）图1是一个算法流程图，则输出的x 值为（A ）95 （B ）47 （C ）23 （D ）11 （6）某棱柱的三视图如图2示，则该棱柱的体积为俯视图侧视图1242图2图3图4（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）12 （7）已知等比数列{}n a 满足132410,5a a a a +=+=，则5a =（A ）1 （B ）12 （C ）14（D ）4（8）已知01a b c <<<<，则（A ）baa a > （B ）abc c > （C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（9）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，点A 、F 分别为其右顶点和右焦点12(0,),(0,)B b B b -，若12B F B A ⊥，则该双曲线的离心率为（A）1+ （B（C）12（D1 （10）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 2z x y =-+的最大值为3，则a 的值为（A ）1 （B ）23（C ）2 （D ）37 （11）中国古代数学家赵爽设计的弦图（图3）是由四个全等的直角三角形拼成，四个全等的直角三角形也可拼成图4所示的菱形，已知弦图中， 大正方形的面积为100，小正方形的面积为4，则图4中菱形的一个锐 角的正弦值为 （A ）2425（B ）35（C ）45（D ）725（12）已知函数21352,(1)4()1log .(1)4x x x f x x x ⎧-+-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩()|2|sin g x A x =-⋅()x R ∈，若对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤，则实数A 的取值范围为（A ）9(,]4-∞ （B ）7[,)4+∞ （C ）79[,]44 （D ）7(,]4-∞U 9[,)4+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题:第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题:第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=-r r 满足||||a b a b ⋅=-⋅r r u u r r，则 x = .（14）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且35a =，642S =，则9S = . （15）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（16）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知ABC ∆的面积为B ac cos ，BC 的中点为D ．(Ⅰ) 求B cos 的值；(Ⅱ) 若2=c ，C c A a sin 5sin =，求AD 的长． (18)（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．(Ⅰ)求小明在这十次游戏中所得奖品数的均值；(Ⅱ)规定过三关者才能玩另一个高级别的游戏，估计小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率；(Ⅲ)已知小明在某四次游戏中所过关数为{2,2,3,4}，小聪在某四次游戏中所过关数为{3,3,4,5}，现从中各选一次游戏，求小明和小聪所得奖品总数超过10的概率．（19）（本小题满分12）已知图6中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //， CD EF //，AB DM ⊥于M 、交EF 于点N，DN =，MN =，现将梯形ABCD 沿EF 折起，记折起后C 、D 为'C 、'D 且使62'=M D ，如图7示．图5(Ⅰ)证明：M D '⊥平面ABFE ；,(Ⅱ)若图6中，60A ∠=o，求点M 到平面'AED 的距离．（20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于1||2-MF ，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．(21)（本小题满分12分）已知0<a ，曲线c bx ax x f ++=22)(与曲线x a x x g ln )(2+=在公共点))1(,1(f 处的切线相同． (Ⅰ)试求a c -的值；(Ⅱ)若1)()(++≤a x g x f 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲ABD CFE ABC ´D ´ EF MMN图6图7已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．广东省江门市2019-2020学年高三第二次模拟考试数学（文）试题参考答案一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：(10) 如右图，当直线y x z 2+-=即221zx y +=过点(2,)A a a -时，截距2z最大，z 取得最大值3，即a a 223++-=，得1=a ．,,a b c ，（11）设围成弦图的直角三角形的三边长分别为c a b >>，依题意10c =，22100a b +=，2()4a b -=，解得8,6a b ==，设小边b 所对的角为θ，则63sin 105θ==，4cos 5θ=，24sin 22sin cos 25θθθ==. （12）对任意的1x 、2x R ∈，都有12()()f x g x ≤max min ()()f xg x ⇔≤，注意到max 1()(1)4f x f ==-，又()|2|sin |2|g x A x A =-≥--，故1179|2||2|4444A A A --≥-⇒-≤⇒≤≤ 二、填空题：（16）以投影面为底面，6=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=. 三、解答题：（17）解：(Ⅰ) 由B ac B ac S ABC cos sin 21==∆，------------------------1分 得B B cos 2sin =，----------------------------------①------------2分∵0B π<< ∴sin 0B > 故0cos >B ，--------------------3分 又1cos sin 22=+B B ，----------------------------② ①代入②得51cos 2=B ，∴51cos =B-----------------5分(Ⅱ)由C c A a sin 5sin =及正弦定理得225c a =，---------------------7分∵2=c ，∴52=a ，521==a BD ，------------------------9分 在△ABD 中，由余弦定理得：55125254cos 2222=⨯⨯-+=⋅⋅-+=B c BD BD c AD ，------11分 ∴5=AD ．----------------------------------------------12分（18）解：(Ⅰ)小明的过关数与奖品数如下表：------------2分小明在这十次游戏中所得奖品数的均值为4)11618243221(101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯；------------------------------------4分 (Ⅱ)小明一次游戏后能玩另一个游戏的概率约为4.010112=++；---------------6分 (Ⅲ)小明在四次游戏中所得奖品数为{2,2,4,8}，--------------------------------------7分小聪在四次游戏中所得奖品数为{4,4,8,16}，-------------------------------------8分 现从中各选一次游戏，奖品总数如下表：---------10分共16个基本事件，总数超过10的有8个基本事件，故所求的概率为21168=．----12分 （19）解：(Ⅰ) 可知AB EF //，∴N D '⊥EF 、MN ⊥EF ，-------------------1分ABDCFE ABC ´D ´EF MMNN又N MN N D =I '，得EF ⊥平面'MND ，--------------------3分 得M D EF '⊥，--------------------4分∵222'27'D M MN D N +== ∴MN M D ⊥'，--------------------------5分 又MN EF N =I ，∴M D '⊥平面ABFE ．--------------------------------------6分 (Ⅱ) 设点M 到平面'AED 的距离为h ，由AEM D AED M V V --=''，得M D S h S AEM AED '3131'⋅=⋅∆∆，① ∵2sin 60MN AE ==o ，6sin 60DN DE ==o，------------------------7分∴8AD =,4AM =,-------------------------------------------8分 在MA D Rt '∆中，40''222=+=AM M D A D ， 又6'=E D ，2=AE ，得222''AE E D A D +=，∴AE E D ⊥'，-----------------------------------------------10分'1'62AED S AE D E ∆=⋅=，又3221=⋅=∆MN AM S AEM ，代入①式，得123h =⨯，解得h =∴点M 到平面'AED 的距离为---------------------------------12分 (20)解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，---------------1分 得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由抛物线的定义及25||2=QF ，得251=+Q x ， 又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-----------------------------------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 切线在x 轴上的截距为k m x -=，又92->-=-m km ， ∴切线在x 轴上的截距的取值范围是)0,9(-．----------------------------------12分（21）解：(Ⅰ) b ax x f +=4)('，xax x g +=2)('，--------------------------1分 由已知得)1()1(g f =，且)1(')1('g f =， 即12=++c b a ，且a b a +=+24，所以23=+b a ，1-=-a c ；-------------------------------------------------4分 (Ⅱ)设1)()()(---=a x g x f x h ，则0>∀x ，0)(≤x h 恒成立，∵2ln )32()12()(2---+-=x a x a x a x h ，------------------------------5分 ∴xaa x a x h --+-=32)12(2)('，-------------------------------------------6分 法一：由0<a ，知x a y )12(2-=和xa-在),0(∞+上单调递减， 得xaa x a x h --+-=32)12(2)('在),0(∞+上单调递减，----------------7分 又032)12(2)1('=--+-=a a a h ，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，----------------------9分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，----------11分 所以)0,1[-∈a ．---------------------------------------------------------------------------12分 【法二：x a x a x a x h --+-=)32()24()('2[(42)](1)a x a x x-+-=，-------8分由0<a ，0>x ，知(42)0a x a -+<，得当)1,0(∈x 时，0)('>x h ，当),1(∞+∈x 时，0)('<x h ，所以)(x h 在)1,0(上单调递增，在),1(∞+上单调递减，-----------------------10分 得a h x h --==1)1()(max ，由题意知0)(max ≤x h ，得1-≥a ，所以)0,1[-∈a ．----------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈-----------------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α，∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】 （23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分（Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分 ()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+， 故1m n mn +≤+．------------------------------------------------------------------10分】。
(完整word版)2019广东省广州市二模数学理科word精校版
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．在答题卷上相应题目的答题区域内作答．1．已知复数)2()3(i i m z +-+=在复平面内对应的点在第三象限,则实数m 的取值范围是（ )A ．)1,(-∞B ．)32,(-∞C ．)1,32(D ．),1()32,(+∞-∞2．己知集合}0181|{<--=x x A ，则=A C R （ ) A ．2|{<x x 或}6≥xB ．2|{≤x x 或}6≥xC ．2|{<x x 或}10≥xD ．2|{≤x x 或}10≥x3．某公司生产C B A ,,三种不同型号的轿车，产量之比依次为4:3:2，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆,则=n （ ）A ．96B ．72C ．48D ．364．执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（ )A ．21B ．22C ．23D ．245．己知点A 与点)2,1(B 关于直线03=++y x 对称，则点A 的坐标为（ ）A ．)4,3(B ．)5,4(C ．)3,4(--D ．)4,5(--6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望=ξE （ ）A ．54 B ．1 C ．57 D ．27．已知51cos sin =+αα，其中),2(ππα∈，则（ ) A ．724-B ．34-C ．247 D ．724 8．过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左焦点F 作圆9222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右交于点P ，若FE PF 2=，则双曲线的离心率为（ )A ．317 B ．617 C ．510 D ．210 9．若曲线2223+-=x x y 在点A 处的切线方程为64-=x y ，且点A 在直线01=-+ny mx (其中0,0>>n m ）上，则nm 21+的最小值为（ ） A ．24B ．223+C ．246+D ．2810．函数)||,0)(sin(2)(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图像如图所示，先把函数)(x f y =图像上各点的横坐标缩短到原来的21倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移4π个单位长度，得到函数)(x g y =的图像，则函数)(x g y =的图像的一条对称轴为（ ）A ．43π=x B ．4π=x C ．4π-=x D ．43π-=x 11．已知点P 在直线012=-+y x 上,点Q 在直线032=++y x 上,PQ 的中点为),(00y x M ,且7100≤-≤x y ，则x y 的取值范围为( ） A ．]512,2[B ．]0,52[-C ．]41,165[-D ．]52,2[-12．若点)0,(t A 与曲线x e y =上点P 的距离的最小值为32，则实数t 的值为( ）A ．32ln 4-B ．22ln 4-C ．33ln 3+D ．23ln 3+第Ⅱ卷(非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在答题卷上的相应题目的答题区域内作答． 13．若21,x e 是夹角为︒60的两个单位向量，向量212e e a +=，则=||a．14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80,则实数a 的值是．15．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之,为实，一为从隅,开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是])2([41222222b c a c a S -+-=,其中c b a ,,是ABC ∆的内角C B A ,,的对边．若B A C cos sin 2sin =，且22,1,c b 成等差数列，则ABC ∆面积S 的最大值为．16．有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动,则a 的最大值为____．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分．17．己知}{n a 是递增的等比数列，432=+a a ，341=a a ． （1）求数列}{n a 的通项公式;(2)令n n na b =，求数列}{n b 的前n 项和n S ．18．科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图．(1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i ）求x ；(ii ）计算样本相关系数（精确到0.01)，并刻画它们的相关程度．（2）若y 关于x 的线性回归方程为x b yˆ56.1ˆ+=,求b ˆ的值（精确到0。
广州市2019-2020年高三调研测试试题 数学(文)
高中毕业班第三次调研测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内；2．选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑；5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集={1,2,3,4,5,6,7,8}U ，集合{1,2,3,5}A =，={2,4,6}B ，则()U BA =ðA ．{2}B ．{4,6}C ．{1,3,5}D ．{4,6,7,8}2．复数3ii-= A ．13i +B ．13i --C ．13i -+D ．13i -3．设2()2f x ax bx =++是定义在[1,1]a +上的偶函数，则2a b +=A ．0B ．2C ．2-D ．124．已知(1,2)a =-，(2,)b m =，若a b ⊥，则=||bA ．12B ．1C ．3D ．55．下列有关命题的说法正确的是A ．“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件；B ．若:p 2000,10x R x x ∃∈-->.则:p ⌝2,10x R x x ∀∈--<；C ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题；D ．“若3πα=，则1cos 2α=”的否命题是“若3πα≠，则1cos 2α≠”． 6．已知,x y 满足14210x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =+的最大值为A ．3B ．4C ．6D ．77．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为52，则双曲线C 的渐近线方程为A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D．y x =±8．执行如图所示的程序框图，输出的T = A ．29B ．44C ．52D ．629．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为A ．312πB ．36πC ．34πD ．33π 10．若函数2()sin3sin sin 2f x x x x πωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>） 的最小正周期为π，则()f x 在区间203，π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为A ．3[0]2，B ．13[]22，-C ．1[1]2，-D ．31[]22，-开始结束S = 3,n = 1,T = 2T > 2S?S = S + 3n = n + 1T = T + 3n输出T 是否8题图9题图正视图俯视图侧视图11．对于问题：“已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，解关于x 的不等式20a x b xc -+>”，给出如下一种解法： 解：由20a x b x c ++>的解集为(1,2)-，得2()()0a xb xc -+-+>的解集为 (2,1)-，即关于x 的不等式20a x b xc -+>的解集为(2,1)-． 参考上述解法，若关于x 的不等式0k x b x a x c ++<++的解集为11(1,)(,1)32--， 则关于x 的不等式1011kx bx ax cx ++<++的解集为 A ．()()2,21,3- B ．()()3,11,2--C ．()(),,2311-- D ．()(),,3112--12．若函数()f x 满足1()1(1)f x f x +=+，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间(1,1]-上，()()2g x f x m x m =--有两个零点，则实数m 的取值范围是A ．103m <≤B ．102m <<C ．112m <≤ D ．113m <<第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
精品解析：【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可. 【详解】，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则，解得， 所以的取值范围是，故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.已如集合，则（ ）A. 或B. 或C.或D.或【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由10，即0，即解得，即，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.某公司生产，，三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，则（）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B【解析】【分析】根据分层比例列式求解.【详解】由题意得选B.点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 24【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，；运行第三次，，；运行第四次，，不满足，停止运行，所以输出的的值是，故选B．考点：程序框图．5.已知点与点关于直线对称，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设,则，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为，则数学期望（）A. B. 1 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.【详解】因为，所以因此,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.已知，其中，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据同角三角函数关系求得,再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，所以，因为，所以，因此，从而，，选D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据条件得,再根据切线得OE，结合双曲线定义列等式，解得离心率.【详解】设右焦点，因为，所以,因为，所以,由双曲线定义得,因为⊥PF,所以⊥PF,因此，选A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.若曲线在点处的切线方程为，且点在直线（其中，）上，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或s，t，由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，t，舍去），则（2m+2n）（）＝2（3）≥2（3+2）＝6+4，当且仅当n m时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.函数的部分图像如图所示，先把函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则函数的图像的一条对称轴为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据图象求，再根据图象变换得，最后根据正弦函数性质求对称轴.【详解】由图得，从而，,,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，点在直线上，的中点为，且，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】先确定所在直线，再根据，得轨迹为一条线段，最后根据斜率公式求结果. 【详解】因为点在直线上，点在直线上，所以M 在直线上，即，因为，所以轨迹为一条线段AB,其中,因此的取值范围为,选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题. 12.若点与曲线上点的距离的最小值为，则实数的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】先设切点B ，再根据导数几何意义以及最值列式解得实数的值. 【详解】因为,所以由题意得以A 为圆心，为半径的圆与曲线相切于点B,设,则在B 点处切线的斜率为，所以，选D. 【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.若，是夹角为的两个单位向量，向量，则________.【答案】【解析】根据条件即可求出，，从而可以求出，进而得出．【详解】解：，；∴；∴．故答案为：．【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.若的展开式中的系数是80，则实数的值是________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是，共中，，是的内角，，的对边为.若，且，1，成等差数列，则面积的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先根据正弦定理得,再根据余弦定理化简得【详解】因为，所以,因此,因为，1，成等差数列，所以+=2,因此，即面积的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.有一个底面半径为，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则的最大值为________.【答案】【解析】【分析】先求圆锥内切球半径，再根据取最大值时，四面体外接球恰为圆锥内切球，解得结果.【详解】设圆锥内切球半径为,则,所以,因为取最大值时，正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以,解得. 【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.已知是递增的等比数列，，.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2）的通项公式是等差数列与等比数列的乘积,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以解得或因为是递增的等比数列，所以，．所以数列的通项公式为．解法2：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，是方程的两个根．解得或因为是递增的等比数列，所以，，则．所以数列的通项公式为．（2）由（1）知．则，①在①式两边同时乘以得，，②①-②得，即，所以．【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：（年龄/岁）（脂肪含量根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（i）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.（2）若关于的线性回归方程为，求的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.附：参考数据：，，，，，，参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；(2) ；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii）利用公式求得相关系数的值，从而可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）利用回归直线过样本中心点，求得，得到回归直线的方程，再将代入回归直线方程求得结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（ⅰ）．（ⅱ）．因为，，所以．由样本相关系数，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2）因为回归方程为，即．所以．【或利用】所以关于的线性回归方程为．将代入线性回归方程得．所以根据回归方程估计年龄为岁时人体的脂肪含量为%．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且.（1）求证：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）证明：取中点，连结，，，因为底面为菱形，，所以．因为为中点，所以．在△中，，为的中点，所以．设,则，，因为，所以．在△中，，为的中点，所以．在△ 和△ 中，因为，，，所以△ △ ．所以．所以．因为，平面，平面，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）因为，，，平面，平面，所以平面．所以．由（1）得，，所以，，所在的直线两两互相垂直．以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则令，则，，所以．设平面的法向量为，则令，则，，所以．设二面角为，由于为锐角，所以．所以二面角的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.在平面直角坐标系中，动点分别与两个定点，的连线的斜率之积为.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点的直线与轨迹交于，两点，判断直线与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.【答案】（1）；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2）先用坐标表示以线段为直径的圆方程，再根据圆心到直线距离与半径大小进行判断.【详解】（1）设动点的坐标为，因为，，所以，整理得．所以动点的轨迹的方程．（2）过点的直线为轴时，显然不合题意．所以可设过点的直线方程为，设直线与轨迹的交点坐标为，，由得．因为，由韦达定理得=，=．注意到=．所以的中点坐标为．因为．点到直线的距离为．因为，即，所以直线与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.己知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，，求的取值范围，并证明.【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x），x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k的取值范围是，再证明f（﹣2k）＝ln（﹣2k）0．然后证明x1+x2≥2，即证（1）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（）（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（）（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8lnt﹣t2﹣2t，t＞1．由此能证明x1+x2＞2．【详解】（1）解：因为，函数的定义域为，所以．当时，，所以函数在上单调递增．当时，由，得（负根舍去），当时，，当时，，所以函数在上单调递减；在上单调递增．综上所述，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增（2）先求的取值范围：方法1:由（1）知，当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不满足条件．当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，要使函数有两个零点，首先，解得．因为，且，下面证明．设，则．因为，所以．所以在上单调递增，所以．所以的取值范围是．方法2:由，得到．设，则．当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增．所以由．因为时，，且，要使函数有两个零点，必有．所以的取值范围是．再证明：方法1:因为，是函数的两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，即证．即证，即证．因为，所以即证，或证．设，．即，．所以．所以在上单调递减，所以．所以．方法2:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．所以，即，，．要证，需证．即证，即证．因为，所以即证．设，则，．所以在上单调递减，所以．所以．方法3:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．所以即．要证，需证．只需证．即证，即证．即证．因为，所以，即．所以．而，所以成立．所以．方法4:因为，是函数有两个零点，不妨设，令，则．由已知得即．先证明，即证明．设，则．所以在上单调递增，所以，所证不等式成立．所以有．即．因为（），所以，即．所以．方法5:要证，其中，，即证．利用函数的单调性，只需证明．因为，所以只要证明，其中．构造函数，，则．因为（利用均值不等式），所以在上单调递减．所以．所以在上恒成立．所以要证的不等式成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，且，求直线的倾斜角.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根据平方关系消参数得直线的普通方程，根据得曲线的直角坐标方程（2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1）因为直线的参数方程为（为参数），当时，直线的直角坐标方程为．当时，直线的直角坐标方程为．因为，因为，所以．所以的直角坐标方程为．（2）解法1：曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得．因为，可设该方程的两个根为，，则，．所以． 整理得， 故． 因为，所以或， 解得或 综上所述，直线的倾斜角为或．解法2：直线与圆交于，两点，且， 故圆心到直线的距离． ①当时，直线的直角坐标方程为，符合题意． ②当时，直线的方程为． 所以，整理得． 解得． 综上所述，直线的倾斜角为或．【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲] 己知函数．(1)当时，解不等式； (2)若存在实数x ，使得成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1）当时，由，得．当时，，解得．当时，，解得．综上可知，不等式的解集为．（2）由，得．则．令，则问题等价于因为．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。
【市级联考】广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题(解析版)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学一、选择题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.）A. B. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的几何意义建立不等式关系即可.若复数在复平面内对应的点在第三象限，所以的取值范围是故选B.【点睛】该题考查的是有关复数在复平面内对应的点的问题，属于简单题目.2.）A. 或【答案】D【解析】【分析】先解分式不等式求集合A，再由补集的定义直接求解即可．【详解】解：由，则R故选：D．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.的样本，若样本中8辆，则 ）A. 96B. 72C. 48D. 36【答案】B 【解析】 【分析】根据分层比例列式求解.B.【点睛】本题考查分层抽样，考查基本分析求解能力，属基础题.4.）A. 21B. 22C. 23D. 24【答案】B 【解析】试题分析：运行第一次，，，；运行第二次，，，，，停止运行，所以输出的B ．考点：程序框图．5. ）A.B.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据对称列式求解.D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女）A. B. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】先列随机变量，再分别求解对应概率，最后根据数学期望公式求结果.，所以,选B.【点睛】本题考查数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.7.）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】再根据二倍角正切公式得结果.【详解】因，且，因为，从而 D.【点睛】本题考查同角三角函数关系以及二倍角正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.8.的左焦点，则双曲线的离心率为（）A. B. D.【答案】A【解析】【分析】再根据切线得OE.，所以PF,PF,A.【点睛】本题考查双曲线定义以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.9.，且点）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】设A（s，t），求得函数y的导数可得切线的斜率，解方程可得切点A，代入直线方程，再由基本不等式可得所求最小值．【详解】解：设A（s，t），y＝x3﹣2x2+2的导数为y′＝3x2﹣4x，可得切线的斜率为3s2﹣4s，切线方程为y＝4x﹣6，可得3s2﹣4s＝4，t＝4s﹣6，解得s＝2，t＝2或由点A在直线mx+ny﹣l＝0（其中m＞0，n＞0），可得2m+2n＝1成立，（s，2m+2n））＝2（32（当且仅当n时，取得最小值6+4，故选：C．【点睛】本题考查导数的运用：求切线斜率，以及基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题．10.的图像的一条对称轴为（）A. B. D.【答案】C【解析】【分析】.,选C.【点睛】本题考查由图象求函数解析式、三角函数图象变换以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.11.已知点在直线上，的中点为）A.B.D.【答案】B 【解析】【分析】.M 在直线AB,,因此的取值范围为选B.【点睛】本题考查线性规划求范围，考查基本分析求解能力，属中档题.12.的）A. B. D.【答案】D【解析】【分析】先设切点B.【详解】A为圆心，B,则在B点处切线的斜率为，选D.【点睛】本题考查利用导数求函数最值，考查综合分析求解能力，属难题.二、填空题.13.是夹角为.【答案】【解析】【分析】，；．故答案为：【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法．14.80________.【答案】2【解析】解：（ax-1）5的展开式中x3的系数C53（ax）3•（-1）2=10a3x3=80x3，则实数a的值是2，15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平方得，，，的对边为.1，成等差数列，则________.【解析】【分析】再根据余弦定理化简得1成等差数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查正余弦定理以及二次函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.16.________.【解析】【分析】.正四面体外接球恰为圆锥内切球，所以【点睛】本题考查圆锥内切球以及正四面体外接球，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.17.，（1）求数列（2，求数列【答案】 (2)【解析】【分析】（1）解法1：运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求通项公式；解法2：运用等比数列的性质建立方程.（2,利用错位相减求和.【详解】解法1：（1的公比为，是递增的等比数列，所以数列解法2：（1，是递增的等比数列，（2）由（1①-所以【点睛】本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的错位相减求和，以及化简整理的运算能力，属于基础题．18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表： （年龄（脂肪根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图： （i（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度. （20.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量.【答案】(1) （ⅰ）47 （ⅱ）见解析；%．【解析】【分析】（1）（i）根据上表中的样本数据，利用平均数的公式求得结果；（ii 以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强．（2结果.【详解】（1）根据上表中的样本数据及其散点图：．因为，（2．的线性回归方程为．【点睛】该题考查的是有关回归分析的问题，涉及到的知识点有平均值的计算，根据相关系数r的大小判断相关性，回归直线的性质，属于简单题目.19.（1（2.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）先根据计算得线线线线垂直，再根据线面垂直判定定理以及面面垂直判定定理得结论，（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角.【详解】（1为中，中，，，，所以平面（2由（1设平面的法向量为设二面角为，由于的余弦值为．【点睛】本题考查线面垂直判定定理、面面垂直判定定理以及利用空间向量求二面角，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.20.（1（2并说明理由.【答案】（1；（2）相离.【解析】【分析】（1）根据直接法求轨迹方程，（2离与半径大小进行判断.【详解】（1，整理得所以动点的轨迹的方程（2的直线为轴时，显然不合题意．因为，．的中点坐标为．到直线的距离为．与以线段为直径的圆相离．【点睛】本题考查直接法求轨迹方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.21.（1）讨论函数的单调性；（2【答案】(1)见解析；(2)见证明【解析】【分析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x x＞0，利用分类讨论思想，结合导数性质能讨论函数f（x）的单调性．（2）先求k f（﹣2k）＝ln（﹣2k．然后证明x1+x2≥）（1+t）2＜﹣8lnt，即证8lnt+（1+t）2＜0，（t＞0）．设h（t）＝8lnt+（1+t）2，t＞1．则h（t）＝8t＞1．由此能证明x1+x2＞【详解】（1，函数．时，，，时，函数时，函数（2方法1:由（1要使函数有两个零点，首先，，则因为，所以在上单调递增，的取值范围是．方法2:，则，且：方法1:，即，即证．，所以即证，．所以．在上单调递减，．方法2:，即，需证．，所以即证所以在上单调递减，．方法3:因为，是函数，需证．只需证．，所以，所以．方法4:因为，是函数，即证明，则．所以在上单调递增，所以．，．方法5:，所以在上单调递减．在上恒成立．【点睛】本题考查函数单调性的讨论，考查不等式的性质，考查导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．22.（.在以坐标原点为极点，.（1（2.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1的普通方程，根据2）利用直线参数方程几何意义求解.【详解】（1，．因为（2）解法1的直角坐标方程为，可设该方程的两个根为整理得，因为，所以综上所述，直线的倾斜角为解法2，两点，且的，整理得．综上所述，直线【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程以及直线参数方程应用，考查综合分析求解能力，属中档题.23.[选修4-5：不等式选讲](1)时，解不等式(2)若存在实数x a的取值范围.【答案】（1；（2【解析】【分析】（1）根据绝对值定义转化为两个不等式组，解可得，（2）根据绝对值定义转化为分段函数，根据函数最值可得结果.【详解】（1综上可知，不等式的解集为（2．．所以实数的取值范围为．【点睛】本题考查含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基本题.。
广州市2019-2020年高三调研测试试题数学(文)
高中毕业班第三次调研测试数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24 小题，共 150 分，考试时间120 分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考据号码填写清楚，将条形码正确粘贴在条形码地区内；2．选择题一定用2B 铅笔填涂；非选择题一定使用0.5 毫米的黑色笔迹的署名笔书写，字体工整、笔迹清楚；3．请依据题号次序在各题的答题地区内作答，高出答题地区书写的答案无效；在底稿纸、试题卷上答题无效；4．作图可先使用铅笔划出，确立后一定用黑色笔迹的署名笔描黑；5．保持卡面洁净，不要折叠，不要弄破、弄皱，禁止使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ 卷一、选择题：本大题共12 题，每题 5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1. 设全集U{1,2, 3,4,5,6,7,8}，会合A{1,2,3,5} ， B {2,4,6} ，则B( e U A)A．{2}B．{4,6} C ．{1, 3,5}D．{4,6,7,8}· 1·2．复数3iiA ． 1 3iB ． 1 3iC ． 1 3iD ． 1 3i3．设 f ( x)ax 2bx 2 是定义在 [1 a,1] 上的偶函数，则 a 2bA ． 0B ． 2C ． 21D ．24．已知 a (1, 2) ， b (2, m) ，若 a b ，则 | b |A ．1B ． 1C ． 3D ． 525．以下相关命题的说法正确的选项是A ． “f (0) 0 ”是 “函数 f ( x ) 是奇函数 ”的充要条件；B ．若 p : 2则 p :2；x 0 R, x 0 x 0 1 0 .x R, x x 1 0C ．若 pq 为假命题，则 p, q 均为假命题；D ． “若，则 cos1 ”的否命题是 “若1 ”．2 ，则 cos332x 16．已知 x, y 知足 xy 4 ，则 z2x y 的最大值为x 2y1 0A ． 3B ． 4C ． 6D ． 77．已知双曲线 C : x 2 y 21(a 0, b0) 的离心率为 5 ，则双曲线 C 的渐近线方a 2 22b程为A．y 1B．y1 x x 4 3C．y 1 x D ．y x28．履行以下图的程序框图，输出的A．29B．44C．52D．629．一个几何体的三视图以下图，此中正视图与侧视图开始S = 3,n = 1,T = 2T>2S?是否S=S+3n = n + 1 输出 TT = T + 3n 结束8 题图都是斜边长为 2 的直角三角形，俯视图是半径为 1 的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的体积为正视图侧视图3B．3A．612俯视图3D ．3 9 题图C．3410．若函数f ( x) sin2 x 3 sin x sin x （0 ）2的最小正周期为，则 f ( x) 在区间2上的值域为0，33 1 3 1，3 1，B．[ ，] C ．[ D．[ ，] A．[0 ]2 2 1] 22 2 211．对于问题： “已知对于 x 的不等式 ax 2bx c 0 的解集为 ( 1 , 2) ，解对于 x 的不等式 a x 2b x c0 ”，给出以下一种解法：解：由 a x 2bx c0 的解集为 ( 1 , 2，)得 a( x)2b( x) c的0解集为( 2 , 1，)即对于 x 的不等式 a x 2b x c0 的解集为 ( 2,1．)参照上述解法，若对于x 的不等式 kxb 0 的解集为 ( 1, 1) ( 1,1) ，x a xc32则对于 x 的不等式kxbx 1 0 的解集为ax 1cx1A ．2,2 1,3B ．3, 1 1,2C ． 2,31,1D ． 3,11, 212．若函数 f ( x) 知足 f ( x)11，当 x[0,1] 时， f ( x) x ，若在区间 ( 1,1]f ( x 1)上， g( x )f ( x ) m x 2有m 两个零点，则实数m 的取值范围是A ． 0m1B ． 0 m1321 m 1D ．1 m 1C ．32第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共 4 个小题 ,每题 5 分。
2020广州二模理科数学试题及答案
试卷类型：A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟参考公式：球的表面积公式24S R =π，其中R 是球的半径．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“若2x =，则2320x x -+=”的逆否命题是A ．若2x ≠，则2320x x -+≠ B ．若2320x x -+=，则2x = C ．若2320x x -+≠，则2x ≠ D ．若2x ≠，则2320x x -+=2．已知0a b >>，则下列不等关系式中正确的是A ．sin sin a b >B ．22log log a b <C ．1122a b < D ．1133a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知函数()40,1,0,x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩则()2f f =⎡⎤⎣⎦ A ．14 B ．12C ．2D ．44．函数()sin y A x ωϕ=+()0,0,0A ωϕ>><<π的图象的一部分如图1所示， 则此函数的解析式为A ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭B ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪44⎝⎭C ．3sin y x ππ⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭D ．3sin y x π3π⎛⎫=+ ⎪24⎝⎭5．已知函数()223f x x x =-++，若在区间[]4,4-上任取一个实数0x ，则使()00f x ≥成立的概率为 A ．425 B ．12 C ．23D ．1图1AV CB6．如图2，圆锥的底面直径2AB =，母线长3VA =，点C 在母线VB 上，且1VC =， 有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A 到达点C ，则这只蚂蚁爬行的最短距离是 ABC．3 D．27．已知两定点()1,0A -，()1,0B ，若直线l 上存在点M ，使得3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．给出下列直线：①2x =；②3y x =+；③21y x =--；④1y =；⑤23y x =+．其中是“M 型直线”的条数为A ．1B ．2C ．3D ．48．设(),P x y 是函数()y f x =的图象上一点，向量()()51,2x =-a ，()1,2y x =-b ，且//a b .数列{}na 是公差不为0的等差数列，且()()()12936f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则129a a a ++⋅⋅⋅+= A .0 B .9 C .18 D .36二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．已知i 为虚数单位，复数1i1iz -=+，则z = ． 10．执行如图3所示的程序框图，则输出的z 的值是 ．11．已知()sin 6f x x=+⎪⎝⎭，若cos 5α=02α<< ⎪⎝⎭，则12f α+= ⎪⎝⎭ ．12．5名志愿者中安排4人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排2人，则不同的安排方案共有_________种（用数字作答）． 13．在边长为1的正方形ABCD 中，以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a ，2a ，3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c ，2c ，3c ．若m 为()()i j s t +∙+a a c c 的最小值，其中{}{},1,2,3i j ⊆，{}{},1,2,3s t ⊆，则m = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，在平行四边形ABCD 中，4AB =，点E 为边DC 的中点， B ACDEFG 图4AE 与BC 的延长线交于点F ，且AE 平分BAD ∠，作DG AE ⊥，垂足为G ，若1DG =，则AF 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知曲线1C 和2C 的方程分别为32,12x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为参数）和24,2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点有 个．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且::7:5:3a b c =． （1）求cos A 的值；（2）若△ABC的面积为ABC 外接圆半径的大小． 17．（本小题满分12分）某市为了宣传环保知识，举办了一次“环保知识知多少”的问卷调查活动（一人答一份）．现从回收的年龄在20～60岁的问卷中随机抽取了n 份，统计结果如下面的图表所示．（1）分别求出a ，b ，c ，n 的值；（2）从第3，4组答对全卷的人中用分层抽样的方法抽取6人，在所抽取的6人中随机抽取2人授予“环保之星”，记X 为第3组被授予“环保之星”的人数，求X 的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分） 如图5，已知六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的侧棱 垂直于底面，侧棱长与底面边长都为3，M ，N 分别 是棱AB ，1AA 上的点，且1AM AN ==． （1）证明：M ，N ，1E ，D 四点共面；（2）求直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）C 1ABA 1B 1D 1 CDMNEFE 1F 1图5已知点(),n n n P a b ()n ∈*N在直线l ：31y x =+上，1P 是直线l 与y 轴的交点，数列{}n a 是公差为1的等差数列．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求证：22212131111116n PP PP PP ++++<． 20．（本小题满分14分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x a x =-11x x -+，()e xg x =（其中e 为自然对数的底数）． （1）若函数()f x 在区间()0,1内是增函数，求实数a 的取值范围； （2）当0b >时，函数()g x 的图象C 上有两点(),e b P b ，(),ebQ b --，过点P ，Q 作图象C 的切线分别记为1l ，2l ，设1l 与2l 的交点为()00,M x y ，证明00x >．2015年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．16．（本小题满分12分） 解：（1）因为::7:5:3a b c =，所以可设7a k =，5b k =，3c k =()0k >，…………………………………………………………2分 由余弦定理得，222cos 2b c a A bc +-=()()()222537253k k k k k+-=⨯⨯…………………………………………………………3分12=-．………………………………………………………………………………………………4分 （2）由（1）知，1cos 2A =-，因为A 是△ABC 的内角，所以sin A2=6分 由（1）知5b k =，3c k =， 因为△ABC 的面积为1sin 2bc A =8分 即1532k k ⨯⨯= 解得k =10分由正弦定理2sin a R A =，即72sin k R A ==，…………………………………………………11分 解得14R =．所以△ABC 外接圆半径的大小为14．…………………………………………………………………12分17．（本小题满分12分）解：（1）根据频率直方分布图，得()0.0100.0250.035101c +++⨯=，解得0.03c =．……………………………………………………………………………………………1分 第3组人数为105.05=÷，所以1001.010=÷=n ．…………………………………………………2分 第1组人数为1000.3535⨯=，所以28350.8b =÷=．……………………………………………3分 第4组人数为2525.0100=⨯，所以250.410a =⨯=．……………………………………………4分 （2）因为第3，4组答对全卷的人的比为5:101:2=，所以第3，4组应依次抽取2人，4人.…………………………………………………………………5分 依题意X 的取值为0，1，2．……………………………………………………………………………6分()022426C C 20C 5P X ===，…………………………………………………………………………………7分 ()112426C C 81C 15P X ===，………………………………………………………………………………8分()202426C C 12C 15P X ===，………………………………………………………………………………9分所以X 的分布列为：所以281012515153EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）第（1）问用几何法，第（2）问用向量法： （1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分………………………………………10分 C 1BA 1B 1D 1CDMNEFE 1F 1在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分 所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）解：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B，9,02C ⎫⎪⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E，()M ，…………………………8分则3,02BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．……………………………………………………………………………………10分设(),,x y z =n 是平面1MNE D 的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线BC 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin BC BCθ=n n116==． 故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用向量法：（1）证明：以点E 为坐标原点，EA ，ED ，1EE所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()B ，9,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,0D ，()10,0,3E ，()M ，()N ，……………2分所以()10,3,3DE =-，()0,1,1MN =-． ………………3分 因为13DE MN =，且MN 与1DE 不重合， 所以1DE MN．…………………………………………5分所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分（2）解：由（1）知3,,022BC⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()10,3,3DE =-，()2,0DM =-．………………10分（特别说明：由于给分板（1）6分（2）8分，相当于把（1）中建系与写点坐标只给2分在此加2分）设(),,x y z =n 是平面1MNE D的法向量，则10,0.DE DM ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即330,20.y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩取y =2x =，z =所以(=n 是平面1MNE D 的一个法向量．………………………………………………12分 设直线1BC 与平面1MNE D 所成的角为θ，则sin BC BCθ=n n==故直线BC 与平面1MNE D 所成角的正弦值为116．………………………………………………14分 第（1）（2）问均用几何法：（1）证明：连接1A B ，11B D ，BD ，11A E ，在四边形1111A B D E 中，1111A E B D 且1111=A E B D ， 在四边形11BB D D 中，11BD B D 且11=BD B D ，所以11A E BD 且11=A E BD ，所以四边形11A BDE 是平行四边形． 所以11A BE D ．………………………………2分在△1ABA 中，1AM AN ==，13AB AA ==， 所以1AM ANAB AA =， 所以1MN BA ．…………………………………………………………………………………………4分所以1MNDE ．所以M ，N ，1E ，D 四点共面．………………………………………………………………………6分 （2）连接AD ，因为BCAD ，所以直线AD 与平面1MNE D 所成的角即为直线BC 与平面1MNE D 所成的角．…………………7分 连接DN ，设点A 到平面DMN 的距离为h ，直线AD 与平面1MNE D 所成的角为θ， 则sin hADθ=．……………………………………………………………………………………………8分 C 1BA 1B 1 D 1CDMNEFE 1F 1因为A DMN D AMN V V --=，即1133DMN AMN S h S DB ∆∆⨯⨯=⨯⨯．…………………………………………9分 在边长为3的正六边形ABCDEF中，DB =6DA =， 在△ADM 中，6DA =，1AM =，60DAM ∠=，由余弦定理可得，DM =在Rt △DAN 中，6DA =，1AN =，所以DN =． 在Rt △AMN 中，1AM =，1AN =，所以MN = 在△DMN中，DM =DN =MN =由余弦定理可得，cos DMN ∠=，所以sin DMN ∠=所以1sin 2DMN S MN DM DMN ∆=⨯⨯⨯∠=．…………………………………………………11分 又12AMN S ∆=，……………………………………………………………………………………………12分所以AMN DMN S DB h S ∆∆⨯==．…………………………………………………………………………13分所以sin h AD θ==． 故直线BC 与平面1MNE D14分 19．（本小题满分14分）（1）解：因为()111,P a b 是直线l ：31y x =+与y 轴的交点()0,1，所以10a =，11b =．……………………………………………………………………………………2分 因为数列{}n a 是公差为1的等差数列，所以1n a n =-．……………………………………………………………………………………………4分 因为点(),n n n P a b 在直线l ：31y x =+上，所以31n n b a =+32n =-．所以数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为1n a n =-，32n b n =-()*n ∈N ．………………………6分 （2）证明：因为()10,1P ，()1,32n P n n --，所以()1,31n P n n ++． 所以()222211310n PP n n n +=+=．………………………………………………………………………7分 所以222121311111n PP PP PP ++++22211111012n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭．……………………………………8分 因为()()2221144112141212121214n n n n n n n ⎛⎫<===- ⎪--+-+⎝⎭-，……………………………10分 所以，当2n ≥时，222121311111n PP PP PP ++++111111210352121n n ⎡⎤⎛⎫<+-++- ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎣⎦……………………………………………………………11分 15110321n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭………………………………………………………………………………………12分 16<． 又当1n =时，212111106PP =<．………………………………………………………………………13分 所以22212131+111116n PP PP PP +++<．……………………………………………………………14分。
2019-2020年高三第二次模拟考试(数学理)(III).doc
2019-2020年高三第二次模拟考试（数学理）(III)说明：一、本试卷包括三道大题，22道小题，共150分。
其中第一道大题为选择题。
二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。
三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑。
如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案。
四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B ) 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。
1．复数432ii+-=（ ）A ．1-2iB ．1+2iC ．-1+（2iD ．-1-2i2．设3tan ,sin cos 2παπααα=<<-则的值 （ ）A ．12-+B ．12-C ．12D ．12-3．等差数列{}n a 的前n 项和为5128,11,186,n S a S a ==则= （ ）A ．18B ．20C ．21D ．224．已知集合{|||2}A x R x =∈<，B ={R x ∈∣}5221<<x ,则A ∩B= （ ）A ．{|12}x R x ∈-<<B ．{|22}x R x ∈-<<C ．2{|2log 5}x R x ∈-<<D ．2{|1log 5}x R x ∈-<<5．球O 的半径为1，该球的一小圆O 1上两点A 、B 的球面距离为1,3OO π=，则1A OB ∠=（ ）A ．3π B ．2π C ．23π D ．π6．曲线y =1，1）处的切线方程为 （ ） A ．210x y -+= B ．320x y --=C ．3210x y --=D ．3250x y +-=7．已知双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>的离心率为2，则椭圆221mx ny +=的离心率为（ ）A ．13B ．3C ．3D ．38．P 为椭圆22143x y +=上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若1260F PF ∠=︒，则12PF PF ⋅=（ ）A ．3B C ．D ．29．在正四面体ABCD 的面上，到棱AB 以及C 、D 两点的距离都相等的点共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．函数y =（ ）（ ）A ．2B ．3C D 11．定义在R 上的函数()f x 的反函数为1()f x -，且对任意的x 都有,2)6()(=-+x f x f 若ab=100,则()()=+--b f a f lg lg 11（ ）A ．2B ．3C ．4D ．612．已知正数x 、y 、z 满足xyzzS z y x 21,1222+==++则的最小值为（ ）A ．3B ．1)2C ．4D ．1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
广东省广州、深圳市学调联盟2019-2020学年高三下学期第二次调研数学(理)试题(解析版)
先建系，由三点共圆得点A的轨迹方程为 ，则 ，则 ，再由 在 方向上投影的几何意义可得解．
【详解】
建立如图所示的平面直角坐标系，则B（- ，0），C（ ，0），P（0，0），
由 可知，ABC三点在一个定圆上，且弦BC所对的圆周为 ，即圆心为 ，半径为 .
【答案】
【解析】
【分析】
由函数的零点与方程的关系，运用韦达定理，以及等比数列的中项性质可得b＝4，再由等差数列的中项性质，解方程可得a，进而得到所求解析式.
【详解】解：函数 （ ， ）有两个不同的零点 ， ，
可得 ，且 ，
和 ， 三个数适当排序后既可成为等差数列，也可成为等比数列，
可得 ，
再设−2， ， 为等差数列，可得 ，
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
采用列举法，将从5人中抽调2人的基本事件总数求出，再找到抽调的两人刚好为一男一女所包含的基本事件个数，结合古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【详解】记两名男性为 ，三名女性为 ，则从5人中抽调2人有 ， ， ，
， ， ， ， ， ， 共10种不同结果，抽调的两人刚
所以点A的轨迹方程为： ，则 ，则 ，
由 在 方向上投影的几何意义可得： 在 方向上投影为|DP|=|x|，
则 在 方向上投影的最大值是 ，
故选C．
【点睛】本题考查了轨迹问题及平面向量数量积的运算，属中档题．
5.若深圳人民医院有5名医护人员，其中有男性2名，女性3名．现要抽调两人前往湖北进行支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为（）
【详解】解：设椭圆的右焦点 ，连接 ， ，根据椭圆对称性可知四边形 为平行四边形，
则 ，且由 ，可得 ，
2020广州高三二模数学试题及答案(理科)
试卷类型： A2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数 学（理科） 2020．4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B •=•.如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()n P k =C ()1n kk k np p --()0,1,2,,k n =L .两数立方差公式: ()()3322a b a b a ab b -=-++.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定2. 已知全集U =A B U中有m 个元素，()()U U A B U 痧中有n 个元素．若A B I 非空， 则AB I 的元素个数为A ．mnB ．m n +C ．m n -D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 1 C.3 D.9 4. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, 则下列命题中正确的是 A. 若//,m n n α⊂,则//m α B. 若//,//m n n α,则//m α C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若m ⊥5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()2,x f x g x ==则()2h 的值为(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” A.9 B. 8 C. 6 D. 46. 已知点(),P x y 的坐标满足10,30,2.x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩O 为坐标原点, 则PO 的最小值为A.2 B. 2图1 7. 已知函数()sin f x x x =, 若12,,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且()()12f x f x <, 则下列不等式中正确的是A. 12x x >B. 12x x <C. 120x x +<D. 2212x x <8. 一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车, 当他离汽车25米时交通灯由红变绿, 汽车开始作变速直线行驶 (汽车与人的前进方向相同), 汽车在时刻t 的速度为()v t t =米/秒, 那么, 此人A. 可在7秒内追上汽车B. 可在9秒内追上汽车C. 不能追上汽车, 但其间最近距离为14米D. 不能追上汽车, 但其间最近距离为7米二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．若函数()()()cos cos 02f x x x π⎛⎫=ω-ωω> ⎪⎝⎭的最小正周期为π,则ω的值为 .10. 已知椭圆C的离心率2e =, 且它的焦点与双曲线2224x y -=的焦点重合, 则椭圆C 的方 程为 .11．甲、乙两工人在一天生产中出现废品数分别是两个随机变量ξ、η，其分布列分别为：若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是 . 12.图2是一个有n 层()2n ≥的六边形点阵.算作第一层, 第2层每边有2个点,第3层每边有3个点 ,…第n 层每边有n 个点, 则这个点阵的点数共有 个.13.已知2nx ⎫⎪⎭的展开式中第5项的系数与第3图3则该展开式中2x 的系数为 . 图2（二）选做题（14~ 15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的参数方程为1,42.x t y t =+⎧⎨=-⎩(参数t ∈R),圆C 的参数方程为2cos 2,2sin .x y θθ=+⎧⎨=⎩(参数[]0,2θπ∈),则直线l 被圆C 所截得的弦长为 .15.(几何证明选讲选做题)如图3, 半径为5的圆O 的两条弦AD 和BC 相交于点P , ,OD BC P ⊥为AD 的中点, 6BC =, 则弦AD 的长度为 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，16. （本小题满分12分）已知1tan 2,tan 42παβ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.(1) 求tan α的值; (2) 求()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++的值.17. （本小题满分12分）如图4, 在直角梯形ABCD 中, 90,30,1,ABC DAB CAB BC AD CD ︒︒∠=∠=∠===, 把△DAC 沿对角线AC 折起后如图5所示(点D 记为点P ), 点P 在平面ABC 上的正投影E 落在线段AB 上, 连接PB .(1) 求直线PC 与平面PAB 所成的角的大小; (2)求二面角P AC B --的大小的余弦值.D BCAEPBCA图4 图518.（本小题满分14分）一射击运动员进行飞碟射击训练, 每一次射击命中飞碟的概率p 与运动员离飞碟的距离s (米)成反比, 每一个飞碟飞出后离运动员的距离s (米)与飞行时间t (秒)满足()()15104s t t =+≤≤, 每个飞碟允许该运动员射击两次(若第一次射击命中,则不再进行第二次射击).该运动员在每一个飞碟飞出0.5秒时进行第一次射击, 命中的概率为45, 当第一次射击没有命中飞碟, 则在第一次射击后 0.5秒进行第二次射击,子弹的飞行时间忽略不计.(1) 在第一个飞碟的射击训练时, 若该运动员第一次射击没有命中, 求他第二次射击命中飞碟的概率;(2) 求第一个飞碟被该运动员命中的概率;(3) 若该运动员进行三个飞碟的射击训练(每个飞碟是否被命中互不影响), 求他至少命中两个飞碟的概率.19. （本小题满分14分）已知抛物线C :22x py =()0p >的焦点为F ,A 、B 是抛物线C 上异于坐标原点O 的 不同两点，抛物线C 在点A 、B 处的切线分别为1l 、2l ，且12l l ⊥，1l 与2l 相交于点D . (1) 求点D 的纵坐标；(2) 证明：A 、B 、F 三点共线；(3) 假设点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，问是否存在经过A 、B 两点且与1l 、2l 都相切的圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由.20. （本小题满分14分）已知函数()32f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的. (1) 求a 的值和b 的取值范围;(2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤.21. （本小题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足11a b =,且对任意n ∈N *都有1n n a b +=, 121n n n na ba a +=-. (1) 求数列{}n a 和{}nb 的通项公式; (2) 证明:()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L .2020年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．1 10.22182x y+= 11. 乙 12. 2331n n-+ 13.18014．515.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查两角和与差的三角公式等知识, 考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)（1）解法1：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 421tan tan 4+=-παπα. …2分 ∴1tan 21tan αα+=-.解得1tan 3α=. (4)分解法2：∵tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦tan tan441tan tan44ππαππα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭…2分 21121-=+⨯13=. …4分 （2）解:()()sin 2sin cos 2sin sin cos αβαβαβαβ+-++sin cos cos sin 2sin cos 2sin sin cos cos sin sin αβαβαβαβαβαβ+-=+- …6分cos sin sin cos cos cos sin sin αβαβαβαβ-=+()()sin cos βαβα-=- …8分()tan βα=-DB CAtan tan 1tan tan -=+βαβα…10分112311123-=+⨯17=. …12分17. （本小题满分12分）(本小题主要考查空间线面关系、空间角等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) 方法一:(1) 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的正投影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,图 5FEPBCA∴BC ⊥平面PAB .∴CPB ∠为直线PC 与平面PAB 所成的角. …4分 在Rt △CBP 中, 1,2BC PC DC ===, ∴1sin 2BC CPB PC ∠==. ∵090CPB ︒︒<∠<, ∴30CPB ︒∠=.∴直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …6分 (2) 解:取AC 的中点F , 连接PF ,EF .∵ =PA PC , ∴ ⊥PF AC .∵PE ⊥平面ABC ,AC ⊂平面ABC , ∴PE AC ⊥.∵,=⊂I PF PE P PF 平面PEF , PE ⊂平面PEF , ∴AC ⊥平面PEF . ∵⊂EF 平面PEF , ∴⊥EF AC . ∴PFE ∠为二面角P AC B --的平面角. …8分在Rt △EFA 中,11302︒==∠=AF AC ,FAE , ∴=EF AF tan 30︒⋅3=3==AE . 在Rt △PFA 中,==PF 在Rt △PEF中，1cos 3∠===EF PFE PF .DB CA图5CA∴二面角P AC B --的大小的余弦值为13. …12分 方法二: 解:在图4中,∵90,30,1,ABC DAB CAB BC ︒︒∠=∠=∠==∴tan 30BC AB ︒===, 121sin 302BC AC ︒===, 60DAC ︒∠=. ∵AD CD =,∴△DAC 为等边三角形.∴2AD CD AC ===. …2分 在图5中,∵点E 为点P 在平面ABC 上的射影,∴PE ⊥平面ABC . ∵BC ⊂平面ABC , ∴PE ⊥BC .∵90CBA ︒∠=, 图4 ∴BC AB ⊥.∵,PE AB E PE =⊂I 平面PAB , AB ⊂平面PAB ,∴BC ⊥平面PAB 连接EC ,在Rt △PEA 和Rt △PEC 中,2,PA PC PE PE ===, ∴Rt △PEA ≅Rt △PEC . ∴EA EC =.∴30ECA EAC ︒∠=∠=.∴60CEB ︒∠=. 在Rt △CBE中，tan 603BC EB ︒===.∴3AE AB EB =-=. 在Rt △PEA中，PE ==. …6分以点E 为原点,EB 所在直线为x 轴,与BC 平行的直线为y 轴,EP 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系E xyz -,则()0,0,0E,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ⎫⎪⎪⎝⎭,C ⎫⎪⎪⎝⎭, 0,0,3P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. ∴()0,1,0BC =u u u r,0,0,3EP ⎛= ⎝⎭u u u r,)AC =u u u r,,1,33PC ⎛=- ⎝⎭u u u r . (1)∵cos ,BC PC BC PC BC PC ==u u u r u u u ru u u r u u u r g u u u r u u u r 12,∴,30BC PC ︒=u u u r u u u r.∴ 直线PC 与平面PAB 所成的角为30︒. …9分(2) 设平面PAC 的法向量为n (),,x y z =,由0,0.⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r g u u u r g n AC n PC得0,0y x y z +=+-=.令1x =,得y =2=-z . ∴n 1,2⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭为平面PAC 的一个法向量.∵EP ⎛= ⎝⎭u u u r 为平面ABC 的一个法向量,∴cos ,=u u u r n EP u u u rg u u u r n EP n EP13=-.∵二面角P AC B --的平面角为锐角, ∴二面角P AC B --的平面角的余弦值为13. …12分 18. （本小题满分14分）(本小题主要考查古典概型、二项分布等知识, 考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)(1)解:依题意设(kp k s=为常数),由于()()15104s t t =+≤≤,∴()()04151kp t t =≤≤+. …2分当0.5t =时, 145p =, 则()45150.51k =⨯+,解得18k =.∴()()()1860415151p t t t ==≤≤++. …4分当1t =时, 263525p ==⨯. ∴该运动员第二次射击命中飞碟的概率为35. …6分 (2)解:设“该运动员第一次射击命中飞碟”为事件A ，“该运动员第二次射击命中飞碟”为事件B ，则“第一个飞碟被该运动员命中”为事件：A AB +. …7分∵()()43,55P A P B ==，∴()()()()P A AB P A P A P B +=+44323155525⎛⎫=+-⨯= ⎪⎝⎭. ∴第一个飞碟被该运动员命中的概率为2325. …10分 (3)解:设该运动员进行三个飞碟的射击训练时命中飞碟的个数为ξ, 则23325B ,ξ⎛⎫⎪⎝⎭:.∴至少命中两个飞碟的概率为()()23P P P ξξ==+= …12分=C ()2231p p -+ C 333p23232233252525⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1534115625. …14分 19. （本小题满分14分）(本小题主要考查直线、圆、抛物线、曲线的切线等知识, 考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:设点A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ， ∵ 1l 、2l 分别是抛物线C 在点A 、B 处的切线， ∴直线1l 的斜率1'11x x x k y p===，直线2l 的斜率2'22x x x k y p===.∵ 12l l ⊥, ∴121k k =-, 得212x x p =-.① …2分 ∵A 、B 是抛物线C 上的点,∴ 221212,.22x x y y p p== ∴ 直线1l 的方程为()21112x x y x x p p -=-,直线2l 的方程为()22222x x y x x p p-=-. 由()()21112222,2,2x x y x x p p x x y x x p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得12,2.2x x x p y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴点D 的纵坐标为2p-. …4分 (2) 证法1：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴ 直线AF 的斜率为21221111122202AFx p p y x p p k x x px ---===-， 直线BF 的斜率为22222222222202BFx p p y x p p k x x px ---===-. ∵2222121222AF BFx p x p k k px px ---=-…6分 ()()22222112122x x p x x p px x ---=()()2121212122x x x x p x x px x -+-=()()221212122p x x p x x px x --+-=0=. ∴AF BF k k =. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分证法2：∵ F 为抛物线C 的焦点， ∴ 0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭.∴2221111,,222x p x p AF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r ，2222222,,222x p x p BF x x p p ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r . ∵ 221222112112222222122222p x p x x x x x pp x p x x x x x p ----===----, …6分∴ //AF BF u u u r u u u r .∴A 、B 线证法3：设线段AB 的中点为E , 则抛物线C 的准线为:2pl y =-. 作11,AA l BB l ⊥⊥, 垂足分别为11,A B∵ 由(1)知点D 的坐标为12,22x xp +⎛⎫- ⎪⎝⎭,∴DE l ⊥.∴DE 是直角梯形11AA B B 的中位线. ∴()1112DE AA BB =+. …6分根据抛物线的定义得:11,AA AF BB BF ==, ∴()()111122DE AA BB AF BF =+=+. ∵AD DB ⊥,E 为线段AB 的中点,∴12DE AB =. ∴()1122AB AF BF =+,即AB AF BF =+. ∴A 、B 、F 三点共线. …8分 (3)解: 不存在. 证明如下：假设存在符合题意的圆，设该圆的圆心为M ， 依题意得,MA AD MB BD ⊥⊥，且MA MB =， 由12l l ⊥，得AD BD ⊥. ∴ 四边形MADB 是正方形. ∴AD BD =. …10分∵点D 的坐标为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴12-=-p,得2p =. 把点D 3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入直线1l , 得211131422x x x ⎛⎫--=⨯- ⎪⎝⎭解得14x =或11x =-,∴点A 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.同理可求得点B 的坐标为()4,4或11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.由于A 、B 是抛物线C 上的不同两点，不妨令11,4A ⎛⎫- ⎪⎝⎭,()4,4B .∴AD ==, BD ==. (13)分∴AD BD ≠, 这与AD BD =矛盾. ∴经过A 、B两点且与1l 、2l 都相切的圆不存在. …14分 20. （本小题满分14分）(本小题主要考查函数和方程、函数导数、不等式等知识, 考查函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1) 解:∵()32f x x x ax b =-++, ∴()'232f x x x a =-+.∵()32f x x x ax b =-++的一个极值点为1x =, ∴()'2131210f a =⨯-⨯+=.∴ 1a =-. …2分∴()()()'2321311f x x x x x =--=+-,当13x <-时, ()'0f x >;当113x -<<时, ()'0f x <;当1x >时, ()'0f x >;∴函数()f x 在1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上单调递增, 在1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[)1,+∞上单调递增.∵方程20ax x b ++=的两个实根为,αβ, 即20x x b --=的两根为,αβ()αβ<,∴αβ==. ∴1,b αβαβ+==-,αβ-=…4分∵ 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的,∴区间[],αβ只能是区间1,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,1,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,[)1,+∞之一的子区间.由于1,αβ+=αβ<,故[]1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.若0α<,则1αβ+<,与1αβ+=矛盾. ∴[][],0,1αβ⊆. ∴方程20x x b --=的两根,αβ都在区间[]0,1上. …6分令()2g x x x b =--, ()g x 的对称轴为[]10,12x =∈,则()()00,10,140.g b g b b =-≥⎧⎪=-≥⎨⎪∆=+>⎩解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分说明:6分至8分的得分点也可以用下面的方法.∵1111,2222αβ-+=≤=≥且函数()f x 在区间[],αβ上是单调的, ∴ []1,,13αβ⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦.由1,31,140.b αβ⎧≥-⎪⎪≤⎨⎪∆=+>⎪⎩即11,231,140.b ⎧-≥-⎪≤⎪+>⎪⎪⎪⎩…6分 解得104b -<≤.∴实数b 的取值范围为1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦. …8分 (2)证明:由(1)可知函数()f x 在区间[],αβ上单调递减, ∴函数()f x 在区间[],αβ上的最大值为()f α, 最小值为()f β. ∵[]12,,x x αβ∈,∴()()()()12f x f x f f αβ-≤-()()3232b b αααβββ=--+---+ ()()()3322αβαβαβ=-----()()()21αβαβαβαβ⎡⎤=-+--+-⎣⎦()1b =-()1b =-. …10分令t =则()2114b t =-()1b -()3154t t =-. 设()()3154h t t t =-, 则()()'21534h t t =-.∵104b -<≤,∴01t <≤.∴()()'21534h t t =-0>. ∴函数()()3154h t t t =-在(]0,1上单调递增. …12分∴()()11h t h ≤=.∴ ()()121f x f x -≤. …14分21. （本小题满分14分）(本小题主要考查导数及其应用、数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:∵对任意n ∈N *都有1n n a b +=,121n n n na ba a +=-, ∴12211111n n n n n n na b a a a a a +-===--+. ∴1111n na a +=+,即1111n n a a +-=. …2分∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11a ,公差为1的等差数列.∵11a b =, 且111a b +=, ∴11a b =12=. ∴()1211nn n a =+-=+. …4分 ∴ 11n a n =+, 11n n nb a n =-=+. …6分(2)证明: ∵11n a n =+, 1n nb n =+, ∴1n n a b n =.∴所证不等式()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L , 即()1111111ln 11234123n n n++++<+<+++++L L . ① 先证右边不等式: ()111ln 1123n n +<++++L .令()()ln 1f x x x =+-, 则()'1111xf x x x=-=-++. 当0x >时, ()'0f x <,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减. ∴当0x >时,()()00f x f <=, 即()ln 1x x +<. …8分分别取1111,,,,23x n=L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 112323n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111111ln 1111112323n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g L .也即341111ln 212323n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯<++++ ⎪⎝⎭L L . 即()111ln 1123n n+<++++L . …10分② 再证左边不等式: ()1111ln 12341n n ++++<++L . 令()()ln 11x f x x x =+-+, 则()()()'2211111x f x x x x =-=+++. 当0x >时, ()'0f x >,所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递增. ∴当0x >时,()()00f x f >=, 即()ln 11xx x +>+. …12分 分别取1111,,,,23x n =L .得()111111ln 11ln 1ln 1ln 123231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++>+++ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L .即()111ln 1111123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g g gL g 111231n >++++L . 也即341111ln 223231n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯>+++ ⎪+⎝⎭L L . 即()111ln 1231n n +>++++L . ∴()31324122341123ln 1n n n na a aa a a a a nb b b b b b b b ++++++<+<++++L L . …14分。
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广东省广州市2019届第二次模拟考试
文科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合|8Uxx，集合2|80Axxx，则UCA（ ）
A．,8 B．,0 C．,0 D．
2.下列命题正确的是（ ）
A．命题“若，则sinsin”的逆否命题为真命题
B．命题“若ab，则22acbc”的逆命题为真命题
C．命题“0,50xx”的否定是“000,50xx”
D．“1x”是“ln20x”的充分不必要条件
3.已知tan3，则sin21cos2（ ）
A．-3 B．13 C．13 D．3
4.已知向量b在向量a方向上的投影为2，且1a，则ab （ ）
A．-2 B．-1 C. 1 D．2
5.若点P为圆221xy上的一个动点，点1,0,1,0AB为两个定点，则PAPB的
最大值是 （ ）
A．2 B．22 C. 4 D．42
6.《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的
直三棱柱称为堑堵.将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方
形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均匀直角三角形的四面
体）.在如图所示的堑堵111ABCABC中，15,3,4AAACABBC，则阳马
111
CABBA
的外接球的表面积是 （ ）