江苏省响水中学高三数学一轮复习 第4950课时 平面的基本性质与空间两直线的位置关系教学案 文
2023年高考数学一轮复习课件：第八章 8-3空间点、直线、平面之间的位置关系
跟踪训练3 (1)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱BB1的中点， 用过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视 图是
√
在正方体ABCD－A1B1C1D1中， 过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后， 剩余部分的直观图如图. 则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.
(2)当AC，BD满足条件__A_C__＝__B_D_且__A_C__⊥__B_D___时，四边形 EFGH为正方形.
∵四边形EFGH为正方形， ∴EF＝EH且EF⊥EH， ∵EF 綉12AC，EH 綉12BD， ∴AC＝BD且AC⊥BD.
TANJIUHEXINTIXING
探究核心题型
题型一 平面基本性质的应用 例1 如图所示，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1， C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
√C.l⊄α，A∈l⇒A∉α
D.A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合
对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对； 对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β ＝AB，B对； 对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错； 对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对.
教师备选
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中 点，连接D1F，CE.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
如图所示，连接CD1，EF，A1B， ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥A1B，且 EF＝12A1B. 又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC， ∴四边形A1BCD1是平行四边形， ∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1， ∴EF与CD1能够确定一个平面ECD1F， 即E，C，D1，F四点共面.
高三数学第一轮复习：平面性质及空间直线苏教版
高三数学第一轮复习：平面性质及空间直线苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：平面性质及空间直线二、教学目标：1、了解：柱、锥、台、球及其简单组合体、三视图与直观图、平面及其基本性质 理解并会应用平面的基本性质 会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图 掌握证明关于“线共点”、“线共面”、“点共线”的方法 4会作几何体的截面图三、知识要点： 1、平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 2、平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⎬∈⎭Ø．如图示：应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面． 公理 1 说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭I 且A l ∈且l 唯一如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上 公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：A ，B ，C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈．应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，α⊄l 。
高一数学平面的基本性质;空间两条直线位置关系苏教版知识精讲
高一数学平面的基本性质；空间两条直线位置关系苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：平面的基本性质；空间两条直线位置关系二、教学目标：1. 了解空间图形的组成要素：点、线、面；理解并掌握公理1、2、3及其推论的意义，并能用于进行简单的证明；能正确表示空间点、线面之间的关系。
2. 会证明一些简单的线面关系；掌握确定两平面交线的方法。
3. 掌握空间两条直线位置关系。
4. 理解异面直线所成角的定义、范围；掌握把异面直线所成角转化为平面角的思维方法；能解决一些简单的异面直线所成角问题。
三、知识要点：（一）平面的基本性质 1. 平面（1）平面是无限延展的面，是没有边界的。
（2）几何画法：通常用平行四边形来表示平面。
（3）表示方法：如平面a ，平面AC ，平面ABCD（4）相交平面的画法：画相交平面时，虚线实线要清楚。
2. 点、线、面的位置关系（集合语言表示法）空间点、线、面的表示：空间是以点为基本元素，那么直线、平面可以看成是点的集合，通常点用大写字母A 、B 、C 表示，直线用小写字母a,b,c 表示，平面用字母a ,βγ表示。
（1）点A 在平面a 内，符号表示α∈A （2）点Ｐ 在直线l 上，符号表示l P ∈ （3）点B 在平a 外， 符号表示α∉B（4）点Q 不 在直线l 上，符号表示l Q ∉ （5）直线l 在平面a 内,符号表示α⊂l（6）直线a 与b 相交于点A, 符号表示a b A =I（7）直线l 不在平面 a 内，符号表示 l α⊄ 3. 平面的基本性质要把一根木条固定在墙上需要钉几个钉子？为什么？这个例子说明了什么？公理1：如果一条直线上有两个点在平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内，这时称直线在平面内。
A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭符号表示为：公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它的公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线。
p l p l p ααββ∈⎫⇒=∈⎬∈⎭I 符号表示为：且问题：（1）测量架有几条腿？这说明了什么？（2）两个点能确定一个平面吗？任意三点能确定一个平面吗？ 公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 理
4．公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个 平面； 推论 2：经过两条 相交 直线有且只有一个平面； 推论 3：经过两条 平行 直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？ 提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确 定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段 法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线 平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形 平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？ 提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能 异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平 行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交． 设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．
立体几何与空间向量之 空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与 点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.
(江苏专用)2020版高考数学总复习第八章第一节空间点、直线、平面之间的位置关系课件苏教版
且AC⊥BD.
5.(2017江苏海安高级中学模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是BD1的
中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,给出下列四个结论:
①A1、M、O三点共线;
②M、O、A1、A四点共面;
③A、O、C、M四点共面;
④B、B1、O、M四点共面.
其中正确结论的序号是
.
答案 ①②③ 解析 因为O是BD1的中点,由正方体的性质知,O也是A1C的中点,所以 点O在直线A1C上,又直线A1C交平面AB1D1于点M,则A1、M、O三点共线, 故①正确.又由题意易知②③均正确,所以①②③正确.
考点二 空间两直线的位置关系
典例2 (1)如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则各
图形中直线GH与MN是异面直线的是
.(填序号)
(2)下图是正方体的一种表面展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方
体中互相异面的对数为
.
答案 (1)②④ (2)3
解析 (1)①中,直线GH∥MN;②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,N ∉直线GH,因此直线GH与MN异面;③中,连接MG,易知GM∥HN,因此 GH与MN共面;④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,G∉直线MN,因此 直线GH与MN异面. (2)将展开图还原为正方体,如图所示,
1-1 如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,
∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC= 1 AD,BE∥AF,BE= 1AF,G、H分别为
2
2
FA、FD的中点.
(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?说明理由.
[推荐学习]2018高考数学一轮复习第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系课时
第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在下列命题中，不是公理的是( )①平行于同一个平面的两个平面相互平行；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内；④如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．①[①不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；②③④是平面的基本性质公理．]2．已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为____________．1[法一：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．法二：构造长方体或正方体模型可快速判断，①②错，③正确．]3．(2016·南京模拟)下列命题中正确的是____________．(填序号)①空间四点中有三点共线，则此四点必共面；②三个平面两两相交的三条交线必共点；③空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④平面α和平面β可能只有一个交点．①[由公理3的推论1可知①正确；其余均错误．]4．已知α，β为两个不重合的平面，A，B，M，N为相异四点，a为直线，则下列推理错误的是____________．(填序号)①A∈a，A∈β，B∈a，B∈β⇒a⊂β；②M∈α，M∈β，N∈α，N∈β⇒α∩β＝MN；③A∈α，A∈β⇒α∩β＝A.③[由公理1及公理2可知①②正确，③错误．]5．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，E，F分别是棱A1A，C1C的中点．若∠BFC＝60°，则∠ED1D＝____________.【导学号：62172216】60° [∵BF ∥D 1E ，DD 1∥CF ，∴由等角定理可知∠BFC ＝∠ED 1D ＝60°.]6．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，CC 1的中点，那么异面直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为____________．35[连结DF ， 则AE ∥DF ，∴∠D 1FD 即为异面直线AE 与D 1F 所成的角． 设正方体棱长为a ，则D 1D ＝a ，DF ＝52a ，D 1F ＝52a ， ∴cos ∠D 1FD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52a 2－a22·52a ·52a＝35.]7.如图397所示，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：图397①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线； ④直线MN 与AC 所成的角为60°.其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④ [由题图可知AM 与CC 1是异面直线，AM 与BN 是异面直线，BN 与MB 1为异面直线． 因为D 1C ∥MN ，所以直线MN 与AC 所成的角就是D 1C 与AC 所成的角，且角为60°.] 8.如图398所示，在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面直线AB 1与BD 所成的角为________．图39860° [取A1C 1 的中点E ，连结B 1E ，ED ，AE ， 在Rt △AB 1E 中，∠AB 1E 即为所求， 设AB ＝1，则A 1A ＝2，AB 1＝3，B 1E ＝32，AE ＝32，故∠AB 1E ＝60°.] 9．如图399，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.【导学号：62172217】图3994 [取CD 的中点为G (图略)，由题意知平面EFG 与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF 在平面内，所以直线EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.]10.如图3910是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G ，H ，M ，N 分别为DE ，BE ，EF ，EC 的中点，在这个正四面体中，图3910①GH 与EF 平行； ②BD 与MN 为异面直线； ③GH 与MN 成60°角； ④DE 与MN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是____________．②③④ [把正四面体的平面展开还原，如图所示，GH 与EF 为异面直线，BD 与MN 为异面直线，GH 与MN 成60°角，DE ⊥MN .]二、解答题11.如图3911，空间四边形ABCD 中，E ，F ，G 分别在AB ，BC ，CD 上，且满足AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝2∶1，CG ∶GD ＝3∶1，过E 、F 、G 的平面交AD 于点H .图3911(1)求AH ∶HD ；(2)求证：EH ，FG ，BD 三线共点． [解] (1)∵AE EB ＝CFFB＝2，∴EF ∥AC ，∴EF ∥平面ACD ，而EF ⊂平面EFGH ， 平面EFGH ∩平面ACD ＝GH ， ∴EF ∥GH ，∴AC ∥GH . ∴AH HD ＝CG GD＝3.∴AH ∶HD ＝3∶1.(2)证明：∵EF ∥GH ，且EF AC ＝13，GH AC ＝14，∴EF ≠GH ，∴四边形EFGH 为梯形． 令EH ∩FG ＝P ，则P ∈EH ，而EH ⊂平面ABD ， 又P ∈FG ，FG ⊂平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， ∴P ∈BD .∴EH ，FG ，BD 三线共点．12.如图3912，E ，F 分别是长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱A 1A ，C 1C 的中点，求证：四边形B 1EDF 是平行四边形. 【导学号：62172218】图3912证明：设Q 是DD1的中点，连结EQ ，QC 1，如图．因为E 是AA 1的中点，Q 是DD 1的中点，所以EQ 綊A 1D 1.又A 1D 1綊B 1C 1，所以EQ 綊B 1C 1，所以四边形EQC 1B 1为平行四边形，所以B 1E 綊C 1Q .又Q ，F 分别是D 1D ，C 1C 的中点， 所以QD 綊C 1F ，所以四边形DQC 1F 为平行四边形， 所以C 1Q 綊DF .故B 1E 綊DF ，所以四边形B 1EDF 是平行四边形．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是____________． ①若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面；②若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线； ③若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC ； ④若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC .③ [①中，若AC 与BD 共面，则A ，B ，C ，D 四点共面，则AD 与BC 共面；②中，若AC 与BD 是异面直线，则A ，B ，C ，D 四点不共面，则AD 与BC 是异面直线；③中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD 不一定等于BC ；④中，若AB ＝AC ，DB ＝DC ，可以证明AD ⊥BC .]2.如图3913，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．图391336[取DE 的中点H ，连结HF ，GH . 由题设，HF 綊12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)． 在△GHF 中，可求HF ＝2，GF ＝GH ＝6，∴cos ∠GFH ＝22＋62－622×2×6＝36.] 3．空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 与AB 所成角的大小．图3914[解] 如图，取AC 的中点G ，连结EG ，FG ，则EG 綊12AB ，FG 綊12CD ，由AB ＝CD 知EG ＝FG ，∴∠GEF (或它的补角)为EF 与AB 所成的角，∠EGF (或它的补角)为AB 与CD 所成的角．∵AB 与CD 所成的角为30°， ∴∠EGF ＝30°或150°.由EG ＝FG 知△EFG 为等腰三角形， 当∠EGF ＝30°时，∠GEF ＝75°； 当∠EGF ＝150°时，∠GEF ＝15°. 故EF 与AB 所成的角为15°或75°.4．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面．(2)若A 1C 交平面DBFE 于点R ，则P ，Q ，R 三点共线． [证明] (1)∵E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点， ∴连结D 1B 1(图略)，易知EF ∥D 1B 1.在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ，所以EF ∥BD . 所以EF ，BD 确定一个平面． 即D ，B ，F ，E 四点共面．(2)在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，设平面A 1ACC 1确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β， 因为Q ∈A 1C 1，所以Q ∈α.又因为Q ∈EF ，所以Q ∈β，则Q 是α与β的公共点， 同理，P 点也是α与β的公共点， 所以α∩β＝PQ .又因为A 1C ∩β＝R ，所以R ∈A 1C ， 则R ∈α且R ∈β，则R ∈PQ ，故P ，Q ，R 三点共线．。
高考数学一轮复习第八章立体几何第39课平面的基本性质与空间两条直线的位置关系课件
2．判定空间两条直线是异面直线的方法 (1)判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直 线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或 证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 3．求两条异面直线所成角的大小，一般方 法是通过平行移动直线，把异面问题转化为相 交直线的夹角，体现了转化与化归思想．
则∠A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD1 所成的角．
连结 A1C1，由 AB＝1，AA1＝2，
则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，
在△A1BC1 中，由余弦定理得
cos∠A1BC1＝2×5＋55－×2 5＝45.
(2)设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1. ∵平面 α∥平面 CB1D1，∴m1∥m. 又平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1， 且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m. ∵平面 ABB1A1∥平面 DCC1D1， 且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝CD1，
2．(教材改编)如图 39-1 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，则异面直线 B1C 与 EF 所成 的角的大小为____________．
60° [连结 B1D1，D1C(图略)，则 B1D1∥EF， 故∠D1B1C 为所求的角， 又 B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°.]
5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置关系是________． [答案]b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α
平面的基本性质
如图 39-2，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别 是 AB 和 AA1 的中点．求证：
2021年江苏高考数学一轮复习课件： 第7章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系
后 限
一条直线．
课
堂 考
(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．
时
( )集
训
()
点
探 究
(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． ( )
返 首 页
课
前
自
主 回
(4)若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异
课
顾
后
面．
( )限
Hale Waihona Puke 时集课 堂
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)×
课 前 自 主 回 顾
第二节
课 堂 考 点 探 究
第七章 立体几何
课
后
限
空间点、直线、平面之间的位置
时 集
训
关系
返 首 页
课
前
自
主
回 顾
[最新考纲] 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以 课 后
作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证
限 时
集
课 明一些空间位置关系的简单命题．
训
堂
考
点
探
究
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课
前
自 主 回
课前自主回顾
课
顾
后
限
时
集
课
训
堂
考
点
探
究
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课
前
自
主 回
1. 四个公理
课
顾
公理1：如果一条直线上的
两点
在一个平面内，那么这条直线
后 限
时
在此平面内．
集
课
训
堂 考
第七章 第2讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课件2025届高三数学一轮复习
③
解析：①忽略了 在 内这一情况，故①错误；②直线 与 没有交点，所以直线 与 可能异面也可能平行，故②错误；③直线 与平面 没有公共点，所以 ，故③正确；④直线 与平面 可能相交也可能平行，故④错误.
1.异面直线的判定过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线.
2.几个唯一性结论
（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（2）过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直；
（3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
【用一用】
1.如图，在直三棱柱 的棱所在的直线中，与直线 成异面直线的条数为( )
不在一条直线上
两个点
一条
基本事实4：平行于同一条直线的两条直线______.
平行
（2）“三个”推论 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有______平面.推论2：经过两条______直线，有且只有一个平面.推论3：经过两条______直线，有且只有一个平面.[提醒] 三点不一定能确定一个平面.当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面.
点、线、面位置关系的判定
（1）点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体（长方体、正方体）模型来判断，常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系.
（2）两条直线异面的判定：反证法或利用异面直线的判定定理.
考点三 异面直线所成的角（一题多变）
[高考考情] 异面直线所成的角是高考的热点内容，主要考查学生的空间想象能力、数学运算能力以及把空间问题转化为平面问题的能力，属于基础题，一般难度不大，常以填空题、选择题的形式出现.
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【课题】平面的基本性质与空间两直线的位置关系
【课时】第49-50课时
复习目标
1. 掌握平面的基本性质；
2. 能画出空间两条直线，直线和平面的各种位置关系的图形，能根据图形想象它们的位置关
系；
3. 掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理
1.平面的基本性质：
公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条
过这个公共点的 .
公理3： 经过 的三点，有且只有一个平面.
推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.
推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.
推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.
2.空间两直线的位置关系：
（1）空间两直线的位置关系： 、 、 ．
（2）异面直线是指 ．
注意：两条异面直线所成角的范围是 ．
求两条异面直线所成角的方法：
（3）公里4：平行于同一直线的两直线 ．
（4）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且 ，那么这两个角
相等．
1．已知平面平面=l，直线m，直线n，mnP，则点P与直线l的位置关系
用符号表示为 ．
2．给出下列命题： ①四边形是平面图形；②有三个公共点的两个平面重合；③两两相交的三条直
线必在同一个平面内；④三角形必是平面图形。其中正确命题的序号为 ．
3．已知直线ba,是两条异面直线，且//a直线c，则直线b与c的位置关系为 ．
4．给出下列四个命题，其中,,abc都是直线：其中真命题的个数是 个．
（1）若ba,异面，,bc异面，则,ac异面； （2）若ba,相交，,bc相交，则,ac相交；
（3）若ba//，则ba,与c所成的角相等； （4）若ab，bc，则//ac．
5．在空间中，下列命题不正确的是 ．
①若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点；②若已知四个点不共面，则其中任意三点
不共线；③若点A既在平面内，又在平面内，且与相交于b，则点A在b上；
④任意两条直线不能确定一个平面。
6．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中
①BM与ED平行，②CN与BE是异面直线，
2
③DM与BN垂直，以上命题正确的是 ．
例1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，
求证：（1）E、C、D1 、F四点共面；
（2）C E、D1 F、DA三线共点.
例2正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8cm，M、N、P分别是A1B1、AD 、BB1的中点
（1）分别画出过M、N、P三点的平面与平面ABCD和平面BB1C1C的交线；
（2）设过M、N、P三点的平面与BC交于点Q求PQ的长．
例3 如图，A是BCD所在平面外一点，NM,分别是ABC和ACD重心．
（1）求证：BDMN//； (2)若6BD，求MN的长．
例4．如图，在长方体1111DCBAABCD中，BCAB,E是11BA的中点，F是11CB上的动点．
（1）求证：11DA与BB1是异面直线；
（2）试问：F在11CB何处时，直线CF与直线AE相交．
A
B
C
D
M
N
•
•
D
C
B
A
1
D
1
C
1
B
1
A
3
平面的基本性质与空间两直线的位置关系反馈练习
1．甲：“ba,是不相交直线”，乙：“ba,是两条异面直线”，则甲是乙成立的 条件．
2．如图，点,,,PQRS分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直
线的图是 ．
① ② ③ ④
3．下列四个命题：①三点确定一个平面，②一条直线和一个点确定一个平面，③若四点不
共面则每三点一定不共线，④三条两两相交的直线确定一个平面，其中假命题的个数
是 个．
4．在空间四边形ABCD中，GFE,,分别为BCADAB,,的中点，NM,为对角线BDAC,的中点，
若EFM，则DNG ．
5．设HGFE,,,依次是四面体BCDA的棱DACDBCAB,,,的中点，且
,ACBDaACBDb
，则22FHEG ．
6．如图，已知四边形ABCD是空间四边形，HE,分别是ADAB,中点，GF,分别是边CDCB,上
的点，且32CDCGCBCF．
求证：四边形EFGH有一组对边平行但不相等．
P
Q
S
R
•
• • • P R • • P Q S R • • •
•
P
Q
S
R
•
•
•
•
•
•
S
Q
4
7、在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.
（1）若AC⊥BD，求证：EFGH为矩形;
（2）若BD=2，AC=6,求EG2+HF2;
（3）若AC,BD成30°角，AC=6,BD=4,求四边形EFGH的面积